t testleri

BÖLÜM V: T TESTLERİ

Gülşah Başol

TOKAT - 2014

T.C.GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ

EĞİTİM FAKÜLTESİ

BÖLÜM V: t TESTLERİ

İçerik

• 1. Tek örneklem t testi• 2. Bağımsız gruplar t testi• 3. Bağımlı gruplar t testi


• Tek örneklem t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • Bağımsız gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • Bağımlı gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar. • t testlerinin sayıltılarını açıklar. • t testi için hipotezleri yazar. • t testini elde hesaplar ve sonuçları yorumlar.• t değerini tablo değeriyle karşılaştırarak karar verir. • SPSS’te t testini hesaplar ve yorumlar.• t testi için etki değerini hesaplar.

Kazanımlar


1. Tek örneklem t testi


Tek örneklemden hesaplanan aritmetik ortalamanın evren ortalaması ile karşılaştırılması

Diyelim ki bir grup 9. sınıf kızların ayak numaralarının evren ortalamasının üzerinde olup olmadığını test etmek istiyoruz. Fark yeterince büyükse istatistiksel olarak anlamlı bulunacaktır.



100 adet 9. sınıf kızlarının ayak numaralarının ortalaması alınsa ve dağılımlarına bakılsa normal olduğu görülecektir. Bizim test ettiğimiz grubun ayak numaraları evren genelinden ne kadar büyüktür? Evren dağılımlarının içinde nereye düşmektedir?


Dağılımın ortalarında ise normalden aykırı bir durum olmadığı anlamına gelir. Dağılımın sağ ucunda yer alıyorsa elimizdeki gruptaki kızların ayak numarası normalin üzerindedir solda ise de daha küçüktür. Ortalamanın standart hatası küçükse fark bulma şansımız daha yüksek olacaktır. Farklılaşma oranı ve örneklem büyüklüğü arttıkça aritmetik ortalamanın standart hatası küçülür.



Tek örneklem t testi üzerine bir not

• Diyelim ki evrenden tesadüfi olarak çekilmiş bir örneklemimiz var.

• Örneklemden hesaplanan bir ortalamanın evren ortalamasından farklı olup olmadığının test edilmesinde kullanılır.

• Örnek: Bir grup ikinci sınıf öğrencisinin dakikada okuduğu kelime sayısı 2. sınıfların popülasyon ortalamasından daha çok mudur?


t testinin sayıltıları

• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, • Varyansların homojenliğini.


Tek örneklem t formülü

• Paydadaki değer aritmetik ortalamanın standart hatasıdır.


Aritmetik ortalamanın standart hatası


Tek örneklem t formülü


Tek örneklem t testinin hipotezleri

Yokluk hipotezi

H0= µ-X= 0 H0= µ=X

Alternatif hipotez• HA= µ- X ≠0 HA= µ≠ X İki yönlü

• HA= Fark>0 HA= Fark<0 Tek yönlü


İşlem Sırası1. Hipotez testi yapmak için öncelikle hipotezler kurulur.

2. Tek yönlü veya çift yönlü test yapılacağına karar verilir. Alpha değeri belirlenir.

3. Örneklem için t değeri hesaplanır. T değerini hesaplamak için a. Paydada örneklem aritmetik ortalaması karşılaştırıldığı evren ortalamasından

çıkarılır.

b. Paydada örneklem standart sapması örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünür.

c. a/b oranı t değerini (thesaplanan) verir.

4. df (n-1) için tablo değeri bulunur.

5. Hesaplanan t değeri tablo değeriyle karşılaştırılır. Hesaplanan değer daha büyükse yokluk hipotezi reddedilir.


Örnek 1

Klo’da bir ayakkabı satıcısı Pazarları 25 çift ayakkabıdan daha çok satıp satmadıklarını merak etmektedir. Sonraki on hafta Pazarları sattıkları ayakkabı sayısını kaydetmiştir. Bir sonraki sayfada rakamlar verilmiştir. Pazarları Klo’da daha çok ayakkabı satılmakta mıdır?


