BÖLÜM V: T TESTLERİ
Gülşah Başol
TOKAT - 2014
T.C.GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
EĞİTİM FAKÜLTESİ
BÖLÜM V: t TESTLERİ
İçerik
• 1. Tek örneklem t testi• 2. Bağımsız gruplar t testi• 3. Bağımlı gruplar t testi
BÖLÜM V: t TESTLERİ
• Tek örneklem t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • Bağımsız gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • Bağımlı gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • t testlerinin sayıltılarını açıklar. • t testi için hipotezleri yazar. • t testini elde hesaplar ve sonuçları yorumlar.• t değerini tablo değeriyle karşılaştırarak karar verir. • SPSS’te t testini hesaplar ve yorumlar.• t testi için etki değerini hesaplar.
Kazanımlar
BÖLÜM V: t TESTLERİ
1. Tek örneklem t testi
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklemden hesaplanan aritmetik ortalamanın evren ortalaması ile karşılaştırılması
Diyelim ki bir grup 9. sınıf kızların ayak numaralarının evren ortalamasının üzerinde olup olmadığını test etmek istiyoruz. Fark yeterince büyükse istatistiksel olarak anlamlı bulunacaktır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklemden hesaplanan aritmetik ortalamanın evren ortalaması ile karşılaştırılması
100 adet 9. sınıf kızlarının ayak numaralarının ortalaması alınsa ve dağılımlarına bakılsa normal olduğu görülecektir. Bizim test ettiğimiz grubun ayak numaraları evren genelinden ne kadar büyüktür? Evren dağılımlarının içinde nereye düşmektedir?
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Dağılımın ortalarında ise normalden aykırı bir durum olmadığı anlamına gelir. Dağılımın sağ ucunda yer alıyorsa elimizdeki gruptaki kızların ayak numarası normalin üzerindedir solda ise de daha küçüktür. Ortalamanın standart hatası küçükse fark bulma şansımız daha yüksek olacaktır. Farklılaşma oranı ve örneklem büyüklüğü arttıkça aritmetik ortalamanın standart hatası küçülür.
Tek örneklemden hesaplanan aritmetik ortalamanın evren ortalaması ile karşılaştırılması
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t testi üzerine bir not
• Diyelim ki evrenden tesadüfi olarak çekilmiş bir örneklemimiz var.
• Örneklemden hesaplanan bir ortalamanın evren ortalamasından farklı olup olmadığının test edilmesinde kullanılır.
• Örnek: Bir grup ikinci sınıf öğrencisinin dakikada okuduğu kelime sayısı 2. sınıfların popülasyon ortalamasından daha çok mudur?
BÖLÜM V: t TESTLERİ
t testinin sayıltıları
• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, • Varyansların homojenliğini.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t formülü
• Paydadaki değer aritmetik ortalamanın standart hatasıdır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Aritmetik ortalamanın standart hatası
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t formülü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µ-X= 0 H0= µ=X
Alternatif hipotez• HA= µ- X ≠0 HA= µ≠ X İki yönlü
• HA= Fark>0 HA= Fark<0 Tek yönlü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
İşlem Sırası1. Hipotez testi yapmak için öncelikle hipotezler kurulur.
2. Tek yönlü veya çift yönlü test yapılacağına karar verilir. Alpha değeri belirlenir.
3. Örneklem için t değeri hesaplanır. T değerini hesaplamak için a. Paydada örneklem aritmetik ortalaması karşılaştırıldığı evren ortalamasından
çıkarılır.
b. Paydada örneklem standart sapması örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünür.
c. a/b oranı t değerini (thesaplanan) verir.
4. df (n-1) için tablo değeri bulunur.
5. Hesaplanan t değeri tablo değeriyle karşılaştırılır. Hesaplanan değer daha büyükse yokluk hipotezi reddedilir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Örnek 1
Klo’da bir ayakkabı satıcısı Pazarları 25 çift ayakkabıdan daha çok satıp satmadıklarını merak etmektedir. Sonraki on hafta Pazarları sattıkları ayakkabı sayısını kaydetmiştir. Bir sonraki sayfada rakamlar verilmiştir. Pazarları Klo’da daha çok ayakkabı satılmakta mıdır?
