1

Shpërndarjet e mostrave dhe

intervalet e besueshmërisë për

mesatare aritmetike dhe përpjesën

Ligjërata e shtatë

Shpërndarja e mostrave dhe intervalet e

besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe

proporcion/përqindje

2

Qëllimet

Pas kësaj ore të ligjëratave ju duhet të jeni në gjendje që të :

Defioni dhe konstruktoni shpërndarjen e mesatareve të mostrave

Spjegoni Teoremën Qendrore Kufitare.

Llogaritni intervalin e besimit për mesatare dhe proporcione/përqindje të tërësisë së përgjithshme.

Përcaktoni madhësinë e mostrës për mesataren aritmetike

2

3

Procesi i nxjerrjes së

konkluzioneve nga mostra

Populacioni

Mostra

Statistikat

e mostrës

Vlerësimet

& Testet

Xm, Pm

4

Gabimi i rastësishëm i mostrës

Statistikat e mostrës përdoren për të vlerësuar

Parametrat e Populacionit

p.sh: X është një vlerësim për mesataren e

populacionit, μ

Probleme:

Mostra të ndryshme ofrojnë vlerësime të

ndryshme të parametrave të populacionit

Rezultatet e mostrës kanë variabilitet

potencial, dhe për këtë ekziston gabimi i

mostrës.

X

3

5

Llogaritja e gabimit të mostrës

Gabimi i rastësishëm i mostrës:

Dallimi në mes të vlerës (statistikës) të

llogaritur nga mostra dhe vlerës

korresponduese (parametrit) të llogaritur nga

populacioni.

Shembull: (për mesatare)

ku:

Gabimi i mostres x - μ

x mesatarja e mostres

μ mesatarja e populacionit

6

Rishikim

Mesatarja e populacionit: Mesatarja e mostrës:

N

xμ i

ku:

μ = Mesatarja e populacionit

x = Mesatarja e mostrës

xi = Vlerat në populacion ose mostër.

N = madhësia e populacionit

n = madhësia e mostrës

n

xx

i

4

7

Shembull

Nëse mesatarja e populacionit është μ

= 98.6 shakllë dhe mostra prej n = 5

elemente me mesatare aritmetike

= 99.2 shkallë , atëherë gabimi i

mostrës është

x μ 99.2 98.6 0.6 shkalle

x

8

Gabimet e mostrës

Mostrat e ndryshme do të kenë gabime të ndryshme të mostrës.

Gabimi i mostrës mund të jetë negativ dhe pozitiv

( mund të jetë më e vogël ose më e madhe se μ)

Gabimi i pritur i mostrës do të zvogëlohet me

rritjen e madhësisë së mostrës.

x

5

Distribucioni (shpërndarja) i mesatareve artimetike të mostrës/zgjedhjes

Shpërndarja e mesatareve aritmetike të

mostrave paraqet shpërndarjen e

probabiliteteve të gjitha vlerave të

mundshme që variabla e rastësishme

mund të marrë, e të cilat fitohen përmes

llogaritjes nga të gjitha mostrat me

madhësi n, të zgjedhura rastësisht nga

popullimi i vrojtuar.

9

X

X

10

Krijimi i distribucionit të mesatareve artimetike të mostrës

Supozojmë se kemi një populacion …

Madhësia e populacionit N=4

Variabla e rastësishme, x,

është mosha e individëve

Vlerat për x: 18, 20,

22, 24 (vjet)

A B C D

6

11

0.3

0.2

0.1

0 18 20 22 24

A B C D

Distribuimi uniform/ i njëtrajtshëm

P(x)

x

(vazhdim)

Treguesit përmbledhës për distribucionin e populacionit:

Krijimi i shpërndarjes së popullimit

ix

μN

18 20 22 2421

4

2

i(x μ)σ 2.236

N

12

1-rë

Vrojtimi i 2të

Vroj 18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

16 mostra të

mundshme (mostra

me përsëritje)

Tani marrim në konsiderim të gjitha

mostrat e mundshme me madhësi n=2

1-rë Vrojtimi i 2-të

Vroj. 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

(vazhdim)

Krijimi i shpërndarjes së mostrës

16 mesatare

të mostrave

7

13

1rë Vrojtimi i 2-të

Vroj 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Distribucioni samping i të gjitha mesatareve të

mostrës

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

P(x)

x

Shpërndarja e mesatareve të

mostrës

16 Mesatare të mostrës

_

(vazhdim)

