Pertemuan 5Ukuran Pemusatan
J0682
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan mampu :
▓ Mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan
▓ Menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan
▓ Menghitung beberapa ukuran pemusatan
▓ Memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan
Materi
۩ Rata-rata hitung
۩ Median
۩ Modus
۩ Rata-rata ukur۩ Rata-rata harmonis ۩Kuartil, desil, persentil
Buku Acuan
. Statistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.5 edisi
keenam, halaman 61 – 79
. Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), kar. Wayan
Koster, edisi pertama, halaman 93 - 120
12
UKURAN NILAI PUSAT
Merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan
Artinya :
“ jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya
dan selanjutnya nilai rata rata tersebut dimasukan kedalam rata – ratanya”
Maka nilai rata – rata tersebut cenderung terletak diurutan paling tengah /Pusat
Ukuran nilai pusat : Rata – rata hitung (mean)• Rata ukur (geometris) Rata harmonis• Modus Median (Md)• Rata kuadratik (tidak diajarkan)
04 - 0104 - 01
1. MeanRata hitungadalah nilai rata – rata dari data – data yang ada (yang tersedia)
Mean dari populasi diberi simbol μ miu
Mean dari sampel diberi simbol x bar
= jumlah semua nilai data
jumlah data
Data tunggal A. Hitung rata – rata hitung dari data
7,6,3,4,8,8
jawab : x = 7,6,3,4,8,8
n = 6
= 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36
x
x
x
UKURAN NILAI PUSAT
Rumus :
B. Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja dari keseluruhan pekerja,
perusahaan membagi gaji karyawannya / bulan
5 orang bergaji Rp. 350.000
10 orang bergaji Rp. 250.000
25 orang bergaji Rp. 125.000
Frekuensi
Ditanya : berapa rata – rata rupiah yang dikeluarkan oleh pemilik
perusahaan / bulan pada setiap karyawan
Jawab : menggunakan rumus yang ada frekuensinya
Rumus :
n
xxx
n
xx n
....21
66
362
x
375.184.40
000.375.7.Rp
Rp
f
fm
Tabel berat badan 100 mahasiswa demonstrasi
Jawab :
Berat badan Titik tengah Frekuensi fx
(KG) (X) (F)
60 – 62 61 10 610
63 – 65 64 25 1600
66 – 68 67 32 2144
69 – 71 70 15 1050
72 – 74 73 18 1314
100 6718
BERAT BADAN JUMLAH MAHASISWA
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
10
25
32
15
18
Rumus :
18,67100
6718
f
fxx
2. RATA UKUR geometrisRu = G = Mg = rata rata ukur
n = banyak data
Data tunggal
Rumus :Log Ru = (log + log ..)
Contoh Tentukan rata – rata ukur dari : 2,4,8,16,32
Jawab :
=8 atau n = 5
Log Ru = (log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + log 32)
= (4,515)
= 0,903
nn xxxxRu ...** 321
n
1
1x 2x
5 3216842 xxxxRu
5
1
5
1
Log Ru = 0,903
Ru = 8
(Anti log = shift log 0,903)
Data berkelompok
Rumus :
Log Ru =
X = m = titik tengah
Tabel hasil pengukuran 100 daun kelapa (mm)
Pengukuran frekuensi
50 – 54 6
55 – 59 10
60 – 64 9
65 – 69 25
70 – 74 28
75 – 79 13
80 – 84 9
Jumlah 100
f
xf )log*(
Ditanya : berapa rata – rata ukur dari data diatas
Jawab :
Log Ru =
= 183,393 = 1,834 100
Ru = 68,23
Nilai f x Log x F * log x
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
6
10
9
25
28
13
9
52
57
62
67
72
77
82
1,716
1,756
1,792
1,826
1,857
1,886
1,914
10,296
17,560
16,132
45,652
52,005
24,524
17,224
Jumlah 100 183,393
f
xf )log*(
RU untuk kenaikan atau pertumbuhan
Untuk gejala yang sifatnya pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat
tertentu seperti pertumbuhan bakteri, penduduk dan kenaikan bunga bank
rata ukur dapat dihitung.