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t testiOn Pazar satılan ayakkabı sayısı
Satılan Ayakkabı Sayısı30
20
21
20
21
21
10
20
17
20
N1=10, M1=20, SS1=4.85 SS2=23.52
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t için formül
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t
1. Alpha=.05
2. Hipotezler
H0: Pazar = DiğerGünler
H1: Pazar > DiğerGünler Tek yönlü test
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t hesaplamaBÖLÜM V: t TESTLERİ
Sd ve Karar
3. sd = N-1=10-1 = 9. Tablo değeri 1.833.
4. |-3.26| > 1.833, Yokluk reddedilir.
5. Karar: Fark anlamlıdır. Ancak duruma göre Klo Pazarları 25 ten az satmaktadır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Güven aralıkları
• Burada aritmetik ortalama için % 95 güven aralıklarını hesaplıyoruz.
• = 20-25 + 2.26*1.53• =-5 + 3.46• =-8.47 -1.53• = Altı sınır -8.47 üst sınır ise -1.53’tür. • Aritmetik ortalama %95 olasılıkla bu iki aralıkta olacaktır.
PART II: z Test
Sonuç• Yokluk hipotezi reddedilir. Yokluk hipotezinde evren dağılımında Klo’da Pazarları satılan averaj ayakkabı çifti sayısı en az 25’tir denilmişti. On hafta için ortalama 20 çift ayakkabı satılmıştı. Bu durumda örneklemimizin Pazarları en az 25 ayakkabının satıldığı bir evrenden gelmiş olması olasılık dışıdır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Etki değeri
Etki değeri d ile ifade edilir ve örneklem için çalışılan faktörün etkisinin büyüklüğü ortaya konmuştur. Bu değer eksi sonsuzla artı sonsuz arasında değer alır. (-∞ ….+ ∞).2 düşük .5 orta .8 yüksek
Eta kare (Ƞ2 ) evrende etkinin derecesini gösterir. Bu değer 0 ile 1 arasında değer alır. .01 düşük .06 orta .14 yüksek
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t testi için etki değeri
Tek örneklem t testi etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
dn
t
Tek örneklem t testi için etki değeri
1.03 85.4
2520 d
BÖLÜM V: t TESTLERİ
dn
t
1.03 10
26.3 d
Klo’nun ortalama ayakkabı satışı evren ortalamasının 1.03 standart hata altındadır.
Pazarları satılan ayakkabı sayısı
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Analyze->Compare Means-> One Sample t test
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Test value=25
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Tek örneklem t için SPSS çıktısı
BÖLÜM V: t TESTLERİ
SPSS Sonuç
Çıktıda Sig yazan yere bakarız. Eğer bu değer .05’ten düşükse yokluk hipotezi reddedilir. Sig değeri birinci tip hata yapma olasılığıdır. Sig .01 bulundu. Bu durumda birinci tip hata olasılığı .05’den düşüktür. Bu da farkın anlamlı olduğunu söylememiz için yeterlidir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
2. BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLER t TESTİ
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Örneklemler arası fark
Diyelim ki yüzlerce örneklem aldık ve ilkokul 3. sınıf kız ve erkek çocuklarının boylarını ölçtük. Ayrı ayrı kızlar ve erkekler için boy ortalamalarının dağılımını oluşturduğumuzda normal dağılım gösterdiklerini görürüz. Çoğu örneklem için ortalamalar birbirine çok yakın olacaktır. Varyans ve örneklem büyüklüğü standart hatayı etkiler.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Örneklem aritmetik ortalamaları arası fark
Diyelim ki bir grup kız ve erkek öğrencinin boyları arasında fark olup olmadığını öğrenmek istiyoruz. Hipotezimizi kurarız. Örneklem ortalamaları arasındaki farklar ortalamadan yeterince farklılaşıyorsa fark olduğuna hükmedilir. Fark yeterince büyükse evren ortalamalarının farklılaştığına hükmederiz. Farkların standart hatası ne kadar düşükse t o ölçüde büyük çıkacak ve fark anlamlı olacaktır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testi
• Diyelim ki aynı örneklemden tesadüfi olarak çekilmiş iki örneklemimiz var.
