UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Lucas da Rosa Ribeiro
ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS
Santa Maria, RS 2017
Lucas da Rosa Ribeiro
ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES
MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Curso de Engenharia
Civil, Área de Concentração em
Estruturas e Construção Civil, da
Universidade Federal de Santa Maria
(UFSM, RS), como requisito parcial para
a obtenção do título de Engenheiro
Civil.
Orientador: Prof. Dr. João Kaminski Júnior
Santa Maria, RS 2017
Lucas da Rosa Ribeiro
ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, Área de Concentração em Estruturas e Construção Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro Civil.
Aprovado em 22 de dezembro de 2017:
__________________________________________ João Kaminski Júnior, Dr. (UFSM)
(Presidente/Orientador)
__________________________________________ Almir Barros da Silva Santos Neto, Dr. (UFSM)
__________________________________________ Marco Antônio Silva Pinheiro, Dr. (UFSM)
Santa Maria, RS 2017
RESUMO
ROTINA COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE LAJES RETANGULARES MEDIANTE ANALOGIA DE GRELHAS
AUTOR: Lucas da Rosa Ribeiro ORIENTADOR: João Kaminski Júnior
A crescente complexidade e ousadia da arquitetura moderna exigem que a análise das lajes e dos demais elementos estruturais em concreto armado represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos. Desta forma, é imprescindível o uso de computadores devido à grande dinamização que estes proporcionam em um projeto estrutural e, principalmente, garantir que os acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais sejam habituados desde a sua formação ao manuseio dos softwares com tais finalidades. Neste contexto, este trabalho tem como objetivo elaborar uma rotina computacional em Fortran para a análise de lajes retangulares de concreto armado por analogia de grelhas. Além do programa desenvolvido apresentar os deslocamentos, as reações nos apoios e as ações de extremidade de barra, que são os resultados tipicamente mostrados, também são expressas todas as etapas da solução do problema, tal como as matrizes de rotação e de rigidez das barras, a matriz de rigidez global, os vetores de carga e as matrizes referentes à solução do sistema de equações pelo método Cholesky. Ao comparar os resultados do programa desenvolvido com os obtidos pelo programa ANSYS e segundo trabalhos diversos da literatura nacional, percebe-se que a rotina computacional elaborada é eficiente, viabilizando-se assim a sua aplicabilidade.
Palavras-chave: Analogia de grelhas; lajes de concreto armado; análise
matricial de estruturas.
ABSTRACT
COMPUTATIONAL ROUTINE FOR THE ANALYSIS OF RECTANGULAR SLABS BY GRILLAGE ANALOGY
AUTHOR: Lucas da Rosa Ribeiro ADVISOR: João Kaminski Júnior
The growing complexity and boldness of the modern architecture demand that the analysis of concrete slabs, and all of the remaining reinforced concrete structural members, portray the reality which they will be submitted to as faithful as possible. Thus, it is indispensable the use of computers due to the great promotion they afford to a structural project and, mainly, ensure the academics and future Civil Engineers to be accustomed since their academic education to the handling of this kind of software’s. In this context, the objective of this work is the elaboration of a computational routine in Fortran language aimed to the analysis of reinforced concrete rectangular floor panels by the grid analogy. Besides the developed program displaying the displacements, the nodal reactions and the member end actions, which are the typical showed results, all the steps related to the solution of the problem are also expressed, like the rotation and stiffness matrices of every bar, the global stiffness matrix, the load vectors, and also the matrices related to the solution of the system of equations by the Cholesky method. After comparing the results of the developed program to those obtained by the software ANSYS and according to several works included on national similar works, it was noticed that the computational routine is efficient, making feasible its applicability.
Keywords: Grid analogy; matrix analysis of structures; reinforced concrete slabs.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 7
1.1 PROBLEMA.............................................................................................. 8 1.2 OBJETIVOS ............................................................................................. 8 1.2.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 8 1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................... 9
1.3 JUSTIFICATIVA ....................................................................................... 9 2 REVISÃO DE LITERATURA ..................................................................... 10
2.1 Análise Estrutural ................................................................................... 10 2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas ................................. 10 2.3 Teoria das Placas ................................................................................... 12 2.4 Análise de Lajes por Tabelas ................................................................. 13 2.5 Analogia de Grelhas ............................................................................... 14 3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS ................................................. 18
3.1 Descrição Geral do Programa ................................................................ 18 3.2 Discretização .......................................................................................... 19 3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras ................................... 20 3.4 Vinculações ............................................................................................ 23 3.5 Carregamentos ....................................................................................... 24 3.6 Comparação dos Resultados ................................................................. 25 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................. 27 4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho ........................ 27 4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas ......... 29 4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha .......................................................... 31 4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto ........ 35 4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis ................................ 36 4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis ................................... 38 4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli ........................................................ 43 4.2.1 Laje 1 .................................................................................................. 46 4.2.2 Laje 2 .................................................................................................. 49 4.2.3 Laje 3 .................................................................................................. 52 4.2.4 Síntese dos Resultados .................................................................... 57
4.3 Exemplo 3 – Laje de Kimura................................................................... 60 4.4 Exemplo 4 – Laje com uma borda livre .................................................. 65 6 CONCLUSÃO ............................................................................................ 72 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 73 APÊNDICE A – Manual do Usuário do Programa Analogia de Grelhas ..... 75 ANEXO 1 – Tabelas de Bares Adaptadas por Pinheiro (1994) .................... 85
7
1 INTRODUÇÃO
Ao realizar um projeto de estruturas, o Engenheiro deve garantir que a mesma
desempenhe as suas funções de forma segura, eficiente, e com o máximo de
economia na sua execução. Caso se adote um modelo inadequado na etapa de
análise estrutural, os resultados poderão acarretar em um superdimensionamento,
onde não há economia e, dependendo da situação, nem segurança; ou senão em
subdimensionamento, onde não há segurança e nem eficiência.
A análise estrutural de lajes visa obter os esforços internos atuantes, reações
de apoio nos bordos e os deslocamentos, sendo estes caracterizados pelas rotações
nos bordos e pela flecha máxima.
Um método empregado durante muitos anos na análise de lajes maciças
consiste do uso de tabelas de lajes isoladas, comumente retangulares, associadas a
uma série de hipóteses e simplificações, tal como a consideração de que as lajes se
apoiam sobre vigas rígidas e indeformáveis. Com a finalidade de determinar o
comportamento das lajes de forma mais precisa, avaliando o comportamento do
pavimento de forma integrada, podem ser utilizados alguns métodos numéricos, tais
como a analogia de grelhas no método da rigidez e o método dos elementos finitos.
No entanto, durante muito tempo a implementação destes métodos era inviável
devida às limitações da capacidade de processamento dos computadores da época,
o que não é um problema atualmente.
A analogia de grelhas possui uma série de vantagens se comparado a outros
métodos numéricos, tais como o fato de possuir uma simples formulação e por não
ser necessário um alto grau de especialização, por parte do usuário, para realizar a
modelagem e a análise dos resultados. Tal metodologia consiste em substituir um
pavimento composto de lajes e vigas por uma grelha equivalente, simulando-se uma
estrutura considerada como placa por uma série de elementos de barras.
Assim sendo, este trabalho possui como foco a elaboração de um programa
educativo em FORTRAN voltado à análise de lajes retangulares de concreto armado
mediante analogia de grelhas e, posteriormente, comparar e validar os resultados com
a análise de lajes retangulares presentes na literatura, com os resultados gerados em
um programa computacional que utiliza o método dos elementos finitos, o programa
ANSYS, assim como pelas tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994).
8
1.1 PROBLEMA
As lajes de concreto armado, por constituírem um dos elementos estruturais
mais comuns e por serem responsáveis pelo consumo de até dois terços do concreto
de uma obra, requerem especial atenção no que diz respeito à economia e eficiência
(FRANÇA e FUSCO, 1997).
O constante aumento da complexidade e da ousadia da arquitetura moderna
exigem que a análise das lajes e dos elementos estruturais em concreto armado
represente da forma mais fiel possível a realidade a qual estarão submetidos, onde
cada elemento é responsável por uma parcela do comportamento global da estrutura.
Desta maneira, nota-se o quão necessário é a elaboração de softwares cada
vez mais precisos para garantir a representação mais exata possível da resposta da
estrutura frente às diversas ações as quais estarão submetidas, assim como para
evitar uma análise cujos excessos de simplificações acarretem em uma estrutura
insegura ou antieconômica.
Ademais, os atuais acadêmicos e futuros Engenheiros Estruturais devem ser
habituados desde a sua formação à elaboração, manuseio e interpretação dos
resultados gerados em softwares de análise estrutural. A análise matricial empregada
nos mesmos envolve diversas etapas complexas que podem ser de difícil
compreensão caso não sejam bem definidas. No entanto, estas são geralmente
omitidas na geração dos resultados, de modo que a visualização se restrinja
comumente aos deslocamentos, reações de apoio e diagramas dos esforços
solicitantes.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
Desenvolver uma rotina computacional capaz de gerar e analisar lajes
retangulares de concreto armado empregando o método da rigidez e a analogia de
grelhas.
9
1.2.2 Objetivos Específicos
- Implementar em linguagem FORTRAN a analogia de grelhas no método da
rigidez para a resolução de lajes retangulares de concreto armado;
- Validar as análises do programa aqui desenvolvido mediante comparação
com a análise gerada por um programa já consolidado, o ANSYS;
- Validar as análises geradas pelo programa aqui desenvolvido mediante
comparação com a análise a partir do uso das tabelas de Bares adaptadas por
Pinheiro (1994);
1.3 JUSTIFICATIVA
Durante muito tempo, a indisponibilidade de recursos computacionais
adequados acarretou na consideração da análise estrutural de lajes e vigas a partir
do conceito de apoios rígidos e do isolamento da laje em relação ao restante do
pavimento, o que acarretava em uma série de simplificações na análise e no posterior
dimensionamento.
Sabendo que a solução padronizada a partir destes antigos conceitos não é
uma representação adequada da realidade, surgiu a necessidade de empregar um
método que garanta soluções particulares para cada projeto, que seja de fácil
implementação e que, a partir da consideração do pavimento como um todo, forneça
soluções mais precisas e próximas da realidade.
Assim, foi empregada a analogia de grelhas com o intuito de,
simplificadamente, garantir uma análise confiável às finalidades práticas.
Portanto, este trabalho se justifica por promover uma validação da já
consolidada analogia de grelhas mediante a elaboração de uma rotina computacional
dedicada à aplicação deste método. Também será possibilitado um melhor
entendimento deste processo aos estudantes, assim como a compreensão das suas
etapas de resolução e suas vantagens em relação ao método por tabelas.
10
2 REVISÃO DE LITERATURA
2.1 Análise Estrutural
A análise estrutural tem como objetivo a determinação dos esforços e das
deformações que ocorrem em uma estrutura devido às solicitações nela aplicada.
Para tal, é necessário elaborar um modelo estrutural para idealizar a estrutura,
devendo este modelo possuir propriedades materiais, detalhes, carregamentos e
condições de fronteira o mais próximo possível da realidade (CHEN, 2003).
Segundo Kimura (2007), a análise estrutural é uma etapa de vital importância
em um projeto estrutural, posto que de nada adianta realizar um dimensionamento
refinado caso os esforços previamente definidos não traduzam a realidade a qual a
estrutura estará submetida. Uma análise estrutural inadequada acarretará em um
dimensionamento de armaduras igualmente inadequado.
Todas as estruturas reais são tridimensionais, porém, visando à obtenção de
um modelo simplificado à análise estrutural, é comum idealizar a estrutura em estudo
por estruturas reticuladas, ou seja, formadas apenas por barras. Tais estruturas
podem ser lineares (vigas), planas (grelhas e treliças planas) ou espaciais (pórticos e
treliças espaciais), conforme a ordem de grandeza das dimensões do elemento
estrutural considerado.
2.2 Método da Rigidez e Análise Matricial de Grelhas
Grelhas são estruturas reticuladas pertencentes a um plano horizontal,
convenientemente denotado por X-Z, e que recebem cargas perpendiculares a este
plano. Os carregamentos podem ser cargas distribuídas aplicadas nas barras,
momentos aplicados diretamente nos nós ou nos vãos, e cargas concentradas
aplicadas nos vãos ou nos nós da grelha.
Na Figura 1 estão indicados os eixos globais e locais para a barra “i” de uma
grelha, assim como a identificação de seus graus de liberdade (GDL).
11
Figura 1: Barra “i” de grelha nos sistemas de referência global e local
Fonte: Kaminski, 2015
Cada nó de uma grelha possui 3 GDL, sendo eles o deslocamento vertical
segundo o eixo Y local e as rotações em torno dos eixos X e Z locais. Assim sendo,
cada barra possui seis GDL e a matriz de rigidez de barra SM, que se obtém mediante
a imposição de deslocamentos unitários às barras bi engastadas, um de cada vez,
possui dimensão 6 x 6.
A numeração arbitrária dos GDL segue a numeração aleatória dos nós,
priorizando-se o giro em torno de X local, o deslocamento vertical em Y local e,
finalmente, o giro em torno de Z local. Entretanto, para que seja possível a automação
da análise, é necessário garantir a numeração prioritária dos GDL mediante o
processo de indexação dos mesmos.
Pelo fato das barras de uma grelha poderem assumir qualquer direção no plano
horizontal X-Z, é necessária a determinação da matriz de rotação R para cada uma
das barras. A partir da matriz R e da numeração prioritária dos GDL, é possível definir
a matriz de rigidez de barra no sistema de coordenadas globais por:
𝑆𝑀𝑖 = 𝑅𝑖𝑇 ∙ 𝑆𝑀𝑖
𝐿 ∙ 𝑅𝑖 (1)
A determinação de todas as matrizes SM em coordenadas globais é necessária
para se obter a matriz de rigidez global SJ de forma automática. Tal matriz é uma
propriedade da estrutura que independe do carregamento aplicado, sendo simétrica
(estrutura em equilíbrio) e obtida pela soma dos coeficientes de rigidez de cada matriz
𝑆𝑀𝑖, que são adicionados em posições específicas dentro de 𝑆𝐽.
