Upload
norlie-lieya
View
75
Download
17
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Akademik
Citation preview
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |165
UNIT PELAJARAN 7
PENGGUNAAN PEMBEZAAN
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mengira nilai hampiran sesuatu fungsi serta mengira ralat hampiran fungsi
apabila berlaku ralat pada pembolehubah tak bersandar.
2. Mengira kadar perubahan sesuatu pembolehubah apabila diketahui kadar
perubahan kuantiti yang lain tetapi berkaitan.
3. Mendapatkan halaju dan pecutan seketika sesuatu zarah pada sebarang masa
t yang diketahui persamaan gerakannya.
4. Mendapatkan titik-titik genting sesuatu fungsi.
5. Menentukan sifat titik-titik genting.
6. Melakarkan graf sesuatu lengkung.
Kalkulus Asas|166
PENGENALAN
ita telah mempelajari konsep dan teknik terbitan ataupun pembezaan dalam Unit 5 dan
Unit 6 sebelum ini. Dalam unit ini pula kita akan manfaatkan pengetahuan tersebut untuk
menyelesaikan beberapa masalah yang menggunakan konsep pembezaan dalam
kehidupan harian. Pengetahuan dalam pembezaan juga sangat penting untuk kajian lanjutan dari
segi teori ataupun penggunaannya dalam bidang matematik, fizik, kimia, kejuruteraan, biologi dan
ekonomi.
7.1 Nilai hampiran dan ralat
Kita telah bincangkan masalah terbitan sebelum ini iaitu jika π¦ = π(π₯) merupakan suatu
fungsi yang boleh dibezakan, maka terbitan pertama ππ¦
ππ₯ atau πβ²(π₯) diberikan sebagai
π β² π₯ = hadΞ΄xβ0π π₯+πΏπ₯ βπ(π₯)
πΏπ₯ (7.1)
Perhatikan bahawa π π₯+Ξ΄x βπ(π₯)
Ξ΄x tidak sekali-kali sama dengan πβ²(π₯) tetapi apabila Ξ΄x
cukup kecil, nilai bagi π π₯+Ξ΄x βπ(π₯)
Ξ΄x merupakan hampiran bagi πβ²(π₯) dan kita tulis
π π₯ + Ξ΄x β π(π₯)
Ξ΄xβ π π₯
atau π π₯ + Ξ΄x β π π₯ + πβ²(π₯)Ξ΄x (7.2)
atau Ξ΄f x β πβ²(π₯) Ξ΄x, Ξ΄x cukup kecil (7.3)
dengan Ξ΄x = π π₯ + Ξ΄x β π(π₯).
Rumus (7.2) dan (7.3) boleh digunakan untuk mencari nilai hampiran π π₯ + Ξ΄x dengan
menggunakan nilai tepat π(π₯), π β² π₯ dan πΏπ₯ iaitu tokokan kecil π(π₯)yang dihasilkan
daripada tokokan kecil π₯, seperti yang ditunjukkan dalam contoh-contoh berikut.
K
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai pembezaan (kalkulus):
http://www.meta-religion.com/Mathematics/Articles/timeline_of_calculus.htm
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |167
Contoh 7.1
Dapatkan nilai hampiran untuk 8.023
.
Penyelesaian:
Ambil π π₯ = π₯1
3 . Oleh itu π β² π₯ = 1
3π₯β
2
3 .
Nilai tambah 8.02 = 8 + 0.02. Kita padankan dengan π₯ + Ξ΄x. Oleh yang demikian,
π₯8 dan πΏπ₯ = 0.02. Gantikan ke dalam rumus (7.2) diperolehi,
π(8.02) = π 8 + 0.02 β π 8 + πβ²(8)(0.02)
iaitu 8.021
3 β 81
3 + 1
38β
2
3 0.02
Dipermudahkan lagi, kita dapat 8.02 3
β 2 + 1
12(0.02)
Oleh itu 8.02 3
β 2.0017
Contoh 7.2
Ralat sebanyak 3% berlaku dalam mengukur jejari sebuah bulatan. Berapakah peratus ralat
bagi luas yang dihasilkan daripada ukuran ini?
Penyelesaian:
Katakan jejari bulatan ialah r.
Luas bulatan ialah π΄ = ππ2. π΄β² = 2ππ.
Misalkan ralat ukuran jejari ialah πΏπ, maka πΏπ
π=
3
100.
Dari (7.3) ralat bagi luas πΏπ΄ β π΄β² π πΏπ = 2πππΏπ.
πΏπ΄
π΄β
2πππΏπ
π΄=
2πππΏπ
ππ2= 2
πΏπ
π .
Oleh itu, ralat bagi luas bulatan itu ialah πΏπ΄
π΄x 100% = 2
πΏπ
πx 100% = 6%.
Kalkulus Asas|168
1. Gunakan terbitan untuk mendapatkan nilai hampiran bagi:
a) 29 b) 32.21 c) 533
d) 97.14
2. Jika tan π₯ = 1 + tan π¦, cari ππ¦
ππ₯ dalam sebutan π₯ dan π¦. Oleh yang demikian, tunjukkan
bahawa apabila π₯ = 1
4π₯ + πΏπ₯, maka π¦ β π¦β + 2πΏπ₯, dengan π¦β ialah nilai π¦ ketika
π₯ = 1
4π.
3. Sebuah silinder bulat tertutup, tinggi 16 cm dan jejari r cm, mempunyai jumlah luas
permukaan π΄ cm2. Buktikan bahawa ππ΄
ππ = 4π π + 8 . Dengan menggunakan hasil ini
dan mengekalkan ketinggian silinder, dapatkan hampiran untuk tambahan luas apabila
jejari bertambah dari 4 cm ke 4.02 cm.
4. Fungsi π¦ ditakrifkan sebagai π¦ = 3π₯ β 2π₯2. Tuliskan terbitannya dan tunjukkan bahawa
apabila π₯ = 5, satu tambahan kecil dalam π₯ sebanyak π% menyebabkan tambahan
dalam π¦ sebanyak 1
17π%.
5. Sebuah belon berbentuk sfera dengan jejari 9 cm ditiup supaya jejari bertambah sebanyak
0.17 cm. Dapatkan hampiran peratus perubahan luas dan isi padu.
7.2 Kadar Perubahan
Kita telah pelajari bahawa terbitan pertama atau ππ¦/ππ₯ bagi lengkungan π¦ = π(π₯)
merupakan kecerunan tangen, dan ini dikatakan juga sebagai kadar perubahan π¦ terhadap
π₯.
Contoh-contoh yang berkaitan dengan kadar perubahan diberikan seperti berikut:
a) ππ
ππ ialah kadar perubahan isipadu π terhadap jejari π.
Latihan Formatif 7.1
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |169
b) ππ
ππ‘ialah kadar perubahan berat π terhadap masa π‘.
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ‘Γ·
ππ₯
ππ‘ =
kadar perubahan bagi π¦
kadar perubahan bagi π₯
Contoh 7.3
Anggap bahawa minyak yang tumpah daripada sebuah tangki yang bocor merebak dalam
bulatan dengan jejari menokok pada kadar 2 m/s. Secepat manakah tumpahan minyak itu
menyebar sesaat ketika jejari tumpahan itu 50 m.
Penyelesaian:
Rajah 7.1
Misalkan π‘ = masa (dalam saat) berlalu ketika minyak tumpah
π = jejari tumpahan dalam meter setelah π‘ saat
π΄ = luas tumpahan dalam meter persegi setelah π‘ saat
Untuk setiap ketika:
Kadar jejari menokok terhadap masa ialah ππ
ππ‘,
Kadar luas menokok terhadap masa ialah ππ΄
ππ‘.
Kita ingin mencari kadar luas tumpahan menokok pada ketika π = 50, iaitu ππ΄
ππ‘ π = 50 .
Diberi jejari menokok dengan kadar malar 3 m sesaaat, ππ
ππ‘= 3, untuk semua π‘.
TUMPAHAN MINYAK
Kalkulus Asas|170
Luas bulatan ialah π΄ = ππ2, maka ππ΄
ππ= 2ππ dan dari rumus
ππ΄
ππ‘=
ππ΄
ππ .
ππ
ππ‘
= 2ππ ππ
ππ‘
= 2ππ 3 = 6ππ
Oleh itu, apabila π = 50 luas tumpahan menokok pada kadar
ππ΄
ππ‘| = 6π 50 = 300 π β 943 m2 sesaat.
Contoh 7.4
Misalkan sejenis cecair akan ditapis dari endapan dengan menuangkannya ke dalam
penapis yang berbentuk kon. Diketahui bahawa tinggi kon ialah 15 cm dan jejari tapak kon
ialah 5 cm. Jika kadar cecair tertapis ialah 3 cm3 seminit, berapa cepat kedalaman cecair
menyusut ketika aras cecair ialah 9 cm tinggi.
Penyelesaian:
5 cm
Rajah 7.2
Misalkan t = masa berlalu daripada cerapan pertama (min)
π = isipadu cecair dalam kon pada ketika t (cm3)
π¦ = kedalaman cecair dalam kon pada ketika t (cm)
π₯ = jejari permukaan cecair pada masa t (cm)
π = 50
penapis
π₯
π¦
15 cm
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |171
Untuk setiap ketika:
Kadar isi padu cecair berubah ialah ππ
ππ‘,
Kadar kedalaman cecair berubah ialah ππ¦
ππ‘.
Kita perlu cari kadar kedalaman berubah pada ketika kedalaman ialah π¦ = 9 cm, iaitu
ππ¦
ππ‘ π¦ = 9
Isi padu kon ialah π = 1
3ππ₯2π¦.
Dari Rajah 7.2, π₯
π¦=
5
15 atau π₯ =
1
3π¦. Dengan demikian
π = π
27π¦3
Dengan membezakan terhadap π‘: ππ
ππ‘=
π
27(3π¦2 ππ¦
ππ‘)
atau ππ¦
ππ‘=
9
ππ¦2
ππ
ππ‘
Oleh kerana isi padu cecair menyusut pada kadar malar 3 cm3 seminit, maka ππ
ππ‘= β3,
dan
ππ¦
ππ‘| =
9
π 9 2 (β3)
= β1
3π β β0.11 cm seminit
Oleh itu, ketika y= 9 cm, kedalaman cecair menyusut pada kadar kira-kira 0.11 cm seminit
(tanda negatif bermaksud kedalaman air menyusut).
π¦ = 9
Kalkulus Asas|172
1. π΄ ialah luas sebuah segi empat sama dengan panjang sisi π₯, dan dianggap π₯ berubah
menurut masa.
a) Bagaimana ππ΄
ππ‘ dan
ππ₯
ππ‘ berkaitan?
b) Jika pada suatu ketika panjang sisi ialah 3 m dan menokok dengan kadar 2 m
seminit, maka secepat manakah luas menokok pada ketika itu?
2. π merupakan isi padu sebuah silinder dengan ketinggian π dan jejari π, dan dianggap π
dan π berubah mengikut masa.
a) Bagaimanakah ππ
ππ‘,ππ
ππ‘ dan
ππ
ππ‘ berkaitan?
b) Pada suatu ketika ketinggian silinder ialah 6 m dan menokok dengan kadar 1
m seminit, manakala panjang jejari 10 cm dan menyusut dengan kadar 1 cm
sesaat. Secepat manakah isi padu berubah pada ketika ini? Adakah isi padu
menokok atau menyusut pada ketika ini?
3. Rajah 7.3 menunjukkan sebatang tangga yang tersandar pada dinding tegak. Hujung
bahagian bawah terletak di atas tanah mendatar. Tangga dengan panjang 9 m ini
menggelongsor dengan hujung bawah bergerak pada kadar 1 m sesaat. Berapa cepatkah
hujung atas menuruni dinding ketika tangga berada 3 m dari dinding.
4. Seorang yang tingginya 2 m berjalan dengan kadar 1 m sesaat mendekati sebuah lampu
di jalan yang berada di atas tiang yang setinggi 10 m.
a) Berapakah kadar susutan panjang bayangnya?
b) Berapakah kadar susutan hujung bayangnya bergerak apabila dia berada
sejauh 6 m dari tiang lampu tersebut?
