Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
1
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
BAB I
PENDAHULUAN
A. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan diferensial yaitu Persamaan
Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
perbedaan kedua jenis persamaan diferensial itu dapat dilihat dalam defenisi berikut :
Defenisi 1. 1 Persamaan Diferensial. adalah persamaan yang memuat turunan satu
atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya
tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Diferensial
Parsial (PDP)
Contoh 1. 1 Beberapa kelompokkan persamaan diferensial dalam bentuk PDB dan PDP
1) dx
dy= x + 5 (PDB)
2) 2
2
x
z
+
2
2
y
z
= x
2 + y (PDP)
3) 0 2y y 3 y (PDB)
4) 5
xy
t
y
x
y (PDP)
5) yxdx
dy
dx
yd
dx
yd2
2
2
2
3
3
(PDB)
Dalam modul ini pembahasan persamaan diferensial akan difokuskan pada Persamaan
Diferensial Biasa (PDB), sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan
dengan model fenomena persamaan diferensial yang hanya terikat pada satu variabel
bebas.
Defenisi 1. 2 Tingkat (order) dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh tingkat
tertinggi dari turunan dalam persamaan
F(x, y , y , . . . , y(n)
) = 0
Defenisi 1. 3 Linieritas dan Homogenitas PDB tingkat n dikatakan linier bila dapat
dinyatakan dalam bentuk :
a0(x)y(n)
+ a1(x)y(n-1)
+ . . . + an(x)y = F(x) ; dimana a0(x) 0
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
2
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
Selanjutnya
1) Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier
2) Bila koefisien a0(x), a1(x), . . . , an(x) konstan dikatakan mempunyai koefisien
konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koefisien variabel
3) Bila F(x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak disebut
nonhomogen.
Contoh 1. 2 Klasifikasi tingkat dan derajat pada persamaan differensial
a. dy + (xy – cos x) dx = 0 PD Tingkat satu ; derajat satu
b. y + x
y =
x
3 PD Tingkat satu ; derajat satu
c. L2
2
dt
Qd+ R
dt
dQ+
C
Q= 0 PD Tingkat dua ; derajat satu
d.
2
3
3
dv
wd+ x
4
2
2
dv
wd + vw = 0 PD Tingkat tiga ; derajat dua
e. = sin PD Tingkat satu ; derajat satu
f. y = 1 + ( y )2 PD Tingkat dua ; derajat dua
g. (dx
dy)2 + y
dx
dy = x PD Tingkat satu ; derajat dua
B. Penyelesaian Persamaan Differensial
Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk penyelesaian suatu PDB
Defenisi 1.2. 1 Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut :
F(x, y , y , . . . , y(n)
) = 0 ................. (1.1)
dimana F adalah fungsi real dengan (n + 2) argumen akan mempunyai solusi eksplisit dan
implisit dengan ketentuan sebagai berikut :
a. Bila f adalah suatu fungsi dimana f C(I) dan f Cn(I) untuk x I dan I adalah
sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari persamaan (1. dan jika
F(x, f, f , f , . . . , f(n)
) C(I) dan F(x, f, f , f , . . . , f(n)
) = 0 untuk x I
b. Sedangkan g(x, y) = 0 disebut solusi implisit dari pers. (1) jika fungsi g dapat
ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f C(I) untuk x I dan minimal satu
merupakan solusi eksplisitnya.
Dalam hal ini penyelesaian persamaan diferensial dibagi tiga penyelesaian :
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
3
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
1) Penyelesaian umum : Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) adalah
penyelesaian PD yang memuat konstante-knsotante esensil sebarang yang
banyakanya sama dengan tingkat n penyelesaian umumnya memuat n buah
konstante-konstante esesill sebarang atau penyelesaian umum PDB yang
mengandung konstanta essensial, katakanlah C. Contoh diketahui PDB y = 3y + 1
maka penyelesaian umumnya (PUPD) adalah y = -1/3 + Ce3x
2) Persamaan Khusus : Penyelesaian khusus (Partikulir) Persamaan Differensial
(P.P.P.D) adalah penyelesaian PD yang didapat dari PUPD jika pada konstanta-
konstantanya sebarang diberi harga tertentu atau penyelesaian yang tidak
mengandung konstante essensial yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada
suatu PDB. Contoh y = 3y + 1, y(0) = 1. PUPD adalah y = -1/3 + Ce3x
. sedangkan
penyelesaian khusus (partikulir) atau PPPD adalah y = -1/3 + 4/3 e3x
3) Penyelesaian singular yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan
suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh y = Cx + C adalah solusi
umum dari ( y )2
+ y x = y. namun demikian disisi lain PDB ini mempunyai
solusi singular y = -1/4 x2
C. Metode Penyelesaian :
Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB
yaitu :
a. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk
eksplisit dan implisit yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan
menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk
fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang
komplek. Dengan menggunakan komputer pada sofware Matlab atau MAPPLE
masalah yang komplek dapat diselesaikan.
b. Metoda Kualitatif. Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris
bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grafik gradien “
field “ (direction field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat
memahami secara mudah sifat-sifat solusi suatu PDB namun fungsi asli dari
solusinya tidak diketahui dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
4
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
c. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda yang sangat
fleksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan
dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang
komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit
namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam grafik sehingga dapat dianalisis
dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi
sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan) Sebagai
konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan
menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda
yang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan rumus yn+1 = yn + hf(t,y)
D. PDB Suatu Berkas Garis-Garis Lengkung Datar
a. Ditentukan suatu berkas garis-garis lengkung datar :
f(x, y, ) = 0 ......................... (1.2)
dimana parameter. Persamaan (1.2) diturunkan ke x , terdapat :
x
f
+
y
f
dx
dy= 0 .......................... (1.3)
Jika kita eliminasi dari persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh hubungan antara x, y
dan dx
dy. F(x, y,
dx
dy) = 0 merupakan persamaan diffeensial dari berkas garis-garis
lengkung tersebut.