12
Quanto ao carregamento da grelha, este é representado pelo vetor de cargas
𝐴𝐶, que resulta da soma do vetor de ações nodais 𝐴 (ações diretamente aplicadas
nos nós da grelha) e do vetor de ações nodais equivalentes 𝐴𝐸 (reações e momentos
de engaste perfeito na estrutura restringida, porém com sinal contrário). O vetor 𝐴𝐶
também deve estar na numeração prioritária. A partir de 𝑆𝐽 e 𝐴𝐶 é possível calcular os
deslocamentos em coordenadas globais:
𝐴𝐶 = 𝑆𝐽 ∙ 𝐷𝑇 (2)
Considerando que os deslocamentos de rotação e de translação são nulos nos
apoios, é possível particionar as matrizes 𝐴𝐶, 𝑆𝐽, e 𝐷𝑇, obtendo-se:
𝐴𝐶 = 𝑆 ∙ 𝐷 (3)
Pelo fato de 𝑆 ser uma matriz simétrica, este sistema de equações lineares
também é simétrico, o que torna muito recomendado utilizar o Método Cholesky para
a resolução do mesmo. Resolvido o sistema de equações, determinam-se as reações
de apoio 𝐴𝑅 por:
𝐴𝑅 = 𝐴𝑅𝐿 + 𝑆𝑅𝐷 ∙ 𝐷 (4)
Após a determinação de 𝐷 e 𝐴𝑅, realiza-se uma indexação inversa para
apresentar os resultados segundo a numeração arbitrária inicialmente definida. Tais
resultados seriam os deslocamentos e as reações de apoio propriamente ditas, as
ações de extremidade de barra 𝐴𝑀 e os diagramas de esforço cortante e de momento
fletor.
2.3 Teoria das Placas
Placas são elementos estruturais planos com duas dimensões muito superiores
à terceira, cujos carregamentos são aplicados segundo a direção perpendicular à sua
superfície (REIS, 2007).
A análise estrutural rigorosa destes elementos estruturais envolve a resolução
da equação diferencial de Lagrange. Tal equação foi obtida segundo uma série de
13
hipóteses elaboradas por Kirchoff-Love e de relações entre esforços e deslocamentos
da Resistência dos Materiais.
𝜕4𝜔
𝜕𝑥4+ 2
𝜕4𝜔
𝜕𝑥2𝜕𝑦2+
𝜕4𝜔
𝜕𝑦4=
𝑞
𝐷
𝐷 = −𝐸ℎ3
12(1 − 𝜐2)
(5)
onde:
D = Expressão que define a rigidez à flexão da placa;
E = Módulo de deformação longitudinal do concreto;
h = Altura da laje;
𝜈 = Coeficiente de Poison do concreto.
Assim sendo, a solução do problema consiste em definir uma expressão à
superfície deformada que satisfaça tanto esta equação diferencial de quarta ordem
como as condições de contorno da placa (REIS, 2007).
2.4 Análise de Lajes por Tabelas
Hennrichs (2003) afirma que a resolução das equações diferenciais aos
problemas aplicados de Engenharia é complexa e pouco prática. Ademais, condições
de contorno, geometrias ou carregamentos diferentes dos usuais praticamente
impossibilitam este procedimento.
Desta forma, as lajes de concreto armado foram por muito tempo analisadas
mediante tabelas de lajes isoladas com condições de apoio simples, engastadas ou
livres, tais como as desenvolvidas por Czerny, Stiglat/Wippel, Bares, Szilard,
Timoshenko, entre outros.
No caso de painéis contínuos, os resultados são corrigidos com a finalidade de
simular simplificadamente esta continuidade, o que pode acarretar em grandes
discrepâncias nos esforços e deslocamentos para determinadas situações (REIS,
2007).
14
2.5 Analogia de Grelhas
O uso de métodos numéricos ao cálculo de estruturas foi possibilitado após o
surgimento dos computadores de grande porte e, posteriormente, dos
microcomputadores (BARBOZA, 1992).
A análise de grelhas equivalentes de lajes, por ser realizada em programas
computacionais, segue a rotina automática descrita anteriormente. A grelha
equivalente pode ser gerada de forma automática a partir dos dados iniciais referentes
à laje e à malha que se deseja gerar, assim como pode ser montada manualmente
pelo usuário, o que é mais demorado.
Tal metodologia consiste em simular uma estrutura considerada como placa
por uma série de elementos de barras cujo conjunto forma uma grelha. Este
procedimento foi usado por Euler, em 1766, para a solução de problemas de
membranas elásticas, e também por Hrennikoff, em 1941, para a análise de placas
através de uma formulação conhecida por "Latticce Analogy" (COELHO, 2013).
Hambly (1976) afirma que um painel de laje, que é estruturalmente contínuo
nas duas dimensões, pode ser analisado pelo procedimento aproximado da analogia
de grelhas, pois a solução rigorosa das equações diferenciais necessárias dificilmente
é possível.
A resolução de uma laje por analogia de grelha requer que a mesma seja
discretizada em uma série de faixas com uma largura pré-determinada, as quais serão
substituídas por barras que passam exatamente pelos seus centros de gravidade.
As vinculações dos nós da grelha equivalente seguem a vinculação dos bordos
da laje, podendo ser livres, simplesmente apoiados, ou engastados. Já os
comprimentos dos bordos considerados na análise são os vãos efetivos, onde o item
14.7.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) recomenda que:
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 (6)
Os valores de 𝑎1 e 𝑎2 são obtidos a partir de cada extremidade do vão.
𝑎1 ≤ {0,5 𝑡1
0,3 ℎ 𝑎2 ≤ {
0,5 𝑡2
0,3 ℎ (7)
15
Figura 2: Parâmetros referentes à definição do vão teórico
Fonte: Adaptado da NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 90)
Cada barra deve ter seu momento de inércia à flexão (Iz) determinado a partir
da largura das faixas especificadas e da altura associada as mesmas.
𝐼𝑍 =𝑏ℎ3
12 (8)
No caso do momento de inercia à torção (IX), este não é uma simples
propriedade da seção transversal da peça.
Hambly (1976) indica que o momento de inércia à torção das barras referentes
às faixas de laje devem ser o dobro do momento de inércia à flexão, garantindo-se
resultados coerentes aos obtidos pela teoria da elasticidade.
𝐼𝑥 = 2 𝐼𝑧 (9)
Figura 3 - Seção transversal de uma faixa de laje
Fonte: Autor
16
No caso das barras relacionadas às vigas, cuja seção transversal típica está
indicada na Figura 4, Gere e Weaver (1980) recomendam a seguinte fórmula.
𝐼𝑋 = 𝛽ℎ𝑏3 (10)
Onde:
𝛽 =1
3− (0,21
𝑏
ℎ) (1 −
𝑏4
12ℎ4) (11)
Figura 4 - Seção transversal de um viga retangular usual
Fonte: Autor
Deve ser destacado que (10) considera ℎ como a maior dimensão da seção
transversal e 𝑏 como a menor. Tratando-se de uma viga chata, cuja largura supera a
altura, a formulação adequada é a representada por (12).
𝐼𝑋 = 𝛽𝑏ℎ3 (12)
Para seções retangulares alongadas, cuja maior dimensão é
consideravelmente superior a menor, o valor de 𝛽 tende a 1/3. Tendo isto em vista,
Silva et al (2003) considera IX de modo simplificado segundo a expressão (13),
independentemente da relação entre a altura e a largura das vigas.
17
𝐼𝑋 =ℎ𝑏3
3 (13)
Tendo em vista a redução da rigidez à torção das vigas devido a fissuração,
Carvalho (1994) indica que, no estádio II, considere-se 10% do valor integral,
enquanto que o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014), por sua vez, recomenda a
consideração de 15% deste valor.
No que diz respeito aos módulos de elasticidade longitudinal e transversal, o
item 8.2.9 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indica que a seguinte relação para Gc e Ec,
caso o coeficiente de Poison 𝜈 seja igual a 0,2:
𝐺𝑐 =𝐸𝑐
2,4 ∴ 𝐺𝑐 ≈ 0,4 𝐸𝑐 (14)
Quanto ao carregamento uniformemente distribuído sobre a área da laje, é
possível distribuir o mesmo na forma de cargas concentradas aplicadas diretamente
nos nós ou na forma de cargas uniformemente distribuídas sobre as barras, de modo
que a conversão de carga distribuída sobre a superfície para as supracitadas se faz
mediante um processo de áreas de influência.
18
3 PROGRAMA ANALOGIA DE GRELHAS
3.1 Descrição Geral do Programa
O Programa Analogia de Grelhas foi desenvolvido na linguagem FORTRAN
utilizando o compilador Microsoft Visual Studio 2010, tendo como base um programa
já existente, denominado Programa Grelhas, cujo objetivo consiste em realizar a
análise de grelhas, tendo sido idealizado pelo aluno Gilvano Dal Ongaro em seu
Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof. Dr João Kaminski Júnior.
Inicialmente foi realizada uma adaptação deste programa, tornando os eixos
XYZ e a ordem de prioridade dos deslocamentos dos nós compatíveis com as
convenções adotadas pelo Prof. Orientador e por uma série de autores. Tal adaptação
gerou a segunda versão deste programa, denominado Programa Grelhas V2.
Feito isso, implementou-se a analogia de grelhas no programa supracitado.
Enquanto o programa original analisa uma grelha informada pelo usuário a partir de
um arquivo texto de entrada, o Programa Analogia de Grelhas lê os dados referentes
à laje de concreto armado, a transforma automaticamente em uma grelha equivalente,
analisa a mesma e, posteriormente, escreve os resultados organizadamente em um
uma série de arquivos de saída.
Um total de 12 arquivos textos estão associados a este programa, sendo 1
referente aos dados de entrada e 11 associados aos resultados, a saber:
- 01. Dados_Entrada: Contém os dados iniciais referentes à laje a ser
analisada, tais como as dimensões da laje e das vigas de bordo, a malha desejada na
discretização, intenção de considerar ou não as vigas de bordo, intenção de
considerar ou não a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, considerações a
respeito dos momentos de inércia dos elementos placa e viga, módulos de
elasticidade longitudinal e transversal do concreto, condições de apoio,
carregamentos e coeficientes de majoração de ações permanentes e variáveis;
- 02. Dados_Grelhas_V2: Este arquivo contém os dados de entrada ao
Programa Grelhas V2, que serviu de referência a este;
- 03. ANSYS_BEAM4: Arquivo texto com os dados da grelha equivalente a
serem lidos e analisados como elementos BEAM 4 no ANSYS;
- 04. Dados_TBares: Contém os parâmetros necessários à análise da laje
segundo às tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994);
19
- 05. Discretização: Indica os dados intrínsecos gerados à grelha equivalente,
tais como as coordenadas dos nós, conectividades das barras e suas propriedades
geométricas, carregamentos atuantes por nó e por barra, entre outros;
- 06. AM-Matrizes_Barras: Referente à análise matricial, contém as matrizes de
rigidez de barra nas coordenadas local e global, assim como as matrizes de rotação
R das mesmas.
- 07. AM-Matriz_Rigidez: Este arquivo texto indica as submatrizes S e SRD da
matriz de rigidez global SJ da grelha equivalente. Pelo fato desta matriz possuir uma
grande quantidade de colunas, recomenda-se um software alternativo ao Bloco de
Notas para assegurar a adequada visualização de seus dados, sendo indicado o
Notepad++;
- 08. AM-Vetores_Cargas: Contém os vetores associados aos carregamentos
e às ações nodais equivalentes;
- 09. AM-Choleski: Indica a matriz C associada ao método Choleski empregado
na resolução do sistema simétrico. Semelhante ao arquivo 07, indica-se o Notepad++
para garantir a adequada visualização de seus valores;
- 10. AM-Deslocamentos_Reações: Contém os deslocamentos e as reações de
apoio em todos os nós da grelha equivalente;
- 11. AM-Ações_Extremidade_Barra: Contém os vetores de extremidade de
barra em coordenadas locais e globais de todas as barras;
- 12. Resultados: Apresenta a forma como a laje foi discretizada, um resumo
dos dados iniciais, assim como o deslocamento transversal máximo (flecha) e o nó
onde este se verifica.
3.2 Discretização
A discretização da laje é realizada em função da malha especificada nos dados
de entrada, onde a quantidade de faixas determinadas nas direções X e Y irá definir
o número de nós e de barras, assim como o quão refinado serão os resultados.
Caso as vigas de bordo sejam desconsideradas na análise, a grelha
equivalente terá o formato apresentado na Figura 5. Cada fileira de barras está
associada ao centro geométrico de alguma das várias faixas geradas, cujos extremos
podem estar simplesmente apoiados, engastados ou livres.
20
Figura 5 - Discretização da laje desconsiderando as vigas
Fonte: Autor
Se as vigas forem consideradas, o aspecto da grelha equivalente passa a ser
conforme o apresentado na Figura 6.
Figura 6 - Discretização considerando as vigas de bordo
Fonte: Autor
As barras de cor verde, no entorno da grelha e que caracterizam um formato
retangular fechado a mesma, são referentes às vigas de bordo.
3.3 Propriedades Físicas e Geométricas das Barras
Os elementos de barra obtidas pela discretização da laje têm os módulos de
elasticidades definidos a partir dos valores informados nos dados de entrada,
enquanto que os momentos de inércia são calculados considerando-se o centro
geométrico da seção transversal das faixas.
Os valores dos momentos de inércia serão calculados segundo as expressões
(8) e (9) definidas previamente. Apesar de ser opcional o valor do coeficiente de
21
proporcionalidade entre Iz e Ix, a recomendação de Hambly (1976) será adotada em
todos os exemplos.