TANAH DATAR
Rajah 7.3
Latihan Formatif 7.2
1 msβ1
DINDING TANGGA
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |173
7.3 Gerakan pada Satu Garis Lurus
Satu pencapaian yang besar dalam bidang matematik pada abad ke-17 ialah kejayaan
untuk memperihalkan gerakan secara matematik. Kalkulus telah menemukan jawapan untuk
tujuan ini. Penggabungan dengan ilmu fizik membawa kepada pemahaman yang lebih baik
dalam banyak bidang sains dan teknologi.
Setiap jasad mempunyai bentuk dan ukuran masing-masing. Jasad ini ketika bergerak boleh
berputar pada lintasannya dalam ruang. Namun demikian kita akan permudahkan
keperihalan gerakan seperti ini dengan menganggap jasad itu sebagai sebutir zarah. Secara
matematik, sebutir zarah merupakan satu titik geometri, dan kita boleh abaikan semua sifat
jasad itu kecuali gerakannya di sepanjang suatu lintasan. Kebanyakan jasad nyata, seperti
bintang, planet, roket, bola dan atom, diperlakukan sedemikian itu. Gerakan paling
sederhana yang boleh kita kaji ialah gerakan dalam garis lurus. Anjakan bagi sebutir zarah
ialah suatu kuantiti vektor dengan jarak diukur dari suatu titik atau asalan. Dalam Rajah 7.4
berikut lintasan gerakan ialah sepanjang paksi-x. Titik A mempunyai anjakan xA= 3 dari
asalan O, dan titik B mempunyai anjakan xB = -2 meter dari asalan O.
B 0 A
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x, meter
Rajah 7.4
Tanda negatif pada xB = -2 merupakan bahagian penting bagi nilai anjakan. Halaju bagi
sebiji zarah merupakan kadar anjakan berubah menurut masa. Ketika zarah itu bergerak di
sepanjang paksi βπ₯, jika anjakannya π₯ ditentukan pada setiap ketika bagi masa π‘, maka kita
dapat menulis anjakan itu sebagai suatu fungsi yang boleh dibezakan terhadap masa,
π₯ = π₯ π‘ dengan π‘ β₯ 0
Halaju seketika π£ bagi sebutir zarah ialah terbitan ππ₯
ππ‘, iaitu
π£ = ππ₯
ππ‘, dengan π₯ merupakan anjakan dan π‘ ialah masa.
Kalkulus Asas|174
Halaju seketika ialah halaju zarah pada sebarang ketika bagi masa, dan tanda (positif atau
negatif) bagi halaju ini merupakan arah untuk gerakan di sepanjang suatu garisan lurus.
Gerakan ke kanan adalah positif dan gerakan ke kiri ialah negatif.
Contoh 7.5
Misalkan sebutir zarah π bergerak di sepanjang paksi βπ₯ diberikan oleh persamaan
π₯ π‘ = π‘2 β 4π‘ + 2
a) Dengan t diukur dalam saat dan π₯(π‘) dalam meter saat. Huraikan gerakan π dalam
tempoh 0 β€ π‘ β€ 5.
b) Cari pecutan bagi zarah tersebut.
Penyelesaian:
a) π£ = ππ₯
ππ‘= 2π‘ β 4 .
Untuk menghuraikan gerakan zarah itu kita buat jadual berikut:
Masa, π‘ (s) 0 1 2 3 4 5
Anjakan, π₯ (m) 2 -1 -2 -1 2 7
Halaju , π£ ( msβ1) -4 -2 0 2 4 6
Pada awal gerakan, apabila π‘ = 0 s, zarah berada di π₯ = 2 dan bergerak ke kiri dengan
kadar 4 ms-1.
Ketika π‘ = 1 s, zarah berada di π₯ = β1 m. Zarah masih bergerak ke kiri tetapi perlahan
dengan kadar 2 msβ1.
Ketika π‘ = 2 s, zarah berada di π₯ = β2 m dan berhenti. Zarah sudah sampai kepada
penghujung gerakan ke kiri dan mula bergerak dengan arah terbalik iaitu ke kanan.
Ketika π‘ = 3 s, zarah berada pada π₯ = β1 m dan kini bergerak ke kanan dengan kadar
2 ms-1.
Ketika π‘ = 4 s, zarah kembali ke π₯ = 2 m dan bergerak ke kanan dengan kadar 4 ms-1.
Ketika π‘ = 5 s, zarah bergerak ke kanan sehingga ke π₯ = 7 m dengan kadar 6 ms-1.
Ketika π‘ menokok, zarah terus bergerak ke kanan, halaju menokok dengan kadar 2 ms-1
pada setiap saat yang berturutan. Apabila halaju bagi sebuah jasad yang bergerak berubah
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |175
dalam magnitud atau arah kedua-duanya, jasad itu dikatakan memecut. Pecutan sebutir
zarah ditakrifkan sebagai terbitan bagi halaju terhadap masa.
Pecutan π = ππ£
ππ‘, dengan π£ merupakan halaju, dan π‘ ialah masa.
Untuk gerakan dalam garis lurus, π£ = ππ₯
ππ‘. Oleh itu, pecutan merupakan terbitan kedua bagi
anjakan terhadap masa π‘,
π =π
ππ‘
ππ₯
ππ‘ =
π2π₯
ππ‘2
Unit terbitan ππ£
ππ‘ ialah ms-2.
b) Dapatkan persamaan bagi halaju
π£ = ππ₯
ππ‘
= 2π‘ β 4
Seterusnya, dapatkan pecutan
π = ππ£
ππ‘=
π
ππ‘ 2π‘ β 4 = 2
= 2 ms-2
Kita dapati halaju menokok 2 msβ1 dalam setiap saat.
Contoh 7.6
Sebutir batu dilontarkan tegak ke atas dari sebuah bukit 10 m di atas permukaan tanah
dengan halaju awal 23 ms-1. Setelah π‘ saat, ketinggian batu dari tanah diberikan oleh
π = β5π‘2 + 23π‘ + 10
a) Cari masa untuk batu sampai ke kedudukan tertinggi dari tanah?
b) Berapakah ketinggian maksimum yang dicapai?
c) Cari masa batu untuk mengenai tanah?
Kalkulus Asas|176
Penyelesaian:
Rajah 7.5
Anjakan, π = β5π‘2 + 23π‘ + 10
Halaju, π£ = ππ
ππ‘= β10π‘ + 23
a) Pada kedudukan puncak, π£ = 0; maka
β10π‘ + 23 = 0
π‘ =23
10= 2.3
b) Ketinggian maksimum dicapai dalam masa 2.3 s, oleh itu
π = β5 2.3 2 + 23 2.3 + 10
= 36.45 m
c) Ketika di tanah,
π = 0
β5π‘2 + 23π‘ + 10 = 0
5π‘ + 2 π‘ β 5 = 0
Dipilih nilai π‘ positif sahaja, iaitu π‘ = 5. Masa batu mengenai tanah ialah 5 saat setelah
loncatan.
10 m
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |177
1. Sebutir zarah bergerak di sepanjang garis lurus mengikut persamaan
π =1
2π‘2 +
4π‘
π‘+1.
dengan π merupakan jarak zarah dari asalan pada masa π‘. Jika halaju ialah π cm π β1
dan pecutan ialah π cm π β2 pada masa π‘ saat, cari π‘, π dan π apabila π = 0.
2. Sebutir zarah π bergerak di sepanjang paksi βπ₯, sehingga pada ketika π‘, anjakannya π₯ ,
dari asalan diberikan oleh π₯ = kos ππ‘, dengan π dan π merupakan pemalar. Buktikan
bahawa, jika pada ketika π‘, halaju π ialah π£, dan pecutan ialah π, maka
i) π£2 = π2(π2β π₯2)
ii) π = βπ2
Buktikan bahawa pada ketika π‘ +2π
π, anjakan, halaju dan pecutan π itu sama adalah
seperti π‘.
7.4 Kecerunan lengkung pada satu titik
Kecerunan di sebarang titik ditakrifkan sebagai kecerunan garis tangen pada lengkung di
titik tersebut. Sila lihat Rajah 7.6 berikut:
Rajah 7.6
Latihan Formatif 7.3
π¦
π₯
O
π΅
π΄
π
π
π¦ = π(π₯)
Kalkulus Asas|178
Andaikan ππ ialah garisan tangen pada lengkung di titik π. Katakan titik π bergerak di
sepanjang lengkung π΄π΅. Kita akan dapati, apabila π bergerak dari π΄ ke π΅, garis tangen
pada lengkung itu juga turut berubah. Dengan perkataan lain, kecerunan garis tangen pada
lengkung juga turut berubah dan boleh diperolehi dengan menggantikan koordinat titik itu
dalam ππ¦
ππ₯ atau πβ²(π₯).
Contoh 7.7
Dapatkan kecerunan lengkung π¦ = π₯3 + 18π₯ β 3 di titik (4,12).
Penyelesaian:
π¦ = π₯3 + 18π₯ β 3
ππ¦
ππ₯= 3π₯2 + 18
Apabila π₯ =4 , 3(4)2 + 18 = 66
Oleh yang demikian kecerunan lengkung π¦ = π₯3 + 18π₯ β 3 di titik (4, 12) ialah 66.
7.4.1 Persamaan Garis Tangen pada Lengkung
Persamaan tangen pada suatu lengkung di suatu titik ditakrifkan sebagai persamaan garis
lurus yang menyentuh hanya pada di satu titik pada lengkung tersebut. Untuk mendapatkan
persamaan garis tangen pada lengkung di titik tertentu, kita perlu dapatkan kecerunan garis
tangen pada lengkung tersebut.
Rajah 7.7
π΄
Normal
Tangen
π¦ = π(π₯)
π₯
π¦
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |179
Contoh 7.8
Cari persamaan garis tangen pada parabola π¦ = 2π₯2 β 7π₯ + 2, di titik (2, -2).
Penyelesaian:
π¦ = 2π₯2 β 7π₯ + 2
ππ¦
ππ₯= 4π₯ β 7
Kecerunan lengkung di π₯ = 2 ialah
ππ¦
ππ₯ π₯ = 2 = 4 2 β 7 = 1
Jadi kecerunan garis tangen pada lengkung di π₯ = 2 ialah 1. Apabila π₯ = 2, nilai π¦ =
2(2)2 β 7 2 + 2 = β4. Dengan menggunakan rumus persamaan rumus garis lurus, kita
akan perolehi persamaan garis tangen pada lengkung π¦ = 2π₯2 β 7π₯ + 2 di titik (2,-2),
iaitu
π¦ β π = π(π₯ β π)
π¦ β (β2) = 1(π₯ β 2)
π¦ = π₯ β 4
Contoh 7.9
Cari persamaan tangen di titik (1,2) pada elips 2π₯2 + 3π¦2 = 36.
Penyelesaian:
2π₯2 + 3π¦2 = 36
Bezakan persamaan secara tersirat terhadap π₯, 4π₯ + 6π¦ππ¦
ππ₯= 0
ππ¦
ππ₯= β
4π₯
6π¦
Oleh itu kecerunan tangen di titik (1,2) ialah β4
12 atau β
1
3.
Persamaan tangen di (1,2) ialah
π¦ β 2 = β1
3(π₯ β 1)
Kalkulus Asas|180
atau π₯ + 3π¦ = 7
Contoh 7.10
Titik π΄(4,1) terletak pada garis yang mempunyai persamaan 3π₯ β 4π¦ β 8 = 0. Suatu
bulatan menyentuh garis ini di π΄ dan melalui titik B(5,3). Cari persamaan bulatan ini, dan
tunjukkan bahawa bulatan menyentuh paksi βπ¦.