b. Ditentukan suatu berkas garis-garis lengkung datar :
f(x, y, 1, 2) = 0 .......................... (1.4)
dengan parameter 1dan 2. Penyelesaian pada persamaan (1.4) diperoleh dengan
diturunkan ke x diperoleh .
x
f
+
y
f
dx
dy= 0 .......................... (1.5)
karena persaman (1.5) belum dapat dieliminasikan maka persamaan (1.5) harus di
turunkan ke x kembali agar diperoleh :
2
2
x
f
+
yx
f
2
dx
dy+
2
2
y
f
.(
dx
dy)
2 +
y
f
2
2
dx
yd= 0 .......................... (1.6)
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
5
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
Persamaan (1.6) dapat diselesaikan 1dan 2 dengan cara eliminasi diperoleh
persamaan diferensial berbentuk :
f(x, y, dx
dy,
2
2
dx
yd) = 0
E. Soal-Soal Penyelesaian :
Contoh 1. 3 Carilah P.D dari berkas garis lurus y = x
Penyelesaian : y = x .................................... (1.7)
Diturunkan ke x, terdapat : dx
dy = ..................................... (1.8)
Eliminasi dari (1.7) dan (1.8) diperoleh PD yang ditanyakan : dx
dy =
x
y
Contoh 1. 4 Dapatkan PD yang sesuai dengan primitif y = Ax2 + Bx + C
Penyelesaian : Karena A, B, dan C adalah konstanta sembarang , maka diperoleh
y = Ax2 + Bx + C ; diturunkan terhadap x diperoleh
dx
dy = 2Ax + B ; kemudian
diturunkan ke x maka diperoleh turunan kedua 2
2
dx
yd= 2A ; Lalu turunkan ke x diperoleh
turunan ke tiga 3
3
dx
yd = 0 Persamaan terakhir merupakan persamaan diferensial yang
bebas konstante ini adalah PD.
Contoh 1. 5 Dapatkan PD yang sesuai dengan primitif y = Ae2x
+ Bex + C
Penyelesaian :
dx
dy= 2Ae
2x + Be
x ;
2
2
dx
yd= 4Ae
2x + Be
x
3
3
dx
yd= 8Ae
2x +Be
x maka
3
3
dx
yd-
2
2
dx
yd = 2Ae
2x , dan
3
3
dx
yd-
2
2
dx
yd= 2(
2
2
dx
yd-
dx
dy)
jadi persamaan yang diminta adalah 023 yyy
Contoh 1. 6 Buktikan bahwa y = acos x + bsin x dengan a, b konstante-konstante
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
6
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
sebarang, adalah penyelesaian dari persamaan differensial : 2
2
dx
yd + y = 0
Penyelesaian : misalkan y = acos x + bsin x ......... (1.a)
y = -asin x + b cos x ......... (1.b)
y = -acos x - bsinx ......... (1.c)
eliminasi pers. (1.b) dan (1.c) diperoleh a = - sinx y - cosx y dan b = cosx y - sinx y
kemudian hasil tersebut di subtitusikan ke pers (1.a) didapati :
y = (- sinx y - cosx y ) cos x + (cosx y - sinx y ) sin x
y = - cos2x y - sin
2x y = - y y - y = 0 terbukti.
F. Soal Soal Latihan :
1. Kelompokkan PD dibawah ini kedalam PDB dan PDP
(a) x
y
+
t
y
+ xy = 5
(b) x
y
+
2
2
dx
yd+
2
dx
dy- 3x = 0
(c) 2
2
s
y
+
t
y
+ y = 0
(d) 3
3
dx
yd+
3
2
2
dx
yd+
2
dx
dy-x = 2y
2. Klasifikasi tingkat derajat setiap persamaan berikut ini :
(a) dy + (xy – cos x) dx = 0
(b) L 2
2
dt
Qd+ R
dt
dQ+
C
Q = 0
(c) 0)(2 2 xyyyyxy
(d) dv
dw
dv
wd3
3
3
+ x
2
dv
dw+ vw = 0
3. Carilah P.D dari berkas parabola y2 = 2px
4. Tentukan PD dari berkas lingkaran x2 + y
2 = r
2
5. Tentukan PD yang dapat diperoleh dengan primitiv
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Tanjungpura Pontianak
JURUSAN MATEMATIKA
Persamaan Differensial Biasa
Halaman -
7
PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007
a. x2y
3 +x
3y
5 = C
b. y = A cos(ax) + Bsin(ax)
6. Carilah persamaan diferensial keluarga (family) lingkaran yang berjari-jari r dan
pusatnya pada sumbu x
7. Carilah persamaan diferensial keluarga (family) parabola dengan fokusnya (foci)
pada titik asal dan sumbunya sepanjang sumbu x
8. Buktikan bahwa y = A sin x + Bx adalah penyelesaian persamaan diferensial
(1 – x cotan x) 2
2
dx
yd- x
dx
dy+ y = 0
9. Tunjukkan bahwa y = Aex + Bxe
x + Ce
-x + 2x
2e
x adalah penyelesaian dari
3
3
dx
yd-
2
2
dx
yd-
dx
dy+ y = 8e
x
10. Tunjukkan bahwa (y – A)2 = Ax adalah penyelesaian dari 4x (
dx
dy)2+2x
dx
dy-y = 0
dan cari peresamaan kurv integral melalui titik (1,2)