Quanto aos elementos viga, os módulos de deformação e o peso específico do
concreto serão os mesmos empregados à laje. Tratando-se dos momentos de inércia,
emprega-se a expressão (8) para IZ e é possível escolher entre (10) ou (13) para IX.
Cada viga é discretizada por uma única fileira de barras segundo a sua direção
longitudinal, cujo centro geométrico pode ser considerado como o da própria viga,
onde há uma excentricidade associada, ou como o da laje.
Tal excentricidade se deve a este programa utilizar análise matricial voltada
especificamente às grelhas que, por definição, são estruturas planas. Ao representar
uma laje com vigas de bordo por um reticulado cujas barras passam exatamente pelos
seus centros de gravidade, surge uma excentricidade devido ao desalinhamento entre
estes elementos estruturais, conforme a Figura 7 a seguir.
Figura 7 - Desalinhamento entre os eixos da viga e da laje
Fonte: Autor
Uma rotina de análise matricial voltada aos pórticos espaciais poderia
considerar este desalinhamento pelo fato de ser uma estrutura tridimensional. Já
neste caso, a consideração deste aspecto pode ser feita mediante o Teorema de
Steiner, onde os momentos de inércia dos elementos viga são calculados
considerando o centro de gravidade da laje, conforme (15) e (16):
22
𝐼𝑍 =𝑏ℎ3
12+ 𝐴𝑑² (15)
onde:
- 𝐼𝑍: momento de inércia à flexão;
- 𝑏: base do elemento viga, equivalente à sua largura;
- ℎ: altura do elemento viga;
- 𝐴: área da seção transversal do elemento viga;
- 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.
𝐼𝑋 = 𝛽ℎ𝑏³ + 𝐴𝑑² (16)
onde:
- 𝐼𝑋: momento de inércia à torção;
- 𝛽: Coeficiente de Gere e Weaver (1980);
- ℎ: Maior dimensão da seção transversal da viga;
- 𝑏: Menor dimensão da seção transversal da viga;
- 𝐴: área da seção transversal do elemento viga;
- 𝑑: distância entre os eixos da laje e da viga.
Tal forma de compensação resulta num acréscimo dos momentos de inércia IZ
e IX, visto que a estrutura original passa a ser considerada com vigas de bordos mais
rígidas e com seus centros de gravidade no mesmo plano do da laje, conforme
mostrado na Figura 8.
Figura 8 - Compensação da excentricidade segundo teorema de Steiner
Fonte: Autor
23
3.4 Vinculações
As vinculações são definidas em função da consideração ou não das vigas na
análise e, quando incluídas, da consideração ou não de suas deslocabilidade verticais.
Caso as vigas não sejam consideradas, considera-se a laje simplesmente
apoiada, engastada ou livre nos bordos. Se forem adotadas vigas verticalmente
indeslocáveis, também se considera a laje simplesmente apoiada, engastada ou livre
nos bordos. Na Figura 9 está representada a vinculação para estes dois casos.
Figura 9 - Vinculações segundo análises desconsiderando as vigas (esquerda) e
considerando-as verticalmente indeslocáveis (direita)
Fonte: Autor
Tratando-se de vigas verticalmente deslocáveis, considera-se o conjunto laje-
vigas de bordo apoiado nos cantos, simulando-se a presença de pilares verticalmente
indeslocáveis conforme mostra a Figura 10.
Figura 10 - Vinculação para análise considerando vigas verticalmente deslocáveis
Fonte: Autor
24
Neste caso, é possível definir os cantos que contarão com os pilares, assim
como se a vinculação aos mesmos se faz mediante apoio simples ou engaste.
3.5 Carregamentos
No arquivo texto de entrada de dados são informados a espessura da laje e o
peso específico do concreto (necessários ao peso próprio da laje), carregamentos
permanente e variável uniformemente distribuídos sobre a área da laje, assim como
os coeficientes de majoração de ações.
Caso sejam consideradas vigas verticalmente deslocáveis na análise, calcula-
se o peso próprio das vigas em função de suas dimensões e do peso específico do
concreto. Neste caso, também é possível informar carregamentos uniformemente
distribuídos nos bordos (simulando gradis ou paredes sobre as vigas) e momentos
distribuídos (empregados para representar simplificadamente o engaste do bordo).
Os carregamentos uniformemente distribuídos sobre a laje são representados
por ações concentradas aplicadas diretamente nos nós da grelha equivalente. Tais
ações concentradas são definidas em função do carregamento informado e da área
de influência de cada nó. A Figura 11 ilustra como se considera a área de influência
de cada nó, considerando ou não as vigas de bordo.
Figura 11 - Áreas de influência de cada nó ao cálculo das ações concentradas
atuantes aos casos sem vigas (esquerda) e com vigas (direita)
Fonte: Autor
Tratando-se de análise considerando vigas verticalmente deslocáveis,
considera-se o peso próprio das vigas a partir de suas dimensões e do peso específico
25
do concreto, desconsiderando-se a parcela já considerada ao peso próprio da laje,
conforme exposto na Figura 12.
Figura 12 - Trecho da viga considerado no cálculo do seu peso próprio
Fonte: Autor
A consideração de cargas permanentes uniformemente nos bordos se faz
mediante aplicação de cargas distribuídas nas barras dos bordos da grelha
equivalente, sendo definidas em função do carregamento informado e do comprimento
das barras.
Os momentos distribuídos nos bordos são considerados de forma semelhante,
sendo função do valor do momento informado e do comprimento das barras. Caso se
deseje representar o engastamento do bordo, é necessária a determinação prévia do
momento negativo referente a este vínculo, que pode ser mediante as tabelas de
Bares; análise pelo próprio programa, porém desconsiderando as vigas ou
considerando-as verticalmente indeslocáveis; ou por resultados prévios disponíveis
na literatura.
3.6 Comparação dos Resultados
Os resultados são validados pela comparação aos obtidos pelas tabelas de
Bares e adaptadas por Pinheiro (1994), dispostas no Anexo 1; pela análise gerada no
ANSYS 18.1; mediante resultados prévios presentes na literatura, quando disponíveis.
Conforme mencionado anteriormente, o programa emite um arquivo texto com
os parâmetros necessários à análise pelas Tabelas de Bares, restando apenas a
busca nas tabelas pelo tipo de laje e dos valores λ ou 𝛾, referentes à relação entre
26
as dimensões em planta da laje sem bordas livres e com bordas livres,
respectivamente.
Já a análise no ANSYS 18.1 é possibilitada devido à sub-rotina desenvolvida
justamente para escrever um arquivo texto passível de ser lido por este, garantindo a
geração automática da grelha equivalente e de todos os parâmetros a ela associados,
tais como propriedades geométricas, vinculações e carregamentos. Além de se
possibilitar a visualização tridimensional da grelha equivalente, torna-se possível a
obtenção dos diagramas de esforço cortante, de momento de torção e de momento
fletor, assim como de sua deformada.
Tratando-se de resultados disponíveis na literatura, três exemplos serão
empregados para validar os resultados desta monografia. Deve ser destacado que
diferenças mínimas nos resultados são aceitáveis devido às inevitáveis discrepâncias
nas considerações adotadas entre os programas distintos de analogia de grelhas.
27
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
Após a elaboração do programa em FORTRAN de acordo com as
considerações retrocitadas, foram escolhidos quatro exemplos para validar os
resultados mediante comparação às tabelas de Bares, à análise realizada no ANSYS
e, dependendo do exemplo, a resultados prévios disponíveis na literatura.
Os três primeiros exemplos foram retirados da literatura nacional. O primeiro foi
analisado por Silva et al (2003) em um trabalho publicado em um Simpósio nacional,
o segundo foi empregado em quatro dissertações de mestrado (REIS, 2007 apud
MAZZILLI, 1988; BARBOZA, 1992; REIS, 2007), uma tese de doutorado
(CARVALHO, 1994) e em um livro sobre Concreto Armado (CARVALHO e
FIGUEIREDO FILHO, 2014), enquanto que o terceiro exemplo foi concebido por
Kimura (2007) em um livro de sua autoria.
Já o último exemplo, que consiste de uma laje com uma borda livre, foi retirado
das Notas de Aula da disciplina de Concreto Armado B, ministrada na Universidade
Federal de Santa Maria por Santos Neto (2016).
4.1 Exemplo 1 – Laje de Silva, Figueiredo Filho e Carvalho
A laje considerada neste primeiro exemplo foi retirada do artigo “A Utilização
da Analogia de Grelha para Análise de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado”,
apresentado no V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto (SILVA et al, 2003).
Na Figura 13 está representada a laje deste exemplo. Deve ser observado que
no trabalho de Silva et al (2003) a referida laje, nos casos em que as vigas não foram
consideradas, possui como vão efetivo o valor de 3,00 m nas duas direções, de modo
que tais comprimentos foram obtidos ao considerar a distância entre os eixos das
vigas. Visando a melhor comparação dos resultados, tal procedimento também será
aqui realizado.
28
Figura 13 - Laje de Silva et al (2003)
Fonte: Silva et al (2003)
A laje em questão será analisada segundo cinco casos, a saber:
- Caso 01: Comparação inicial entre os resultados do Programa Analogia de
Grelhas, do modelo no ANSYS e do procedimento das Tabelas de Bares;
- Caso 02: Verificar a influência da malha adotada;
- Caso 03: Analisar a influência da relação entre os módulos de deformação
longitudinal e transversal do concreto;
- Caso 04: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente
indeslocáveis no entorno, assim como a influência de suas propriedades;
- Caso 05: Estudar o comportamento da laje ao considerar vigas verticalmente
deslocáveis nos bordos, assim como verificar a influência de suas propriedades.
Os dados iniciais serão os seguintes:
- Dimensões da laje: 2,80m x 2,80m x 0,08m;
- Vigas de bordo com seção 20 x 30 cm;
- Laje simplesmente apoiada em todo o contorno;
- 𝐸𝑐 = 3,2 𝑥 107𝑘𝑁/𝑚²;
- 𝐺𝑐 = 1,28 𝑥 107𝑘𝑁/𝑚²;
- 𝛾𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚³;
- Carga permanente sobre a laje = 1,00 kN/m²;
- Carga acidental sobre a laje = 3,00 kN/m².
29
4.1.1 Caso 01 – Comparação entre FORTRAN, ANSYS e Tabelas
Visando uma validação inicial do programa desenvolvido, a laje é analisada
segundo uma malha 15 x 15 e sem a consideração das vigas de bordo. Na Figura 14
está indicado o modelo gerado no ANSYS a partir do arquivo texto
03.ANSYS_BEAM4.
Figura 14 - Modelo sem vigas do Caso 01
Fonte: Autor
No Quadro 1 a seguir estão indicados os momentos máximos no meio do vão
e as flechas obtidas por Silva et al (2003), pelas tabelas de Bares, pelo Programa
Analogia de Grelhas e pelo ANSYS 18.1 com precisão de três casas decimais.
Quadro 1 – Resultados do Caso 01
Parâmetro Tabelas (B) Programa (A) ANSYS A / B
Flecha
(mm) 1,412 1,733 1,733 1,23
Mx = My
(kNm/m) 2,284 2,023 2,023 0,89
Fonte: Autor
30
Nota-se que os valores obtidos no programa desenvolvido são iguais aos do
ANSYS, o que valida a análise matricial. Em comparação às tabelas de Bares
disponíveis no Anexo 1, a flecha resultou aproximadamente 23% superior, enquanto
que os momentos no meio do vão foram 11% menores.
A Figura 15 apresenta o Diagrama de Momentos Fletores (DMT) gerado no
ANSYS, onde as regiões com cor vermelha representam os maiores momentos
positivos.
Figura 15 - Diagrama de Momento Fletor
Fonte: Autor
O DMF apresentado é condizente com a realidade, pois os momentos são nulos
nos bordos simplesmente apoiados, assim como seus momentos positivos máximos
são iguais e localizados no meio do vão da laje quadrada.
O Diagrama de Momentos de Torção (DMT) está ilustrado a seguir na Figura
16 onde, semelhante ao DMF, os maiores momentos positivos são representados pela
cor vermelha e os negativos pela cor azul.
31
Figura 16 - Diagrama de Momento de Torção
Fonte: Autor
Assim como o DMF, o DMT também condiz à realidade, visto que os quatro
cantos onde coincidem bordos simplesmente apoiados momentos volventes
relevantes, alcançando valores de 2,167 kNm/m.
4.1.2 Caso 02 – Influência da Malha
Neste caso serão consideradas as malhas 1 (4 x 4, faixas de 75 cm), 2 (6 x 6,
faixas de 50 cm), 3 (10 x 10, faixas de 30 cm), 4 (20 x 20, faixas de 15 cm), 5 (30 x
30, faixas de 10 cm) e 6 (50 x 50, faixas de 6 cm), todas representadas na Figura 17.
32
Figura 17 - Malhas utilizadas no Caso 02
Fonte: Autor
No Quadro 2 estão indicados os valores dos deslocamentos transversais
máximos (flechas elásticas) obtidos para cada malha e conforme os resultados
presentes no trabalho de Silva et al (2003), as tabelas de Bares, o programa
desenvolvido e o ANSYS.
Quadro 2 – Flechas do Caso 02 (mm)
Malha Silva et al (2003)
(C)
Tabelas
(B)
Programa
(A) ANSYS A / B A / C
1 (4 X 4) 2,106
1,412
1,993 1,993 1,411 0,946
2 (6 X 6) 1,941 1,877 1,877 1,329 0,967
3 (10 X 10) 1,799 1,770 1,770 1,254 0,984
4 (20 X 20) 1,693 1,689 1,689 1,196 0,998
5 (30 X 30) Não analisado 1,662 1,662 1,177 -
6 (50 X 50) Não analisado 1,641 1,641 1,162 -
Fonte: Autor
33
A redução da flecha com o aumento da densidade da malha é notável, assim
como a proximidade dos valores da rotina computacional com o resultado obtido pelas
tabelas de Bares e com os obtidos no trabalho de Silva et al (2003).
