PDL BAB_I

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Tanjungpura Pontianak

JURUSAN MATEMATIKA

Persamaan Differensial Biasa

Halaman -

1

PENDAHULUAN HELMI - PHK AI - 2007

BAB I

PENDAHULUAN

A. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan diferensial yaitu Persamaan

Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui

perbedaan kedua jenis persamaan diferensial itu dapat dilihat dalam defenisi berikut :

Defenisi 1. 1 Persamaan Diferensial. adalah persamaan yang memuat turunan satu

atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya

tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB)

dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Diferensial

Parsial (PDP)

Contoh 1. 1 Beberapa kelompokkan persamaan diferensial dalam bentuk PDB dan PDP

1) dx

dy= x + 5 (PDB)

2) 2

2

x

z

+

2

2

y

z

= x

2 + y (PDP)

3) 0 2y y 3 y (PDB)

4) 5

xy

t

y

x

y (PDP)

5) yxdx

dy

dx

yd

dx

yd2

2

2

2

3

3

(PDB)

Dalam modul ini pembahasan persamaan diferensial akan difokuskan pada Persamaan

Diferensial Biasa (PDB), sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan

dengan model fenomena persamaan diferensial yang hanya terikat pada satu variabel

bebas.

Defenisi 1. 2 Tingkat (order) dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh tingkat

tertinggi dari turunan dalam persamaan

F(x, y , y , . . . , y(n)

) = 0

Defenisi 1. 3 Linieritas dan Homogenitas PDB tingkat n dikatakan linier bila dapat

dinyatakan dalam bentuk :

a0(x)y(n)

+ a1(x)y(n-1)

+ . . . + an(x)y = F(x) ; dimana a0(x) 0



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

2


Selanjutnya

1) Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier

2) Bila koefisien a0(x), a1(x), . . . , an(x) konstan dikatakan mempunyai koefisien

konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koefisien variabel

3) Bila F(x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak disebut

nonhomogen.

Contoh 1. 2 Klasifikasi tingkat dan derajat pada persamaan differensial

a. dy + (xy – cos x) dx = 0 PD Tingkat satu ; derajat satu

b. y + x

y =

x

3 PD Tingkat satu ; derajat satu

c. L2

2

dt

Qd+ R

dt

dQ+

C

Q= 0 PD Tingkat dua ; derajat satu

d.

2

3

3

dv

wd+ x

4

2

2

dv

wd + vw = 0 PD Tingkat tiga ; derajat dua

e. = sin PD Tingkat satu ; derajat satu

f. y = 1 + ( y )2 PD Tingkat dua ; derajat dua

g. (dx

dy)2 + y

dx

dy = x PD Tingkat satu ; derajat dua

B. Penyelesaian Persamaan Differensial

Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk penyelesaian suatu PDB

Defenisi 1.2. 1 Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut :

F(x, y , y , . . . , y(n)

) = 0 ................. (1.1)

dimana F adalah fungsi real dengan (n + 2) argumen akan mempunyai solusi eksplisit dan

implisit dengan ketentuan sebagai berikut :

a. Bila f adalah suatu fungsi dimana f C(I) dan f Cn(I) untuk x I dan I adalah

sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari persamaan (1. dan jika

F(x, f, f , f , . . . , f(n)

) C(I) dan F(x, f, f , f , . . . , f(n)

) = 0 untuk x I

b. Sedangkan g(x, y) = 0 disebut solusi implisit dari pers. (1) jika fungsi g dapat

ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f C(I) untuk x I dan minimal satu

merupakan solusi eksplisitnya.

Dalam hal ini penyelesaian persamaan diferensial dibagi tiga penyelesaian :



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

3


1) Penyelesaian umum : Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) adalah

penyelesaian PD yang memuat konstante-knsotante esensil sebarang yang

banyakanya sama dengan tingkat n penyelesaian umumnya memuat n buah

konstante-konstante esesill sebarang atau penyelesaian umum PDB yang

mengandung konstanta essensial, katakanlah C. Contoh diketahui PDB y = 3y + 1

maka penyelesaian umumnya (PUPD) adalah y = -1/3 + Ce3x

2) Persamaan Khusus : Penyelesaian khusus (Partikulir) Persamaan Differensial

(P.P.P.D) adalah penyelesaian PD yang didapat dari PUPD jika pada konstanta-

konstantanya sebarang diberi harga tertentu atau penyelesaian yang tidak

mengandung konstante essensial yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada

suatu PDB. Contoh y = 3y + 1, y(0) = 1. PUPD adalah y = -1/3 + Ce3x

. sedangkan

penyelesaian khusus (partikulir) atau PPPD adalah y = -1/3 + 4/3 e3x

3) Penyelesaian singular yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan

suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh y = Cx + C adalah solusi

umum dari ( y )2

+ y x = y. namun demikian disisi lain PDB ini mempunyai

solusi singular y = -1/4 x2

C. Metode Penyelesaian :

Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB

yaitu :

a. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk

eksplisit dan implisit yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan

menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk

fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang

komplek. Dengan menggunakan komputer pada sofware Matlab atau MAPPLE

masalah yang komplek dapat diselesaikan.

b. Metoda Kualitatif. Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris

bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grafik gradien “

field “ (direction field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat

memahami secara mudah sifat-sifat solusi suatu PDB namun fungsi asli dari

solusinya tidak diketahui dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek.



