Siruri si serii de functiiAnaliza matematica strict necesara
Radu Trmbitas
UBB
October 12, 2014
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 1 / 45
Continut
1 Serii numericeSerii alternate si absolut convergenteCriterii de convergenta a seriilor
2 Siruri de functii
3 Serii de functiiSerii de puteriSerii Taylor
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 2 / 45
Serii numerice I
Definitie 1
Se numeste serie de termen general an perechea de siruri ((an) , (sn)),unde sn = a0 + a1 + + an. Notatie
n0an.
Definitie 2
Seria n0
an se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale (sn) este
convergent. In acest caz, numarul limn sn se numeste suma seriei si senoteaza cu n=0 an. Seriile care nu sunt convergente se numescdivergente.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 3 / 45
Serii numerice II
Exemplu 3
Fie a si q (a 6= 0) numere reale. Aratati ca seria geometrica n0 aqn esteconvergenta q (1, 1).Solutie. Sirul sumelor partiale este sn = a+ aq + + aqn. Dacaq = 1, sn = (n+ 1)a si seria este divergenta. Daca q = 1 se obtine unsir oscilant. Daca q 6= 1,
sn = a1 qn1 q .
Sirul (sn) este convergent (qn) este convergent q (1, 1) sideoarece n acest caz limn qn = 0
limn sn =
a
1 q =
n=0
aqn.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 4 / 45
Serii numerice III
Teorema 4
Fie n0 an o serie convergenta de numere reale. Atunci an 0.
Demonstratie. Fie s suma seriei.
limn an = limn0 (sn+1 sn) = s s = 0.
Reciproca este falsa, asa cum rezulta din contraexemplul de mai jos.
Exemplu 5
Stabiliti natura seriei n0 1n (seria armonica).
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 5 / 45
Serii numerice IV
Solutie. sn = 1+12 + + 1n . Deoarece sn+1 sn = 1n+1 , (sn) este strict
crescator. Presupunem prin absurd ca este marginit superior, deciconvergent si fie s limita sa. Dar
s2n = sn +1
n+ 1+ + 1
n+ n
sn + nmin{
1
n+ k, k = 1, . . . , n
}= sn +
1
2.
Trecand la limita n inegalitatea s2n sn + 1/2 se obtine s s + 1/2,contradictie. Deci, seria armonica este divergenta si limita ei este +.Deci conditia an 0 este necesara, dar nu suficienta pentru convergentaseriei an.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 6 / 45
Serii numerice V
Teorema 6
n0 an a, n0 bn b = n0(an + bn) este convergenta si
n=0
(an + bn) = a+ b.
Demonstratie - tema
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 7 / 45
Serii alternate si absolut convergente I
Definitie 7
(an) sir cu termeni pozitivi; n0
(1)nan se numeste serie alternata.
Teorema 8 (Criteriul lui Leibniz)
Daca (an) descrescator si an 0, atunci seria alternata n0
(1)nanconverge.
Demonstratie. Fie sn =n
k=0
(1)kak .
s0 s2 s2n 0 = (s2n) convergent
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 8 / 45
Serii alternate si absolut convergente II
Fie l1 = limn s2n.
s1 s3 s2n+1 . . . (crescator)s2n+1 = s2n a2n+1 s2n s0 (marginit)
(s2n+1) convergent, fie l2 = limn s2n+1.Trecand la limita n relatias2n+1 = s2n a2n+1, se obtine l1 = l2, (sn) convergent, deci si seria esteconvergenta.
Exemplu 9
Demonstrati convergenta seriei n1(1)n+1 1n si calculati suma ei. Seriase numeste seria armonica alternata.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 9 / 45
Serii alternate si absolut convergente III
Solutie. Sirul (1/n)n1 este descrescator si convergent catre 0 si deciconform criteriului lui Leibniz n1(1)n+1 1n si n1(1)n 1n sunt seriiconvergente. Fie un = 1+
12 + + 1n . Se observa ca
2n
k=1
(1)k+1 1k= 1 1
2+
1
3 1
4+ + 1
2n 1 1
2n
= u2n 2(12un) =
1
n+ 1+ + 1
n+ n.
n
k=1
1
n+ k=
1
n
n
k=1
1
1+ kn 1
0
dx
1+ x= ln(1+ x)
10= ln 2.
Se poate demonstra si cu formula lui Taylor - tema!
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 10 / 45
Serii alternate si absolut convergente IV
Definitie 10
Seria n0 an este absolut convergenta seria n0 |an| esteconvergenta.
