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9/5/2015 ReconociendoConicasySCuadraticas.nb

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|CarlosArrceS|RevistaDigitalMatemtica,EducacineInternet|

ReconociendoCnicasySuperficiesCuadrticas

CarlosL.ArceS.EscueladeMatemtica

UniversidaddeCostaRica

Estematerialestdirigidoaestudiantesquehanllevadounprimercursodelgebralinealydesarrollaroneltemadediagonalizacinortogonaldematricesdiagonales.Antesdeintentarejecutaralgunasrdenes,deberevisarlaltimaseccin"Preparacinderecursos",dondeseexplicacomoconfigurarelambientedeMathematicaparaquedichoscomandosoperencorrectamente.

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11.1Cnicas

Loscrculos,elipses,parbolasehiprbolassoncurvasplanas,conocidasconelnombredecnicasdebidoaquesepuedenvisualizarcomolacurvainterseccinentreunconoyunplano.

Elcasodelaelipse:

Unahiprbola:

Ylaparbola:
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ElsiguientecomandoproduceunAppletparavisualizarmejorelltimogrfico.

Enestaseccinsedarlaformacannicadesusecuacionesyunaformaestndardeparametrizarlasafindetrazarsugrfico.

11.1.1Parbolas

Lasecuacionescannicasparalasparbolastienenlaforma: o

donde eselvrticedelaparbola.Elsiguientegrficoilustraunaparbolaconecuacindelprimertipo,paralaquesesuponeque .

LospuntosdelaparbolasonequidistantesaunpuntoFllamadofocoyunarectaLllamadadirectriz.Elfocoesdadopor o paraparbolas

conecuacindelsegundotipo.Ylaecuacindelarectadirectrizes: y respectivamente.

Apartirdelasecuacionescannicas,unaposibleparametrizacinesdada,respectivamente,por:

dondeelparmetro varaen.Sinembargo,observeenelsiguienteejemplo,quelaparametrizacinpuededarsesinobtenerlaformacannica.

Ejemplo

Paralaparbola ,unaparametrizacinclaraes:

.

Aunqueparaparametrizarlaparbolanoesnecesarioobtenerlaformacannicadesuecuacin,msadelantesernecesariohacerloafindereconocersuvrticeydirectriz.Porelloserecuerdaelprocedimientoparahacerlo:



Observequeenestecasoesmssencillousarlaecuacinanterioraladelaformacannica,paraproponerotraparametrizacin:

11.1.2Elipses

Laselipsessoncurvasplanasconecuacionesenlaformacannica:

,

donde eselcentrodelaelipsey , susdimetros.

UnaelipseeselconjuntodepuntosPdelplanotalesquelasumadelasdistanciasdePadospuntosfijos,llamadosfocos y ,esconstanteeiguala (o si ).

Si entonces ylosfocossonpuntos(hc,k)y(h+c,k).

Ysi,comoseilustraelelsiguientegrfico,b>a,entonces ylosfocosson:(h,kc)y(h,k+c).

Enamboscasoslarectaquecontienelosfocossedenominaejemayorylaqueesperpendicularaesteycontieneelcentrosellamaejemenor.Observeademsquelaelipseestinscritaenunrectnguloconcentro(h,k)ycuyosladoshorizontalesmiden ylosverticales .



Estascurvaspuedenserparametrizadascomo:

,

parasertrazadasusandoelcomandoParametricPlot,comosemuestraenelsiguienteejemplo.

Ejemplo3.6

Trazarlaelipsedeecuacin:

.

Parametrizacin: .

11.1.3Hiprbolas

Lashiprbolastienenecuacionesenlaformacannica:

,

.

Elsiguientegrficomuestraunhiprbolaconecuacindelprimertipo.

Lospuntosdelashiprbolassecaracterizanporquelarestadesusdistanciasalosfocosesconstanteeiguala (o ,sisondelaforma

).

Observequeenamboscasos ,perolosfocosson:

enelprimercaso,lospuntos: y

yenelsegundo y .

Porotraparte,lasecuacionesvectorialesdelasrectasasntotason: y .



Parametrizacin

Laecuacindeunahiprbola ,puedeescribirsetambincomo:

,

entonces:

, y

,

sonparametrizacionesparacadaunadelasramasdelahiprbola.

Similarmente,cuandoecuacindelahiprbolaesdelaforma ,lasparametrizacionesson:

, .

Ejemplo:dadoquelaecuacindelahiprbola ,puedeescribirsetambincomo:

,

entonces , y ,

sonparametrizacionesparacadaunadesusramas.

