Licentiatavhandling

Undervisning om vxande geometriska mnster

En variationsteoretisk studie om hur lrare

behandlar ett matematiskt innehll p mellanstadiet

Klara Kerekes

Institutionen fr beteendevetenskap och lrande Linkpings universitet

LiU-PEK-R-262 December 2014

LINKPINGS UNIVERSITET

LINKPINGS UNIVERSITET Institutionen fr beteendevetenskap och lrande

LiU-PEK-R-262

ISBN 978-91-7519-135-5 Studies in Science and Technology Education No 80

ISSN 1652-5051 FontD

Linkpings universitet Institutionen fr beteendevetenskap och lrande

SE-581 83 Linkping, Sweden Tel 013-28 10 00

Tryck: Linkpings universitet, LiU-Tryck 2015

Abstract

Syftet med studien r att analysera och beskriva hur lrare behandlar innehllet nr de undervisar om vxande geometriska mnster. Lrares handlingar och undervisning, dr vissa aspekter av undervisningsinnehllet fokuseras och andra lmnas ofokuserade, ses som potential fr frndringar i elevers erfarande av det undervisade innehllet. I studien analyseras vilka aspekter av innehllet vxande geometriska mnster som r fokuserade i undervisningen. Centrala frgor i studien r vilka dimensioner av variation ppnar lrare upp och vad ges mjligt fr eleverna att lra.

Studien omfattar fyra lrare, deras undervisning om vxande geometriska mnster och elever i klasser som r undervisade av dessa lrare. Samtliga lrare undervisar i rskurserna 4-6. Fyra videofilmade matematiklektioner, en fr varje lrare, dr vxande geometriska mnster behandlas utgr studiens data. Materialet har analyserats i fyra steg. Vid analysen anvndes variationsteori och variationsteoretiska begrepp.

Resultatet visar att samtliga lrare behandlar det matematiska innehllet p ett sdant stt att de stadkommer, medvetet eller omedvetet, ngon form av innehllsvariation. Beroende p vilka aspekter av vxande geometriska mnster som varieras och hlls konstanta ppnas olika dimensioner av variation i undervisningen och eleverna erbjuds att erfara ett mnesinnehll med skilda innebrder. De ppnade dimensionerna av variation resulterar i konstitution av olika lrandeobjekt i de fyra lrarnas undervisning, trots att lrarna undervisar om samma matematiska innehll. Tre av dessa lrandeobjekt kan relateras till innehllet vxande mnster. Dessa lrandeobjekt benmns i studien som 1. Beskriva ett matematiskt mnster, 2. Fortstta p redan pbrjat matematiskt mnster och konstruera egna matematiska mnster samt 3. Uttrycka generellt hur ett mnster vxer med matematiskt symbolsprk. Tv lrandeobjekt hr till annat matematiskt innehll. Det identifierades fler skillnader n likheter mellan hur fyra lrare behandlar innehllet vxande geometriska mnster. En av likheterna r att samma variationsmnster iscenstts i olika lrares undervisning. En annan likhet r att flera lrare ppnar samma dimension av variation. Dremot skiljer sig sttet att ppna en och samma dimension av variation t i de olika lrares undervisning nr olika aspekter i en och samma dimension varieras. Det kan bidra till att eleverna frstr samma mnesinnehll p olika stt. Vissa lrare ppnar fler dimensioner av variation n andra vilket kan bidra till en strre mjlighet till elevernas lrande. I vissa klasser r det lrare som riktar elevernas uppmrksamhet mot en aspekt genom att variera vrden inom aspekten. I andra klasser r det elever som ppnar en dimension av variation.

Nyckelord: matematikundervisning, dimension av variation, algebra, mnster, vxande geometriska mnster, mjligt lrande, variationsteori

Innehll

Frord ........................................................................................................... 1

1. Inledning ........................................................................................... 3 Bakgrund ........................................................................................... 3 Problemomrde ................................................................................ 4

Undervisning och elevers lrande ....................................... 4 Algebra .................................................................................... 5

Syfte och forskningsfrgor .............................................................. 8

2. Forskning om algebra ................................................................... 10 Algebra ............................................................................................. 10

Vxande geometriskt mnster ........................................... 12 Studier som beskriver forskning om undervisning och

lrande i algebra ................................................................... 15 Undervisning om den rumsliga och numeriska

strukturen i mnstret ................................................. 15 Anvndning av figurnummer i undervisningen ............ 18 Undervisning som stdjer eleverna att se

relationen mellan tv variabler ................................ 19 Undervisning om mnsters struktur ................................ 21 Hinder fr algebralrandet ................................................. 23 Undervisning om samma innehll .................................... 24

3. Teoretiskt ramverk ........................................................................ 27 Variationsteoretiskt perspektiv p lrande ................................ 28 Urskiljning, simultanitet och variation ....................................... 29 Lrandeobjekt ................................................................................. 31 Dimension av variation ................................................................. 33 Variationsmnster .......................................................................... 37 Variationsteoretiska klassrumsstudier ....................................... 41

4. Metod ............................................................................................... 44 Datainsamlingsmetoder ................................................................ 44 Genomfrande ................................................................................ 46

Urval ....................................................................................... 46 Datainsamling ....................................................................... 48

Analys .............................................................................................. 50 Studiens kvalitet och generaliserbarhet ...................................... 53

Forskningsetiska vervganden .................................................. 55

5. Resultat ............................................................................................ 58 Lrare A ........................................................................................... 60

Klassen och lektionen .......................................................... 60 Lrare A:s undervisning ..................................................... 61 Dimensioner av variation som ppnas upp i

lrare A:s undervisning ............................................ 71 Lrare B ............................................................................................ 73

Klassen och lektionen .......................................................... 73 Lrare B:s undervisning ...................................................... 73 Dimensioner av variation som ppnas upp i

lrare B:s undervisning ............................................. 98 Lrare C ......................................................................................... 102

Klassen och lektionen ........................................................ 102 Lrare C:s undervisning .................................................... 103 Dimensioner av variation som ppnas upp i

lrare C:s undervisning ........................................... 114 Lrare D ......................................................................................... 116

Klassen och lektionen ........................................................ 116 Lrare D:s undervisning ................................................... 116 Dimensioner av variation som ppnas upp i

lrare D:s undervisning .......................................... 139 Likheter och skillnader i innehllets behandling .................... 142

Att beskriva ett matematiskt mnster ............................ 143 Att fortstta p redan pbrjat matematiskt mnster

och konstruera egna matematiska mnster ......... 147 Att generellt uttrycka hur ett mnster vxer med

matematiskt symbolsprk ...................................... 150 Sammanfattning ........................................................................... 154

6. Diskussion .................................................................................... 157 Slutsats ........................................................................................... 158 Undervisning om vxande mnster .......................................... 159 Metoddiskussion .......................................................................... 164 Didaktiska implikationer ............................................................ 166 Ider om framtida forskning ...................................................... 169

Litteraturfrteckning ............................................................................ 170

Bilagor ...................................................................................................... 179

Frord

Nu har jag rott mitt yrkeslivs hittills strsta projekt i land. Resan var mestadels rolig, utvecklande och motiverande, men ibland svettig och mdosam. Att klara av den ensam skulle vara helt omjligt. Jag skulle vilja tacka ett flertal personer som p olika stt har bidragit till att slutfra forskarutbildningen och skriva denna licentiatavhandling.

Jag vill utrycka min stora tacksamhet fr mina handledare Joakim Samuelsson, Angelika Kullberg och Marcus Samuelsson. Ni har uppmuntrat, stttat och utmanat mig i precis lagom dos. Ni har hjlp mig nr jag bad om hjlp, men ocks nr jag inte frstod att jag behvde hjlp. Jag uppskattar ert engagemang och er lyhrdhet vldigt mycket. Om jag ngon gng bestmmer mig fr att fortstta min resa inom forskarvrlden kommer jag att frga er om handledning igen.

Ett varmt tack vill jag rikta till min vn, lrare och inspiratr Anki Wennergren. Du r alltid positiv, stdjande och motiverande. Det r tack vare dig jag pbrjade denna forskarutbildning. Varje gng jag bad dig att lsa min text kom du med konstruktiva synpunkter som jag har haft stor nytta av.

Jag vill ven rikta ett tack till Forskningsplattformen Matematikdidaktik p HLK i Jnkping med Ulla Runesson i spetsen fr alla givande diskussioner kring min studie. Jag riktar ocks tack till Johan Hggstrm som har varit diskutant p mitt 90%-seminarium och givit vrdefulla synpunkter.

Jag vill ocks tacka Jnkpings kommun fr att jag fick mjlighet att delta i denna forskarutbildning. Ett srskilt tack till min rektor Lotta Johansson, som med stort intresse fljt mig under detta forskningsprojekt och hela tiden tagit vara p mina nyvunna kunskaper. Ett stort tack ven till mina kollegor p Ribbaskolan i Grnna som alltid har vlkomnat mig och p olika stt stttat och uppmuntrat mig under resans gng. Det har betytt mycket fr mig!

Nationella forskarskolan i naturvetenskapernas, teknikens och matematikens didaktik FontD och Linkpings universitet har varit huvudansvariga fr min forskarutbildning. Tack till Lena Tibell, Konrad Schnborn, Anna Ericson och alla forskarstuderande

1

kollegor som p olika stt bidragit till min utveckling och gjort alla vra FontD-trffar ofrglmliga.

Ett stort tack ocks till Lotta Danielsson, som luslst och gjort en sprkgranskning av hela arbetet samt till Anna Lcsei, som hjlpt mig med arbetets layout.

Utan lrare och elever, som ppnade sina klassrum och lt mig f ta del av deras matematiklektioner, hade denna studie inte blivit verklighet. Jag knner en stor tacksamhet ver er generositet och vill uttrycka min stora uppskattning till er.

Avslutningsvis vill jag tacka mina vnner och naturligtvis min underbara familj - Pal, Emil och Emma. Tack fr ert tlamod och er frstelse fr att jag tillbringade s mycket av min tid under de hr 2,5 ren med min dator istllet fr med er. Utan er skulle denna licentiatavhandling inte betyda ngonting alls. Jag lskar er!

Huskvarna i januari 2015 Klara Kerekes

2

1. Inledning

Detta r en licentiatavhandling om matematikundervisning p mellanstadiet. Den behandlar lrares olika stt att undervisa inom omrdet algebra nr innehllet r vxande geometriska mnster. I fokus str lrares undervisning och vad den mjliggr fr eleverna att lra.

Fr att ge en bakgrund till studiens intresseomrde inleder jag kapitlet med att beskriva min vg frn lrare till forskare. Drefter fljer ett avsnitt dr problemomrdet introduceras i frhllande till forskning om undervisning och om elevers lrande av algebra. Till sist presenteras studiens syfte och forskningsfrgor.

Bakgrund

Mitt intresse fr relationen mellan undervisning och lrande i allmnhet och inom mnet matematik i synnerhet har varit inspirationsklla fr denna forskning. Under mitt deltagande i en kompetensutveckling som innebar att innehll, arbetsstt och metoder i undervisningen kontinuerligt omprvades och utvecklades kom jag i kontakt med forskning som visar att lraren och kvaliteten p den undervisning som lrare bedriver i klassrummen r de viktigaste faktorerna fr elevernas lrande som skolan kan bidra med (Hattie, 2009; Runesson, 2011; SOU, 2004; Thornberg, 2011). Detta har bidragit till att mitt intresse inom omrdet har frstrkts.