Penyelesaian:
3
Rajah 7.8
Misalkan persamaan bulatan itu ialah
π₯2 + π¦2 + 2ππ₯ + 2ππ¦ + π = 0 (1)
Di titik π΄(4,1) 8π + 2π + π + 17 = 0 (2)
Di titik π΅(5,3) 10π + 6π + π + 34 = 0 (3)
Bezakan (1) terhadap π₯, kita dapatkan
ππ¦
ππ₯= β
π₯+π
1+π (4)
Di titik π΄(4,1) bulatan menyentuh garis 3π₯ β 4π¦ β 8 = 0. Ini bererti kecerunan tangen dan
garis di π΄ adalah sama. Oleh yang demikian, ππ¦
ππ₯=
3
4.
Selanjutnya dari (4) ππ¦
ππ₯= β
4+π
1+π=
3
4
4π + 3π + 19 = 0 (5)
(3)-(2) 2π + 4π + 17 = 0 (6)
(5)-2 x (6) β5π β 15 = 0, π = β3
Seterusnya, π = β5
2
π₯
π¦
π΅
π΄
3π₯ β 4π¦ β 8
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |181
π = 9
Dari (1) persamaan bulatan ialah π₯2 + π¦2 β 5π₯ β 6π¦ + 9 = 0
Apabila π₯=0, persamaan bulatan memberikan π¦2 β 6π¦ + 9 = 0
(π¦ β 3)2 = 0
π¦ = 3
Oleh kerana hanya terdapat satu titik persilangan di antara paksi βπ¦ dengan bulatan ini,
maka bulatan ini menyentuh paksi βπ¦.
7.4.2 Persamaan Garis Normal pada Lengkung
Persamaan garis normal pada lengkung π¦ = π(π₯) di suatu titik tertentu ditakrifkan
sebagai suatu garis lurus yang berserenjang dengan garis tangen pada lengkung di titik
yang sama. Rujuk Rajah 7.7.
Jika kecerunan garis tangen pada lengkung π¦ = π(π₯) ialah π, maka kecerunan garis
normal ialah β1
π.
Catatan: (kecerunan garis tangen) x (kecerunan garis normal) = -1
Contoh 7.11
Dapatkan persamaan garis normal pada lengkung π¦ = 3π₯3 β 2π₯2 + 3 di titik (1,3).
Penyelesaian:
π¦ = 3π₯3 β 2π₯2 + 3
ππ¦
ππ₯= 9π₯2 β 4π₯
Apabila π₯=1, π¦=3 = 9(1)2 β 4 1 = 5
Kecerunan garis normal untuk π₯=1 ialah β1
5.
Dengan menggunakan rumus persamaan garis lurus yang melalui titik (1,3), kita akan
perolehi persamaan garis normal pada π¦ = 3π₯3 β 2π₯2 + 3 di titik (1,3) iaitu
π¦ β π = π π₯ β π
Kalkulus Asas|182
π¦ β 3 = β1
5 π₯ β 1
5π¦ + π₯ = 16
Contoh 7.12
Buktikan bahawa persamaan garis normal pada hiperbola segi empat tepat π₯π¦ = π2 di titik
π ππ,π
π ialah ππ¦ β π3π₯ = π 1 β π4 . Jika normal ini menyilang hiperbola lagi di
π ππ,π
π , buktikan bahawa π = β1/π3.
Penyelesaian:
Rajah 7.9
π₯π¦ = π2 (1)
Bezakan terhadap π₯, kita dapat ππ¦
ππ₯= β
π2
π2
Di titik P(ππ,π
π)
ππ¦
ππ₯= β
1
π2
Jadi persamaan garis normal di π ialah
π¦ βπ
π= π2(π₯ β ππ)
ππ¦ β π3π₯ = π(1 β π4) (2)
Dari (1) dan (2) π π2
π β π3π₯ = π 1 β π4
O
y
x
π(ππ, π/π)
π(ππ, π/π)
π₯π¦ = π2
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |183
π3π₯2 + ππ₯ 1 β π4 β ππ2 = 0
π₯ β π π3π₯ + π = 0
π₯ = ππ atau βπ
π3
Oleh itu koordinat π₯ di π ialah βπ
π3= ππ dan seterusnya π = β
1
π3, terbukti.
1. Dapatkan kecerunan bagi setiap lengkung berikut pada titik π₯ yang dinyatakan
a) π¦ = π₯πππ 3π₯ di π₯ = π
b) π¦ = π₯3 + 2π₯2 β π₯ di π₯ = β2
c) 5 = π₯2 + 2π₯π¦ + 2π¦2 di π₯ = 1
d) π¦ = π₯ β1
π₯
3
di π₯ = 2
2. Dapatkan koordinat titik π(π₯, π¦) pada lengkungan π¦ = 3π₯2 β 8π₯ + 5 jika kecerunan
lengkung di titik tersebut ialah 4.
3. Dapatkan persamaan garis tangen dan persamaan garis normal pada setiap lengkung
yang berlaku di titik yang dinyatakan.
a) π¦ = 2π₯2 + π₯ β 1 di (1,2)
b) π¦ = π₯ β 2 π₯2 + 1 di β1, β6
c) π¦ = 2π₯2 β 9π₯ β 5 di 2, β15
d) π¦ = 2π₯ di (2,2)
7.5 Maksimum dan minimum
Bahagian ini membincangkan mengenai ujian maksimum dan minimum, nilai maksimum dan
minimum suatu fungsi dalam suatu selang dan penggunaan maksimum dan minimum
mutlak.
Latihan Formatif 7.4
Kalkulus Asas|184
7.5.1 Ujian maksimum dan minimum
Bentuk graf bagi fungsi adalah berkaitan dengan persamaan aljabar, dan daripada analisis
bagi persamaan itu kita boleh tentukan sifat- sifat graf tersebut.
Untuk sebarang dua nilai π₯, misalkan π₯1 dan π₯2 dengan π₯1<π₯2,
π(π₯) menokok jika π(π₯2)>π(π₯1).
π(π₯) menokok jika π(π₯2)<π(π₯1).
π π₯ π(π₯)
π(π₯2) π(π₯2)
π(π₯1) π(π₯1)
π₯ π₯
0 π₯1 π₯2 0 π₯1 π₯2
π(π₯2)>π(π₯1) π(π₯2)<π(π₯1)
fungsi menokok fungsi menyusut
Rajah 7.10
Tanpa memplot graf sesuatu fungsi kita boleh tentukan di mana fungsi akan menokok dan
menyusut. Jika π¦ = π(π₯) ialah fungsi yang selanjar dan boleh beza pada selang terbuka
π < π₯ < π, maka petua ini berlaku :
jika π β² π₯ > 0, maka π¦ = π(π₯) menokok pada selang π < π₯ < π
jika π β² π₯ < 0, maka π¦ = π(π₯) menyusut pada selang π < π₯ < π.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |185
Jika sesuatu fungsi menokok pada suatu selang, maka garis tangen kepada graf
mempunyai kecerunan positif di mana βmana pada selang itu (Rajah 7.11).
π¦ π¦ π¦
0 π₯ 0 π₯ 0 π₯
Fungsi menokok
Kecerunan positif di mana - mana
Rajah 7.11
Jika fungsi menyusut pada suatu selang, maka garis tangen kepada graf mempunyai
kecerunan negatif di mana- mana pada selang itu (Rajah 7.12).
π¦ π¦ π¦
0 π₯ 0 π₯ 0 π₯
Fungsi menyusut
Kecerunan negatif di mana - mana
Rajah 7.12
Kalkulus Asas|186
π¦ menokok menyusut menokok
π¦
0 π₯
Rajah 7.13
Ada kemungkinan untuk suatu fungsi menokok pada satu selang dalam domainnya dan
menyusut pada satu selang lain (Rajah 7.13).
Contoh 7.13
Gunakan ujian untuk fungsi menokok dan menyusut bagi menentukan selang - selang di
mana fungsi maka π π₯ = 6π₯ β π₯2 menokok atau menyusut.
Penyelesaian:
Mula- mula dapatkan terbitan πβ² π₯ = 6 β 2π₯.
Kemudian gunakan ujian untuk fungsi menokok,
π β² π₯ > 0 memberikan 6 β 2π₯> 0
6 > 2π₯ atau π₯< 3.
Fungsi menokok pada selang π₯< 3.
Dengan menggunakan ujian untuk fungsi menyusut,
π β² π₯ < 0 memberikan 6β 2π₯< 0
6 < 2π₯ atau π₯ > 3.
Menokok menokok
menyusut
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |187
Fungsi menyusut pada selang π₯> 3
Sebagai ilustrasi rujuk Rajah 7.14 di bawah:
π¦
ππ¦
ππ₯> 0
ππ¦
ππ₯< 0
0 π₯
menokok menyusut
Rajah 7.14
Suatu lengkung dikatakan cekung atau cembung di π jika, pada sekitar π, lengkuk terletak,
masing- masing, di atas atau di bawah garis tangen di π (Rujuk Rajah 7.15).
π¦ π¦
π
cekung
π cembung
0 πΌ π₯ 0 πΌ π₯
Rajah 7.15
3
Kalkulus Asas|188
Perhatikan lengkung berikut ini.
π¦
π¦ = π(π₯)
π(π₯o)
0 a π₯o b π₯1 π₯2 π₯
Rajah 7.16
Lakaran menunjukkan lengkung bagi π¦ = π(π₯) dengan beberapa ciri penting yang akan
kita kaji dalam bahagian ini.
Lengkung menokok di π₯ = π dan garis tangen mempunyai kecerunan positif, π β² π > 0.
Keadaan ini berterusan sehingga ke π₯ = π₯o di mana garis tangen adalah mendatar iaitu
πβ²(π₯o) = 0.
Ketika π₯o <π₯ <x1, lengkung berubah menjadi menyusut dan kecerunan garis tangen adalah
negatif, umpamanya πβ²(π)< 0.
Pada π₯ = π₯1, π(π₯1) = 0 tetapi hadπ₯βπ₯1π β²(π₯) tidak wujud, kerana kecerunan berubah
secara mendadak, iaitu
hadπ₯βπ₯1β π β² π₯ = π dan hadπ₯βπ₯1
+ π β² π₯ = π dengan π β π.
Setelah itu kecerunan lengkung berubah semula menjadi positif iaitu lengkung kembali
menokok sehingga π₯ = π₯2 di mana kecerunan lengkung sifar, iaitu π β²(π₯2) = 0. Seterusnya
kecerunan lengkung sentiasa positif.
Dari segi bentuk, lengkung adalah cembung ketika π β€ π₯ β€ π . Sementara itu lengkung
adalah cengkung di sekitar π₯ = π₯1. Selanjutnya pada π₯ = π₯2 lengkung berubah bentuk dari
cembung kepada cengkung. Titik β titik pada lengkung yang sepadan dengan π₯π , π₯1 dan π₯2
merupakan tumpuan dalam perbincangan kita.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |189
Takrif 7.1 Titik Genting
Titik ( c, π(π))pada suatu fungsi π(π₯) dikatakan titik genting jika berlaku π β² π = 0 atau
π β² π tidak wujud.
Rujuk Rajah 7.17. Menurut takrif, titikβtitik (π₯0 ,π π₯ ), π₯1,π π₯1 dan π₯2, π π₯2 pada
lengkung ialah titik-titik genting. Seterusnya π₯π , π₯1, π₯2 dikatakan nilai-nilai genting.
Perlu diketahui bahawa jikaπ β² π₯ ialah fungsi kuadratik atau peringkat lebih tinggi, maka
ada kemungkinan terdapat lebih dari satu nilai genting.Kita telah membicarakan ciri- ciri
penting untuk titik maksimum dan minimum.
Ujian Terbitan Pertama
Misalkan π¦ = π π₯ merupakan lengkung yang diberikan.
1. π β² π₯ = 0 atau tidak wujud, menghasilkan titik genting.
2. Titik genting ialah titik maksimum jika π β² π₯ berubah tanda dari positif kepada negatif
ketika π₯ menokok melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cembung (Rajah
7.17).
3. Titik genting ialah titik minimum jika π β² π₯ berubah tanda dari negatif kepada positif ketika π₯ menokok melalui titik genting. Bentuk lengkung adalah cengkung (Rajah 7.18).
