Unit 8 Trigonometri II |205
UNIT PELAJARAN 8
TRIGONOMETRI II
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1) Menyelesaikan persamaan Identiti trigonometri asas dan menyelesaikan
persamaan triginometri atau membuktikan persamaan trigonometri.
2) Mengenal identiti trigonometri sudut majmuk, sudut gandaan dan sudut separuh.
3) Menyelesaikan persamaan trigonometri dan rumus faktor.
4) Masalah tiga matra: petua sinus, petua kosinus, rumus luas segi tiga.
.
Matematik Asas|206
PENGENALAN
erdapat banyak kegunaan untuk trigonometri, khususnya teknik penyegitigaan yang
digunakan dalam:
astronomi untuk mengukur jarak bintang-bintang yang dekat;
geografi untuk mengukur jarak antara tanda tempat; dan
sistem pandu arah satelit.
Bidang-bidang lain yang menggunakan trigonometri termasuk pandu arah (di lautan dan angkasa
luar, serta untuk kapal terbang), teori muzik, analisis pasaran kewangan, elektronik, teori
kebarangkalian, statistik, biologi, pengimejan perubatan (imbas tomografi berkomputer dan
ultrabunyi), farmasi, kimia, teori nombor (kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, sains
fizikal, ukur tanah dan geodesi, seni bina, fonetik, ekonomi, kejuruteraan elektrik, kejuruteraan
jentera, kejuruteraan awam, grafik komputer, kartografi, kristalografi dan pembangunan permainan.
Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131), menggabungkan trigonometri dan teori
penghampiran untuk memberikan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan algebra
melalui min geometri. Kaedah-kaedah perinci untuk membina jadual sinus untuk mana-mana satu
sudut diberikan oleh ahli matematik India, Bhaskara pada tahun 1150, bersama-sama dengan
sesetengah formula sinus dan kosinus.
T
Layari Laman Web berikut untuk mengetahui mengenai identiti trigonometri:
http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/identities.html
http://www.themathpage.com/atrig/trigonometric-identities.htm
Unit 8 Trigonometri II |207
8.1 Identiti Trigonometri
a) Identiti asas
Pembuktian identiti asas
Merujuk kepada segi tiga di sebelah, dengan menggunakan Teorem Pithagoras,
x2 + y2 = r2
Bahagi kedua-dua belah persamaan dengan r2
2
2
r
x +
2
2
r
y = 1 maka
2
r
x
+
2
r
y
= 1
Tetapi r
x = kos dan
r
y = sin , maka
sin2 + kos2 = 1
Jika persamaan (1) di bahagi dengan kos2, maka
sek2 = 1 + tan2
Jika persamaan (1) di bahagi dengan sin2, maka
kosek2 = 1 + kot2
Maka kesimpulannya, identiti asas trigonometri adalah
sin2 + kos2 = 1
sek2 = 1 + tan2
kosek2 = 1 + kot2
Anda boleh gantikan
dengan sebarang
sudut dan identiti ini
masih benar.
x
P (x,y)
r
y
Matematik Asas|208
b) Rumus sudut majmuk
Pembuktian rumus sudut majmuk Dengan mengambil segitiga- segitiga disebelah,
sin( +) = OC
CE =
OC
DECD
= OC
DC
OC
AB
OC
DCAB
=
OC
BC
BC
DC
OC
OB
OB
AB
sin ( + ) = sin kos + kos sin
Seterusnya
kos( +) = kos kos – sinsin
Kemudiannya dengan menggantikan dengan (–)
Dalam identiti bagi sin ( + ) dan kos ( + )
sin( +) = sin kos + kos sin
sin( + (-)) = sin kos (– ) + kos sin(-)
sin( – ) = sin kos – kos sin dan
kos( + ) = kos kos – sin sin
kos( +(– )) = kos kos(– ) – sin sin(– )
kos( – ) = kos kos + sin sin
Rajah 8.1
kos(-) = kos dan sin
(-) = -sin
B D
C
A O
E
Unit 8 Trigonometri II |209
Maka
sin( ± ) = sin kos ± kos sin
kos( ± ) = kos kos sin sin
Manakala identiti tan (A + B) adalah dari sin ( + ) dan kos ( + )
tan( + ) = sin( +) = sin kos + kos sin
kos( +) kos kos – sin sin
sin kos + kos sin
kos kos kos kos
kos kos – sin sin
kos kos kos kos
tan ( + ) = tan + tan
1 – tan tan
Gantikan dengan (- ) di dalam tan ( + ),
tan( +( – )) = tan + tan(– )
1 – tan tan(– )
tan( – ) = tan – tan
1 + tan tan
Maka
tan( ± ) = tan ± tan
1 tan tan
=
Tahukah anda kenapa tan
(-) = - tan ?