Rumus :
Pt = Po
Pt = keadaan akhir pertumbuhan
Po = keadaan awal pertumbuhan
= rata – rata pertumbuhan
t = satuan waktu yang digunakan
Contoh
Tentukan laju pertumbuhan rata – rata penduduk indonesia jika pada akhir
tahun 1946 dan 1956 jumlah penduduk masing – masing 60 dan 78 juta
Jawab :
t = 10 (dari 1956 – 1946)
Pt = 78 juta
Po =60 juta
Ditanya
t
xPo
1001
x
x
Ditanya
78 = 60 (1 + ) 10
(1 + ) = 1,3
(1 + ) = (1,3)1/10
(1 + ) = 1,0266
= 0,0266
x = 2,66 %
x
100
x
100
x
100
x
100
x
100
x
3. RATA HARMONIS (RH)Data tunggal
RH = =
Contoh
Tentukan rata – rata harmonis dari 2,5,7,9,12
Jawab :
RH =
Pak Dedi berpergian pulang pergi ke kantor dengan mobil. Waktu pergi ia
menggunakan waktu 40 km / jam. Berapa rata – rata pulang pergi kecepatannya
Jawab
RH =
Data berkelompok Rumus :
x
n1
nxxx
n1
....11
21
82,4
12
1
9
1
7
1
5
1
2
15
jamkm /3,32
30
1
40
12
x
f
f
Contoh Pengukuran F X F /X
50 – 54 6 52 0,11555 – 59 10 57 0,17560 – 64 9 62 0,14565 – 69 25 67 0,37370 – 74 28 72 0,38975 – 79 13 77 0,16980 – 84 9 82 0,110Jumlah 100 1,476
RH = 100 = 67,75 1,476Hubungan antara rata – rata hitung – rata ukur dan rata harmonis adalah :RH ≤ RU ≤ x rata2
4. Modus (mode) = MoAdalah nilai yang paling sering munculSejumlah data bisa tidak punya modusMempunyai satu modus disebut unimodalMempunyai dua modus disebut bimodalLebih dari dua modus disebut multimodal
Data Tunggal
Tentukan Modus (mode) atau Mo dari data ini :
A. 1,4,7,8,9,9,11
B. 1,4,7,8,9,11,13
C. 1,2,4,4,7,9,11,11,13
D. 1,1,3,3,7,7,12,12,14,15
Jawab
a. Modus = 9
b. Modus = tidak ada
c. Modus = 4 dan 11
d. Modus = 1,3,7 dan 12
Diketahui X1 = 75 X4 = 12
X2 = 100 X5 = 125
X3 = 150 X6 = 80
Maka modusnya = 125
Data berkelompok
Rumus
Mo = TKB +
xiDD
D
21
1
TKB = Tepi kelas bawah dimana modus berada
d 1 = Selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelum
d 2 = selisih frekuensi mous dengan frekuensi sesudah
i = panjang interval kelas
Tabel Berat Badan 100 Demonstran
Berat Badan (Kg) Jumlah mahasiswa (F)
60 – 62 10
63 – 65 25
66 – 68 32
69 – 71 15
72 – 74 13
Tentukan Modus dari data diatas
Jawab
TKB = 65,5
d 1 = 32 – 25 = 7
d 2 = 32 – 15 = 17
i = 3
Mo = 65,5 +
3177
7x
TM
32 B C
25
18 A D
15
10
29,5 62,5 65,5 68,5 71,5 74,5
Mo = 66,375
5. MEDIAN
Kebaikan “Modus”
1. Lebih sukar dari rata – rata
2. Tidak tegas
Kebaikan “Median”
1. Mudah dihitung
2. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim
3. Lebih mewakili dari pada rata rata
4. Dengan kelas terbuka median dapat dihitung
Kelemahan “Median”
1. Data harus diurutkan
