Valter
SISTEMI DI REGOLAZIONE E CONTROLLO (II PARTE)
Questa presentazione descrive come costruire il modello matematico per il sistema massa – molla,
considera il sistema elettrico R-C, introduce la variabile s e indica la procedura per la costruzione
della funzione di trasferimento.
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Modello matematico
Insieme dei valori che può assumere la variabile di ingresso
Insieme dei valori che può assumere la variabile di uscita
f
f associa ad ogni valore dell'insieme input un valore dell'insieme output.Tale corrispondenza è espressa mediante una relazione matematica che
prende il nome di MODELLO MATEMATICOMODELLO MATEMATICO
INPUTINPUTOUTPUTOUTPUT
Valter
Modello matematico
individuare le grandezze fisiche coinvolte (input/output)
stabilire le leggi fisiche che regolano il processo
scrivere la relazione matematica
Costruiamo il modello matematico di un sistema in tre fasi:
INPUTINPUT OUTPUTOUTPUT
f
Output = f f (Input)
Valter
Sistema massa molla
come si muove la massa m quando è applicata la forza F?
In altre parole qual'è la relazione tra l'input F e l'output X?
Per rispondere dobbiamo definire il
modello matematico
mF
X
K
Valter
Sistema massa molla
input: Finput: F (la forza applicata)
output: Xoutput: X (la posizione assunta da m)
mF
X
K
Valter
La massa
Se applichiamo alla massa m una forza F la massa accelera. In termini matematici si dice
F= m aF= m a
mF
X
Valter
La molla
Tutti sappiamo che tanto più la forza F è grande tanto maggiore è la forza con la quale la molla reagisce. In termine matematici questo si dice così:
F= - K XF= - K X
FK
X
Valter
Sistema massa molla
mF
X
K
INPUTINPUT OUTPUTOUTPUT
fValori dellaForza FF
Valori dello
Spostamento XX
FF – K– KXX = m a = m af:
Valter
Sistema massa molla
Ricordiamo che l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento e scriviamo:
F – K X = m d2 X
FF – K– KXX = m a = m a
d t2
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Modello matematico del sistema massa molla
F – K X = m d2 Xd t2
Valter
Sistema R-C
Consideriamo il circuito elettrico composto da una resistenza elettrica R e un condensatore di capacità C, alimentato dalla tensione v(t) e attraversato dalla corrente i.
R
v(t)C
i(t)
Valter
Sistema R-C
Saltiamo tutte le fasi e scriviamo la relazione del modello matematico che lega la tensione v
alla corrente i.
R
v(t)C
i(t)
VV = R i + 1/C = R i + 1/C ∫∫ i dt i dt
Valter
Cosa abbiamo trovato
Però, quanto è difficile
risolvere queste
equazioni!?
R
v(t) C i(t)
VV = R i + 1/C = R i + 1/C ∫∫ i dt i dt
m
X
K
F – K X = m d2 X
d t2
Valter
Cosa vogliamo?
Cerchiamo una relazione che leghi in modo semplice l'input con l'output. Una relazione fatta così:
output = GG input
dove G G è una relazione semplice, ad esempio un polinomio o rapporto di polinomi
Valter
Come procediamo
Il modello matematico è complesso perché presenta integrali e
equazioni differenziali. Introduciamo l' operatore matematico
che li trasforma in polinomi:
∫∫00
tt f(t) dt f(t) dt
F(s)
s
d f(t) d t
S F(s)
Valter
Trasformata di Laplace
L'operatore esegue un azione complessa alla quale solamente accenniamo.
Trasforma funzioni a variabile reale (il tempo) in funzioni di variabile complessa (S: numero immaginario).
Sono definite regole per applicare la trasformata di Laplace ed esistono tabelle molto semplici per eseguire il passaggio nel dominio dei numeri complessi.
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Tabella dellaTrasformata di Lapalce
Dominio tempo Dominio s1 1/s
e-Kt 1/(s+K)sen ω t 1
s2+ω2
cos ω t ss2+ω2
δ 1
Valter
Applicazione
Applichiamo quanto visto sino ad ora al sistema massa molla quando è applicata una forza impulsiva
m
X
K
Valter
Procedura 1)Analisi del sistema da studiare
2)Definizione del modello matematico
3)Definizione della funzione di trasferimento G (s)
4)Trasformazione del segnale di input in s
5)Calcolo della risposta in s
6)Antitrasformazione della risposta nel tempo
Applichiamo la procedura al sistema massa molla. Possiamo partire dalla fase 3
Valter
Applicazione al sistema massa molla
F – K X = m d2 Xd t2
F(s) = ms2 x(s) + K x(s)
Dominio del tempoDominio del tempo Dominio di sDominio di s
Fase 3
Valter
La funzione di trasferimento del sistema massa molla
F(s) = ms2 x(s) + K x(s)
X = 1 F
ms2 + K
Output Output
input input
Funzione di trasferimento
Fase 3
Valter
La funzione di trasferimento
massa mollamF
X
K
G (s)G (s) = 1
ms2 + K
La funzione di trasferimento La funzione di trasferimento nel dominio di snel dominio di s
Fase 3
Valter
Applicazione al sistema massa molla
Input: forza impulsiva (colpo secco sulla massa)
mF
X
K
δ (t)F(t) = F(s)=1
Dominio tDominio t Dominio sDominio s
Fase 4
Valter
Applicazione al sistema massa molla
mF
X
K
X(s)X(s) = 1 F
ms2 + K
la risposta del sistema la risposta del sistema
Nel dominio sF(s) = 1
Fase 5
Valter
Applicazione al sistema massa molla
mF
X
K
X(s)X(s) = 1
ms2 + K
la risposta del sistema nel dominio s la risposta del sistema nel dominio s
Fase 5
Utilizzo le tabelle per antitrasformare
Valter
Applicazione al sistema massa molla
mF
X
K
X(t)X(t) = 1 sen ω t
mK
Antitrasformo per la risposta nel Antitrasformo per la risposta nel dominio del tempodominio del tempo
Fase 6
Se la massa viene colpita essa inizia ad oscillare con andamento sinusoidale
Valter
Applicazione al sistema massa molla
m
Fase 6
Se la massa viene colpita essa inizia ad oscillare con andamento sinusoidale
X
K mm
Valter
Funzione di trasferimentonel dominio dei numeri complessi
Per ogni sistema è possibile definire una funzione di trasferimento scritta in termini semplici, cioè sotto forma di polinomi.
G(s)= μ (s-z1)(s-z
2)...(s-z
n)
(s-p1)(s-p
2)...(s-p
n)
Valter
La funzione di trasferimento è la sintesi di un processo complesso. Sono richieste specifiche conoscenze di fisica e competenze nell'uso di strumenti matematici avanzati.
In questa presentazione sono stati trascurati approfondimenti matematici che sarebbero indispensabili
per una corretta e piena comprensione del tema, si è invece cercato di semplificare le questioni per individuare
un percorso logico e preciso con l'intento introdurre gradualmente gli allievi allo studio dei sistemi di controllo.
Conclusioni