Membahagi dengan
keseluruhan dengan
kos kos
Matematik Asas|210
Rumus sudut majmuk keseluruhannya ialah
Sin ( ± ) = sin kos ± kos sin
kos ( ± ) = kos kos sin sin
c ) Rumus sudut gandaan
Dengan menggunakan identiti- identiti sin(+), kos(+) dan tan(+), kemudian menggantikan
dengan , boleh diterbitkan identiti – identiti berikut:
sin 2 = 2 sin kos
kos 2 = kos2 – sin2
tan( + ) = 2 tan
1 – tan2
Dengan memasukkan sin2 + kos2 = 1 ke dalam kos 2, maka
kos 2 = kos2 – sin2
= ( 1 – sin2) – sin2
kos 2 = 1 – 2 sin2
ATAU
kos 2 = kos2 – (1 – kos2 )
kos2 = 2kos2 – 1
tan ( ± ) = tan ± tan
1 tan tan
Masih ingat lagi
sukuan mana yang
nilai trigonometri
asasnya positif?
Semua +
Kos +
Sin +
Tan +
Unit 8 Trigonometri II |211
1. Cari semua sudut x dengan 0 x 360 yang memuaskan persamaan kot x = 2sin 2x
(dengan menggunakan sin 2x = 2 sin x kos x).
2. Buktikan bahawa 1 +kot2 = kosek2 (dengan menggunakan sin2 + kos2 = 1)
3. Cari penyelesaian bagi persamaan sek x – 3 kos x = 2 untuk 0 x 360.
4. Cari penyelesaian bagi persamaan berikut untuk – 360 x 360
sek x - 3kos x = 2
d) Rumus sudut separuh gandaan
sin = 2 sin kos 2 2
kos = kos2 – sin2 2 2
= 2 kos2 –1 2
= 1 – 2 sin2 2
tan = 2 tan 2
1 – tan2 2
e) Rumus-rumus faktor
Dengan menambah dan menolak pasangan identiti-identiti
sin( +) = sin kos + kos sin
kos( +) = kos kos – sin sin,
Latihan Formatif 8.1
Matematik Asas|212
dan
kos( +) = kos kos – sin sin
kos( -) = kos kos + sin sin,
seperti berikut,
(Penambahan)
sin kos + kos sin = sin( +)
+ sin kos – kos sin = sin( – ) menghasilkan
2 sin kos = sin( +) + sin( – ) maka
2sin kos = sin( +) + sin( – ) (1)
(Penolakan)
sin kos + kos sin = sin( +)
– sin kos – kos sin = sin( – ) menghasilkan
2kos sin = sin( +) – sin( – ) maka
2kos sin = sin( +) – sin( – ) (2)
Manakala pasangan kos( + ) dan kos( – ) pula menghasilkan
2kos kos = kos( +) + kos( – )
2sin sin = kos( +) – kos( – ) (3)
Unit 8 Trigonometri II |213
Maka
Dengan menggantikan = x + y dan = x – y ke dalam (1), (2) dan (3) 2 2
kita menghasilkan identiti berikut:
sin x + sin y = 2 sin (x+y) kos (x – y) 2 2
sin x - sin y = 2 kos (x+y) sin (x – y) 2 2
kos x + kos y = 2 kos (x+y) kos (x – y) 2 2
