Download pdf - Savarankiškas darbas Nr. 2 Darbo tikslai€¦ · Savarankiškas darbas Nr. 2 Darbo tikslai: • Geb ÷ti skai čiuoti funkcijos rib ą ir nustatyti funkcijos tolydum ą. • Teisingai

Savarankiškas darbas Nr. 2

Darbo tikslai:

• Geb÷ti skaičiuoti funkcijos ribą ir nustatyti funkcijos tolydumą. • Teisingai skaičiuoti funkcijos išvestinę ir diferencialą. • Taikyti išvestines funkcijų tyrimui, grafikų analizei ir įvairių fizikinių charakteristikų

skaičiavimui. • Parinkti tinkamus sprendimo metodus integralų skaičiavimui ir pateikti teisingus

atsakymus. • Geb÷ti taikyti apibr÷žtinį integralą geometriniuose, fizikiniuose ir mechanikos

uždaviniuose.

Uždaviniai:

• žinoti išvestin÷s prasmę bei jos savybes; • žinoti neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo sąvokas, jų savybes bei integravimo

metodus; • geb÷ti taikyti funkcijų ribas funkcijos tolydumo nustatymui; • geb÷ti taikyti išvestin÷s savybes funkcijų tyrimui ir grafijų analizei; • geb÷ti taikyti neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo savybes bei integravimo metodus; • geb÷ti sudaryti apibr÷žtinį integralą bei taikyti jį plotų, tūrių, įvairių fizikinių

charakteristikų skaičiavimui.

Metodin÷s rekomendacijos savarankiškam darbui Savarankišką darbą sudaro 6 užduotys, norint jį atlikti reikia išsiaiškinti funkcijas,

funkcijų ribas, išvestines ir išvestinių taikymą funkcijų tyrime, neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralo integravimo metodus bei apibr÷žtinio integralo tailymus..

Savarankiškame darbe pateikta 35 skirtingi užduočių variantai, kuriuos studentai pasirenka pagal sąrašo eil÷s numerį.

Savarankiškas darbas turi būti atliktas ant A4 formato lapų ( gali būti langeliais), paliekant paraštes pastaboms. Darbo titulinis lapas turi būtį atspausdintas pagal nurodytą formą.

Uždaviniai turi būti sprendžiami eil÷s tvarka. Prieš pradedant spręsti uždavinį, pirmiausia turi būti užrašoma uždavinio sąlyga. Perrašydamas uždavinio sąlygą, studentas, bendrus duomenis turi pakeisti konkrečiais duomenimis, atitinkančiais jo variantą.

Uždavinių sprendimai turi būti pakankamai išsamūs, aiškūs: br÷žiniai atliekami tiksliai ir tvarkingai. Darbai, atlikti nepaisant nurodytų reikalavimų, parašyti nepakankamai įskaitomai arba atlikti ne pagal savo variantą, neįskaitomi ir gražinami netikrinti.

Atsakymai į teorinius klausimus galima rasti literatūroje [1]....[5]. Literatūra:

1) B. Godvaiša, R. Šileikien÷, J. Šinkūnas. Matematika 1.Vilnius: Mokslas, 1992 2) B. Godvaiša, J. Šinkūnas. Matematika 2.Vilnius: Žiburio leidykla, 1996 3) R. Atstup÷nien÷, V. Kravčenkien÷, D. Plukien÷, P. Ramelyt÷, I. Tiknevičien÷. Matematika 2. Kaunas: Technologija, 2008 4) A. Apynis, E. Stankus. Matematika. Vilnius: TEV, 2001. 5) N. Bogomolovas. Matematikos uždavinynas technikumams. Vilnius: Mokslas. 1983.