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

4


c. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda yang sangat

fleksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan

dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang

komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit

namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam grafik sehingga dapat dianalisis

dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi

sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan) Sebagai

konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan

menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda

yang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan rumus yn+1 = yn + hf(t,y)

D. PDB Suatu Berkas Garis-Garis Lengkung Datar

a. Ditentukan suatu berkas garis-garis lengkung datar :

f(x, y, ) = 0 ......................... (1.2)

dimana parameter. Persamaan (1.2) diturunkan ke x , terdapat :

x

f

+

y

f

dx

dy= 0 .......................... (1.3)

Jika kita eliminasi dari persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh hubungan antara x, y

dan dx

dy. F(x, y,

dx

dy) = 0 merupakan persamaan diffeensial dari berkas garis-garis

lengkung tersebut.

b. Ditentukan suatu berkas garis-garis lengkung datar :

f(x, y, 1, 2) = 0 .......................... (1.4)

dengan parameter 1dan 2. Penyelesaian pada persamaan (1.4) diperoleh dengan

diturunkan ke x diperoleh .

x

f

+

y

f

dx

dy= 0 .......................... (1.5)

karena persaman (1.5) belum dapat dieliminasikan maka persamaan (1.5) harus di

turunkan ke x kembali agar diperoleh :

2

2

x

f

+

yx

f

2

dx

dy+

2

2

y

f

.(

dx

dy)

2 +

y

f

2

2

dx

yd= 0 .......................... (1.6)



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

5


Persamaan (1.6) dapat diselesaikan 1dan 2 dengan cara eliminasi diperoleh

persamaan diferensial berbentuk :

f(x, y, dx

dy,

2

2

dx

yd) = 0

E. Soal-Soal Penyelesaian :

Contoh 1. 3 Carilah P.D dari berkas garis lurus y = x

Penyelesaian : y = x .................................... (1.7)

Diturunkan ke x, terdapat : dx

dy = ..................................... (1.8)

Eliminasi dari (1.7) dan (1.8) diperoleh PD yang ditanyakan : dx

dy =

x

y

Contoh 1. 4 Dapatkan PD yang sesuai dengan primitif y = Ax2 + Bx + C

Penyelesaian : Karena A, B, dan C adalah konstanta sembarang , maka diperoleh

y = Ax2 + Bx + C ; diturunkan terhadap x diperoleh

dx

dy = 2Ax + B ; kemudian

diturunkan ke x maka diperoleh turunan kedua 2

2

dx

yd= 2A ; Lalu turunkan ke x diperoleh

turunan ke tiga 3

3

dx

yd = 0 Persamaan terakhir merupakan persamaan diferensial yang

bebas konstante ini adalah PD.

Contoh 1. 5 Dapatkan PD yang sesuai dengan primitif y = Ae2x

+ Bex + C

Penyelesaian :

dx

dy= 2Ae

2x + Be

x ;

2

2

dx

yd= 4Ae

2x + Be

x

3

3

dx

yd= 8Ae

2x +Be

x maka

3

3

dx

yd-

2

2

dx

yd = 2Ae

2x , dan

3

3

dx

yd-

2

2

dx

yd= 2(

2

2

dx

yd-

dx

dy)

jadi persamaan yang diminta adalah 023 yyy

Contoh 1. 6 Buktikan bahwa y = acos x + bsin x dengan a, b konstante-konstante



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

6


sebarang, adalah penyelesaian dari persamaan differensial : 2

2

dx

yd + y = 0

Penyelesaian : misalkan y = acos x + bsin x ......... (1.a)

y = -asin x + b cos x ......... (1.b)

y = -acos x - bsinx ......... (1.c)

eliminasi pers. (1.b) dan (1.c) diperoleh a = - sinx y - cosx y dan b = cosx y - sinx y

kemudian hasil tersebut di subtitusikan ke pers (1.a) didapati :

y = (- sinx y - cosx y ) cos x + (cosx y - sinx y ) sin x

y = - cos2x y - sin

2x y = - y y - y = 0 terbukti.

F. Soal Soal Latihan :

1. Kelompokkan PD dibawah ini kedalam PDB dan PDP

(a) x

y

+

t

y

+ xy = 5

(b) x

y

+

2

2

dx

yd+

2

dx

dy- 3x = 0

(c) 2

2

s

y

+

t

y

+ y = 0

(d) 3

3

dx

yd+

3

2

2

dx

yd+

2

dx

dy-x = 2y

2. Klasifikasi tingkat derajat setiap persamaan berikut ini :

(a) dy + (xy – cos x) dx = 0

(b) L 2

2

dt

Qd+ R

dt

dQ+

C

Q = 0

(c) 0)(2 2 xyyyyxy

(d) dv

dw

dv

wd3

3

3

+ x

2

dv

dw+ vw = 0

3. Carilah P.D dari berkas parabola y2 = 2px

4. Tentukan PD dari berkas lingkaran x2 + y

2 = r

2

5. Tentukan PD yang dapat diperoleh dengan primitiv



JURUSAN MATEMATIKA


Halaman -

7


a. x2y

3 +x

3y

5 = C

b. y = A cos(ax) + Bsin(ax)

6. Carilah persamaan diferensial keluarga (family) lingkaran yang berjari-jari r dan

pusatnya pada sumbu x

7. Carilah persamaan diferensial keluarga (family) parabola dengan fokusnya (foci)

pada titik asal dan sumbunya sepanjang sumbu x

8. Buktikan bahwa y = A sin x + Bx adalah penyelesaian persamaan diferensial

(1 – x cotan x) 2

2

dx

yd- x

dx

dy+ y = 0

9. Tunjukkan bahwa y = Aex + Bxe

x + Ce

-x + 2x

2e

x adalah penyelesaian dari

3

3

dx

yd-

2

2

dx

yd-

dx

dy+ y = 8e

x

10. Tunjukkan bahwa (y – A)2 = Ax adalah penyelesaian dari 4x (

dx

dy)2+2x

dx

dy-y = 0

dan cari peresamaan kurv integral melalui titik (1,2)

Documents

PDL BAB_I