π¦ π¦
π π₯π = 0 π¦ = π(π₯)
+ β + β
π¦ = πβ² π₯ π¦ = πβ²(π₯π)
0 π₯π π₯ 0 π₯π π₯
Rajah 7.17 Rajah 7.18
Kalkulus Asas|190
Contoh 7.14 Dapatkan titik-titik maksimum dan minimum bagi fungsi π¦ = π(π₯) berikut:
a) π π₯ = π₯2 β 8π₯ β 5 b) π π₯ = π₯3 β 9π₯2 + 15π₯ β 5 c) π π₯ = π₯
d) π π₯ = (1 β π₯2
3)3
2
Penyelesaian:
a) πβ² π₯ = 2π₯ β 8. Titik genting diperolehi apabilaπ β² π₯ = 0.
Dengan demikian π₯ = 4 ialah nilai genting.
Untuk π₯ < 4, π β² π₯ < 0,
Untuk π₯ > 4, π β² π₯ > 0 . .
Nilai π₯ 2 4 8
Tanda πβ²(π₯) - 0 +
Lakaran kecerunan β β β
Bentuk graf Cekung
Oleh itu titik genting (4, -21) ialah titik minimum, kerana πβ²(π₯) berubah daripada negatif
kepada positif atau graf berbentuk cekung.
b) π β² π₯ = 3π₯2 β 18π₯ + 15 = 3 π₯ β 5 (π₯ β 1).
Titik genting diperolehi apabila π β² π₯ = 0.
Dengan demikian π₯ = 1,5 merupakan nilai- nilai genting.
Apabila π₯ = 1,
Untuk π₯ > 1, π β² π₯ < 0.
Untuk π₯< 1, π β² π₯ > 0.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |191
Nilaiπ₯ 1
2 1
3
2
Tanda πβ²(π₯) + 0 -
Lakaran kecerunan β β β
Bentuk graf Cembung
Oleh kerana πβ²(π₯) berubah menjadi daripada positif kepada negatif, iaitu graf berbentuk
cembung, maka titik genting (1,2) ialah titik maksimum.
Apabila π₯ = 5,
Untuk π₯ < 5, π β² π₯ < 0.
Untuk π₯ > 5, π β² π₯ > 0.
Nilaiπ₯ 2 5 7
Tanda πβ²(π₯) - 0 +
Lakaran kecerunan β β β
Bentuk graf Cekung
Oleh kerana πβ²(π₯) berubah dari negatif ke positif, iaitu graf berbentuk cekung, maka titik
genting (5,-30) ialah titik minimum.
c) Untuk π π₯ = π₯, untuk π₯ > 0 0, untuk π₯ = 0
βπ₯, untuk π₯ < 0
π π₯ tidak wujud di π₯ = 0, sebab πβ²(π₯) untuk π₯ > 0 dan π β² π₯ = β1 untuk π₯ < 0.
Dengan demikian π₯ = 0 ialah titik genting.
Untuk π₯ < 0,π β² π₯ < 0.
Untuk π₯ > 0, π β² π₯ > 0.
Kalkulus Asas|192
Nilaiπ₯ β 1
2 0
1
2
Tanda πβ²(π₯) - ? +
Lakaran kecerunan β ? β
Bentuk graf Cekung
Oleh kerana πβ²(π₯) berubah daripada negatif kepada positif, iaitu graf berbentuk cekung, titik
genting (0,0) ialah titik minimum.
π¦ = (1 β π₯23)
32
Rajah 7.19
d) π π₯ = (1 β π₯2
3)3
2
Untuk graf fungsi ini sila rujuk Rajah 7.19
π β² π₯ = β 1 β π₯2
3
1
2π₯β
1
3 tidak wujud di π₯ = 0, sebab kecerunan tidak sama di
sebelah kiri dan sebelah kanan π₯ = 0.
Dengan demikian π₯ = 0 ialah titik genting.
Untuk π₯ < 0, π β² π₯ > 0.
Untuk π₯ > 0, π β² π₯ < 0.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |193
Nilaiπ₯ β1
2 0
1
2
Tanda πβ²(π₯) + 0 -
Lakaran kecerunan β β β
Bentuk graf Cembung
Oleh keranaπβ²(π₯) berubah daripada positif kepada negatif, iaitu graf berbentuk cembung,
titik genting (0,1) ialah titik maksimum.
Nilai maksimum mutlak bagi suatu fungsi ialah titik di mana nilai terbesar bagi fungsi
dicapai untuk seluruh domain fungsi tersebut. Sebaliknya, nilai minimum mutlak bagi suatu
fungsi ialah titik di mana nilai terkecil bagi fungsi dicapai untuk seluruh domain fungsi. Graf
bagi seluruh domain fungsi merupakan lengkung di mana fungsi tersebut tertakrif.
π¦ π¦
titik maksimum mutlak π¦ = π(π₯)
π¦ = π π₯ titik minimum mutlak
0 π₯ 0 π₯
Rajah 7.20
Nilai maksimum relatif atau maksimum setempat, bagi suatu fungsi berlaku di mana fungsi
itu mempunyai suatu nilai yang terbesar daripada sebarang titik berjiranan (umpamanya
selang terbuka). Nilai minimum relatif atau minimum setempat, bagi suatu fungsi berlaku di
mana fungsi itu mempunyai suatu nilai yang terkecil daripada sebarang titik berjiranan. Nilai
maksimum atau minimum sering disebut sebagai nilai- nilai ekstremum bagi fungsi tersebut.
Sebagai ilustrasi, sila lihat Rajah 7.16. Fungsi mempunyai nilai maksimum setempat di π₯π
sebab terdapat selang terbuka yang mengandungi π₯π dengan π π₯π β₯ π(π₯)
berlaku. Kita juga lihat pada selang ini lengkung cembung (lihat selang (a,b)). Namun
demikian π π₯π bukan nilai maksimum mutlak sebab π π₯π bukan nilai terbesar untuk
Kalkulus Asas|194
pada seluruh domain. Pada π₯ = π₯π , fungsi π(π₯) mempunyai kedua- dua nilai minimum
mutlak dan tempatan.
Dalam perbincangan selanjutnya, istilah maksimum dan minimum akan digunakan, masing-
masing untuk maksimum setempat dan minimum setempat. Suatu fungsi mempunyai suatu
maksimum tempatan apabila lengkung cembung dengan satu garis tangen mendatar di
sebelah atas, dan suatu fungsi mempunyai suatu minimum setempat apabila lengkung
cekung dengan satu garis tangen mendatar di sebelah bawah ( Rajah 7.17 dan Rajah 7.18)
Pengetahuan ini cuba dikaitkan dengan pembezaan. Jika π¦ = π(π₯) mewakili suatu fungsi,
maka terbitan kedua ialah
π β²β² = hadπΏπ₯βπ
π β² π₯ + πΏπ₯ β πβ²(π₯)
πΏπ₯
= had πΏπ₯βππ β² π₯ βπ β²(π₯βπΏπ₯ )
πΏπ₯
Jika π₯ = π₯π ialah nilai genting dan graf cembung, kecerunan di jiranan π₯ = π₯π berubah
daripada positif kepada negatif maka
π β²β² = hadπΏπ₯βπ
π β² π₯π β πβ²(π₯π β πΏπ₯)
πΏπ₯
= had πΏπ₯βπ0βπππππ (+)
πΏπ₯
= nilai (-)
Begitu juga,
π β²β² = hadπΏπ₯βπ
π β² π₯π + πΏπ₯ β πβ²(π₯π)
πΏπ₯
= had πΏπ₯βππππππ β β0
πΏπ₯
= nilai (-)
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |195
Oleh yang demikian π"(π₯π) < 0.
Kesimpulannya bahawa lengkung π¦ = π(π₯), untuk π₯ sekitar π₯π , berbentuk cembung jika
π"(π₯) < 0.
π β²β² π₯ < 0
cembung
πβ π₯ > 0
cekung
π₯
maksimum minimum tempatan tempatan
Rajah 7.21
Sebaliknya, jika π₯ = π₯π ialah nilai genting, graf cekung, kecerunan pada kejiranan
π₯ = π₯π berubah daripada negatif kepada positif maka
π β²β² = hadπΏπ₯βπ
π β² π₯π β πβ²(π₯π β πΏπ₯)
πΏπ₯
= had πΏπ₯βπ0βπππππ (β)
πΏπ₯
= nilai (+)
Begitu juga,
π β²β² = hadπΏπ₯βπ
π β² π₯π + πΏπ₯ β πβ²(π₯π)
πΏπ₯
= had πΏπ₯βππππππ + β0
πΏπ₯
= nilai (+)
Oleh yang demikian π"(π₯π) > 0.
Kalkulus Asas|196
Kita ambil kesimpulan bahawa lengkung π¦ = π(π₯), untuk π₯ sekitar π₯π , berbentuk cekung
jika π"(π₯π) > 0.
Kita ringkaskan maklumat tadi seperti berikut:
Ujian Terbitan Kedua
Katakan lengkung π¦ = π(π₯) mempunyai nilai genting di π₯ = π₯π .
1. Jika π"(π₯π) < 0, graf berbentuk cembung dan π(π₯) mempunyai nilai maksimum
pada π₯ = π₯π .
2. Jika π"(π₯π) > 0, graf berbentuk cekung dan π π₯ mempunyai nilai minimum
di π₯ = π₯π .
3. Jika π"(π₯π) = 0, atau tidak wujud, ujian terbitan kedua gagal dan ujian terbitan
pertama mesti digunakan untuk menentukan sifat graf tadi pada π₯ = π₯π .
Contoh 7.15
Tentukan sebarang nilai maksimum dan minimum bagi π π₯ =1
3π₯3 β 2π₯2 β 5π₯ + 7.
Penyelesaian:
πβ² π₯ = 0, iaitu π₯2 β 4π₯ β 5 = π₯ + 1 π₯ β 5 = 0, menghasilkan nilai-nilai genting π₯ = β1,5.
Dengan ujian terbitan kedua,
π"(π₯) = 2π₯ β 4
π"(π₯) < 0 untuk π₯ pada sekitar π₯ = 1 .
π 1 =1
3
Jadi π(π₯) mempunyai nilai maksimum 1
3 ketika π₯ = 1.
π"(π₯) > 0 untuk π₯ pada sekitar π₯ = 3.
π 3 = β17
Jadi π(π₯) mempunyai nilai minimum -17 ketika π₯ = 3 .
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |197
Nilaiπ₯ 1
2 1
5
2
Tanda πβ²(π₯) + 0 -
Lakaran kecerunan β β β
Tanda π"(π₯) - - -
Bentuk graf cembung
Nilai π₯ 3
2 3
9
2
Tanda πβ²(π₯) - 0 +
Lakaran kecerunan β β β
Tanda π"(π₯) + + +
Bentuk graf Cekung
Contoh 7.16
Dapatkan titik maksimum dan minimum bagi fungsi π π₯ = 2 sin π₯ + πππ 2π₯.
Penyelesaian:
Oleh kerana fungsi ini berkala dengan kalaan 2π, maka cukuplah jika dikaji hanya dalam
selang 0 β€ π₯ β€ 2π.
Terbitan pertama
π β² π₯ = 2 kos π₯ β 2 sin 2π₯
= 2(kos π₯ β 2 sinπ₯ kos π₯)
= 2 kos π₯(1 β 2 sin π₯)
Kalkulus Asas|198
Apabila π π₯ = 0, iaitu 2kosπ₯(1 β 2 sin π₯) = 0, memberikan π₯ =π
6,π
2,
5π
6,
2π
2 sebagai
nilai- nilai genting.
π¦ = 2 sin π₯ + πππ 2π₯
βπ
2
π
6
π
2
5π
6 π
3π
2 2π
Rajah 7.22
Dengan ujian terbitan kedua,
π"(π₯) = β2π πππ₯ β 4πππ 2π₯ = β2(π πππ₯ + 2πππ 2π₯)
Di π₯ =π
6, π"(
π
6) = β2(
1
2) β 4(
1
2) = β3 < 0
π(π
6) = 2(
1
2) +
1
2=
3
2.