• Bağımsız örneklemler t testi iki evren ortalamasının kıyaslanmasında kullanılır. Kızlar ve erkekler, hastalar ve sağlıklılar, deney grubu kontrol grubu.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
t testinin sayıltıları• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, (bağımlı eğişken bakımından her iki dağılımda
normal dağılım gösterir. Ya da normal dağılımdan ciddi sapma göstermez.
• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eşittir).
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testinin formülü
• Payda örneklem ortalamaları arasındaki fark yer alır.• Payda da ise aritmetik ortalamalar arasındaki farkın standart
hatası yer alır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µ1=µ2 H0= µ1-µ2=0
• Alternatif hipotez• HA= µ1≠µ2 HA= µ1-µ2≠0 Çift yönlü
• HA= µ1>µ2 HA= µ1<µ2 Tek yönlü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testinin formülü (Varyansların eşitliği hipotezi sağlandığında)
• Paydada havuzlanmış varyansların standart hatası kullanılır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testinin fomülü (Varyansların eşitliği hipotezi sağlanamadığında)
• Burada havuzlanmış varyansı paydada kullanamayız. Her iki grup için aritmetik ortalamanın standart hatasını ayrı ayrı hesaplanır ve eklenir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Sırasıyla yaptıklarımız1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araştırma sorusuna göre
yazarız.
2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha seviyemize karar veririz.
3. Test istatistiği hesaplanır.a.Payda iki grubun aritmetik ortalamaları arasındaki fark hesaplanır.
b.Paydada havuzlanmış standart sapma ile grup büyüklüklerinin 1’e oranlarının toplamının karekökü çarpılır. Elde edilen değer iki grup aritmetik ortalamaları arası farkın standart hatasıdır. Bu değer bağımsız gruplar t testinde havuzlanmış standart hata olarak adlandırılır.
c. a/b oranı alınarak t değeri hesaplanır.
4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.
5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır. Hesaplanan t tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi reddedilir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Örnek 1
Bir satıcı kadın ve erkeklerin aldıkları ayakkabı sayısında fark olup olmadığını merak etmektedir. On gün boyunca gün sonunda kadın ve erkek müşterilerin aldıkları ayakkabı sayısını kaydeder. Sayılar bir sonraki sayfada verilmiştir. Genel olarak kadınlar erkeklerden daha fazla ayakkabı alır diyebilir miyiz? Alpha .05 düzeyinde test ediniz.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız Gruplar t VerisiErkeklerin aldıkları ayakkabı sayısı
Kadınların aldıkları ayakkabı sayısı
30 38
20 30
18 26
21 30
21 31
21 30
12 16
20 25
17 28
20 26
N1=10, M1=20, SS1=4.47 N2=10, M2=28, SS2=5.60
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testi
1. Alpha= .05
2. Hipotezler
H0: Erkek = Kadın
H1: Erkek < Kadın Tek yönlü test
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testinin hesaplanmasıBÖLÜM V: t TESTLERİ
Sd ve karar
4. sd = N1+N2-2 or 10+10-2 = 18. Tablo değeri=1.734.
5. |-3.52| > | -1.734 |, yokluk hipotezi reddedilir.
6. Karar: Fark kadınların lehine bulunmuştur. Evet kadınlar gerçekten de daha çok ayakkabı almaktadırlar!!!
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Güven aralıkları
• Burada aritmetik ortalamanın %95 güven aralığını buluyoruz.
• =-8 + 1.734*2.26• =-8 + 3.92• =-11.92 -4.08 • =Alt sınır -11.92• Üst sınır ise -4.08’dir.• % 95 olasılıkla iki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -11.92
en çok -4.08 olabilir.