(jo më i njëtrajtshëm)

Krijimi i shpërndarjes së mostrës

14

Treguesit përmbledhës të distribucionit

sampling (të mesatareve të mostrës):

Krijimi i distribucionit të mesatareve të mostrave

(vazhdim)

2116

24211918

N

xμ i

x

2i

x

x

2 2 2

(x μ )σ

N

(18-21) (19-21) (24-21)1.58

16

8

15

Krahasimi i shpërndarjes së populacionit dhe shpërndarjes së mostrave

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3 P(x)

x 18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

Popullimi N = 4

P(x)

x _

2.236σ 21μ

Shpërndarja e mesatareve të mostrës

n = 2

21 1.58X X

16

Shpërndarja e mesatareve të mostrës:

Gabimi standard i mesatares

Mostra të ndryshme me madhësi të njëjtë dhe nga

popullimi i njëjtë do të kenë mesatare të ndryshme.

Variabiliteti i mesatares nga një mostër në tjetrën matet

me Gabimin Standard të mesatares: (Ky supozim vlen për mostra me përsëritje dhe pa përsëritje

nga një populacioni pa fund/pa kufi)

Me rritjen e numrit të elementeve në mostër gabimi

standard i mesatares zvogëlohet.

n

σσ

X

9

17

Nëse populacioni është normal

Nëse populacioni është normal me

mesatare μ dhe devijim standard σ,

shpërndarja e mostrave të mesatareve

gjithashtu ka shpërndarje normale me

dhe

x

μμx

n

σσx

18

Kur Populacioni është Normal

Mesatarja aritmetike

Variacioni

Mostra me përsëritje

Shpërndarja e populacionit

Shpërndarja e mostrave

X

Xn

X50

X

4

5X

n

16

2.5X

n

50

10

10

19

Kur populacioni nuk është normal

Mesatarja aritmetike

Variacioni

Mostra me përsëritje

Shpërndarja e populacionit

Shpërndarja e mostrave

X

Xn

X50

X

4

5X

n

30

1.8X

n

50

10

20

Nëse populacioni nuk është normal

Mund të aplikojmë Teoremën Qendrore Kufitare

Edhe nëse populacioni nuk është normal ,

…mesataret e mostrës nga populacioni do të jenë

përafërsisht normale nëse madhësia e mostrës është

më e madhe

…dhe shpërndarja e mesatareve të mostrës do të

ketë dhe

μμx

n

σσx

11

21

n↑

Teorema Qendrore Kufitare

Me rritjen e

madhësisë

së

mostrës…

Shpërndarja e

mesatareve të

mostrës bëhet

pothuajse

normale si

forma e

populacionit.

x

22

Shpërndarja e populacionit

Shpërndarja e mostrës

(bëhet normale me rritjen e n)

Mesatarja aritmetike

Variacioni

(Mostra me përsëritje)

x

x

Mostra

më e

madhe

Mostra më e

vogël

Nëse populacioni nuk është normal (vazhdim)

Vetitë e shpërndarjes

së mesatareve:

μμx

n

σσx

xμ

μ

12

23

Sa është mjaft e madhe mostra?

Për shumicën e shpërndarjeve , n ≥ 30

do të jap shpërndarjen e mesatareve

gati normale.

Për shpërndarjet gati simetrike, n ≥ 15

Për shpërndarjen e populacionit

normal, shpërndarja e mostrave të

mesatareve gjithmonë ka shpërndarje

normale.

Intervalet e besueshmërisë

për mesatare aritmetike dhe

përpjesën/përqindje

24

13

25

Parametrat e populacionit vlerësohen me interval besimi

Vlerësimi i parametrave

të populacionit...

Me statistika të

Mostrës

Mesatarja

Proporcioni p

Varianca s 2

Dallimet 1 2 1 2

2

X

X X

p

26

Procesi i vlerësimit të intervalit

të besimit

Mesatarja, ,

është e

panjohur

Populacioni Mostra e rastësshme

Unë jam

95% i

sigurt/konfi

dent se

është në

mes të 40 &

60.

Mesatarja

X = 50

14

27

Vlerësimi i intervalit të besimit

Siguron një gamë të vlerave.

Merr në konsiderim variacionet në statistikat e mostrës nga një mostër në tjetrën

Bazohet në vrojtimet nga një mostër

Jep informata rreth afërsisë së parametrave të panjohur të populacionit.