Som lrare i matematik i grundskolans tidigare ldrar har jag alltid velat utveckla min frmga att underska matematik-didaktiska frgor i min egen praktik, att utveckla min undervisning och hur jag kan lra mer om hur elever tnker och lr. Trots min vetgirighet har jag inte reflekterat ver om mina elever lr sig det jag undervisar om, utan tagit det fr givet. Det viktiga i undervisningen fr mig var att variera undervisningsmetoderna, motivera eleverna genom att knyta innehllet i undervisningen till deras vardag och erbjuda dem inspirerande uppgifter att arbeta med. Nr jag genomfrde en learning study p Ribbaskolan i Jnkpings kommun tillsammans med tre andra lrarkollegor och en forskare frn Hgskolan fr lrande och kommunikation i

3

Jnkping fick jag insikter i variationsteorins grundtankar. Jag brjade frst vikten av att i undervisningen utg ifrn frgan hur innehllet presenteras, varieras och behandlas under lektionen. Mitt frhllningsstt har skiftat fokus frn elevens frutsttningar och sttet att organisera undervisningen till lrarens stt att undervisa kring ett lrandeobjekt. Under learning study-processen lrde jag mig att det viktigaste inte r vilka metoder och arbetsstt jag anvnder i undervisningen eller i vilka grupper jag delar in eleverna, utan hur jag som lrare mjliggr lrande fr eleverna. Den insikten och de nyvunna kunskaperna vckte min nyfikenhet att g vidare och mer systematiskt studera hur andra lrare behandlar ett innehll i undervisningen.

Utvecklingen av min didaktiska kompetens under learning study-processen kom att utgra inledningen till en vidareutbildning och professionell utveckling som lett fram till att jag skte till FontD forskarskola och fick mjlighet att skriva denna licentiatavhandling. Mitt forskningsfokus r vad eleverna erbjuds att lra sig under en matematiklektion. Jag studerar hur olika lrare behandlar innehllet i undervisningen nr de undervisar om vxande geometriska mnster i rskurserna 4-6. Min frhoppning r att denna licentiat-avhandling ger ett matematikdidaktiskt kunskapsbidrag om lrares undervisning kring ett specifikt mnesinnehll. Frhoppningsvis skall studiens forskningsresultat ge nya tankar och perspektiv p matematikundervisningen fr lrare och lrarstudenter.

Problemomrde

Texten som fljer bidrar med olika argument om behovet att studera matematikundervisning inom omrdet algebra.

Undervisning och elevers lrande De terkommande internationella skolunderskningarna Trends

in International Mathematics and Science Study (TIMSS) och Programme for International Student Assessment (PISA) har i snart 20 r jmfrt utfallet av ett stort antal utbildningssystem i lnder frn olika delar av vrlden. I utbildningsdebatten vcker jmfrelser mellan elevernas resultat frn de deltagande lnderna stort intresse. I Sverige har srskilt resultatet i matematik och matematikutbild-ningen ftt mycket uppmrksamhet i media. Detta beror p att svenska elevers resultat i matematik har frsmrats frn r till r i

4

de bda underskningarna PISA och TIMSS (Skolverket, 2007, 2008, 2013).

Det kan finnas mnga faktorer som kan ha betydelse fr elevernas lrande i matematik. En av faktorerna som nmns i Skolverkets rapport om gymnasieelevers kunskaper i avancerad matematik (2009) r undervisningen. Det som hnder i klassrummen menar forskare har en direkt pverkan p elevers lrande och skolprestationer (Creemers, 1994; Creemers & Kyriakides, 2008; Muijs & Reynolds, 2000; Reynolds, 2007). Nuthall (2005) har med sin forskning bidragit med kunskaper om hur lrare skall undervisa s att eleverna lr sig s bra som mjligt. Att lrarens undervisning pverkar elevernas lrande inom matematiken har visats av bl.a. Emanuelssons (2001) och Kullberg (2010). Hattie (2009) skriver fram lraren som den viktigaste faktorn som bidrar till frbttring av elevernas resultat. En skicklig lrare har frmgan att i undervisningen systematiskt fokusera p vad som r centralt fr eleverna att lra sig. I Matematikdelegationens betnkande (SOU, 2004) pekas lrarens roll ut som den avgrande faktorn fr de matematiska kunskaper som utvecklas i skola och samhlle. Resultatet av en studie gjord av Olteanu, Grevholm och Ottosson (2003) visar att det finns stora skillnader mellan vad lrares avsikt r att lra sina elever och vad som eleverna lr. Hggstrm (2008) hvdar att det r lrare som formar mjligheterna fr elevernas lrande nr de vljer sttet att behandla ett matematiskt innehll p. Det som r mjligt fr elever att lra sig p en matematiklektion hnger ihop med hur de erfar matematik-innehllet. Elevernas erfarenhet av ett matematikinnehll beror helt och hllet p hur detta innehll behandlas av lraren i undervisningen.

Inom forskningsomrden som understryker lrares roll i elevernas lrandeprocess har det gjorts framsteg de senaste ren (Thornberg, 2011). Trots det behvs det mer forskning fr att synliggra och frst vad lrare egentligen gr som frmjar elevers resultat (Kyriakides, Christoforou & Charalambous, 2013).

Algebra Uppgifterna i TIMSS studiernas matematikdel r uppdelade i

fem huvudomrden aritmetik, algebra, geometri, mtningar och statistik. De svenska elevernas resultat har genomgende varit

5

smre inom geometri och algebra n inom de andra omrdena (Skolverket, 2005). Analyser av resultatet i TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) visar ocks att det r algebra som drar ner de svenska resultaten nr medelprestationerna i de olika huvudomrdena jmfrs med varandra. Det strsta problemet, enligt rapporten, r elevers frstelse av variabelbegreppet (Skolverket, 2008). I PISA 2012 (Skolverket, 2013) visar sig svenska 15-ringars resultat ligga under OECD-genomsnittet i de fyra delomrdena Frndring och samband, Rum och form, Kvantitet samt Oskerhet - som har testats inom mnet matematik. Resultatet r allra smst inom delomrdet Frndring och samband som testar elevernas algebrakunskaper.

Forskning har klarlagt att elever i alla ldrar har svrigheter nr de arbetar med algebra (Kchemann, 1981; Warren, 2000; Radford, 2012). Eleverna uttrycker oro infr arbete med algebra och tycker att det r svrt att verstta ett matematiskt mnster till en funktion (Redden, 1996; Stacey & MacGregor, 1995; Warren, 2000, 2005). Enligt resultatet av Kchemanns studie (1981) r det svrare fr elever nr de mter uppgifter som krver att en bokstav skall tolkas som ett generellt tal eller variabel n nr de skall lsa uppgifter dr bokstverna kan tnkas ha srskilda oknda vrden. Studier om elevernas algebralrande tyder p att svrigheterna att lra sig algebra beror p hur algebrauppgifter r designade och p begrnsningar av de undervisningsmetoder som anvnds (Lee, 1996; Moss och Beatty, 2006; Msval, 2011; Noss, Healy & Hoyles, 1997; Stacey & MacGregor, 2001). Resultaten av underskningarna som genomfrdes av Cai och Knuth (2011) samt Kaput, Carraher och Blanton (2008) visade att elevernas svrigheter r mer relaterade till de omstndigheter som rder i undervisningen n till kognitiva begrnsningar.

Elevernas mte med algebra skall lpa som en rd trd under hela deras skolgng (Cai & Moyer, 2008; Carraher, Schliemann, Brizuela & Earnest, 2006; Kieran, 2004; Stacey, Chick & Kendal, 2004). Matematikdidaktisk forskning visar p vikten av att elever tidigt mter algebra och utvecklar kunskaper inom detta omrde (Skolverket, 2011b). Ett flertal studier som redovisas av bl.a. Berg (2009), Boero (2001), Carraher & Schliemann (2007), Persson (2010) och Warren (2002) visar att yngre barn har en betydligt strre frmga till abstrakt tnkande n vad vi ofta tror och att vi borde introducera algebra mycket tidigare n vad vi gr idag.

6

I Lgr 11 (Skolverket, 2011a) har omrdet algebra frstrkts och utgr ett eget kunskapsomrde i det centrala innehllet. Undervisningen i matematik skall syfta till att eleverna utvecklar grundlggande algebraisk kunskap frn rskurs 1 till rskurs 9. Grunden skall lggas genom att eleverna i rskurserna 1-3 arbetar med likheter och likhetstecknets betydelse. I rskurserna 4-6 arbetar eleverna med innehllet obekanta tal och deras egenskaper samt situationer dr det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol. I rskurserna 7-9 infrs variabelbegreppet och undervisningen skall behandla dess innebrd och anvndning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer (Skolverket, 2011a).

Det finns idag en stor mngd internationell forskning inom algebra (Carraher & Schliemann, 2007; Kieran, 2007). Trots det efterfrgas mer forskning inom omrdet av bl.a. Carraher och Schliemann (2007), Kieran (2007) samt Radford (2000). Ytterligare studier behvs fr att f mer kunskap om ett flertal frgor varav en handlar om hur undervisningen kan hjlpa elever att uttrycka vxande mnster med matematiskt symbolsprk.

Areas where the field could benefit from additional study include the question as to how students can be assisted in (a) becoming aware of structure in patterns and in using symbols to express these patterns, (b) seeing relations between graphical representations and the corresponding letter-symbolic forms, and (c) making connections between their verbal problem-solving activity and the generating of equations. (Kieran, 2007, sid. 729)

I Sverige har frhllandevis f studier gjorts kring algebraundervisning och algebrafrstelse hos grundskoleelever, srskilt i grundskolans tidigare r (Persson, 2010). Enligt Persson (2010) behvs det mer bredare och djupare forskning om tidig algebra, och enligt underskningar gjorda i Sverige r sdana nskvrda. I synnerhet r det matematikdidaktisk forskning i rskurserna 4-6 som efterfrgas (SOU, 2008). Trots det kade forskningsintresset inom tidig algebra (Kieran, 2006) vet vi inte s mycket om vilken roll undervisningen om mnster har i utvecklingen av algebraiskt tnkande (Papic & Mulligan, 2007). Papic och Mulligan (2007) samt Waters (2004) efterfrgar mer forskning som undersker ifall brister i lrares frstelse och sttet de undervisar p om mnster kan begrnsa elevernas utveckling

7

inom omrdet. I en forskningsversikt ver studier gjorda p 1990- och 2000-talet konstaterar Kieran (2007) att vi idag vet betydligt mer om hur lrare undervisar om algebra n vad fallet var fr 20 r sedan. De flt som har pbrjats beforskas och inom vilka terstr att genomfra ett stort antal studier r exempelvis hur undervisning i algebra bedrivs och hur lrare utvecklar frmgan att p ett framgngsrikt stt undervisa i algebra. I synnerhet r det brist p studier som genomfrts med hjlp av observation och analys av hur algebraundervisningen gr till (Hggstrm, 2008; Kieran, 2007) eftersom det saknas lmpliga modeller fr observation och analys av undervisningspraktiken (Kieran, 2007).

