TEMA 2
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
EXPERIMENTOS: EJEMPLOS
Deterministas
•Calentar agua a 100ºC
•Soltar objeto
Aleatorios
•Lanzar un dado
•Resultado fútbol
•Respuesta en una encuesta
puntos
quinielavapor
cae
Sí/No
EXPERIMENTO ALEATORIO
•Los experimentos determinísticos son modelizados mediante ecuaciones que ponen en relación la respuesta con las variables causales
•Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado.
•El desconocimiento de las causas que provocan una respuesta tiene como consecuencia que sea más fácil modelizar un experimento como aleatorio.
ESPACIO MUESTRAL
Aunque no se conozca el resultado particular de un experimento aleatorio, sí es posible conocer el conjunto de todos los posiblesresultados.
ESPACIO MUESTRAL
Ω
ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral es un conjunto no vacío que puede ser:
Finito numerableLanzamiento de un dado: Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito numerableContar el número de lanzamientos de un dado hasta que salga cara por primera vez: Ω=1, 2, ....
Infinito no numerableEscoger al azar un punto en el intervalo unidad: Ω=[0,1]
SUCESOS
Un elemento cualquiera ω perteneciente a Ω se denomina suceso elemental
Un suceso es cualquier subconjunto A de Ω
Un suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es un elemento ωperteneciente a A
SUCESOS ALEATORIOS. EJEMPLOS
EJEMPLOS:
Dado:
A=“puntuación par”=2, 4, 6
B=“puntuación mayor que 5”=6
Número al azar en intervalo [0,1]:
A=“mayor que 0.5”=(0.5,1]
B=“racional”=Q ∩ [0,1 ]
SUCESOS ELEMENTALESY COMPUESTOS (II)
EJEMPLOS:
Dado:
A=“Obtener puntuación par”
B=“Obtener múltiplo de 3”
C=“Obtener múltiplo de 5”
Quiniela:A=“Empatar”
B=“No ganar en casa”
Elemental
Compuesto
C
A,BElemental
Compuesto
A
B
SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (I)
• Ω es el suceso seguro
• ∅ es el suceso imposible
SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (II)
Dado:
A=“Obtener puntuación menor que 7
B=“Obtener múltiplo de 7”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
Futbol:
A=“Algún equipo obtenga puntos”
B=“Ningún equipo obtenga puntos”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
OPERACIONES CON SUCESOS
Los sucesos son conjuntos y por lo tanto pueden ser manipulados con las operaciones:UNIÓN
Ocurre el suceso A o el B: A ∪ B
INTERSECCIÓNOcurren los sucesos A y B: A ∩ B
COMPLEMENTARIONo ocurre el suceso A: Ac
UNIÓNA∪B=B∪A(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪Ac=WA∪∅=A
INTERSECCIÓNA∩B=B∩A(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)A∩Ac=∅A∩∅=∅
A∪(B ∩ C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B ∩ C)=(A∪B)∩(A∪C)
OPERACIONES CON SUCESOS: PROPIEDADES
COMPLEMENTARIOWc =∅ ∅c = W (Ac)c=A
(A∪B)c=Ac ∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc
ÁLGEBRAS
ÁLGEBRAS. PROPIEDADES
ÁLGEBRAS. EJEMPLOS
s-ÁLGEBRAS
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN
La idea de probabilidad surge por la necesidad
de medir la incertidumbre o verosimilitud que
posee cada suceso asociado a un experimento
aleatorio.
DEFINICIÓN EMPÍRICA (I)
Interpretación frecuentista de la probabilidad
0
0,5
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
N
frec
uenc
ia
rela
tiva
EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos de una moneda y calculamos su frecuencia relativa
DEFINICIÓN EMPÍRICA (II)
Supongamos que se repite un experimento n veces y se observa que el suceso A ocurre k veces, entonces:
No es posible desarrollar una teoría coherentecon esta definición
PROPIEDADES DE LA DEFINICIÓN EMPÍRICA.
•La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
•La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa
•La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.
ESPACIOS DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES BÁSICAS
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEUna función de probabilidad es una aplicación, p, que a cada ωk le asigna un valor pk=p(ωk), tal que:
1. pk≥0
2. Σkpk=1
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Dada una función de probabilidad p sobre unespacio muestral Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEse define:
Entonces
es un espacio de probabilidad
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Si Ω=ω1, ω2,..., ωΝ es finito yp1=p2=...=pN=1/N
REGLA DE LAPLACE
TÉCNICAS PARA CONTAR.
Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son útiles los diagramas de árbol.