Nuorodos 1-6 uždaviniams iš literatūros sąrašo kiekvienam uždaviniui nurodoma

[X, Y] (X- rodo literatūros sąrašo numeris, Y- skyrius, reikalingas uždaviniams išspręsti]

Toliau nurodyta kiekvienam uždaviniui reikalinga tema ir ją atitinkantis skyrius iš literatūros sąrašo:

1) Funkcijos riba. Ribų skaičiavimas [1, 4], [5, 5]; 2) Išvestin÷. Išvestinių taikymas funcijų tyrimui ir grafikų analizei [5, 6], [5, 7], [2, 1], [2, 2]; 3) Neapibr÷žtinio ir apibr÷žtinio integralų sąvokos, jų savyb÷s.Integravimo metodai: tiesioginis, kintamųjų pakeitimo, integravimo dalimis metodas [2, 3], [2, 4], [5, 10], [5, 11], [3, 2], [3, 3]. 4) ,5), 6) Apibr÷žtinio integralo taikymai plokščių figūrų plotų, sukinių tūrių ir kitų fizikinių charakteristikų skaičiavimui [3, 5], [5, 12], [2, 5].

Savarankiško darbo užduotys

1 Variantas

1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:

a. ( )( )

.1

lim,55

lim;2

23lim

01

x

xxx x

x

xx

x

x

xx

++−−+

−+

∞→→−→

2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką

.42 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )

dxxxxdxe

dxe

x

dx

x

xdx

dxxtgdxx

xdx

xxxxd

x

xd

e

x

x

x

)2(;ln;1

;2cos

;sin94

cos

;24

;2

;2

1

35);2(sin5;

2

)2(

38

01

1

02

6

8

22

3

2242sin

2

2

+++

−

−

++−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫π

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .4,4 22 yxxy ==

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy = ir tiese 04 =− yx .

6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 8m ir aukštin÷ 6 m?

2 Variantas


.3

1lim,3

1

9

6lim,,

84

5lim

232

x

xxx xxxx

+

−−

−− ∞→→→ 2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką

.92 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.ln)1(;1

;2sin

.;cos

)1(;;

3

;;2

;33

5;)2ln3)2ln3cos(.);4(sin5

1

1

0

6

8

22

222354sin

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

++

+

−

++−++

e

x

xx

x

xdxxe

dxe

x

dx

x

dxxarctgxdxdx

x

dxx

xdx

xxxxdxxd

π

π


5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 42 −= xy ir tiese 0=y .


3. Variantas


( )( ).

1lim,

44lim;

2

32lim

2

01

x

xxx x

x

xx

x

x

xx

++−−+

−+

∞→→−→

2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos

grafiką .12 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

4.

( )

( ) dxxx

xdxxdxx

x

dxxxdxarctg

dxdxxdx

xxxdx

xdx

xx

)2

(;1ln;1;cos

;2

;644

8;24sin,

4

1

53);3(sin2;

2

)2(

8

0

3 21

0

3

132

2

233sin

3 2

2

+++

+−

−+−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 2 =−= yxxy

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis: .0,4,1,4 ==== yxxxy

6. 6 N j÷ga ištempia spyruoklę 2 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 14 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?

4 variantas


2. .3

1lim,14

132lim,

84

5lim

2

2

2

x

xxx xxx

xx

x

+

++

+−

− ∞→∞→→


grafiką .162 −

=x

xy

4. Apskaičiuokite:

5.

( ) ( )

.)4

3(.4.3;cossin.3.3;2sin.2.3;4

;ln1

;sin;32sin;4

1

5

33

2;)ln)sin(ln;

3

)3(

4

0

2

0

222

0

2

02

cos3

3 2

2

dxx

xxdxxxdxxx

dx

x

dxx

xdxedxxdxx

xx

xdxx

xd x

+−

+

−

−+−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫ππ

6. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,6,2,ln ==== yxxxy

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π

8. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 20 m (vandens paviršiuje), apatinis 10 m ir aukštis 6 m?

5 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas:

( )( ).

53

32lim,

3

1

9

6lim,;

2

23lim

3

24

231 xx

xx

xxx

xx

xxx −

+−

−−

−+

−+

∞→→−→


grafiką .42

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )

( ).)cos(;cossin;2sin)1(;

9,

21sin

2

;cos,;3

.5.2;3

186);2(cos3;

sin

sin

0

2

0

232

0

3

022

sin3

22cos

dxxexdxxxdxxx

dxdx

xdxedxx

xdxxxxd

x

xd

x

x

x

xx

−+−+

+

−+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

π

ππ

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki 2

π

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π

6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /43 2 += , antrasis- greičiu ( )126 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu

atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?

