1
Shpërndarjet e mostrave dhe
intervalet e besueshmërisë për
mesatare aritmetike dhe përpjesën
Ligjërata e shtatë
Shpërndarja e mostrave dhe intervalet e
besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe
proporcion/përqindje
2
Qëllimet
Pas kësaj ore të ligjëratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Defioni dhe konstruktoni shpërndarjen e mesatareve të mostrave
Spjegoni Teoremën Qendrore Kufitare.
Llogaritni intervalin e besimit për mesatare dhe proporcione/përqindje të tërësisë së përgjithshme.
Përcaktoni madhësinë e mostrës për mesataren aritmetike
2
3
Procesi i nxjerrjes së
konkluzioneve nga mostra
Populacioni
Mostra
Statistikat
e mostrës
Vlerësimet
& Testet
Xm, Pm
4
Gabimi i rastësishëm i mostrës
Statistikat e mostrës përdoren për të vlerësuar
Parametrat e Populacionit
p.sh: X është një vlerësim për mesataren e
populacionit, μ
Probleme:
Mostra të ndryshme ofrojnë vlerësime të
ndryshme të parametrave të populacionit
Rezultatet e mostrës kanë variabilitet
potencial, dhe për këtë ekziston gabimi i
mostrës.
X
3
5
Llogaritja e gabimit të mostrës
Gabimi i rastësishëm i mostrës:
Dallimi në mes të vlerës (statistikës) të
llogaritur nga mostra dhe vlerës
korresponduese (parametrit) të llogaritur nga
populacioni.
Shembull: (për mesatare)
ku:
Gabimi i mostres x - μ
x mesatarja e mostres
μ mesatarja e populacionit
6
Rishikim
Mesatarja e populacionit: Mesatarja e mostrës:
N
xμ i
ku:
μ = Mesatarja e populacionit
x = Mesatarja e mostrës
xi = Vlerat në populacion ose mostër.
N = madhësia e populacionit
n = madhësia e mostrës
n
xx
i
4
7
Shembull
Nëse mesatarja e populacionit është μ
= 98.6 shakllë dhe mostra prej n = 5
elemente me mesatare aritmetike
= 99.2 shkallë , atëherë gabimi i
mostrës është
x μ 99.2 98.6 0.6 shkalle
x
8
Gabimet e mostrës
Mostrat e ndryshme do të kenë gabime të ndryshme të mostrës.
Gabimi i mostrës mund të jetë negativ dhe pozitiv
( mund të jetë më e vogël ose më e madhe se μ)
Gabimi i pritur i mostrës do të zvogëlohet me
rritjen e madhësisë së mostrës.
x
5
Distribucioni (shpërndarja) i mesatareve artimetike të mostrës/zgjedhjes
Shpërndarja e mesatareve aritmetike të
mostrave paraqet shpërndarjen e
probabiliteteve të gjitha vlerave të
mundshme që variabla e rastësishme
mund të marrë, e të cilat fitohen përmes
llogaritjes nga të gjitha mostrat me
madhësi n, të zgjedhura rastësisht nga
popullimi i vrojtuar.
9
X
X
10
Krijimi i distribucionit të mesatareve artimetike të mostrës
Supozojmë se kemi një populacion …
Madhësia e populacionit N=4
Variabla e rastësishme, x,
është mosha e individëve
Vlerat për x: 18, 20,
22, 24 (vjet)
A B C D
6
11
0.3
0.2
0.1
0 18 20 22 24
A B C D
Distribuimi uniform/ i njëtrajtshëm
P(x)
x
(vazhdim)
Treguesit përmbledhës për distribucionin e populacionit:
Krijimi i shpërndarjes së popullimit
ix
μN
18 20 22 2421
4
2
i(x μ)σ 2.236
N
12
1-rë
Vrojtimi i 2të
Vroj 18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
16 mostra të
mundshme (mostra
me përsëritje)
Tani marrim në konsiderim të gjitha
mostrat e mundshme me madhësi n=2
1-rë Vrojtimi i 2-të
Vroj. 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
(vazhdim)
Krijimi i shpërndarjes së mostrës
16 mesatare
të mostrave
7
13
1rë Vrojtimi i 2-të
Vroj 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
Distribucioni samping i të gjitha mesatareve të
mostrës
18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3
P(x)
x
Shpërndarja e mesatareve të
mostrës
16 Mesatare të mostrës
_
(vazhdim)
(jo më i njëtrajtshëm)
Krijimi i shpërndarjes së mostrës
14
Treguesit përmbledhës të distribucionit
sampling (të mesatareve të mostrës):
Krijimi i distribucionit të mesatareve të mostrave
(vazhdim)
2116
24211918
N
xμ i
x
2i
x
x
2 2 2
(x μ )σ
N
(18-21) (19-21) (24-21)1.58
16
8
15
Krahasimi i shpërndarjes së populacionit dhe shpërndarjes së mostrave
18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3 P(x)
x 18 20 22 24
A B C D
0
.1
.2
.3
Popullimi N = 4
P(x)
x _
2.236σ 21μ
Shpërndarja e mesatareve të mostrës
n = 2
21 1.58X X
16
Shpërndarja e mesatareve të mostrës:
Gabimi standard i mesatares
Mostra të ndryshme me madhësi të njëjtë dhe nga
popullimi i njëjtë do të kenë mesatare të ndryshme.
