Antonio G. Thomé[email protected] – AEP/1033
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Universidade Federal do Rio de JaneiroUniversidade Federal do Rio de Janeiro--
IM/DCC & NCEIM/DCC & NCE
Tratamento da ImagemTransformações
Tratamento da ImagemTratamento da ImagemTransformaçõesTransformações
2
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Tratamento de Imagens - Sumário Detalhado
ObjetivosAlguns Conceitos Básicos
Transformações LinearesConvolução e Correlação de FunçõesTransformada de FourierTransformada Bidimensional de Fourier
Transformadas em ImagensTransformadas GeométricasTransformadas RadiométricasTransformadas MorfológicasOutras Transformadas
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Tratamento da Imagem
Aquisição e Representação
TratamentoPré-processamento
Segmentação
Extração de Características e Descrição
Reconhecimento e Interpretação
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Objetivo do Tratamento da Imagem
Melhorar a qualidade da imagem no que tange a:Reduzir o nível de ruídoMelhorar o contraste (nitidez)Reforçar o contorno dos objetos da imagemRetirar regiões ou tonalidades não desejadasReduzir distorções ...
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Operador Linear
Se G é um operador que transforma uma imagem f em uma imagem g:
G: f g
G é um operador linear se:
G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]G[a f + b g] = aG[f] + bG[g]
6
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Convolução de Funções
Matematicamente, a convolução de duas funções contínuas é dada por:
∫∞
∞−−=∗ ααα dxgfxgxf )()()()(
Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultantedo deslizamento de uma função sobre a outra
7
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Convolução - Exemplo
1
1
f(a)
a 1
1/2
g(a)
a
1/2
g(-a)
a-1
1/2
g(x - a)
a-1 x
∫∞
∞−−=∗ ααα dxgfxgxf )()()()(
1/2
f(a) g(x-a)
a-1
1
x
0≤x ≤ 1
1/2
f(a) g(x-a)
a-1
1
x-1
1≤x ≤ 2
x
8
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Convolução – Resultado Final
1/2
f(a) g(x-a)
a-1
1
x
0≤x ≤ 1
1/2
f(a) g(x-a)
a-1
1
x-1
1≤x ≤ 2
x
0 1 2
1/2
f(x)*g(x)
x
9
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
A Função Impulso (Delta)
É por definição uma função que só existe num determinado ponto do espaço ou do tempo.
10
0
00 =∫ −=−∫
+
−
∞
∞−
x
xdxxxdxxx )()( δδ
xx0
δ(x-x0)1
10
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
)()()( 00 xfdxxxxf =−∫∞
∞−δ
A
a
f(a)
a-T T
g(a)
a
f(x)*g(x)f(x)*g(x)
-T T x-T+a a T+a
A
Convolução com a Função Impulso (Delta)
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Convolução para Funções DiscretasSeja:f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}
Correlação assume f(x) e g(x) periódicas com período M.M ≥ A + B -1
−≤≤−≤≤
=10
10MxAAxxf
xfe)(
)(
−≤≤−≤≤
=10
10MxB
Bxxgxge
)()(
∑−
=−=
1
0
1 M
meeee mxgmf
Mxgxf )()()(*)(
12
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Convolução para Funções Bidimensionais
−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤
=110
1010NyBouMxA
ByeAxyxfyxfe
),(),(
−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤
=110
1010NyDouMxC
DyeCxyxgyxge
),(),(
∑ ∑−
=
−
=−−=
1
0
1
0
1 M
m
N
neeee nymxgnmf
MNyxgyxf ),(),(),(*),(
13
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Correlação de Funções
Matematicamente, a correlação de duas funções contínuas é dada por:
∫∞
∞−+= ααα dxgfxgxf )()()()( *o
Esta operação retorna a área da interseção das funções, resultantedo deslizamento de uma função sobre a outra sem rebatimento.
