siruriserii

Siruri si serii de functiiAnaliza matematica strict necesara

Radu Trmbitas

UBB

October 12, 2014

Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 1 / 45

Continut

1 Serii numericeSerii alternate si absolut convergenteCriterii de convergenta a seriilor

2 Siruri de functii

3 Serii de functiiSerii de puteriSerii Taylor


Serii numerice I

Definitie 1

Se numeste serie de termen general an perechea de siruri ((an) , (sn)),unde sn = a0 + a1 + + an. Notatie

n0an.

Definitie 2

Seria n0

an se numeste convergenta daca sirul sumelor partiale (sn) este

convergent. In acest caz, numarul limn sn se numeste suma seriei si senoteaza cu n=0 an. Seriile care nu sunt convergente se numescdivergente.


Serii numerice II

Exemplu 3

Fie a si q (a 6= 0) numere reale. Aratati ca seria geometrica n0 aqn esteconvergenta q (1, 1).Solutie. Sirul sumelor partiale este sn = a+ aq + + aqn. Dacaq = 1, sn = (n+ 1)a si seria este divergenta. Daca q = 1 se obtine unsir oscilant. Daca q 6= 1,

sn = a1 qn1 q .

Sirul (sn) este convergent (qn) este convergent q (1, 1) sideoarece n acest caz limn qn = 0

limn sn =

a

1 q =

n=0

aqn.


Serii numerice III

Teorema 4

Fie n0 an o serie convergenta de numere reale. Atunci an 0.

Demonstratie. Fie s suma seriei.

limn an = limn0 (sn+1 sn) = s s = 0.

Reciproca este falsa, asa cum rezulta din contraexemplul de mai jos.

Exemplu 5

Stabiliti natura seriei n0 1n (seria armonica).


Serii numerice IV

Solutie. sn = 1+12 + + 1n . Deoarece sn+1 sn = 1n+1 , (sn) este strict

crescator. Presupunem prin absurd ca este marginit superior, deciconvergent si fie s limita sa. Dar

s2n = sn +1

n+ 1+ + 1

n+ n

sn + nmin{

1

n+ k, k = 1, . . . , n

}= sn +

1

2.

Trecand la limita n inegalitatea s2n sn + 1/2 se obtine s s + 1/2,contradictie. Deci, seria armonica este divergenta si limita ei este +.Deci conditia an 0 este necesara, dar nu suficienta pentru convergentaseriei an.


Serii numerice V

Teorema 6

n0 an a, n0 bn b = n0(an + bn) este convergenta si

n=0

(an + bn) = a+ b.

Demonstratie - tema


Serii alternate si absolut convergente I

Definitie 7

(an) sir cu termeni pozitivi; n0

(1)nan se numeste serie alternata.

Teorema 8 (Criteriul lui Leibniz)

Daca (an) descrescator si an 0, atunci seria alternata n0

(1)nanconverge.

Demonstratie. Fie sn =n

k=0

(1)kak .

s0 s2 s2n 0 = (s2n) convergent


Serii alternate si absolut convergente II

Fie l1 = limn s2n.

s1 s3 s2n+1 . . . (crescator)s2n+1 = s2n a2n+1 s2n s0 (marginit)

(s2n+1) convergent, fie l2 = limn s2n+1.Trecand la limita n relatias2n+1 = s2n a2n+1, se obtine l1 = l2, (sn) convergent, deci si seria esteconvergenta.

Exemplu 9

Demonstrati convergenta seriei n1(1)n+1 1n si calculati suma ei. Seriase numeste seria armonica alternata.


Serii alternate si absolut convergente III

Solutie. Sirul (1/n)n1 este descrescator si convergent catre 0 si deciconform criteriului lui Leibniz n1(1)n+1 1n si n1(1)n 1n sunt seriiconvergente. Fie un = 1+

12 + + 1n . Se observa ca

2n

k=1

(1)k+1 1k= 1 1

2+

1

3 1

4+ + 1

2n 1 1

2n

= u2n 2(12un) =

1

n+ 1+ + 1

n+ n.

n

k=1

1

n+ k=

1

n

n

k=1

1

1+ kn 1

0

dx

1+ x= ln(1+ x)

10= ln 2.

Se poate demonstra si cu formula lui Taylor - tema!


Serii alternate si absolut convergente IV

Definitie 10

Seria n0 an este absolut convergenta seria n0 |an| esteconvergenta.