Teorema 11
Orice serie absolut convergenta este convergenta.
Demonstratie - tema.
Definitie 12
O serie convergenta care nu este absolut convergenta se numestesemiconvergenta.
Observatie. Din exemplele 5 si 9 rezulta ca seria armonica alternata estesemiconvergenta.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 11 / 45
Criterii de convergenta - criteriul comparatiei
Vom considera criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi. Invirtutea definitiei 10 aceste criterii vor fi criterii de convergenta absolutapentru serii cu termeni oarecari.
Teorema 13 (Primul criteriu al comparatiei)
Fie n0
an, n0
bn doua serii cu termeni pozitivi cu proprietatea ca exista
un rang N astfel ncat an bn pentru orice n N. Daca seria n0
bn
converge, atunci si n0
an converge.
Demonstratie - temaRezulta ca daca seria
n0an diverge, atunci si
n0bn diverge.
Criteriul ne permite sa stabilim convergenta sau divergenta unei seriicomparand-o cu o alta serie despre care stim ca este convergenta saudivergenta.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 12 / 45
Criteriul raportului (al lui dAlembert) I
Teorema 14
Fie n0 an o serie cu termeni pozitivi.
(i) Daca exista un rang N si ` (0, 1) astfel ncat pentru orice n Nare loc relatia an+1an `, atunci seria este convergenta.
(ii) Daca exista un rang N astfel ncat pentru orice n N are loc relatiaan+1an 1, atunci seria este divergenta.
Demonstratie. (i) Din an+1an ` pentru n N, rezulta
aN+1 `aNaN+2 `aN+1 `2aN
...
aN+p `paN .Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 13 / 45
Criteriul raportului (al lui dAlembert) II
Demonstratie - continuare. Deci seria nN
an are termenii mai mici
decat ai seriei geometrice `aN + `2aN + + `paN + cu ratia
` (0, 1) care este convergenta.(ii) Din an+1an 1 rezulta ca (an) este crescator, deci nu poate avea limita0 si conform teoremei 4 seria diverge.In practica se foloseste corolarul urmator.
Corolar 15
Fie n0
an o serie cu termeni pozitivi astfel ncat limn
an+1an
= `.
(i) Daca ` < 1 seria converge.
(ii) Daca ` > 1 seria diverge.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 14 / 45
Criteriul radacinii (al lui Cauchy) I
Teorema 16
Fie n0 an o serie cu termeni pozitivi.
(i) Daca exista un rang N si ` (0, 1) astfel ncat pentru orice n Nare loc relatia n
an `, atunci seria este convergenta.
(ii) Daca exista un rang N astfel ncat pentru orice n N are loc relatianan 1, atunci seria este divergenta.
Demonstratie. (i) Din nan ` pentru orice n N deducem an `n.
Deoarece 0 < ` < 1 seria geometrica nN `n este convergenta. Pe bazaprimului criteriu rezulta ca seria nN an converge si atunci si n0 anconverge.(ii) Daca n
an 1 pentru orice n N, rezulta an 1 si deci (an) nu
poate avea limita zero. Din teorema 4 rezulta divergenta seriei.Metoda practica
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 15 / 45
Criteriul radacinii (al lui Cauchy) II
Corolar 17
Fie n0
an o serie cu termeni pozitivi astfel ncat limn
nan = `.
(i) Daca ` < 1 seria converge.
(ii) Daca ` > 1 seria diverge.
Criteriul radacinii este mai puternic decat criteriul raportului.
Atat n corolarul la criteriul lui dAlembert cat si n corolarul lacriteriul lui Cauchy n ipoteza ` = 1 nu putem trage nici o concluzieasupra naturii seriei (seria poate fi convergenta sau divergenta).
Ilustram aceasta prin doua exemple.
1 n1
an, cu an =1n (seria armonica) este divergenta limn
an+1an
= 1,
limn nan = 1.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 16 / 45
Criteriul radacinii (al lui Cauchy) III
2 n1
an, cu an =1n2
. limn an+1an = 1, limnnan = 1. Seria este
convergenta
1
k2 1
k2 k =1
k 1 1
k, k 2
sn =1
12+
n
k=2
1
k2
1+n
k=2
(1
k 1 1
k
)= 1+ 1 1
n< 2
(sn) fiind monoton crescator si marginit seria este convergenta.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 17 / 45
Figure: Jean Le Rond dAlembert(1717-1783)
Figure: Augustin Louis Cauchy(1789-1857)
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 18 / 45
Siruri de functii I
A R, fn : A R, n N (fn)nN, (fn) - sir de functiiDefinitie 18
(fn) sir de functii definite pe A, x A punct de convergenta al sirului sirul numeric (fn(x)) este convergent. Multimea tuturor punctelor x cuaceasta proprietate se numeste multime de convergenta a sirului.