6 variantas


( )( ).

21

2lim

53

32lim;

12

23lim

3

24

1

x

xxx x

x

xx

xx

x

xx

+−

+−++

∞→∞→−→


grafiką .12

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )

( )( )

.)2

(

;;sin;sin1

cos;

2cos;32

;4

;3

1sin4;)4ln5)4ln5(;52

4

3

02

3

4

23

0

cos2

6

32

2

23

dxx

x

dxtgdxxex

xdx

x

dxxdxxctg

dxx

dxx

xdxx

xx

x

x

∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

+

+−+

+++

−+−

π

π

ππ

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2

3,3 22 yxyx =+=

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreiv÷mis 24

1xy = ir

xy 42 = . 8. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu

( ) smttv /32 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?

7 variantas

1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas

.1

lim,53

32lim,

52

23lim

2

3

24

2

2

0

x

xxx x

x

xx

xx

xx

xx

+−

+−

−

−

∞→∞→→


grafiką .92

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

( )

( ) dxxxe

dxe

x

dx

x

xdxdx

xdxxtg

dxx

xdx

xxxxdx

x

xd

x

xx

)3(;1

;4sin

,sin49

cos;

3;32

;2

;23

5;)2ln3)2ln3sin(;2

)2(

328

0

1

0

6

8

22

2

2226

3

+++

−

−

++−++

+

+

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2,1,0,43 =−==−= xxyxxy


6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreivių 2xy = ir xy = , mas÷s centro koordinates.

8 variantas


.41

4lim,

55lim,

52

23lim

02

2

0

x

xxx x

x

xx

x

xx

xx

++−−−

−

∞→→→


.162

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

( ) .)2

(;2ln;1sin2

cos;

3;

cos

;52

;24sin;4

.);3(cos4;1

)1(

8

0

3 21

0

2

0

3

3222

6

5

4

23cos

3 2

2

dxxx

dxxdxx

x

x

dx

x

dxx

dxx

xdxxdx

x

xxd

x

xd x

++++

−+

+

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫π

3. 4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy


6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s 24 xy −= lanko, esančio tarp jos susikirtimo su ašimi Ox taškų.

9 variantas


.41

4lim,

33lim,

53

32lim

03

24 x

xxx x

x

xx

x

xx

xx

++−−−

+−

∞→→∞→


grafiką 21

2

x

xy

+=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)2

(;ln;.;13

;sin)32(

,5

cos21;4

;4

1

3

22;)4ln5)4ln5(;

4

1

3

1

34

1

1

0

3

226

2

2

dxx

xxxdxx

e

dxe

x

dxxdxx

dxx

dxx

xdx

xxxxdx

x

dx

e

x

x

++

−

+

−+−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .,32 xyyx ==

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive xy −= 42 ir tiese 0=x .


10 variantas


.31

3lim,

66lim,

3

1

9

6lim

023

x

xxx x

x

xx

x

xx

++−−

−−

− ∞→→→


.6

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

.)3

2(;cossin;3sin;94cos

;cos

cos2;32ln.;

5

1

246.;)lnln);(3

4

0

2

0

23

0

3

022

2

24522

dxx

xxdxxxdxxx

dxdx

x

dx

dxx

xdxxdx

xxxxxdxdx

+−

−−

−+−

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫ππ


3,3 22 yxxyx =+=

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .8,0 == yx 6. 10 N j÷ga ištempia spyruoklę 3 cm. Pradinis spyruokl÷s ilgis 12 cm. Kokį darbą reikia atlikti, ištempiat spyruoklę iki 20cm?

