SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS deTAYLOR
Veronica Briceno V.
noviembre 2012
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS deTAYLOR
En esta Presentacion veremos:
Series de PotenciaRadio e intervalo de convergencia.Derivacion e integracion
Series de TaylorPolinomios de TaylorResto y Teorema de TaylorCalculo de series de potencias de funciones elementales.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS deTAYLOR
En esta Presentacion veremos:
Series de PotenciaRadio e intervalo de convergencia.Derivacion e integracionSeries de TaylorPolinomios de TaylorResto y Teorema de TaylorCalculo de series de potencias de funciones elementales.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Potencia
Definicion
Sea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Potencia
Definicion
Sea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Potencia
DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Potencia
DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:
(x − xo)0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1
Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
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Series de Potencia
DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1
Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
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Series de Potencia
DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:
Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
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Series de Potencia
DefinicionSea {an}n∈N una sucesion de numeros reales y xo ∈ R. Sedefine una serie de potencias centrada en xo, a una serie de laforma:
∞∑n=0
an(x − xo)n
Acuerdo:(x − xo)
0 = 1, incluso si x = xo, o sea: 00 = 1Observacion:Los terminos de la sucesion son llamados coeficientes de laserie de potencias.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
1 Serie de Potencia centrada en cero.∑∞n=0
xn
n! = 1 + x + x2
2 + x3
3! + ...
2 Serie de Potencia centrada en −1.∑∞n=0(−1)n(x + 1)n = 1− (x + 1) + (x + 1)2− (x + 1)3 + ...
3 Serie de Potencia centrada en 2.∑∞n=0
(x−2)n
2n = 1 + x−22 + (x−2)2
4 + (x−2)3
8 + ...
4 No es una serie de potencia:∑∞n=0
cos(nx)n2+1
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Ejemplos
1 Serie de Potencia centrada en cero.∑∞n=0
xn
n! = 1 + x + x2
2 + x3
3! + ...
2 Serie de Potencia centrada en −1.∑∞n=0(−1)n(x + 1)n = 1− (x + 1) + (x + 1)2− (x + 1)3 + ...
3 Serie de Potencia centrada en 2.∑∞n=0
(x−2)n
2n = 1 + x−22 + (x−2)2
4 + (x−2)3
8 + ...
4 No es una serie de potencia:∑∞n=0
cos(nx)n2+1
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Ejemplos
1 Serie de Potencia centrada en cero.∑∞n=0
xn
n! = 1 + x + x2
2 + x3
3! + ...
2 Serie de Potencia centrada en −1.∑∞n=0(−1)n(x + 1)n = 1− (x + 1) + (x + 1)2− (x + 1)3 + ...
3 Serie de Potencia centrada en 2.∑∞n=0
(x−2)n
2n = 1 + x−22 + (x−2)2
4 + (x−2)3
8 + ...
4 No es una serie de potencia:∑∞n=0
cos(nx)n2+1
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Ejemplos
1 Serie de Potencia centrada en cero.∑∞n=0
xn
n! = 1 + x + x2
2 + x3
3! + ...
2 Serie de Potencia centrada en −1.∑∞n=0(−1)n(x + 1)n = 1− (x + 1) + (x + 1)2− (x + 1)3 + ...
3 Serie de Potencia centrada en 2.∑∞n=0
(x−2)n
2n = 1 + x−22 + (x−2)2
4 + (x−2)3
8 + ...
4 No es una serie de potencia:∑∞n=0
cos(nx)n2+1
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Observacion
1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.
2 Notar que la serie geometrica∑∞
n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1
3 Ademas, 11−x =
∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[
4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0
5 Esto es comun en las series de potencia.
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Observacion
1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.
2 Notar que la serie geometrica∑∞
n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1
3 Ademas, 11−x =
∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[
4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0
5 Esto es comun en las series de potencia.
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Observacion
1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.
2 Notar que la serie geometrica∑∞
n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1
3 Ademas, 11−x =
∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[
4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0
5 Esto es comun en las series de potencia.
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Observacion
1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.
2 Notar que la serie geometrica∑∞
n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1
3 Ademas, 11−x =
∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[
4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0
5 Esto es comun en las series de potencia.
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Observacion
1 Nos interesa saber cuando una serie de potenciaconverge.
2 Notar que la serie geometrica∑∞
n=0 xn de radio x = rconverge si |x | < 1 y diverge si |x | ≥ 1
3 Ademas, 11−x =
∑∞n=0 xn, si x ∈]− 1,1[
4 Ası, obtenemos que la serie de potencias (centrada enxo = 0) converge en un intervalo centrado en xo = 0
5 Esto es comun en las series de potencia.
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Observacion
1 Una serie de potencia puede verse como una funcion en x
f (x) =∞∑
n=0
an(x − xo)n
donde Dom(f ) : son todos los x para los cuales la serieconverge.