Variabiliteti i mesatares nga një mostër në tjetrën matet
me Gabimin Standard të mesatares: (Ky supozim vlen për mostra me përsëritje dhe pa përsëritje
nga një populacioni pa fund/pa kufi)
Me rritjen e numrit të elementeve në mostër gabimi
standard i mesatares zvogëlohet.
n
σσ
X
9
17
Nëse populacioni është normal
Nëse populacioni është normal me
mesatare μ dhe devijim standard σ,
shpërndarja e mostrave të mesatareve
gjithashtu ka shpërndarje normale me
dhe
x
μμx
n
σσx
18
Kur Populacioni është Normal
Mesatarja aritmetike
Variacioni
Mostra me përsëritje
Shpërndarja e populacionit
Shpërndarja e mostrave
X
Xn
X50
X
4
5X
n
16
2.5X
n
50
10
10
19
Kur populacioni nuk është normal
Mesatarja aritmetike
Variacioni
Mostra me përsëritje
Shpërndarja e populacionit
Shpërndarja e mostrave
X
Xn
X50
X
4
5X
n
30
1.8X
n
50
10
20
Nëse populacioni nuk është normal
Mund të aplikojmë Teoremën Qendrore Kufitare
Edhe nëse populacioni nuk është normal ,
…mesataret e mostrës nga populacioni do të jenë
përafërsisht normale nëse madhësia e mostrës është
më e madhe
…dhe shpërndarja e mesatareve të mostrës do të
ketë dhe
μμx
n
σσx
11
21
n↑
Teorema Qendrore Kufitare
Me rritjen e
madhësisë
së
mostrës…
Shpërndarja e
mesatareve të
mostrës bëhet
pothuajse
normale si
forma e
populacionit.
x
22
Shpërndarja e populacionit
Shpërndarja e mostrës
(bëhet normale me rritjen e n)
Mesatarja aritmetike
Variacioni
(Mostra me përsëritje)
x
x
Mostra
më e
madhe
Mostra më e
vogël
Nëse populacioni nuk është normal (vazhdim)
Vetitë e shpërndarjes
së mesatareve:
μμx
n
σσx
xμ
μ
12
23
Sa është mjaft e madhe mostra?
Për shumicën e shpërndarjeve , n ≥ 30
do të jap shpërndarjen e mesatareve
gati normale.
Për shpërndarjet gati simetrike, n ≥ 15
Për shpërndarjen e populacionit
normal, shpërndarja e mostrave të
mesatareve gjithmonë ka shpërndarje
normale.
Intervalet e besueshmërisë
për mesatare aritmetike dhe
përpjesën/përqindje
24
13
25
Parametrat e populacionit vlerësohen me interval besimi
Vlerësimi i parametrave
të populacionit...
Me statistika të
Mostrës
Mesatarja
Proporcioni p
Varianca s 2
Dallimet 1 2 1 2
2
X
X X
p
26
Procesi i vlerësimit të intervalit
të besimit
Mesatarja, ,
është e
panjohur
Populacioni Mostra e rastësshme
Unë jam
95% i
sigurt/konfi
dent se
është në
mes të 40 &
60.
Mesatarja
X = 50
14
27
Vlerësimi i intervalit të besimit
Siguron një gamë të vlerave.
Merr në konsiderim variacionet në statistikat e mostrës nga një mostër në tjetrën
Bazohet në vrojtimet nga një mostër
Jep informata rreth afërsisë së parametrave të panjohur të populacionit.