A variação dos deslocamentos transversais máximos conforme a malha
adotada pode ser melhor visualizada pelo gráfico da Figura 18 abaixo.
Figura 18 - Variação da flecha máxima com a malha
Fonte: Autor
Percebe-se que a variação da flecha com o aumento da densidade da malha
decresce a partir da malha 4 (20 x 20), a partir da qual os valores passam a convergir
a uma flecha ligeiramente superior a 1,6 mm. Nota-se que o valor ao qual os
deslocamentos máximos convergem é cerca de 16% superior ao obtido nas tabelas
de Bares.
Já no Quadro 3 estão indicados os valores dos momentos fletores positivos
máximos obtidos em cada malha. Pelo fato da laje ser quadrada e de não se
considerar a rigidez das vigas, tais momentos fletores são iguais nas duas direções.
1,993
1,877
1,770
1,6891,662
1,641
1,500
1,600
1,700
1,800
1,900
2,000
2,100
4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50
Flec
ha
(mm
)
Malhas
34
Quadro 3 - Momentos fletores positivos máximos do Caso 02 (kNm/m)
Malha Silva et al (2003)
(C)
Tabelas
(B)
Programa
(A) ANSYS A / B A / C
1 (4 X 4) 2,895
2,284
3,263 3,263 1,429 1,127
2 (6 X 6) 2,636 2,786 2,786 1,220 1,057
3 (10 X 10) 2,450 2,490 2,490 1,090 1,016
4 (20 X 20) 2,320 2,334 2,334 1,022 1,006
5 (30 X 30) Não analisado 2,293 2,293 1,004 -
6 (50 X 50) Não analisado 2,264 2,264 0,991 -
Fonte: Autor
Assim como as flechas, os momentos fletores positivos máximos têm seus
valores reduzidos conforme se aumenta a densidade da malha, assim como os
resultados da rotina computacional são muito semelhantes aos obtidos por Silva et al
(2003). Tal variação é melhor visualizada no gráfico da Figura 19.
Figura 19 - Relação entre momentos fletores máximos e as malhas
Fonte: Autor
Nota-se que a variação do momento fletor das malhas anteriores à malha 4 (20
x 20) é ainda mais acentuada que a variação das flechas. No entanto, a estabilização
dos valores a partir desta permanece, visto que os valores convergem a um momento
3,263
2,786
2,490
2,334 2,293 2,264
2,100
2,300
2,500
2,700
2,900
3,100
3,300
3,500
4 X 4 6 X 6 10 X 10 20 X 20 30 X 30 50 X 50
Mo
men
to F
leto
r P
osi
tivo
Máx
imo
(kN
m/m
)
Malhas
35
fletor positivo máximo ligeiramente superior a 2,260 kNm/m. Tal resultado é cerca de
1% inferior ao obtido pelas tabelas de Bares.
4.1.3 Caso 03 – Módulo de Deformação Transversal do Concreto
Nos casos anteriores foram seguidas às recomendações do item 8.2.9 da NBR
6118 (ABNT, 2014), com relação Gc/Ec igual a 0,4. Neste caso serão verificadas as
diferenças ao reduzir esta relação para 0,2. Tendo em vista a tendências dos
resultados convergirem a partir da malha 4 definida no caso anterior, esta será aqui
empregada.
No Quadro 4 a seguir estão mostrados os valores das flechas e dos momentos
fletores no meio do vão para cada relação 𝐺𝑐/𝐸𝑐 considerada, lembrando que tais
momentos são iguais pelo fato da laje ser quadrada e pelas vigas não estarem sendo
consideradas.
Quadro 4 - Resultados do Caso 03
Parâmetro Tabelas
(C) 𝐺𝑐/𝐸𝑐
Silva et al (2003)
(B)
Programa
(A) ANSYS A / B A / C
Flecha
(mm) 1,412
0,4 1,693 1,689 1,689 0,998 1,196
0,2 2,128 2,134 2,134 1,003 1,511
Mx = My
(kNm/m) 2,284
0,4 2,320 2,334 2,334 1,006 1,021
0,2 2,973 2,996 2,996 1,008 1,312
Fonte: Autor
Percebe-se que a redução de Gc/Ec de 0,4 para 0,2 acarreta em flechas e
momentos fletores máximos muito mais distantes dos valores obtidos pelas tabelas
de Bares, em torno de 51% e 31%, respectivamente.
O aumento da flecha e dos momentos fletores são consequência da redução
da rigidez à torção das barras que, por sua vez, ocorre pela redução do módulo de
deformação transversal. A redução da rigidez à torção leva à redução dos momentos
de torção e, consequentemente, ao aumento dos momentos fletores e da flecha para
garantir o equilíbrio da grelha (SILVA et al, 2003).
36
4.1.4 Caso 04 – Vigas Verticalmente Indeslocáveis
Neste caso será considerado Gc/Ec = 0,4, a malha 4 definida no Caso 02, assim
como as vigas de seção 20 x 30 indeslocáveis verticalmente. Seus momentos de
inércia serão definidos considerando o CG da própria viga e, em uma análise posterior,
o CG da laje, onde será feita a compensação pelo Teorema de Steiner.
Também serão verificados os resultados ao considerar as vigas com momento
de inércia à torção no Estádio I, adotando-se o valor calculado da seção retangular,
ou no Estádio II, adotando-se 10% do valor referente ao Estádio I (CARVALHO, 1994).
Embora o item 14.6.6.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014) indique o uso de 15% do
momento de inércia à torção das vigas devido à fissuração, será empregada a
recomendação de Carvalho (1994) pelo fato desta ter sido utilizada por Silva et al
(2003), permitindo a melhor comparação dos resultados.
Na Figura 20 está indicada a grelha gerada no ANSYS referente ao caso aqui
analisado.
Figura 20 - Modelo referente ao Caso 04
Fonte: Autor
37
O Quadro 5 contém os valores de flecha e momento fletor positivo máximo
obtidos ao considerar o momento de inércia à torção das vigas calculado no Estádio I
e no Estádio II, assim como adotando-se o eixo das vigas e das lajes no cálculo deste
e do momento de inércia à flexão.
Quadro 5 - Resultados do Caso 04
Parâmetro Tabelas
(C)
Eixo
Adotado
para Ix e Iz
das Vigas
Programa ANSYS
A / C B / C Estádio
I (A)
Estádio
II (B)
Estádio
I
Estádio
II
Flecha
(mm) 1,147
Eixo da Viga 0,609 1,145 0,609 1,145 0,531 0,998
Eixo da Laje 0,546 0,605 0,546 0,605 0,476 1,399
Mx = Mz
(kNm/m) 2,059
Eixo da Viga 1,171 1,747 1,171 1,747 0,569 0,848
Eixo da Laje 1,104 1,167 1,104 1,167 0,536 0,567
Fonte: Autor
Observa-se que a única combinação de considerações cujos resultados são
próximos aos obtidos pelas tabelas de Bares é aquela que considera,
simultaneamente, os momentos de inércia calculados adotando-se o eixo das vigas,
assim como as vigas no Estádio II ao cálculo do momento de inércia à torção.
Para esta combinação, a flecha obtida pela rotina computacional é 0,002%
inferior à obtida pelas tabelas de Bares, enquanto que os momentos máximos são
15% inferiores.
Em todas as situações as flechas e momentos máximos são superiores ao
considerar as vigas no Estádio II. A razão para tal é a redução dos momentos de
torção e consequente aumento dos momentos fletores devido à redução da rigidez à
torção das vigas por fissuração.
Da mesma forma, as flechas e momentos fletores também são superiores ao
considerar os momentos de inércia calculados segundo os eixos das vigas, sem a
compensação pelo Teorema de Steiner. Isto se deve à majoração dos momentos de
inércia ao considerar o eixo da laje, o que acaba por reduzir tanto os momentos de
torção como os fletores e, consequentemente, a flecha máxima.
Os Diagramas de Momento de Torção e Fletor estão indicados,
respectivamente, na Figura 21 a seguir, onde apenas as barras referentes às lajes
foram consideradas.
38
Figura 21 - Diagramas de momento de torção (à esquerda) e fletor (à direita) da laje
Fonte: Autor
Percebe-se que a consideração de vigas verticalmente indeslocáveis manteve
a fidelidade ao comportamento real deste tipo de laje, visto que o DMT indica
momentos volventes consideráveis nos cantos dos bordos simplesmente apoiados
(em torno de 1,284 kNm/m) e o DMF apresenta os momentos positivos máximos no
meio do vão.
Nota-se, no entanto, a presença de momentos fletores negativos próximos ao
meio dos bordos simplesmente apoiados. Tais momentos decorrem da ligação rígida
entre as barras referentes às faixas da laje e às vigas.
4.1.5 Caso 05 – Vigas Verticalmente Deslocáveis
Neste caso foi considerada a deslocabilidade vertical das vigas de bordo, cujas
vinculações aos pilares situados nos cantos foram consideradas ora por apoio
simples, caracterização uma ligação totalmente flexível aos pilares, ora engastada,
definindo uma ligação totalmente rígida aos mesmos.
A Figura 22 ilustra a grelha equivalente deste caso gerada no ANSYS.
39
Figura 22 - Modelo com vigas verticalmente deslocáveis do Caso 05
Fonte: Autor
Abaixo, no Quadro 6, estão indicados os valores de flecha e momento fletor
positivo máximo no meio do vão considerando os momentos de inércia à torção das
vigas nos Estádios I ou II, assim como as ligações entre vigas deformáveis e pilares
indeformáveis totalmente flexíveis (apoios simples) ou rígidas (engastes).
Quadro 6 - Resultados do Caso 05
Parâmetro Tabelas
Silva et al (2003) Ligação
Viga
Pilar
Programa ANSYS
Estádio
I
Estádio
II
Estádio
I
Estádio
II
Estádio
I
Estádio
II
Flecha
(mm) 1,147 1,576 1,914
Apoio
Simples 1,054 1,426 1,054 1,426
Engaste 0,606 1,153 0,606 1,153
Mx = Mz
(kNm/m) 2,284 1,693 2,093
Apoio
Simples 1,742 2,138 1,742 2,138
Engaste 1,190 1,780 1,190 1,780
Fonte: Autor
Embora os valores de flecha e momento fletor obtidos na rotina computacional
tenham sido semelhantes ao obtido pelas tabelas de Bares (principalmente ao
considerar vigas simplesmente apoiadas e Estádio II ao cálculo de IX), nota-se uma
considerável diferença na flecha obtida pelo programa e por Silva et al (2003).
40
Deve ser destacado que as flechas indicadas no Quadro 6 anterior decorrem
da subtração da flecha total do conjunto laje-vigas pela flecha das vigas. Silva et al
(2003) não informam se este procedimento foi realizado em suas análises, o que pode
ser a razão das discrepâncias observadas, haja vista que a flecha total (principalmente
do conjunto laje-vigas simplesmente apoiados sobre os pilares indeformáveis) é muito
semelhante aos valores por eles obtidos.
No Quadro 7 estão indicadas as flechas totais do conjunto laje-vigas calculadas
pela rotina computacional em comparação aos valores de Silva et al (2003),
evidenciando as afirmações do parágrafo acima.
Quadro 7 - Flecha total do modelo do Caso 05
Parâmetro Silva et al (2003) Ligação Viga
Pilar
Programa Analogia de Grelhas
Estádio I Estádio II Estádio I Estádio II
Flecha Total
(mm) 1,576 1,914
Apoio Simples 1,641 1,978
Engaste 0,703 1,258
Fonte: Autor
Quanto aos momentos fletores na laje, a Figura 23 ilustra a sua distribuição
segundo as suas duas direções, sem considerar as barras das vigas na visualização.
Figura 23 - Diagrama de momento fletor das barras da laje ao longo do eixo X global
(esquerda) e eixo Z global (direita)
Fonte: Autor
41
Apesar da região dos momentos fletores positivos máximos (em vermelho)
apresentar um aspecto “alongado” nas duas direções, estes ainda são simétricos e
iguais nas duas direções, o que é fidedigno à realidade deste tipo de laje. Também é
possível observar, semelhante ao caso anterior, os momentos fletores negativos junto
às vigas.
A Figura 24 a seguir ilustra o Diagrama de Momentos de Torção da laje aqui
analisada, sendo desconsideradas as barras relacionadas às vigas na visualização.
Figura 24 - Diagrama de momento de torção da laje
Fonte: Autor
Semelhante às análises sem vigas e com vigas indeslocáveis verticalmente, os
momentos volventes decorrentes dos momentos de torção são notáveis nos cantos
com os bordos simplesmente apoiados, com valores em torno de 0,977 kNm/m
(considerando vigas no Estádio II quanto à torção).
O Diagrama de Momentos Fletores das vigas de bordo é possível de ser obtido
na análise considerando as vigas verticalmente deslocáveis, sendo ilustrado a seguir
na Figura 25.
42
Figura 25 - Diagrama de momento fletor das vigas
Fonte: Autor
Nota-se que o DMF de todas as vigas é igual, visto que possuem as mesmas
vinculações, apresentam as mesmas propriedades físicas e geométricas, e estão
sujeitas aos mesmos carregamentos. O momento fletor positivo máximo no meio de
seus vãos é aproximadamente 8,47 kNm.
Considerando o procedimento simplificado à determinação do momento fletor
máximo no meio das vigas a partir de uma área de influência da laje sobre as vigas
de 2,56 m², conforme a Figura 26 a seguir, obtém-se 5,46 kNm, de modo que o valor
calculado pela rotina computacional é 55% superior.
