SERII DE TIMP
Facultatea de CSIE, Specializarea Informatică Economică
Cursuri 5 ianuarie 2011
Conf.univ.dr. Cristina BOBOC
Introducere
Timpul este o coordonată esenţială a existenţei umane.
Realitatea economică şi socială se localizează în timp şi spaţiu.
În general, fenomenele economice nu au caracter static, manifestându-se în cadrul unei evoluţii temporale.
Definţie O serie de timp reprezintă o mulţime de observaţii (Yt)t[0,T]
efectuate la diferite momente de timp asupra unei variabile aleatoare Y.
Staționaritate
Definiţia 3. O serie este staţionară în medie dacă:
Definiţia 4. O serie de timp este staţionară în sens larg dacă:
Media seriei (Yt)t este constantă pe orice perioadă de timp;
Matricea de corelaţie a vectorului aleator nu depinde de .
( ) , [0, ]tE Y t T
),...,,(21 nttt YYY
Staționaritate
Definiţia 5. O serie de timp care prezintă o anumită tendinţă de evoluţie se numeşte nestaţionară.
Cum recunoaştem o serie staţionară?
Analiza grafică
Evoluţia funcţiei de autocorelaţie(ACF) şi autocorelaţie parţială(PACF)
Testul Dickey-Fuller
Serii nestaţionare cu trend liniar
Analiza grafică
Indicele BET al Bursei de Valori Bucureştiîn perioada 1997-2006: 2304 observaţii zilnice
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
9/1
9/1
997
9/1
9/1
998
9/1
9/1
999
9/1
9/2
000
9/1
9/2
001
9/1
9/2
002
9/1
9/2
003
9/1
9/2
004
9/1
9/2
005
9/1
9/2
006
Funcţia de autocorelaţie-ACF
Măsoară corelaţia între valorile seriei la diverse distanţe temporale.
Graficul funcţiei de autocorelaţie pentru diverse lag-uri k se numeşte corelogramă.
Observații: Seriile nestaţionare au ACF care converge “încet” spre zero
În general, se consideră că dacă după 5 paşi valoarea ACF este mai mare decât 0.7, atunci seria este nestaţionară.
Seriile staţionare au ACF care converg rapid spre zero.
22
),(
)(
))(()(
Y
ktt
t
ktt
Y
YYCov
YY
YYYYk
Funcţia de autocorelaţie-ACF
În practică procedăm la estimarea funcţiei de autocorelaţie utilizând un eşantion de n valori. Ca urmare, se obţin coeficienţii de autocorelaţie, rk, pentru n valori, iar relaţia generală de calcul devine :
n
t
t
kn
t
ktt
k
yy
yyyy
r
1
2
1
)(
))((
Pentru k = 1, obţinem:
n
tt
n
ttt
yy
yyyy
r
1
2
1
11
1
)(
))((
Pentru k = 2, obţinem:
n
tt
n
ttt
yy
yyyy
r
1
2
2
12
2
)(
))((
Testul Bartlett
Verificarea semnificaţiei coeficienţilor de autocorelaţie se poate realiza cu ajutorul
testului Bartlett care se bazează pe ideea că, în cazul în care seria cronologică este
pur aleatoare, coeficienţii (estimaţi) de autocorelaţie r1, r2,… , rk sunt aproximativ normal
distribuiţi, de medie zero şi de dispersie .
Ca urmare, dacă avem în vedere repartiţia normală redusă (standard), putem stabili
intervalul de încredere în care se încadrează rk (K = 1, 2, .. k) cu o probabilitate P =
0,95, astfel –1,96 rk 1,96 , unde: .
În cazul în care estimaţiile, rk, se încadrează în intervalul menţionat ipoteza nulă, k = 0,
este confirmată. În caz contrar, rk se situează în afara intervalului, ipoteza nulă este
infirmată, ceea ce înseamnă că valoarea lui k diferă semnificativ de zero.
n
12
n
1
Testul Q (Box-Pierce)
G. P. Box şi D. A. Pierce au propus testul Q (Box-Pierce) privind ipoteza simultaneităţii
nesemnificaţiei tuturor coeficienţilor de autocorelaţie, H0: ρ1= ρ2=…= ρk=0, definind
astfel variabila:
care urmează asimptotic distribuţia χ2α;v cu v =m grade de libertate.