PART II: z Test
Etki değeri
Etki değeri d ile ifade edilir ve örneklem için çalışılan faktörün etkisinin büyüklüğü ortaya konmuştur. Bu değer eksi sonsuzla artı sonsuz arasında değer alır. (-∞ ….+ ∞).2 düşük .5 orta .8 yüksek
Eta kare (Ƞ2 ) evrende etkinin derecesini gösterir. Bu değer 0 ile 1 arasında değer alır. .01 düşük .06 orta .14 yüksek
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testi için etki değeri
Bağımsız örneklemler t testi etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
)2( 212
22
nnt
tn
2
21
şhavuzlanmıS
XXd
Bağımsız gruplar t testi için etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
2
21
şhavuzlanmıSS
XXd
dft
tr
2
22
58.1
67.25
2820
d 40.9.29/90.11
1845.3
45.32
22
n
Kadınların aldıkları ortalama ayakkabı sayısı erkeklerden 1.58 standart sapma daha fazladır. Ayakkabı satış oranlarındaki farkın % 40’ı cinsiyet değişkeni ile açıklanabilir.
Cinsiyete göre ayakkabı sayısı
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Analyze->Compare Means-> Independent Samples t test
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Cinsiyet Erkek için 1 Kadın için 2
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımsız gruplar t testi için SPSS çıktısı
BÖLÜM V: t TESTLERİ
SPSS Çıktısı
Sig değerine bakarız ve bu değer .05’in altındaysa yokluk hipotezi reddedilir. Burada Sig değeri .002 bulundu. Sonuç olarak yokluk hipotezi reddedilir. Birinci tip hata olasılığı .002 bulunduğuna göre verdiğimiz kararın doğruluğuna güvenebiliriz.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
3. BAĞIMLI GRUPLAR T TESTİ
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t-testİ• Veriyi bir şekilde çiftler haline koymamız mümkünken bağımlı gruplar t testi kullanılır (öntest-sontest ölçümleri, tek yumurta ikizleri, eşler),
• Tekrarlı ölçümlerin sonuçları,• Araştırmada etkisi araştırılan faktör dışında tüm koşullar eşit tutulduğunda istatistiksel bakımdan güçlü bir testtir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Kısa bir not
• Eşleştirilmiş puanların karşılaştırılması için bağımlı gruplar t testinden yararlanılır.
• Güçlü bir anlam çıkarıcı testtir.• Parametrik bir testtir dolayısıyla örneklem evreni temsil
etmelidir.• Eşleştirilmiş ölçümler arası farkların anlamlı olup
olmadığını test etmede kullanılır.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
t testinin sayıltıları• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, (bağımlı eğişken bakımından her iki dağılımda
normal dağılım gösterir. Ya da normla dağılımdan ciddi sapma göstermez.
• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eşittir).
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µFark =0 H0= µÖn-µSon=0
Alternatif hipotez• HA= µFark≠0 HA= µÖn-µSon≠0 Çift yönlü
• HA= µÖn>µSon HA= µÖn<µSon Tek yönlü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t testi formülü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
FarkX SH
Farkt
Fark
Payda çiftler arası farkın ortalaması paydada ise farkların standart sapmasının çift sayısının kareköküne bölünmesi ile elde edilir.
çift
FarkFark
n
SSSH
Bağımlı gruplar t testi formülü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Ortalamalar farkın standart hatası
T değeri aritmetik ortalamalar arası farkların dağılımından yeterince uzağa düşerse yokluk hipotezini reddederiz. Yani örneklemler ortalamaları arasındaki fark evrendeki ortalamalar arası farkların dağılımından farklı olarak bulunmuştur.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Sırasıyla yaptıklarımız1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araştırma sorusuna göre yazarız.
2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha seviyemize karar veririz.
3. Test istatistiği hesaplanır.a.Pay için öntest ve sontest puanları arasındaki fark alınarak toplanır ve çift sayısına
bölünür(nçift) elde edilen değer (farklar ortalaması) paya yazılır.
b.Paydada farkların standart hatası yer alacaktır. Bu amaçla önce farkların standart sapması bulunur. Farklardan farklar ortalaması çıkarılır elde edilen değerlerin kareleri alınarak toplanır kişi sayısını bir eksiğine bölünür ve karekökü alınır. Bu değer farkın standart sapmasıdır.
c. Farkın standart sapması çift sayısının kareköküne bölünerek farkın standart hatası elde edilir ve bu değer t değerini hesaplayacağımız formülün paydasına yazılır.
d. a/c oranı alınarak t değeri hesaplanır.