Figura 26 - Momento fletor das vigas mediante processo simplificado
Fonte: Autor
Ai = 2,56 m²
P = 6,00 kN/m²
5,46
5,39 kN/m
43
Tal diferença decorre das diversas simplificações adotadas neste último
método, tal como as áreas de influência e a não consideração dos demais elementos
estruturais do pavimento. Nota-se também que enquanto no DMF da Figura 26 o
momento fletor sobre os apoios é nulo, no DMF da Figura 25 estes equivalem a 0,84
kNm/m, sendo consequência dos momentos de torção e, sobretudo, da análise
conjunta envolvendo laje e vigas.
4.2 Exemplo 2 – Pavimento de Mazzilli
Este pavimento foi empregado em uma série de dissertações nacionais de
mestrado, tendo sido inicialmente concebido por Mazzilli em seu trabalho intitulado
“Influência da Flexibilidade das Vigas de Apoio no Cálculo de Estruturas de Edifícios”
(REIS, 2007 apud MAZZILLI, 1988), onde o mesmo foi resolvido pelo método dos
elementos finitos.
Posteriormente, Barboza (1992) utilizou este pavimento tanto para explicar o
funcionamento de seu programa desenvolvido em linguagem de programação Pascal,
como para estudar a interação entre lajes e vigas mediante analogia de grelhas.
Carvalho (1994) empregou novamente este pavimento ao estudo por analogia
de grelha linear e não-linear com variações no valor do módulo de deformação
transversal G.
Com o intuito de estudar a análise de pavimentos considerando-se a interação
laje-viga-pilar, Reis (2007) reutilizou este pavimento empregando a analogia de
grelhas, método dos elementos finitos e processos simplificados.
Tal exemplo também é analisado no capítulo 7 do livro intitulado “Cálculo e
Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118:
2014” desenvolvido por Carvalho e Figueiredo Filho (2014).
Constituído por oito pilares, seis vigas e três lajes, o pavimento está
representado na Figura 27 a seguir.
44
Figura 27 - Pavimento de Mazzilli
Fonte: Adaptado de Reis (2007)
Embora os autores dos trabalhos supracitados tenham geralmente analisado
todo o pavimento simultaneamente, suas lajes serão analisadas individualmente
devido às limitações do programa desenvolvido.
Cada uma das três lajes será analisada segundo quatro casos, a saber:
- Caso 01: Vigas de bordo desconsideradas;
- Caso 02: Consideração de vigas de bordo verticalmente indeslocáveis;
- Caso 03: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e
supostas simplesmente apoiadas nos pilares;
- Caso 04: Consideração de vigas de bordo verticalmente deslocáveis e
supostas engastadas nos pilares;
45
Em todos os casos os momentos de inércia à torção dos elementos viga serão
determinados considerando-se o Estádio II, assim como será adotado apenas o centro
de gravidade da própria viga.
No Caso 04, onde as vigas são verticalmente deslocáveis, os bordos
engastados serão representados por momentos distribuídos nos respectivos bordos,
simulando-se de modo simplificado o efeito de engastamento.
A convenção dos esforços é baseada na adotada por Reis (2007), sendo
representada abaixo na Figura 28.
Figura 28 - Convenções adotadas aos momentos fletores do Exemplo 2
Fonte: Autor
Os resultados obtidos na análise individual de cada laje serão comparados
àqueles obtidos pelo modelo 2B definido por Reis (2007), onde as lajes são analisadas
individualmente mediante analogia de grelhas com barras espaçadas de 50 cm, assim
como pelas tabelas de Bares.
46
4.2.1 Laje 1
Esta laje quadrada possui os bordos superior e esquerdo simplesmente
apoiados, enquanto que o inferior e o direito são engastados. Tais características a
classificam como laje tipo 3 nas tabelas de Bares do Anexo 1, cuja relação entre o
menor e o maior vão vale 1,00.
O modelo da laje gerado no ANSYS, considerando a análise por vigas
indeslocáveis verticalmente, está representado na Figura 29.
Figura 29 - Modelo considerando vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 1
Fonte: Autor
No Quadro 8 a seguir estão indicados os valores das flechas e dos momentos
fletores positivo e negativo, conforme a simbologia apresentada na Figura 28.
Quadro 8 - Resultados da Laje 1
Parâmetro Tabelas Reis
(2007)
Considerações Quanto às
Vigas Programa ANSYS
Flecha
(cm) 1,063 1,260
Sem Vigas 1,211 1,211
Vigas Indeslocáveis 1,198 1,198
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 1,118 1,118
Vigas Deslocáveis Engastadas 0,945 0,945
47
Quadro 8 - Resultados da Laje 1
(continuação)
Parâmetro Tabelas Reis
(2007)
Considerações Quanto às
Vigas Programa ANSYS
Mx1 = Mz1
(kNm/m) 9,684 10,830
Sem Vigas 6,331 6,331
Vigas Indeslocáveis 9,891 9,891
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 10,475 10,475
Vigas Deslocáveis Engastadas 9,171 9,171
Xx1 = Xz1
(kNm/m) 25,164 26,270
Sem Vigas 25,714 25,714
Vigas Indeslocáveis 25,163 25,163
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 25,347 25,347
Vigas Deslocáveis Engastadas 25,347 25,347
Fonte: Autor
A análise desconsiderando as vigas resultou em uma flecha 14% superior à
obtida pelas tabelas de Bares, assim como em momentos fletores positivos 35%
inferior. Embora tais valores apresentem uma considerável discrepância, o momento
fletor negativo nos bordos engastados resultou apenas 2% superior.
Comparando aos resultados de Reis (2007), a flecha resultou 4% inferior, os
momentos fletores positivos foram 42% inferiores e os momentos fletores negativos
2% inferiores. A análise desconsiderando as vigas foi a que mais se afastou dos
obtidos por Reis (2007).
Ao considerar vigas verticalmente indeslocáveis, obtém-se uma flecha 13%
superior a determinada pelas tabelas de Bares, assim como momentos fletores
positivos 2% superiores e momentos fletores negativos praticamente idênticos. Esta
foi a análise cujos resultados foram mais similares aos das tabelas de Bares.
Ao comparar os resultados da rotina computacional com os obtidos por Reis
(2007), nota-se que a flecha é 5% inferior, os momentos Mx1 e Mz1 são 9% inferiores
e os momentos Xx1 e Xz1 são inferiores em 2%. Assim como esta análise foi a que
mais se aproximou dos valores das tabelas de Bares, esta foi a que mais se aproximou
dos valores determinados por Reis (2007).
Quanto às análises considerando vigas verticalmente deslocáveis sobre pilares
indeformáveis, foram adicionados momentos uniformemente distribuídos equivalentes
48
a 25,347 kNm/m sobre os bordos inferior e direito para simular a continuidade das
lajes. Tal valor foi obtido pela média aritmética dos momentos fletores negativos
obtidos nas análises anteriores e também pelas tabelas de Bares.
Ao considerar as vigas simplesmente apoiadas nos pilares a flecha e os
momentos fletores positivos resultam 5% e 8% superiores aos obtidos pelas tabelas
de Bares, respectivamente. No entanto, ao considera-las engastadas nos pilares, a
flecha e os momentos fletores positivos passam a resultar 11% e 5% inferiores.
Nota-se que mais uma vez os valores das tabelas de Bares se situam entre os
obtidos ao considerar as vigas deslocáveis simplesmente apoiadas e ao considera-
las engastadas nos mesmos.
Este comportamento por pouco não se verifica ao comparar os resultados com
os de Reis (2007), visto que a flecha e os momentos positivos calculados pela rotina
computacional são 11% e 3% inferiores ao considerar as vigas simplesmente
apoiadas, e são 25% e 15% inferiores ao considera-las engastadas.
O Diagrama de Momentos de Torção e Fletores, obtido pela análise por vigas
indeslocáveis e considerando a visualização apenas das barras referentes à laje, está
indicado na Figura 30.
Figura 30 - Diagramas de momento de torção e fletor da Laje 1
Fonte: Autor
Os diagramas são condizentes ao comportamento real deste tipo de laje, visto
que os momentos volventes relevantes estão no canto onde há o encontro de dois
bordos simplesmente apoiados; os momentos fletores Mx1 e Mz1 estão ligeiramente
49
afastados do centro da laje e em direção ao canto com os bordos simplesmente
apoiados; e os momentos fletores negativos nos bordos engastados são muito
superiores aos dos bordos simplesmente apoiados.
4.2.2 Laje 2
A laje aqui analisada é retangular, armada em duas direções, simplesmente
apoiada nos bordos inferior e esquerdo, e engastada nos bordos superior e direito.
Segundo as tabelas de Bares esta laje também é do tipo 3, porém a relação entre o
maior e o menor vão teórico equivale a aproximadamente 1,50.
Em todas as análises foi utilizada uma malha 20 x 15, conforme ilustra a Figura
31 a seguir, onde foi representado no ANSYS a análise considerando as vigas de
bordo verticalmente indeslocáveis.
Figura 31 - Modelo com vigas verticalmente indeslocáveis da Laje 2
Fonte: Autor
50
No Quadro 9 a seguir estão indicados os resultados referentes às flechas e aos
momentos fletores da laje 2.
Quadro 9 - Resultados da Laje 2
Parâmetro Reis
(2007) Tabelas
Considerações Quanto às
Vigas Programa
ANSYS
18.1
Flecha
(mm) 4,300 3,583
Sem Vigas 4,195 4,195
Vigas Indeslocáveis 4,218 4,218
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 4,225 4,225
Vigas Deslocáveis Engastadas 3,205 3,205
Mx2
(kNm/m) 4,500 3,493
Sem Vigas 3,471 3,471
Vigas Indeslocáveis 3,757 3,757
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 5,487 5,487
Vigas Deslocáveis Engastadas 3,121 3,121
Mz2
(kNm/m) 8,820 7,343
Sem Vigas 9,718 9,718
Vigas Indeslocáveis 9,378 9,378
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 7,581 7,581
Vigas Deslocáveis Engastadas 7,934 7,934
Xx2
(kNm/m) 17,510 16,160
Sem Vigas 17,065 17,065
Vigas Indeslocáveis 18,925 18,925
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 17,383 17,383
Vigas Deslocáveis Engastadas 17,383 17,383
Xz2
(kNm/m) 12,880 12,512
Sem Vigas 12,687 12,687
Vigas Indeslocáveis 13,323 13,323
Vigas Deslocáveis sobre
Apoios Simples 12,841 12,841
Vigas Deslocáveis Engastadas 12,841 12,841
Fonte: Autor
Considerando a análise sem vigas e os resultados das tabelas de Bares, nota-
se que a flecha é 17% maior, Mx2 é praticamente o mesmo, Mz2 é 32% superior, Xx2
é 6% maior e Xz2 é 1% mais elevado. Exceto por Mz2, a análise sem vigas resultou
em valores bastante similares.
51
Ao comparar os resultados desta análise com os resultados de Reis (2007),
nota-se que a flecha é 2% menor, Mx2 é 23% inferior, Mz2 é 10% maior. Xx2 é 2,5%
menor e Xz2 é 1,5% inferior. Nesta comparação as discrepâncias foram maiores que
a realizada previamente às tabelas de Bares.
A consideração de vigas verticalmente indeslocáveis, comparada às tabelas de
Bares, apresentou flecha 18% maior, Mx2 7,5% superior, Mz2 28% mais elevado, e
Xx2 e Xz2 cerca de 10% superiores. Já ao comparar com os resultados de Reis (2007)
a flecha passa a ser 2% inferior, Mx2 é 16,5% menor, Mz2 é 6% superior, e Xx2 e Xz2
são cerca de 5% mais elevados. Nota-se que as discrepâncias da análise por vigas
verticalmente indeslocáveis foram maiores que às observadas na laje 1.
Visando a simulação do engastamento ao considerar vigas verticalmente
deslocáveis, foram considerados momentos uniformemente distribuídos sobre os
bordos superior e direito iguais a 17,383 kNm/m e 12,841 kNm/m, respectivamente.
Tais momentos foram obtidos pela média aritmética dos valores de Xx2 e Xz2
previamente calculados.
Independente de considerar as vigas simplesmente apoiadas ou engastadas
sobre os pilares indeformáveis, os resultados obtidos por estas análises foram os que
mais se distanciaram dos valores obtidos tanto pelas tabelas de Bares como por Reis
(2007).
Na Figura 32 estão representados os Diagramas de Momentos de Torção e
Fletores gerados no ANSYS, os quais foram obtidos pela análise por vigas
verticalmente indeslocáveis e foi desconsiderada a visualização das barras das vigas.
Figura 32 - Diagramas de momento de torção (esquerda) e fletor (direita) da Laje 2
Fonte: Autor
52
Assim como na laje 1 é possível observar o canto onde há o encontro de bordos
simplesmente apoiados com os momentos volventes de maior intensidade, os
momentos fletores positivos distanciados dos bordos engastados e também os
momentos fletores negativos nos mesmos.
No entanto, observa-se que os momentos volventes nos cantos relacionados
ao encontro dos bordos engastados e simplesmente apoiados são superiores aos
verificados na Laje 1, principalmente ao longo de sua menor direção. Tal
comportamento é consequência da geometria retangular da laje.
4.2.3 Laje 3
A última laje deste pavimento é retangular e pode ser considerada armada em
uma direção, visto que sua maior dimensão é o dobro da menor. Quanto às
vinculações, ela é simplesmente apoiada nos bordos superior, inferior e direito, sendo
engastada apenas no bordo esquerdo.
Duas representações de modelos gerados no ANSYS estão ilustradas na
Figura 33, onde a primeira considera análise por vigas verticalmente indeslocáveis e
a segunda as considera verticalmente deslocáveis.
Figura 33 - Modelos com vigas indeslocáveis (à esquerda) e deslocáveis (à direita) da
Laje 3
Fonte: Autor
53
Percebe-se que, no modelo considerando a deslocabilidade vertical das vigas,
há um pilar situado próximo ao meio do bordo esquerdo, sendo uma representação
do pilar P5 apresentado na Figura 27 previamente.