“*” – representa o complexo conjugado da função
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Correlação - Exemplo
1
1
f(a)
a 1
1/2
g(a)
a
1/2
g(x + a)
a-1 x
1/2
f(a) g(x+a)
a-1
1
x
-1≤x ≤ 0
1/2
f(a) g(x+a)
a-1
1
x
0≤x ≤ 1
15
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Correlação - Exemplo
1/2
f(a) g(x+a)
a-1
1
x
-1≤x ≤ 0
1/2
f(a) g(x+a)
a-1
1
x
0≤x ≤ 1
0 1-1
1/2
f(x) o g(x)
x
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Correlação para Funções Discretas
Seja:f(x)= {f(0), f(1), f(2), ..., f(A-1)} / g(x)= {g(0), g(1), ..., g(B-1)}
−≤≤−≤≤
=10
10MxAAxxf
xfe)(
)(
−≤≤−≤≤
=10
10MxB
Bxxgxge
)()(
∑−
=+=
1
0
1 M
meeee mxgmf
Mxgxf )()()(*)( *
()* fdeconjugadocomplexof ⇒
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Correlação para Funções Bidimensionais
−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤
=110
1010NyBouMxA
ByeAxyxfyxfe
),(),(
−≤≤−≤≤−≤≤−≤≤
=110
1010NyDouMxC
DyeCxyxgyxge
),(),(
∑ ∑−
=
−
=++=
1
0
1
0
1 M
m
N
neeee nymxgnmf
MNyxgyxf ),(),(),(*),( *
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier
)(xf função contínua de “x” real
∫==ℑ∞
∞−
− dxexfuFxf uxj π2)()()}({
−=jonde 1
∫==ℑ∞
∞−
− dueuFxfuF uxj π21 )()()}({
)()cos( uxjsenuxe uxj πππ 222 −=−
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier
Existe sempre que f(x) for contínua e integrável e F(u) for integrável (condições quase sempre satisfeitas na prática).
)()()( ujIuRuF += Geralmente complexa
2122 /)]()([)( uIuRuF += Espectro de Fourier
=Φ −)()(tan)(
uRuIu 1 Ângulo de fase
)()()( ujeuFuF Φ=2)()( uFuP =
Espectro de Potência
20
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Função no domínio do es paço
x
y Função no Domínio do Tempo
Hzffxy 20);2sen( == π
21
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
-300 -200 -100 0 100 200 3000
50
100
150
200
250
300Es pec tro de Fourie r
|F(y)|
f=20
Transformada de Fourier - Ex
f
22
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Funcao no dominio do es paco
KzfHzf
Hzf
5010020
3
2
1
===
Função no Domínio do Tempo
)2sen(*2)2sen()2sen( 321 xfxfxfy πππ −+=
23
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
-600 -400 -200 0 200 400 6000
200
400
600
800
1000
1200Es pec tro de Fourie r
Importância relativa
f = 20, 50 e 100Hz
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
Índice Bovespa
25
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
Componente DC
Espectro de Fourier
26
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
Sem componente DC
27
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex$1000
Movimento de Numerário
Valores: mínimo= -590,2 médio = -24,15 máximo= 1035,6
28
Processamento de ImagensProcessamento de ImagensEspectro de Freqüência
25
106
29
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada de Fourier - Ex
)()( uFxf ⇔
X
A
-1/X 2/X
AX
[ ]uXj
Xuxj
X uxj
euXsenuA
euj
A
dxAeuF
π
π
π
ππ
π
−
−
−
=
−=
∫=
)(
)(
02
0
2
2 uXuXsenAXuF
ππ )()( =
30
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada Bidimensional de Fourier
f(x,y) - contínua e integrável / F(u.v) - integrável
∫∫
∫∫
+−
+−
==ℑ
−=
==ℑ
dudvevuFyxfvuF
jonde
dxdyeyxfvuFyxf
vyuxj
vyuxj
)(
)(
),(),()},({
),(),()},({
π
π
21
2
1
=Φ −),(),(tan),(
vuRvuIvu 1
2/122 )),(),((),( vuIvuRvuF +=
Espectro de Fourier Ângulo de Fase
31
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada Bidimensional - Exemplof(x,y)
x
y
XY
A vYvYsen
uXuXsenAXYvuF
ππ
ππ )()(),( =
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
),( vuF
Em níveis de intensidade
33