Teorema 11

Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Demonstratie - tema.

Definitie 12

O serie convergenta care nu este absolut convergenta se numestesemiconvergenta.

Observatie. Din exemplele 5 si 9 rezulta ca seria armonica alternata estesemiconvergenta.


Criterii de convergenta - criteriul comparatiei

Vom considera criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi. Invirtutea definitiei 10 aceste criterii vor fi criterii de convergenta absolutapentru serii cu termeni oarecari.

Teorema 13 (Primul criteriu al comparatiei)

Fie n0

an, n0

bn doua serii cu termeni pozitivi cu proprietatea ca exista

un rang N astfel ncat an bn pentru orice n N. Daca seria n0

bn

converge, atunci si n0

an converge.

Demonstratie - temaRezulta ca daca seria

n0an diverge, atunci si

n0bn diverge.

Criteriul ne permite sa stabilim convergenta sau divergenta unei seriicomparand-o cu o alta serie despre care stim ca este convergenta saudivergenta.


Criteriul raportului (al lui dAlembert) I

Teorema 14

Fie n0 an o serie cu termeni pozitivi.

(i) Daca exista un rang N si ` (0, 1) astfel ncat pentru orice n Nare loc relatia an+1an `, atunci seria este convergenta.

(ii) Daca exista un rang N astfel ncat pentru orice n N are loc relatiaan+1an 1, atunci seria este divergenta.

Demonstratie. (i) Din an+1an ` pentru n N, rezulta

aN+1 `aNaN+2 `aN+1 `2aN

...

aN+p `paN .Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 13 / 45

Criteriul raportului (al lui dAlembert) II

Demonstratie - continuare. Deci seria nN

an are termenii mai mici

decat ai seriei geometrice `aN + `2aN + + `paN + cu ratia

` (0, 1) care este convergenta.(ii) Din an+1an 1 rezulta ca (an) este crescator, deci nu poate avea limita0 si conform teoremei 4 seria diverge.In practica se foloseste corolarul urmator.

Corolar 15

Fie n0

an o serie cu termeni pozitivi astfel ncat limn

an+1an

= `.

(i) Daca ` < 1 seria converge.

(ii) Daca ` > 1 seria diverge.


Criteriul radacinii (al lui Cauchy) I

Teorema 16

Fie n0 an o serie cu termeni pozitivi.

(i) Daca exista un rang N si ` (0, 1) astfel ncat pentru orice n Nare loc relatia n

an `, atunci seria este convergenta.

(ii) Daca exista un rang N astfel ncat pentru orice n N are loc relatianan 1, atunci seria este divergenta.

Demonstratie. (i) Din nan ` pentru orice n N deducem an `n.

Deoarece 0 < ` < 1 seria geometrica nN `n este convergenta. Pe bazaprimului criteriu rezulta ca seria nN an converge si atunci si n0 anconverge.(ii) Daca n

an 1 pentru orice n N, rezulta an 1 si deci (an) nu

poate avea limita zero. Din teorema 4 rezulta divergenta seriei.Metoda practica


Criteriul radacinii (al lui Cauchy) II

Corolar 17

Fie n0

an o serie cu termeni pozitivi astfel ncat limn

nan = `.

(i) Daca ` < 1 seria converge.

(ii) Daca ` > 1 seria diverge.

Criteriul radacinii este mai puternic decat criteriul raportului.

Atat n corolarul la criteriul lui dAlembert cat si n corolarul lacriteriul lui Cauchy n ipoteza ` = 1 nu putem trage nici o concluzieasupra naturii seriei (seria poate fi convergenta sau divergenta).

Ilustram aceasta prin doua exemple.

1 n1

an, cu an =1n (seria armonica) este divergenta limn

an+1an

= 1,

limn nan = 1.


Criteriul radacinii (al lui Cauchy) III

2 n1

an, cu an =1n2

. limn an+1an = 1, limnnan = 1. Seria este

convergenta

1

k2 1

k2 k =1

k 1 1

k, k 2

sn =1

12+

n

k=2

1

k2

1+n

k=2

(1

k 1 1

k

)= 1+ 1 1

n< 2

(sn) fiind monoton crescator si marginit seria este convergenta.