Jepet në kuptimin e nivelit të konfidencës/besueshmërisë

Kurr 100% i sigurt

28

Elementet e vlerësimit të

intervalit të besimit

Intervali i besimit

Statistikat e

mostrës

Kufiri i konfidencës

/besueshmërisë (I ulëti)

Kufiri i konfidencës

/besueshmërisë (I lartë)

Probabiliteti se parametri i populacionit

gjindet diku brenda intervalit të besimit

15

Intervalet e besueshmërisë për

mesatare aritmetike

Intervali i besimit të mesatares aritmetike-

ndërtmi:

1. Pikënisje është vlerësimi pikësor, pra

mesatarja e zgjedhjes;

2. Gjindet gabimi mesatar i

zgjedhjes/mostrës për mesataren

3. Caktohet siguria apo probabiliteti sipas

nivelit të cilit intervali i besimit mund të

zgjerohet apo të ngushtohet 29

xn

Intervalet e besueshmërisë për mesatare

aritmetike

Gjatë ndërtimit të intervalit të besimit

ndeshemi me dy situata:

Kur dihet devijimi standard i popullimit

Kur nuk dihet devijimi standard i

popullimit

30

16

Intervalet e besueshmërisë për mesatare

aritmetike të populacionit kur dihet

devijimi standard i populacionit

31

32

Intervalet e besueshmërisë për mesata

re aritmetike të populacionit kur dihet devijimi standard

i populacionit

Gabimi standard i mesatareve të mostrës

është gabimi standard i distribucionit të

mesatareve aritmetike të mostrave të

Llogaritet përmes :

është simboli për gabimin standard të

mesatareve të mostrës.

është devijimi standard i populacionit.

n- është madhësia e mostrës

xn

x

8-16

17

33

Gabimi standard i mesatareve të mostrës

Nëse është i panjohur dhe

,devijimi standard i mostrës i shënuar me

shfrytëzohet për të vlerësuar përafërsisht

devijimin standard të populacionit.

Formula për gabimin standard të

mesatares merr këtë formë:

n30

x

ss

n

8-17

Xs

34

Intervali i besueshmërisë së mesatares

aritmetike të populcionit në përgjithësi

Në përgjithësi , intervali i besueshmërisë për mesatare

aritmetike të populacionit llogaritet me formulën vijuese:

X Z osen

X Z X Zn n

8-19

18

Intervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të

populacionit në përgjithësi

35

X Z X Zn n

X - Mesatarja e mostres

Z -Variabla e standardizuar-për nivelin e dhënë të

signifikancës

n

- Gabimi standard i mesatares aritmetike

- Mesatarja aritmetike e popullimit

36

Probabilitetin që parametri i panjohur i populacionit gjindet në mes të intervalit të besueshmërisë.

Niveli i konfidencës/besueshmërisë

Niveli i

Besueshmerise/konfiden

ces

Vlerat korresponduese të Z

(për të dy anët e lakores

normale)

90% 1.645

95% 1.96

98% 2.33

99% 2.58

19

37

Vlerësimi i intervalit

Një interval i vlerësimit tregon vargun

brenda të cilit ka gjasë të gjendet

parametri i populacionit.

Intervali brenda të cilit pritet të gjendet

parametri i populacionit quhet interval i

besueshmërisë.

Dy intervale të besueshmërisë që

shfrytëzohen më së shumti janë 95% dhe

the 99%.

8-14

38

Shembull 1.

Dekani i shkollës së biznesit dëshiron të vlerëson

numrin mesatar të orëve që një student punon

gjatë javës. Mostra prej 49 studentëve ka treguar

mesataren për 24 orë brenda javës me devijim

standard 4 orë.

Pika e vlerësimit është 24 orë (mesatarja e

mostrës).

Cili është intervali i besueshmërisë me 95% për

numrin mesatar të orëve të punës gjatë javës të

studentëve të shkollës së biznesit?

8-20

20

39

SHEMBULL 1 vazhdim

Duke shfrytëzuar 95% intervali i besueshmërisë

për mesataren e populacionit kemi:

Përfundimet e intervalit të besimit janë kufijtë e

besueshmërisë .

Kufiri i ulët i besueshmërisë është 22.88 orë dhe

Kufiri i lartë i besueshmërisë është 25.12 orë.