Jepet në kuptimin e nivelit të konfidencës/besueshmërisë
Kurr 100% i sigurt
28
Elementet e vlerësimit të
intervalit të besimit
Intervali i besimit
Statistikat e
mostrës
Kufiri i konfidencës
/besueshmërisë (I ulëti)
Kufiri i konfidencës
/besueshmërisë (I lartë)
Probabiliteti se parametri i populacionit
gjindet diku brenda intervalit të besimit
15
Intervalet e besueshmërisë për
mesatare aritmetike
Intervali i besimit të mesatares aritmetike-
ndërtmi:
1. Pikënisje është vlerësimi pikësor, pra
mesatarja e zgjedhjes;
2. Gjindet gabimi mesatar i
zgjedhjes/mostrës për mesataren
3. Caktohet siguria apo probabiliteti sipas
nivelit të cilit intervali i besimit mund të
zgjerohet apo të ngushtohet 29
xn
Intervalet e besueshmërisë për mesatare
aritmetike
Gjatë ndërtimit të intervalit të besimit
ndeshemi me dy situata:
Kur dihet devijimi standard i popullimit
Kur nuk dihet devijimi standard i
popullimit
30
16
Intervalet e besueshmërisë për mesatare
aritmetike të populacionit kur dihet
devijimi standard i populacionit
31
32
Intervalet e besueshmërisë për mesata
re aritmetike të populacionit kur dihet devijimi standard
i populacionit
Gabimi standard i mesatareve të mostrës
është gabimi standard i distribucionit të
mesatareve aritmetike të mostrave të
Llogaritet përmes :
është simboli për gabimin standard të
mesatareve të mostrës.
është devijimi standard i populacionit.
n- është madhësia e mostrës
xn
x
8-16
17
33
Gabimi standard i mesatareve të mostrës
Nëse është i panjohur dhe
,devijimi standard i mostrës i shënuar me
shfrytëzohet për të vlerësuar përafërsisht
devijimin standard të populacionit.
Formula për gabimin standard të
mesatares merr këtë formë:
n30
x
ss
n
8-17
Xs
34
Intervali i besueshmërisë së mesatares
aritmetike të populcionit në përgjithësi
Në përgjithësi , intervali i besueshmërisë për mesatare
aritmetike të populacionit llogaritet me formulën vijuese:
X Z osen
X Z X Zn n
8-19
18
Intervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të
populacionit në përgjithësi
35
X Z X Zn n
X - Mesatarja e mostres
Z -Variabla e standardizuar-për nivelin e dhënë të
signifikancës
n
- Gabimi standard i mesatares aritmetike
- Mesatarja aritmetike e popullimit
36
Probabilitetin që parametri i panjohur i populacionit gjindet në mes të intervalit të besueshmërisë.
Niveli i konfidencës/besueshmërisë
Niveli i
Besueshmerise/konfiden
ces
Vlerat korresponduese të Z
(për të dy anët e lakores
normale)
90% 1.645
95% 1.96
98% 2.33
99% 2.58
19
37
Vlerësimi i intervalit
Një interval i vlerësimit tregon vargun
brenda të cilit ka gjasë të gjendet
parametri i populacionit.
Intervali brenda të cilit pritet të gjendet
parametri i populacionit quhet interval i
besueshmërisë.
Dy intervale të besueshmërisë që
shfrytëzohen më së shumti janë 95% dhe
the 99%.
8-14
38
Shembull 1.
Dekani i shkollës së biznesit dëshiron të vlerëson
numrin mesatar të orëve që një student punon
gjatë javës. Mostra prej 49 studentëve ka treguar
mesataren për 24 orë brenda javës me devijim
standard 4 orë.
Pika e vlerësimit është 24 orë (mesatarja e
mostrës).
Cili është intervali i besueshmërisë me 95% për
numrin mesatar të orëve të punës gjatë javës të
studentëve të shkollës së biznesit?
8-20
20
39
SHEMBULL 1 vazhdim
Duke shfrytëzuar 95% intervali i besueshmërisë
për mesataren e populacionit kemi:
Përfundimet e intervalit të besimit janë kufijtë e
besueshmërisë .
Kufiri i ulët i besueshmërisë është 22.88 orë dhe
Kufiri i lartë i besueshmërisë është 25.12 orë.