Goda kunskaper i algebra har stor betydelse fr hur elever lyckas med matematikstudierna bde i gymnasiet och p hgskolan (Cai & Moyer, 2008; Carraher, m.fl., 2006; Kieran, 2004; Stacey, m.fl., 2004). Drfr r det av stort intresse att underska och frst hur lrare med sin undervisning i grundskolan kan bidra till en god utveckling av elevernas algebrakunskaper.

I denna studie undersks p vilka stt fyra lrare i rskurserna 4-6 skapar frutsttningar fr elever att lra sig konstruera och beskriva vxande geometriska mnster samt utveckla frmgan att kunna uttrycka sig generellt med matematiska uttrycksstt. Min intention r att frst och peka p faktorer som kan pverka lrande och undervisning inom omrdet algebra i positiv riktning. Studien och dess resultat skall frhoppningsvis bidra till att synliggra aspekter som tidigare togs fr givet nr lrare undervisade om vxande geometriska mnster.

Syfte och forskningsfrgor

I studien undersks matematikundervisning inom omrdet algebra i rskurserna 4-6. Studiens syfte r att utifrn variations-teorin analysera och beskriva hur fyra lrare behandlar innehllet nr de undervisar om vxande geometriska mnster. Nr lrare undervisar om ett innehll fokuserar hon/han och lyfter fram vissa aspekter av undervisningsinnehllet och lmnar andra ofokuserade. Genom att analysera vilka aspekter av innehllet som fokuseras i undervisningen besvaras fljande frgestllningar:

8

Vilka dimensioner av variation ppnar lrare upp i undervisningen om vxande geometriska mnster?

Vad ges mjligt fr eleverna att lra? Vilka likheter och skillnader i innehllets behandling kan

identifieras i lrarnas undervisning?

9

2. Forskning om algebra

Det matematiska innehllet som behandlas p de analyserade lektionerna i studien r vxande geometriska mnster. Detta innehll faller under matematikomrdet algebra. I den frsta delen av kapitlet presenteras olika forskares definitioner av algebra. ven definition p matematiskt mnster och vxande geometriska mnster ges samt exempel p vxande geometriska mnster och dess bestndsdelar. Den andra delen av kapitlet behandlar tidigare forskning om algebra.

Algebra

Kiselman och Mouwitz (2008, sid. 11) definierar algebra som en gren av matematiken dr man studerar grupper, ringar, kroppar och liknande strukturer. Andra menar att algebra r ett matematiskt sprk (Kaput & Blanton, 2001; Persson, 2010; Rojano 1996). Som sdan har algebra ett brett tillmpningsomrde. Den kan anvndas fr att utveckla modeller och fr att kontrollera fenomen. Algebra hjlper oss att hantera siffror och funktioner samt mjliggr att se strukturer i komplexa sammanhang och att generalisera. ven Bednarz, Kieran och Lee (1996) ser p algebra som ett sprk och liknar den vid en egen kultur inom matematiken. De beskriver den algebraiska kulturen som ett stt att tnka, ett verktyg, en aktivitet och som en generaliserad aritmetik.

Mnga frknippar algebra med bokstavsrkning (Bergsten, Hggstrm, & Lindberg, 1997). Men mnniskorna har arbetat med algebra lngt innan de uppfann rkning med bokstver. Sjlva begreppet algebra (al-jabr) hrstammar frn den frsta arabiska algebrabokens titel al-kiab almukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala (Den sammanfattande boken om aritmetisk komplettering och reducering) som r skriven av matematikern al-Khwarizmi p 800-talet. al-Khwarizmi visade i sin bok hur man lser problem som kan uttryckas med linjra och andragradsekvationer genom att beskriva dessa med ord och genom att ge en geometrisk motivering, dock utan att anvnda algebraiska symboler. I litteraturen brukar den benmnas som geometrisk eller retorisk algebra. Att anvnda bokstver fr att beteckna variabler och bekanta r en nyare version

10

av algebra och brukar kallas den symboliska algebran. Den brjade utvecklas p 1600-talet frst av den franske matematikern Vite och sedan av Dscartes. Slutligen, under 1800- och 1900-talet, utvecklades den abstrakta algebran som behandlar de metaregler som styr alla algebraiska system (Sfard & Linchevsky, 1994).

Algebra som har utvecklats i skolan skiljer sig frn den algebran som r en gren av den vetenskapliga disciplinen matematik. Skolalgebra dominerades under 1900-talet av en regel- och processorientering (Kieran, 1992). Samtidigt freslog forskare ett bredare frhllningsstt som inkluderar generalisering, modellering, problemlsning och ett funktionellt perspektiv (Bednarz, Kieran & Lee, 1996). Idag r algebra tnkt som en gren av matematiken som behandlar generella numeriska relationer och matematiska strukturer (Kilhamn, 2013). Att lra sig algebra kan allts ses som bde ett stt att lra sig att se och resonera vad gller relationer och strukturer, men ven att lra sig anvnda det formella symbolsprket fr att uttrycka dessa relationer och strukturer.

Kravet att se p algebra djupare och bredare n ngot som r en syntaktiskt styrd hantering av symboler r tydligt hos matematikforskare (Kaput & Blanton, 2001). Kaput och Blanton (2001) hvdar att algebraiskt tnkande r komplext sammansatt och kan organiseras kring fem sammanhngande aspekter av skolalgebra:

1. Algebra as Generalising and Formalising Patterns and Constraints. (Algebra r en generalisering och formalisering av mnster och samband).1

I den frsta aspekten markeras algebrans generaliserande element som innebr att finna terkommande mnster och samband som gr att uttrycka allmnt. Tv underkategorier kan bli identifierade inom aspekten. Den ena omfattar generaliserat aritmetiskt resonerande dr fokus ligger p talsystemets egenskaper som exempelvis den kommutativa lagen. I den andra underkategorin hittar vi generaliserat kvantitativt resonerande som handlar om egenskaper och samband mellan srskilda tal, exempelvis att summan av tv udda tal r jmn.

1 versttningen av Kaput och Blantons (2001) aspekter av skolalgebra inom parantes enligt Skott, Hansen, Jess och Schou, (2010), sid. 602.

11

2. Algebra as Syntactically Guided Manipulation of Formalisms. (Algebra r en syntaktiskt styrd hantering av symboler inom en ogenomskdlig formalism).

Denna aspekt kan ses som den klassiska bokstavsrkningen i form av frenklandet av algebraiska uttryck genom att samla lika termer. Man rknar med hjlp av formler utan att ndvndigtvis ha frstelse fr dem.

3. Algebra as the Study of Structures and Systems Abstracted from Computations and Relations. (Algebra r studiet av strukturer som r abstraherade frn berkningar och frhllanden).

Denna aspekt r uttryck fr resonemang och generalisering inom en hgre och mer abstrakt algebra.

4. Algebra as the Study of Functions, Relations and Joint Variation. (Algebra r studiet av funktioner, relationer och storheters gemensamma variation).

Hr pvisas att funktionslra s som geometriska och talmnster ocks r algebra. Frgor, som hur mnsterutvecklingen i ett vxande geometriskt mnster kan frklaras med sambandet mellan den aktuella och den fregende figuren, hr till denna aspekt.

5. Algebra as a Cluster of Modelling and Phenomena-Controlling Languages. (Algebra r ett sprk fr att utveckla modeller och fr att kontrollera fenomen).

Algebra ses som ett brett tillmpningsorienterat sprk fr att utveckla modeller och fr att kontrollera fenomen.

Det matematiska innehllet som behandlas under de analyserade lektionerna i studien, allts vxande geometriska mnster, kan positioneras i Kaput och Blantons (2001) fjrde aspekt.

Vxande geometriskt mnster Mulligan, English, Mitchelmore och Robertson (2010) skriver att

s gott som all matematik r baserad p mnster och strukturer. Steen (1990) betraktar matematiken som vetenskapen av mnster. Zazkis och Liljedahl (2002) ser mnster som matematikens hjrta och sjl. Mnster r grunden fr det abstrakta matematiska tnkandet hvdar Waren (2005). Mnster och generaliseringar gr det mjligt att upptcka relationer och ger matematiken dess kraft.

Abstracting patterns is the basis of structural knowledge, the goal of mathematics learning. (Waren, 2005, sid. 759)

12

Mnster anses vara ett av de centrala omrdena inom matematiken och grunden fr de andra omrden inom mnet av ovan nmnda forskare.

Ett matematiskt mnster kan beskrivas som en frutsgbar regelbundenhet som vanligtvis omfattar numeriska, rumsliga eller logiska relationer (Mulligan m.fl., 2010). Karakteristiskt fr ett matematiskt mnster r att det har en struktur som r det stt som mnstrets olika delar r organiserade p (Mulligan & Mitchelmore, 2009). Strukturen kan vara konstruerad genom att en del av mnstret upprepas. Strukturen i ett vxande geometriskt mnster kan visas genom mnsterfigurernas varierade egenskaper och den kan uttryckas med en formel. Forskningen skiljer mellan olika typer av matematiskt mnster talmnster, geometriska mnster, mnster inom data och kalkylering, linjra och kvadratiska mnster, upprepande mnster, vxande mnster, m.m. (Mulligan & Mitchelmore, 2009; Zazkis & Liljedahl, 2002).

Ett vxande mnster i matematik r ett mnster som systematiskt kar eller minskar (Papic & Mulligan, 2007). Det utvecklas i enlighet med en bestmd procedur (Msval, 2011). Om mnstret illustreras med std av bilder dr mnstret vxer genom att exempelvis antal rutor eller trianglar i en figur ndras succesivt efter en additiv struktur kallas mnstret fr visuellt vxande mnster eller vxande geometriskt mnster (Warren & Cooper, 2008). I engelsksprkig litteratur anvnds benmningarna shape pattern (Msval, 2011), visual growth pattern (Warren & Cooper, 2008), growing pattern (Rivera & Becker, 2005) geometric pattern (Carraher & Schliemann, 2007; Moss m.fl., 2006), sequence (Radford, 2012), pattern of triangular numbers och pattern of squared numbers (Papic & Mulligan, 2007).

Att vxande mnster gestaltas som ett geometriskt mnster kan vara ett std fr att kunna gra generaliseringar (Ahlstrm m.fl., 1996). Bilders strukturella egenskaper i mnstret kan anvndas fr att frst matematiska samband och begrepp (Bergsten m.fl., 1997). Exempel p vxande mnster som konstrueras genom att anvnda geometriska figurer r kvadrattal (Figur 2.1a), triangeltal (Figur 2.1b) och rektangeltal.

13

Ett vxande geometriskt mnster (en sekvens med de fyra frsta figurerna)

Figur (figur nummer 3)

Byggelement (en triangel )

Figur 2.1a. Exempel p vxande geometriskt mnster.