Dacă Q > χ2;m ipoteza nulă este infirmată, în sensul că cel puţin unul dintre coeficienţii k
diferă semnificativ de zero, iar dacă Q < χ2;m seria este considerată staţionară.
m
kkrnQ
1
2
Testul Ljung-Box (LB)
O variantă a testului anterior este testul Ljung-Box (LB), pentru care a fost
definită variabila:
Testul LB este recomandat în cazul în care eşantionul de date este redus
(n<30).
Dacă LB > χ2;m , ipoteza nulă este infirmată, nu toţi coeficienţii k = 0, spre
deosebire de LB< χ2;m , caz în care H0 este confirmată, coeficienţii de
autocorelaţie fiind nesemnificativi.
2
;
1
2
)2( m
m
k
k
kn
rnnLB
Testul rădăcinii unităţii (UNIT ROOT – TEST)
Pentru a alege între seria de tip TSP şi seria de tip DSP, sau între seria CI(1) şi seria
CI(2) se aplică testul rădăcinii unităţii (UNIT ROOT – TEST), bazat pe modelul:
yt = ρ yt-1 + ut
variabila „ut” fiind neautocorelată, de medie zero şi dispersie constantă şi este
cunoscută sub numele de zgomot alb (“white noise”).
Dacă ρ=1→ yt = yt-1 + ut,, ne aflăm în prezenţa unei rădăcini unitare, variabila
stochastică yt fiind rezultatul unui mers la întâmplare (“random walk”), rezultă că
seria nu este staţionară, fiind de tip DSP;
Dacă ρ>1, atunci seria este explozivă (tot nestaţionară, dar de regulă, astfel de
comportament nu este regăsit în economie);
Dacă |ρ|<1, atunci seria este staţionară.
Exemplu
Corelograma pentru Indicele BET
Funcţia de autocorelaţie parţială-PACF
Măsoară corelaţia între Yt şi Yt-k fără a ţine cont de corelaţiile dintre Yt şi Yt-1,Yt-2....
Fie şi
Se defineşte funcţia de autocorelaţie parţială între Yt şi Yt-k :
cu
Proprietate (demonstraţie folosind teorema Frisch şi Waugh): Coeficientulde autocorelaţie parţială de ordin k este egal cu valoarea parametruluivariabilei Yt-k din modelul liniar de regresie :
1
1
0ˆ
k
i
itit YaaY
1
1
0ˆ
k
i
itikt YbbY
)ˆvar()ˆvar(
)ˆ,ˆcov()(
ktkttt
ktkttt
YYYY
YYYYkPACF
1,1: ZPACF
k
i
itit YaY
1
ˆ
Procedee de staţionarizare
Cum inducem staţionaritatea în medie?
Prin diferenţe de ordinul I sau II: D(Y)= Yt - Yt-1
Prin diferenţiere sezonieră De exemplu dacă ACF la lagul 12 tinde foarte greu la 0, avem o sezonalitate de
ordinul 12 şi vom calcula diferenţe de ordinul 12: Yt – Yt-12
Cum inducem staţionaritatea în dispersie?
Dacă dispersia seriei iniţiale nu este constantă, atunci seria se logaritmează.
Dacă şi după logaritmare există un trend în date, se iau diferenţe de ordinul I:
Atenţie: NU se logaritmează după ce s-au efectuat diferenţe de ordinul I:
)ln( tY
1lnlnln ttt YYY
)ln( ! 1 tt YYNU
Serii integrate
În literatura econometrică de dată mai recentă întâlnim serii cronologice caracterizate prin termeni ca:
SERIE INTEGRATĂ – acea serie nestaţionară care poate fi transformată într-o serie
staţionară prin calculul diferenţelor de ordinul întâi (serie integrată de ordinul întâi –
I(1) ), adică: , iar dacă tendinţa nu a fost eliminată în
totalitate, se procedează la calculul diferenţelor de ordinul doi (serie integrată de
ordinul doi – I(2)), respectiv etc. Seria la care se ajunge
în final, întrucât nu mai include tendinţă, fiind deci staţionară, este considerată serie
integrată de ordinul zero –I(0).
1)1(1
tttt yyyy
1)2(1
tttt yyyy
Serii cointegrate
SERII COINTEGRATE – sunt considerate acele serii cronologice care, integrate fiind
de acelaşi ordin, admit o combinaţie liniară care este integrată de ordin zero sau, în
orice caz, este integrată de ordin mai mic decât ordinul de integrare a seriilor iniţiale.