24 1.96(4 / 7) 22.88 25.12gjer te
8-21
40
Vlerësimi i intervalit
Intervali i besueshmërisë 95% nënkupton se 95% e intervaleve të konstruktuara do të përmbajë parametrin e vlerësuar të populacionit, ose 95% e mesatareve të mostrave për një mostër me madhësi të caktuar do të gjindet brenda 1.96 devijime standarde për mesataren aritmetike të supozuar të populacionit.
Intervali i besueshmërisë 99% nënkupton se 99% e mesatareve të mostrës për madhësi të caktuar të mostrës do të jetë në mes të 2.58 devijime standarde për mesataren e supozuar të populacionit.
8-15
21
Intervali i besueshmërisë për
mesataren e populimit
95% Internali i besueshmerise per mesataren e populimit :
1.96 , 1.96
zakonisht shkruhet
1.96
x xn n
xn
Shembull 60, 30.4, 1.6
95% Intervali i besueshmerise per
1.630.4 1.96
60
30.4 .405
(29.995,30.805)
Ne jemi 95% konfident se intervali
prej 29.995 deri te 30.805 permban
vleren e mesatares aritmetike te populimit
n x
22
98% Intervali i besueshmërisë
2.33 , 2.33
E shkruar zakonisht
2.33
Per
x xn n
xn
44
Intervalet e besueshmërisë 99% për
mestaren e populacionit ( µ )
Për 99% kur n≥30, intervali i
besueshmërisë për mesataren e
populacionit ( µ ) është:
2.58mXn
8-18
23
Shembull
42 51 42 31 28 36 49 36 41
29 46 37 32 27 33 41 29 37
47 41 28 46 34 39 48 31 38
26 35 37 38 43 48 39 44 46
45
Shembull: Të dhënat e mëposhtme prezantojnë moshën e punëtorëve në një
mostër të rastit prej 36 punëtorëve të zgjedhur nga numri i gjithëmbarshëm i
punëtorëve të një firmë që merret me tregti me shumicë dhe pakicë. Vlera e
devijimit standard të moshës dihet dhe është 2.55 vjet.
a. Sa është pika e vlerësimit për mesatare aritmetike të popullimit, gjegjësisht për
moshën mesatare të punëtorëve të firmës së caktuar?
b. Formoni intervalin e besueshmërisë për 90%, 95% dhe 98%
c. Sa është gabimi margjinal (kufiza e gabimit) për secilin interval.
Zgjidhje
46
2.55=36; 2.55 ; 0.425
36X
n vjetn
•Pikë e vlerësimit për mesataren aritmetike të popullimit është mesatarja aritmetike e mostrës së zgjedhur që është e barbartë me :
Informata nga shembulli janë:
42 51 ... 4638.2
36
XX vjet
n
38.2X vjet
24
Zgjidhje
47
•Intervalet e besimit për nivele të ndryshme të besueshmësisë janë si vijon:
Nëse analizojmë intervalet e konstruktuara për mesataren e popullimit, do të shohim se me rritjen e nivelit të besueshmërisë për numër të njejtë të elementeve në mostër , gjerësia e intervalit të vlerësimit do të jetë më e gjerë, gjegjësisht marzha e gabimit (gabimi kufi) do të rritet nga
0.70125 në 0.833 në 0.99025.
Intervali besueshmërisë për mesatare
aritmetike të populacionit µ kur nuk dihet
devijimi standard i populacionit
Në situatat reale , gjegjësisht në kushtet praktike të
zgjedhjes së mostrave, njohja e devijimit standard të
popullimit është rast shumë i rrallë.
Ashtu siç ,zakonisht, nuk dihet mesatarja e popullimit ,
ashtu nuk dihet edhe devijimi standard i popullimit .
Për këtë, për të konstruktuar intervalin e besimit për
mesatatre aritmetike të popullimit ne duhet të përdorim
mesataren aritmetike të llogaritur nga mostra dhe
devijimin standard nga mostra.
48
25
Në kushtet praktike të konstruktimit të intervalit të besimit
ku nuk dihet devijimi standard i popullimit mund të hasim
në situata kur:
Mostra është e vogël ( n<30) dhe popullimi ka
shpërndarje normale dhe
Mostra është e madhe (n>30) dhe nuk dihet devijimi
standard i popullimit.
Në këto raste përdorim Shpërndarjen “Studenti” (t) në
vend të Shpërndarjes normale Standarde (Z).