Figur 2.1b. Exempel p vxande geometriskt mnster. Det vxande mnstret konstrueras eller stts samman av

utkningsenheten (sequence, component eller unit of repeat, p engelska) som frndras varje gng den upprepas. Frndringen bestr i att ngot lggs till eller tas bort frn enheten. Den frndrade utkningsenheten kallas figur. Varje figur i ett vxande mnster har ett numeriskt vrde som stiger. Vrdet uppkommer frn figurens ordinala nummer i det vxande mnstret. Det brjar med ett och fortstter i ondlighet. De engelska benmningarna fr figur r element, term eller shape.

En utkningsenhet kan t.ex. best av trianglar, kvadrater eller tndstickor. Dessa utgr utkningsenhetens minsta bestndsdel och benmns i avhandlingen som byggelement (Heiberg, Alseth & Nordberg, 2011). Msval (2011) anvnder begreppet building blocks i sin avhandling.

Figur 2.2. Bestndsdelar av ett vxande geometriskt mnster (efter Msval, 2011).

Utkningsenhet (den terkommande delen som utgr frndringen)

14

I exemplet i Figur 2.2 r byggelementet en triangel eftersom mnstret r konstruerat med hjlp av frdiga trianglar. Hade vi anvnt tndstickor fr att bygga trianglarna och drmed ven mnstret skulle en tndsticka vara byggelementet.

Studier som beskriver forskning om undervisning och lrande i algebra

Presentationen av forskningsstudier inom omrdet algebra kommer att gras med utgngspunkt frn licentiatavhandlingens intresseomrde och syfte. Det betyder att den forskning som uppmrksammas har anknytning till frgor om undervisning och lrande i mnet matematik och omrdet algebra.

tskilliga studier har underskt elevernas algebralrande och elevernas algebratnkande i alla ldrar dr det matematiska innehllet r vxande geometriska mnster (Carraher & Schliemann, 2007; Kieran, 2007). Jag har grupperat resultatet frn olika studier under ett flertal teman fr att integrera olika forskningsstudier som har underskt samma fenomen med varandra. De valda studier som presenteras nedan samlas kring sex teman som av mig benmns som:

1. Undervisning om den rumsliga och numeriska strukturen i mnstret

2. Anvndning av figurnummer i undervisningen 3. Undervisning som stdjer eleverna att se relationen mellan

tv variabler 4. Undervisning om mnsters struktur 5. Hinder fr algebralrandet 6. Undervisning om samma innehll

Undervisning om den rumsliga och numeriska strukturen i mnstret En av de studier som undersker utvecklingen av elevernas algebraiska tnkande r Radfords (2012) studie. Frmgan att kunna bygga upp ett vxande mnster med nsta figur frutstter att man frstr regelbundenheten i mnstret som enligt Radford (2012) involverar kopplingen av tv olika strukturer: en rumslig och en numerisk. Den rumsliga strukturen hjlper en att se rektanglarnas, cirklarnas, stickornas m.fl. spatiala positioner, medan

15

deras antal framtrder frn den numeriska strukturen. Resultatet i studien visar de allra yngsta eleverna i rskurs 2 anvnder sig av den numeriska strukturen nr de skall bygga p ett redan pbrjat vxande mnster som presenteras i Figur 2.3. Nr eleverna ritar figur nummer 5 och 6 i det vxande mnstret ritar de nmligen rtt antal kvadrater som r 11 och 13.

Term 1 Term 2 Term 3 Term 4

Figur 2.3. Vxande mnster som eleverna i Radfords studie arbetar med (Radford, 2012, sid 679).

Den rumsliga strukturen lgger eleverna antingen inte mrke till

eller s anvnds den inte p ett konsekvent stt av dem, vilket visas nr de ritar figur nummer 5 och 6 med rtt antal kvadrater men med alla kvadrater placerade efter varandra i samma rad. Detta betyder dock inte att dessa elever inte ser figurerna som, i detta fall, bestr av tv horisontella rader, utan att fokus p den numeriska strukturen lmnar den rumsliga strukturen i bakgrunden. Den rumsliga strukturen som eleverna anvnder sig av r inte relaterad till den numeriska p ett meningsfullt och effektivt stt, vilket frsvrar fr eleverna att svara p frgor om en mer avlgsen figur i mnstret, exempelvis figur nummer 12 och 25.

Eleverna i Radfors (2012) studie lyckades lsa uppgifter som handlar om en avlgsen figur i mnstret frst nr lraren diskuterade med dem hur varje figur i mnstret r uppbyggd och hnvisade till raderna i mnstret p ett tydligt stt. Lraren anvnde sig bde av ord och av sin kropp fr att uppmrksamma elever p att en figur i mnstret bestr av ett speciellt antal kvadrater p botten (nedersta raden) och ett antal kvadrater p toppen (versta raden) i varje figur. Lraren upprepade samma beskrivningsprocess p ett rytmiskt stt fr figur nummer tv och figur nummer tre. Sedan bjd hon in eleverna att rkna antalet kvadrater fr de resterande figurerna tillsammans med henne. Nr lraren behandlade innehllet i undervisningen p detta stt uppmrksammades eleverna p kopplingen mellan den rumsliga strukturen, som motsvarades av raderna i mnstret, och den numeriska strukturen, vilket var antalet kvadrater i varje figur. Det

16

gjordes mjligt fr eleverna att lgga mrke till och formulera nya former av matematisk generalisering (Radford, 2012).

Rivera och Becker (2005) har i sin studie underskt hur eleverna i rskurs 6 resonerar nr de gr generaliseringar av vxande geometriska mnster. De har funnit att eleverna anvnder bde det numeriska och det figurala sttet att tnka. Det numeriska sttet innebr att elever ser det vxande geometriska mnstret som en talfljd och identifierar differensen i talmnstret. De adderar antalet byggelement som varje figur vxer med till det totala antalet byggelement i fregende figur fr att f antalet byggelement i nstkommande figur. Det figurala tankesttet innebr att elever anvnder visuella strategier dr fokus ligger p att identifiera p vilket stt ett mnster r uppbyggt.

Nr eleverna anvnder det figurala resonemanget har de mjlighet att uppmrksamma visuella ledtrdar som kan organiseras p olika stt och versttas till det matematiska symbolsprket (Rivera & Becker, 2005). I Figur 2.4 presenteras olika stt att beskriva ett vxande geometriskt mnster vid anvndning av strategier inom det figurala resonemanget. Frgor som mjliggr utvecklandet av det figurala sttet att tnka r exempelvis: Hur mnga olika mnster kan du se i detta exempel? Hur skulle du rita nsta figur? Hur skulle du bertta fr en kompis att han/hon skall rita vilken figur som helst i detta mnster?

Figur 2.4. Exempel p tre olika strategier inom det figurala resonemanget (Friel & Markworth, 2009, sid. 28).

17

Det numeriska sttet att resonera kan begrnsa elevernas algebratnkande. Nr eleverna bara ser den konstanta differensen som representerar frndringen av antalet byggelement frn en figur till en annan riktas deras uppmrksamhet till den rekursiva relationen mellan antal byggelement. Denna strategi r anvndbar endast fr att lsa uppgifter som krver en nra generalisering. Det betyder att eleverna kan svara p frgor om antalet byggelement i de figurnumren som ligger nra, d.v.s. figur nummer upp till 10. Fr uppgifter som krver en avlgsen generalisering (t.ex. figur nummer 54 eller figur nummer 100) r denna strategi ineffektiv (Markworth, 2012). Frgor som uppmuntrar eleverna att anvnda sig av det numeriska tankesttet r av typen Hur mnga byggelement behvs fr att bygga en viss figur?.

Anvndning av figurnummer i undervisningen Under en av lektionerna som ingr i Radfords (2012) studie

arbetade lraren med figurnumret genom att skriva ner dessa nummer p olika kort och anvnda korten i undervisningen p olika stt. Radford hvdar att detta hjlpte eleverna att lnka samman figurernas nummer i mnstret med antalet byggelement (rektanglar, cirklar, stickor, m.m.) i figuren. Efter arbetet med figurnummer fick eleverna en helt ny frstelse om bde figurens ordinala aspekt och figurens utseende. Figurernas utseende och plats i mnstret uppfattades inte lngre som ett godtyckligt antal rektanglar eller cirklar som kunde lggas hur som helst efter varandra, utan ngot som r avgrande fr hur mnga t.ex. rektanglar anvnds och hur de lggs ihop fr att bilda mnstret. Undervisning som fokuserar p figurnummer i ett vxande mnster fr att peka p en figurs position i mnstret verkar ocks ha positiv inverkan p elevernas lrande ven i Warrens (2005) studie som beskrivs lngre fram i texten.

Att arbetet med positionskort understdjer elevernas lrande om vxande mnster har observerats av Moss, Beatty, McNab och Eisenband (2006). Forskare och lrare genomfrde tv interventionsstudier med elever som gick i andra respektive fjrde klass. Syftet med studien var att bedma elevernas lrande om regler som styr geometriska mnster och talmnster. Forskarna jobbade fram aktiviteter och uppgifter som de ansg utveckla elevernas frmga att koppla ihop figurens ordinala position i ett mnster med antalet byggelement i den aktuella figuren. Aktiviteter

18

och materialet som anvndes bestod av byggandet av geometriska mnster med anvndning av positionskort (kort som visade vilket nummer i ordningen figuren hade i mnstret), funktionsmaskiner och tabeller. Bde geometriska mnster och talmnster anvndes under de 20 genomfrda lektionerna. Interventionen inleddes med elevernas enskilda arbete med geometriska- och talmnster. Drefter fljde lrarledda lektioner som designades med syftet att integrera elevernas numeriska och visuella frstelse. Interventionen avslutades med lektioner dr eleverna fick arbeta med geometriska mnster och positionskort samt multiplikativa (n 2) och sammansatta funktioner (n 2 + 1).

Eleverna intervjuades fre och efter interventionslektionerna. Intervjun grundades p tio mnsterproblem. Resultatet frn intervjun visade att elever som ingick i den experimentella gruppen kunde (a) bygga geometriska mnster som baserades p algebraisk representation, (b) knna igen funktioner genom att analysera geometriska mnster och (c) uttrycka funktioner med matematiska termer. De var ven bttre p att tillmpa multiplikation nr de arbetade med uppgifterna n elever i kontrollgruppen trots att de senare fick mer undervisning om multiplikation.

Undervisning som stdjer eleverna att se relationen mellan tv variabler

I interventionsstudien som Moss m.fl. (2006) genomfrde med elever i fjrde klass samarbetade elever frn tv olika skolor med varandra med std av ett elektroniskt ntverk. Uppgifterna som de arbetade med bestod av (a) spelet Gissa min regel, (b) konstruktion av geometriska mnster ur givna regler och (c) bestmmandet av regeln fr ett givet geometriskt mnster. Forskarna framhller att eleverna efter deltagandet i interventionslektionerna visade prov p att kunna anvnda det matematiska symbolsprket och kunna ge bevis och argumentera fr sina lsningar. De kunde ocks hitta regler fr olika mnster och se relationen mellan olika mnster, men ocks relationen mellan de olika representationsformerna. Slutsatsen som Moss m.fl (2006) drog var att de i studien deltagande eleverna utvecklade sin frstelse fr relationen mellan tv variabler.