kos x – kos y = – 2 sin (x+y) sin (x – y) 2 2
1. Buktikan bahawa 2 kos 2 – 3 kos + 1 = 1 – 2 kos
sin 2 1 + kos
2. Diberi sin = p dengan ialah sudut tirus, carikan dalam sebutan p,
a) kos b) tan (– )
3. Jika tan = 4
3 dengan adalah sudut tirus, cari tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,
nilai-nilai bagi
a) tan 2 b) tan 2
1
Latihan Formatif 8.2
Matematik Asas|214
f) Formula Segitiga
i) Petua Sinus
Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi :
Dua sudut dan satu sisi
Dua sisi dan satu sudut bukan kandung
ii) Petua Kosinus Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi:-
Dua sisi dan satu sudut kandung
a2 = b2 + c2 – 2bc kos a
b2 = a2 + c2 – 2ac kos b
c2 = a2 + b2 – 2ab kos c
Tiga sisi
kos A = b2 + c2 – a2
2bc
kos B = a2 + c2 – b2
2ac
kos C = a2 + b2 – c2
2ab
a =
b =
c
sin A sin B sin C
Unit 8 Trigonometri II |215
g) Luas Segitiga
Luas ABC =2
1 ab sin C
= 2
1 ac sin B
= 2
1 bc sin A
Luas ABC = 2
1 x Tapak x Tinggi
Diberi sin x = 2
1 dan 0° x 360° , cari nilai bagi
a) x b) sin 2x tanpa menggunakan sifir
Penyelesaian:
a) sin x = 2
1
x = 30°, (180°-30°)
= 30°, 150°
b) kos x = 2
1,
sin 2x = 2 sin x kos x
= 2 (2
1) (
2
1) =
2
1
Tinggi
Tapak
A
B
C
a c
b
Contoh 8.1
Matematik Asas|216
Buktikan identiti kosek x – sin x = kos x kot x
Penyelesaian:
Di sebelah kiri
kosek x – sin x = xsin xsin
1
= xsin
xkos
xsin
xsin - 1 22
= kos x kot x ( terbukti )
Cari semua sudut antara 0°dengan 360° yang memuaskan persamaan
a) 2 kos 2x = 1
b) tan 2y = –1
Penyelesaian:
a) 2 kos 2x = 1
kos 2x = 2
1
2x = 60°, 300°, 420°, 660°
x = 30°, 150°, 210°, 330°
b) tan 2y = –1
2y = 135°, 315°, 495°, 675°
y = 67.5°, 157.5°, 247.5°, 337.5°
Contoh 8.2
Contoh 8.3
Unit 8 Trigonometri II |217
Selesaikan persamaan 4 tan x – 2 tan2 x = sek2 x antara 0° hingga 360°
Penyelesaian:
4 tan x – 2 tan2 x = sek2 x
4 tan x – 2 tan2 x = 1 + tan2 x
3 tan 2x – 4 tan x + 1 = 0
(tan x – 1)(3 tan x – 1) = 0
tan x = 1 atau tan x = 3
1
x = 45°,225° x = 18.43°, 198.43°
x =18.43°, 45°, 198.43°, 225°
Diberi sin = 13
5 di mana 180 0 < < 270 0 , carikan nilai bagi tan dan kos dalam bentuk pecahan.
