Algebra LinearBibliografia
Transformacoes Lineares
Naygno Barbosa Noia
13 de dezembro de 2014
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Algebra LinearBibliografia
Sumario
1 Algebra LinearTransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
2 Bibliografia
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Algebra LinearBibliografia
TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
O que e uma TRANSFORMACAO?
1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
O que e uma TRANSFORMACAO?
1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
O que e uma TRANSFORMACAO?
1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
O que e uma TRANSFORMACAO?
LAVAR ROUPAS
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TRANSFORMACAO LINEAR
Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:
(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .
O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Exemplo 1
1.1 Verificar se as transformacoes seguintes sao lineares(a) A : R2 → R2
A(x , y) = (x + y , x − y)
(b) B : R2 → RB(x , y) = xy
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.
Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que
A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:
A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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Propriedades
Seja A : E → F uma transformacao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .
2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av
3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam
4. A(−u) = −Au
5. A(u − v) = Au − Av
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Soma e Produto por Escalar
Sejam A,B : E → F transformacoes lineares, u ∈ E e α ∈ R. Definimos:
A soma A + B : E → F , como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar αA : E → F , como: (αA)u = αAu
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Soma e Produto por Escalar
Sejam A,B : E → F transformacoes lineares, u ∈ E e α ∈ R. Definimos:
A soma A + B : E → F , como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar αA : E → F , como: (αA)u = αAu
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Soma e Produto por Escalar
Sejam A,B : E → F transformacoes lineares, u ∈ E e α ∈ R. Definimos:
A soma A + B : E → F , como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar αA : E → F , como: (αA)u = αAu
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Soma e Produto por Escalar
Sejam A,B : E → F transformacoes lineares, u ∈ E e α ∈ R. Definimos:
A soma A + B : E → F , como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar αA : E → F , como: (αA)u = αAu
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Mais Sobre Transformacoes Lineares
Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .
O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Mais Sobre Transformacoes Lineares
Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .
O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Mais Sobre Transformacoes Lineares
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O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Mais Sobre Transformacoes Lineares
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O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Mais Sobre Transformacoes Lineares
Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .
O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Mais Sobre Transformacoes Lineares
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O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Mais Sobre Transformacoes Lineares
Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .
O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.
O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .
Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .
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Teorema 1
Sejam E ,F espacos vetoriais e B uma base de E . A cada vetor u ∈ B, facamos corresponder(de maneira arbitraria) um vetor u′ ∈ F . Entao existe uma unica transformacao linearA : E → F tal que A · u = u′ para cada u ∈ B.
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Aplicacao do Teorema 1
Em virtude do Teorema 1, se quisermos definir uma transformacao linear A : Rn →Rm basta escolher, para cada j = 1, · · · , n, um vetor vj = (a1j , a2j , · · · , amj) ∈ Rm
e dizer que vj = A · ej e a imagem do j-esimo vetor da base canonica, ej =(0, · · · , 1, · · · , 0), pela transformacao linear A. A partir daı, fica determinada aimagem A · v de qualquer vetor v = (x1, · · · , xn) ∈ Rn.
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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear
Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
logo
A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
logo
A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
logo
A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
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A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
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A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
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A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Com efeito, tem-se
v = (x1, · · · , xn)
= x1e1 + · · ·+ xnen,
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A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)
= A
n∑j=1
xjej
=
n∑j=1
xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)
=n∑
j=1
(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).
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Aplicacao do Teorema 1
Assim,
A · v =
n∑j=1
a1jxj ,n∑
j=1
a2jxj , · · · ,n∑
j=1
amjxj
,
ou seja
A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),
onde
y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...
ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23
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Aplicacao do Teorema 1
Assim,
A · v =
n∑j=1
a1jxj ,n∑
j=1
a2jxj , · · · ,n∑
j=1
amjxj
,
ou seja
A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),
onde
y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...
ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23
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Aplicacao do Teorema 1
Assim,
A · v =
n∑j=1
a1jxj ,n∑
j=1
a2jxj , · · · ,n∑
j=1
amjxj
,
ou seja
A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),
onde
y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...
ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23
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Aplicacao do Teorema 1
Assim,
A · v =
n∑j=1
a1jxj ,n∑
j=1
a2jxj , · · · ,n∑
j=1
amjxj
,
ou seja
A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),
onde
y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...
ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23
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Matriz da Tranformacao Linear
O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...
ym
=
a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
Ou ainda,
w = a · v ,onde:
w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm
a = [aij ] ∈M(m × n)
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Matriz da Tranformacao Linear
O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...
ym
=
a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
Ou ainda,
w = a · v ,onde:
w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm
a = [aij ] ∈M(m × n)
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O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...
ym
=
a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
Ou ainda,
w = a · v ,onde:
w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm
a = [aij ] ∈M(m × n)
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O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...
ym
=
a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
Ou ainda,
w = a · v ,onde:
w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm
a = [aij ] ∈M(m × n)
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O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...
ym
=
a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
Ou ainda,
w = a · v ,onde:
w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm
a = [aij ] ∈M(m × n)
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Matriz da Tranformacao Linear
Desta forma, uma transformacao linear A : Rn → Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] ∈M(m × n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente as basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se
A · ej =n∑
j=1
aijej (j = 1, · · · n),
onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.
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Desta forma, uma transformacao linear A : Rn → Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] ∈M(m × n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente as basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se
A · ej =n∑
j=1
aijej (j = 1, · · · n),
onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.
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Desta forma, uma transformacao linear A : Rn → Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] ∈M(m × n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente as basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se
A · ej =n∑
j=1
aijej (j = 1, · · · n),
onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.
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Desta forma, uma transformacao linear A : Rn → Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] ∈M(m × n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente as basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se
A · ej =n∑
j=1
aijej (j = 1, · · · n),
onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Encontrar a transformacao linear da rotacao de um angulo θ no sentido antı-horario.
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao
x ′ = r cos(θ + β)
= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)
Mas
x = r cos(α)
y = r sen(α)
Entao
x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)
Analogamente,
y ′ = x sen(α + θ)
= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)
= y cos(θ) + x sen(θ)
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Assim,
Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)
E mais, [x ′
y ′
]=
[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[
cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Assim,
Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)
E mais, [x ′
y ′
]=
[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[
cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Assim,
Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)
E mais, [x ′
y ′
]=
[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[
cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Assim,
Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)
E mais, [x ′
y ′
]=
[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[
cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)
Assim,
Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)
E mais, [x ′
y ′
]=
[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[
cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
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Bibliografia
[1] BOLDRINI, Jose Luiz et alii. Algebra Linear. 3. ed. Sao Paulo, Harbra, 1984.[2] LIMA, E.L., Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995.[3] STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. 2ed. Sao Paulo: Pearson, 1987.
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