I Warren och Coopers (2008) studie beskrivs vilka av lrares agerande och instruktioner som gynnade yngre elever att se,

19

uppfatta och beskriva frndringar i ett vxande geometriskt mnster i termer av frhllande mellan en figur i mnstret och dess position i mnstret. Tv lektioner genomfrdes i tv utvalda klasser. Den frsta lektionen bestod i huvudsak av att eleverna skulle avbilda och fortstta enkla geometriska vxande mnster. Elevernas uppgift var att beskriva mnstren i termer av relationen mellan en figur och dess position i mnstret. Denna beskrivning skulle, enligt forskarna, stdja eleverna att frutse och konstruera figurer lngre fram i mnstret, dvs. att generalisera. De elever som beskriver ett vxande mnster p detta vis visar att de erfor vxande mnster som en funktion menar Warren och Cooper (2008) (frndringen i mnstret r en funktion av den beskrivna figurens plats i mnstret). I uppgifterna som eleverna arbetade med p den frsta lektionen var kopplingen mellan en figur i mnstret och dess position tydlig. Exempelvis frndrades mnstrets bredd i varje figur och var samma som figurens nummer medan hjden var konstant. P andra lektionen repeterades ngra av de mnsteruppgifter som behandlades p den frsta lektionen, men med den skillnaden att elevernas tnkande och sprk utmanades till att frutse och beskriva en godtycklig figur i mnstret.

Effekter av lektionerna mttes i skillnaden p resultatet p ett fr- och ett eftertest som gjordes tv veckor efter interventionen. Resultatet tydde p en kning av elevernas frstelse av vxande mnster och en frbttring av elevernas frmga att i generella termer beskriva relationen mellan en figur i mnstret och dess position. Slutsatsen som drogs av Warren och Cooper (2008) var att elever i ttarslder r inte bara kapabla att tnka om relationen mellan tv variabler utan kan ocks uttrycka denna relation i abstrakta former. Antagandet att yngre elever inte kan uttrycka sig generellt med abstrakta symboler falsifierar Waren (2005) ven med sin tidigare forskning. Hon visade p fyra olika stt att som fjrdeklassare uttrycka sig generellt p, nmligen genom att (1) anvnda sig av hga tal, (2) upprepa antalet n fr att bilda det rtta antalet (ett n, tv n lggs samman, tre n lggs samman), (3) anvnda sig av ord som dubbel n och trippel n eller tv gnger n och tre gnger n, samt (4) genom att anvnda formell beteckning s som 2 n och 3 n.

Warren och Cooper (2008) pstr att vissa val som lrare gr i sin undervisning pverkar elevernas funktionella tnkande mer n

20

andra. De tgrder/insatser som stdjer eleverna i deras utveckling r (a) anvndning av konkret material fr att skapa mnster, (b) specifika frgor som stlls av lraren och som visar explicit frhllandet mellan figuren i mnstret och dess position samt (c) frgor som hjlper elever att n generalisering betrffande en godtycklig figur. Warren (2005) styrker att speciella undervisningsstrategier och frgor som lrare stller under lektionerna kan bidra till att elever brjar ska efter mnster mellan figurnumret och antalet byggelement i figuren. I Warrens (2005) studie gjorde eleverna det genom att ska efter mnster tvrsver i en tabell istllet fr att enbart se mnster som talen som var inskrivna under varandra i tabellen bildade.

Att yngre elever har en frmga att tnka funktionellt har tidigare visats av Blanton och Kaput (2004) i en forskningsrapport dr de underskte 5-9 r gamla elevers utveckling nr de uttryckte funktioner. I studien lste elever en uppgift som handlade om att utrycka ett funktionellt samband mellan ett godtyckligt antal hundar och hundarnas totala antal gon eller det totala antalet gon och svansar de hade. Eleverna anvnde tabeller, diagram, bilder, ord och symboler fr att uttrycka matematiska samband. Resultatet visar att en srskild progression ger rum i elevernas tnkande nr det gller stten de anvnder fr att beskriva ett mnster. Denna progression sker frn en anvndning av vardagligt sprk fr att uttrycka en additiv relation till en anvndning av symboliska representationer av multiplikativa relationer. Enligt Blanton och Kaput (2004) spelar lrarens stt att presentera ett innehll en stor roll fr hur eleverna utvecklar sitt funktionella tnkande. De menar att lrare mste erbjuda eleverna fler uppgifter dr tv eller fler kvantiteter behandlas samtidigt istllet fr uppgifter dr bara analysen av enstaka variabler sker.

Undervisning om mnsters struktur Papic och Mulligan (2005; 2007) genomfrde en inter-

ventionsstudie i vilken de fljde utvecklingen av 53 frskolebarns matematiska frmgor att identifiera, fortstta och beskriva vxande mnster och mnster dr en enhet upprepas. Underskningen gjordes p tv frskolor. Interventionen gjordes i en frskola. I den andra frskolan pgick den vanliga verksamheten under tiden. Den sex mnader lnga interventionen bestod av aktiviteter och uppgifter som enligt forskarna gynnade utvecklingen

21

av mnsterbegrepp. Barnen som deltog i interventionen visade mycket bttre resultat nr det gller att fortstta och beskriva mnster. De lyckades bttre n barnen som inte deltagit i interventionen att konstruera mnster i olika former som exempelvis i rutnt, i Hoppa-hage-mnster, i s kallade subitizing-mnster och i numeriska sekvenser. Det framgr av resultatet att interventionen uppmuntrade barnen att se strukturen i hur ett mnster upprepar sig genom att medvetandegra dem om utkningsenheten som upprepas. De barn som lrde sig identifiera enheten som upprepas i ett mnster kunde anvnda sig av denna kunskap nr de lste andra mer komplexa mnsteruppgifter.

Resultatet av Papics och Mulligans (2005; 2007) studie dementerar pstenden att arbetet med algebra i yngre ldrar r olmpligt. Studien visar snarare att ldre elevers svrigheter inom omrdet algebra, kan spras till begrnsade mjligheter som erbjuds att lra sig algebra och/eller felaktiga undervisningsmetoder, som anvnds i elevernas tidigare lder. Speciellt betonas vikten av att gra eleverna medvetna om utkningsenheten och om mnstrets struktur.

Warren (2005) pstr att undervisning som bedrivs om mnster r otillrcklig eller olmplig. I sin studie med 45 elever i tv fjrdeklasser ifrgasatte hon om brister i elevernas kunskaper om vxande mnster verkligen berodde p att dessa mnster var kognitivt svrare fr yngre elever. Hon kom fram till att detta inte var fallet. Enligt Warren (2005) kan elevernas svrigheter snarare spras till att fokus i yngre barns matematikundervisning frmst inriktats p mnster som upprepas. Hon visade att undervisningen inte mjliggr fr eleverna att f en god frstelse av de mnsterenheter som upprepas, eftersom mnstretstrukturen antingen ignoreras eller missfrsts nr lrare arbetar med upprepande mnster. Detta begrnsar och hindrar elevernas kunskapsutveckling om vxande mnster. Drfr r det orimligt att frvnta sig av elever att upptcka andra och mer komplexa mnsterstrukturer ssom i vxande mnster. Flera av de svrigheter som elever i Warrens studie uppvisar speglar svrigheter som r funna i tidigare forskning med unga vuxna. Warren (2005) drog slutsatsen att dessa svrigheter inte beror s mycket p elevernas utvecklingsniv, utan p vad de fr mjlighet att erfara under sin skoltid.

22

Hinder fr algebralrandet Det finns studier som beskriver de processer som anses vara ett

hinder fr att eleverna skulle frst och kunna beskriva vxande mnster. Warren och Coopers (2008) underskning med tv klasser ttaringar r en sdan studie. I den gjorde eleverna ett frtest fre de tv lektionerna som de deltog i och ett eftertest tv veckor efter den andra lektionen. Trots att mnga av eleverna visade p en god frmga att muntligt uttrycka en generalisering, visade elevernas skriftliga beskrivningar brist p sprklig precision. Den sprkliga precisionen som efterlystes av forskarna lyste med sin frnvaro p lektionerna ocks. Eleverna i studien visade bristande frmga att konstruera vxande mnster som saknar en eller flera figurer mitt i en mnstersekvens. Enligt forskarna r detta ett resultat av att eleverna fokuserade endast p en variabel, som oftast r sjlva variationen i mnstret frn en figur till en annan. I dessa situationer sg eleverna att mnstret vxte och beskrev vxandet som en additiv kning men missade att se hur mnstret frndrades.

Warren (2005) fann att elever hade en tendens att se de additiva strategier nr de skte efter mnster i en tabell med olika vrden. Eleverna fokuserade p mnster som fanns i de vrden som var inskrivna i samma kolumn i en tabell (tittade nert i tabellen) och missade frhllandet mellan vrdena i samma rad i tabellen. Ytterligare en svrighet som Warren tillsammans med Cooper (2008) observerade var att eleverna inte kunde srskilja den kardinala aspekten av ett mnster frn den ordinala aspekten. Detta yttrade sig i elevernas frvirring nr de skulle uttrycka ett mnster i generella termer. I dessa situationer blandade eleverna ihop den ordinala aspekten av en figur med antalet byggelement i figuren.

Msval (2011) beskriver vad som utgr ett hinder i lrandeprocessen om algebra men riktar sin uppmrksamhet mot vuxnas lrande. I sin forskning fokuserar hon p faktorer som begrnsade lrarstudenternas etablering av och bevis fr att uttrycka formler och matematiska frklaringar som representerar det generella i ett vxande geometriskt mnster. Med intentionen att hitta faktorer som hindrade studenternas algebraiska generaliseringsprocesser analyserade hon undervisningssituationer i sm grupper. Hon underskte hur didaktiska miljer begrnsade studenternas mjligheter att anamma det bestmda kunskapsmlet. Med miljer ansgs i studien de delmngder i studenternas

23

omgivning som var relevanta med avseende p det bestmda kunskapsmlet.

Resultatet visade att studenternas algebraiska generaliserings-processer begrnsades p tre olika stt. Den frsta begrnsningen hngde samman med en begrnsad feedbackpotential. Den begrnsningen visade sig i undervisningssituationer dr studenterna frvntades lsa matematikuppgifter p egen hand utan tillgng till lrarhjlp. Den andra begrnsningen handlade om hinder som studenterna mtte nr de skulle omvandla sina lsningar uttryckta med vardagligt sprk, till att uttrycka sig algebraiskt med matematiskt symbolsprk. Den tredje begrnsningen var relaterad till hur studenterna argumenterade fr och bevisade giltigheten av de angivna formlerna och de matematiska frklaringarna som de freslog i uppgifter med vxande mnster.

Msval (2011) identifierade tre faktorer som exemplifierar de ovan nmnda begrnsningarna. En av dessa faktorer handlar om uppgifternas design. Om i uppgiften endast en figur av ett vxande mnster presenteras och fokuseras har det negativ effekt p studenternas utveckling av algebrakunskaper. En annan faktor som utgr en svaghet i studenternas milj r deras ovana att tolka, frst och anvnda sig av matematiska begrepp. Lraren mste vara medveten om sprklig tydlighet i den valda eller konstruerade uppgiften s att den inte framkallar missfrstnd hos studenterna. Om studenternas frkunskaper inte tas i ansprk vid uppgiftskonstruktioner r det den tredje faktorn som ocks kan utgra ett hinder i deras utveckling av algebraiska generaliserings-processer. Detta var srskilt avgrande vid studenternas sjlvstndiga arbete. Om uppgiften kunde missfrsts p grund av att lraren tog studenternas kunskaper fr givet r det olmpligt att den didaktiska situationen delegeras till studenterna hvdar Msval (2013). Studenterna kan i dessa situationer misslyckas med uppgiften eftersom sttet de tolkar och lser uppgiften p r beroende av kunskaper som de inte besitter.