Como o programa desenvolvido em FORTRAN possibilita a inserção de pilares
apenas nos cantos da laje, foi realizada uma modificação pontual e única na rotina
computacional afim de garantir a inserção deste pilar P5 e possibilitar a análise com
vigas verticalmente deslocáveis desta laje.
Apesar da laje poder ser considerada como armada em uma direção, foram
empregadas as tabelas de Bares na determinação de sua flecha e dos seus esforços,
considerando-a como laje tipo 2B e empregando uma relação entre vãos igual a 2,00.
No Quadro 10 estão indicados os resultados obtidos.
Quadro 10 - Resultados da Laje 3
Parâmetro Reis (2007) Tabelas Considerações Quanto
às Vigas Programa ANSYS 18.1
Flecha
(cm) 1,330 1,143
Sem Vigas 1,262 1,262
Vigas Indeslocáveis 1,293 1,293
Vigas Deslocáveis SA 4,934 4,934
Vigas Deslocáveis E 1,800 1,800
Mx3
(kNm/m) 17,170 14,496
Sem Vigas 19,215 19,215
Vigas Indeslocáveis 19,079 19,079
Vigas Deslocáveis SA 16,587 16,587
Vigas Deslocáveis E 16,578 16,578
Mz3
(kNm/m) 6,140 3,612
Sem Vigas 4,680 4,680
Vigas Indeslocáveis 4,867 4,867
Vigas Deslocáveis SA 9,973 9,973
Vigas Deslocáveis E 5,595 5,595
Xz3
(kNm/m) 31,190 29,602
Sem Vigas 35,097 35,097
Vigas Indeslocáveis 35,110 35,110
Vigas Deslocáveis SA 33,270 33,270
Vigas Deslocáveis E 33,270 33,270
Fonte: Autor
54
A análise desconsiderando as vigas apresenta consideráveis diferenças se
comparada ao resultado das tabelas de Bares, visto que a flecha é 10% maior e os
momentos Mx3, Mz3 e Xz3 são cerca de 30% superiores. Tais diferenças são
ligeiramente menores ao compará-la aos resultados de Reis (2007), visto que a flecha
é 5% menor, Mx3 é 12% maior, Mz3 é 24% inferior e Xz3 é cerca de 12,5% superior.
Comportamento semelhante é observado na análise por vigas verticalmente
indeslocáveis, onde há notáveis diferenças com os resultados das tabelas de Bares
(flecha 13% maior e momentos até 30% superiores) e discrepâncias ligeiramente
menores ao se comparar com os resultados de Reis (2007), onde a flecha é 3%
menor, Mx3 é 11% maior, Mz3 é 21% inferior e Xz3 também é 12,5% superior.
Uma representação da flecha ao longo da laje e o Diagrama de Momentos
Fletores, um considerando as barras ao longo do menor vão da laje e outro as barras
do maior vão, estão indicados na Figura 34 a seguir, sendo estes obtidos segundo a
análise por vigas de bordo verticalmente indeslocáveis, assim como desconsiderando
a visualização das barras das vigas no DMF.
Figura 34 - Representação da variabilidade das flechas (à esquerda) e diagramas de
momento fletor da Laje 3 ao longo do eixo X (no meio) e do eixo Z (à direita), ao
considerar vigas verticalmente indeslocáveis nos bordos
Fonte: Autor
55
Nesta análise a variabilidade da flecha ao longo da laje e a distribuição de
momentos fletores são fidedignas ao esperado de uma laje engastada ao longo de um
de seus maiores bordos e simplesmente apoiadas nos demais, visto que tanto a flecha
como os máximos momentos fletores positivos ao longo da menor direção estão
próximos ao meio do vão, ligeiramente afastados do bordo engastado.
No entanto, grandes diferenças são observadas ao considerar a
deslocabilidade vertical das vigas de bordo, conforme ilustra a representação dos
deslocamentos transversais ao longo da laje e o Diagrama de Momentos Fletores da
Figura 35 a seguir, este último desconsiderando as barras referentes às vigas na
visualização.
Figura 35 - Representação da variabilidade das flechas (à esquerda) e diagramas de
momento fletor da Laje 3 ao longo do eixo X (no meio) e do eixo Z (à direita), ao
considerar vigas verticalmente deslocáveis nos bordos
Fonte: Autor
Percebe-se que nesta laje, e apenas nesta laje, a análise considerando a
deslocabilidade vertical das vigas de bordo acarretou em um comportamento
completamente distinto daqueles observados ao considera-las verticalmente
indeslocáveis, conforme observado na Figura 34, assim como ao desprezá-las. Isto
se deve à presença do pilar P5 entre os extremos da viga V5.
56
Nota-se que tanto a flecha máxima como os momentos fletores positivos
máximos ao longo da maior direção estão situados no meio do vão da viga V6, ou
seja, no bordo oposto à viga V5 e aos pilares P2, P5 e P7. Desta forma, a flecha
máxima da laje coincide com a flecha máxima da viga V6.
Também se observa que os momentos fletores positivos ao longo da maior
direção passam a ser tão relevantes quanto aqueles ao longo de seu menor vão que,
por sua vez, não apresentam grandes alterações.
Quanto aos momentos fletores negativos, estes passam a apresentar maiores
valores e a serem distribuídos segundo um maior trecho do bordo esquerdo. Ademais,
percebe-se que há momentos fletores negativos nas proximidades do pilar P5 ao
analisar o DMF das barras ao longo do maior vão.
Na Figura 36 a seguir está indicado o Diagrama de Momentos Fletores
considerando somente as barras das vigas de bordo na visualização.
Figura 36 - Diagrama de momento fletor das vigas de bordo da Laje 3
Fonte: Autor
O comportamento do DMF das vigas se apresenta conforme o esperado. Os
bordos superior e inferior, respectivos à V1 e V3, demonstram o típico DMF de vigas
engastadas-apoiadas, com um momento fletor negativo no extremo engastado e uma
região com momentos fletores positivos conforme se aproxima do extremo
simplesmente apoiado.
57
Já o bordo esquerdo, representado pela viga V5, apresenta o DMF esperado
de uma viga contínua com apoios simples nos extremos (pilares P2 e P7) e um terceiro
apoio simples entre estes (pilar P5). É notável o momento fletor negativo sobre o apoio
intermediário, assim como as regiões de momentos fletores positivos entre este e os
apoios extremos. Nota-se também que o trecho entre P2 e P5, por apresentar maior
comprimento, possui maiores momentos fletores positivos se comparado aos do
trecho entre P5 e P7.
Quanto ao bordo direito, representado pela viga V6, percebe-se o maior
momento fletor positivo observado em todas as vigas. Tal comportamento é esperado,
visto que o vão desta viga bi apoiada é o maior de todo o pavimento.
4.2.4 Síntese dos Resultados
Com base nos esforços obtidos e nas flechas máximas determinadas para cada
laje, a análise desconsiderando a presença das vigas acarretou nos resultados
expostos na Figura 37.
Figura 37 - Resultados obtidos ao desconsiderar as vigas na análise
Fonte: Autor
Quanto à análise a partir de vigas verticalmente indeslocáveis, obteve-se os
resultados expostos na Figura 38.
58
Figura 38 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente indeslocáveis
Fonte: Autor
Na Figura 39 estão ilustrados os resultados referentes à análise por vigas
verticalmente indeslocáveis e simplesmente apoiadas nos pilares.
Figura 39 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis sobre apoios
simples
Fonte: Autor
59
Já os resultados obtidos ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis e
engastadas nos pilares estão representados na Figura 40.
Figura 40 - Resultados ao considerar as vigas verticalmente deslocáveis engastadas
nos pilares
Fonte: Autor
Percebe-se que, de modo geral, os valores de um mesmo esforço ou flecha
são semelhantes entre si, excetuando-se aqueles referentes à laje 3 analisada
segundo vigas verticalmente deslocáveis.
Também é notável que os momentos fletores negativos em um bordo comum,
tal como ocorre com Xx1 e Xx2, Xz1 e Xz3, e Xz2 e Xz3, são distintos conforme a laje.
No entanto, devido à continuidade das lajes os valores deveriam resultar os mesmos,
tal como ocorre em uma viga continua com apoio simples no meio do vão.
Isto se deve às limitações da rotina computacional, visto que não é possível
analisar todo um pavimento, mas apenas as lajes isoladas. Assim como é realizado
aos métodos simplificados, é necessário realizar a compatibilização dos momentos
fletores negativos antes de prosseguir ao dimensionamento.
60
4.3 Exemplo 3 – Laje de Kimura
Kimura (2007) definiu, em seu livro “Informática Aplicada em Estruturas de
Concreto Armado”, um edifício hipotético de um único pavimento composto por uma
laje, quatro vigas de bordo e quatro pilares nos cantos, com o intuito de demonstrar
como ocorre a distribuição de esforços nas vigas.
A laje é quadrada, tem 15 cm de espessura e está submetida a um
carregamento uniformemente distribuído de 10 kN/m². As vigas horizontais (V1 e V2)
têm dimensão de 20cm x 40cm, enquanto que as verticais (V3 e V4) têm 20 cm x 80
cm. A distância entre os eixos das vigas vale 4,00 m.
Na Figura 41 está indicado o pavimento considerado neste exemplo.
Figura 41 - Laje de Kimura
Fonte: Kimura (2007)
Visando enfatizar a distribuição dos esforços da laje, o peso próprio das vigas
será desconsiderado em todas as análises, o que também exigiu uma pequena
alteração pontual e única na rotina computacional elaborada.
Pelo fato da laje ser quadrada, o método das charneiras plásticas acarreta em
uma igual distribuição do carregamento da laje sobre as quatro vigas visto que,
conforme ilustra a Figura 42, as áreas de influência de cada uma são iguais. Ao adotar
esta metodologia, assume-se que cada viga estará sujeita a uma carga
61
uniformemente distribuída de 15,588 kN/m e apresentará um momento fletor máximo
de 29,485 kNm.
Figura 42 - Momento fletor das vigas definidos de modo simplificado
Fonte: Autor
Quanto à análise pelas tabelas de Bares adaptadas por Pinheiro (1994), o fato
dela ser simplesmente apoiada nos bordos a classifica como laje tipo 1, enquanto que
o fato de ser quadrada faz com que a relação entre o maior e o menor vão seja igual
a 1,00.
Kimura (2007) não menciona os dados referentes aos módulos de elasticidade
longitudinal e transversal do concreto, de modo que foram empregados os mesmos
valores definidos no Exemplo 2 (Ec = 30 GPa, ν=0,2 e Gc = 12 GPa). Da mesma forma,
Kimura (2007) não informa os valores da flecha e dos momentos fletores positivos
máximos, o que impede a comparação específica destes resultados.
O vão efetivo será definido segundo as recomendações do item 14.7.2.2 da
NBR 6118 (ABNT, 2014) e, da mesma forma, a rigidez à torção das barras referentes
às vigas será calculada considerando-as no Estádio II, conforme o item 14.6.6.2 da
NBR 6118 (ABNT, 2014).
Assim como Kimura (2007), o objetivo deste exemplo é analisar a distribuição
dos esforços nas vigas em função de suas respectivas rigidezes. Para tal, foram
realizadas duas análises, a primeira desconsiderando as vigas e a segunda
Ai = 4,41 m²
P = 13,75 kN/m²
L = 4,20 m
15,588 kN/m
29,485 kNm
62
considerando-as verticalmente deslocáveis e simplesmente apoiadas, ou seja, sobre
pilares indeformáveis e indeslocáveis.
Os dois modelos gerados no ANSYS estão dispostos na Figura 43.
Figura 43 - Modelo desconsiderando as vigas (à esquerda) e deslocáveis (à direita)
Fonte: Autor
As flechas e os momentos fletores positivos máximos obtidos estão
representados no Quadro 11 a seguir.
Quadro 11 - Resultados do Exemplo 3
Parâmetro Tabelas Considerações Quanto
às Vigas de Bordo Programa ANSYS
Flecha (mm) 1,480 Sem Vigas 1,770 1,770
Vigas Deslocáveis 2,059 2,059
Mx (kNm/m) 8,801 Sem Vigas 8,992 8,992
Vigas Deslocáveis 14,142 14,142
Mz (kNm/m) 8,801 Sem Vigas 8,992 8,992
Vigas Deslocáveis 6,617 6,617
Fonte: Autor
Nota-se que na análise desconsiderando as vigas de bordo a flecha é 19,5%
superior à definida pelas tabelas de Bares, e que os momentos fletores positivos são
iguais nas duas direções e 2% superiores se comparado ao obtido mediante as citadas
tabelas.
63
A Figura 44 a seguir demonstra o Diagrama de Esforço Cortante das barras
mais próximas às vigas, desconsiderando-se as demais barras na visualização com o
intuito de focar apenas nos esforços situados nos extremos da laje, junto às vigas,
assim como o Diagrama de Momento Fletor de todas as barras.
Figura 44 - Diagrama de esforço cortante das barras mais próximas aos bordos (à
esquerda) e diagrama de momento fletor da laje (à direita) ao desconsiderar as vigas
Fonte: Autor
Percebe-se que a variação do esforço cortante nas barras extremas da laje
analisada sem as vigas é a mesma em todas. Somando isto ao fato dos momentos
fletores positivos terem resultado os mesmos nas duas direções, nota-se que a análise
de uma laje quadrada, desconsiderando as vigas de bordo e suas propriedades
geométricas, acarreta em uma igual distribuição de seu carregamento sobre os seus
bordos, independentemente de suas rigidezes.
Ao considerar as vigas de bordo verticalmente deslocáveis na análise, percebe-
se que a flecha obtida passa a ser 39% superior ao obtido pelas tabelas de Bares e,
diferentemente da análise anterior, os momentos fletores positivos passam a ser
diferentes nas duas direções.
Enquanto Mx é 61% superior ao valor determinado pelas tabelas de Bares, Mz
é 25% inferior ao mesmo. É notável que o momento fletor aumenta consideravelmente
na direção perpendicular às vigas mais rígidas e, inversamente, diminui na direção
perpendicular às vigas menos rígidas.