Tek örneklem t testiOn Pazar satılan ayakkabı sayısı

Satılan Ayakkabı Sayısı30

20

21

20

21

21

10

20

17

20

N1=10, M1=20, SS1=4.85 SS2=23.52


Tek örneklem t için formül


Tek örneklem t

1. Alpha=.05

2. Hipotezler

H0: Pazar = DiğerGünler

H1: Pazar > DiğerGünler Tek yönlü test


Tek örneklem t hesaplamaBÖLÜM V: t TESTLERİ

Sd ve Karar

3. sd = N-1=10-1 = 9. Tablo değeri 1.833.

4. |-3.26| > 1.833, Yokluk reddedilir.

5. Karar: Fark anlamlıdır. Ancak duruma göre Klo Pazarları 25 ten az satmaktadır.


Güven aralıkları

• Burada aritmetik ortalama için % 95 güven aralıklarını hesaplıyoruz.

• = 20-25 + 2.26*1.53• =-5 + 3.46• =-8.47 -1.53• = Altı sınır -8.47 üst sınır ise -1.53’tür. • Aritmetik ortalama %95 olasılıkla bu iki aralıkta olacaktır.

PART II: z Test

Sonuç• Yokluk hipotezi reddedilir. Yokluk hipotezinde evren dağılımında Klo’da Pazarları satılan averaj ayakkabı çifti sayısı en az 25’tir denilmişti. On hafta için ortalama 20 çift ayakkabı satılmıştı. Bu durumda örneklemimizin Pazarları en az 25 ayakkabının satıldığı bir evrenden gelmiş olması olasılık dışıdır.


Etki değeri

Etki değeri d ile ifade edilir ve örneklem için çalışılan faktörün etkisinin büyüklüğü ortaya konmuştur. Bu değer eksi sonsuzla artı sonsuz arasında değer alır. (-∞ ….+ ∞).2 düşük .5 orta .8 yüksek

Eta kare (Ƞ2 ) evrende etkinin derecesini gösterir. Bu değer 0 ile 1 arasında değer alır. .01 düşük .06 orta .14 yüksek


Tek örneklem t testi için etki değeri

Tek örneklem t testi etki değeri


dn

t

Tek örneklem t testi için etki değeri

1.03 85.4

2520 d


dn

t

1.03 10

26.3 d

Klo’nun ortalama ayakkabı satışı evren ortalamasının 1.03 standart hata altındadır.

Pazarları satılan ayakkabı sayısı


Analyze->Compare Means-> One Sample t test


Test value=25


Tek örneklem t için SPSS çıktısı


SPSS Sonuç

Çıktıda Sig yazan yere bakarız. Eğer bu değer .05’ten düşükse yokluk hipotezi reddedilir. Sig değeri birinci tip hata yapma olasılığıdır. Sig .01 bulundu. Bu durumda birinci tip hata olasılığı .05’den düşüktür. Bu da farkın anlamlı olduğunu söylememiz için yeterlidir.


2. BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLER t TESTİ


Örneklemler arası fark

Diyelim ki yüzlerce örneklem aldık ve ilkokul 3. sınıf kız ve erkek çocuklarının boylarını ölçtük. Ayrı ayrı kızlar ve erkekler için boy ortalamalarının dağılımını oluşturduğumuzda normal dağılım gösterdiklerini görürüz. Çoğu örneklem için ortalamalar birbirine çok yakın olacaktır. Varyans ve örneklem büyüklüğü standart hatayı etkiler.


Örneklem aritmetik ortalamaları arası fark

Diyelim ki bir grup kız ve erkek öğrencinin boyları arasında fark olup olmadığını öğrenmek istiyoruz. Hipotezimizi kurarız. Örneklem ortalamaları arasındaki farklar ortalamadan yeterince farklılaşıyorsa fark olduğuna hükmedilir. Fark yeterince büyükse evren ortalamalarının farklılaştığına hükmederiz. Farkların standart hatası ne kadar düşükse t o ölçüde büyük çıkacak ve fark anlamlı olacaktır.