Undervisning om samma innehll Till skillnad frn de hittills presenterade studierna som har

elevernas lrande inom algebra och elevernas algebraiska tnkande som i fokus, frsker Kilhamn (2013) och Hggstrm (2008) ge svar

24

p frgan om hur olika lrare undervisar om samma algebrainnehll. Kilhamn (2013) studerade tv lektioner dr begreppet variabel introducerades i rskurs 6. De undervisade lrarna fljde samma kurs- och lroplan och anvnde samma lromedel. Nr de tv lektionerna jmfrdes med varandra fanns bde likheter och skillnader i hur undervisningen genomfrdes. Likheterna gllde uppgiften som arbetades med p lektionen, att bda lrarna utgick ifrn lrobokens rekommendationer och att de anvnde symboler fr att representera ldersrelationer i uppgiften. Bda lrare introducerade en bokstav som representerar ett obekant tal fre variabelbegreppet. I bda klasserna beskrevs variabler som ngot som varierar utan att skillnaden mellan begreppen variabel och obekant tydliggjordes.

Skillnaderna som hittades mellan stten att behandla undervisningsinnehllet gllde sttet att arbeta med algebra-uppgiften samt innebrden av begreppen algebra och variabel. De aktiviteter som frekom i klasserna karakteriserades av forskaren som transformerande och generaliserande. Analysen visade att lrare 1 hade presenterat algebra som ett frmmande symbolsprk som hjlpte eleverna att vara mer effektiva i sina utrkningar och som kom att underltta matematiska lsningar. Lrare 2 undervisade om algebra som ett problemlsningsverktyg, som en anvndbar modell samt som ngot man anvnde fr att generalisera och utrycka relationer. I sina exempel tog lrare 2 ett specifikt fall till en generell niv. Skillnaderna visade sig ocks i antalet anvnda variabler. Medan lrare 1 endast anvnde en variabel i de uttryck som presenterades under lektionen, anvnde lrare 2 flera variabler dr den ena var en funktion av de andra. Lrare 2 introducerade ven begreppet formel. Killhamn (2013) hvdar att dessa skillnader kan pverka vilka mjligheter som erbjuds fr eleverna att lra under en lektion. Resultatet tyder p att det r lrare som formar lrande-mjligheterna genom att vlja sttet som det matematiska innehllet behandlas p.

Hggstrms (2008) studie visar att lrare ger elever mjlighet att urskilja och erfara viktiga aspekter av matematikinnehllet genom att p ett systematiskt stt skapa variation i undervisningen i frhllande till innehllet. I studien jmfrdes kinesiska och svenska lrares undervisning p hgstadiet inom omrdet algebra om linjra ekvationssystem och om substitutionsmetoden. Det som studerades

25

var, hur matematikmnet hanterades och gjordes tillgngligt fr eleverna i undervisningen. Analysen av data gjordes ur ett variationsteoretiskt perspektiv. Det som bland annat analyserades var vilka exempel som togs upp i undervisningen och p vilket stt, vilka aspekter av innehllet som fokuserades och p vilket stt samt vilka uppgifter eleverna arbetade med.

Fr att gra beskrivningar av aspekter som varierades vid jmfrelsen av de olika lrares undervisning anvnde sig Hggstrm (2008) av det variationsteoretiska begreppet dimension av variation (DoV) (Marton & Booth, 2000). Resultatet visade tydliga skillnader i hur innehllet behandlades och vad som gjordes mjligt fr eleverna att lra. I de kinesiska klassrummen fanns flera exempel p genomtnkta stt att presentera innehllet p n i de svenska. De kinesiska lrarna gav sina elever mjlighet att urskilja och uppfatta viktiga aspekter av matematikinnehllet genom att de systematiskt skapade kontraster och variation i undervisningen. Det visade sig att en del aspekter oftare hlls konstanta i svenska lrares undervisning n i kinesiska lrares undervisning vilket innebar att de togs inte upp eller diskuterades av svenska lrare.

I studien presenteras drygt tjugo olika aspekter som varierades i undervisningen och som framtrdde i analysen av det matematiska innehllet. Ngra av dessa var antalet och typen av ekvationer, antalet obekanta, typen av tal i uppgifterna, bokstver som anvndes i ekvationssystemen, stten att presentera och lsa uppgifterna p, antalet lsningar och metoder som anvndes nr de bytte ut vrdet av en obekant i en ekvation med en annan ekvation (substitutionsmetoden). De av Hggstrm (2008) framskrivna aspekterna kan enligt honom tillmpas i undervisningen oavsett i vilket land den genomfrs, vilken lrare som genomfr den, hur undervisningen r organiserad eller hur stor klassen dr undervisningen genomfrs r. Det som svensk matematik-undervisning kan lra av det kinesiska sttet att undervisa menar Hggstrm (2008) r det systematiska och genomtnkta sttet att variera innehllet.

26

3. Teoretiskt ramverk

Studiens syfte r att utifrn variationsteorin analysera och beskriva hur fyra lrare behandlar innehllet nr de undervisar om vxande geometriska mnster. Olika lrares kvalitativt skilda stt att behandla samma matematiska innehll, i detta fall vxande geometriska mnster, beskrivs. Vad r mjligt fr eleverna att lra analyseras. Beskrivningar av lektioner, analyser av vad som mjliggrs fr elever att lra och jmfrelser mellan hur lrare behandlar samma innehll baseras p variationsteori (Lo, 2012; Marton & Booth, 2000; Marton & Tsui, 2004).

Fr att analysera undervisning kan olika teorier anvndas. Valet av variationsteori kan sammanfattas i fljande punkter: (a) teorin r vl empiriskt frankrad och har visat sig anvndbar i olika analyser av undervisning (Hggstrm, 2008; Lo, 2012; Runesson 1999), (b) den har en tydlig koppling till lrande och undervisning i en skolkontext (Runesson 2006) och kan slunda anvndas som teoretisk utgngspunkt i en studie om undervisning inom mnet matematik, (c) variationsteorin erbjuder verktyg fr att analysera undervisning samt (d) den ger ett ramverk som gr det mjligt att beskriva skillnaderna i hur ett matematiskt innehll behandlas och vad som grs mjligt fr elever att lra.

I variationsteoretiska studier anvnds begreppen erfara, uppfatta, frst och urskilja frekvent. Begreppet erfarande kan definieras med det stt p vilket medvetandet r strukturerat och organiserat i ett srskilt gonblick (Marton & Booth, 2000). Erfarande r en intern relation mellan subjektet och vrlden, intern relation mellan personer och fenomen (Marton & Booth, 2000, s. 160). Erfara, uppfatta och frst brukar anvndas som synonyma termer. Dessa begrepp kommer ven i freliggande studie att anvndas som synonymer. Begreppet urskilja brukar anvndas tillsammans med begreppet aspekt i texter om variationsteori. Urskiljning innebr att olika aspekter urskiljs frn en helhet (Marton & Booth, 2000). Att erfara ett fenomen innebr att bli kapabel att urskilja srskilda aspekter av fenomenet och att ha frmgan att samtidigt vara medveten om dessa aspekter. I studien har termen urskilja samma innebrd som beskrivs ovan och anvnds fr att uttrycka urskiljning av aspekter.

27

Variationsteoretiskt perspektiv p lrande

Variationsteori r en innehllsfokuserad teori om lrande som har vuxit fram ur mngrig forskning om lrande (Marton & Booth, 2000). Teorin r grundad i den fenomenografiska forsknings-ansatsen (Marton, 1981). Inom den fenomenografiska forskningen beskrivs variationen i mnniskors kvalitativt olika stt att erfara fenomen i sin omvrld.

Traditional phenomenographic research aims to investigate the qualitatively different ways in which people understand a particular phenomenon or an aspect of the world around them. These different ways of understanding, or conceptions, are typically represented in the form of categories of description, which are further analyzed with regard to their logical relations in forming an outcome space. (Marton & Pong, 2005, sid. 335)

Variationsteori r inriktad p lrande och p hur det kan mjliggras fr den lrande att frst ett fenomen p ett visst stt. Teorin beskriver inte undervisningsmetoder som kan anvndas i alla situationer utan ger en tankemodell fr hur undervisningens innehll kan synliggras (Marton, 2014). Variationsteorin fokuserar sledes p ndvndiga innehllsrelaterade aspekter av lrande och inte p undervisningens allmnna frutsttningar. Enligt teorin r lrandet alltid kopplat till ett innehll (Runesson, 2006). Undervisning och lrande r alltid undervisning om och lrande av ngot. Variationsteorin handlar om en speciell form av lrande som frbereder den som lr att p ett mer framgngsrikt stt hantera nya, oknda situationer i framtiden (Marton & Tsui, 2004). Det centrala i teorin r att f den lrande att erfara ett fenomen p ett mer fullstndigt stt. Det skall ges mjligt fr den lrande att urskilja fler och nya aspekter av ett fenomen i jmfrelse med vad han/hon kunde urskilja tidigare (Runesson, 2006).

I texten som fljer kommer ytterligare att belysas det som knnetecknar variationsteorin och r relevant att diskutera utifrn studiens syfte och forskningsfrgor. De variationsteoretiska begrepp som anvnds i analysen av hur matematikinnehllet behandlas i olika lektioner presenteras och beskrivs.

28

Urskiljning, simultanitet och variation

Skillnader mellan stt att erfara fenomen, freteelser, situationer m.m., kan frsts som skillnader vad gller medvetandets struktur och dynamik (Marton & Booth, 1997). Allt finns i vrt medvetande, men inte samtidigt och inte organiserat p samma stt. Medvetandet definieras av Marton och Tsui (2004) som

the totality of a persons experiences of the world, at each point in time. It is all that is present on every occasion. (Marton & Booth, 2004, sid. 19)

Vrt medvetande har en struktur. Medvetandets struktur har en dynamisk karaktr och frndras hela tiden. Det som vid ett visst tillflle r i fokus i vrt medvetande och utgr en figur mot en bestmd bakgrund kan vid ett annat tillflle ersttas av ett annat fokus. Vad som r i frgrunden hos en individ beror p flera olika faktorer. Dels beror det p hur fenomenet framtrder och dels p med vilka nya och gamla erfarenheter, tankar och knslor vi mter det. Medvetandet r relaterat till tid och rum och alltid har en riktning mot ngot. Nr vi frstr ngot r det alltid ngot vi frstr. Exempelvis nr vi frstr att tal i decimalform r delar av en helhet och nr vi frstr olika representationsformer av ett tal i decimal-form frstr vi att det finns ondligt mnga tal mellan tv godtyckliga tal (Kullberg, 2010). Det vi erfar har p detta stt alltid en mening fr oss. Denna beskrivning av medvetandet relaterar Marton och Booth (1997) till lrande och till hur vi erfar, frstr eller uppfattar vr omvrld. De menar att begreppet erfarande kan definieras med det stt p vilket medvetandet r strukturerat och organiserat i ett srskilt gonblick. Lrande fr dem r en frndring av sttet att erfara, vilket innebr en frndring i medvetandets struktur. Allts lrande uppstr frst nr man uppfattar omvrlden p ett nytt stt. Lrande frutstter en erfaren variation dr lrande ses som en frndring i den lrandes frmga att erfara ngonting nytt i sin omvrld (Marton & Tsui, 2004). Fr att man skall kunna urskilja det nya mste variation av ett fenomens aspekter erfaras, d.v.s. vi mste erfara hur ngot skiljer sig frn ngot annat. Detta r mjligt om vissa delar eller aspekter r konstanta och andra varieras (Runesson, 2006). I detta sammanhang betonas tre centrala begrepp urskiljning, simultanitet och variation.