Jadi (π
6,
3
2) ialah titik maksimum.
Di π₯ =π
2, πβ
π
2 = β2 1 β 4 β1 = 2 > 0
π π
2 = 2 1 β 1 = 1
Jadi (π
2, 1) ialah titik minimum.
Di π₯ =π
2, πβ
5π
6 = β2
1
2 β 4
1
2 = β3 < 0
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |199
π 5π
6 = 2
1
2 +
1
2= (
3
2)
Jadi 5π
6,
3
2 ialah titik maksimum.
Di π₯ =3π
2, πβ
3π
2 = β2 β1 β 4 β1 = 6 > 0
π 3π
2 = 2 β1 β 1 = β3
Jadi 3π
2, β3 ialah titik minimum.
Sekarang kita kaji keadaan di mana nilai genting di π₯ = π₯π mempunyai sifat π"(π₯π) = 0.
Jika hal ini terjadi maka terdapat tiga kemungkinan bagi titik berkenaan :
i) Titik maksimum
ii) Titik minimum
iii) Titik lengkok balas
Apabila π"(π₯π) = 0, titik genting sama ada maksimum atau minimum boleh ditentukan
dengan merujuk kembali kepada kaedah ujian pertama seperti dalam Contoh 7.19. Rajah
7.23 dan Rajah 7.24 berikut mengilustrasikan dua kes pertama di atas.
π¦ = 1 β π₯4 π¦ = π₯6
Rajah 7.23 Rajah 7.24
Kalkulus Asas|200
Contoh 7.17
Uji fungsi - fungsi berikut untuk maksimum dan minimum :
a) π π₯ = 1 β π₯4
b) π π₯ = π₯6
Penyelesaian:
a) π β² π₯ = β4π₯3. Apabila π β² π₯ = 0, maka π₯ = 0.
π"(π₯) = β12π₯2. Apabila π₯ = 0, maka π"(π₯) = 0. Ujian gagal.
Untuk π₯ < 0, π β² π₯ > 0 .
Untuk π₯ > 0, π β² π₯ < 0 .
Nilaiπ₯ β1
2 0
1
2
Tanda πβ²(π₯) + 0 -
Lakaran kecerunan β β β
Tanda graf π"(π₯) - 0 -
Bentuk graf cembung
Oleh yang demikian di π₯ = 0 fungsi maksimum, iaitu π 0 = 1.
b) Dengan ujian terbitan kedua :
i) π β² π₯ = 6π₯5, π β² π₯ = 6π₯5 = 0, π₯ = 0
ii) π"(π₯) = 30π₯4, π"(π₯) = 0.
Jadi kaedah ujian ini tidak menghasilkan sebarang keputusan.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |201
Nilaiπ₯ β1
2 0
1
2
Tanda πβ²(π₯) - 0 +
Lakaran kecerunan β β β
Tanda graf πβ(π₯) + 0 +
Bentuk graf Cekung
Dengan ujian terbitan pertama,
Untuk π₯ < 0, π β² π₯ < 0,
Untuk π₯ > 0, π β² π₯ > 0,
jadi di π₯ = 0 fungsi minimum, iaitu π 0 = 0.
Dalam Rajah 7.25, terdapat tiga keadaan apabila titik lengkuk balas wujud iaitu;
i) π π₯π = π, π β² π₯π = 0, π"(π₯) = 0, π₯π merupakan nilai genting.
ii) π π₯π = π, π β² π₯π β 0, π"(π₯) = 0, π₯π bukan nilai genting.
iii) π π₯π = π, π β² π₯π tidak tertakrif, π"(π₯) tidak tertakrif.
π¦ π¦ π¦
π¦ = π π₯ π¦ = π π₯ π¦ = π(π₯)
π π₯π = πΌ π π₯π = πΌ π π₯π = πΌ
πβ² π₯π = 0 πβ² π₯π β 0 π β² π₯π tidak tertakrif
π" π₯π = 0 π" π₯π = 0 π"(π₯π) tidak tertakrif
Rajah 7.25
Kalkulus Asas|202
Jika diperhatikan jadual dari beberapa contoh sebelum ini, nampak bahawa di sekitar nilai
minimum atau maksimum, iaitu π(π₯) cekung atau cembung, tanda bagi π"(π₯) tidak
berubah. Tetapi dalam tiga keadaan dalam Rajah 7.25, di π₯ = π₯πkecembungan atau
kecekungan saling bertukar, dan juga dapat kita lihat bahawa lengkung menyilang garis
tangen. Jadi suatu titik lengkok balas bukan suatu titik maksimum atau minimum.
Seterusnya, perubahan kecembungan atau kecekungan di suatu titik pada lengkung
merupakan perubahan tanda bagi π"(π₯) di titik itu ( Rujuk perbincangan terdahulu dalam
mendapatkan ujian terbitan kedua).
Takrif 7.2 Titik Lengkok Balas
Titik yang memisahkan bahagian cembung dengan bahagian cekung bagi suatu lengkung
selanjar disebut titik lengkok balas.
Seterusnya, dari takrif dan perbincangan sebelum ini, kita dapatkan ;
Teorem 7.1
Misalkan suatu lengkung ditakrifkan oleh π¦ = π(π₯). Jika π"(π₯π) = 0 atau π"(π₯π) tidak
wujud dan jika terbitan π"(π₯) berubah tanda ketika melalui π₯ = π₯π , maka titik (π₯π , π(π₯π))
pada lengkung merupakan titik lengkok balas.
Contoh 7.18
Uji untuk maksimum dan minimum bagi fungsi π π₯ = (π₯ β 1)3.
Penyelesaian:
Dengan kaedah ujian kedua kita dapati:
πβ² π₯ = 3(π₯ β 1)2.
Apabila πβ²(π₯) = 0, maka π₯ = 1 ialah nilai genting.
π"(π₯) = 6(π₯ β 1)
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |203
Apabila π₯ = 1, maka π"(1) = 0.
π¦ = (π₯ β 1)3
Rajah 7.26
Oleh yang demikian kaedah ujian terbitan kedua tidak menghasilkan apa- apa.
Dengan ujian terbitan pertama,
Untuk π₯ < 1, π β² π₯ > 0,
Untuk π₯ > 1, π β² π₯ > 0.
Nilaiπ₯ 1
2 0
3
2
Tanda πβ²(π₯) + 0 +
Lakaran kecerunan β β β
Tanda π"(π₯) - 0 +
Bentuk graf Cembung Cekung
Selanjutnya, dari jadual didapati π"(π₯) berubah tanda dan terdapat perubahan
kecembungan atau kecekungan di sekitar π₯ = 1, dan lengkung menyilang garis tangen
(paksi -π₯) di titik (1,0), maka titik (1, 0) merupakan titik lengkok balas.
Kalkulus Asas|204
Contoh 7.19
Tunjukkan bahawa fungsi π π₯ = π₯4 β 4π₯3 mempunyai satu titik minimum dan dua titik
lengkok balas.
Penyelesaian:
π π₯ = π₯4 β 4π₯3
π β² π₯ = 4π₯3 β 12π₯2 = 4π₯2 π₯ β 3 = 0
π"(π₯) = 12π₯2 β 24π₯ = 12π₯(π₯ β 2) = 0
Apabila π β² π₯ = 0, maka π₯ = 0 atau π₯ = 3 ialah nilai genting. Oleh kerana π"(3) > 0,
maka π₯ = 3 ialah nilai minimum. Oleh itu terdapat satu titik minimum di (3, 27).
π¦
π¦ = π₯4 β 4π₯3
0 π₯
(2,-16)
(3,-27)
Rajah 7.27
Tetapi π β² 0 = 0 dan π"(0) = 0 .
Dengan ujian terbitan pertama,
Untuk π₯ < 0, π β² π₯ < 0,
Untuk π₯ > 0, π β² π₯ < 0,
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |205
Dengan demikian (0,0) merupakan titik lengkok balas. Perlu diingat bahawa nilai π₯ yang
memenuhi π"(π₯) = 0, dan tanda bagi π"(π₯) berubah di sekitar nilai π₯ tersebut, akan
menghasilkan titik lengkok balas.
Apabila π"(π₯) = 12π₯2 β 24π₯ = 0, maka π₯ = 0 atau 2. Kita telah tunjukkan bahawa
π₯ = 0 ialah nilai genting dan (0,0) merupakan salah satu dari dua titik lengkok balas yang
dicari. Bagi mengenal pasti satu lagi titik lengkok balas iaitu apabila π₯ = 2, kita tidak dapat
bergantung kepada maklumat tanda πβ²(π₯) serta lakaran kecerunan sahaja. Untuk itu
maklumat perubahan tanda π"(π₯) diperlukan.
Nilaiπ₯ β1
2 0
1
2
Tanda πβ²(π₯) - 0 -
Lakaran kecerunan β β β
Tanda π"(π₯) + 0 -
Bentuk graf Cekung Cembung
Apabila π₯ = 2,
Dengan ujian terbitan pertama,
Untuk π₯ < 0, π" π₯ < 0,
Untuk π₯ > 0, π" π₯ > 0.
Nilai 3
2 2
5
2
Tanda - - -
Lakaran kecerunan β β β
Tanda - 0 +
Bentuk graf Cembung Cekung
Kalkulus Asas|206
Ia bersesuaian dengan Teorem 7.1, iaitu terdapat perubahan tanda bagi π"(π₯). Oleh itu titik
(2,-16) juga merupakan titik lengkok balas.
Contoh 7.20
Kaji fungsi π π₯ = (π₯ β 1)1
3 untuk titik lengkok balas.
Penyelesaian:
π¦
π¦ = (π₯ β 1)13
0 1 π₯
Rajah 7.28
Kita dapatkan terbitan pertama dan kedua, iaitu
π β² π₯ =1
3(π₯ β 1)β
23; π"(π₯) = β
2
9(π₯ β 1)β
53
Bagi π₯ = 1, dan π β² 1 dan π"(1) tidak tertakrif, namun demikian
i) hadπ₯β1 π β² π₯ = β
ii) hadπ₯β1β π"(π₯) = β > 0, dan hadπ₯β1+ π"(π₯) = ββ < 0,
Dari i) kecerunan lengkung di π₯ = 1 adalah garis tangen mencancang. Kerana π"(π₯) tidak
pernah sifar di mana jua, dan dari ii) dapat disimpulkan
Untuk π₯ < 1, πβ π₯ > 0.
Untuk π₯ > 1, πβ π₯ < 0.
Oleh itu di (1,0) terdapat perubahan kecembungan. Tangen mencancang di π₯ = 1 itu
menyilang lengkung. Oleh yang demikan (1,0) ialah titik lengkok balas.
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |207
Nilai 1
2 1
3
2
Tanda + β +
Lakaran kecerunan β β β
Tanda + ? -
Bentuk graf Cekung Cembung
7.5.2 Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Suatu Selang
Lihat Rajah 7.29 di bawah dan cuba ikuti perbincangan selanjutnya
π¦
P π¦ = π(π₯)
Q
0 π₯
Rajah 7.29
Rajah 7.29 menunjukkan bahawa π(π₯) mempunyai nilai maksimum tempatan dan nilai
minimum tempatan masing- masing di P dan Q. Seperti yang telah kita sebutkan bahawa
istilah tempatan bermaksud maksimum atau minimum hanya benar di kejiranan titik β titik
berkenaan sahaja, dan dalam kes ini titik p dan q. Ketika π₯ menyusut dari P, nilai π(π₯)
akan menjadi lebih kecil dari pada nilai di Q. Sebaliknya, ketika π₯ menokok dari Q kita lihat
nilai π(π₯)menjadi semakin besar daripada nilai di P. Tanpa mengetahui bentuk keseluruhan
graf, kita tidak akan dapat menyatakan di manakah letak titik maksimum atau minimum
mutlak. Namun demikian dengan menghadkan domain kita boleh tentukan titik maksimum
atau minimum mutlak.