24 1.96(4 / 7) 22.88 25.12gjer te

8-21

40

Vlerësimi i intervalit

Intervali i besueshmërisë 95% nënkupton se 95% e intervaleve të konstruktuara do të përmbajë parametrin e vlerësuar të populacionit, ose 95% e mesatareve të mostrave për një mostër me madhësi të caktuar do të gjindet brenda 1.96 devijime standarde për mesataren aritmetike të supozuar të populacionit.

Intervali i besueshmërisë 99% nënkupton se 99% e mesatareve të mostrës për madhësi të caktuar të mostrës do të jetë në mes të 2.58 devijime standarde për mesataren e supozuar të populacionit.

8-15

21

Intervali i besueshmërisë për

mesataren e populimit

95% Internali i besueshmerise per mesataren e populimit :

1.96 , 1.96

zakonisht shkruhet

1.96

x xn n

xn

Shembull 60, 30.4, 1.6

95% Intervali i besueshmerise per

1.630.4 1.96

60

30.4 .405

(29.995,30.805)

Ne jemi 95% konfident se intervali

prej 29.995 deri te 30.805 permban

vleren e mesatares aritmetike te populimit

n x

22

98% Intervali i besueshmërisë

2.33 , 2.33

E shkruar zakonisht

2.33

Per

x xn n

xn

44

Intervalet e besueshmërisë 99% për

mestaren e populacionit ( µ )

Për 99% kur n≥30, intervali i

besueshmërisë për mesataren e

populacionit ( µ ) është:

2.58mXn

8-18

23

Shembull

42 51 42 31 28 36 49 36 41

29 46 37 32 27 33 41 29 37

47 41 28 46 34 39 48 31 38

26 35 37 38 43 48 39 44 46

45

Shembull: Të dhënat e mëposhtme prezantojnë moshën e punëtorëve në një

mostër të rastit prej 36 punëtorëve të zgjedhur nga numri i gjithëmbarshëm i

punëtorëve të një firmë që merret me tregti me shumicë dhe pakicë. Vlera e

devijimit standard të moshës dihet dhe është 2.55 vjet.

a. Sa është pika e vlerësimit për mesatare aritmetike të popullimit, gjegjësisht për

moshën mesatare të punëtorëve të firmës së caktuar?

b. Formoni intervalin e besueshmërisë për 90%, 95% dhe 98%

c. Sa është gabimi margjinal (kufiza e gabimit) për secilin interval.

Zgjidhje

46

2.55=36; 2.55 ; 0.425

36X

n vjetn

•Pikë e vlerësimit për mesataren aritmetike të popullimit është mesatarja aritmetike e mostrës së zgjedhur që është e barbartë me :

Informata nga shembulli janë:

42 51 ... 4638.2

36

XX vjet

n

38.2X vjet

24

Zgjidhje

47

•Intervalet e besimit për nivele të ndryshme të besueshmësisë janë si vijon:

Nëse analizojmë intervalet e konstruktuara për mesataren e popullimit, do të shohim se me rritjen e nivelit të besueshmërisë për numër të njejtë të elementeve në mostër , gjerësia e intervalit të vlerësimit do të jetë më e gjerë, gjegjësisht marzha e gabimit (gabimi kufi) do të rritet nga

0.70125 në 0.833 në 0.99025.

Intervali besueshmërisë për mesatare

aritmetike të populacionit µ kur nuk dihet

devijimi standard i populacionit

Në situatat reale , gjegjësisht në kushtet praktike të

zgjedhjes së mostrave, njohja e devijimit standard të

popullimit është rast shumë i rrallë.

Ashtu siç ,zakonisht, nuk dihet mesatarja e popullimit ,

ashtu nuk dihet edhe devijimi standard i popullimit .

Për këtë, për të konstruktuar intervalin e besimit për

mesatatre aritmetike të popullimit ne duhet të përdorim

mesataren aritmetike të llogaritur nga mostra dhe

devijimin standard nga mostra.

48

25

Në kushtet praktike të konstruktimit të intervalit të besimit

ku nuk dihet devijimi standard i popullimit mund të hasim

në situata kur:

Mostra është e vogël ( n<30) dhe popullimi ka

shpërndarje normale dhe

Mostra është e madhe (n>30) dhe nuk dihet devijimi

standard i popullimit.

Në këto raste përdorim Shpërndarjen “Studenti” (t) në

vend të Shpërndarjes normale Standarde (Z).

