UVOD U MATEMATIKU

Sedma domaca zadaca

1. Dokazite da 7 | n7 − n za svaki n ∈ N.

2. Dokazite da ne postoji prosti broj oblika 8n + 1, n ∈ N.

3. Dokazite da za svaki prirodni broj n > 6 postoje relativno prosti prirodni brojevia, b > 1 takvi da je n = a + b.

4. Nadite sve parove dvoznamenkastih brojeva ab i cd za koje vrijedi da je cetveroznamenkastibroj abcd djeljiv s ab · cd.

5. Neka su a, b ∈ Z. Dokazite da vrijedi M(a, b) = M(a, a− b) = M(b, a− b).

6. Ako je c ostatak pri dijeljenju prirodnog broja m prirodnim brojem n, dokazite da jeM(m,n) = M(m, c).

7. Za a, b ∈ N Euklidovim algoritmom odredite mjeru M(a, b) te ju prikazite u oblikuM(a, b) = ka + lb za k, l ∈ Z ako je:

a) a = 3050, b = 2107

b) a = 450, b = 12345

c) a = 483327, b = 226304.

8. Dokazite da se razlomak6n + 1

18n− 1ne moze skratiti ni za koji n ∈ N.

9. Odredite zadnju znamenku broja 43567 · 23408 · 32147− 2534.

10. Odredite ostatak pri dijeljenju broja 2100 brojem:

a) 11

b) 25

c) 62.