Definitie 19
(fn) sir de functii definite pe A, (fn) este convergent punctual pe A catre ofunctie f : A R daca x A fn(x) f (x). Notatie fn f .Formulare echivalentax A > 0 N(, x) n N(, x) : |fn(x) f (x)| <
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 19 / 45
Siruri de functii II
Definitie 20
(fn) sir de functii definite pe A, (fn) este uniform convergent pe A catre ofunctie f : A R daca > 0 N() n N() : |fn(x) f (x)| < , x A. Notatie fn f .
Teorema 21
(fn) uniform convergent pe A = (fn) convergent punctual pe ADemonstratie. fn f ; x0 A are loc
> 0 N() n N() : |fn(x) f (x)| < deci limn fn(x0) = f (x0),
adica fn f pe A.Convergenta uniforma pastreaza continuitatea, iar integrala comuta culimitele uniforme.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 20 / 45
Siruri de functii III
Teorema 22
(fn), fn C [a, b], fn f . Atunci f = limn fn este continua pe [a, b] si
limn
bafn(x)dx =
ba
limn fn(x)dx .
Demonstratie. Fie u [a, b] si (xn) [a, b], xn u. Vom arata calimn f (xn) = f (u). Fie > 0, arbitrar.fn f = N() a.. p N() |fp(x) f (x)| < /3, x [a, b]; nparticular |fp(xn) f (xn)| < /3 si |fp(u) f (u)| < /3.Din continuitatea lui fp rezulta ca pentru n suficient de mare|fp(xn) f (u)| < /3. Scriind
f (xn) f (u) = (f (xn) fp(xn)) + (fp(xn) fp(u)) + (fp(u) f (u))
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 21 / 45
Siruri de functii IV
deducem ca pentru n suficient de mare
|f (xn) f (u)| |f (xn) fp(xn)|+ |fp(xn) fp(u)|+ |fp(u) f (u)|0
rk se numeste
restul seriei.
Demonstratie. n0
fn uniform convergenta, f limita sa = (sn) uniformconvergent = fn = sn sn1 f f = 0. Din convergenta serieiinitiale rezulta ca rn are sens si din f = sn + rn rezultarn = f sn f f = 0.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 27 / 45
Serii de functii IV
Dam un criteriu de comparatie pentru convergenta uniforma a seriilor defunctii:
Teorema 28
n0
fn serie de functii definite pe A si n0
an o serie convergenta de numere
reale pozitive. Daca |fn(x)| an, x A si n N, atunci n0
fn este
uniform convergenta pe A.
Exemplu 29
Sa se studieze convergenta seriei n1 cosn x
n2.
Solutie. fn(x) = cosn x
n2
1n2
, dar seria n1 1n2 este convergenta, deciconform teoremei 28 seria din enunt este uniform convergenta.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 28 / 45
Serii de puteri I
Definitie 30
Se numeste serie de puteri o serie de forma n0
fn, unde fn : R R,fn(x) = anxn. Sirul (an) se numeste sirul coeficientilor seriei date.
Analog, se pot considera serii de forma n0
an (x x0)n; printr-o schimbarede variabila de forma y = x x0 ne putem restrange la cazul x0 = 0.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 29 / 45
Serii de puteri II
Teorema 31
Fie o serie de puteri n0
anxn si x0 R cu proprietatea ca sirul (anxn0 )
este marginit. Atunci:
(i) Seria numerica n0
ann este absolut convergenta pentru orice
(|x0|, |x0|) .(ii) pentru orice numar real r , 0 < r < |x0|, seria de functii
n0anx
n este
uniform convergenta pe [r , r ].Demonstratie. (i) Conform ipotezei, exista M > 0 a.. |anxn0 | M,n 0, adica |an| M/|x0|n.
|ann| = |an| ||n M|x0|n ||n = M
x0n , n 0
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 30 / 45
Serii de puteri III
Daca (|x0|, |x0|), x0 < 1 si seria geometrica
n0M x0 n va fi
convergenta si conform primului criteriu al comparatiei seria n0
ann va fi
absolut convergenta.(ii) Notam fn(x) = anxn, n N. Pentru orice x [r , r ] putem scrie
|fn(x)| = |an| |xn| |an| rn M(
r
|x0|)n
, n 0.
