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Transformações lineares

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Text of Transformações lineares

  • Algebra LinearBibliografia

    Transformacoes Lineares

    Naygno Barbosa Noia

    13 de dezembro de 2014

    1 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    Sumario

    1 Algebra LinearTransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    2 Bibliografia

    2 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    O que e uma TRANSFORMACAO?

    1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis

    2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:

    3 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    O que e uma TRANSFORMACAO?

    1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis

    2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:

    3 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    O que e uma TRANSFORMACAO?

    1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis

    2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:

    3 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    O que e uma TRANSFORMACAO?

    LAVAR ROUPAS

    4 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

    5 / 23

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

    5 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

    5 / 23

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    TRANSFORMACAO LINEAR

    Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v E um vetor A(v) = A v = Av Fde modo que valham, para quaisquer u, v E e R, as relacoes:

    (i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A( v) = Av .

    O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1

    1.1 Verificar se as transformacoes seguintes sao lineares(a) A : R2 R2

    A(x , y) = (x + y , x y)

    (b) B : R2 RB(x , y) = xy

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

    Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar R. Temos queA(u + v) = A((a, b) + (c , d))

    = A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c) (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a b) + (c d))= (a + b, a b) + (c + d , c d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

    Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar R, temos:A(u) = A((a, b))

    = A(a, b)= (a + b, a b)= ((a + b), (a b)= (a + b, a b)= A(a, b)= A(u)

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    Propriedades

    Seja A : E F uma transformacao linear:1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 E no vetor 0 F .2. A(u + v) = A(u) + A(v) = Au + Av3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam4. A(u) = Au5. A(u v) = Au Av

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Soma e Produto por Escalar

    Sejam A,B : E F transformacoes lineares, u E e R. Definimos:A soma A + B : E F , como: (A + B)u = Au + BuO Produto por Escalar A : E F , como: (A)u = Au

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    Soma e Produto por Escalar

    Sejam A,B : E F transformacoes lineares, u E e R. Definimos:A soma A + B : E F , como: (A + B)u = Au + BuO Produto por Escalar A : E F , como: (A)u = Au

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    Soma e Produto por Escalar

    Sejam A,B : E F transformacoes lineares, u E e R. Definimos:A soma A + B : E F , como: (A + B)u = Au + BuO Produto por Escalar A : E F , como: (A)u = Au

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Soma e Produto por Escalar

    Sejam A,B : E F transformacoes lineares, u E e R. Definimos:A soma A + B : E F , como: (A + B)u = Au + BuO Produto por Escalar A : E F , como: (A)u = Au

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Mais Sobre Transformacoes Lineares

    Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares : E R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E .O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA L(E ,F ), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetoresu B, onde B e uma base de E .Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA u1, ,A un atribudos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E F .

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Teorema 1

    Sejam E ,F espacos vetoriais e B uma base de E . A cada vetor u B, facamos corresponder(de maneira arbitraria) um vetor u F . Entao existe uma unica transformacao linearA : E F tal que A u = u para cada u B.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Aplicacao do Teorema 1

    Em virtude do Teorema 1, se quisermos definir uma transformacao linear A : Rn Rm basta escolher, para cada j = 1, , n, um vetor vj = (a1j , a2j , , amj) Rme dizer que vj = A ej e a imagem do j-esimo vetor da base canonica, ej =(0, , 1, , 0), pela transformacao linear A. A partir da, fica determinada aimagem A v de qualquer vetor v = (x1, , xn) Rn.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

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    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    Aplicacao do Teorema 1

    Com efeito, tem-se

    v = (x1, , xn)= x1e1 + + xnen,

    logo

    A v = A (x1e1 + + xnen)

    = A

    nj=1

    xjej

    =

    nj=1

    xjA ej , onde A ej = (a1j , a2j , , amj)

    =n

    j=1

    (a1jxj , a2jxj , , amjxj).

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Aplicacao do Teorema 1

    Assim,

    A v = n

    j=1

    a1jxj ,n

    j=1

    a2jxj , ,n

    j=1

    amjxj

    ,ou seja

    A(x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym),onde

    y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn

    ...

    ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn15 / 23

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    Aplicacao do Teorema 1

    Assim,

    A v = n

    j=1

    a1jxj ,n

    j=1

    a2jxj , ,n

    j=1

    amjxj

    ,ou seja

    A(x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym),onde

    y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn

    ...

    ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn15 / 23

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    Aplicacao do Teorema 1

    Assim,

    A v = n

    j=1

    a1jxj ,n

    j=1

    a2jxj , ,n

    j=1

    amjxj

    ,ou seja

    A(x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym),onde

    y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn

    ...

    ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn15 / 23

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    Aplicacao do Teorema 1

    Assim,

    A v = n

    j=1

    a1jxj ,n

    j=1

    a2jxj , ,n

    j=1

    amjxj

    ,ou seja

    A(x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym),onde

    y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn

    ...

    ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn15 / 23

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Matriz da Tranformacao Linear

    O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...

    ym

    =

    a11 a21 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...am1 am2 amn

    x1x2...

    xn

    Ou ainda,

    w = a v ,onde:

    w = (x1, x2, , xn) Rn, v = (y1, y2, , ym) Rma = [aij ] M(m n)

    16 / 23

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    Matriz da Tranformacao Linear

    O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...

    ym

    =

    a11 a21 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...am1 am2 amn

    x1x2...

    xn

    Ou ainda,

    w = a v ,onde:

    w = (x1, x2, , xn) Rn, v = (y1, y2, , ym) Rma = [aij ] M(m n)

    16 / 23

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    Matriz da Tranformacao Linear

    O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...

    ym

    =

    a11 a21 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...am1 am2 amn

    x1x2...

    xn

    Ou ainda,

    w = a v ,onde:

    w = (x1, x2, , xn) Rn, v = (y1, y2, , ym) Rma = [aij ] M(m n)

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    O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...

    ym

    =

    a11 a21 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...am1 am2 amn

    x1x2...

    xn

    Ou ainda,

    w = a v ,onde:

    w = (x1, x2, , xn) Rn, v = (y1, y2, , ym) Rma = [aij ] M(m n)

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    ym

    =

    a11 a21 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...am1 am2 amn

    x1x2...

    xn

    Ou ainda,

    w = a v ,onde:

    w = (x1, x2, , xn) Rn, v = (y1, y2, , ym) Rma = [aij ] M(m n)

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    Matriz da Tranformacao Linear

    Desta forma, uma transformacao linear A : Rn Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] M(m n)

    Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente a`s basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se

    A ej =n

    j=1

    aijej (j = 1, n),

    onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.

    17 / 23

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    Matriz da Tranformacao Linear

    Desta forma, uma transformacao linear A : Rn Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] M(m n)

    Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente a`s basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se

    A ej =n

    j=1

    aijej (j = 1, n),

    onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.

    17 / 23

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    Matriz da Tranformacao Linear

    Desta forma, uma transformacao linear A : Rn Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] M(m n)

    Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente a`s basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se

    A ej =n

    j=1

    aijej (j = 1, n),

    onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.

    17 / 23

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    Matriz da Tranformacao Linear

    Desta forma, uma transformacao linear A : Rn Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] M(m n)

    Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente a`s basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se

    A ej =n

    j=1

    aijej (j = 1, n),

    onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Encontrar a transformacao linear da rotacao de um angulo no sentido ant-horario.

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    TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

    19 / 23

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

    x = r cos( + )= r cos() cos() r sen() sen()

    Mas

    x = r cos()

    y = r sen()

    Entao

    x = x cos() + y sen()Analogamente,

    y = x sen( + )= r (sen() cos() + cos() sen()

    = y cos() + x sen()

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Assim,

    R(x , y) = (x cos() y sen(), y cos() + x sen()E mais, [

    x

    y

    ]=

    [cos() sen()sen() cos()

    ] [xy

    ]Assim, a matriz de R relativa a` base canonica de R2 e[

    cos() sen()sen() cos()

    ]

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Assim,

    R(x , y) = (x cos() y sen(), y cos() + x sen()E mais, [

    x

    y

    ]=

    [cos() sen()sen() cos()

    ] [xy

    ]Assim, a matriz de R relativa a` base canonica de R2 e[

    cos() sen()sen() cos()

    ]

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Assim,

    R(x , y) = (x cos() y sen(), y cos() + x sen()E mais, [

    x

    y

    ]=

    [cos() sen()sen() cos()

    ] [xy

    ]Assim, a matriz de R relativa a` base canonica de R2 e[

    cos() sen()sen() cos()

    ]

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Assim,

    R(x , y) = (x cos() y sen(), y cos() + x sen()E mais, [

    x

    y

    ]=

    [cos() sen()sen() cos()

    ] [xy

    ]Assim, a matriz de R relativa a` base canonica de R2 e[

    cos() sen()sen() cos()

    ]

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    Exemplo 2. Rotacao de um Angulo : (no sentido anti-horario)

    Assim,

    R(x , y) = (x cos() y sen(), y cos() + x sen()E mais, [

    x

    y

    ]=

    [cos() sen()sen() cos()

    ] [xy

    ]Assim, a matriz de R relativa a` base canonica de R2 e[

    cos() sen()sen() cos()

    ]

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  • Algebra LinearBibliografia

    Bibliografia

    [1] BOLDRINI, Jose Luiz et alii. Algebra Linear. 3. ed. Sao Paulo, Harbra, 1984.[2] LIMA, E.L., Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995.[3] STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. 2ed. Sao Paulo: Pearson, 1987.

    21 / 23

  • Algebra LinearBibliografia

    22 / 23

    Algebra LinearTransformaesTransformaes LinearesMatriz da Transformao Linear

    Bibliografia