4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.
5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır. Hesaplanan t tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi reddedilir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Örnek 3
Bir araştırmacı ayrı evlerde büyüyen ikizlerin akademik başarılarında ailenin ekonomik düzeyine göre fark olup olmadığını merak etmektedir. Aynı yaşta ayrı sosyal statüde evlerde büyümüş ikiz çiftlerinin akademik başarılarını kaydeder. Veriler bir sonraki sayfadaki gibidir. Bu ikizlerin başarılarında fark olup olmadığını Alpha .05 düzeyinde test ediniz.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı örneklemler verisi10 ikiz çiftinin aritmetik ortalamaları
Twin1(İkiz1) Twin2 (İkiz2) F F-Fort FFkare
72 70 2 2-.4=1.6 2.56
77 75 2 1.6 2.56
91 90 1 .6 .36
78 80 -2 -2.4 5.76
83 85 -2 -2.4 5.76
91 90 1 .6 .36
69 70 -1 -1.4 1.96
61 60 1 .6 .36
72 70 2 1.6 2.56
80 80 0 -.4 .16
N1=10, M1=77 SS1=9.78
N2=10, M2=77.5 SS2=10.34
Ort=.4 22.4√22.4/9=1.58
BÖLÜM V: t TESTLERİ
1.58 burada puanlar arası farklar ortalamasından farkların standart sapmasıdır.
Bağımlı gruplar t test
1. Alpha=.05
2. Hipotezler
H0: µFark =0
H1: µFark ≠0 Çift yönlü
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t testinin hesaplanması
FarkX SH
Farkt
Fark
çiftler
FarkFark
n
SSSH
80.50.
40.
FarkXt10
58.1 FarkSHS
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Sd ve karar
4. sd = Nçift-1= 10-1 = 9. Tablo değeri=2.262.
5. |.80| < | 2.262 |, yokluk hipotezi reddelemez.
6. Karar: Fark anlamlı değildir.
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Güven aralıkları
• %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir.
• =.40 + 2.26*.50• =.40 + 1.13• =-.73 1.53• =İki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -.73• en çok 1.53’tür.• Aritmetik ortalamalar arası fark % 95 olasılıkla bu iki değer
arasında olacaktır.
PART II: z Test
Etki değeri
Etki değeri d ile ifade edilir ve örneklem için çalışılan faktörün etkisinin büyüklüğü ortaya konmuştur. Bu değer eksi sonsuzla artı sonsuz arasında değer alır. (-∞ ….+ ∞).2 düşük .5 orta .8 yüksek
Eta kare (Ƞ2 ) evrende etkinin derecesini gösterir. Bu değer 0 ile 1 arasında değer alır. .01 düşük .06 orta .14 yüksek
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t testi için etki değeri
Bağımlı örneklemler t testi etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Fark
Fark
S
Xd d
n
t
)1(2
22
nt
tn
Bağımlı gruplar t testi için etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
2
21
farkSS
XXd
İki aritmetik ortalama arasındaki fark .25 standart sapma kadardır.
Fark
Fark
S
Xd d
n
t
25.58.1
40.d .25
16.3
80. d
Bağımlı gruplar t testi için açıklanan varyans miktarı olarak etki değeri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
dft
tr
2
22
İki aritmetik ortalama arasındaki farkın %.066’sı ikizlerin ailelerinin ekonomik durumları ile açıklanabilir.
)1(2
22
nt
tn
066.964.
64.
d
İkizlere ait veri
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Analyze->Compare Means-> Paired Samples t test
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Twins1-Twins2 pair
BÖLÜM V: t TESTLERİ
Bağımlı gruplar t testi SPSS Çıktısı
BÖLÜM V: t TESTLERİ
SPSS Karar
Burada Sig değerine bakılır. Sig değeri .05’den küçük olmadığı için yokluk hipotezi reddedilemez. Yokluk hipotezi reddedilirse birinci tip hata yapılmış olunur.
BÖLÜM V: t TESTLERİ