Otraparametrizacin

Ejemplo:laelipse separametrizapor:

Ejemplo

Dosaspectosdebenreconocersedelanteriorgrfico:a)lasrectasasntotasenestegrfico,aunquenosonpartedelacurva,seobtuvieroncomosifueranpartedeesta,esdecir,sonel

resultadodeunirdospuntosconsecutivosdelacurva.b)cuando lospuntos(2Sec[]1,Tan[]+2),describenunaramacompletadelaelipse,estoesde(+,

)a(+,+).Naturalmente,enestecasoMathematicaautomticamente,eligeunrangoapropiadodevariacinparalascoordenadasenXyenelejeY,delospuntosdelacurva.

11.2Reconocimientodecnicas

Elconjuntodepuntos quesatisfaceunaecuacincuadrticaendosvariables:

,(*)

corresponde,salvocasosespeciales,aalgunadelascnicasvistas.



Enestaseccinnosproponemosidentificarlacnicacorrespondientealospuntosquesatisfacenunaecuacindadadelaforma(*).Paraestepropsitosebuscatransformarlaecuacinhastaobtenerunadelassiguientesformascannicas:

Parbolas: o ,

Elipses: ,

Hiprbolas: ,

Observequeningunadelasecuacionescannicasanterioresincluyeunsumandoconelproducto ,conocidocomo"trminocruzado".Cuandolaecuacin(*)noincluyeeltrmino

bastaaplicarlatcnicade"completarcuadrados"yhaceralgunasotrasoperacionesalgebraicasparatransformarlaenunadelasformascannicas.

Perosi(*)incluyeeltrmino entoncesprimeroserequiereefectuaruncambiodevariableapropiadoparaeliminarloyluegoprocedercomoenelcasoanterior.

Cambiodevariableparaeliminareltrminocruzado

Laestrategiaparadefinirelcambiodevariableapropiadoseapoyaenlassiguientesobservaciones:

Laecuacin(*)puedeserescritaenlaforma: (**)

donde , y .

Estoporque,efectuandolasoperaciones,

,

.

Silamatriz esdiagonal,esdecirsi ,entonceslaecuacin(*)noincluyeeltrminocruzado .

Luegolaestrategiaapuntaatransformarlamatriz delaecuacin(**)enunadiagonal.Yparaesto,dadoqueAessimtricaesconocidoqueexisteunamatrizortogonal yuna

diagonal talesque:

conlocualseobtiene:

donde ,conlocualademssetieneque y .

Aselcambiodevariableapropiadoes ,donde esunamatrizortogonalcuyascolumnassonunabaseortonormalpara devectorespropiosdeA.

Lainterprestacindeestecambiodevariableseverconelsiguienteejemplo,endondeseretomatodoelprocesoanterior.

Ejemplo

Ejemplo:identifiqueytracelacurvacorrespondientealaecuacin:

.

Dlosvectoresquegeneranlosejesprincipaleseinterpreteelcambiodevariable.

Solucin:primerosedeterminaelcambiodevariableapropiadoparaeliminareltrmino"cruzado" .

Lamatrizsimtrica,A,asociadaalaformacuadrticaenlaecuacinyelvectorBdecoeficienteslineales,enestecaso,son:

RecuerdequeentrminosdeAyB,laecuacinseescribecomo:

as: ,conX= .

Verificacin:



Apartirdelaecuacinexpresadaenlaforma:

,conX= yAyBcomofuerondadasarriba,

haciendo ,setransformaen:

= 11

= 11

= 11

conelcambiodevariable: oequivalentemente .YcomoDesunamatrizdiagonal,laltimaecuacinnoincluyetrminos"cruzados".

DiagonalizacinortogonaldelamatrizA: .

LuegolasmatricesPyD(identificadaconDg)son:

Verificacindelarelacin :

Continuandoconlatransformacindelaecuacin,conelcambiodevariable: ,oequivalentemente ,

donde yD= ,sehaobtenidoque:

= 11

osea:

Yefectuandoestasoperaciones:

Entoncesfinalmentesetieneque:



= 11

= 11

= 11

= 36

= 1.

Ylacnicacorrespondienteesunelipsecentradaen(2,1).

Construccindelgrficodelacurva.Delaecuacin

= 1

,seobtienelasiguienteparametrizacindelospuntosdelacurva:

,

,cont[0,2].

Estoentrminosdelasnuevasvariables y seobtieneelsiguientegrfico.

Interpretacindelcambiodevariable :

Si soncoordenadasenlabasecannica,entonces

esuncambiodevariablequetransformacoordenadascannicas, y ,encoordendas y ,enlabasedeterminadaporlascolumnasdeP,asaber:

.

Estopuedereconocersedadoque:

=

= ,

esdecir, eselvectordecoordenadasde enlabase.

Ascomo soncoordenadasdelospuntosdelacurvaenlabase,entonces

=

sonlascoordenadasdelosmismospuntos,peroenlabasecannica.Deestamaneraenelsiguientecomando,laorden



,

produceunaparametrizacindelospuntosdelacurva,entrminosdelascoordenadascannicasovariablesoriginales.

