Universidad Internacional del EcuadorESCUELA DE CIENCIAS Y TECNOLOGAS APLICADASINGENIERA EN MECATRNICA
PAPER # 4
Materia:INGENIERIA MATEMATICA VSemestre:Abril Agosto /2015Profesor:Ing. Gonzalo Meja Msc.Fecha:11 15 de Mayo /2015Semana de clase:6
SERIES DE FOURIER
INTRODUCCION. En esta unidad se considera a una funcin real como una generalizacin de un vector, por ello algunas propiedades de vectores como son el producto escalar, el producto interno y la ortogonalidad se harn extensivos a las funciones.
FUNCIONES ORTOGONALES
DEFINICION. Se denomina producto interno de dos funciones y en un intervalo o en o al nmero Comment by Gonzalo Mejia:
f1 . f2
DEFINICION. Dos funciones y son ortogonales entre s en el intervalo si y solamente si cumplen que
EJEMPLOS
1) por tanto y son ortogonales en .
2) entonces y son ortogonales en .
DEFINICION. Se dice que el conjunto de funciones reales
es ortogonal en un intervalo si y solo si para todo se cumple
EJERCICIOSDemostrar
1. El conjunto de funciones es ortogonal en .2. El conjunto de funciones es ortogonal en 3. El conjunto de funciones donde
DEFINICION. Al nmero se denomina norma de la funcin , y al nmero se conoce como norma cuadrada.Comment by Gonzalo Mejia:
CONJUNTO ORTONORMAL
DEFINICION. Si es un conjunto ortogonal de funciones en tal que , entonces se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo .
EJEMPLO
Sea el conjunto de funciones que es ortogonal en . Para hallar la norma de cada funcin aplicamos la definicin.
Para Para Para
Dividiendo cada funcin por su norma se obtiene un conjunto ortonormal en .
SERIE GENERALIZADA DE FOURIER
Sea donde n un conjunto de funciones ortogonales en .Si una funcin f (x) puede representarse mediante una serie de la forma
f (x)
donde se requiere calcular los coeficientes
En la teora de vectores se tienen las siguientes propiedades para el producto interno
i) + ii)
Las mismas propiedades se aplican en el caso de las funciones para calcular los coeficientes. As se tiene que si se realiza el producto interno se obtiene
Por definicin de norma se tiene
Adems por ser un conjunto ortogonal se cumple
Sustituyendo en la igualdad se llega a
Despejando
Siguiendo un procedimiento similar se obtiene
siendo
Sustituyendo los coeficientes calculados de esta manera se tiene
Esto es lo que se conoce como la Serie Generalizada de Fourier.
EJERCICIO
Hallar la serie Generalizada de Fourier de la funcin
SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER
Sea el conjunto de funciones ortogonales
donde
Suponer que f es una funcin real definida en que puede ser desarrollada en la serie trigonomtrica
Donde los coeficientes pueden calcularse empleando un procedimiento similar al utilizado en la Serie Generalizada de Fourier. As se tiene
DEFINICION. A una serie de la forma
donde se denomina Serie de Fourier de la funcin f.
EJERCICIOS
Desarrollar en series de Fourier las siguientes funciones en el intervalo indicado
1.
2.
3.
4.
5.
6. es la funcin del grfico dado
Y
1
y
X -1 0 1
CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER EN UN PUNTO
TEOREMA. Sean y funciones continuas en el intervalo , excepto en un finito nmero de puntos del intervalo y con discontinuidades finitas slo en estos puntos. Entonces la serie de Fourier de en el intervalo converge a en un punto de continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al promedio
Donde y representan el lmite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente.
EJEMPLO
7. Sea la funcin
Si la funcin es continua como se observa en el grfico, por tanto la correspondiente serie de Fourier converge a .Si la funcin es discontinua, en consecuencia la serie de Fourier en ese punto converge al promedio .
Y 3 o
2 o o1 -2 -1 0 1 2 X
A. Actividades Segn cronograma:
PRIMERA ENTREGA: 18 de Mayo / 2015
Ejercicios de conjuntos ortogonales y serie generalizada de Fourier.
SEGUNDA ENTREGA: 25 de Mayo / 2015 Ejercicios de Series de Fourier.
B. Bibliografa:
Zill D. (2008). Clculo Vectorial, Anlisis de Fourier y Anlisis Complejo. Mxico. McGraw Hill Interamericana.