Penyelesaian:
180 0 < < 270 0 maka terletak dalam sukuan ketiga, maka x < 0, y < 0
Diberi sin = 13
5
x 2 + y 2 = r 2
x 2 = r 2 - y 2 = 169 – 25 = 144
x = 12
x = – 12 (x < 0)
Maka tan = 12
5
Jadi, y = – 5 dan r = 13 . Dengan menggunakan teorem Pithagoras,
kos = 13
12
x
-5
(x, -5)
13
0
y
Contoh 8.4
Contoh 8.5
Matematik Asas|218
Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai dengan
tanda yang betul.
a) sin 614 0 b) kos 459 0 c) tan π4
9
Penyelesaian
a) 614 0 = 360 0 + 254 0 (sukuan ke-3)
sudut rujukan = –180 0
= 254 0 – 180 0
= 74 0
sin 614 0 = – sin 74 0
b) 459 0 = 360 0 + 99 0(sukuan ke-2)
sudut rujukan = 180 0 –
= 180 0 – 99 0
= 81 0
kos 459 0 = – kos 81 0
c) π4
9 = 2π + π
4
1 (sukuan pertama)
sudut rujukan = π4
1
π4
9tan = tan π
4
1
Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai dengan
tanda yang betul.
a) sin 0231( )
b) kos ( 0520 )
c) tan
π
8
11
Nota
Ingat bahawa π radian = 1800
,
jawapan anda selalu boleh
disemak secara menukarkan
sudut dalam radian kepada
sudut dalam darjah.
Contoh 8.6
Contoh 8.7
Unit 8 Trigonometri II |219
Penyelesaian:
Dengan rumus bagi sudut negatif,
a) sin 0231( ) = – sin 2310 (sukuan ke-3)
= – (– sin (2310 – 1800))
= sin 510
b) kos (–5200) = kos 5200
= kos (5200 – 3600)
= kos 1600 (sukuan ke-2)
= – kos (1800 – 1600)
= – kos 200
c) tan
π
8
11 = – tan
π
8
11 (sukuan ke-3)
= – tan
ππ
8
11
= – tan π8
3
Diberi A adalah satu sudut tirus dan tan A =12
5, carikan nilai bagi
a) kosek A b) kot A c) sek A
Contoh 8.8
Matematik Asas|220
Penyelesaian:
Diberi tan A =12
5, dan A tirus, maka A dalam sukuan pertama, x > 0, y > 0. Didapati x = 12, y = 5.
Dengan menggunakan teorem Pithagoras,
222 yxr
= 144 + 25
= 169
r = 13
0)(r 13r
a) Asin
1 Akosek
5
12 b)
Atan
1kot A
12
5
1
5
12 c)
12
13
13
12
1
Akos
1 Asek
a) Diberi sin x = – 0.6 dan 0 0 < x < 270 0 , carikan nilai kos 2
1x
b) Diberi kos y = – 0.72 dan 0 0 < y < 180 0 , carikan nilai sin 3y.
Penyelesaian:
a) sin x = – 0.6
x = 180 0 + 36 0 52’
x = 216 0 26’
kos2
1x = kos
2
1(216 0 13’)
= kos 108 0 13’
= – kos(180 0 – 108 0 13’)
= – 0.3162
A
5
12
Contoh 8.9
Unit 8 Trigonometri II |221
b) kos y = – 0.72
y = 180 0 – 43 0 56’
= 136 0 4’
sin 3y = sin 3 x 136 0 4’
= sin 408 0 12’
= sin 48 0 12’
= 0.665
Carikan nilai
a) sin(– 240 0 ) b) tan 860 0 c) kos (– 430 0 )
Penyelesaian:
a) sin(–240 0 ) (sukuan ke-2)
= – sin 240 0 = sin (240 0 – 180 0 )
= sin 60 0 = 0.866
b) tan 860 0 = tan 140 0 (sukuan ke-2)
= – tan 40 0 = – 0.8391
c) kos (– 430 0 ) = kos (430 0 – 360 0 ) (sukuan ke-4)
= kos 70 0 = 0.342
860°
–430°
–240°
Contoh 8.10
Matematik Asas|222
Cari semua nilai x antara 0 0 dan 360
0 yang memenuhi persamaan
a) kos 2x = 2
3 b) kos2 x = 2sin x kos x – sin2 x c) tan x + 6 kot x = 7
Penyelesaian:
a) kos 2x = 2
3
2x = 30 0,330
0,390
0,690
0
x = 15 0,165
0,195
0,345
0
b) kos2 x = 2sin x kos x – sin2 x
kos2 x + sin2 x = 2sin x kos x
sin 2x = 1
2x = 900, 450
0
x = 450, 225
0
c) tan x + 6 kot x = 7
tan2 x + 6 = 7 tan x
tan2 x – 7 tanx + 6 = 0
(tan x – 1)(tan x – 6) = 0
tan x = 1 atau tan x = 6
x = 450 , 225 0 atau x = 80.5 0 , 260.5 0
x = 45 0 , 225 0 , 80.5 0 , 260.5 0
kos2 x + sin2 x =1 dan
2sin x kos x = sin 2x
Darabkan tanx di kedua-
dua belah persamaan.