29

Hur ngot uppfattas eller frsts beror p sttet att urskilja delar eller aspekter frn helheten samt att relatera delarna/aspekterna till varandra och till helheten. Innebrden i erfarandet frutstter att vissa aspekter blir urskilda p ett speciellt stt. Ett objekt eller fenomen mste urskiljas frn kontexten som omger det och delar av objektet eller fenomenet mste urskiljas och relateras till varandra och till helheten (Marton & Booth, 1997). Fr att kunna uttrycka frndringen i ett vxande mnster med en formel behver eleverna se flera figurer i det aktuella mnstret samtidigt fr att urskilja bde delarna och helheten. Om figur nummer 2 inte byggs bredvid figur nummer 1 utan byggs p figur 1 r det mycket svrare att erfara delarna i mnstret samtidigt och relatera dem till hela mnstret. Det r ocks ndvndigt att frndringen analyseras i flera figurer och inte bara i en figur fr att urskilja delarna. Detta frutstter att eleverna kan relatera delarna i ett vxande mnster till varandra.

Frutsttningen fr att kunna erfara ett fenomen p ett specifikt stt r att de olika aspekterna urskiljs och finns fokuserat i medvetandet samtidigt. I varje situation finns en mngd aspekter som r urskiljbara. Skillnaden i hur ngot erfars beror p att vissa aspekter fokuseras och andra inte, eller om aspekterna urskiljs samtidigt eller inte. Om vi kunde urskilja och fokusera varje aspekt samtidigt skulle vi erfara allting p ett och samma stt. Men eftersom det r olika aspekter som vi urskiljer och fokuserar simultant, erfar vi vrlden p kvalitativt olika stt. Vad som samtidigt blir urskiljt och finns i det fokuserade medvetandet r avgrande fr vilken innebrd det erfarna fenomenet eller objektet fr (Marton & Booth, 1997). Om vi vill att eleverna skall erfara ett vxande mnster som ett mnster som kan byggas av olika element mste de urskilja aspekten olika sorters byggelement. Eleverna urskiljer denna aspekt om de samtidigt erfar en variation av byggelement (exempelvis stickor, trianglar, hjrtan, m.m.) som anvnds fr att konstruera samma vxande mnster.

Fr att en ny aspekt skall kunna urskiljas frn en specifik situation mste det finnas en variation som r mjlig att erfara. Nr ngon aspekt blir urskild ses denna mot bakgrund av en mjlig variation. Att till exempel urskilja och vara medvetet fokuserad om att ngonting rr sig frutstter att man har erfarit att ngot str stilla. Man mste ha erfarit en dimension av en variation med tv mjliga tillstnd rrelse och vila. Att urskilja och medvetet

30

fokusera p ett vxande mnster mste elever samtidigt erfara ett regelbundet mnster som inte vxer. Varje urskild aspekt mste samtidigt erfaras mot bakgrund av att dessa skulle kunna variera. Exempelvis om jag erfar ett freml som en hg, fyrkantig, vit kruka med trdetaljer, grs detta mot bakgrund av att det skulle kunna rra sig om en lg, rund, svartgrmnstrad kruka utan trdetaljer. Om vi vill att eleverna erfar att det finns olika sorters vxande mnster skall vi gra det mjligt fr dem att urskilja aspekten vxande mnster kan frndras p olika stt. Det kan vi gra genom att samtidigt visa flera vxande mnster som r byggda av samma byggelement, t.ex. bokstver eller tndstickor. Det som skall varieras r antal byggelement som mnstret frndras med fr varje ny figur (Figur 3.1).

figur nr.1 figur nr.2 figur nr.3 figur nr.4 ab abb abbb abbbb (mnstret vxer med ett b)

ab abbb abbbbb abbbbbbb (mnstret vxer med tv b)

ab abbbb abbbbbbb abbbbbbbbbb (mnstret vxer med tre b)

Figur 3.1. Exempel p hur vrdet antal byggelement skulle kunna varieras fr att vara mjligt att urskilja aspekten vxande mnster kan frndras p olika stt och erfara olika sorters vxande mnster. Urskiljning, simultanitet och variation frutstter varandra. En

urskild aspekt som finns fokuserat i det fokala medvetandet frutstts av en medvetenhet av en mjlig variation simultant med andra aspekter (Marton & Booth, 2000).

Lrandeobjekt

Nr man inom variationsteorin talar om lrande r utgngspunkten att lrandet r om eller av ngot. Faktum r att det inte finns ngot erfarande utan ngot att erfara och inget lrande utan ngonting att lra. Lrandet mste alltid ha ett objekt, ett lrandeobjekt (Marton & Booth, 1997; Lo 2012). Begreppet lrandeobjekt r i ett fenomeno-grafiskt och variationsteoretiskt sammanhang synonymt med ett avgrnsat kunskapsomrde tillsammans med en srskild frmga som man vill att eleverna skall utveckla (Marton & Pang, 2006).

31

Lrandeobjektet kan delas upp i ett direkt och ett indirekt lrandeobjekt (Lo, 2012). Det som undervisningshandlingar och lrande r riktat mot r det direkta lrandeobjektet. Hur eleven skall visa sin frdighet och frmga som skall utvecklas r det indirekta lrandeobjektet. Det direkta lrandeobjektet avser oftast ett innehll. Det indirekta lrandeobjektet avser det som eleven frvntas att kunna gra med innehllet. Det direkta och indirekta lrande-objektet skall ses som en helhet och inte som tv separata delar av undervisningen (Marton & Pang, 2006). Lraren br planera sin undervisning med hnsyn till svl det indirekta som det direkta lrandeobjektet.

The learners focus is normally on what they are trying to learn (the direct object of learning), whereas the teachers focus should be on both; not only on that which the learner are trying to learn, but also on the way in which the learners are trying to master what they are trying to learn. We might assume therefore, that teachers are trying to work toward an object of learning. (Marton, Runesson & Tsui, 2004, sid. 4)

Lrandeobjektet kan betraktas frn tre olika perspektiv (Hggstrm, 2008). Nr det betraktas frn lrares perspektiv r det det intentionella lrandeobjektet. I en undervisningssituation r det vad lraren avser att undervisa om. Det iscensatta lrandeobjektet r nr lrandeobjektet undersks frn forskarens perspektiv. Det r lrandeobjektet som konstitueras i interaktion mellan det lrande och lraren i undervisningen. Genom att studera det iscensatta lrandeobjektet kan man dra slutsatser om vad elever i praktiken fr mjlighet att lra. Frn elevernas perspektiv kan man studera det erfarna lrandeobjektet. Det r den kunskap och frmga elever tillgnar sig under lektionen och kan bland annat studeras genom ett fr- och ett eftertest (Marton, Runesson & Tsui, 2004). Relationen mellan de tre lrandeobjekt illustreras i Figur 3.2.

Figur 3.2. Relationen mellan tre lrandeobjekt efter Hggstrm (2008).

Intentionellt lrandeobjekt

Iscensatt lrandeobjekt

Erfaret lrandeobjekt

32

I Figur 3.2 kan man avlsa hur stor del av det intentionella lrandeobjektet blev iscensatt och erfaren under en lektion. Man skall strva efter en s stor verlappning som mjligt vilket skulle betyda att undervisningen leder till att eleverna lr sig det som r planerat att de skall lra sig. Beroende p vilken del av cirklarna betraktas och hur cirklarna ritas kan en mngd olika situationer beskrivas. En total verlappning av de tre cirklarna skulle betyda att det som var lrares intention att eleverna skulle lra sig blev mjligt fr de att lra under lektionen. Eleverna visar ocks att de har lrt sig det som lrare ville att de skulle lra. Situationen som presenteras i Figur 3.2 dr cirklarna bara delvis verlappar varandra skulle kunna tolkas som att bara vissa av de planerade aspekterna blev iscensatta. Det implicerar att eleverna inte fr mjlighet att erfara dessa.

I denna studie studeras det iscensatta lrandeobjektet.

Dimension av variation

Enligt Marton och Booth (1997) r lrande en funktion av urskiljning, vilket frutstter en erfaren variation. Lrandet av exempelvis ett objekt r inte mjligt om vi inte frst kan urskilja objektet frn sitt sammanhang. Fr att urskilja objektet frn dess sammanhang och skilja det frn andra objekt mste vi uppleva variation av objektet. Vi uppmrksammar alltid objekt som r varierande och som skiljer sig frn andra. Detta r en regel som vi tillmpar i det dagliga livet och som vi hittar i naturen (Lo, 2012). Exempelvis om vi vill att ngon skall se oss bland en grupp mnniskor hoppar vi och vinkar med armarna. Frgerna p de flesta blommorna r starka vilket gr att de sticker ut bland grna blad fr att locka till sig insekter eller fglar. Medvetet frsk att systematiskt variera vissa aspekter och hlla vissa aspekter konstanta kan hjlpa mnniskor att urskilja nya aspekter av ett objekt och utveckla ny kunskap om objektet (Lo, 2012).

Medvetenheten om en viss aspekt kan inte existera utan medvetenheten om skillnader mellan aspekten i frga och andra aspekter (Lo, 2012). En aspekt av ngot kan inte urskiljas och hamna i frgrunden av vrt medvetande utan att den jmfrs med ngot annat. Det finns ingen urskiljning utan erfaren skillnad, och det finns ingen erfaren skillnad utan en samtidig upplevelse av

33

tminstone tv saker som skiljer sig t. I litteraturen beskrivs ofta exemplet dr den lrande skall f mjlighet att frst vad en frg r:

To help children to discern the colour red, we need to expose them to other colours that are not red. If hypothetically our world had only one colour red then the concept of colour would not exist and red would not be discerned: it would be taken for granted. Fortunately, in our world, we have colours other than red. We can then teach children the concept red by pointing to a red ball and saying red while pointing to a green ball and saying green. By contrasting two colours, a dimension of variation (colour) is opened up on which red and green are two values. In this way, we can create a pattern of variation: we keep the ball unchanged while varying the colour. (Lo, 2012, sid. 30)

Fr att den lrande skall separera frgen rd frn objektet boll mste hon/han erfara andra objekt som r rda t.ex. en rd stol, ett rtt bord och en rd bil. P s stt skulle objekten boll, stol, bord och bil separeras frn frgen rd, och den lrande kan generalisera rdheten. Om vi bara visar den som skall lra sig frger ett pple och sger rtt, ett lv och sger grnt och pekar p solen och sger gult blir det svrt att lra sig frgerna eftersom vi inte har medvetet anvnt lmpliga mnster av variation. Fr att gra mjligt fr den lrande att separera och skilja begreppet frg frn andra begrepp och aspekter som r nrvarande mste vi vara medvetna om de kritiska aspekterna som skall varieras och de andra aspekterna som skall hllas konstanta.