Kalkulus Asas|208
Dengan berpandukan Rajah 7.30 di bawah, perhatikan nilai β nilai π(π₯) untuk π₯ yang
berada di antara π₯ = π dengan π₯ = π (selang ini ditulis (π β€ π₯ β€ π). Fungsi π¦ =
π π₯ π¦ang diberikan mempunyai nilai maksimum di B (iaitu π₯ = π) dan nilai minimum di A
(iaitu π₯ = π). Di dalam selang ini nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak bagi
fungsi itu masing- masing berlaku di B dan A ( iaitu di hujung β hujung selang).
π¦
π π΅ π¦ = π(π₯)
A Q
0 π₯ = π π₯ = π π₯
Rajah 7.30
Dengan berpandukan Rajah 7.31 di bawah ini pula (selang diubah kepada π β€ π₯ β€ π)
maksimum atau minimum mutlak suatu fungsi boleh terletak di titik genting π dan π, bukan
di hujung β hujung selang.
π¦
π π¦ = π(π₯)
πΆ
π·
π
0 π₯ = π π₯ = π π₯
Rajah 7.31
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |209
Kadangkala nilai genting yang diperolehi berada di luar selang. Untuk kes π β€ π₯ β€ π
seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 7.32 nilai β nilai π(π) dan π(π) masing - masing
adalah maksimum dan minimum mutlak.
y
π π¦ = π(π₯)
πΈ
π» π
0 π₯ = π π₯ = π π₯
Rajah 7.32
Contoh 7.21
Dapatkan nilai maksimum atau minimum mutlak π π₯ = 2π₯3 β π₯2 + 2 dalam selang
-2 β€ π₯β€ 1.
Penyelesaian:
Dapatkan nilai-nilai genting dengan terbitan pertama :
π β²(π₯) = 6π₯3 β 2π₯ = 2π₯(3π₯ β 1)
Apabila π β²(π₯) = 0, maka π₯ = 0,1
3 ialah nilai βnilai genting.
π 0 = 2, π 1
3 =
53
27
Kemudian, kita dapatkan pula nilai fungsi di hujung-hujung selang, iaitu di π₯ = β2 dan
π₯ = 1.
π β2 = β18, π 1 = 3
Nilai-nilai π(π₯) yang diperolehi di titik-titik genting dan di hujung-hujung selang dinyatakan di
dalam Jadual 7.1 berikut :
Kalkulus Asas|210
Jadual 7.1
Nilai π₯ -2 0 1
3 1
π π₯ -18 2 53
27 3
Dari jadual, ditentukan bahawa nilai maksimum mutlak fungsi ialah 3 dan nilai minimum
mutlak fungsi ialah -18. Hal ini berlaku di hujung-hujung selang.
Graf fungsi π(π₯) itu di dalam selang -2 β€ π₯ β€ 1 dilakarkan (Rajah 7.3).
π¦ = 2π₯3 β π₯2 + 2
Rajah 7.33
Contoh 7.22 Tentukan nilai maksimum atau minimum mutlak bagi π π₯ = π₯4 β 2π₯2 + 1 di dalam
selang 0 β€ π₯ β€ 5.
Penyelesaian:
π β²(π₯) = 4π₯3 β 4π₯ = 4π₯(π₯2 β 1) = 4π₯(π₯ + 1)
Nilai-nilai genting ialah penyelesaian untuk π β²(π₯) = 0, iaitu π₯ = -1 , 0 dan 1.
0 1 2 1 π₯
π¦
(-2, -18)
(0, 2) (1
3,53
27)
(1, 3)
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |211
Nilai genting π₯ = -1 di luar selang 0 β€ π₯ β€ 5. Maka π₯ = -1 tidak diambil kira. Nilai-nilai π(π₯)
di titik-titik genting dan di hujung-hujung selang ditunjukkan dalam Jadual 7.2 di bawah.
Jadual 7.2
π₯ 0 1 5
π(π₯) 1 0 576
Kesimpulannya ialah nilai maksimum dan minimum mutlak masing-masing ialah 576 dan 0.
7.5.3 Penggunaan Maksimum Dan Minimum Mutlak
Dalam bahagian ini kita akan kaji beberapa masalah yang memerlukan penentuan nilai
maksimum atau minimum pada suatu selang. Teori maksimum dan minimum boleh
digunakan dalam menentukan penyelesaian bagi masalah dalam geometri, mekanik, fizik,
industri, kejuruteraan dan sebagainya. Berikut ini diberikan contoh-contoh yang berkaitan
dengan beberapa bidang sains dan teknologi berkenaan.
Contoh 7.23 Seutas dawai panjang 2 meter dibentuk sebuah segi empat tepat dengan luas terbesar.
Dapatkan panjang sisi-sisi segi empat itu.
Penyelesaian:
1 β π₯
π₯ π₯
1 β π₯
Misalkan lebar segi empat tepat yang dikehendaki ialah π₯ meter. Oleh kerana panjang
dawai ialah 2 meter, maka panjang segi empat tepat tersebut ialah 2β2π₯
2= 1 β π₯ meter.
Dalam hal ini π₯ berada di antara 0 dengan 1, iaitu 0 β€ π₯ β€ 1.
Misalkan πΏ(π₯) ialah luas segiempat itu, maka πΏ π₯ = π₯ 1 β π₯ = π₯ β π₯2, dengan
0 β€ π₯ β€ 1. Kita mahukan luas yang maksimum. Untuk itu kita cari nilai maksimum mutlak.
Kalkulus Asas|212
Terbitan pertama bagi πΏ(π₯) ialah
πΏβ² π₯ = 1 β 2π₯
Nilai genting ialah penyelesaian bagi πΏβ² π₯ = 0, iaitu π₯ =1
2.
Sekarang kita perlu tentukan sama ada π₯ = 0, π₯ = 1 atau π₯ =1
2 yang akan memberikan
πΏ(π₯) maksimum (Jadual 7.3).
Jadual 7.3
π₯ 0 1 1
2
πΏ(π₯) 0 0 1
4
Maka yang dipilih ialah π₯ =1
2 dengan kesimpulan bahawa segiempat tepat itu merupakan
segiempat tepat sama sisi dengan panjang sisi 1
2 meter.
Contoh 7.24 Seorang pereka bentuk dari sebuah syarikat pembuat kotak ingin menghasilkan kotak tanpa
tudung daripada kepingan kertas tebal berukuran 16 cm lebar dengan 20 cm panjang.
Kotak-kotak ini dibuat dengan memotong segi empat sama yang sama besar dari setiap
penjuru kertas tersebut. Sisi-sisi kepingan kertas tadi dilipat ke atas untuk membentuk kotak
berkenaan. Dapatkan ukuran segi empat sama yang perlu dipotong supaya isi padu kotak
maksimum. Nyatakan dimensi kotak tersebut.
πΏ = 20 cm
π₯ π₯
π = 16 cm π β 2π₯
π β 2π₯
πΏ β 2π₯
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |213
Penyelesaian:
Misalkan panjang sisi-sisi segi empat yang harus dipotong iaitu π₯ cm. Apabila dilipat, kotak
yang terbentuk mempunyai ukuran :
Lebar = 16 β 2π₯ cm
Panjang = 20 β 2π₯ cm
Tinggi = π₯ cm
Isi padu π π₯ = π₯ 16 β 2π₯ 20 β π₯ = 4π₯3 β 72π₯2 + 320π₯
Perlu diingat bahawa nilai π₯ β₯ 0; dan lebar atau panjang kotak tidak boleh negatif. Di antara
lebar dengan panjang kita dapati, apabila π₯ menokok, lebar akan sama dengan sifar terlebih
dahulu. Jadi mestilah disyaratkan lebarnya ialah 16 β 2π₯ β₯ 0 iaitu π₯ β€ 8.
Kesimpulannya nilai π₯ berada di dalam selang 0 β€ π₯ β€ 8.
π β²(π₯) = 12π₯2 β 144 + 320 = 4(3π₯2 β 36π₯ + 80) = 0
3π₯ β 36π₯ + 80 = 0
Nilai genting ialah π₯ β 9.1 cm atau π₯ β 2.9 cm.
Tetapi π₯ β 9.1 cm tidak diterima sebab di luar selang. Jadi π₯ β 2.9 cm yang memenuhi
syarat. Sekarang kita pilih nilai π₯ yang akan memberikan isi padu π π₯ maksimum. Lihat
senarai berikut:
π₯ 0 2.9 8
π π₯ 0 419.64 0
Jadi π₯ = 2.9 cm memberikan π π₯ maksimum. Oleh itu matra kotak yang dikehendaki ialah
Lebar = 10 β 2 2.9 = 10.2 cm
Panjang = 20 β 2 2.9 = 14.2 cm
Tinggi = 2.9 cm
Kalkulus Asas|214
1. Tentukan pemalar A dan B sehingga π» π₯ = π₯3 + π΄π₯2 + π΅π₯ + πΆ mempunyai
titik genting di π₯ = -1 dan π₯ = 3.
2. Dapatkan titik maksimum, minimum dan titik lengkok balas setiap fungsi π π₯
berikut:
a) π π₯ = π₯3 β3
2π₯2 β 6π₯ + 2
b) π π₯ = π₯ + 3 3 2 β π₯ 2
3. Cari semua titik genting untuk fungsi berikut:
a) π π₯ = π₯3 β π₯2 β π₯
b) π π₯ = π₯3(4 β π₯)
Seterusnya tentukan sama ada titik-titik genting ini maksimum atau minimum.
4. Dapatkan titik-titik genting setiap fungsi berikut. Dengan menggunakan terbitan
kedua, tentukan jenis titik-titik genting ini. Lakarkan grafnya.
a) π π₯ =1
2sin 2π₯ β sin π₯, 0 < π₯ < 2π
b) π π₯ = π₯2 β 1 4
5. Dapatkan titik-titik maksimum / minimum / lengkok balas bagi
a) π π₯ = π₯ β 1 3 π₯ β 2 4
b) π π₯ = 3 β (π₯ β 2)
c) π π₯ =1
π₯2+1
Latihan Formatif 7.5
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |215
7.6 Lakaran lengkung
Kita telah mempelajari cara bagi mendapatkan maksimum atau minimum tempatan untuk
suatu fungsi. Dari pengetahuan tersebut kita akan mengkaji satu aspek penting dalam
matematik iaitu lakaran lengkung.
7.6.1 Langkah untuk melakar graf fungsi polinomial adalah seperti berikut:
1. Cari πβ²(π₯) dan πβ²β²(π₯)
2. Misalkan π β² π₯ = 0 dan selesaikan persamaan yang terhasil untuk mencari nilai-nilai
genting bagi π₯. Cari titik-titik genting dengan mendapatkan π(π₯) pada setiap titik
genting.
3. Gunakan ujian terbitan kedua untuk mencari sebarang maksimum atau minimum
tempatan.
Untuk maksimum π β² π₯ = 0, π β²β² π₯ < 0.
Untuk minimum π β² π₯ = 0, π β²β² π₯ > 0.
Jika π β²β² π₯ = 0, gunakan ujian terbitan pertama untuk menentukan maksimum atau
minimum.
4. Tentukan nilai-nilai π₯ untuk π β²β² π₯ = 0. Gunakan nilai-nilai π₯ ini untuk membahagi
paksi-π₯ kepada selang-selang. Uji kecekungan suatu titik dalam setiap selang untuk
mengetahui kecekungan graf di situ.
Jika πβ²β²(π₯) > 0, graf adalah cekung ke atas.
Jika πβ²β²(π₯) < 0, graf adalah cekung ke bawah.
5. Gunakan maklumat langkah 4 untuk mencari sebarang titik lengkok balas dan
tandakan titik-titik ini.
6. Senaraikan semua titik yang kita dapatkan dalam jadual dan gunakan maklumat ini
untuk menentukan skala yang sesuai bagi graf. Lukiskan garis tangen pada setiap
maksimum atau minimum tempatan. Lakarkan graf bermula dari sebarang titik
Kalkulus Asas|216
lengkok balas dan lukis pada titik lengkok balas berikutnya, dengan mengekalkan
kecekungan yang betul. Plot sebarang titik tambahan apabila perlu.
