PRUEBAS ESTADÍSTICA. (PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE).
En la construcción del modelo de simulación es importante decidir si un conjunto
de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad.
Al probar la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan las
frecuencias observadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase con
las frecuencias esperadas teóricamente FE.
La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar
la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en
tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un
nivel de significancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos esta prueba para
probar la hipótesis nula de que los números aleatorios (provenientes de un
generador) se ajustan a la distribución teórica uniforme continua.
Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,......., xn Se propone la
hipótesis nula H0, de que la distribución de donde proviene la muestra se
comporta según un modelo teórico específico tal como la uniforme, la exponencial,
la normal, etc. Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor xi
mientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por el modelo teórico
propuesto. A menudo ocurre que muchas de las frecuencias FEi, (y también las
FOi) son muy pequeñas, entonces, como regla práctica adoptamos el criterio de
agrupar los valores consecutivos de estas frecuencias esperadas hasta que su
suma sea de al menos cinco. La medida estadística de prueba para la hipótesis
nula es:
Para n grande este estadístico de prueba tiene una distribución X2 aproximada
con V grados de libertad dados por:
V = (k –1) – (número de parámetros estimados)
Así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, la medida
estadística tendrá (k – 3) grados de libertad. Se puede aplicar esta prueba a
variables continuas agrupando adecuadamente los valores en un número
adecuado de subintervalos o clases k. Una regla empírica para seleccionar el
número de clases es:
EJEMPLO. La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población
que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA.
Pruébese la hipótesis nula de que la variable aleatoria vida útil de las baterías
sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia
alpha de 5%.
SOLUCIÓN. Calculamos los valores min = 0.023 y max = 8.223. Resultando ser el
rango o recorrido igual a 8.2. El valor promedio es de 2.3. A continuación
ordenamos los valores de manera ascendente y construimos el histograma de
frecuencias relativas con seis clases cada una de longitud 1.5. (Esto es debido a
que 8.2 / 6 = 1.3)
Re – agrupamos las clases de modo que la FO sea de al menos 5
Como nuestra hipótesis nula es que los datos se ajustan a la función de
probabilidad exponencial negativa, emplearemos tal función para calcular
mediante integración el porcentaje de probabilidad esperado para cada
subintervalo. Ya vimos que el valor promedio es de 2.3, sin embargo para fines
prácticos lo consideraremos como 2.0. El cálculo de la integral para la primer clase
es:
Entonces se tiene el valor:
Ahora compararemos este valor calculado contra el valor tabulado de la
distribución Ji – cuadrada con un nivel de significancia alpha de 5% y el número de
grados de libertad V = (k –1) – 1 = (4 –1) –1 = 2. (Obsérvese que se estimó el
parámetro promedio). Entonces
Como vemos el valor calculado es menor que el valor tabulado, por tanto la
conclusión es que no se puede rechazar la hipótesis nula de que la muestra
proviene de una distribución exponencial con media 2.0.
Prueba de Kolmogorov - SmirnovOtra prueba para la bondad de ajuste se apoya en la distribución de Kolmogorov –
Smirnov la que al ser desarrollada para variables continuas la hace más poderosa
por ejemplo, en el caso de los números aleatorios, que la Ji cuadrada. Por esta
razón, en esta sección la presentamos para un caso distinto al de la distribución
continua. Definamos la siguiente función de distribución empírica. Supóngase que
Y es una variable aleatoria continua que tiene una función de distribución F(y).
Una muestra aleatoria de n realizaciones de Y produce las observaciones y1,
y2, ..., yn. Reordenemos esos valores observados de menor a mayor, y las yi
ordenadas se representan mediante y(1) y(2) ..., y(n). Es decir, si y1 = 7, y2 = 9 y
y3 = 3, entonces y(1) = 3, y(2) = 7 y y(3) = 9. Ahora bien, la función de distribución
acumulada empírica esta definida por: F n(y) = fracción de la muestra menor o
igual a y Supóngase que se toma una variable aleatoria continua Y, bajo la
hipótesis nula, que tiene una función de distribución representada por F (y). La
hipótesis alterna es que F (y) no es la función verdadera de distribución de es la
función verdadera de distribución de Y. Después de observar una muestra
aleatoria de n valores de Y, F (y) debe estar “cerca“ de F n(y) siempre y cuando
sea verdadera la hipótesis nula. Por lo tanto, la medida estadística debe apreciar
la cercanía de F(y) a Fn(y) en todo el intervalo de valores de y. La medida
estadística D de K-S se basa en la distancia máxima entre F(y) y Fn(y), es decir, D
= máx ¦ F(y) - Fn(y) ¦
Se rechaza la hipótesis nula si D es “demasiado grande”. Como F(y) y Fn(y) no
son decrecientes y Fn(y) es constante entre observaciones de muestra, la
desviación máxima entre F(y) y Fn(y), se presentará ya sea en uno de los puntos
de observación y1 , ... yn , o inmediatamente a la izquierda de uno de ellos. Para
determinar el valor observado de D, se necesita entonces comprobar tan sólo.
Si en H0 se supone la forma de F (y), pero se deja sin especificar algunos de los
parámetros, entonces éstos se deben estimar a parir de los datos de la muestra
antes de poder llevar a cabo la prueba. Stephens (1974) dio valores de corte de
áreas superiores de 0.15, 0.10, 0.05, 0.025 y 0.01 para una forma modificada de la
tabla K – S para D (presentada en el apéndice de este libro), los cuales se
muestran en la siguiente tabla para tres casos. Estos casos son para la hipótesis
nula de una F(y) completamente especificada, una F(y) normal con promedio y
variancia desconocidos, y una F(y) exponencial con promedio desconocido.
TABLA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV DE STEPHENS. Puntos porcentuales
del extremo superior para D modificada.
EJEMPLO. Considérese que las diez observaciones siguientes son una muestra
aleatoria de una distribución continua. Probar la hipótesis de que esos datos
provienen de una distribución exponencial con promedio 2, en el nivel de
significación 0.05. 0.406, 2.343, 0.538, 5.088, 5.587, 2.563, 0.023, 3.334, 3.491,
1.267. Solución. Se ordenan las diez observaciones ascendentemente y entonces
se calcula, para cada y(i), el valor de F(yi), donde H0 establece que F (y) es
exponencial con teta=2. Por tanto, F(yi) = 1 - e-yi/2 Registraremos los datos
ordenados así como los cálculos en la siguiente
TABLA
D+ es el valor máximo en la columna 6 y D- el máximo en la columna 7. Entonces
D + = 0.0886 y D – = 0.2901, lo cual da D = 0.2901. Para determinar el valor crítico
a partir de la tabla K - S, se necesita calcular.