Figure: Jean Le Rond dAlembert(1717-1783)

Figure: Augustin Louis Cauchy(1789-1857)


Siruri de functii I

A R, fn : A R, n N (fn)nN, (fn) - sir de functiiDefinitie 18

(fn) sir de functii definite pe A, x A punct de convergenta al sirului sirul numeric (fn(x)) este convergent. Multimea tuturor punctelor x cuaceasta proprietate se numeste multime de convergenta a sirului.

Definitie 19

(fn) sir de functii definite pe A, (fn) este convergent punctual pe A catre ofunctie f : A R daca x A fn(x) f (x). Notatie fn f .Formulare echivalentax A > 0 N(, x) n N(, x) : |fn(x) f (x)| <


Siruri de functii II

Definitie 20

(fn) sir de functii definite pe A, (fn) este uniform convergent pe A catre ofunctie f : A R daca > 0 N() n N() : |fn(x) f (x)| < , x A. Notatie fn f .

Teorema 21

(fn) uniform convergent pe A = (fn) convergent punctual pe ADemonstratie. fn f ; x0 A are loc

> 0 N() n N() : |fn(x) f (x)| < deci limn fn(x0) = f (x0),

adica fn f pe A.Convergenta uniforma pastreaza continuitatea, iar integrala comuta culimitele uniforme.


Siruri de functii III

Teorema 22

(fn), fn C [a, b], fn f . Atunci f = limn fn este continua pe [a, b] si

limn

bafn(x)dx =

ba

limn fn(x)dx .

Demonstratie. Fie u [a, b] si (xn) [a, b], xn u. Vom arata calimn f (xn) = f (u). Fie > 0, arbitrar.fn f = N() a.. p N() |fp(x) f (x)| < /3, x [a, b]; nparticular |fp(xn) f (xn)| < /3 si |fp(u) f (u)| < /3.Din continuitatea lui fp rezulta ca pentru n suficient de mare|fp(xn) f (u)| < /3. Scriind

f (xn) f (u) = (f (xn) fp(xn)) + (fp(xn) fp(u)) + (fp(u) f (u))


Siruri de functii IV

deducem ca pentru n suficient de mare

|f (xn) f (u)| |f (xn) fp(xn)|+ |fp(xn) fp(u)|+ |fp(u) f (u)|0

rk se numeste

restul seriei.

Demonstratie. n0

fn uniform convergenta, f limita sa = (sn) uniformconvergent = fn = sn sn1 f f = 0. Din convergenta serieiinitiale rezulta ca rn are sens si din f = sn + rn rezultarn = f sn f f = 0.


Serii de functii IV

Dam un criteriu de comparatie pentru convergenta uniforma a seriilor defunctii:

Teorema 28

n0

fn serie de functii definite pe A si n0

an o serie convergenta de numere

reale pozitive. Daca |fn(x)| an, x A si n N, atunci n0

fn este

uniform convergenta pe A.

Exemplu 29

Sa se studieze convergenta seriei n1 cosn x

n2.

Solutie. fn(x) = cosn x

n2

1n2

, dar seria n1 1n2 este convergenta, deciconform teoremei 28 seria din enunt este uniform convergenta.


Serii de puteri I

Definitie 30

Se numeste serie de puteri o serie de forma n0

fn, unde fn : R R,fn(x) = anxn. Sirul (an) se numeste sirul coeficientilor seriei date.

Analog, se pot considera serii de forma n0

an (x x0)n; printr-o schimbarede variabila de forma y = x x0 ne putem restrange la cazul x0 = 0.


Serii de puteri II

Teorema 31

Fie o serie de puteri n0

anxn si x0 R cu proprietatea ca sirul (anxn0 )

este marginit. Atunci:

(i) Seria numerica n0

ann este absolut convergenta pentru orice

(|x0|, |x0|) .(ii) pentru orice numar real r , 0 < r < |x0|, seria de functii

n0anx

n este

uniform convergenta pe [r , r ].Demonstratie. (i) Conform ipotezei, exista M > 0 a.. |anxn0 | M,n 0, adica |an| M/|x0|n.

|ann| = |an| ||n M|x0|n ||n = M

x0n , n 0


Serii de puteri III

Daca (|x0|, |x0|), x0 < 1 si seria geometrica

n0M x0 n va fi

convergenta si conform primului criteriu al comparatiei seria n0

ann va fi

absolut convergenta.(ii) Notam fn(x) = anxn, n N. Pentru orice x [r , r ] putem scrie

|fn(x)| = |an| |xn| |an| rn M(

r

|x0|)n

, n 0.