2 Una serie de potencia centrada en x = xos(x) =
∑∞n=0 an(x − xo)
n
se puede reescribir:r(y) =
∑∞n=0 anyn
como una serie de potencia centrada en y = 03 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.
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Observacion
1 Una serie de potencia puede verse como una funcion en x
f (x) =∞∑
n=0
an(x − xo)n
donde Dom(f ) : son todos los x para los cuales la serieconverge.
2 Una serie de potencia centrada en x = xos(x) =
∑∞n=0 an(x − xo)
n
se puede reescribir:r(y) =
∑∞n=0 anyn
como una serie de potencia centrada en y = 0
3 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.
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Observacion
1 Una serie de potencia puede verse como una funcion en x
f (x) =∞∑
n=0
an(x − xo)n
donde Dom(f ) : son todos los x para los cuales la serieconverge.
2 Una serie de potencia centrada en x = xos(x) =
∑∞n=0 an(x − xo)
n
se puede reescribir:r(y) =
∑∞n=0 anyn
como una serie de potencia centrada en y = 03 Obviamente s(u) converge ssi r(u − xo) converge.
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Convergencia
Teorema
Si una serie de potencia∑∞
n=0 cn(x − xo)n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
Teorema
Si una serie de potencia∑∞
n=0 cn(x − xo)n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
TeoremaSi una serie de potencia
∑∞n=0 cn(x − xo)
n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.
Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
TeoremaSi una serie de potencia
∑∞n=0 cn(x − xo)
n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
TeoremaSi una serie de potencia
∑∞n=0 cn(x − xo)
n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
TeoremaSi una serie de potencia
∑∞n=0 cn(x − xo)
n
Si la serie converge en x = a 6= xo, entonces estaconverge absolutamente∀x , |x − xo| < |a− xo|.Si la serie diverge en x = b 6= xo, entonces esta convergeabsolutamente∀x , |x − xo| > |b − xo|.
Demostracion:Caso xo = 0, en la pizarra. Se extiende ∀x0 usando laobservaci on anterior.
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Convergencia
Corolario
Para una serie de potencia∑∞
n=0 an(x − xo)n se cumple una y
solo una de las siguientes afirmaciones:
La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.
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Convergencia
Corolario
Para una serie de potencia∑∞
n=0 an(x − xo)n se cumple una y
solo una de las siguientes afirmaciones:
La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.
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Convergencia
CorolarioPara una serie de potencia
∑∞n=0 an(x − xo)
n se cumple una ysolo una de las siguientes afirmaciones:
La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.
La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.
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Convergencia
CorolarioPara una serie de potencia
∑∞n=0 an(x − xo)
n se cumple una ysolo una de las siguientes afirmaciones:
La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.
Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.
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Convergencia
CorolarioPara una serie de potencia
∑∞n=0 an(x − xo)
n se cumple una ysolo una de las siguientes afirmaciones:
La serie converge solo para x = xo. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R = 0.La serie converge para todo x ∈ R. En este caso decimosque la serie tiene radio de convergencia R =∞.Existe R ∈ R tal que:∀x , |x − xo| < R la serie converge absolutamente.∀x , |x − xo| > R la serie diverge.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Observacion:
El caso |x − xo| = R no se considera en el teorema, portanto se debe analizar en cada serie que sucede en losextremos del intervalo.
El cual se llama intervalo de convergencia que es elconjunto en el cual la serie de potencias converge.
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Observacion:
El caso |x − xo| = R no se considera en el teorema, portanto se debe analizar en cada serie que sucede en losextremos del intervalo.El cual se llama intervalo de convergencia que es elconjunto en el cual la serie de potencias converge.
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn
∑n!xn∑ xn
n!∑ xn
n∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn
∑ xn
n!∑ xn
n∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn
n!
∑ xn
n∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn
n!∑ xn
n
∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn
n!∑ xn
n∑ xn
n2
∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn
n!∑ xn
n∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n
∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
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Ejemplos
Hallar el intervalo de convergencia de las series:∑nnxn∑n!xn∑ xn
n!∑ xn
n∑ xn
n2∑ (x−3)2n
n25n∑ (−1)nx2n+1
(2n+1)!
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Representacin de Funciones por Series dePotencia.
Estudiaremos...varios metodos que permiten hallar la serie de potencia querepresenta a una funcion dada.