49

Intervali besueshmërisë për mesatare aritmetike të

populacionit µ kur nuk dihet devijimi standard i

populacionit

SHPËRNDARJA “STUDENTI” t

Në fund të shekullit njëzet statisticienti me emrin William

S. Gosset, një i punësuar në Guinness Breweries në

Irlandë, ka qenë i interesuar në bërjen e vlerësimeve

rreth mesatares aritmetike të popullimit kur nuk dihet

devijimi standard i popullimit.

Meqenëse të punësuarit në Guinness nuk i është lejuar

që të publikojnë punimet e tyre me emrin e vet, Gosset

ka përshtatur me pseudonimin “Studenti”.

Shpërndarjen të cilën ai e ka konstruktuar është quajtur

“Shpërndarja t ”Studenti”

50

26

KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI

Në dukje, Shpërndarja t është shumë e ngjashme me

shpërndarjen normale standarde.

Të dy shpërndarjet janë simetrike në formë të

kambanës.

Megjithatë, Shpërndarja Studenti ka më shumë

sipërfaqe në të dy skajet e lakores dhe më pak në

qendrën e lakores se sa lakorja e shpërndarjes normale

standarde.

Shpërndaja t është simetrike rreth zeros (0) që paraqet

mesataren aritmetike të çdo shpërndarje t .Shih figurën

vijuese:

51

Shpërndarja Standarde normale Z dhe Shpërndarja t për 6 shkallë lirie

52

KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI

27

Përhapja e shpërndarjes t është e dhënë me numrin e

shkallëve të lirisë të cilat shënohen me df ose shkalle

të lirisë (Sh.l)

Për një mostër me madhësi n shkallët e lirisë janë:

Me rritjen e elementeve në mostër n, shkallët e lirisë

gjithashtu rriten.

Me rritjen e elementeve në mostër dhe me rritjen e

shkallëve të lirisë, përhapja e lakores t zvogëlohet.

Me rritjen e shkallëve të lirisë, lakorja në mënyrë

graduale i afrohet lakores së shpërndarjes normale derisa

këto të dyja të bëhen identike.

Nëse n ≥ 30, atëherë df = n – 1 = 29, lakorja t është

shumë e ngjashme me lakoren normale standarde

53

KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI

1df n

Vlerat kritike të shpërndarjes t , për shkallë të

caktuara të lirisë mund të gjinden nga Tabela e

Shpërndarjes Studenti.

Tabela e Shpërndarjes Studenti është e

përbërë nga disa kolona dhe disa rreshta .

Kolonat i korrespondojnë probabilitetit në skajet

e lakores , kurse rreshtat tregojnë numrin e

shkallëve të lirisë që është më i vogël për 1 nga

madhësia e mostrës, gjegjësisht n-1.

54

KARAKTERISTIKAT E SHPËRNDARJES t-STUDENTI

28

Tabela e shpërndarjes Studenti

55

Procedura për përdorimin e Tabelës së shpërndarjes Studenti është

si në vijim:

Së pari, përcaktojmë vlerën e α , gjegjësisht nivelin e signifikancës

dhe e ndajmë me 2 , gjegjësisht (psh, Nëse

Së dyti , gjejmë kolonën në shpërndarjen t që i përgjigjet t0.025.

Së treti, Gjejmë numrin e shkallëve të lirisë duke llogaritur n-1 dhe

e përdorim rreshtin që i përgjigjet shkallëve të lirisë korresponduese.

(P.sh. Nëse

Së katërti, lexojmë vlerën e t në prerjen e rreshtit dhe kolonës që

kemi identifikuar. Në rastin tonë kemi t0.025 dhe df=19, vlera e t është

e barabartë me 2.093

56

/ 2

0.05, / 2 0.05 / 2 0.025atehere

20, 1 20 1 19, 19n n df

29

Pjese e shpërndarjes Studenti

57

Paraqitja grafike

58

t

Meqenëse shpërndarja është simetrike , atëherë nëse vlera e t në anën e

djathtë është 2.093, atëherë vlera e në anën e majtë do të jetë -2.093. Kjo do

të thotë se probabiliteti që do të tejkalojë vlerën 2.093 është 0.025 ose 2.5%.

30

KONSTRUKTIMI I INTERVALIT TË BESIMIT PËR MESATARE TË

POPULLIMIT KUR NUK DIHET DEVIJIMI STANDARD

59

Për të konstruktuar intervalin e besimit për mesatare të popullimit µ i bazuar në

shpërndarjen t të Studentit , ne thjesht zëvendësojmë vlerat tabelore të

Shpërndarjes standarde normale Z me vlerat tabelore të Shpërndarjes t.