11 Variantas


.31

3lim,

66lim,

3

1

9

6lim

023

x

xxx x

x

xx

x

xx

++−−

−−

− ∞→→→


grafiką .1

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.ln)32(;1

;2sin

,sin9

cos;

cos

3

;3

;26

;2

.5.2;)4ln)4cos(ln);2(sin4

1

1

0

6

8

222

22sin

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

+++

−

−++

e

x

x

xx

xdxxe

dxe

x

dx

x

xdx

x

dx

dxx

dxxtgdxx

xxdxxd

π

π

π


5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy = ir tiese 04 =− yx . 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?

12 Variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas

.4

1lim,52

25lim,

15

4lim

2

2

2

0

x

xxx xxx

xx

x

+

−

−

+ ∞→→∞→


grafiką .1

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)4

(;ln)23(;1

;1

.;cos

)2(;sin

;43

;23

;)2ln3)2ln3();4(sin

48

0

2

1

1

0

2

122

2

2

44sin

dxx

xxdxxe

dxe

x

xdx

x

dxxxdxx

dxxtgdxx

xxdxxde

x

x

x

++++

+

−

−++

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .3,76 2 −=−−= xyxxy

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Ox ašį figūrą, apribotą kreive 1582 +−= xxy ir tiese 0=y .


13 Variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas

.4

1lim,53

25lim,

15

3lim

3

2

2

0

x

xxx xxx

xx

x

+

−

−

+ ∞→→∞→


grafiką .4

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

( ) .)2

(;3ln;2,;cos

,3

;23sin.;2

1

53;)2ln)2sin(ln);3(sin7

8

0

3 21

0

3

1

4242

3

6233sin

dxxx

dxxdxxdxex

dxxxdxarctg

dxxdxx

xxxdxxd

x

x

+++

−

−+−

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

−

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 =−= yxxy



14 variantas 1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas

( ) .21lim,4lim,15

4lim

22

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→∞→


grafiką .9

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

.cossin;3sin;16

;ln1

;

;218

;62sin.;2

1

53

2;)3ln)3sin(ln);3(cos4

2

0

22

0

4

02

33

23

23cos

4

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

−

+

+−

−+−

ππ

xdxxxdxxx

dx

x

dxxdxxe

dxx

xdxxdx

xx

xxdxxd

x

x

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,322 =++−= yxxy 5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 10 m (vandens paviršiuje), apatinis 5 m ir aukštis 36 m?


( ) .21lim,3lim,15

4lim

222

2

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→→


.16

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)2cos(.;2sin)13(;16

;41

;cos2

;;16sin;13

;3

183);2(sin3;

cos

cos

0

2

0

4

024

sin

222sin

dxxexdxxx

dx

x

xdxxdxe

dxxdxx

xdxxxxd

x

xd

xx

x

−+−−

−+

−+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki 2

π



6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s2

2xy = lanko, esančio tarp O (0; 0) ir

2

3;3 .

16 variantas


( ) .41lim,5lim,15

4lim

222

2

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→−→


.12 +

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

( )( )

( ) .1;sin;cos1

sin

1sin;3

;1

;)2ln(;2

;)4ln5)4ln5(;32

4

2

1

322

0

cos2

6

2

22

23332

dxxxdxxex

xdx

e

dxedxxctg

dxx

xdxxxdx

x

xxdx

xxx

x

x

x

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

−

−++

+

+

+++

−+−

ππ

π


3,3 22 yxyx =+=


1xy = ir

xy 42 = .

6. Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja abscisių ašis ir parabol÷s 22 xxy −= .

17 variantas


( ) .11lim,lim,15

4lim

222

3

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→−→


.4

92

2

−

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)1

(;ln)3(;)6

2cos(;cos

)2(;4

;2

;2

;3

2

62;)2ln)2(ln);8(sin8sin

4

11

4

6

2

2

2

292

dxx

xxdxxdxxx

dxxxdxarctg

dxx

dxx

xdx

xxxxdxxxd

e

x

−−−−

−

++−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫−

π

π

π



6. Raskite vienalyt÷s figūros, apribotos kreiv÷s xy 42 = , ašies Ox ir ties÷s 4=x , mas÷s centro koordinates.


( ) .11lim,5lim,15

lim

222

3

x

xxx xxxx

x

x

−−+

+ ∞→∞→−→


grafiką .4

92

2

−

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )( )