2. Kurang dikenal dari pada rata – rata
3. Tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut
Me = Md ialah urutan rata rata yang didasarkan atas nilai data yang berada ditengah distribusi frekuensinya
Syarat : data harus diurutkan dahulu
DATA TUNGGAL
Jika jumlah data ganjil, Mediannya paling atau berada ditengah
Jika jumlah data genap, Mediannya dijumlah lalu dibagi 2
Contoh :
Tentukan Median dari data dibawah ini :
4,3,2,6,7,5,8
11,5,7,4,8,14,9,12
Jawab
Data diurutkan + 2,3,4,5,6,7,8
n = 7 (ganjil) Me =
2. Urutkan data = 4,5,7,8,9,11,12,14
n = 8 (genap)
Me = =
DATA BERKELOMPOK
Me = TKB +
5422
171 Xxxn
2
54
222 XXXX nn
5,82
98
iFKKDFKKD
FKKDn
BA
B
.21
TKB = Tepi kelas bawah
i = Panjang interval kelas
FKKDA = Frekuensi kumulatif kurang dari nilai tepi kelas yang ada di atas
kelas Median
FKKDB = Frekuensi komulatif kurang dari nilai tepi kelas bawah kelas
Mediannya
= Letak Mediannya
Contoh :
Data yang ada adalah :
Berat badan F TK F.Kom <
60 – 62 10 59,5 0
63 – 65 25 62,5 10
66 – 68 32 65,5 35 FK bawah
69 – 71 15 68,5 67 FK Atas
72 – 74 18
100
= 50
Me = 65,5 + = 66,9
2
n
2
n
33567
3550X
LATIHAN (Secara Median)
Diameter Pipa (mm) Frekuensi
65 – 67 2
68 – 70 5
71 – 73 13
74 – 76 14
77 – 79 4
80 – 82 2
Hubungan antara rata Median dan Modus
1.Distribusi Simetris
Jika rata – rata hitung, Median dan Modus memiliki nilai yang sama, maka kurvanya berbentuk simetris
2.Distribusi condong kanan
Jika rata hitung > median dan > modus maka kurvanya mencong ke kanan
3. Distribusi Condong kekiri
Jika rata hitung < median < modus
Dari ketiga distribusi tersebut didapat rumus:
Mo = - 3 ( - Me ) atau
=
atau
Me =
umpama, diket = 67,18
Mo = 66,375
berapa Me = ?
Me = 2(67,18) + 66,375 = 66,91
3
x
x
x 2
3 MoMe
3
2 Mex
x
FRAKTIL( Kuartil – Desil – Persentil )
A. KUARTIL Q atau K
Ukuran letak yang membagi distribusi frekuensi menjadi 4 bagian yang sama
K1 K2 K3Q1 Q2 Q3
25%
25% 25%
25%
Letak
4
1)N(3QLKK
4
1)N(2QLKK
4
1)N(1QLKK
333
222
111
Umpamanya ada data :X1 = 75 x3 = 100 x5 = 125X2 = 80 x4 = 120
DATA TUNGGAL
5,772
8075K
1,5 ke data pada terletak K
5,14
)15(1LK
1
1
1
X1 = 75
X2 = 80
X3 = 100
X4 = 120
X5 = 125
100K
3 ke data pada terletak K
34
)15(2LK
2
2
2
5,122K
5,4LK
3
3
K1 = 77,5 artinya besar keuntungan max dari pedagang yang tergolong 25%
tingkat keuntungannya terendah
K2 = 100 artinya besarnya keuntungan rata seluruh pedagang yang didasarkan pada median
K3 = 122,5 artinya besarnya keuntungan min dari pedagang yang tergolong 25% tingkat keuntungannya tertinggi.