Shembull:

Koha për kryerjen e një pune e shprehur në minuta është si vijon.

3.6; 4.2; 4.0; 3.5; 3.8; 3.1.minuta.

Sa është intervali i besimit me 90% për kohën mesatare për të kryer

punën?

Zgjidhje: Informatat nga shembulli janë: n=6; shkallët e lirisë n-1=6-1=5, df=5

Niveli i besueshmërisë është 90% , gjegjësisht (1-α) 100% =90%,

prej këtu, α=10%, si koeficient α=0.10, kurse α/2= 0.10/2=0.05.

Vlera tabelore e Shpërndarjes t për t0.05 dhe df=5 është: 2.015

Për të konstruktuar intervalin e besimit për µ duhet të llogarisim

mesataren aritmetike si pikë e vlerësimit, nga të dhënat e mostrës

prej 6 elementeve, si dhe devijimin standard S nga mostra,

gjegjësisht:

60

31

61

13.6 4.2 4.0 3.5

33.8 3.1

.7

n

i

i

X

n nX

2( )2 2 2 2 2 2(3.6 3.7) (4.2 3.7) (4.0 3.7) (3.5 3.7) (3.8 3.7) (3.1 3.7)1 0.38987

1 6 1

nX Xi

iSn

0.38987 0.389873.7 2.015 3.7 2.015

6 6

Pika e vleresimit, gjegjesisht mesatrja aritmetike e mostres

62

32

Koncepti i përpjesës është i njëjtë me konceptin e

frekuencave relative ose frekuencave në përqindje.

Përpjesa e popullimit që shënohet me p fitohet duke

vënë në raport numrin e elementeve të popullimit me

karakteristikën gjegjëse dhe numrit të tërësishëm të

elementeve në popullim.

Përpjesa e mostrës, e cila shënohet me (lexohet p-

bar) fitohet nga raporti i njëjtë por tani në mostër.

63

p

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.

Përpjesa e popullimit që shënohet me p dhe përpjesa e

mostrës që shënohet me janë të dhëna me formulat

vijuese:

Ku:

N – numri i të gjitha elementeve në populacion

N1 – numri i elementeve në populacion me

karakteristikën gjegjëse

n- numri i elementeve në mostër

m- numri i elementeve në mostër me karakteristikën

gjegjëse 64

p

1N mp dhe p

N n

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e

populacionit.

33

Shembull:

Supozojmë se firma që prodhon automobila gjatë një viti

kalendarik ka prodhuar 3400 automobila ku 66 prej tyre

janë me defekt. Është zgjedhur një mostër e rastit prej

162 automobilave dhe ka dalë që në mesin e tyre 3 janë

me defekt.

Përcaktoni përpjesën e automobilave që janë me defet

në populacion dhe përpjesën e automobilave që janë me

defekt në mostër.

65

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e

populacionit.

Zgjidhje

Nëse populacion e konsiderojmë prodhimin e automobilave gjatë një viti

kalendarik, atëherë kemi këto të informata:

N=3400- numri i gjithëmbarshëm i automobilave të prodhuar brenda vitit

N1=66 – numri i automobilave me defekt në populacion

Në bazë të formulës. përpjesa e automobilave me defet do të jetë:

66

1 660.01941

3400

Np

N

Prej këtu mund të themi se përpjesa e automobilave me defet është 0.01941. Nëse përpjesën e shndërrojmë në përqindje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi

(0.01941 100 1.94%)

Mund të themi se gjatë një viti kalendarik në mesin e automobilave të prodhuar, 1.94% e tyre janë me defekt. ( Kuptimi dhe interpretimi i përpjesës gjithmonë është më i qartë nëse e shprehim në përqindje).

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.

34

Nëse e kemi zgjedhë mostrën prej 162 automobilave dhe kemi pa se

3 prej tyre janë me defekt, gjegjësisht:

n=162, numri i automobilëve të zgjedhur në mostër

m= 3, numri i automobilave në mostër që janë me defekt.

Prej këtu përpjesa e mostrës është si vijon:

Prej këtu mund të themi se përpjesa e automobilave me defekt në

mostër është 0.01852. Nëse përpjesën e llogaritur e shndërrojmë në

përqindje, gjegjësisht shumëzojmë me 100 do të kemi 1.85% . Në

mesin e automobilave të prodhuar, 1.85% e tyre janë me defekt.

