Download pdf - rut gon tong tich huu han.pdf

Võ Tiến Trình – Trường PTNK

toan999.wordpress.com 1

BÀI TẬP RÚT GỌN CÁC TỔNG VÀ TÍCH HỮU HẠN

A.Rút gọn tổng.

Một số biểu thức thường gặp.

a)

1 1 11 1k k k k

b) 21 1 1

1k kk

c)

1 1 121 1k k k k

d)

1 1 1 12 12 1 1 k kk k k

e)

1 1 11 1 1k k k k k k

Chứng minh.

a)

1 1 1 11 1 1

k kk k k k k k

b) 2

1 1 1 11 1k k k kk

c)

1 1 2 1 11 11 1 1 1

k k k k k k kk kk k k k k k k k

2 1 1 121. 1

k k

k k k k



d)

1 1 1 1 1 11 2 12 12 1 1

k k k kk k k kk kk k k

e)

2 2

1 1 1 1111 1 1 1

k k k k k k k kk kk k k k k k k k

1 11k k

Ví dụ 1. Cho số nguyên dương 2n . Tính tổng

1 1 1...1.2 2.3 1

Sn n

Giải.

Áp dụng

1 1 11 1k k k k

Ta có : 1 111.2 2

1 1 12.3 2 3

…….

1 1 11 1n n n n

Vậy 11Sn

Ví dụ 2. Cho số nguyên dương n . Chứng minh 2 2 2 21 1 1 1 2 1...1 2 3

nnn

Giải.

Áp dụng 21 1 1

1k kk

với 2k



Ta có : 21 11

22

21 1 1

2 33

……

21 1 1

1n nn

Do đó 2 2 21 1 1 1... 12 3 nn

Vậy 2 2 21 1 1 1 2 1... 1 11 2

nn nn

Ví dụ 3. Cho số nguyên dương 2n .

Rút gọn 1 1 1...1 2 2 3 1nS

n n

Giải.

Sử dụng lượng liên hiệp ta có: 1 11

k kk k

Do đó 2 1 3 2 ... 1 1nS n n n

Ví dụ 4. Cho số nguyên dương n .

Chứng minh

1 1 1 1 2... 22 3 2 4 3 1 1n n n

Giải.

Áp dụng

1 1 121 1k k k k

với 1k



Ta có: 1 12 12 2

1 1 123 2 2 3

1 1 124 3 3 4

…..

1 1 121 1n n n n

Cộng vế theo vế ta có

1 1 1 1 1 2... 2 1 22 3 2 4 3 1 1 1n n n n

Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương.

Đặt

1 1 1...2 1 1 2 3 2 2 3 1 1nS

n n n n

Chứng minh 1nS

Giải.

Áp dụng

1 1 11 1 1k k k k k k

Ta có: 1 112 1 1 2 2

1 1 13 2 2 3 2 3

…….



1 1 11 1 1n n n n n n

Cộng vế theo vế ta có 11 11nS

n

Ví dụ 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh

1 1 12 3 1 ... 2 22 3

n nn

Giải.

Ta có: 1 2 2 2 12 1

k kk k k k

1 2 2 2 12 1

k kk k k k

Vậy 12 1 2 1k k k kk

Áp dụng cho 2,3,4,...,k n ta có

12 3 2 2 2 12

12 4 3 2 3 23

…..

12 1 2 1n n n nn

Cộng vế theo vế ta có

1 12 1 2 ... 2 12

n nn



Mà 2 1 2 2 2 3n n nên ta có điều phải chứng minh.

Bài tập.

Bài 1. (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Thái Bình 2009)

Chứng minh rằng 1 1 1 1 88...2 453 2 4 3 2010 2009

Bài 2. (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Bình Định 2010).

Cho số tự nhiên , 3n n .

Đặt

1 1 1...3 1 2 5 2 3 2 1 1

nSn n n

Chứng minh 12nS

Bài 3. (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Hùng Vương tỉnh Phú Thọ 2001)

Chứng minh rằng

43 1 1 1 44...44 452 1 1 2 3 2 2 3 2002 2001 2001 2002

Bài 4. Chứng minh

1 1 12014 1 ... 20152 3 1016064

Bài 5. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh

1 1 1 1... 22 3 2 4 3 1n n

Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

2 2 2

3 5 2 1...1.2 2.3 1

nnS

n n



Gợi ý: Chứng minh và áp dụng 2 2 22 1 1 1

11k

k kk k

B. Đưa về cùng mẫu.

Ví dụ 7. Cho 2n là số nguyên dương.

Đặt

1 1 1 1... ...1. .12. 1 1

Sn nn k n k

Hãy so sánh S với 21

nn

Giải.

Với ,a b hai số dương phân biệt, ta có

2 1 20 2a b a b aba bab

Áp dụng ta có:

1 211. nn

1 2 2

2 1 12. 1 n nn

….

1 21.1 nn

Cộng vế theo vế ta có 21n

nSn

Bài tập.



Bài1 . Cho

1 1 1 1... ...1.2016 2.2015 2016.12016 1

Sk k

Hãy so sánh S với 201622017

Bài 2. Cho

1 1 1 1... ...1.1999 2.1998 1999.11999 1

Sk k

Hãy so sánh S với 1,999

C. Rút gọn tích.

Ví dụ 8. Cho 2n là số nguyên dương. Rút gọn 1 1 11 1 .... 12 3nP

n

Giải

Áp dụng 1 11 kk k

với 2,3,4,...,k n ta có :

3 4 5 1 1...2 3 4 2n

n nPn

Ví dụ 9.

Chứng minh

1.3.5.... 2 11 12.4.6.... 22 2 1

nnn n

với mọi số nguyên dương n .

Giải.

Ta có : 2

2 2

2 12 1 2 1 2 12 2 14 4 1

kk k kk kk k

Ta có: 2 2 22 1 4 4 1 4 4 4 1k k k k k k k



22 2

2

2 1 12 1 4 14k kk k k k

kk

2 1 12k k

k k

Vậy 1 2 1 2 12 2 1

k k kkk k

Áp dụng cho 1,2,...,k n ta có:

1 12 3

1 3 342 5

2 5 563 7

….

1 2 1 2 12 2 1

n n nnn n

Nhân vế theo vế ta có

1.3.5.... 2 11 12.4.6.... 22 2 1

nnn n

Bài tập.

Bài 1. Cho 2n là số nguyên dương. Rút gọn 1 1 11 1 ... 12 3nP

n

Bài 2. Cho 2n là số nguyên dương. Rút gọn 2 2 21 1 11 1 ... 12 3nP

n



Gợi ý: chứng minh và áp dụng 2

111

1

kkkk

k

Bài 3. Cho 2n là số nguyên dương. Rút gọn 3 3 3

3 3 32 1 3 1 1. ....2 1 3 1 1n

nPn

Gợi ý : Chứng minh và áp dụng

3

3

1 11 1. .1 1 11

k kk k kk k k kk

Bài 4. Cho n là số nguyên dương.

Đặt 22 1 1na n n

Tính tích 1 3 2 1

2 4 2

. ..... ....

n

n

a a aTa a a

Gợi ý. Chứng minh và áp dụng

22 1

22

2 1 12 1 1

k

k

kaa k