DATA BERKELOMPOK
LK1 = 1(n) , LK2 = 2 (n) , LK3 = 3 (n)
4 4 4
Rumus
K1 = TKb + LK1 – FKKDB X i
FKKDA –FKKDB
contoh data sudah diolah
Kelas F T.K F. Kom <
59,4 0
60 – 62 10 62,5 10
63 – 65 25 65,5 35 25,LK1 = 100 / 4
66 – 68 32 68,5 67 50, LK2 = 200 / 4
69 – 71 15 71,5 82 75, LK = 300 / 4
72 – 74 18 74,5 100
K1 = 62,5 + 25 – 10 X 3 = 64,3
35 – 10
K2 = 65,5 + 50 - 35 x 3 = 66,9
67 – 35
K3 = 68,5 + 75 – 67 x 3 = 70,1
82 - 67
nF 100
DESIL D
= Kuartil
Sekumpulan data dibagi 10 bagian sama banyak, setelah data diurutkan
= Rumus kuartil, hanya dibagi 10
DATA TUNGGAL
Letak
D1 = LD1 = 1(n+1)
10
D9 = LD9 = 9(n+1)
10
Contoh :
Data sampel 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14,15
Hitung desil ke 7 n = 11
LD7 = 7 (11 + 1) = 84 = 8,4
10 10
Data berada antara 8 dan 9
D7 = X8 + 0,4 (x9 – x8)
= 14 + 0,4 (14 – 14)
= 14
LD4 = 4 (11 + 1) = 4,8
10
data berada antara 4 dan 5
D4 = X4 + 0,8 (X5 – X4)
= 8 + 0,8 (10 – 8)
= 9,6
Contoh berkelompok
Nilai F F kom
30 – 39 5 5
40 – 49 3 8
50 – 59 6 14
60 – 69 7 21
70 – 79 8 29
80 – 89 7 36
90 – 99 4 40
n = 40
Hitung desil ke 4 = D4 = TKB + LD4 – FKKDB x i
FKKDA - FKKDB
LD4 = 4 (n) = 4(40) = 16
10 10
TKB = 60 – 0,5 = 59,5
Kelas desil = 60 – 69
i = 40 – 30 = 10
FKKDB = 5 + 3 + 6 = 14
FKKDA = 5 + 3 + 6 + 7 = 21
D4 = 59,5 + 16 – 14 x 10
21 – 14
= 62,36
Hitung desil ke 8
LD8 = 8(n) = 8(40) = 32
10 10
Kelas desil = 80 – 89
Tkb = 80 – 0,5 = 79,5
i = 40 – 30 = 10
FKKDB = 5+3+6+7+8 = 29
FKKDA = 5+3+6+7+8+7 = 36
D8 = 79,5 + 32 – 29 x 10
36 - 29
Data berkelompok
LD1 = 1(n) , LD7 = 7(n)
10 10
Rumus
D8 = TKB + LD8 – FKKDB x i
FKKDA - FKKDB
PERSENTIL
Kuartil dan Desil
datanya dibagi 100 sama banyak
- Rumus Kuartil dan Desil, hanya dibagi 100 sama banyak
DATA TUNGGAL
P18 = LP18 = 18 (n+1) dan seterusnya
100
p50 p99p1
• Hitung Persentil ke 10(P10) dan persentil ke 76dr data brk ini:• 20 21 22 24 26 26 27 30 31 31 • 33 35 35 35 36 37 37 38 39 40• 41 41 42 43 44 46 47 48 49 50• n=30• P10=10(n+2) = 10(30+1) = 3.1• 100 100• Data berada antara 3 dan 4• = x3 + 0.1 (x4 – x3) =22 + 0.1 =22.2• P76=76(n+2) = 76(30+1) = 23.56• 100 100• Data berada antara 23 dan 24• = x23 + 0.56 (x24 – x23) =46 + 0.56 =42.56• DATA BERKELOMPOK• LP21 = 21(n) , LP89 = 89(n)• 100 100• Rumus : P36 = Tkb + LP36 – Fkkdb .i• Fkkda - Fkdb
۩Sampai jumpa Pada Pertemuan 6 (F2F)