( )

( ) .)3

(;32ln;3sin2

cos;;)14(

;32

;34sin;4

;ln

)ln);3(cos9

8

0

3 21

0

2

0

34

6

5

3

23cos

dxxx

dxxdxx

xdxedxex

dxx

xdxxdx

x

x

x

xdxd

xx

x

+++

−

−+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

−

π




19 variantas


( ) ( ) .21lim,4lim,65lim22

22x

xxx xxxxxx

−−++−

∞→∞→−∞→


grafiką 24 x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )

.)2

(;sin1

cos;

)1(,

25

3;sin)34(

;3;5

cos21.;4

1

34;)4ln5)4ln5(.;

4

1

22

6

1

02

3222633

33

dxx

xx

x

xdx

xx

dx

e

dxexdxx

dxxdxx

dxx

xxxdxx

dx

x

x

x

+++−

−

−+−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫−

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .2,3 xyxy ==

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive 422 =− yx ir tiese 2±=y .

6. Ištempiant spyruoklę 0,04 m, reikia atlikti 20J darbą. Kiek galima ištempti spyruoklę, atlikus 90 J darbą?.

20 variantas


( ) .41lim,2lim,15

32lim

222

x

xxx xxxx

x

x

−−+

+

+

∞→∞→−∞→


grafiką .12

3

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

.)2

(;2sin;16

.1.3.5cos

;cos3

;cos

cos2;32ln;

5

1

342;)ln2)ln2cos();(3

4

0

2

0

4

022

sin

2

24533

dxx

xxdxxx

dxdx

x

dxdxe

dxx

xdxxdx

xxxxdxxd

x

x

+−

−+

−+−

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫π


3,3 22 yxxyx =+=

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .27,0 == yx 6. Ištempiant spyruoklę 0,04 m, reikia atlikti 18J darbą. Kiek galima ištempti spyruoklę, atlikus 70 J darbą?.

21 variantas


.4

1lim,33

6lim,

15

3lim

22

6

x

xxx xx

x

x

x

+

−+

−

+

+

∞→→−∞→


grafiką .2

2

+=

x

xy

3. Apskaičiuokite neapibr÷žtinius integralus:

( ).)

3(;;sin;

sin1

cos;

1cos

;4

;2

;3

1sin4);2(sin4;52

42

3

02

3

4

23

0

cos2

6

32

2

2sin23

dxx

xdxtgdxxe

x

xdx

x

dxx

dxx

dxx

tgdxx

xdex

xx

x

xx

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

+

+−

+

−+−

π

π

ππ

π


3,3 22 yxyx =+=


4

1xy = ir xy 42 = .

6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu ( ) smttv /34 2 += , antrasis- greičiu ( )106 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu

nuo pradinio taško tie kūnai susitiks?

22 variantas


.4

1lim,33

6lim,

15

3lim

22

6

x

xxx xx

x

x

x

+

−+

−

+

+

∞→→−∞→


.2

2

+=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

.)3(;ln;4sin

,sin49

cos;

cos

)1(

;3

;32;23

52;)2ln3)2ln3sin();(sinsin

338

01

26

8

222

26

dxxxxdxxx

dx

x

xdx

x

dxx

dxx

dxxtgdxx

xxxdxxxd

e

x

++

−

−

++−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫π

π




23 variantas


.4

1lim,33

6lim,

15

3lim

2

62

x

xxx xx

x

x

x

+

−+

−

+

+

∞→→−∞→


grafiką .22

2

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

( ) .)4

(;3ln;3

;cos

;)12(

;52

;24sin;4

1

532;)lnln);3(cos4

8

0

3 21

0

3

3222

6

543cos

dxxx

dxxx

dx

x

dxxdxex

dxx

xdxxdx

xxxxxdxd

x

x

+++

−

−+

++−

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy



24 variantas


.4

1lim,22

2lim,

15

3lim

2

22

x

xxx xx

x

x

x

−

−+

−

+

+

∞→→−∞→


grafiką .22

2

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )

.)2

(;ln;;13

;)ln31(

2

;sin)32(;5

cos21;4

1

3

22;)4ln5)4ln5(;

4

1

3

1

34

1

1

0

262

2

dxx

xxxdxx

e

dxe

x

dx

xx

dx

xdxxdxx

dxx

xxxdxx

dx

e

x

x

+++

−

−+−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .,32 xyyx ==

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OY ašį figūrą, apribotą kreive xy −= 42 ir tiese 0=x .