No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la característica que cumplen. A veces es muy útil la Combinatoria: permutaciones, variaciones,...
TÉCNICAS PARA CONTAR.
PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO
Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n personas haya al menos 2 con la misma fecha de cumpleaños.
0.9940.9700.8910.7060.4110.117p
605040302010n
Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507
PROBABILIDAD CONDICIONADA (I)
Probabilidad de un suceso, sabiendo que otro ha ocurrido.
Ejemplo: DadoSupongamos que sale un múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 3?
A=obtener el 3 B=múltiplo de 3
P(A|B)=1/2
Sin embargo: P(A)=1/6
PROBABILIDAD CONDICIONADA (II)
La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es
( )( / )( )
P A BP A BP B∩
=
La probabilidad de la intersección de sucesos es:
( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅
PROBABILIDAD CONDICIONADA. EJEMPLO
Sorteo no equitativo: En una clase de 27 alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta de fin de curso. Cada alumno tiene un número asignado.
•Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae una al azar.
•Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se realiza una extracción en dos pasos. En el primero se extraen una de las bolas 0, 1 y 2. En el segundo se extrae una de entre todas las bolas.
INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Dados dos sucesos A y B con probabilidades no nulas, decimos que son independientes si
( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =
En estos sucesos se puede calcular cómodamentela probabilidad de la intersección.
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅
INDEPENDENCIA DE SUCESOS. EJEMPLOS
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento de dos dados, obtengamos un 10.
INTERSECCIÓN DE MÁS DE DOS SUCESOS
• Sucesos no independientes:
1 2
1 2 1 2 1 1
( )( / ) ( / ) ( )
n
n n
P A A AP A A A A P A A P A−
∩ ∩ ∩ == ∩ ∩ ∩ ⋅ ⋅ ⋅
…… …
Regla de la multiplicación.
• Sucesos independientes:
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅… …
SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Los conjuntos A1, A2,... An forman un sistema completo de sucesos si
( )i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠
1 2 nA A A∪ ∪ ∪ = Ω…
Encuesta:A=“ningún hijo”B=“un hijo”C=“dos hijos”D=“más de dos hijos”
Los sucesos A, B, C y D
forman un sistema
completo de sucesos
PROBABILIDAD TOTAL (I)
Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An la probabilidad de un suceso S es
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= ⋅ + ⋅ + + ⋅…
PROBABILIDAD TOTAL (II)
Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas es superior a 1.80 metros. Además el 60% de estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de coger a un estudiante de altura superior a 1.80 metros.
P(S|M)=0.01P(S|H)=0.04P(M)=0.6
S=“altura superior a 1.80”M=“ser mujer”H=“ser hombre”
P(S)=P(S|M)P(M)+P(S|H)P(H)=0.022
TEOREMA DE BAYES (I)
Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera S con probabilidad no nula
1
( ) ( / ) ( )( / )( ) ( / ) ( )
i i ii n
j jj
P A S P S A P AP A SP S P S A P A
=
∩ ⋅= =
⋅∑
con P(Ai) la probabilidad a priori de Ai y P(Ai|S) la probabilidad a posteriori de Ai.
TEOREMA DE BAYES (II)
En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que el estudiante escogido fuera mujer sabiendo que medía más de 1.80.
( / ) ( ) 3( / ) 0.27( ) 11
P S M P MP M SP S
⋅= = =
TEOREMA DE BAYES (III)
Ejemplo • Se administra una prueba para detectar
usuarios de drogas.• Prevalencia en la población: 3%• Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad)• Cuando se administra a alguien que no la usa,
da negativa en el 98% de los casos (especificidad).
• La prueba dio positiva, ¿cuál es la probabilidad de que la persona use drogas?
TEOREMA DE BAYES (IV)
• P( Usa) = .03• P( Prueba + | Usa) = .95• P( Prueba - | No usa) = .98
Queremos saber P( Usa | Prueba +)
TEOREMA DE BAYES (V)
Selecciono una persona
Usa
.03
No Usa
.97
.95
Prueba +
.02
Prueba +
.05
Prueba -
.98
Prueba -
Si estoy aquí o aquí, ¿cuál es la probabilidad de haber pasado por aquí?
Diagrama de árbol
TEOREMA DE BAYES (VI)
++ = =
++
=+ + +⋅
=⋅ + ⋅
ii i
( Pr )( /Pr )
(Pr )(Pr / ) ( )
(Pr / ) ( ) (Pr / ) ( )0.03 0.95
0.03 0.95 0.97 0.02
P Usa y uebaP Usa ueba
P uebaP ueba Usa P Usa
P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Usa