El caso mas simple:
f (x) = 11−x =
∑∞n=0 xn converge si |x | < 1 representa una
serie de potencia centrada en 0.
f (x) = 1/21− 1+x
2= 1
2∑∞
n=0(x+1
2 )n converge en ]− 3,1[
representa una serie de potencia centrada en −1.
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Representacin de Funciones por Series dePotencia.
Estudiaremos...varios metodos que permiten hallar la serie de potencia querepresenta a una funcion dada.
El caso mas simple:
f (x) = 11−x =
∑∞n=0 xn converge si |x | < 1 representa una
serie de potencia centrada en 0.
f (x) = 1/21− 1+x
2= 1
2∑∞
n=0(x+1
2 )n converge en ]− 3,1[
representa una serie de potencia centrada en −1.
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Representacin de Funciones por Series dePotencia.
Estudiaremos...varios metodos que permiten hallar la serie de potencia querepresenta a una funcion dada.
El caso mas simple:
f (x) = 11−x =
∑∞n=0 xn converge si |x | < 1 representa una
serie de potencia centrada en 0.
f (x) = 1/21− 1+x
2= 1
2∑∞
n=0(x+1
2 )n converge en ]− 3,1[
representa una serie de potencia centrada en −1.
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
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Ejemplos
Hallar una serie de potencia para:
f (x) = 11−x centrada en cero
f (x) = 11−x centrada en −1
f (x) = 11+x centrada en cero
f (x) = 11+x2 centrada en cero
f (x) = 4x+2 centrada en cero
f (x) = 1x centrada en 1
f (x) = 3x−1x2−1 centrada en cero
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Teorema.
Para el ultimo ejemplo planteado anteriormente, debemospensar en...
Operaciones con Series de Potencia.
Sean f (x) =∑
anxn y g(x) =∑
bnxn.
f (kx) =∑
anknxn
f (xN) =∑
anxnN
f (x)± g(x) =∑
(an ± bn)xn
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Teorema.
Para el ultimo ejemplo planteado anteriormente, debemospensar en...
Operaciones con Series de Potencia.
Sean f (x) =∑
anxn y g(x) =∑
bnxn.
f (kx) =∑
anknxn
f (xN) =∑
anxnN
f (x)± g(x) =∑
(an ± bn)xn
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Teorema.
Para el ultimo ejemplo planteado anteriormente, debemospensar en...
Operaciones con Series de Potencia.
Sean f (x) =∑
anxn y g(x) =∑
bnxn.
f (kx) =∑
anknxn
f (xN) =∑
anxnN
f (x)± g(x) =∑
(an ± bn)xn
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Teorema.
Para el ultimo ejemplo planteado anteriormente, debemospensar en...
Operaciones con Series de Potencia.
Sean f (x) =∑
anxn y g(x) =∑
bnxn.
f (kx) =∑
anknxn
f (xN) =∑
anxnN
f (x)± g(x) =∑
(an ± bn)xn
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Observacion.
Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiar
En el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.
Ejemplo.
Encontrar la representacion en series de potencia def (x) = arc tg(x)
Vamos a pensar en...
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Observacion.
Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiarEn el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.
Ejemplo.
Encontrar la representacion en series de potencia def (x) = arc tg(x)
Vamos a pensar en...
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Observacion.
Bajo estas operaciones el intervalo de convergencia puedecambiarEn el caso de la suma, el intervalo de convergenciacorresponde a la interseccion de los intervalos deconvergencia de las dos series originales.
Ejemplo.
Encontrar la representacion en series de potencia def (x) = arc tg(x)
Vamos a pensar en...
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Derivacion e Integracion de Series de Potencia.