Kritiska aspekter r de aspekter som r ndvndiga fr den lrande att urskilja fr att lra sig ngot nytt men som hon/han nnu inte har urskiljt (Lo, 2012; Marton, 2014). Varje fenomen som vi ser som en odelbar helhet har en mngd aspekter. Alla dessa aspekter r dock inte ndvndiga fr att frst fenomenet p ett visst stt. Nr en individ mter ett nytt fenomen eller stlls infr en uppgift byggs dennes uppfattning av helheten p vilka aspekter som fokuseras, vilket r individuellt fr varje person (Marton & Booth, 2000; Marton, 2014). Lrande sker nr den lrande fr syn p nya ndvndiga aspekter, men ocks nr denne kan bortse frn alla de mjliga aspekter som inte har betydelse i den aktuella lrandesituationen (Marton, 2014). Det r de kritiska aspekterna som skiljer den tidigare uppfattningen frn den som efterstrvas i en lrandesituation.

34

I en skolsituation rcker det inte att bertta fr eleverna om vilka kritiska aspekterna av ett lrandeobjekt r. Det rcker inte heller att vara medveten om dem fr att lrande skall uppst. De kritiska aspekterna mste urskiljas fr att eleverna skall ha mjlighet att lra (Marton, Runesson & Tsui, 2004). Fr att kunna urskilja de kritiska aspekterna mste elever erfara en variation. I skolmiljn mste lrarna gra lrandeobjektet tillgngligt fr eleverna genom att avsiktligt skapa mnster av variation som gr det mjligt fr eleverna att urskilja de kritiska aspekterna av lrandeobjektet. Vilka mjligheter som erbjuds fr eleverna att urskilja aspekter av ett lrandeobjekt beror p vilka dimensioner av variation som ppnas. Fr varje aspekt av lrandeobjektet finns motsvarande dimension av variation (Runesson & Mok, 2004). Att erfara variation i en srskild aspekt betyder att man erfar skillnad i denna dimension av variation (Marton & Pong, 2005). Exempelvis olika stt att rkna ut en subtraktionsuppgift motsvarar en dimension av variation i lsningsstrategier att rkna subtraktion. Ett stt att lsa uppgiften r ett vrde inom dimensionen av lsningsstrategier medan ett annat stt att lsa uppgiften r ett annat vrde inom samma dimension (Runesson & Mok, 2004).

Om vi vill utveckla en specifik frmga hos eleverna mste de f uppleva ett visst mnster av variation och invarians fr att kunna utveckla denna frmga. Om detta mnster saknas i undervisningen r det inte mjligt att erfara det. Inte ens om mnstret finns i undervisningen kan vi pst att elever erfar det eftersom erfarandet r ttt sammankopplat med det som r mjligt att erfara under en lektion. Erfarandet av variation kan ske p olika stt. Ett stt r att eleverna erfar mnstret tack vare tidigare erfarenheter utanfr skolan eller genom en kombination av vad de erfar under lektionen och utanfr den (Marton, 2005). Ett annat stt r nr skolan mjliggr eleverna att lra genom att erfarandet av variation blir tydligt kopplat till det iscensatta lrandeobjektet (Hggstrm, 2008). P det sttet fr eleverna mjlighet att erfara variation. Elevernas erfarande av variation r i denna studie direkt relaterad till det iscensatta lrandeobjektet och de dimensioner av variation som ppnas i klassrummet. De situationer dr eleverna erfar variation genom att jmfra det som sker i undervisningen med sina tidigare erfarenheter r inte mjligt att studera i denna studie.

35

I undervisningen kan man gra det mjligt fr eleverna att erfara en dimension av variation genom olika uppgifter och vningar. Lrare kan skapa olika variationsmnster genom att variera olika aspekter av ett lrandeobjekt. Vilket variationsmnster som skapas och om det skapas beror p de typer av uppgifter som det arbetas med och p ordningen i vilken uppgifterna r presenterade fr eleverna (Hggstrm, 2008). Nedan presenteras ngra exempel p vxande geometriskt mnster fr att illustrera hur detta kan g till i praktiken.

I Figur 3.3 r tre vxande geometriska mnster presenterade. Vilka dimensioner av variation kan ppnas nr man arbetar med dessa uppgifter?

Figur nr.1 Figur nr.2 Figur nr.3

Figur 3.3. Exempel p tre olika vxande geometriska mnster. Alla de ovanstende tre uppgifterna r exempel p vxande

geometriskt mnster. De frndras p ett regelbundet stt fr varje ny figur. De tre frsta figurerna r presenterade fr respektive mnster. Om eleverna skall f i uppgift att diskutera mnstrens fortsttning kommer de att upptcka att alla de tre mnstren frndras genom att tre byggelement (cirklar, tndstickor eller trianglar) lggs p den nstkommande figuren. Antalet

36

byggelement r konstant medan vi anvnder olika sorters byggelement. En aspekt som kan bli urskild i detta fall r att vxande mnster kan se olika ut beroende p vilken byggelement som anvnds fr att konstruera det.

Om vi frgar eleverna om det sammanlagda antalet byggelement fr figurerna i dessa tre mnster kommer de frhoppningsvis att urskilja att antalet byggstenar i samma figurnummer varierar i de olika mnstren. I frsta mnstret behvs det sex cirklar fr att bygga figur nummer 2. I andra mnstret behvs det sju tndstickor fr att bygga figur nummer 2 medan i tredje mnstret r antalet trianglar fyra i samma figurnummer. Antalet byggelement som mnstren frndras med r invariant. Varje mnster frndras med tre byggelement fr varje ny figur. Det sammanlagda antalet byggelement varierar fr de olika mnstren. En aspekt som eleverna kan urskilja r att det sammanlagda antalet byggelement i varje ny figur r unikt fr varje vxande mnster.

I den freliggande studien r analysen riktad mot de varierade och invarianta aspekterna av iscensatta lrandeobjektet i den observerade undervisningen. Begreppet dimension av variation anvnds fr att beskriva vilka aspekter r mjliga att urskilja i de studerade lektionerna.

Variationsmnster

Nr Marton och Booth (2000) beskriver lrande terkommer de gng p gng till subjektets erfarande av vrlden dr lrandet r frndringen av subjektets stt att erfara vrlden. Fr att subjektet skall kunna erfara vrlden p ett specifikt stt mste vissa aspekter av vrlden urskiljas och finnas fokuserat i hans/hennes medvetande samtidigt. Nr vi lr oss ngot urskiljer vi fler och nya aspekter av det lrda innehllet i jmfrelse med vad vi kunde urskilja tidigare. Fr att en aspekt skall kunna urskiljas frn en specifik situation mste det finnas en variation som r mjlig att erfara. Enligt variationsteori lgger vi inte mrke till saker och ting och dess egenskaper utan till skillnader mellan saker och ting och till skillnader mellan dess egenskaper (Marton, 2005). Den mest framgngsrika strategin fr lrare fr att bidra fr ett mjligt lrande av det intentionella lrandeobjektet skulle sledes vara att skapa ett mnster av variation som riktar elevernas uppmrksamhet mot de kritiska aspekterna.

37

Begreppet kritiska aspekter anvnds fr att beskriva de aspekterna som r ndvndiga fr den lrande att f syn p fr att lra sig ngot nytt men som hon/han nnu inte har urskiljt (Lo, 2012). I en undervisningssituation innebr det att aspekter som betraktas som ndvndiga att erfara, fr att frst ett innehll p ett visst stt, enbart r kritiska fr dem som nnu inte lyckats urskilja dessa. Fr att lrande skall mjliggras mste lraren synliggra de kritiska aspekterna fr eleverna genom ett mnster av variation, s att det kan kopplas till elevens erfarenhet av lrandeobjektet (Kullberg, 2010). De fyra mnster av variation som Marton, Runesson och Tsui (2004) beskriver r: separation, kontrast, generalisering, och fusion. Sambandet mellan dessa fyra variationsmnstren beskrivs i fljande Figur (3.4):

Figur 3.4. Sambandet mellan fyra mnster av variation efter Marton (2014). I texten som fljer frklaras de fyra variationsmnstren med

utgngspunkt frn beskrivning av Marton, Runesson och Tsui (2004), Lo (2012) och Marton (2014). Exemplen r hmtade frn matematikens vrld och omrdet algebra mnster.

Separation: Variationsmnstret separation mjliggr urskiljningen av en detalj av en tidigare vag helhet. Fr att kunna erfara en specifik aspekt av ngot och kunna separera denna aspekt frn andra aspekter, mste den specifika aspekten varieras medan de andra aspekterna frblir invarianta. Om tv aspekter varierar samtidigt kan dessa inte separeras. Fr att urskilja ngot skall det variera medan bakgrunden r invarianta.

Om exempelvis en elev har lrt sig vad mnster dr en sekvens upprepas r kan inte separera mnster frn sekvens som upprepas. Denna elev kan inte ha samma frstelse fr mnster som ngon annan som r medveten om att det finns olika sorters

separation fusion

kontrast generalisering

38

mnster, t.ex. talmnster och vxande mnster. I detta exempel r mnster en aspekt som kan beskrivas som en dimension av variation dr olika sorters mnster r vrden i den dimensionen. Fr att eleven skall urskilja skillnaden mellan mnster och sekvens som upprepas och fr att kunna separera sekvens som upprepas frn mnster, behver hon/han erfara en systematisk variation av olika sorters mnster samtidigt som andra aspekter som t.ex. byggelement hlls invarianta.

Separation kan ske genom kontrast eller generalisering. Kontrast: Kontrast innebr att visa vad ngot r genom att visa

vad det inte r. Nr tv vrden i en aspekt jmfrs med varandra skapas kontrast. I detta variationsmnster hamnar det som r invariant i bakgrunden medan det som varierar blir synligt. Den lrande ges mjlighet att urskilja skillnader istllet fr likheter. Om vi skall kunna urskilja en viss aspekt behver vi erfara variation i denna aspekt genom att vrden i samma aspekt varieras. Fr att erfara vad ngot r behver man ocks erfara vad det inte r. Fr att exempelvis lra sig vad vxande mnster r s jmfrs det med ett mnster som inte vxer fr att synliggra vxandet. De olika mnstren varieras mot en invariant bakgrund som kan vara samma byggelement som alla mnster konstrueras av.

Generalisering: Fr att frst det specifika behver man uppleva det genom olika representationer och srskilja dessa frn egenskaper som r irrelevanta. Det irrelevanta skall variera p ett systematiskt stt fr att visa p bredd. Den genom kontrasten separerade aspekten skall hllas konstant. T.ex. kan olika typer av vxande mnster presenteras fr att synliggra mngfalden. Dessa