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplo de Transformada Bi-dimensional
f(x,y)F(u,v)
34
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplo de Transformada Bi-dimensional
f(x,y) F(u,v)
35
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Exemplo de Transformada Bi-dimensional
f(x,y) F(u,v)
36
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Transformada Discreta de Fourier
100 −=∆+= Nxxxxfxf ..),()(
}][(),...,(),({:)(
xNxfxxfxfemdadiscretizaxf
∆−+∆+ 1000
∑−
=
−=
1
0
21 N
xN
uxj
exfN
uFπ
)()(
f(x)
xx0 x1
Dx
amostragem
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Algumas Propriedades de Fourier
a) Separabilidade
∑ ∑−
=
−
=
+−=
1
0
1
0
21 N
y
N
xN
uxvyj
eyxfN
vuF)(
),(),(π
equivale a
(0,0) (N-1,0)
(0,N-1)
x
y
f(x,y)
(0,0) (N-1,0)
(0,N-1)
x
v
F(x,v)
(0,N-1)v
(0,0) (N-1,0)u
F(u,v)Linha x N Coluna
∑ ∑−
=
−
=
−−=
1
0
1
0
22
),(1),(N
x
N
y
Nuyj
Nvxj
eyxfeN
vuFππ
38
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
A512x512
512512
20)2sen(:),256(
xAHzf
fxA=
= π
39
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Espectro de Fourier - |A(u,v)|
A(u,v)= fft2(A)
40
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
colunaAfftvyA )2,512,(),( =
|A(y,v)|
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
41
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens |A(u,x)|
linhaAfftxuA )1,512,(),( =)2,512),,((),( xuAfftvuA =
)1,512),,((),(
)2,512),,((),(
vyAfftvuA
xuAfftvuA
=≡
=
42
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
linha
coluna
43
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Onda Quadrada
44
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Qual Linha e Coluna?
Linha
Coluna
45
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Qual o Espectro Correto?
Por quê?
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Algumas Propriedades de Fourier
b) Translação
),(),()(
ooNyovxouj
vvuuFeyxf −−⇔+π2
translação no domínio da freqüência
Novyouxj
oo evuFyyxxf)(
),(),(+−
⇔−−π2
translação no domínio do espaço
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Algumas Propriedades de Fourier
b) Rotação
Φ=Φ=Θ=Θ= wsenvwursenyrx ;cos;;coscoordenadas polares
),(),( oo wFrf Θ+Φ⇔Θ+Θ
A rotação de f(x,y) de um ângulo Q0 implicará em uma rotação de F(u,v) do mesmo ângulo e vice-versa.
48
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
linha
coluna
49
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
50
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Algumas Propriedades de Fourier
b) Escala
Para dois escalares a e b:
⇔
⇔
bv
auF
abbyaxf
vuaFyxaf
,),(
),(),(
1
51
Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Problema da Amostragem
Traduz-se na definição de uma taxa de amostragem sob a qual a imagem original (contínua) possa ser completamente recuperada a partir de um conjunto de valores amostrados.
f(x)
xs(x)
x
-W +W u
F(u)
banda limitada
∆x
1/∆x u
S(u)
2/∆x-1/∆x-2/∆x
......
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Problema da Amostragem .....
s(x)f(x)
x -W +W u
S(u)*F(u)
-1/∆x 1/∆x
... ...
Wx
21
≤∆ Aliasing
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Problema da Amostragem .....
-W +W u
S(u)*F(u)
-1/∆x 1/∆x
...
s(x)f(x)
x
Multiplicação espacial / Convolução em Fourier
-W +W
1
G(u)
-W +W u
F(u) = G(u)[S(u)*F(u)]
Filtro passa faixa
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Processamento de ImagensProcessamento de Imagens
Amostragem Função Bidimensional
x
y
s(x,y) Banda Limitada
u
v
F(u,v)
2Wu
2Wv
vu wy
wx
21/
21
≤∆≤∆