Bağımsız gruplar t testi

• Diyelim ki aynı örneklemden tesadüfi olarak çekilmiş iki örneklemimiz var.

• Bağımsız örneklemler t testi iki evren ortalamasının kıyaslanmasında kullanılır. Kızlar ve erkekler, hastalar ve sağlıklılar, deney grubu kontrol grubu.


t testinin sayıltıları• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, (bağımlı eğişken bakımından her iki dağılımda

normal dağılım gösterir. Ya da normal dağılımdan ciddi sapma göstermez.

• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eşittir).


Bağımsız gruplar t testinin formülü

• Payda örneklem ortalamaları arasındaki fark yer alır.• Payda da ise aritmetik ortalamalar arasındaki farkın standart

hatası yer alır.


Bağımsız gruplar t testinin hipotezleri

Yokluk hipotezi

H0= µ1=µ2 H0= µ1-µ2=0

• Alternatif hipotez• HA= µ1≠µ2 HA= µ1-µ2≠0 Çift yönlü

• HA= µ1>µ2 HA= µ1<µ2 Tek yönlü


Bağımsız gruplar t testinin formülü (Varyansların eşitliği hipotezi sağlandığında)

• Paydada havuzlanmış varyansların standart hatası kullanılır.


Bağımsız gruplar t testinin fomülü (Varyansların eşitliği hipotezi sağlanamadığında)

• Burada havuzlanmış varyansı paydada kullanamayız. Her iki grup için aritmetik ortalamanın standart hatasını ayrı ayrı hesaplanır ve eklenir.


Sırasıyla yaptıklarımız1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araştırma sorusuna göre

yazarız.

2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha seviyemize karar veririz.

3. Test istatistiği hesaplanır.a.Payda iki grubun aritmetik ortalamaları arasındaki fark hesaplanır.

b.Paydada havuzlanmış standart sapma ile grup büyüklüklerinin 1’e oranlarının toplamının karekökü çarpılır. Elde edilen değer iki grup aritmetik ortalamaları arası farkın standart hatasıdır. Bu değer bağımsız gruplar t testinde havuzlanmış standart hata olarak adlandırılır.

c. a/b oranı alınarak t değeri hesaplanır.

4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.

5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır. Hesaplanan t tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi reddedilir.


Örnek 1

Bir satıcı kadın ve erkeklerin aldıkları ayakkabı sayısında fark olup olmadığını merak etmektedir. On gün boyunca gün sonunda kadın ve erkek müşterilerin aldıkları ayakkabı sayısını kaydeder. Sayılar bir sonraki sayfada verilmiştir. Genel olarak kadınlar erkeklerden daha fazla ayakkabı alır diyebilir miyiz? Alpha .05 düzeyinde test ediniz.


Bağımsız Gruplar t VerisiErkeklerin aldıkları ayakkabı sayısı

Kadınların aldıkları ayakkabı sayısı

30 38

20 30

18 26

21 30

21 31

21 30

12 16

20 25

17 28

20 26

N1=10, M1=20, SS1=4.47 N2=10, M2=28, SS2=5.60


Bağımsız gruplar t testi

1. Alpha= .05

2. Hipotezler

H0: Erkek = Kadın

H1: Erkek < Kadın Tek yönlü test


Bağımsız gruplar t testinin hesaplanmasıBÖLÜM V: t TESTLERİ

Sd ve karar

4. sd = N1+N2-2 or 10+10-2 = 18. Tablo değeri=1.734.

5. |-3.52| > | -1.734 |, yokluk hipotezi reddedilir.

6. Karar: Fark kadınların lehine bulunmuştur. Evet kadınlar gerçekten de daha çok ayakkabı almaktadırlar!!!


Güven aralıkları

• Burada aritmetik ortalamanın %95 güven aralığını buluyoruz.