TeoremaSi f (x) =
∑∞n=0 an(x − xo)
n es una serie de potencia de radiode convergencia R > 0.Entonces, f es continua, derivable e integrable y tienen elmismo intervalo de convergencia, sin embargo pueden diferiren sus puntos terminales.f ′(x) =
∑∞n=1 nan(x − xo)
n−1∫f (x)dx = C +
∑∞n=0 an
(x−xo)n+1
n+1Ademas,∫ x
0 f (t)dt =∑∞
n=0 an(x−xo)n+1
n+1
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Hallar los intervalos de convergencia para:a) f (x) b) f ′(x) c)
∫f (x)dx∑ xn
n
∑(x
2 )n∑ (−1)n+1(x−5)n
n5n
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Hallar los intervalos de convergencia para:a) f (x) b) f ′(x) c)
∫f (x)dx∑ xn
n∑(x
2 )n
∑ (−1)n+1(x−5)n
n5n
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Hallar los intervalos de convergencia para:a) f (x) b) f ′(x) c)
∫f (x)dx∑ xn
n∑(x
2 )n∑ (−1)n+1(x−5)n
n5n
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejercicios
Escribir las siguientes funciones como series de potencia:
f (x) = arc tg(x)
f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)
ObservacionEvidentemente, no todas las funciones tienen unarepresentacion en series de potencias... o bien no es tansimple.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejercicios
Escribir las siguientes funciones como series de potencia:
f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)
f (x) = ln(x + 1)
ObservacionEvidentemente, no todas las funciones tienen unarepresentacion en series de potencias... o bien no es tansimple.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejercicios
Escribir las siguientes funciones como series de potencia:
f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)
ObservacionEvidentemente, no todas las funciones tienen unarepresentacion en series de potencias... o bien no es tansimple.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejercicios
Escribir las siguientes funciones como series de potencia:
f (x) = arc tg(x)f (x) = ln(x)f (x) = ln(x + 1)
ObservacionEvidentemente, no todas las funciones tienen unarepresentacion en series de potencias... o bien no es tansimple.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Polinomios de Taylor
DefinicionSea I un intervalo abierto, con xo ∈ I. Dado n ∈ N yf : I ⊆ R −→ R una funcion n veces derivable en x = xo,entonces se define el n-esimo polinomio de Taylor de falrededor de xo, como:
Pn(x) = f (xo)+f ′(xo)(x−xo)+f (2)(xo)
2!(x−xo)
2+...+f (n)(xo)
n!(x−xo)
n
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de cero
Si f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1
1−x encontrar Pn(x) con xo = 0.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1
Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1
1−x encontrar Pn(x) con xo = 0.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0
Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1
1−x encontrar Pn(x) con xo = 0.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2π
Si f (x) = 11−x encontrar Pn(x) con xo = 0.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
Si f (x) = ex encontrar P5(x) alrededor de ceroSi f (x) = ln(x) encontrar P4(x) alrededor de 1Si f (x) = ln(x + 1) encontrar P4(x) alrededor de 0Si f (x) = sen(x) encontrar Pn(x) con xo = 2πSi f (x) = 1
1−x encontrar Pn(x) con xo = 0.
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Resto del Polinomio de Taylor
DefinicionSe define el n-esimo resto de Taylor rn(x) de f alrededor de xo,como:
rn(x) = f (x)− Pn(x)
Teorema
Si n ∈ N, f (n) existe en un intervalo abieto I que contiene a xo.Entonces, ∀x ∈ I, x 6= xo existe tx entre xo y x tal que:f (x) = Pn(x) + rn(x)con:
rn(x) =f (n+1)(tx)(n + 1)!
(x − xo)n+1
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Resto del Polinomio de Taylor
DefinicionSe define el n-esimo resto de Taylor rn(x) de f alrededor de xo,como:
rn(x) = f (x)− Pn(x)
Teorema
Si n ∈ N, f (n) existe en un intervalo abieto I que contiene a xo.Entonces, ∀x ∈ I, x 6= xo existe tx entre xo y x tal que:f (x) = Pn(x) + rn(x)con:
rn(x) =f (n+1)(tx)(n + 1)!
(x − xo)n+1
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplo
Aproximar e con un error menor a 0,001
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
DefinicionSi una funcion f tiene derivadas de todos los ordenes en xo, sellama Serie de Taylor de f centrada en xo, a la serie:
∞∑n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n =
f (xo)+f ′(xo)(x−xo)+f (2)(xo)
2!(x−xo)
2+...+f (n)(xo)
n!(x−xo)
n+...
Si x = xo la serie se conoce como Serie de Maclaurin de f .
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Series de Taylor
TeoremaSupongamos que:
f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo Ique contiene a xo
Existe M > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ M para todo x ∈ I y n ≥ N(N fijo).
Entonces, la serie de Taylor de f en xo converge a f (x) paracada x ∈ I, es decir:
f (x) =∞∑
n=0
f (n)(xo)
n!(x − xo)
n, x ∈ I
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
f (x) = sen(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n+1
(2n+1)! , x ∈ R
f (x) = cos(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n
(2n)! , x ∈ R
f (x) = ex =∑∞
n=0xn
n! , x ∈ R
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
f (x) = sen(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n+1
(2n+1)! , x ∈ R
f (x) = cos(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n
(2n)! , x ∈ R
f (x) = ex =∑∞
n=0xn
n! , x ∈ R
SERIES de POTENCIA y POLINOMIOS de TAYLOR
Ejemplos
f (x) = sen(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n+1
(2n+1)! , x ∈ R
f (x) = cos(x) =∑∞
n=0(−1)nx2n
(2n)! , x ∈ R
f (x) = ex =∑∞
n=0xn
n! , x ∈ R