Aplicand teorema 28 cu an = M(

r|x0|)n

(serie geometrica cu ratia

r/|x0| < 1) rezulta convergenta seriei de puteri.


Serii de puteri IV

Definitie 32

Fie seria de puteri n0

anxn si multimea

M = {r R : r 0, (|an|rn) marginit pe R}R = supM (n R) se numeste raza de convergenta a seriei. Multimea

DC =

, daca R = 0R, daca R =

(R,R), daca 0 < R < se numeste domeniu de convergenta al seriei

n0anx

n.


Serii de puteri V

Teorema 33


anxn si R raza sa de convergenta.

(i) Daca R = 0 atunci n0

anxn converge punctual numai n x = 0.

(ii) Daca R = +, atunci seria numerica n0

ann este absolut

convergenta pentru orice R, iar seria de functii n0

anxn este

uniform convergenta pe orice interval [r , r ], r > 0.(iii) Daca 0 < R < , atunci seria numerica

n0an

n este absolut

convergenta pentru orice (R,R) si este divergenta pentru orice (,R) (R,), iar seria de functii

n0anx

n este uniform

convergenta pe orice interval [r , r ] cu 0 < r < R.


Serii de puteri VI

Demonstratie. (i) Daca R = 0 atunci M = {0}. Presupunand ca prinabsurd ca ar exista x0 6= 0 astfel ncat

n0anx

n converge, atunci sirul

(an|x0|n) ar fi marginit, deci |x0| M, contradictie.(ii) Rezulta imediat din teorema 31 avand n vedere definitia 32(iii) Fie (R,R) si r M ales arbitrar astfel ncat || < r < R (esteposibil caci R = M). Atunci sirul (anrn) este marginit si conform teoremei31 rezulta ca seria

n0an

n este absolut convergenta. Daca || > R,atunci seria

n0an

n este divergenta; n caz contrar ar rezulta ca sirul

(anrn) este marginit, adica || M, deci || supM = R, contradictie.Convergenta uniforma rezulta din teorema 31, punctul (ii).

Teorema precedenta afirma ca o serie de puteri este absolutconvergenta pe domeniul ei de convergenta DC si uniformconvergenta pe orice interval compact inclus n DC .

Despre punctele = R nu se spune nimic.Radu Trmbitas (UBB) Siruri si serii de functii October 12, 2014 34 / 45

Serii de puteri VII

Calculul razei de convergenta

Teorema 34


anxn si R raza sa de convergenta.

(i) Daca exista L = limn n|an| n R, atunci R = 1L (cu conventia

1/0 = , 1/ = 0)

(ii) Daca exista L = limn anan+1 , atunci R = L.

Demonstratie. (i) Fie x0 R arbitrar si consideram seria numerican0 |an| |x0|n

un

. Aplicam acestei serii corolarul la criteriul lui Cauchy.:

nun = n

an |x0| L|x0|, n


Serii de puteri VIII

Daca L = 0, atunci limn nun = 0 < 1 deci

n0anx

n0 este absolut

convergenta oricare ar fi x0 R, deci R = +.Daca L = + si x0 6= 0, atunci limn nun = > 1, deci seria estedivergenta pentru orice x0 6= 0, adica R = 0. Daca |x0| < 1/L, atunciL|x0| < 1 si seria

n0anx

n0 este absolut convergenta. Daca |x0| > 1/L,

atunci L|x0| > 1 si seria n0

anxn0 este divergenta. Rezulta ca x1 R cu

|x1| > |x0| seria n0

anxn1 este divergenta. Asadar R = 1/L, vezi teorema

33.(ii) Se demonstreaza similar utilizand criteriul lui dAlembert.


Serii de puteri IX

Exemplu 35

Determinati raza de convergenta pentru seriile de puteri

) n0

1

n!xn, )

n0xn

Solutie. ) Cu ajutorul criteriului raportului, an =1n!

limn

anan+1 = limn(n+ 1) = = R =

)an = 1, limn n|an| = 1, deci R = 1.


Serii de puteri X

Teorema 36

Fie (an) un sir de numere reale. Seriile de puteri n0

anxn si

n1nanx

n1

au aceeasi raza de convergenta.

Teorema 37

Fie f (x) = n0

anxn, f : (R,R) R, unde R 6= 0 este raza de

convergenta a seriei de puteri. Atunci:

(i) f este de clasa C si n plus relatia f (x) = n0

anxn poate fi derivata

termen cu termen pe (R,R) de m ori, m N.(ii) relatia f (x) =

n0anx

n poate fi integrata termen cu termen pe orice

interval [a, b] (R,R).