Acontinuacinseagreganalgrfico,losejesgeneradosporlabasedevectorespropiosdeA,oejesprincipales.

.

Estosvectoresdeterminanlosejesdelsistemadecoordenadas y .

Finalmenteseagreganpuntossobrelosejesprincipales,parasealarlascoordenadascorrespondientesa3,2,1,0,1,2,3,4,5eneleje y7,6,1,1,2,,6eneleje .

11.3Superficiescuadrticas

Lasecuacionespolinomialesdesegundogrado,entresvariables,danorigenaunconjuntodesuperficiesconocidascomosuperficiescuadrticasocudricas.Acontinuacinsehaceunresumendelasformascannicasdeestasecuacionesydealgunasalternativasdeparametrizacinquepermitirnconstruirloscorrespondientesgrficos.

Estasecuacionescannicassehandadosuponiendoquesoncentradasenelpunto(0,0,0),porejemplo

,

yconsiderandoquesisucentroes laecuacinadquierelaforma:

.



11.3.1Paraboloideselpticosehiperblicos

Otraposibleformadeparametrizarlasuperficie: esconsiderarlacomo: yusarlaexperienciaconocidapara

parametrizarlaselipses:

,cont[0,2]y .

Ejemplo:

11.3.2Elipsoides

Estassuperficiestienenecuacionesdelaforma:

,

ypuedenserparametrizadasdevariasmanerasreconociendoquex=arcos(t),y=brsen(t),cont[0,2],esunaparametrizacinparalaelipsedeecuacin:

.

Escribiendolaecuacincomo:

,

seobtienelasiguienteparametrizacinparaestasuperficie:



Sinembargo,silaecuacindelasuperficieseexpresacomo: ,sededucelasiguienteparametrizacin:

Observeelcambioobtenidoeneltrazodelelipsoide.

11.3.3Hiperboloides

Naturalmente,paraloshiperboloidesdeunmanto,eltrminonegativopuedecorrespondertambinconlasvariablesxozyesteindicaelejesobreelqueabreelhiperboloide.Similarsituacinsetieneparaloshiperboloidesdedosmantos,enrelacinasutrminopositivo.



Lasdossuperficiespuedensertrazadassimultneamente,conunsolocomandoParametricPlot3D,siseescribeenlasegundaparametrizacin ,envezde ,segnse

muestraacontinuacin:

11.3.4Conos

11.4Reconocimientodelassuperficiescuadrticas



Lasecuacionescuadrticasentresvariables:

(*)

describensuperficiesconocidascomosuperficiescuadrticas,salvoalgunoscasosespeciales.Comoendosvariables,paraidentificarlasuperficiecorrespondienteaunaecuacindelaforma(*),serequieretransformarlaaunadelasformascannicas:

Paraboloideselpticosehiperblicos: ,

Elipsoides: ,

Hiperboloidesdeunoodosmantos:

, ,

Conos: .

Esteprocesocomienza"eliminando"lostrminoscruzados: , y ,conunprocedimientototalmentesimilaralvistoparaelcasodelascnicas.

11.4.1Cambiodevariableparaeliminartrminoscruzados

Laexpresin:

esconocidacomoformacuadrticaypuedeescribirsematricialmentecomo:

=

=

donde y .

Adems,si ,laecuacinentresvariables(*)seescribe

(**)

con y comoyafuerondescritos.

SilamatrizAenlaecuacin(**)fueradiagonal,laecuacin(*)notendratrminoscruzados,yconalgunasoperacionesalgebraicassuecuacinsepuedereduciraunadelasformascannicas.Porotraparte,cuandonoesdiagonalpuededefinirseuncambiodevariablequelatransformaaunadiagonal,parasertratadacomoenelcasoanterior.Acontinuacinsemuestraesteproceso:

DadoqueAessimtricaesconocidoqueexisteunamatrizortogonal yunadiagonal talesque:

conlocualseescribelaecuacin(*)ysuequivalente(**),enlaforma:

donde ,conlocualademssetieneque y .

Aselcambiodevariablerequeridoes ,donde esunamatrizortogonalcuyascolumnassonunabaseortonormalpara devectorespropiosdeA.

11.4.2Ejemplo

Ejemplo:identifiqueytraceelgraficodelasuperficiecorrespondientealaecuacin:

Ydlosvectoresquegeneranlosejesprincipales.

Solucin:

Paso1:escrituramatricialdelaecuacin

LamatrizsimtricaA,asociadaalaformacuadrticayelvectorBdecoeficienteslineales,enestecaso,son:



ObservequeentrminosdeAyB,laecuacinseescribecomo:

Osea:

,donde ,

y .