64
O Diagrama de Momentos Fletores das barras da laje, segundo as direções X
e Z e desconsiderando a visualização das barras relacionadas às vigas, estão
ilustrados na Figura 45.
Figura 45 - Diagrama de momento fletor da laje ao longo do eixo X (à esquerda) e do
eixo Z (à direita), considerando as vigas de bordo verticalmente deslocáveis
Fonte: Autor
Quanto aos esforços nas vigas de bordo, a Figura 46 ilustra o Diagrama de
Esforço Cortante e o Diagrama de Momento Fletor das barras referentes às vigas,
desconsiderando-se as barras relacionadas à laje na visualização.
Figura 46 - Diagrama de esforço cortante (à esquerda) e de momento fletor (à direita)
das vigas de bordo
Fonte: Autor
65
Diferente dos diagramas expostos na Figura 44, referente à análise
desconsiderando as vigas de bordo, percebe-se que as vigas mais rígidas, V3 e V4,
estão submetidas aos maiores esforços cortantes e momentos fletores. Isto ocorre
devido a maior contribuição do carregamento da laje a estes bordos, o que, por sua
vez, se deve única e exclusivamente as maiores rigidezes dos mesmos, visto que o
peso próprio das vigas foi totalmente desconsiderado.
Quanto ao valor dos momentos fletores máximos nas vigas, todos são muito
superiores ao obtido pelo processo das áreas de influência. Para as vigas V1 e V2, o
maior momento fletor positivo, equivalente a 34,036 kNm/m, é 15% superior ao obtido
pelos processos simplificados, enquanto que para V3 e V4, equivalente a 48,284
kNm/m, é 64% superior.
4.4 Exemplo 4 – Laje com uma borda livre
A laje analisada neste exemplo foi retirada de uma das Notas de Aula da
disciplina de Concreto Armado B da Universidade Federal de Santa Maria (SANTOS
NETO, 2016). Esta possui uma borda livre, um bordo simplesmente apoiado e dois
bordos engastados, conforme representado na Figura 47 a seguir.
Figura 47 - Laje do Exemplo 4
Fonte: Adaptado de Santos Neto (2016)
Os módulos de elasticidade longitudinal e transversal serão considerados os
mesmos dos exemplos 2 e 3 (Ec = 30 GPa, ν=0,2 e Gc = 12 GPa). As seções das
66
vigas foram admitidas como 20 x 40, posto que não foram informadas no exemplo de
referência.
Quanto aos carregamentos, as cargas permanentes e variáveis exercem um
total de 4,0 kN/m² sobre a laje, de modo que a laje de 10cm de espessura acarretará
em um carregamento total de 6,0 kN/m².
Visando uma análise semelhante à realizada por Santos Neto (2016), os vãos
teóricos serão definidos considerando-se os eixos das vigas.
As nomenclaturas convencionadas aos momentos fletores estão indicadas na
Figura 48 a seguir.
Figura 48 - Convenções adotadas aos momentos fletores da laje do Exemplo 4
Fonte: Autor
Ao proceder a análise pelas tabelas do Anexo 1, nota-se que esta laje não se
enquadra nos casos básicos, enumerados de 7 a 10 e de 19 a 22, das tabelas de
Bares adaptadas por Pinheiro (1994). Portanto, é necessário utilizar a Tabela A-22
proposta por Pinheiro (1994) com a finalidade de abranger situações previamente não
consideradas.
A tabela supracitada permite a obtenção de todos os momentos fletores
relevantes a este tipo de laje. Caso se deseje obter as reações de apoio, é necessário
utilizar a Tabela A-24, também desenvolvida por Pinheiro (1994). A flecha máxima, no
entanto, não é possível de se obter por nenhuma das tabelas do Anexo 1.
67
Os dados iniciais para esta análise simplificada são o carregamento
uniformemente distribuído sobre a laje, o valor deste carregamento e os vãos teóricos.
Tais informações definem carregamento tipo 1 e uma relação entre o vão oposto à
borda livre e entre o vão adjacente igual a aproximadamente 1,50.
Já a análise pela rotina computacional desenvolvido será realizada segundo
três etapas: uma desconsiderando as vigas de bordo, outra considerando-as
verticalmente indeslocáveis e a última as considerando verticalmente deslocáveis
sobre apoios simples. Os modelos no ANSYS referentes às análises considerando as
vigas estão ilustrados na Figura 49.
Figura 49 - Modelo com vigas indeslocáveis (à esquerda) e deslocáveis (à direita)
Fonte: Autor
Os resultados obtidos estão apresentados no Quadro 12 a seguir.
Quadro 12 - Resultados do Exemplo 4
Parâmetro Tabelas Considerações Quanto às
Vigas de Bordo Programa ANSYS
Flecha Total
(mm) -
Sem Vigas 1,153 1,153
Vigas Indeslocáveis 1,120 1,120
Vigas Deslocáveis SA 2,011 2,011
Flecha Total
Subtraída das
Vigas (mm)
-
Sem Vigas 1,153 1,153
Vigas Indeslocáveis 1,120 1,120
Vigas Deslocáveis SA 1,033 1,033
68
Quadro 12 - Resultados do Exemplo 4
(continuação)
Parâmetro Tabelas
Considerações
Quanto às Vigas de
Bordo
Programa ANSYS
Mx
(kNm/m) 0,623
Sem Vigas 0,617 0,617
Vigas Indeslocáveis 0,592 0,592
Vigas Deslocáveis SA 1,123 1,123
Mz
(kNm/m) 2,935
Sem Vigas 4,435 4,435
Vigas Indeslocáveis 3,354 3,354
Vigas Deslocáveis SA 3,381 3,381
Mr
(kNm/m) 3,600
Sem Vigas 5,232 5,232
Vigas Indeslocáveis 5,322 5,322
Vigas Deslocáveis SA 5,166 5,166
Xz
(kNm/m) 4,197
Sem Vigas 3,226 3,226
Vigas Indeslocáveis 3,095 3,095
Vigas Deslocáveis SA 3,506 3,506
Xx
(kNm/m) 5,745
Sem Vigas 8,368 8,368
Vigas Indeslocáveis 6,442 6,442
Vigas Deslocáveis SA 6,852 6,852
Xr
(kNm/m) 7,232
Sem Vigas 9,370 9,370
Vigas Indeslocáveis 7,935 7,935
Vigas Deslocáveis SA 11,312 11,312
Fonte: Autor
Visto que não é possível obter a flecha deste tipo de laje pelas tabelas
propostas por Pinheiro (1994), não há um valor de comparação quanto a este
parâmetro. Nota-se, no entanto, que os três valores obtidos na rotina computacional
são muito semelhantes entre si
Quanto aos momentos fletores positivos Mx, ao longo do maior vão, as análises
desconsiderando as vigas e considerando-as verticalmente indeslocáveis apresentam
um erro de, no máximo, igual a 5% se comparado aos valores obtidos por tabelas. No
entanto, ao considerar a deslocabilidade das vigas de bordo o valor obtido passa a
ser 80% superior.
Os momentos fletores positivos Mz, referentes ao menor vão, se comportam de
maneira semelhante, apresentando erro máximo de 15% ao considerar as duas
69
análises com vigas. O maior erro está associado à análise sem vigas, cujo valor é 51%
superior ao definido segundo a Tabela A-22.
Já os valores do momento fletor positivo na borda livre Mr foram praticamente
invariáveis para as análises realizadas, sendo aproximadamente 45% superiores ao
valor calculado a partir das tabelas.
No tocante dos momentos fletores negativos Xx e Xz, percebe-se que os
valores de Xz foram inferiores ao valor de referência, enquanto que os valores de Xx
foram todos superiores. Embora os resultados de Xx tenham apresentado pouca
variação com as análises, é notável que a análise sem vigas acarretou em um valor
consideravelmente elevado para Xz, sendo cerca de 45% maior que o valor definido
pela Tabela A-22.
Deve ser destacado que, nas análises considerando vigas verticalmente
deslocáveis, o engastamento dos bordos esquerdo e inferior foi simulado mediante à
inserção de momentos fletores uniformemente distribuídos nos referidos bordos, cujos
valores foram definidos pela média aritmética dos valores de Xx e Xz definidos nas
análises anteriores.
Quanto ao momento fletor negativo Xr, referente ao canto da borda engastada
junto à borda livre, a análise considerando vigas indeslocáveis apresentou a menor
discrepância, com Xr 10% maior que o valor de referência. A análise sem vigas
resultou em um valor 29,5% superior, enquanto que a consideração de vigas
deslocáveis levou a um resultado 56% mais elevado.
Nota-se que, no caso de uma laje com borda livre, a rotina computacional levou
a resultados com diferenças ligeiramente maiores se comparado aos valores obtidos
pela tabela A-22, sendo a análise com vigas indeslocáveis a que mais se aproximou
destes.
Na Figura 50 estão indicados os Diagramas de Momento Fletor para as barras
de ambas as direções da laje, considerando a análise por vigas indeslocáveis pelo
fato desta ter resultado nos valores mais semelhantes aos de referência. As barras
referentes às vigas foram desconsideradas na visualização dos DMFs.
70
Figura 50 - Diagrama de momento fletor das barras ao longo do eixo X (à esquerda)
e do eixo Z (à direita)
Fonte: Autor
Tais diagramas são condizentes à realidade desta laje, visto que a distribuição
do momento fletor na borda oposta à borda livre é praticamente simétrica; o momento
fletor negativo na borda inferior apresenta valores crescentes conforme se aproxima
da borda livre, convergindo à Xr; os momentos fletores positivos ao longo do menor
vão também são crescentes em direção à borda livre, convergindo à Mr.
Quanto ao Diagrama de Momento Fletor das vigas, este é indicado na Figura
51 a seguir, o qual foi obtido pela análise por vigas verticalmente deslocáveis e
somente as barras referentes as mesmas foram consideradas na visualização.
Figura 51 - Diagrama de momento fletor das vigas de bordo do Exemplo 4
Fonte: Autor
71
O comportamento do DMF das vigas segue o esperado, visto que V1 e V2
apresentam a configuração típica de vigas biapoiadas e V3 apresenta o
comportamento de vigas engastadas-apoiadas.
Nota-se que o momento fletor positivo máximo de V2 é superior ao de V1, o
que é esperado pelo fato do bordo inferior ser definido por um engaste. Tal vinculação
é caracterizada, neste caso, pela continuidade devido a uma laje adjacente,
acarretando na consequente contribuição adicional da mesma ao carregamento de
V2.
72
6 CONCLUSÃO
O programa desenvolvido busca gerar uma grelha equivalente a uma laje
isolada e, em seguida, analisa-la. Sua eficácia foi comprovada pela validação dos
resultados com o programa ANSYS 18.1 e também com resultados prévios presentes
na literatura nacional.
Tanto o arquivo texto de entrada como os 11 arquivos texto de saída foram
elaborados com o intuito de garantir uma fácil compreensão do estudante quanto à
rotina computacional, apresentando de forma clara, objetiva e organizada todos os
resultados referentes às diversas etapas da análise matricial, à síntese dos resultados
da laje, assim como aos dados necessários à análise pelas tabelas de Bares
adaptadas por Pinheiro (1994), e ao ANSYS.
Em todos os exemplos as grelhas equivalentes possuíam uma grande
quantidade de nós, barras e graus de liberdade, tanto que em vários casos é
necessário utilizar o software Notepad++ para possibilitar a visualização das matrizes
de rigidez S e SRD, assim como a matriz C de Choleski.
Apesar do grande volume de dados processados, a linguagem de programação
FORTRAN possibilitou um processamento rápido e preciso. Excetuando-se a malha
6 do Exemplo 1 (50 x 50), cuja compilação demorou cerca de 1 minuto e 50 segundos,
os demais casos levavam em média 3 segundos, no máximo 10 segundos.
Em todos os exemplos a eficácia do Programa Analogia de Grelhas foi
comprovada, visto que todos os resultados se situaram próximos aos valores obtidos
pelas tabelas de Bares e posteriormente adaptadas por Pinheiro (1994), assim como
aos resultados prévios contidos na literatura. A única exceção foi a laje L3 do Exemplo
2, visto que a presença de um pilar adicional no meio de um dos bordos alterou
substancialmente a distribuição de esforços, permitindo afirmar que a eficácia dos
resultados mediante as tabelas supracitadas se torna duvidosa ao se tratar de lajes
cujas vigas de bordo não estejam vinculadas em pilares situados apenas nos cantos.
Em vista de todo o exposto e sabendo do crescente uso de softwares na
Engenharia Estrutural, é fundamental que os acadêmicos e futuros Engenheiros
Estruturais sejam habituados a associar todo o conhecimento teórico e prático
adquirido em sua formação na elaboração de novas rotinas computacionais, no
manuseio dos programas disponíveis e na interpretação correta de seus resultados,
os quais foram os objetivos deste trabalho.
73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2014, 238 p. BARBOZA, A. S. R. Contribuição à Análise Estrutural de Sistemas Lajes-Vigas de Concreto Armado Mediante Analogia de Grelha. 1992. 137 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1992. CARVALHO, R. C. Análise Não – Linear de Pavimentos de Edifícios de Concreto Através da Analogia de Grelha. 1994. 218 p. Tese (Doutorado em Engenharia de
Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1994. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: Segundo a NBR 6118: 2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014, 415 p. CHEN, W. F. The Civil Engineering Handbook. 2. ed. New York: CRC Press, 2003.
cap. 47, p. 1559-1735. COELHO, J. A. Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelhas – Conceitos Iniciais. AltoQi. 2013. Disponível em:
<http://faq.altoqi.com.br/content/245/600/pt-br/modelagem-de-lajes-de-concreto-arm ado-por-analogia-de-grelha-_-conceitos-iniciais.html?highlight=cr>. DAL ONGARO, G. Rotina Computacional para Análise de Grelhas. 2010. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, 2010. FRANÇA, A. B. M.; FUSCO, P. B. As Lajes Nervuradas na Moderna Construção de Edifícios. São Paulo: AFALA & ABRAPEX, 1997, 98 p. GERE, J.; WEAVER, W. Análise de Estruturas Reticuladas. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S.A, 1981. HAMBLY, E. C. Bridge Deck Behavior. London: Chapman and Hall, 1976, 334 p.
