1.1 Pengertian Limit Fungsi
Fungsi F mempunyai limit L untuk x→a atau limx→a
f ( x )=Lberart bahwa untuk setiap
ε>0 bagaimana pun kecilnya akan didapat bilnangan positif δ sedemikian sehingga untuk
nilai x yang memenuhi 0<¿x−a∨¿ δ maka ¿ f ( x )−L<ε atau δ−a<x<δ+a maka
l−ε<f ( x )<l+ε
1.2 Menentukan Limit Fungs Aljabar yang Berbentuk limx→a
f ( x )
a) Metode Substitusi
Hitunglah nilai limit fungsi dari limx→1
(2 x−5)
Jawab:
limx→1
(2x−5 )=2 (1 )−5=2−5=−3
b) Metode Pemfaktoran
Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang mempunyai bentuk tk tentu dapat
dilakukan dengan cara metode pemfaktoran. Misalkan limx→a
f (x)g(x )
= f (a)g(a)
=00 . Upayakan f(x)
dan g(x) memiliki faktor yang sama dan faktor yang sama itu adalah (x-a), sehingga:
limx→a
f ( x )g ( x )
=limx→a
( x−a ) . p (x )(x−a ) . q ( x )
= limx→a
p ( x )q ( x )
= p (a )q (a )
, dengan catatan q (a )≠0
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi dari limx→2
x2−4x−2
Jawab:
limx→2
x2−4x−2
=limx→2
(x−2)(x+2)(x−2)
¿ limx→2
( x−2 )( x−2 )
(x+2)
¿ limx→2
1 (x+2)
¿ limx→2
(x+2 )=2+2=4
1.3 Menentukan Limit Fungsi Alajabar jika x→∞
a) Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Limit fungsi yang berbentuk limx→∞
f (x )g (x)dapat diselesaikan dengan cara membagi
bagian pembilang f(x) dan bagian peyebut g(x)dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x)
atau g(x).
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini:
limx→∞
4 x2−3 x+23 x2+5x−1
=limx→∞
4−2x+ 2x2
3+ 5x+ 1x2
¿ 4−0+03+0−0
=43
Jadi, limx→∞
4 x2−3 x+23 x2+5x−1
= 43
b) Mengalikan dengan Faktor Lawan
Limit fungsi yang berbentuk limx→∞
f (x )g (x)
{√ f ( x )−√ g (x ) } dapat diselsaikandengan cara
mengalikan dengan faktor lawan, yaitu {√ f ( x )+√g ( x ) }{√ f ( x )+√g ( x ) }
`
Contoh:
Hitunglah limit fungsi berikut limx→∞
{√2 x−1−√3 x+5 }
Jawab:
limx→∞
{√2 x−1−√3 x+5 }=limx→∞
{√2 x−1−√3 x+5 }×(√2x−1+√3 x+5√2x−1+√3 x+5 )
¿ limx→∞
(√2x−1 )2−(√3 x+5 )2
√2 x−1−√3 x+5
¿ limx→∞
(2 x−1 )− (3x+5 )√2 x−1−√3 x+5
¿ limx→∞
−x−2√2 x−1−√3 x+5
=−∞
1.4 Teorema Limit
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di a, maka:
1. limx→a
k=k
2. limx→a
x=a
3. limx→a
k . f ( x )=k limx→a
f ( x )
4. limx→a
{f ( x )+g (x ) }=limx→a
f ( x )+ limx→a
g ( x )
5. limx→a
{f ( x )−g ( x ) }=limx→a
f ( x )−limx→a
g (x )
6. limx→a
{f ( x ) . g(x )}={limx→a f (x)}.{limx→a g (x)}
7. limx→a
f (x)g(x )
=limx→a
f (x )
limx→a
g(x) dengan catatn lim
x→ag (x)≠0
8. limx→a
{f (x )}n={limx→a f (x)}n
limx→a
n√ f (x )=n√ limx→a
f (x), untuk n genap haruslah f(x) ≥ 0