Contoh 8.11
Unit 8 Trigonometri II |223
Selesaikan persamaan kos(x + 60) = sin (x + 45 0 ) dengan memberi
semua nilai antara 0 0 dan 360 0 dan mengambil hanya punca kuasa positif.
Penyelesaian :
kos (x + 60) = sin (x + 45 0 )
kos x kos 60 0 – sin x sin 60 0 = sin x kos 45 0 + kos x sin 45 0
kos x kos 60 0 – kos x sin 45 0 = sin x kos 45 0 + sin x sin 60 0
kos x (2
1–
2
1 ) = sin x (2
1 + 2
3)
kos x(1 – 2 ) = sin x( 2 + 3 )
kosx
sinx =
32
21
tan x = ()23)(23(
2)3)(2(1
) =
1
2623 = – 0.131
x = (180 0 – 7 0 28’), (360 0 – 7 0 28’)
= 172 0 32’, 352 0 32
Diberi – 2 tan x = tan (x + 45 0 ), carikan semua nilai x antara 0 0 dan 360 0 .
Penyelesaian :
– 2 tan x = tan (x + 45 0 ) = tanxtan451
tan45tanx
=
tanx1
1tanx
– 2 tan x(1 – tan x) = tan x + 1
– 2 tan x + 2 tan2 x – tan x – 1 = 0
2
2
2
1
Contoh 8.12
Contoh 8.13
Matematik Asas|224
2 tan2 x – 3 tan x – 1 = 0
tan x = 4
(8)33 2
Bila tan x = 1.7808
x = 60 0 41’, (180 0 + 60 0 41’)
= 60 0 41’, 240 0 41’
Bila tan x = – 0.2088
x = (180 0 – 15 0 41’), (360 0 – 5 0 41’) = 164 0 19 , 344 0 19’
Tunjukkan bahawa x = 60 0 ialah salah satu penyelesaian bagi persamaan
12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0
Dengan mencari faktor-faktor lain, carikan penyelesaian lain bagi nilai x antara 0 0 dan 360 0 .
Penyelesaian :
12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0
Bila x = 60 0 , kos 60 0 = 2
1
Oleh itu 12(2
1)3 – 4(
2
1)2 – 3(
2
1) + 1 = 0
x = 60 0 ialah salah satu penyelesaian.
kos x = kos 60 = 2
1
2 kos x – 1 = 0 ialah salah satu faktor.
12 kos3 x – 4 kos2 x – 3 kos x + 1 = 0
(2 kos x – 1)(6 kos2 x + kos x – 1) = 0
Gunakan formula untuk
mendapatkan penyelesaian
kepada persamaan kuadratik
ax2 – bx + c ialah
2a
4acbbx
2
Kenapa?
Faktorkan
persamaan
kuadratik ini.