Verificacin:

Paso2:Definicindelcambiodevariableparaeliminartrminoscruzados

Paraeliminarlostrminos"cruzados" , y ,secalculanlasmatrices ortogonaly talesque .

Yconelcambiodevariable: oequivalentemente setransformalaecuacinenlasiguienteforma:

= 30

= 30

= 30

YcomoDesunamatrizdiagonal,laltimaecuacinnoincluyetrminos"cruzados".

Paso3:Clculodelasmatrices y ,talesque .

Clculodelpolinomiocaractersticoasociadoa :

Luegolosvalorespropiosde son:=6y= .

Clculodeunabaseortonormaldevectorespropiosparaelespaciocaracterstico: .

Aslosvectorespropios y generan ,peronosonunabaseortonormaldeestesubespaciovectorial.Acontinuacinseaplicaelproceso

deGramSchmidtparaortonormalizarestabase.



Baseortonormalde : .

Clculodeunabaseortonormaldevectorespropiosparaelespaciocaracterstico: .

Baseortonormalde : .

LuegolasmatricesPyD(identificadaconDg)son:

Verificacindelarelacin :

Paso4:Reconocimientodelaecuacinenlasnuevasvariables:

Ascon , y

atravsdelcambiodevariable: o ,laecuacinoriginalsehabaexpresadoenlaforma:

= 30

donde .

Osea:

= 30

.Verificacindeclculos:

Paso5:Sebuscalaformacannicadelaecuacin

Entonces,completandocuadrados,finalmentesetiene:



= 30

= 30

= 30

= 36

= 1.

Lasuperficieesunhiperboloidedeunmantocentradaen(0,1,0).

Paso6:ParametrizacindelasuperficieyconstruccindesugrficoEscribiendolaecuacinltimaenlaforma:

=

,seobtienelasiguienteparametrizacindelospuntosdelasuperficie: ,

,

,

con yt[0,2].

11.4.3Interpretacindelcambiodevariable

Considerandoelejemploanterior,si eselvectordecoordenadasenlabasecannica,decualquierpuntodelasuperficiey

eslabaseortonormaldevectorespropiosdadaporlascolumnasdeP,entonces:



esdecir, .

Demaneraqueelcambiodevariable transformacoordenadascannicas, , y encoordendas , y enlabasedeterminadaporlascolumnasde

,denotadaarribacomo.Luegocomo y

soncoordenadasenlabasedeunpuntodelasuperficie(delhiperboloide),entonces

soncoordenadasenlabasecannicadelospuntosdelasuperficie,parametrizadasentrminosde y .Observeelresultadodeesteproductoyelgrficoresultante:

Acontinuacinseagreganalgrfico,enrojolosejesgeneradosporlabasedevectorespropiosdeA,oejesprincipalesyenazullosejesdelabasecannica.

.



Preparacinderecursos(Descargarrecursosynotebook)

Entrelassiguientestresbibliotecas,lasdosprimerassonrequeridas,paralaconstruccindegrficosqueinvolucranelusodecoloresapartirdesusnombreseningls,yflechasenelplano.Ylaterceraparatrazarcurvastipospline.LastresbibliotecaspertenecenalconjuntodebibliotecasestndardeMathematica.

In[1]:=

LasiguienteordenrequierehabercreadolacarpetaAlgebraLinealen:Archivosdeprograma/WolframResearch/Mathematica/4.2/AddOns/Applications/AlgebraLineal,yhabercopiadoelarchivoArrow3D.mendichacarpeta.EstohabilitaparausarloscomandosArrow3D,Vector3DyDescribeVector3D,paraconstuirflechasenelespacio.

In[4]:=

LardenesAppletViewer["Live",...]requierendelappletlive.jar.Paraprepararsuusoprimerosedebendarlassiguientesrdenes:

In[5]:=

Sinodisponedelarchivolive.jar,puedebajarlodesdewwwvis.informatik.unistuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/download.html.Debecopiarelarchivolive.jarenlacarpetaqueespecificaelsiguientecomando:

Alternativamente,sielappletlive.jarestenlacarpetadetrabajo,MathematicapuedeencontrarlocuandoejecutauncomandoAppletViewer["Live",...],sipreviamentehatrasmitidolasiguienteorden,cambiandoasusituacinparticularlarutadeldirectoriodetrabajo,naturalmente.

Eliminaalgunosmensajesinnecesarios

In[7]:=
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Finalmenteestedocumentoutilizalossiguientescuatroprocedimientos.

In[9]:=

Grficoparaelappletdelacnica

In[14]:=

In[15]:=



In[16]:=

Out[16]=

In[17]:=

In[18]:=



In[19]:=

Grficodelaparbola



Grficosdeelipses



Grficodehiprbola

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