7/21/2019 Trabajo d Vecto
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o Hallar el+→ (t )
t 0lim r
de la función vectorial:
( ) ( ) = − + + + + ÷
r r rr 1
tg(t) 2 t.sen(t)(t )
1r csc(t) i t sen(t) j 1 t k
t
SOL!"#$:
i) Hallar el+→ (t )
t 0lim r
%& !omo vemos 'ue
+→t 0( entonces
el clculo del lim es lateral *or la derec+a.
,onde:
( ) ( )+ + + +→ → → →
= − + + + + ÷
r r rr
2 -1
1tg(t) 2 t.sen(t)
(t )t 0 t 0 t 0 t 0
c cc
1lim r lim csc(t) i lim t sen(t) j lim 1 t k
t
Haciendo 'ue:( )= + + − − − − − − −
1 2 -
c c i c j c k i
Determinamos los componentes vectoriales de la función vectorial (1):
Hallando
+→
= − ÷
1t 0
1c lim csc(t)
tforma
∞ − ⇒0No se puede aplicar la regla de l’hospital.
Forma∞ − ∞ ⇒
Si se puede aplicar.
uego:
+ +
→ →
−= − =
÷ ÷ 1
t 0 t 0
1 1 sen(t) tc lim lim
t sen(t) t.sen(t)! Forma
⇒
0
0"egla de hospital.
+→
−= ÷+
1t 0
cos(t) 1c lim
t.cos(t) sen(t)
Forma
⇒0
0volviendo a derivar
+→
= ÷+ +
1t 0
sen(t)c lim
t.sen(t) cos(t) cos(t)
+→
= = = = ÷+ +
1t 0
sen(t) 0 0c lim 0t.sen(t) 2cos(t) 0.0 2(1) 2
#$lculo de
( )+→
= + ⇒tg(t)
2t 0
c lim t sen(t)
Forma
00cuando se tiene esta forma empleamos la
propiedad de:
→
→= a
lim g().Lnf()g()
t alim f() e
uego:
+→
+
+
→ = + ⇒= ÷
g ( )
0tg(t) lim tg(t ).Ln(t sen(t))
2t 0 f ( )
c lim t sen(t) e
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Siendo+→
= + ⇒ 0
/ lim tg(t).Ln(t sen(t))
Forma de∞0.
+ +→ →
+ +∴ = =
t 0 t 0
Ln( t sen(t )) Ln( t sen(t )) / lim lim
1 ctg(t)t
%mpleando la regla de ’Hospital (derivando)
+ +→ →
++
+ += = −− 2
t 0 t 0
2
1 1 cos(t)(1 cos(t)
t sen(t) t sen(t) / lim lim
1csc (t)
sen (t)
+ + + +→ → → →
− += = − + = − +
+ + +
2 2
t 0 t 0 t 0 t 0
sen(1 cos(t)) sen (t) sen (t) / lim lim(1 cos(t)) lim(1 cos(t)) lim
(t sen(t)) t sen(t) t sen(t)
→ → = − + = − = − ÷+ + + t 0 t 02sen(t) cos(t) sen(2t) sen(0) / (1 cos(0))lim 2 lim 2
1 cos(t) 1 cos(t) 1 cos(0)
= − = − = − = ÷ ÷+
0 0 / 2 2 2(0) 0
1 1 0
⇒ = =0
2c e 1
#alculo de
( )+→
= + tg(t)
-t 0
c lim t sen(t)⇒ orma ∞1 ⇒
llevando primero a la forma∞0.
& luego a la
forma
0
0ó
∞
∞
uego:
+→+
=2
t 0
1lim Ln(1 t )
t.sen(t)
-c e
Hallando:
+→= + 2
t 0
1 lim Ln(1 t )
t.sen(t)
⇒ orma ∞ = ∞.0 0.
' tamin
+→
+
=
2
t 0
Ln(1 t )
lim t.sen(t)
⇒ orma
0
0
⇒"egla de ’Hospital:
+ +→ →
÷ ÷+ += = ÷ ÷
+ + ÷ ÷ ÷ ÷
2 2
t 0 t 0
1 2t(2t)
1 t 1 t lim limt. cos(t ) sen(t ) t. cos( t) sen(t )
+ + +→ → →= =
++ + +2 2t 0 t 0 t 0
2t 2 t lim lim . lim
t.cos t sent(1 t )(t.cos t sent) (1 t )
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+→
= = = ÷ ÷ ÷− + + − + ++ 2
t 0
2 1 1 1 . lim 2 2
t.sen( t) cos( t) cos(t ) 0.sen(0) cos(0) cos(0) 21 0
= ⇒ = 1
- 1 c e
"eempla*ando en la %c.(i):→
= + +(t )t 0lim r 0 i j ek
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