67

30.01852

162

mp

n

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.

Nëse analizojmë përpjesën e llogaritur nga populacioni ,

dhe përpjesën e llogaritur nga mostra , do të shohim se

kemi dy rezultate që janë të ndryshme, që pothuajse gjithmonë

ndodhë kështu, që statistika e llogaritur nga mostra ndryshon nga

parametri i popullimit.

Dallimi në mes të këtyre të dyjave paraqet gabimin e

rastësishëm të mostrës, gjegjësisht:

Përpjesa e mostrës është pikë e vlerësimit të përpjesës së

populacionit dhe ashtu si mesatarja e mostrës është variabël e

rastit e cila mund të marrë vlera të ndryshme prej në mostre në

mostrën tjetër.

68

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e populacionit.

0.01941p 0.01852p

( dhep)p

Gabimi i rastit i mostr s 0.01852 0.01941 0.00089ë p p

35

Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e

populacionit. Teoria dhe procedura e përcaktimit të

intervalit të besimit për përpjesën është e

njejte sikurse te intervali i mesatares

aritmetike.

Pika e vlerësimit për proporcionin e

popullimit gjindet duke vënë në raport

numrin e rasteve të volitshme me numrin

përgjithshëm në mostër.

69

mp

n

70

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën

e populacionit.

8-22

Intervali i besueshmërisë për përpjesën e

populacionit vlerësohet përmes :

ose pp z

p pp z p zp

36

Intervalet e besueshmërisë për përpjesën e

populacionit.

71

p pp z p zp

p - Përpjesa e mostrës

- Variabla e standardizuar për nivelin e dhënë të

besueshmërisë

- Gabimi standard i përpjesës

p - Përpjesa e popullimit i popullimit

p

Z

72

Gabimi standard i përpjesës

8-22

1

p

p q

n

p perpjesa emostres

mp

n

q p

n numri i elementevenemoster

m numri i rasteve tevolitshme

37

73

SHEMBULL

Nga 900 konsumatorë , 414 kanë deklaruar se janë të kënaqur me produktin e ri. Përcaktoni intervalin e besimit të përpjesës së populacionit me koeficient të probabilitetit 99%.

(0.46)(0.54)0.46 2.58 ose 0.46 0.04128

900

0,41872 0,50128

41,872% 50,128%

P

P

8-23

4140,46, 0.54

900m

mp q

n

Shembull

Një studim është bërë për të për të përcaktuar

përpjesën e votuesve që mendojnë se qeveria e tyre

lokale është duke bërë punë të mirë. Nga 200 votues të

intervistuar, 150 kanë deklaruar se qeveria e tyre lokale

është duke punuar mirë. Kalkuloni intervalin e besimit

me nivel të besueshmërisë 99% për populacionin në

tërësi që mendojnë se qeveria e tyre është duke bërë

punë të mirë.

74

38

Zgjidhje

Së pari gjejme pikën e vleresimit të përpjesës:

Së dyti: Gjejmë gabimin standard të përpjesës:

Se treti gjemë vlerën e z për nivel te besueshmerisë 99%

Z= 2.58

Se katerti zëvendësojmë në formulën e intervalit te besimit

për përpjesën:

75

1500.75

200

mp

n

0.75 0.25 0.18750.000937 0.03062

200 200p

p q x

n

0.75 2.58 0.03062 0.75 2.58 0.03062

p pp z p zp

p

Zgjidhje

76

0.75 2.58 0.03062 0.75 2.58 0.03062

0.75 0.079 0.75 0.079

0.671 0.83 /100

67.1% 83%

p pp z p zp

p

p

p

p

39

Shembull për intervalin e besimit për përpjesën

Në një mostër të rastit prej 60 pronarëve të banesave të

zgjedhur në një qytet, 25 prej tyre kanë deklaruar se

kanë probleme me zhurmën e madhe që vjen nga

fqinjët e tyre. Konstruktoni intervalin e besueshmërisë

prej 99% për të gjithë pronarët e banesave që kanë

probleme me zhurmën. Intervalin e besimit e shprehni

në përqindje dhe komentoni rezultatin.

77

Faktori korrigjues i populacionit të

fundëm- te mesatarja Populacioni që e ka kufirin e sipërm të fiksuar /të

ditur, thuhet se është populacon i fundëm.