25 variantas


( )( ).

31

3lim,

33lim;

1

23lim

01

x

xxx x

x

xx

x

x

xx

++−−+

−+

∞→→−→


grafiką .12

3

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite neapibr÷žtinius integralus:

( ) ( )

.)(;ln)32(;1

;2sin

;ln2

;cos

cos2;32ln;

5

1

246;)lnln;

3

)3(

38

01

1

0

6

8

2

2

245

3

dxxxxdxxe

dxe

x

dx

x

dxx

dxx

xdxxdx

xxxxxd

x

xd

e

x

x

+++

+

−−

−+−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫π

π


5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie Oy ašį figūrą, apribotą linijomis kreive 3xy = ir ties÷mis .8,0 == yx


26 variantas


( )( ).

21

2lim,

55lim;

2

13lim

01

x

xxx x

x

xx

x

x

xx

++−−+

−+

∞→→−→


grafiką .

1

12

2

+

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

( ) .)4

(;3ln;3

;cos

;)12(

;52

;24sin;4

1

532;)lnln);3(cos4

8

0

3 21

0

3

3222

6

543cos

dxxx

dxxx

dx

x

dxxdxex

dxx

xdxxdx

xxxxxdxd

x

x

+++

−

−+

++−

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .182,1882 +−=+−= xyxxy



27 variantas


.31

3lim,

22lim,

4

1

16

6lim

024

x

xxx x

x

xx

x

xx

++−−

−−

− ∞→→→ 2. Pagal bendrąją funkcijos tyrimo schemą ištirti funkciją ir nubraižyti jos

grafiką.

42

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.ln)3(;1

;2sin

,sin9

cos;

cos

2

;3

;26

;2

.5.2;)4ln)4cos(ln);3(sin4

1

1

0

6

8

222

23sin

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

+++

−

−++

e

x

x

xx

xdxxe

dxe

x

dx

x

xdx

x

dx

dxx

dxxtgdxx

xxdxxd

π

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis:.9,9 22 yxxy ==

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą kreive 2xy =

ir tiese 04 =− yx . 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į vertikalų stačiakampį šliuzą, kurio pagrindas 6m ir aukštin÷ 4 m?

28 variantas


( ) .11lim,2lim,15

4lim

222

2

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→−→


grafiką .4

12

2

−

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)1

(;ln)3(;)6

2cos(;cos

)3(;4

;2

;2

;3

2


4

11

4

6

2

2

2

292

dxx

xxdxxdxxx

dxxxdxarctg

dxx

dxx

xdx

xxxxdxxxd

e

x

−−−−

−

++−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫−

π

π

π




29 variantas


( ) .51lim,3lim,13

4lim

222

1

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→→


grafiką .16

2

2

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)2cos(.;2sin)13(;16

;41

;cos2

;;16sin;13

;3

183);2(sin3;

sin

sin

0

2

0

4

024

sin

222sin

dxxexdxxx

dx

x

xdxxdxe

dxxdxx

xdxxxxd

x

xd

xx

x

−+−−

−+

−+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

π

π

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki

2

π



6. Apskaičiuokite ilgį parabol÷s2

2xy = lanko, esančio tarp O (0; 0) ir

2

3;3 .

30 variantas


( ) .41lim,4lim,15

2lim

22

2

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→−→


grafiką .12 +

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

( )( )

( ) .1;sin;cos1

sin

1sin;2

;1

;)2ln(;2

;)4ln5)4ln5(;32

2

2

1

322

0

cos2

6

2

22

23432

dxxxdxxex

xdx

e

dxedxxctg

dxx

xdxxxdx

x

xxdx

xxx

x

x

x

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

−

−++

+

+

+++

−+−

ππ

π


3,3 22 yxyx =+=


4

1xy = ir xy 42 = .