49
Intervali besueshmërisë për mesatare aritmetike të
populacionit µ kur nuk dihet devijimi standard i
populacionit
SHPËRNDARJA “STUDENTI” t
Në fund të shekullit njëzet statisticienti me emrin William
S. Gosset, një i punësuar në Guinness Breweries në
Irlandë, ka qenë i interesuar në bërjen e vlerësimeve
rreth mesatares aritmetike të popullimit kur nuk dihet
devijimi standard i popullimit.
Meqenëse të punësuarit në Guinness nuk i është lejuar
që të publikojnë punimet e tyre me emrin e vet, Gosset
ka përshtatur me pseudonimin “Studenti”.
Shpërndarjen të cilën ai e ka konstruktuar është quajtur
“Shpërndarja t ”Studenti”
50
26
KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI
Në dukje, Shpërndarja t është shumë e ngjashme me
shpërndarjen normale standarde.
Të dy shpërndarjet janë simetrike në formë të
kambanës.
Megjithatë, Shpërndarja Studenti ka më shumë
sipërfaqe në të dy skajet e lakores dhe më pak në
qendrën e lakores se sa lakorja e shpërndarjes normale
standarde.
Shpërndaja t është simetrike rreth zeros (0) që paraqet
mesataren aritmetike të çdo shpërndarje t .Shih figurën
vijuese:
51
Shpërndarja Standarde normale Z dhe Shpërndarja t për 6 shkallë lirie
52
KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI
27
Përhapja e shpërndarjes t është e dhënë me numrin e
shkallëve të lirisë të cilat shënohen me df ose shkalle
të lirisë (Sh.l)
Për një mostër me madhësi n shkallët e lirisë janë:
Me rritjen e elementeve në mostër n, shkallët e lirisë
gjithashtu rriten.
Me rritjen e elementeve në mostër dhe me rritjen e
shkallëve të lirisë, përhapja e lakores t zvogëlohet.
Me rritjen e shkallëve të lirisë, lakorja në mënyrë
graduale i afrohet lakores së shpërndarjes normale derisa
këto të dyja të bëhen identike.
Nëse n ≥ 30, atëherë df = n – 1 = 29, lakorja t është
shumë e ngjashme me lakoren normale standarde
53
KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI
1df n
Vlerat kritike të shpërndarjes t , për shkallë të
caktuara të lirisë mund të gjinden nga Tabela e
Shpërndarjes Studenti.
Tabela e Shpërndarjes Studenti është e
përbërë nga disa kolona dhe disa rreshta .
Kolonat i korrespondojnë probabilitetit në skajet
e lakores , kurse rreshtat tregojnë numrin e
shkallëve të lirisë që është më i vogël për 1 nga
madhësia e mostrës, gjegjësisht n-1.
54
KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI
28
Tabela e shpërndarjes Studenti
55
Procedura për përdorimin e Tabelës së shpërndarjes Studenti është
si në vijim:
Së pari, përcaktojmë vlerën e α , gjegjësisht nivelin e signifikancës
dhe e ndajmë me 2 , gjegjësisht (psh, Nëse
Së dyti , gjejmë kolonën në shpërndarjen t që i përgjigjet t0.025.
Së treti, Gjejmë numrin e shkallëve të lirisë duke llogaritur n-1 dhe
e përdorim rreshtin që i përgjigjet shkallëve të lirisë korresponduese.
(P.sh. Nëse
Së katërti, lexojmë vlerën e t në prerjen e rreshtit dhe kolonës që
kemi identifikuar. Në rastin tonë kemi t0.025 dhe df=19, vlera e t është
e barabartë me 2.093
56
/ 2
0.05, / 2 0.05 / 2 0.025atehere
20, 1 20 1 19, 19n n df
29
Pjese e shpërndarjes Studenti
57
Paraqitja grafike
58
t
Meqenëse shpërndarja është simetrike , atëherë nëse vlera e t në anën e
djathtë është 2.093, atëherë vlera e në anën e majtë do të jetë -2.093. Kjo do
të thotë se probabiliteti që do të tejkalojë vlerën 2.093 është 0.025 ose 2.5%.