• =-8 + 1.734*2.26• =-8 + 3.92• =-11.92 -4.08 • =Alt sınır -11.92• Üst sınır ise -4.08’dir.• % 95 olasılıkla iki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -11.92

en çok -4.08 olabilir.

PART II: z Test

Etki değeri




Bağımsız gruplar t testi için etki değeri

Bağımsız örneklemler t testi etki değeri


)2( 212

22

nnt

tn

2

21

şhavuzlanmıS

XXd

Bağımsız gruplar t testi için etki değeri


2

21

şhavuzlanmıSS

XXd

dft

tr

2

22

58.1

67.25

2820

d 40.9.29/90.11

1845.3

45.32

22

n

Kadınların aldıkları ortalama ayakkabı sayısı erkeklerden 1.58 standart sapma daha fazladır. Ayakkabı satış oranlarındaki farkın % 40’ı cinsiyet değişkeni ile açıklanabilir.

Cinsiyete göre ayakkabı sayısı


Analyze->Compare Means-> Independent Samples t test


Cinsiyet Erkek için 1 Kadın için 2


Bağımsız gruplar t testi için SPSS çıktısı


SPSS Çıktısı

Sig değerine bakarız ve bu değer .05’in altındaysa yokluk hipotezi reddedilir. Burada Sig değeri .002 bulundu. Sonuç olarak yokluk hipotezi reddedilir. Birinci tip hata olasılığı .002 bulunduğuna göre verdiğimiz kararın doğruluğuna güvenebiliriz.


3. BAĞIMLI GRUPLAR T TESTİ


Bağımlı gruplar t-testİ• Veriyi bir şekilde çiftler haline koymamız mümkünken bağımlı gruplar t testi kullanılır (öntest-sontest ölçümleri, tek yumurta ikizleri, eşler),

• Tekrarlı ölçümlerin sonuçları,• Araştırmada etkisi araştırılan faktör dışında tüm koşullar eşit tutulduğunda istatistiksel bakımdan güçlü bir testtir.


Kısa bir not

• Eşleştirilmiş puanların karşılaştırılması için bağımlı gruplar t testinden yararlanılır.

• Güçlü bir anlam çıkarıcı testtir.• Parametrik bir testtir dolayısıyla örneklem evreni temsil

etmelidir.• Eşleştirilmiş ölçümler arası farkların anlamlı olup

olmadığını test etmede kullanılır.


t testinin sayıltıları• Gözlemlerin bağımsızlığı,• Normallik, (bağımlı eğişken bakımından her iki dağılımda

normal dağılım gösterir. Ya da normla dağılımdan ciddi sapma göstermez.

• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eşittir).


Bağımlı gruplar t testinin hipotezleri

Yokluk hipotezi

H0= µFark =0 H0= µÖn-µSon=0

Alternatif hipotez• HA= µFark≠0 HA= µÖn-µSon≠0 Çift yönlü

• HA= µÖn>µSon HA= µÖn<µSon Tek yönlü


Bağımlı gruplar t testi formülü


FarkX SH

Farkt

Fark

Payda çiftler arası farkın ortalaması paydada ise farkların standart sapmasının çift sayısının kareköküne bölünmesi ile elde edilir.

çift

FarkFark

n

SSSH

Bağımlı gruplar t testi formülü


Ortalamalar farkın standart hatası

T değeri aritmetik ortalamalar arası farkların dağılımından yeterince uzağa düşerse yokluk hipotezini reddederiz. Yani örneklemler ortalamaları arasındaki fark evrendeki ortalamalar arası farkların dağılımından farklı olarak bulunmuştur.


Sırasıyla yaptıklarımız1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araştırma sorusuna göre yazarız.

2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha seviyemize karar veririz.