Astfel, în cazul a două serii, xt , yt , fiecare fiind integrată de ordinul întâi, dacă există
o combinaţie liniară „z” care poate rezulta astfel: zt = yt + xt sau zt = yt-xt sau, mai
frecvent, zt = yt - (a0+a1xt), care este integrată de ordinul zero, afirmăm că cele două
serii sunt cointegrate de ordinul întâi. Aşadar, dacă ytI(1) , xtI(1) şi ztI(0)
afirmăm că xt ,yt CI(1;1). Astfel de serii sunt caracterizate ca fiind într-o relaţie de
echilibru pe termen lung.
Pentru a încadra o serie cronologică într-una dintre categoriile menţionate, se
apelează la reprezentări prin tabele, grafice (cronograme, corelograme) dar mai ales
la testele statistice.
Exemplu de serie nestaţionară
-600
-400
-200
0
200
400
600
500 1000 1500 2000
Indicele BET-diferente de ordinul I
1 ttt YYYDiferenţe de ordinul I:
Exemplu de serie nestaţionară
-.16
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
500 1000 1500 2000
Diferente de ordinul I ale logaritmului seriei
Seria logaritmată şi diferenţiată: 1lnlnln ttt YYY
Zgomot albWN(0,2)
Zgomotul alb, WN(0,2) este este cel mai simplu model staţionar pur aleator
Xt= t
unde termenul eroare, t, este presupus a avea următoarele proprietăţi:
E(t) = 0; Var(t) = 2
Cov(t, t-k) = 0, k0
Cov(t, yt-k) = 0, k>0
Funcţia de autocorelaţie a acestui model este:
0h 1
0h 0h
Model Autoregresiv de ordin pAR(p)
Un Model Autoregresiv de ordin p, AR(p) este un model în care valoarea curentă este influenţată de valorile anterioare
şi de perturbaţii aleatoare independente
o serie staţionară ce satisface relaţia:
yt= + 1yt-1+ ... + pyt-p + t
sau
(B)yt = + t
unde: 1, 2, ..., p – parametrii
(B) = 1 - 1B - ... - pBp
- termenul constant
t - WN(0,2), numite adesea inovaţii
Exemplu: Reprezentarea numărului şomerilor
numărul total al şomerilor în luna t este Yt şi o proporţie 1- dintre
şomerii fiecărei luni găsesc de lucru înaintea lunii următoare:
Yt= Yt-1+ t
unde t este numărul noilor şomeri ai lunii t
dacă E(Yt)=:
Yt- = (Yt-1 - ) + - + t
Xt = Xt-1 + t
Model Medie Mobilă de ordin qMA(q)
Un Model Medie Mobilă de ordin q, MA(q) este:
O serie economică influențată de factori economici, nu toţi acţionând
imediat
răspunsul unui instrument de măsură cu inerţie: valoarea la fiecare moment
este o medie a celor mai recente influenţe
proces staţionar definit de:
yt= + t - 1t-1 - ... - qt-q
sau
yt = + (B) t
unde: 1, ..., q sunt coeficienţi de medie mobilă
(B) = 1 - 1B - ... - qBq
- termenul constant
t - WN(0,2)
Model ARMA(p,q) şi ARIMA(p,d,q)
Un model ARMA(p,q) este:
o combinaţie a modelelor AR şi MA;
un proces staţionar ce satisface relaţia:
yt = + 1yt-1+ ... + pyt-p + t - 1t-1 - ... - qt-q
sau
(B)yt = + (B) t
unde: - (B) = 1 - 1B - ... - pBp
- (B) = 1 - 1B - ... - qBq
Un model ARIMA(p,d,q) este:
un proces ce satisface relaţia:
(B)wt = + (B) t
unde: wt=dyt serie staţionară obţinută prin diferenţierea de ordin d a seriei yt
Modele ARIMA(p,d,q) - Exemple
AR(1): yt= + 1yt-1 + t
AR(2): yt= + 1yt-1 + 2yt-2 + t
MA(1): yt= + t - 1t-1
MA(2): yt= + t - 1t-1 - 2t-2
ARMA(1,1): yt = + 1yt-1 + t - 1t-1
ARMA(2,1): yt = + 1yt-1 + 2yt-2 + t - 1t-1
ARMA(1,2): yt = + 1yt-1 + t - 1t-1 - 2t-2
ARIMA(1,1,1): yt – yt-1 = + 1 (yt-1 - yt-2 ) + t - 1t-1