30
KONSTRUKTIMI I INTERVALIT TË BESIMIT PËR MESATARE TË
POPULLIMIT KUR NUK DIHET DEVIJIMI STANDARD
59
Për të konstruktuar intervalin e besimit për mesatare të popullimit µ i bazuar në
shpërndarjen t të Studentit , ne thjesht zëvendësojmë vlerat tabelore të
Shpërndarjes standarde normale Z me vlerat tabelore të Shpërndarjes t.
Shembull:
Koha për kryerjen e një pune e shprehur në minuta është si vijon.
3.6; 4.2; 4.0; 3.5; 3.8; 3.1.minuta.
Sa është intervali i besimit me 90% për kohën mesatare për të kryer
punën?
Zgjidhje: Informatat nga shembulli janë: n=6; shkallët e lirisë n-1=6-1=5, df=5
Niveli i besueshmërisë është 90% , gjegjësisht (1-α) 100% =90%,
prej këtu, α=10%, si koeficient α=0.10, kurse α/2= 0.10/2=0.05.
Vlera tabelore e Shpërndarjes t për t0.05 dhe df=5 është: 2.015
Për të konstruktuar intervalin e besimit për µ duhet të llogarisim
mesataren aritmetike si pikë e vlerësimit, nga të dhënat e mostrës
prej 6 elementeve, si dhe devijimin standard S nga mostra,
gjegjësisht:
60
31
61
13.6 4.2 4.0 3.5
33.8 3.1
.7
n
i
i
X
n nX
2( )2 2 2 2 2 2(3.6 3.7) (4.2 3.7) (4.0 3.7) (3.5 3.7) (3.8 3.7) (3.1 3.7)1 0.38987
1 6 1
nX Xi
iSn
0.38987 0.389873.7 2.015 3.7 2.015
6 6
Pika e vleresimit, gjegjesisht mesatrja aritmetike e mostres
62
32
Koncepti i përpjesës është i njëjtë me konceptin e
frekuencave relative ose frekuencave në përqindje.
Përpjesa e popullimit që shënohet me p fitohet duke
vënë në raport numrin e elementeve të popullimit me
karakteristikën gjegjëse dhe numrit të tërësishëm të
elementeve në popullim.
Përpjesa e mostrës, e cila shënohet me (lexohet p-
bar) fitohet nga raporti i njëjtë por tani në mostër.
63
p
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.
Përpjesa e popullimit që shënohet me p dhe përpjesa e
mostrës që shënohet me janë të dhëna me formulat
vijuese:
Ku:
N – numri i të gjitha elementeve në populacion
N1 – numri i elementeve në populacion me
karakteristikën gjegjëse
n- numri i elementeve në mostër
m- numri i elementeve në mostër me karakteristikën
gjegjëse 64
p
1N mp dhe p
N n
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e
populacionit.
33
Shembull:
Supozojmë se firma që prodhon automobila gjatë një viti
kalendarik ka prodhuar 3400 automobila ku 66 prej tyre
janë me defekt. Është zgjedhur një mostër e rastit prej
162 automobilave dhe ka dalë që në mesin e tyre 3 janë
me defekt.
Përcaktoni përpjesën e automobilave që janë me defet
në populacion dhe përpjesën e automobilave që janë me
defekt në mostër.
65
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e
populacionit.
Zgjidhje
Nëse populacion e konsiderojmë prodhimin e automobilave gjatë një viti
kalendarik, atëherë kemi këto të informata:
N=3400- numri i gjithëmbarshëm i automobilave të prodhuar brenda vitit
N1=66 – numri i automobilave me defekt në populacion
Në bazë të formulës. përpjesa e automobilave me defet do të jetë:
66
1 660.01941
3400
Np
N
Prej këtu mund të themi se përpjesa e automobilave me defet është 0.01941. Nëse përpjesën e shndërrojmë në përqindje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi
(0.01941 100 1.94%)
Mund të themi se gjatë një viti kalendarik në mesin e automobilave të prodhuar, 1.94% e tyre janë me defekt. ( Kuptimi dhe interpretimi i përpjesës gjithmonë është më i qartë nëse e shprehim në përqindje).
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.
34
Nëse e kemi zgjedhë mostrën prej 162 automobilave dhe kemi pa se
3 prej tyre janë me defekt, gjegjësisht:
n=162, numri i automobilëve të zgjedhur në mostër
m= 3, numri i automobilave në mostër që janë me defekt.