3. Test istatistiği hesaplanır.a.Pay için öntest ve sontest puanları arasındaki fark alınarak toplanır ve çift sayısına

bölünür(nçift) elde edilen değer (farklar ortalaması) paya yazılır.

b.Paydada farkların standart hatası yer alacaktır. Bu amaçla önce farkların standart sapması bulunur. Farklardan farklar ortalaması çıkarılır elde edilen değerlerin kareleri alınarak toplanır kişi sayısını bir eksiğine bölünür ve karekökü alınır. Bu değer farkın standart sapmasıdır.

c. Farkın standart sapması çift sayısının kareköküne bölünerek farkın standart hatası elde edilir ve bu değer t değerini hesaplayacağımız formülün paydasına yazılır.

d. a/c oranı alınarak t değeri hesaplanır.

4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.

5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır. Hesaplanan t tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi reddedilir.


Örnek 3

Bir araştırmacı ayrı evlerde büyüyen ikizlerin akademik başarılarında ailenin ekonomik düzeyine göre fark olup olmadığını merak etmektedir. Aynı yaşta ayrı sosyal statüde evlerde büyümüş ikiz çiftlerinin akademik başarılarını kaydeder. Veriler bir sonraki sayfadaki gibidir. Bu ikizlerin başarılarında fark olup olmadığını Alpha .05 düzeyinde test ediniz.


Bağımlı örneklemler verisi10 ikiz çiftinin aritmetik ortalamaları

Twin1(İkiz1) Twin2 (İkiz2) F F-Fort FFkare

72 70 2 2-.4=1.6 2.56

77 75 2 1.6 2.56

91 90 1 .6 .36

78 80 -2 -2.4 5.76

83 85 -2 -2.4 5.76

91 90 1 .6 .36

69 70 -1 -1.4 1.96

61 60 1 .6 .36

72 70 2 1.6 2.56

80 80 0 -.4 .16

N1=10, M1=77 SS1=9.78

N2=10, M2=77.5 SS2=10.34

Ort=.4 22.4√22.4/9=1.58


1.58 burada puanlar arası farklar ortalamasından farkların standart sapmasıdır.

Bağımlı gruplar t test

1. Alpha=.05

2. Hipotezler

H0: µFark =0

H1: µFark ≠0 Çift yönlü


Bağımlı gruplar t testinin hesaplanması

FarkX SH

Farkt

Fark

çiftler

FarkFark

n

SSSH

80.50.

40.

FarkXt10

58.1 FarkSHS


Sd ve karar

4. sd = Nçift-1= 10-1 = 9. Tablo değeri=2.262.

5. |.80| < | 2.262 |, yokluk hipotezi reddelemez.

6. Karar: Fark anlamlı değildir.


Güven aralıkları

• %95 güven aralığı aşağıdaki gibidir.

• =.40 + 2.26*.50• =.40 + 1.13• =-.73 1.53• =İki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -.73• en çok 1.53’tür.• Aritmetik ortalamalar arası fark % 95 olasılıkla bu iki değer

arasında olacaktır.

PART II: z Test

Etki değeri




Bağımlı gruplar t testi için etki değeri

Bağımlı örneklemler t testi etki değeri


Fark

Fark

S

Xd d

n

t

)1(2

22

nt

tn

Bağımlı gruplar t testi için etki değeri


2

21

farkSS

XXd

İki aritmetik ortalama arasındaki fark .25 standart sapma kadardır.

Fark

Fark

S

Xd d

n

t

25.58.1

40.d .25

16.3

80. d

Bağımlı gruplar t testi için açıklanan varyans miktarı olarak etki değeri


dft

tr

2

22

İki aritmetik ortalama arasındaki farkın %.066’sı ikizlerin ailelerinin ekonomik durumları ile açıklanabilir.

)1(2

22

nt

tn

066.964.

64.

d

İkizlere ait veri


Analyze->Compare Means-> Paired Samples t test


Twins1-Twins2 pair


Bağımlı gruplar t testi SPSS Çıktısı


SPSS Karar

Burada Sig değerine bakılır. Sig değeri .05’den küçük olmadığı için yokluk hipotezi reddedilemez. Yokluk hipotezi reddedilirse birinci tip hata yapılmış olunur.


Education

t testleri