Contoh 7.25
Lakarkan graf untuk fungsi π π₯ = π₯3 β 12π₯ + 3
Penyelesaian:
1. π 0 = 3 (pintasan-π¦)
2. πβ² π₯ = 3π₯2 β 12
πβ²β² π₯ = 6π₯
2. Nilai genting ialah apabila π β² π₯ = 0
Iaitu π β² π₯ = 3π₯2 β 12 = 3 π₯ β 2 π₯ + 2 = 0
Nilai-nilai genting ialah x = -2, 2
Titik-titik genting ialah (-2, 19) dan (2, -13)
3. Gunakan ujian terbitan kedua untuk menentukan sama ada titik-titik genting itu
maksimum atau minimum.
π β²β² β2 = 6 β2 = β12 (negatif). Terdapat minimum tempatan di x =- 2
π β²β² 2 = 6 2 = 12 (positif). Terdapat minimum tempatan di x = 2.
4. Tentukan di mana π β²β² π₯ = 0: π β²β² π₯ = 6π₯ = 0
Pada π₯ = 0 berkemungkinan terdapat titik lengkok balas
Uji suatu titik di mana x< 0: π β²β² β1 < 0
Graf adalah cekung ke bawah untuk x< 0
Uji suatu titik di mana π₯ > 0: π β²β² 1 > 0
Graf adalah cekung ke atas untuk x> 0.
5. Pada π₯ = 0, graf mempunyai titik lengkok balas kerana π 0 wujud, π β²β²(π₯) = 0 dan
kecekungan berubah
π 0 = (0)3 β 12 0 + 3 = 3
Tandakan semua maklumat di atas dalam Rajah 7.34(a):
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |217
Rajah 7.34(a)
6. Lukiskan paksi-π₯ dari π₯ = -4 ke π₯ = 4 dan paksi-π¦ dari -13 ke 19. Plot beberapa titik
tambahan untuk menentukan bentuk graf. Rajah yang lengkap adalah seperti Rajah
7.34(b).
π₯ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
πβ² π₯ -13 12 19 14 3 -8 -13 -6 19
π π₯ = π₯3 β 12π₯ + 3
Rajah 7.34(b)
π¦
π₯
Lengkok Balas
Cekung
Cembung
Minimum
Maksimum
10
20
-10
-2 2
π¦
π₯ 2 4 -2 -4
20
-10
(-2,19)
(2, -13)
Kalkulus Asas|218
7.6.2 Melakar Graf Fungsi Nisbah
Langkah-langkah yang dikemukakan dalam bahagian sebelum ini cukup untuk melakarkan
graf bagi kebanyakkan fungsi polinomial. Namun demikian, kita perlu perkenalkan langkah-
langkah tambahan untuk fungsi nisbah.
1. Asimptot Mencancang
Jika π π₯ mempunyai nilai yang tak terhingga positif atau tak terhingga negatif ketika π₯
mendekati π₯0 dan jika
hadπ₯βπ₯0
βπ(π₯) = Β±β atau had
π₯βπ₯0+π(π₯) = Β±β
Maka garis π₯ = π₯0 disebut asimptot mencancang bagi lengkung π π₯ . Lengkung itu
tidak akan menyilang asimptot mencancang.
hadπ₯βπ₯0β π π₯ = β
π¦ = π(π₯)
hadπ₯βπ₯0β π(π₯) = ββ
Rajah 7.35
2. Asimptot Mengufuk
Jika had bagi π(π₯) mendekati suatu nilai π ketika π₯ β +β atau π₯ β ββ, maka garis
π π₯ = π disebut asimptot mengufuk bagi lengkung π(π₯). Dalam Rajah 7.36 berikut ini, di
sebelah kiri, ketika π₯ β ββ, π π₯ β π; di sebelah kanan, ketika π₯ β +β, π π₯ β π.
π₯
Asimptot mencancang
di π₯ = π₯0
π₯0 0
π¦
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |219
Perhatikan bahawa lengkung tersebut boleh menyilang asimptot mengufuk.
π¦ = π(π₯)
hadπ₯βββ π π₯ = π
hadπ₯β+β π π₯ = π
Rajah 7.36
3. Asimptot Condong
Suatu garis lurus, π¦ = ππ₯ + π dengan π dan π malar, merupakan asimptot condong bagi
lengkung π¦ = π π₯ jika dan hanya jika
hadπ₯β+β π π₯ = ππ₯ + π
Nilai-nilai m dan c masing-masing kita dapatkan daripada
π = hadπ₯β+βπ(π₯)
π₯
dan π = hadπ₯β+β π π₯ β ππ₯
Catatan : Perbincangan juga berlaku untuk π₯ β ββ.
π₯
π¦
Asimptot mengufuk
di π(π₯) = π
a
0
Kalkulus Asas|220
Rajah 7.37
Contoh 7.26
Cari asimptot-asimptot mencancang dan mengufuk bagi graf fungsi
π π₯ =π₯β1
π₯β2
Penyelesaian:
Pertama, untuk mencari sebarang asimptot mencancang, kita samakan penyebut dengan
sifar dan selesaikan:
π₯ β 2 = 0, iaitu π₯ = 2, maka fungsi tak selanjar di π₯ = 2. Oleh itu kita semak hadπ₯β2 π(π₯)
untuk asimptot mencancang.
Untuk hadπ₯β2βπ₯β1
π₯β2= hadπ₯β2β 1 +
1
π₯β2 = hadπ₯β2 1 + hadπ₯β2
1
π₯β2= 1 + β = β
Graf mempunyai asimptot mencancang di π₯ = 2
Kedua, untuk mencari asimptot mengufuk, cari hadπ₯ββπ₯β1
π₯β2. Kita bahagikan pengangka
dan penyebut dengan π₯, dan didapatkan hadπ₯ββ
1β1
π₯
1β2
π₯
=had π₯ββ 1β
1
π₯
had π₯ββ 1β2
π₯
=1β0
1β0= 1
hadπ₯ββπ₯β1
π₯β2= 1
π₯
π¦
π
0
Asimptot condong
π¦ = ππ₯ + π
Asimptot condong
π¦ = π(π₯)
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |221
Graf fungsi tersebut di bawah ini menunjukkan bagaimana lengkung mendekati asimptot.
π π₯ =π₯β1
π₯β2
Rajah 7.38
Perhatikan bahawa pengangka sifar pada suatu titik tidak cukup untuk menentukan asimptot
mencancang wujud, umpamanya, fungsi
π π₯ =(π₯+1)(π₯β2)
π₯β2= π₯ + 1, π₯ β 2
tidak wujud di x = 2, tetapi asimptot tidak wujud juga di sini kerana hadπ₯β2 π(π₯) = 3.
Contoh 7.27
Cari asimptot mencancang dan mencondong bagi graf fungsi
π π₯ =π₯2 + 2π₯ β 1
π₯
Penyelesaian:
Pertama, untuk mencari sebarang asimptot mencancang, kita samakan penyebut dengan
sifar dan selesaikan:
Fungsi tak selanjar di π₯ = 0. Oleh itu kita semak hadπ₯β0 π(π₯) untuk asimptot mencancang.
x
y
0
π₯ = 2
Asimptot mencancang
Asimptot mengufuk
π(π₯) = 1
1 2
1
2
1
Kalkulus Asas|222
Untuk
hadπ₯β0
π₯2 + 2π₯ β 1
π₯= had
π₯β0 π₯ + 2 β
1
π₯ = had
π₯β0 π₯ + had
π₯β0 2 + had
π₯β0
1
π₯= 0 + 2 + β = β
Graf mempunyai asimptot mencancang di π₯ = 0.
π¦ = π₯ + 2
π¦ =π₯2+2π₯β1
π₯
Rajah 7.39
Kedua, untuk mencari asimptot condong,
m = had π₯βΒ±β
π(π₯)
π₯= had
π₯βΒ±β
π₯2 + 2π₯ β 1
π₯2
= had π₯βΒ±β
1 +2
π₯β
1
π₯2 = 1
dan
c = had π₯βΒ±β
π π₯ β π₯ = had π₯βΒ±β
π₯2 + 2π₯ β 1
π₯ β π₯
= had π₯βΒ±β
π₯2 + 2π₯ β 1 β π₯2
π₯ = = had
π₯βΒ±β 2 β
1
π₯ = 2
Oleh itu, garis lurus π¦ = ππ₯ + π merupakan asimptot condong bagi lengkung yang
diberikan.
π₯
π¦
0
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |223
7.6.3 Langkah Melakar Graf Fungsi Nisbah
Misalkan fungsi nisbah itu ialah π π₯ =π(π₯)
π(π₯).
1. Turunkan fungsi yang diberikan kepada sebutan-sebutan terendah jika perlu.
Selesaikan persamaan π π₯ = 0, untuk mencari pintasan-π₯ bagi graf. Jika π π₯
adalah malar, atau jika persamaan π π₯ = 0 tidak mempunyai punca nyata, graf
tidak menyilang paksi βπ₯.
2. Berikutnya, selesaikan persamaan π π₯ = 0, untuk mencari kedudukan sebarang
asimptot mencancang yang mungkin. Jika π π₯ = 0 di π₯ = π₯0, dan π π₯
mendekati +β atau ββ, maka graf mempunyai asimptot mencancang di π₯ = π₯0 .
3. Cari had π(π₯)π₯β+β
dan had π(π₯)π₯βββ
. Jika salah satu had merupakan nombor terhingga π,
maka graf mempunyai asimptot mencancang di π₯ = π.
4. Cari had π(π₯)
π₯π₯βΒ±β
dan hadπ₯βΒ±β π π₯ β π₯ . Jika had π(π₯)
π₯π₯βΒ±β
= π dan
hadπ₯βΒ±β π π₯ β π₯ = π, maka garis lurus π¦ = ππ₯ + π merupakan asimptot
condong bagi lengkung π¦ = π π₯ .
5. Fungsi π π₯ boleh berubah tanda hanya di titik-titik yang didapati dalam langkah 1
dan 2. Titik-titik ini membahagi paksi βπ₯ kepada dua rantau atau lebih dan π π₯
mestilah mempunyai tanda yang sama dalam setiap rantau. Pilih satu nilai bagi π₯
dalam setiap rantau, hitung nilai sepadan bagi π π₯ dan gunakan maklumat ini untuk
menentukan sama ada graf di atas atau di bawah paksi-π₯ dalam setiap rantau.
6. Gunakan langkah melakarkan graf bagi fungsi polinomial untuk mencari titik genting,
maksimum dan minimum, kecekungan dan titik lengkok balas.
7. Plot sebarang titik yang diperlukan bagi melakarkan graf itu. Perlulah cermat untuk
menentukan titik-titik itu, terutama jika graf menyilang asimptot mengufuk.
Kalkulus Asas|224
Contoh 7.28
Lakarkan graf fungsi nisbahπ π₯ =π₯β2
π₯2 .
Penyelesaian:
1. Cari dan plot pintasan βπ₯.
π π₯ = π₯ β 2 = 0, menghasilkan π₯ = 2.
2. Cari asimptot mencancang.
π π₯ = π₯2 = 0, menghasilkan π₯ = 0.
Semak
hadπ₯β0
π₯ β 2
π₯2= ββ
Oleh itu, garis π₯ = 0 merupakan asimptot mencancang
3. Cari asimptot mengufuk.
hadπ₯β+β
π₯ β 2
π₯2= had
π₯β+β
π₯π₯2 β
2π₯2
π₯2
π₯2
= hadπ₯β+β
1π₯ β
2π₯2
1= 0
Dengan cara serupa, hadπ₯βββπ₯β2
π₯2 =0
Garis π¦ = 0(paksi-π₯) ialah asimptot mengufuk.
4. Cari asimptot condong.
π = hadπ₯βΒ±β
π₯ β 2
π₯2= had
π₯βββ
1
π₯β
2
π₯2= 0
dan
π = hadπ₯βΒ±β
π₯ β 2
π₯2β π₯ = Β±β
Kerana π = 0 dan π = Β±β maka tidak terdapat asimptot condong.