Aplicand teorema 28 cu an = M(
r|x0|)n
(serie geometrica cu ratia
r/|x0| < 1) rezulta convergenta seriei de puteri.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 31 / 45
Serii de puteri IV
Definitie 32
Fie seria de puteri n0
anxn si multimea
M = {r R : r 0, (|an|rn) marginit pe R}R = supM (n R) se numeste raza de convergenta a seriei. Multimea
DC =
, daca R = 0R, daca R =
(R,R), daca 0 < R < se numeste domeniu de convergenta al seriei
n0anx
n.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 32 / 45
Serii de puteri V
Teorema 33
Fie seria de puteri n0
anxn si R raza sa de convergenta.
(i) Daca R = 0 atunci n0
anxn converge punctual numai n x = 0.
(ii) Daca R = +, atunci seria numerica n0
ann este absolut
convergenta pentru orice R, iar seria de functii n0
anxn este
uniform convergenta pe orice interval [r , r ], r > 0.(iii) Daca 0 < R < , atunci seria numerica
n0an
n este absolut
convergenta pentru orice (R,R) si este divergenta pentru orice (,R) (R,), iar seria de functii
n0anx
n este uniform
convergenta pe orice interval [r , r ] cu 0 < r < R.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 33 / 45
Serii de puteri VI
Demonstratie. (i) Daca R = 0 atunci M = {0}. Presupunand ca prinabsurd ca ar exista x0 6= 0 astfel ncat
n0anx
n converge, atunci sirul
(an|x0|n) ar fi marginit, deci |x0| M, contradictie.(ii) Rezulta imediat din teorema 31 avand n vedere definitia 32(iii) Fie (R,R) si r M ales arbitrar astfel ncat || < r < R (esteposibil caci R = M). Atunci sirul (anrn) este marginit si conform teoremei31 rezulta ca seria
n0an
n este absolut convergenta. Daca || > R,atunci seria
n0an
n este divergenta; n caz contrar ar rezulta ca sirul
(anrn) este marginit, adica || M, deci || supM = R, contradictie.Convergenta uniforma rezulta din teorema 31, punctul (ii).
Teorema precedenta afirma ca o serie de puteri este absolutconvergenta pe domeniul ei de convergenta DC si uniformconvergenta pe orice interval compact inclus n DC .
Despre punctele = R nu se spune nimic.Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 34 / 45
Serii de puteri VII
Calculul razei de convergenta
Teorema 34
Fie seria de puteri n0
anxn si R raza sa de convergenta.
(i) Daca exista L = limn n|an| n R, atunci R = 1L (cu conventia
1/0 = , 1/ = 0)
(ii) Daca exista L = limn anan+1 , atunci R = L.
Demonstratie. (i) Fie x0 R arbitrar si consideram seria numerican0 |an| |x0|n
un
. Aplicam acestei serii corolarul la criteriul lui Cauchy.:
nun = n
an |x0| L|x0|, n
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 35 / 45
Serii de puteri VIII
Daca L = 0, atunci limn nun = 0 < 1 deci
n0anx
n0 este absolut
convergenta oricare ar fi x0 R, deci R = +.Daca L = + si x0 6= 0, atunci limn nun = > 1, deci seria estedivergenta pentru orice x0 6= 0, adica R = 0. Daca |x0| < 1/L, atunciL|x0| < 1 si seria
n0anx
n0 este absolut convergenta. Daca |x0| > 1/L,
atunci L|x0| > 1 si seria n0
anxn0 este divergenta. Rezulta ca x1 R cu
|x1| > |x0| seria n0
anxn1 este divergenta. Asadar R = 1/L, vezi teorema
33.(ii) Se demonstreaza similar utilizand criteriul lui dAlembert.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 36 / 45
Serii de puteri IX
Exemplu 35
Determinati raza de convergenta pentru seriile de puteri
) n0
1
n!xn, )
n0xn
Solutie. ) Cu ajutorul criteriului raportului, an =1n!
limn
anan+1 = limn(n+ 1) = = R =
)an = 1, limn n|an| = 1, deci R = 1.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 37 / 45
Serii de puteri X
Teorema 36
Fie (an) un sir de numere reale. Seriile de puteri n0
anxn si
n1nanx
n1
au aceeasi raza de convergenta.
Teorema 37
Fie f (x) = n0
anxn, f : (R,R) R, unde R 6= 0 este raza de
convergenta a seriei de puteri. Atunci:
(i) f este de clasa C si n plus relatia f (x) = n0
anxn poate fi derivata
termen cu termen pe (R,R) de m ori, m N.(ii) relatia f (x) =
n0anx
n poate fi integrata termen cu termen pe orice
interval [a, b] (R,R).