Contoh 8.14
Unit 8 Trigonometri II |225
(2 kos x – 1)(2 kos x + 1)(3 kos x – 1) = 0
Oleh itu kos x = 2
1 x = 60 0 , (360 0 – 60 0 ) = 60 0 , 300 0
Atau kos x = 2
1 x = (180 0 – 60 0 ), (180 0 + 60 0 )
= 120 0 , 240 0
atau kos x = 3
1 x = 70 0 32’, (360 0 – 70 0 32’)
= 70 0 32’, 289 0 28’
Nilai-nilai x ialah 60 0 , 70 0 32’, 120 0 , 240 0 , 289 0 28’, 300 0 .
Diberi kos = 2
1 yang mana ialah sudut tirus. Tanpa penggunaan buku sifir, carikan
a) sin b) sin 2 c) kos 2 d) tan 2
Penyelesaian:
a) sin = 2
3
b) sin 2 = 2 sin kos = 2 (2
3 )(2
1 ) = 2
3
c) kos 2 = kos2 – sin2 = (2
1 )2 – (2
3 )2 =2
1
d) tan 2 = 2θ kos
2θ sin =
2
12
3
= 3
Jika sin A = 2
1 dan sin B =
4
1, carikan nilai sin (A + B)sin (A – B).
2
1
3
A
2 1
3
Contoh 8.15
Contoh 8.16
Matematik Asas|226
Penyelesaian:
sin A = 2
1, kos A =
2
3, sin B =
4
1, kos B =
4
15,
sin2 A = 4
1, kos2 A =
4
3, sin2 B =
16
1, kos2 B =
16
15
1 – kos2 A = 4
1 1 – kos2 B =
16
1
sin (A + B)sin (A – B) = ( sin A kos B + kos A sin B)(sin A kos B – kos A sin B)
= sin2 A kos2 B – kos2 A sin2 B
= (4
1) (
16
15) – (
4
3) (
16
1) =
64
3
64
15 =
16
3
1. Buktikan identiti berikut
a) (sek – tan )2 = θ sin 1
θ sin-1
b) θ tan 1
θ tan-12
2
= 2 kos 2 – 1
c) θ kos -θ sek
θ sek = kosek 2
d) kot (A + B) =Bkot kot A
1-Bkot Akot
e) (sin + sin 3) + (sin 5 + sin 7) = 16 sin kos 2 kos 2 2
2. Dalam suatu segi tiga ABC, BC = 20 cm, sudut B = 30 dan sudut C = 45. Cari luas ABC.
.
Latihan Formatif 8.3
B
4 1
15
Unit 8 Trigonometri II |227
3. Suatu segi tiga ABC mempunyai BC = 8cm, CA = 7cm, AB = 5 cm; AN ialah garis serenjang
dari A ke BC dan NR ialah garis serenjang dari N ke AB. Hitungkan sudut B dan panjang NR
betul sehingga tiga angka bererti.