HENNRICHS, C. A. Estudos sobre a Modelagem de Lajes Planas de Concreto Armado. 2003. 201 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. KAMINSKI Jr, J. Análise Matricial de Estruturas "A". 2015, 265 p. Notas de Aula. KIMURA, A. E. Informática Aplicada em Estruturas de Concreto Armado: Cálculo de Edifícios com o Uso de Sistemas Computacionais. São Paulo: Pini, 2007, 632 p.
74
MAZZILLI, A. R. P. Influência da Flexibilidade das Vigas de Apoio no Cálculo de Estruturas de Edifícios. 1988. 437 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1988. PINHEIRO, L. M. Concreto Armado: Tabelas e Ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1994. REIS, E. M. Análise de Pavimentos de Edifícios Utilizando a Analogia de Grelha.
2007. 139 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2007. SANTOS NETO, A. B. S. Laje Retangular com Borda Livre. 2016, 3 p. Notas de Aula. SILVA, M. A. F.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; CARVALHO, R. C. A Utilização da Analogia de Grelha para Análise de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado. In: V Simpósio EPUSP Sobre Estruturas de Concreto, São Paulo, 2003. Anais...São
Paulo: 2003. Disponível em < http://coral.ufsm.br/decc/ECC840/Downloads/Analogia_ grelha_pavimentos.pdf>. Acesso em: 10 dez. 2017.
75
APÊNDICE A – Manual do Usuário do Programa Analogia de Grelhas
Este manual foi elaborado com o intuito de instruir adequadamente como criar
os arquivos de entrada de dados e a obter os resultados finais no Programa Analogia
de Grelhas. Tal programa utiliza arquivos texto (extensão .txt) tanto à entrada como à
saída de dados.
As estruturas analisadas no programa são grelhas equivalentes às lajes
informadas no arquivo de entrada de dados. Tais estruturas são planas e o
carregamento é aplicado perpendicularmente a este plano.
Observações:
- Não utilizar sinais gráficos (acentuação) no nome e/ou conteúdo dos arquivos;
- Sempre empregar ponto (.) como separador decimal;
- Vírgulas (,) são utilizadas para separar diferentes dados;
- Sempre utilizar as unidades que estão indicadas no corpo do arquivo texto
“01.Dados_Entrada.txt”, garantindo-se que os deslocamentos sejam obtidos em
metros, as reações de apoio e ações de extremidade de barra em kilonewtons.
1º Passo – Arquivo 01.Dados_Entrada.txt
Inicialmente é necessário assegurar que haja a pasta “Analogia de Grelhas” e,
dentro desta, três arquivos também denominados “Analogia de Grelhas”, um sendo
outra pasta de arquivos, outro sendo um arquivo do tipo “Fortran Source”, e o terceiro
sendo tipo “Microsoft Visual Studio Solution”. O arquivo 01.Dados_Entrada.txt está na
pasta de arquivos “Analogia de Grelhas”, não devendo ser deletado.
Tal arquivo texto pode ser aberto com o Bloco de Notas do Windows ou, caso
desejado, com o Notepad++. Com o arquivo aberto, notar-se-ão diversos parâmetros
a serem preenchidos, todos precedidos de uma exclamação (!). Tais parâmetros não
devem ser alterados, posto que vários possuem indicações a respeito das unidades e
das opções a serem lidas pelo programa.
A seguir estão indicados os parâmetros supracitados, os quais servem de base
caso o referido arquivo ou algumas de suas linhas pré-definidas sejam deletadas.
76
! Nome da Estrutura [Digitar o nome da estrutura] ! Número de Faixas Perpendiculares a X e Paralelas a Z [Inteiro maior que zero, referente às subdivisões da laje desconsiderando as vigas] ! Número de Faixas Perpendiculares a Z e Paralelas a X [Inteiro maior que zero, referente às subdivisões da laje desconsiderando as vigas] ! Consideração das Vigas na Análise (0 = Não Considerar; 1 = Considerar) [Escolher entre 0 ou 1] ! Vínculo do Bordo Superior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Superior (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Superior (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Inferior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Inferior (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Inferior (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Esquerdo (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Esquerdo (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Esquerda (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Vínculo do Bordo Direito (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 0, 1 ou 2] ! Espessura do Bordo Direito (cm) [Real maior que zero] ! Altura da Viga Direita (cm) [Real maior que zero, igual a espessura da laje caso o bordo seja livre] ! Deslocabilidade Vertical das Vigas (0 = Indeslocáveis; 1 = Deslocáveis) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Superior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Superior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1]
77
! Pilar no Canto Inferior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Pilar no Canto Inferior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) [Escolher entre 0 ou 1] ! Condição de Apoio das Vigas nos Pilares [Vigas Deslocáveis] (1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) [Escolher entre 1 ou 2] ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (1 para Estádio I // 0.15 para Estádio II [item 14.6.6.2 da NBR 6118: 2014]) [Real maior que zero] ! Valor de 'Beta' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (0 = 1/3; 1 = Calcular segundo a fórmula de Gere e Weaver [1980]) [Escolher entre 0 ou 1] ! Eixo Z Considerado às Vigas (0 = CG Viga; 1 = CG Laje - Compensação Mediante Teorema de Steiner) [Escolher entre 0 ou 1] ! Vão Efetivo da Laje (0 = Distância entre os Eixos das Vigas; 1 = Conforme item 14.7.2.2 da NBR 6118: 2014) [Escolher entre 0 ou 1] ! Comprimento da Laje ao Longo de X (m) [Real maior que zero, desconsiderando a largura das vigas] ! Comprimento da Laje ao Longo de Z (m) [Real maior que zero, desconsiderando a largura das vigas] ! Espessura da Laje (cm) [Real maior que zero] ! Módulo de Elasticidade Longitudinal (kPa) [Real maior que zero, podendo ser expresso em notação científica (E)] ! Módulo de Elasticidade Transversal (kPa) [Real maior que zero, podendo ser expresso em notação científica (E)] ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos de Placa (Recomenda-se 2) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida na Laje Decorrente de Ações Permanentes (kN/m²) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida na Laje Decorrente da Sobrecarga de Utilização (kN/m²) [Real maior que zero] ! Peso Próprio do Concreto Armado (Recomenda-se 25 kN/m³) [Real maior que zero] ! Carga Distribuida no Bordo Superior (kN/m) [Real] ! Carga Distribuida no Bordo Inferior (kN/m) [Real] ! Carga Distribuida no Bordo Esquerdo (kN/m)
78
[Real] ! Carga Distribuida no Bordo Direito (kN/m) [Real]
! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Superior (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Inferior (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Esquerdo (kNm/m) [Real] ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Direito (kNm/m) [Real] ! Coef. de Majoração das Ações Permanentes [Real maior que zero] ! Coef. de Majoração das Ações Variáveis [Real maior que zero]
Nota-se que há parâmetros que exigiram mais de uma linha para serem
expressos acima, porém no bloco de notas os textos referentes aos mesmos devem
ocupar uma única linha. Quanto aos espaços presentes entre cada parâmetro e o
dado anterior, estes devem ser mantidos afim de facilitar a visualização.
Com o objetivo de exemplificar tal etapa, será mostrado um exemplo hipotético
e a respectiva entrada de dados referente ao mesmo. O exemplo, referente a uma laje
em balanço com vigas nos bordos de menor comprimento, está indicado a seguir:
79
Dados Iniciais:
- Carga Permanente sobre a laje = 1 kN/m²;
- Carga Acidental sobre a laje = 2 kN/m²;
- Gradil sobre V1, V2 = 0,5 kN/m;
- Gradil sobre borda livre = (0,5 + 2,5 kN/m);
- Parede de alvenaria sobre V3 = 7,9 kN/m;
- Momento Uniformemente Distribuído ao longo de V2 = 11,714 kNm;
- Módulo de Elasticidade Longitudinal = 30.000 kN/m²
- Módulo de Elasticidade Transversal = 12.000 kN/m²
- Vigas consideradas verticalmente deslocáveis;
- Vãos efetivos segundo o item 14.7.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014);
- Momentos de inércia das vigas segundo seus respectivos CGs;
- Momento de inércia à torção das vigas considerando-as no Estádio II;
! Nome da Estrutura EXEMPLOMARQUISE ! Número de Faixas Perpendiculares a X e Paralelas a Z 16 ! Número de Faixas Perpendiculares a Z e Paralelas a X 40 ! Consideração das Vigas na Análise (0 = Não Considerar; 1 = Considerar) 1 ! Vínculo do Bordo Superior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Espessura do Bordo Superior (cm) 12 ! Altura da Viga Superior (cm) 35 ! Vínculo do Bordo Inferior (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Espessura do Bordo Inferior (cm) 12 ! Altura da Viga Inferior (cm) 35 ! Vínculo do Bordo Esquerdo (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 2 ! Espessura do Bordo Esquerdo (cm) 20
80
! Altura da Viga Esquerda (cm) 50 ! Vínculo do Bordo Direito (0 = Livre; 1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 0 ! Espessura do Bordo Direito (cm) 10 ! Altura da Viga Direita (cm) 10 ! Deslocabilidade Vertical das Vigas (0 = Indeslocáveis; 1 = Deslocáveis) 1 ! Pilar no Canto Superior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 1 ! Pilar no Canto Superior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 0 ! Pilar no Canto Inferior Esquerdo [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 1 ! Pilar no Canto Inferior Direito [Vigas Deslocáveis] (0 = Não Inserir; 1 = Inserir) 0 ! Condição de Apoio das Vigas nos Pilares [Vigas Deslocáveis] (1 = Apoio Simples; 2 = Engaste) 1 ! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (1 para Estádio I // 0.15 para Estádio II [item 14.6.6.2 da NBR 6118: 2014]) 0.15 ! Valor de 'Beta' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos Viga (0 = 1/3; 1 = Calcular segundo a fórmula de Gere e Weaver [1980]) 0 ! Eixo Z Considerado às Vigas (0 = CG Viga; 1 = CG Laje - Compensação Mediante Teorema de Steiner) 0 ! Vão Efetivo da Laje (0 = Distância entre os Eixos das Vigas; 1 = Conforme item 14.7.2.2 da NBR 6118: 2014) 1 ! Comprimento da Laje ao Longo de X (m) 1.60 ! Comprimento da Laje ao Longo de Z (m) 4.00 ! Espessura da Laje (cm) 10 ! Módulo de Elasticidade Longitudinal (kPa) 30E6 ! Módulo de Elasticidade Transversal (kPa) 12E6
81
! Valor de 'Alpha' para o Momento de Inércia à Torção dos Elementos de Placa (Recomenda-se 2) 2 ! Carga Distribuida na Laje Decorrente de Ações Permanentes (kN/m²) 1 ! Carga Distribuida na Laje Decorrente da Sobrecarga de Utilização (kN/m²) 2 ! Peso Próprio do Concreto Armado (Recomenda-se 25 kN/m³) 25 ! Carga Distribuida no Bordo Superior (kN/m) 0.5 ! Carga Distribuida no Bordo Inferior (kN/m) 0.5 ! Carga Distribuida no Bordo Esquerdo (kN/m) 7.9 ! Carga Distribuida no Bordo Direito (kN/m) 2.5
! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Superior (kNm/m) 0 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Inferior (kNm/m) 0 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Esquerdo (kNm/m) 11.714 ! Momento Uniformemente Distribuído no Bordo Direito (kNm/m) 0 ! Coef. de Majoração das Ações Permanentes 1 ! Coef. de Majoração das Ações Variáveis 1
Observações:
- Os bordos/vigas associados à laje são, genericamente, denominados
“superior”, “inferior”, “esquerdo” e “direito”, de modo que tal nomenclatura é referente
à visualização da laje em planta. No exemplo supracitado, o bordo superior está
associado à V1, o bordo inferior à V2, esquerdo à V3 e direito à borda livre.
- No caso de bordas livres, ainda é necessário inserir a largura desejada ao
bordo em questão, a qual pode ser, por recomendação, igual à largura das faixas de
laje (comprimento da laje dividido pelo número de faixas) ou inferior as mesmas;
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- O momento uniformemente distribuído no bordo esquerdo (referente à V3) foi
definido pela análise aproximada de uma viga engastada.
2º Passo: Execução do Programa
Conforme mencionado anteriormente, há três arquivos no interior da pasta
principal “Analogia de Grelhas”. Inicialmente é necessário clicar com o botão direito
sobre o arquivo “Analogia de Grelhas” tipo Microsoft Visual Studio Solution e executá-
lo com o software Microsoft Visual Studio 2010.
Feito isto, abrir a pasta de arquivos “Analogia de Grelhas” (um dos três arquivos
mencionados, não a pasta principal) e identificar o arquivo “Analogia de Grelhas” tipo
Fortran Source. Clicar neste arquivo com o botão direito e executá-lo novamente com
o Microsoft Visual Studio 2010.
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Com o programa aberto, conferir os dados do arquivo 01.Dados_Entrada para
verificar a coerência dos dados informados. Selecionar o Programa Analogia de
Grelhas e conferir se, no local indicado abaixo, está selecionada a opção “release”.
Caso contrário, certificar-se de que está é a opção escolhida.
Compilar o programa clicando sobre o ícone indicado abaixo ou com a tecla
(F5) e aguardar o término do processamento. Tal etapa demora cerca de 5 segundos.
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Após a compilação, todos os 11 arquivos textos de saída de dados estarão
disponíveis para visualização.
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ANEXO 1 – Tabelas de Bares Adaptadas por Pinheiro (1994)
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