Serii de puteri XI

Demonstratie. (i) I. Se arata ca f este continua pe (R,R); fixam x0arbitrar n acest interval si fie r astfel ncat |x0| < r < R. Conformteoremei 33 seria de puteri

n0anx

n este uniform convergenta pe [r , r ];aplicand teorema 22 sirului (sn) (format din functii continue) rezulta caf = limn sn este continua pe ntreg domeniul de convergenta (R,R).II. Aratam ca f este derivabila. Seria

n0anx

n este convergenta cu suma

f (x) pe orice interval [r , r ] (R,R), iar teorema 36 arata ca seriaderivatelor

n1nanx

n1 are tot raza de convergenta R, deci este uniform

convergenta pe [r , r ]. Aplicand teorema 23 rezulta ca f este derivabila sif (x) =

n1nanx

n1, x [r , r ]. Continuitatea si derivabilitateaderivatelor se arata mai departe prin inductie, obtinand

f (m)(x) = n(n 1) . . . (nm+ 1)anxnm. (1)


Serii de puteri XII

(ii) Alegem 0 < r < R astfel ncat [a, b] [R,R ] si aplicam teorema 22sirului (sn), sn(x) =

n

k=0

akxk cu suma f , care este uniform convergent pe

[r , r ], deci si pe [a, b].Observatie. Fie f (x) = n=0 anxn, |x | < R, cu raza de convergentaR > 0. Din relatia (1) rezulta

am =f (m)(0)

m!, m 0.


Serii Taylor I

Reamintim formula lui Taylor: daca f Cn+1[a, b], atunci x0 (a, b) six [a, b] are loc

f (x) = (Tnf ) (x) + (Rnf ) (x),

unde

(Tnf ) (x) = f (x0) +f (x0)

1!(x x0) + + f

(n)(x0)

n!si

(Rnf )(x) = xx0f (n+1)(t)

(x t)nn!

dt.

O alta forma pentru rest: x0 (a, b) si x [a, b] exista cuprins ntrex0 si x astfel ncat

(Rnf )(x) =f (n+1)()

(n+ 1)!(x x0)n+1.


Serii Taylor II

Definitie 38

Fie f : I R indefinit derivabila n punctul x0 I , I interval. Seria Taylora functiei f n x0 este

n0

f (n)(x0)

n!(x x0)n.

Teorema 39 (Reprezentarea functiilor de clasa C prin serii Taylor)

Fie f : [a, b] R o functie indefinit derivabila astfel ncat sa existe M > 0cu proprietatea ca

f (n)(x) M, n N, x [a, b]. Fie x0 (a, b)fixat. Atunci seria Taylor a lui f n punctul x0 este uniform convergenta pe[a, b], avand suma f (x).


Serii Taylor III

Demonstratie. Fie (sn) sirul sumelor partiale

sn(x) = f (x0) +f (x0)

1!(x x0) + + f

(n)(x0)

n!

Conform formulei lui Taylor cu restul n forma Lagrange rezulta

|f (x) sn(x)| =f (n+1)()(n+ 1)!

|x x0|n+1 M(n+ 1)!

|x x0|n+1 0

De ce tinde ultima expresie la zero? Se obtine x [a, b]|f (x) sn(x)| 0, adica sn f .


Serii Taylor IV

Teorema 40

Seria de puteri

n0

xn

n!

are raza de convergenta R = + si suma ei este egala cu ex pentru oricex R.Demonstratie. Deoarece

limn

anan+1 = limn

1

n!1

(n+ 1)!

= limn(n+ 1) =

raza de convergenta este R = . Fie f (x) suma seriei. Rezulta prinderivare ca f = f si f (0) = 1. Rezulta ca f (x) = ex + C si facand x = 0


Serii Taylor V

obtinem C = 0, deci f (x) = ex . Rezultatul se mai putea obtine siobservand ca seria din enunt este seria Taylor a lui ex .Tema. Sa se determine razele de convergenta pentru seriile Taylor ale luisin(x), cos(x), ln(1+ x), arctan x si (1+ x) (seria binomiala).


Serii numericeSerii alternate si absolut convergenteCriterii de convergenta a seriilor

Siruri de functiiSerii de functiiSerii de puteriSerii Taylor

Documents

siruriserii