6. Raskite sunkio centrą figūros, kurią riboja abscisių ašis ir parabol÷s 22 xxy −= .

31 variantas


( ) .41lim,lim,15

4lim

2

2

0

x

xxx xxxx

x

x

+−−

+ ∞→∞→→


grafiką .4

92

2

−

−=

x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.)1

(;ln)3(;)6

2cos(;cos

)3(;2

;2

;2

;3

2


4

11

4

6

2

2

2

292

dxx

xxdxxdxxx

dxxxdxarctg

dxx

dxx

xdx

xxxxdxxxd

e

x

−−−−

−

++−++

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫−

π

π

π




32 variantas


.3

1lim,3

1

9

6lim,,

84

5lim

7

23

2

2

x

xxx xxxx

x

+

−−

−− ∞→→→


grafiką .92 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )( )

.ln)1(;1

;2sin

.;cos

)1(;;

3

;;2

;33

5;)2ln3)2ln3cos(.);4(sin5

1

1

0

6

8

22

222354sin

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

++

+

−

++−++

e

x

xx

x

xdxxe

dxe

x

dx

x

dxxarctgxdxdx

x

dxx

xdx

xxxxdxxd

π

π




33. Variantas


( )( ).

1lim,

22lim;

2

32lim

2

01

x

xxx x

x

xx

x

x

xx

++−−+

−+

∞→→−→


grafiką .12 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( )

( ) dxxx

xdxxdxx

x

dxxxdxarctg

dxdxxdx

xxxdx

xdx

xx

)2

(;1ln;1;cos

;2

;644

8;24sin,

4

1

53);3(sin2;

1

)1(

8

0

3 21

0

3

122

233sin

3 2

2

+++

+−

−+−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,2 2 =−= yxxy



34 variantas


.3

1lim,1

132lim,

84

5lim

2

2

2

x

xxx xxx

xx

x

−

++

+−

− ∞→∞→→


grafiką .162 −

=x

xy

3. Apskaičiuokite:

( ) ( )

.)4

3(;cossin;2sin;4

;ln1

;sin;32sin;4

1

5

33

2;)ln)sin(ln;

2

)2(

4

0

2

0

222

0

2

02

cos3

3 2

2

dxx

xxdxxxdxxx

dx

x

dxx

xdxedxxdxx

xx

xdxx

xd x

+−

+

−

−+−

+

+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫ππ

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: .0,6,2,ln ==== yxxxy

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Apskaičiuokite vandens sl÷gimo j÷gą į trapecijos pavidalo užtvanką, jei viršutinis pagrindas 20 m (vandens paviršiuje), apatinis 10 m ir aukštis 6 m?

35 variantas

1. Apskaičiuoti nurodytų funkcijų ribas: ( )( )

.53

32lim,

3

1

9

6lim,;

2

21lim

3

24

231 xx

xx

xxx

xx

xxx −

+−

+−

−+

−+

∞→−→−→


grafiką .42

x

xy

−=

3. Apskaičiuokite:

( )

( ).)cos(;cossin;2sin)1(;

9,

21sin

2

;cos,;3

;3

186);2(cos3;

sin

sin

0

2

0

232

0

3

022

sin3

22cos

dxxexdxxxdxxx

dxdx

xdxedxx

xdxxxxd

x

xd

x

x

x

xx

−+−+

+

−+

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

π

ππ

4. Raskite plotą figūros, apribotą linijomis: 0,cos == yxy ribose nuo 0 iki

2

π

5. Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie OX ašį figūrą, apribotą linijomis kreive xy sin= intervale ( ).,0 π 6. Du kūnai juda tiesiai iš to paties taško. Pirmasis kūnas juda greičiu

( ) smttv /43 2 += , antrasis- greičiu ( )126 += tv m/s. Kokiu momentu ir kokiu atstumu nuo pradinio taško tie kūnai susitiks