RUMUSAN
Identiti Trigonometri
a ) Identiti asas
sin2 + kos2 = 1
sek2 = 1 + tan2
kosek2 = 1 + kot2
b ) Rumus sudut majmuk
sin ( ± ) = sin kos ± kos sin
kos ( ± ) = kos kos sin sin
c ) Rumus sudut gandaan
sin 2 = 2 sin kos
kos 2 = kos2 – sin2 atau kos 2 = 1 – 2 sin2 atau kos 2 = 2kos2 –1
tan( + ) = α
α 2tan 1
tan2
tan ( ± ) = tan ± tan
1 tan tan
Matematik Asas|228
d) Rumus sudut separuh gandaan
sin = 2 sin 2
αkos
2
α
kos = kos2
2
α– sin2
2
α= 2 kos2
2
α – 1 = 1 – 2 sin2
2
α
2
α
α2
α
α2tan-1
tan2
tan
e) Rumus-rumus faktor
2sin kos = sin( +) + sin( – )
2kos sin = sin( +) – sin( – )
2kos kos = kos( +) + kos( – )
2sin sin = kos( +) – kos( – )
Dengan menggantikan = x + y dan = x – y ke dalam (1), (2) dan (3) kita menghasilkan: 2 2
sin x + sin y = )2
y)x)kos(
2
yxsin( 2
sin x – sin y = )2
y)x)sin(
2
yxkos( 2
kos x + kos y = )2
y)x)kos(
2
yxkos( 2
kos x – kos y = )2
y)x)sin(
2
yxsin( 2-
Unit 8 Trigonometri II |229
f) Formula Segitiga
i) Petua Sinus
Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi :
Dua sudut dan satu sisi
Dua sisi dan satu sudut bukan kandung
ii) Petua Kosinus
Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila diberi:-
Dua sisi dan satu sudut kandung
a2 = b2 + c2 – 2bc kos a
b2 = a2 + c2 – 2ac kos b
c2 = a2 + b2 – 2ab kos c
Tiga sisi
kos A = b2 + c2 – a2
2bc
kos B = a2 + c2 – b2
2ac
KATA KUNCI
Trigonometri, sudut majmuk, sudut tirus, identiti asas, sinus, kosinus, kotangen, sudut rujukan.
a
=
b
=
c
Sin A Sin B Sin C
kos C = a2 + b2 – c2
2ab
Matematik Asas|230
1. Buktikan bahawa
θ kos 1
2kosθ -1
θsin
1 θ kos 3θ kos 22
2
2. Cari satu ungkapan bagi sin 3A dalam sebutan sin A
3. Buktikan bahawa
2A kos A sin 6A kos3A sin
2A sin A sin 6A sin3A sin
= tan 5A (gunakan rumus faktor)
4. Buktikan bahawa
sin 4x + kos 4x = 1 - sin2 2x
5. Buktikan identiti berikut
2θ kos 1
2θ sin
= tan
6. Untuk nilai 0° x 360°, selesaikan persamaan berikut:
a) kos 2x = kos x
b) sin x = 2 sin (60° – x)
7. Jika tan B = 5 tan C, buktikan
tan (B + C) = 6Ckosek
Ckot 62
8. Selesaikan persamaan berikut di mana 0° 360
sin 2 + sin 3 + sin 4 = 0
Latihan Sumatif
Unit 8 Trigonometri II |231
9. Diberi sin A = 5
3 dan kos B =
25
7dengan keadaan 0 A, B 90, carikan nilai
a) tan (A + B)
b) sin (A - B)
10. Buktikan bahawa
sin22 (kot2 - tan2) = 4 kos2
11. Diberi sin = m2
1 dengan keadaan ialah sudut tirus.
a) Tunjukkan bahawa sin 2 = )2m-(4m2
1
b) Carikan nilai m jika kos 2 = m6
7
12. Buktikan identiti
sin X + kos X = 2 sin (X + Y) sin Y kos Y sin 2Y
RUJUKAN
Marzita Puteh.2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.
Marzita Puteh.2002. Matematik PermulaanSiri 1. Kuala Lumpur: Prentice Hall.
Marzita Puteh. 2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.
McGregor, C. 1994. Fundamentals of University Mathematics : Albion Publishing, Chichester
Selamat
Mencuba.
Jangan cepat
putus asa!!!
Matematik Asas|232
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 8.1
1. 30, 90, 150, 210, 270, 330
3. 70.53, 180, 289.47
4. 70.53, 180, 289.47
Latihan Formatif 8.2
2. a) 2p1 b) 2p1
p
3. a) 7
24 b)
3
1
Latihan Formatif 8.3
2. 73.2 cm2
3. 2.17 cm
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. sin 3A = 3 sin A – 4 sin3 A
6. a) x = 120, 240 b) x = 40.9, 220.9
8. = 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360
9. tan (A + B) = 44
117- sin (A – B) =
125
39-
10. m = 3
2