2 SLAGANJE SILA
Sile se nazivaju sučeljnim ako se njihovi pravci sijeku u jednoj tački Sile mogu biti iste napadne linije i tada se one zovu kolinearne sile A ako su raznih pravaca tada se zovu kose sile
GRAFIČKO ODREĐIVANJE REZULTANTE
a) Dvije kolinearne sile istog intenziteta a suprotnih smjerova
Uslov ravnoteže tijela je
b) Dvije kolinearne sile različitog intenziteta i suprotnih smjerova
Ovo tijelo će se kretati jednakoubrzanim kretanjem u smjeru veće sile Dejstvo sila
možemo zamjeniti dejstvom sile Silu nazivamo rezultantom sila A
sile nazivamo komponentama rezultante
Veličina (intenzitet) rezultante u ovom slučaju jednaka je razlici veličina komponenti
Grafičkom metodom rezlutantu sila možemo dobiti na sljedeći način
Prvo odaberemo razmjeru za silu Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri
Nacrtamo prvo silu Iz kraja te sile tačka B nadovezujemo silu Početak sile
tačka A spajamo sa krajem sile tačka D Na taj način smo dobili reziltantu sila
Veličinu (intenzitet) sile računamo tako da duž ADpomnožimo sa razmjerom
Smjer rezultante uvijek je okrenut u smjer veće komponente U ovom slučaju to je sila
Ovdje važi komutativni zakon tj da red slaganja (nadovezivanja) sila n utiče na rezultat
PRIMJER 1 Na materijalnu tačku A dijeluju kolinearne sile suprotnih
smjerova Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitičkom metodom (računska) i b) Grafičkom metodom
a) Analitički (računski)
b) Grafički
Prvo odaberemo razmjeru u ovom slučaju je najpogodnija
Zatim nacrtamo silu u toj razmjeri i to će na crtežu iznositi 5cm Na kraj prve sile
nadovežemo drugu silu takođe u istoj razmjeri pa će ta dužina iznositi 2cm
Spajanjem tačaka A i D dobićemo rezultantu čiju veličinu (intenzitet)
određujemo tako da pomnožimo duž AD sa razmjerom
Smjer rezultante je okrenut u smjeru veće komponente a to je u ovom slučaju
c) Dvije kolinearne sile istih smjerovaPostupak dobivanja rezultante sila je vrlo sličan predhodnim s tim što se u ovom slučaju vrši sabiranje komponenti pa je
PRIMJER 2 U tačkama B i C užeta učvršćenog u tački A obješeni su tereti
Kolika sila djeluje u tački A
a) Računski b) Grafički
Slaganje sistema sučeljnih sila
a) Slaganje pomoću paralelograma
Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti one imaju rezultantu Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3 aksioma koja glasiRezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama Intenzitet rezultante je
ndash grafičko određivanje rezultante
Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante
b) Slaganje pomoću trougla sila Umjesto da crtamo čitav paralelogram
Rezultantu sila možemo dobiti i na brži način pomoću trougla
ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila
PUNI RAVNI NOSAČI
Vrste punih ravnih nosača
1 Obični nosač (prosta greda)
2 Uklješteni nosač (konzola)
3 Nosač (greda) sa prepustima
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Grafičkom metodom rezlutantu sila možemo dobiti na sljedeći način
Prvo odaberemo razmjeru za silu Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri
Nacrtamo prvo silu Iz kraja te sile tačka B nadovezujemo silu Početak sile
tačka A spajamo sa krajem sile tačka D Na taj način smo dobili reziltantu sila
Veličinu (intenzitet) sile računamo tako da duž ADpomnožimo sa razmjerom
Smjer rezultante uvijek je okrenut u smjer veće komponente U ovom slučaju to je sila
Ovdje važi komutativni zakon tj da red slaganja (nadovezivanja) sila n utiče na rezultat
PRIMJER 1 Na materijalnu tačku A dijeluju kolinearne sile suprotnih
smjerova Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitičkom metodom (računska) i b) Grafičkom metodom
a) Analitički (računski)
b) Grafički
Prvo odaberemo razmjeru u ovom slučaju je najpogodnija
Zatim nacrtamo silu u toj razmjeri i to će na crtežu iznositi 5cm Na kraj prve sile
nadovežemo drugu silu takođe u istoj razmjeri pa će ta dužina iznositi 2cm
Spajanjem tačaka A i D dobićemo rezultantu čiju veličinu (intenzitet)
određujemo tako da pomnožimo duž AD sa razmjerom
Smjer rezultante je okrenut u smjeru veće komponente a to je u ovom slučaju
c) Dvije kolinearne sile istih smjerovaPostupak dobivanja rezultante sila je vrlo sličan predhodnim s tim što se u ovom slučaju vrši sabiranje komponenti pa je
PRIMJER 2 U tačkama B i C užeta učvršćenog u tački A obješeni su tereti
Kolika sila djeluje u tački A
a) Računski b) Grafički
Slaganje sistema sučeljnih sila
a) Slaganje pomoću paralelograma
Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti one imaju rezultantu Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3 aksioma koja glasiRezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama Intenzitet rezultante je
ndash grafičko određivanje rezultante
Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante
b) Slaganje pomoću trougla sila Umjesto da crtamo čitav paralelogram
Rezultantu sila možemo dobiti i na brži način pomoću trougla
ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila
PUNI RAVNI NOSAČI
Vrste punih ravnih nosača
1 Obični nosač (prosta greda)
2 Uklješteni nosač (konzola)
3 Nosač (greda) sa prepustima
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
b) Grafički
Prvo odaberemo razmjeru u ovom slučaju je najpogodnija
Zatim nacrtamo silu u toj razmjeri i to će na crtežu iznositi 5cm Na kraj prve sile
nadovežemo drugu silu takođe u istoj razmjeri pa će ta dužina iznositi 2cm
Spajanjem tačaka A i D dobićemo rezultantu čiju veličinu (intenzitet)
određujemo tako da pomnožimo duž AD sa razmjerom
Smjer rezultante je okrenut u smjeru veće komponente a to je u ovom slučaju
c) Dvije kolinearne sile istih smjerovaPostupak dobivanja rezultante sila je vrlo sličan predhodnim s tim što se u ovom slučaju vrši sabiranje komponenti pa je
PRIMJER 2 U tačkama B i C užeta učvršćenog u tački A obješeni su tereti
Kolika sila djeluje u tački A
a) Računski b) Grafički
Slaganje sistema sučeljnih sila
a) Slaganje pomoću paralelograma
Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti one imaju rezultantu Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3 aksioma koja glasiRezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama Intenzitet rezultante je
ndash grafičko određivanje rezultante
Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante
b) Slaganje pomoću trougla sila Umjesto da crtamo čitav paralelogram
Rezultantu sila možemo dobiti i na brži način pomoću trougla
ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila
PUNI RAVNI NOSAČI
Vrste punih ravnih nosača
1 Obični nosač (prosta greda)
2 Uklješteni nosač (konzola)
3 Nosač (greda) sa prepustima
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Slaganje sistema sučeljnih sila
a) Slaganje pomoću paralelograma
Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti one imaju rezultantu Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3 aksioma koja glasiRezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama Intenzitet rezultante je
ndash grafičko određivanje rezultante
Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante
b) Slaganje pomoću trougla sila Umjesto da crtamo čitav paralelogram
Rezultantu sila možemo dobiti i na brži način pomoću trougla
ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila
PUNI RAVNI NOSAČI
Vrste punih ravnih nosača
1 Obični nosač (prosta greda)
2 Uklješteni nosač (konzola)
3 Nosač (greda) sa prepustima
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila
PUNI RAVNI NOSAČI
Vrste punih ravnih nosača
1 Obični nosač (prosta greda)
2 Uklješteni nosač (konzola)
3 Nosač (greda) sa prepustima
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
4 Gerberov nosač
Vrste oslonaca
a) Pokretni oslonac
U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
b) Nepokretni oslonac
Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda
računamo otpor R
I njegov položaj
c) Uklještenje ndash uklješten oslonac
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka
ndash moment uklještenja ili reakcija momenta
Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača
a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)
b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja
pravougaonikom)
- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)
2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Sile upravne na osu nosača Kose sile
Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila
Sile u vidu sprega
ZADATAK 1
Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a) Analitički
b) Grafički
Prvo nacrtamo gredu u razmjeri
Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A
ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u
osloncima ako je a = 1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
b) Grafički
ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 6Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
F=3 KN L=1m
a) Analitički
b) Grafički
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu
ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a) Analitički
b) Grafički
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače
1
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
2
3
4
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
PRIMJER 4
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima
F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN
F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN
OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze
Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla
0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg
sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0
cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1
tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0
PROJEKCIJA VEKTORA SILE
- Projekcije sile na X i Y ose
X = F middot cosαY = F middot sinα
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
X i Y ndash su skalarne veličine
PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg
X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N
Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N
PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N
FR =
PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
- uslovi ravnoteže
F2 = F1 middot
G =
G =
G =
G = 2F1 rArr F1 =
F2 = 50 middot
Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate
F1 = 50 KN
F2 = 87 KN
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara
konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i
pritisak kugle na zid
a) Grafički
N= BCUF=115 cm 115N
S= ACUF=23 cm 230N
N=115N S=230N
b)Analitički
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
N=S cos60⁰
S cos30⁰=G
S= 231N
N= 23105= 1155N
ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
b)Analitički
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
6926N
39988N
ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B
58N
116N
b)Analitički
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰
Izrada
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge
a) Grafički
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
b) Analitički
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
a)Grafički
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Analitički
FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0
FB = FN1 middot
FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0
FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
FN1 =
FN1 =
FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN
FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg
FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30
FN2 = =
FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest
proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile
Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile
Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru
momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)
VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante
OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA
Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 2 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 2 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN
3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 2 KNm
ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 1 KN FB = 1 KN
2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm
Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA
1 Reakcije u osloncima
FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile
I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja
I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja
Mfmax = - 2 KNm