5. Langkah-langkah 1 dan 2 mentakrifkan selang-selang berikut pada paksi-π₯ :
π₯ < 0, 0 < π₯ < 2, π₯ > 2
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |225
Uji titik-titik dalam setiap selang untuk menentukan tanda bagi π π₯ dalam setiap
selang :
Apabila π₯ = β1 βΆ π β1 = β1 β2
β1 2= β3, graf di bawah paksi-π₯ untuk π₯ < 0.
Apabila π₯ = 1 βΆ π 1 = 1 β2
1 2 = β1, graf di bawah paksi-π₯ untuk 0 < π₯ < 2.
Apabila π₯ = 3 βΆ π 3 = 3 β2
3 2 =1
9, graf di bawah paksi-π₯ untuk π₯ > 2.
6. Untuk mencari titik lengkok balas, cari terbitan pertama dan kedua.
πβ² π₯ =π₯2 β 2π₯(π₯ β 2)
π₯4=
4 β π₯
π₯3
π β² β² π₯ =βπ₯3 β (4 β π₯)
π₯6=
2π₯ β 12
π₯4
π β² π₯ = 0 apabila π₯ = 4. Oleh kerana π β²β² (π₯) negatif fungsi mempunyai nilai
maksimum apabila π₯ = 4, iaitu π(4) =1
8. Graf mempunyai titik maksimum di (4,
1
8 ).
π β² π₯ = 0 apabila π₯ = 6. Oleh kerana π β²β² (5) negatif dan π β² β²(7) positif, maka graf
cekung ke atas untuk π₯ < 6 dan cekung ke bawah untuk π₯ > 6. Kita dapati π(6) =1
9 . Graf mempunyai titik lengkok balas di 6,
1
2 .
Rajah 7.40(a)
π₯
π¦
2 4 8 6 -2 -4 -8 -6
0.25
Asimptot
Mencancang f(x)negatif
untuk x < 0
f(x)negatif
untuk 0 <x < 2
Pintasan-x di
(2, 0)
Asimptot
Mengufuk
Titik lengkok balas
di (6, π
π)
Maksimum di
(4, π
π)
f(x) positif
untuk x < 2
Kalkulus Asas|226
7. Apabila π₯ = β2, π β2 = β1, dan apabila π₯ = β3, π β3 = β5
9. Lakaran yang
lengkap ditunjukkan dalam Rajah 7.40 (b).
π π₯ =π₯β2
π₯2
Rajah 7.40(b)
1. Lakarkan setiap lengkung berikut dengan menentukan kecekungan, maksimum atau
minimum, titik lengkok balas:
a) π¦ = 3π₯4 β 4π₯3
b) π¦ = π₯4 β 4π₯2 + 2
c) π¦ =π₯(π₯+1)
π₯β1
d) π¦ = (π₯ β 1)π₯2
3
e) π¦ =π₯
1+π₯2
f) π¦ =π₯2+2π₯+3
π₯2+3π₯+2
Latihan Formatif 7.6
π₯
π¦
2 4 8 6 -2 -4 -8 -6
0.25
0.50
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |227
RUMUSAN
Unit ini merupakan lanjutan daripada Unit 5 (Pembezaan) dan Unit 6 (Teknik Pembezaan). Justeru
pelajar perlu menguasai kedua-dua unit tersebut dahulu sebelum mempelajari unit ini. Unit ini
merupakan aplikasi atau lanjutan kepada dua unit sebelum ini di mana kita mempelajari
bagaimana topik pembezaan digunakan dalam kehidupan seharian.
KATA KUNCI
Nilai hampiran dan ralat, kadar perubahan, gerakan pada satu garis lurus, kecerunan lengkung
pada satu titik, persamaan garis tangen pada lengkung, persamaan garis normal pada lengkung,
maksimum dan minimum, ujian maksimum dan minimum, titik genting, ujian terbitan pertama, ujian
terbitan kedua, titik lengkok balas, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam suatu selang,
penggunaan maksimum dan minimum mutlak, lakaran lengkung, fungsi nisbah, asimptot
mencancang, asimptot mengufuk, asimptot condong.
Kalkulus Asas|228
1. Jika π₯ = 2 diambil sebagai hampiran awal bagi penyelesaian persamaan
π π₯ = π₯3 β 2π₯ β 5. Dapatkan penyelesaian hampiran yang lebih baik.
2. Nilai π₯ = 3 diambil sebagai hampiran awal bagi penyelesaian persamaan
π π₯ = 3π₯3 β 4π₯2 + 2π₯ + 2 = 0. Cari penyelesian hampiran yang lebih baik.
3. Ketika anda mengelamun di tepi tasik yang airnya tenang, tiba-tiba seekor ikan toman
menyambar seekor katak yang sedang berenang di permukaan air. Pandangan anda
tertumpu pada kocakan permukaan air yang berbentuk bulatan sepusat yang menyebar.
Jika jejari bulatan ini bertambah pada kadar 15 cm sesaat, hitungkan kadar tokokan luas
rantau apabila jejari ketika itu 5 cm.
4. Sebiji bola dilontar ke atas dengan halaju awal 20ms-1 dari permukaan tanah. Gerakan
bola ini mematuhi persamaan
π = 5π‘2 + 20π‘
Dapatkan,
i) Halaju ketika 1 s setelah bola dilontarkan;
ii) Halaju ketika 3 s setelah bola dilontarkan;
iii) Masa yang diambil untuk sampai ke titik tertinggi;
iv) Berapa tinggi bola ini akan naik
v) Masa yang diambil untuk jatuh semula ke tanah
vi) Halaju ketika jatuh ke tanah.
5. Dapatkan nilai π, jika garis π¦ = 2π₯ + π adalah normal pada lengkung π¦ = 2π₯2 β 3.
6. Cari persamaan garis normal pada parabola π¦2 = 4ππ₯ di titik (ππ, 2ππ). Jika garis
normal ini menyilang parabola itu lagi di π, buktikan bahawa garis-garis yang
menghubungkan asalan dengan π dan π adalah berserenjang jika π2 = 2.
Latihan Sumatif
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |229
7. Dapatkan nilai-nilai maksimum dan minimum mutlak untuk fungsi beserta selang berikut:
π π₯ = π₯4 β 8π₯2 + 16;
a) β4 β€ π₯ β€ 0
b) β3 β€ π₯ β€ 2
c) 0 β€ π₯ β€ 3
d) β1 β€ π₯ β€ 4
8. Dapatkan nilai maksimum dan minimum mutlak bagi fungsi π(π₯) pada selang yang
dinyatakan berikut:
a) π π₯ =π₯+1
2π₯β3, 0 β€ π₯ β€ 1
b) π π₯ = 2 sek π₯ β tan π₯, 0 β€ π₯ β€π
4
9. Cari jarak terdekat daripada titik (1,-2) ke garis 3π₯ β π¦ + 5 = 0.
10. Anda ingin membina sebuah khemah berbentuk sebuah kon dengan jejari tapak π. Isi
padu khemah ini telah ditetapkan sebesar 600 m3. Juga oleh sebab tertentu tinggi khemah
ini, iaitu π hendaklah di antara 9 hingga 11 meter. Dapatkan ukuran khemah supaya bahan
(kain kanvas) yang digunakan paling menjimatkan.
11. Seutas dawai panjang 1 meter dikerat dua untuk dibentuk sebuah bulatan dan sebuah segi
empat sama. Bagaimanakah dawai ini mesti dikerat supaya bulatan dan segi empat sama
itu mempunyai jumlah luas terkecil?
12. Lakarkan setiap lengkung berikut dengan menentukan kecekungan, maksimum atau
minimum, titik lengkok balas:
a) π¦ =1
βπ₯2+3π₯+4
b) π¦ = π₯ +1
π₯2
RUJUKAN
Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.
Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.
Kalkulus Asas|230
JAWAPAN LATIHAN FORMATIF
Latihan Formatif 7.1
1. a) 5.39 b) 5.68 c) 3.76 d) 3.14
2. ππ¦
ππ₯=
π ππ 2π₯
π ππ 2π¦
3. 24
25π
4. ππ¦
ππ₯= 3 β 4π₯
5. 3.78 %, 5.67 %
Latihan Formatif 7.2
1. a) ππ΄
ππ= 2π₯
ππ₯
ππ‘ b) 12 m2 seminit
2. a) ππ
ππ‘= π π2 ππ
ππ‘+ 2ππ
ππ
ππ‘ b) β20π m2 sesaat, menyusut
3. β0.35 m sesaat
4. a) β1
4 meter sesaat b) β
5
4 meter sesaat
Latihan Formatif 7.3
1. π‘ = 1 saat π = 2.5 cm π = 2 cmsβ1
Latihan Formatif 7.4
1. a) -1 b) 3 c) β5
7, β
4
5 d)
135
16
2. (2,1) 3. a) π¦ β 5π₯ + 3 = 0, 5π¦ + π₯ β 11 = 0
b) π¦ β 8π₯ β 2 = 0, 8π¦ + π₯ + 49 = 0 c) π¦ + π₯ + 13 = 0, π¦ β π₯ + 17 = 0 d) 2π¦ β π₯ β 2 = 0, π¦ + 2π₯ β 4 = 0
Latihan Formatif 7.5
1. π΄ = β3, π΅ = β9
2. a) β1, 51
2 titik maksimum 2,8 titik minimum
1
2, β
5
4 titik lengkok balas
b) 12
5, β
108
3125 titik maksimum (2,0) titik minimum (3,0) titik lengkok balas
3. a) β1
3,
5
27 titik maksimum (1,-1) titik minimum
b) 3,27 titik maksimum (0,0) titik lengkok balas
4. a) 2π
3, 3
4 titik minimum
4π
3,
3 3
4 titik maksimum
b) (0,1) titik maksimum (-1,0) titik minimum (1,0) titik minimum
5. a) 10
7,
6912
823543 titik maksimum (2,0) titik minimum (1,0) titik lengkok balas
b) πβ2, 8πβ2 titik maksimum (1,0) titik minimum
Unit 7 Penggunaan Pembezaan |231
Latihan Formatif 7.6
1. a) b)
c) d)
e) f)
π₯
π¦
β1
2
4
β1 1 2
π¦ = 3π₯4 β 4π₯3
π₯
π¦
β2
2
β1 1 2
π¦ = π₯4 β 4π₯2 + 2
π₯
π¦
β5
5
β2 2 4
π¦ =π₯(π₯ + 1)
π₯ β 1
β4
π₯
π¦
2
3
1
π¦ = (π₯ β 1)π₯23
π₯
π¦
π¦ =π₯
1 + π₯2
5
-5
π₯
π¦
π¦ =π₯2 + 2π₯ + 3
π₯2 + 3π₯ + 2
π¦ = 1
π₯ = β1
π₯=-2
Kalkulus Asas|232
JAWAPAN LATIHAN SUMATIF
1. 2.1 2. 3.2
3. 150π cm2 sesaat
4. a) 10 msβ1 b) β10 msβ1 c) 2 saat
d) 20 m e) 4 saat f) β20 s-1
5. 87
32
6. π¦ + ππ₯ β 2ππ β ππ3 = 0 7. Nilai maksimum mutlak Nilai minimum mutlak a) 144 0 b) 25 0 c) 25 0 d) 144 0
8. a) π 0 = β1
3 nilai maksimum mutlak
π 1 = β2 nilai minimum mutlak
b) π 0 = 2 nilai maksimum mutlak
π π
6 = 3 nilai minimum mutlak
9. 10 10. Jejari tapak khemah ialah 7.4 meter dan tinggi khemah ialah 10.46 meter.
11. Untuk bulatan: π
π+4, Untuk segi empat sama:
4
π+4.
12. a) b)
π₯
π¦ π¦ =
1
βπ₯2 + 3π₯ + 4
π₯ = β1 π₯=4
π₯
π¦ π¦ = π₯ +
1
π₯2
π¦ = π₯