Prej këtu përpjesa e mostrës është si vijon:
Prej këtu mund të themi se përpjesa e automobilave me defekt në
mostër është 0.01852. Nëse përpjesën e llogaritur e shndërrojmë në
përqindje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi 1.85% . Në
mesin e automobilave të prodhuar, 1.85% e tyre janë me defekt.
67
30.01852
162
mp
n
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.
Nëse analizojmë përpjesën e llogaritur nga populacioni ,
dhe përpjesën e llogaritur nga mostra , do të shohim se
kemi dy rezultate që janë të ndryshme, që pothuajse gjithmonë
ndodhë kështu, që statistika e llogaritur nga mostra ndryshon nga
parametri i popullimit.
Dallimi në mes të këtyre të dyjave paraqet gabimin e
rastësishëm të mostrës, gjegjësisht:
Përpjesa e mostrës është pikë e vlerësimit të përpjesës së
populacionit dhe ashtu si mesatarja e mostrës është variabël e
rastit e cila mund të marrë vlera të ndryshme prej në mostre në
mostrën tjetër.
68
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.
0.01941p 0.01852p
( dhep)p
Gabimi i rastit i mostr s 0.01852 0.01941 0.00089ë p p
35
Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e
populacionit. Teoria dhe procedura e përcaktimit të
intervalit të besimit për përpjesën është e
njejte sikurse te intervali i mesatares
aritmetike.
Pika e vlerësimit për proporcionin e
popullimit gjindet duke vënë në raport
numrin e rasteve të volitshme me numrin
përgjithshëm në mostër.
69
mp
n
70
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën
e populacionit.
8-22
Intervali i besueshmërisë për përpjesën e
populacionit vlerësohet përmes :
ose pp z
p pp z p zp
36
Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e
populacionit.
71
p pp z p zp
p - Përpjesa e mostrës
- Variabla e standardizuar për nivelin e dhënë të
besueshmërisë
- Gabimi standard i përpjesës
p - Përpjesa e popullimit i popullimit
p
Z
72
Gabimi standard i përpjesës
8-22
1
p
p q
n
p perpjesa emostres
mp
n
q p
n numri i elementevenemoster
m numri i rasteve tevolitshme
37
73
SHEMBULL
Nga 900 konsumatorë , 414 kanë deklaruar se janë të kënaqur me produktin e ri. Përcaktoni intervalin e besimit të përpjesës së populacionit me koeficient të probabilitetit 99%.
(0.46)(0.54)0.46 2.58 ose 0.46 0.04128
900
0,41872 0,50128
41,872% 50,128%
P
P
8-23
4140,46, 0.54
900m
mp q
n
Shembull
Një studim është bërë për të për të përcaktuar
përpjesën e votuesve që mendojnë se qeveria e tyre
lokale është duke bërë punë të mirë. Nga 200 votues të
intervistuar, 150 kanë deklaruar se qeveria e tyre lokale
është duke punuar mirë. Kalkuloni intervalin e besimit
me nivel të besueshmërisë 99% për populacionin në
tërësi që mendojnë se qeveria e tyre është duke bërë
punë të mirë.
74
38
Zgjidhje
Së pari gjejme pikën e vleresimit të përpjesës:
Së dyti: Gjejmë gabimin standard të përpjesës:
Se treti gjemë vlerën e z për nivel te besueshmerisë 99%
Z= 2.58
Se katerti zëvendësojmë në formulën e intervalit te besimit
për përpjesën:
75
1500.75
200
mp
n
0.75 0.25 0.18750.000937 0.03062
200 200p
p q x
n
0.75 2.58 0.03062 0.75 2.58 0.03062
p pp z p zp
p
Zgjidhje
76
0.75 2.58 0.03062 0.75 2.58 0.03062
0.75 0.079 0.75 0.079
0.671 0.83 /100
67.1% 83%
p pp z p zp
p
p
p
p
39
Shembull për intervalin e besimit për përpjesën
Në një mostër të rastit prej 60 pronarëve të banesave të
zgjedhur në një qytet, 25 prej tyre kanë deklaruar se
kanë probleme me zhurmën e madhe që vjen nga
fqinjët e tyre. Konstruktoni intervalin e besueshmërisë
prej 99% për të gjithë pronarët e banesave që kanë
probleme me zhurmën. Intervalin e besimit e shprehni
në përqindje dhe komentoni rezultatin.
77
Faktori korrigjues i populacionit të
fundëm- te mesatarja Populacioni që e ka kufirin e sipërm të fiksuar /të
ditur, thuhet se është populacon i fundëm.