Për populacionin e fundëm, ku numri total i

objekteve është N dhe madhësia e mostrës është

n, duhet të bëhet përshtatja e gabimit standard

të mesatareve të mostrës dhe të proporconeve:

Gabimi standard i mesatareve të

mostrës:

xn

N n

N

1

8-24

Faktori

korrigjues

40

Faktori korrigjues i populacionit të fundëm-

te proporcionet

8-25

Gabimi standard i proporcioneve të mostrës:

Kjo përshtatje quhet Faktori korrigjues i

populacionit të fundëm.

Vërejtje: Nëse n/N < 0.05, faktori korrigjues i

popullimit të fundëm injorohet./nuk përdoret

(1 )

1p

p p N n

n N

Faktori

korrigjues

Shembull

8-26

Duke marrë në konsiderim të dhënat nga shembulli I

parë konstruktoni intervalin e besueshmërisë për

mesatare artimetike me nivel të konfidencës 95%

për numrin mesatar të sudentëve brenda javës nëse

në kampus ka 500 studentë.

Meqë n/N = 49/500 = 0.098>0.05, dhe populacioni

është i fundëm N=500, ne duhet të përdorim

faktorin korrigjues të populaconit të fundëm.

24 1964

49

500 49

500 122 9352 250648

. ( )( ) [ . , . ]

41

81

Zgjedhja e madhësisë së mostrës

Janë tre faktorë që determinojnë madhësinë

e mostrës:

Shkalla e zgjedhur e besueshmërisë; Kjo

zakonisht është 0.95 ose 0.99, por mund të jetë

çfardo niveli.

Gabimi maksimal i lejuar; Duhet të vendoset

për këtë. Është gabimi maksimal që mund të

tolerohet në një nivel të dhënë të

besueshmërisë.

Variacioni në populacion. Matet me devijimin

standard (Natyrisht, populacioni me variacion më

të vogël kërkon mostra më të vogla)

8-27

82

Zgjedhja e madhësisë së mostrës për mesatare

aritmetike

Madhësia e mostrës për mesatare: Formula e

përshtatshme për llogaritjen e madhësisë së

mostrës është:

ku : E- gabimi i lejuar,

Z -është vlera që është e lidhur me shkallën e

zgjedhur të besueshmërisë dhe

S - devijimi i mostrës nga anketa pilot.

2Z S

nE

8-28

42

Shembull

Një grup i konsumatorëve dëshiron të vlerësojë

hargjmet mesatare të rrymës elektrike për një famillje

në muajin korrik. Bazuar në studimet e mëhershme

devijimi standard është vlerësuar të jetë $20. Me nivel

të signifikancës prej 99% , me gabimin maksimal të

lejuar prej $5.00. Sa duhet të jetë e madhe mostra?

Zgjidhje

8-29

2 22,58 20

1075

Z Sn

E

Madhësia e mostrës për proporcione

8-30

Formula për përcaktimin e madhësisë së

mostrës në rastin e proporcioneve është:

p- është proporcioni i vlerësuar i bazuar në përvojën

e kaluar ose nga anketa pilot;

Z – është vlera e lidhur me shkallën e

besueshmërisë së zgjedhur;

E – maksimumi i gabimit të lejuar që mund të toleroj

hulumtuesi.

n p pZ

E

( )1

2

43

Shembull Një klub për kafshë shtëpiake dëshiron të

vlerësojë proporcionin e fëmijëve që kanë qen

në shtëpi. Nëse klubi dëshiron që vlerësimi të

jetë në mes 3% të proporcionit të populacionit

sa fëmijë duhet të përfshihen në mostër?

Supozojmë se niveli i signifikancës është 95%

dhe se klubi ka vlerësuar se 30% e fëmijëve

kanë qen në shtëpi.

8-31

2 21.96

(1 ) (0,3 0.7) 8970.03

Zn p p

E

Konceptet kyçe Shpërndarja e mostrave

Shpërndarja mesatareve të mostrës

Gabimi i rastësishëm i mostrës

Mesatarja e mesatareve të mostrës

Devijimi (gabimi ) standard i mesatareve të

mostrës;

Pika e vlerësimit të parametrave të populacionit

Intervali i besimit për mesatare dhe përpjesën e

populacionit

Vlerësimi madhësisë së mostrës për mesatare

dhe përpjesë.

86