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 38 / 45
Serii de puteri XI
Demonstratie. (i) I. Se arata ca f este continua pe (R,R); fixam x0arbitrar n acest interval si fie r astfel ncat |x0| < r < R. Conformteoremei 33 seria de puteri
n0anx
n este uniform convergenta pe [r , r ];aplicand teorema 22 sirului (sn) (format din functii continue) rezulta caf = limn sn este continua pe ntreg domeniul de convergenta (R,R).II. Aratam ca f este derivabila. Seria
n0anx
n este convergenta cu suma
f (x) pe orice interval [r , r ] (R,R), iar teorema 36 arata ca seriaderivatelor
n1nanx
n1 are tot raza de convergenta R, deci este uniform
convergenta pe [r , r ]. Aplicand teorema 23 rezulta ca f este derivabila sif (x) =
n1nanx
n1, x [r , r ]. Continuitatea si derivabilitateaderivatelor se arata mai departe prin inductie, obtinand
f (m)(x) = n(n 1) . . . (nm+ 1)anxnm. (1)
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 39 / 45
Serii de puteri XII
(ii) Alegem 0 < r < R astfel ncat [a, b] [R,R ] si aplicam teorema 22sirului (sn), sn(x) =
n
k=0
akxk cu suma f , care este uniform convergent pe
[r , r ], deci si pe [a, b].Observatie. Fie f (x) = n=0 anxn, |x | < R, cu raza de convergentaR > 0. Din relatia (1) rezulta
am =f (m)(0)
m!, m 0.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 40 / 45
Serii Taylor I
Reamintim formula lui Taylor: daca f Cn+1[a, b], atunci x0 (a, b) six [a, b] are loc
f (x) = (Tnf ) (x) + (Rnf ) (x),
unde
(Tnf ) (x) = f (x0) +f (x0)
1!(x x0) + + f
(n)(x0)
n!si
(Rnf )(x) = xx0f (n+1)(t)
(x t)nn!
dt.
O alta forma pentru rest: x0 (a, b) si x [a, b] exista cuprins ntrex0 si x astfel ncat
(Rnf )(x) =f (n+1)()
(n+ 1)!(x x0)n+1.
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 41 / 45
Serii Taylor II
Definitie 38
Fie f : I R indefinit derivabila n punctul x0 I , I interval. Seria Taylora functiei f n x0 este
n0
f (n)(x0)
n!(x x0)n.
Teorema 39 (Reprezentarea functiilor de clasa C prin serii Taylor)
Fie f : [a, b] R o functie indefinit derivabila astfel ncat sa existe M > 0cu proprietatea ca
f (n)(x) M, n N, x [a, b]. Fie x0 (a, b)fixat. Atunci seria Taylor a lui f n punctul x0 este uniform convergenta pe[a, b], avand suma f (x).
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 42 / 45
Serii Taylor III
Demonstratie. Fie (sn) sirul sumelor partiale
sn(x) = f (x0) +f (x0)
1!(x x0) + + f
(n)(x0)
n!
Conform formulei lui Taylor cu restul n forma Lagrange rezulta
|f (x) sn(x)| =f (n+1)()(n+ 1)!
|x x0|n+1 M(n+ 1)!
|x x0|n+1 0
De ce tinde ultima expresie la zero? Se obtine x [a, b]|f (x) sn(x)| 0, adica sn f .
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 43 / 45
Serii Taylor IV
Teorema 40
Seria de puteri
n0
xn
n!
are raza de convergenta R = + si suma ei este egala cu ex pentru oricex R.Demonstratie. Deoarece
limn
anan+1 = limn
1
n!1
(n+ 1)!
= limn(n+ 1) =
raza de convergenta este R = . Fie f (x) suma seriei. Rezulta prinderivare ca f = f si f (0) = 1. Rezulta ca f (x) = ex + C si facand x = 0
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 44 / 45
Serii Taylor V
obtinem C = 0, deci f (x) = ex . Rezultatul se mai putea obtine siobservand ca seria din enunt este seria Taylor a lui ex .Tema. Sa se determine razele de convergenta pentru seriile Taylor ale luisin(x), cos(x), ln(1+ x), arctan x si (1+ x) (seria binomiala).
Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 45 / 45
Serii numericeSerii alternate si absolut convergenteCriterii de convergenta a seriilor
Siruri de functiiSerii de functiiSerii de puteriSerii Taylor
Recommended