Për populacionin e fundëm, ku numri total i
objekteve është N dhe madhësia e mostrës është
n, duhet të bëhet përshtatja e gabimit standard
të mesatareve të mostrës dhe të proporconeve:
Gabimi standard i mesatareve të
mostrës:
xn
N n
N
1
8-24
Faktori
korrigjues
40
Faktori korrigjues i populacionit të fundëm-
te proporcionet
8-25
Gabimi standard i proporcioneve të mostrës:
Kjo përshtatje quhet Faktori korrigjues i
populacionit të fundëm.
Vërejtje: Nëse n/N < 0.05, faktori korrigjues i
popullimit të fundëm injorohet./nuk përdoret
(1 )
1p
p p N n
n N
Faktori
korrigjues
Shembull
8-26
Duke marrë në konsiderim të dhënat nga shembulli I
parë konstruktoni intervalin e besueshmërisë për
mesatare artimetike me nivel të konfidencës 95%
për numrin mesatar të sudentëve brenda javës nëse
në kampus ka 500 studentë.
Meqë n/N = 49/500 = 0.098>0.05, dhe populacioni
është i fundëm N=500, ne duhet të përdorim
faktorin korrigjues të populaconit të fundëm.
24 1964
49
500 49
500 122 9352 250648
. ( )( ) [ . , . ]
41
81
Zgjedhja e madhësisë së mostrës
Janë tre faktorë që determinojnë madhësinë
e mostrës:
Shkalla e zgjedhur e besueshmërisë; Kjo
zakonisht është 0.95 ose 0.99, por mund të jetë
çfardo niveli.
Gabimi maksimal i lejuar; Duhet të vendoset
për këtë. Është gabimi maksimal që mund të
tolerohet në një nivel të dhënë të
besueshmërisë.
Variacioni në populacion. Matet me devijimin
standard (Natyrisht, populacioni me variacion më
të vogël kërkon mostra më të vogla)
8-27
82
Zgjedhja e madhësisë së mostrës për mesatare
aritmetike
Madhësia e mostrës për mesatare: Formula e
përshtatshme për llogaritjen e madhësisë së
mostrës është:
ku : E- gabimi i lejuar,
Z -është vlera që është e lidhur me shkallën e
zgjedhur të besueshmërisë dhe
S - devijimi i mostrës nga anketa pilot.
2Z S
nE
8-28
42
Shembull
Një grup i konsumatorëve dëshiron të vlerësojë
hargjmet mesatare të rrymës elektrike për një famillje
në muajin korrik. Bazuar në studimet e mëhershme
devijimi standard është vlerësuar të jetë $20. Me nivel
të signifikancës prej 99% , me gabimin maksimal të
lejuar prej $5.00. Sa duhet të jetë e madhe mostra?
Zgjidhje
8-29
2 22,58 20
1075
Z Sn
E
Madhësia e mostrës për proporcione
8-30
Formula për përcaktimin e madhësisë së
mostrës në rastin e proporcioneve është:
p- është proporcioni i vlerësuar i bazuar në përvojën
e kaluar ose nga anketa pilot;
Z – është vlera e lidhur me shkallën e
besueshmërisë së zgjedhur;
E – maksimumi i gabimit të lejuar që mund të toleroj
hulumtuesi.
n p pZ
E
( )1
2
43
Shembull Një klub për kafshë shtëpiake dëshiron të
vlerësojë proporcionin e fëmijëve që kanë qen
në shtëpi. Nëse klubi dëshiron që vlerësimi të
jetë në mes 3% të proporcionit të populacionit
sa fëmijë duhet të përfshihen në mostër?
Supozojmë se niveli i signifikancës është 95%
dhe se klubi ka vlerësuar se 30% e fëmijëve
kanë qen në shtëpi.
8-31
2 21.96
(1 ) (0,3 0.7) 8970.03
Zn p p
E
Konceptet kyçe Shpërndarja e mostrave
Shpërndarja mesatareve të mostrës
Gabimi i rastësishëm i mostrës
Mesatarja e mesatareve të mostrës
Devijimi (gabimi ) standard i mesatareve të
mostrës;
Pika e vlerësimit të parametrave të populacionit
Intervali i besimit për mesatare dhe përpjesën e
populacionit
Vlerësimi madhësisë së mostrës për mesatare
dhe përpjesë.
86