1
Villamosságtan III. - Tranziens jelenségek vizsgálata
Molnár Gábor 2013 Május
Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék 2
1 Tranziens jelenségek 31.1 Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A soros RC kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5A soros RC kör ha uc(0) 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A soros RL kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8A soros RL kör, ha iL(0) 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 A Laplace transzformáció - emelt szinten 15
A Táblázatok 17
2
1 Tranziens jelenségek
1.1. Bevezetés
Tranziens folyamatnak nevezzük azokat a néhány τ ideig tartó folyamatokat, amik két állandósult állapot közöttzajlanak le. Ilyen állandósult állapotok a
• bekapcsolás
• kikapcsolás
• átkapcsolás
Az ilyen jelenségek vizsgálatát két módszerrel lehet végezni:
• differenciálegyenletek közvetlen megoldásával,
• Laplace transzformációs módszerrel. (s = σ + jω)
A laplace transzformációt az alábbi integrállal definiáljuk
Lf(t) =
∫ ∞0
f(t)e−stdt = F (s). (1.1)
A Laplace transzformáció értelmezési tartománya azok a [0,∞] halmazon integrálható függvények, melyek konver-gensek, azaz F (s) véges.
A Laplace transzformációval való vizsgálat menete az alábbi:
1. Felírjuk a differenciálegyenleteket
2. Laplace transzformáljuk az egyenleteket
3. kifejezzük az ismeretlent (ismeretleneket)
4. Inverz-laplace transzformálunk
1.1. ábra. Az 1(t) függvény és annak τ -val eltoltjának grafikonja.
Ahhoz, hogy akár egy sin(ωt) függvényt a [0,∞] tartományon alkalmazni tudjunk, szükségünk van egy függvényre,amely levágja az ezen kívül eső részét. Ez az un. 1(t) függvény.
1(t) =
{1 t ≥ 00 t < 0
(1.2)
3
4 1 Tranziens jelenségek
Ennek a függvénynek a Laplace transzformáltját egyszerű integrálással kiszámíthatjuk:
L1(t) =
∫ ∞0
1(t)e−stdt =
[−1
se−st
]∞0
=1
s. (1.3)
Egy másik függvény (hivatalos nevén disztribúció), az un. Dirac-delta függvény. A függvényt úgy képezzük, hogya [0, 1/ξ] tartományon a magassága ξ legyen, azon kívül zérus, majd vesszük a ξ →∞ határátmenetet, így egy olyanfüggvényt kapunk, amely az x = 0 pontban végtelen, azon kívül pedig zérus.
δ(t) =
{ξ 1/ξ ≥ 00 t < 0
(1.4)
1.2. ábra. A Dirac-delta függvény értelmezése.
A Dirac-delta függvény alapvető tulajdonsága az alábbi két integrál:∫ ∞−∞
δ(t)dt = 1, (1.5)∫ ∞−∞
δ(t− τ)f(t)dt = f(τ). (1.6)
Bizonyítás nélkül közöljük az alábbi összefüggést az egységugrás (Heaviside) függvény deriváltjával kapcsolatban:
d1(t)
dt= δ(t). (1.7)
A Laplace transzformáció fontos tulajdonsága a linearitás, azaz
L[af(t) + bg(t)] = aLf(t) + bLg(t). (1.8)
A különböző függvények Laplace transzformáltját a kiosztott képletlap "Laplace transzformációk" része tartal-mazza.
Amikor felírjuk a hálózatokra vonatkozó törvényszerűségeket, a jω helyett mindig az operátoros jelölésmódothasználjuk, azaz jω = s komplex frekvenciát. Így operátoregyenletet kapunk, ahol megjelennek az un. operátorosimpedanciák, az R, sL és az 1/(sC).
A következőkben komplex alapkapcsolások felírásán keresztül ismerjük meg a Laplace transzformáció használatát.Az egyenletek felírásakor az operátoros alakot fogjuk preferálni, kihagyva a differenciálegyenletek felírását.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 5
1.2. A Laplace transzformáció alkalmazásai
A soros RC kör
Az első feladatunk a 1.3. ábrán látható soros RC kapcsolás i(t) köráramának, uR(t) ellenálláson és uC(t) konden-zátoron eső feszültségének meghatározása. A t = 0 időpillanat előtt a generátor feszültsége 0, utána pedig egymeghatározott u0 feszültség. A kérdés, hogy milyen tranziens játszódik le a bekapcsolás miatt.
1.3. ábra. A soros RC kör.
Mivel ez az első eset, amit vizsgálunk, írjuk fel a kapcsolásra a Kirchoff második egyenletét differenciálegyenletesalakban.
u0 = R · i(t) +1
C·∫ t
0
i(τ)dτ (1.9)
Hogy kidomborítsuk a Laplace transzformáció funkcióját és előnyeit, oldjuk meg most az egyszer ezt az egyenletet.Deriváljuk mindkét oldalt az idő szerint, hogy egy elsőfokú differenciálegyenletet kapjunk, így
du0dt
= R · didt
+1
CI. (1.10)
Tudjuk, hogy du0/dt = 0, mivel nincs időfüggése, így
− 1
RCi =
di
dt. (1.11)
Ennek a megoldása, mint tudjuk egy peremértékfeladat, ahol az ansatz függvény I(t) = A · exp(λ · t), ahol A akezdeti feltételből számolt állandó. Megoldva ezzel az (1.11) egyenletet kapjuk, hogy
i(t) = A · e− 1RC · t. (1.12)
A kiinduló egyenletből meghatározhatjuk A értékét, mivel ekkor az integrál zérus, így marad az i(t = 0) = u0/Rössszefüggés, amiből a differenciálegyenlet teljes megoldása a megfelelő kezdeti értékkel
i(t) =u0R· e− 1
RC · t. (1.13)
Itt is körülményes volt már a megoldás, pedig csak két passzív elem volt a hálózatban, el lehet képzelni, mek-kora lesz egy differenciálegyenlet-rendszer, ha több hurok található a hálózatban. Az ilyen differenciálegyenletekegy kézenfekvő és egyszerű megoldási módszere, ami a műszaki alkalmazások között az egyik legelterjedtebb, az un.Laplace módszer, vagy becsületes nevén a Laplace-féle integráltranszformáció.A módszer lényege, hogy algebrai egyenletmegoldásra vezetjük vissza a differenciálegyenletek megoldását. Táblázatsegítségével alkalmazva a megfelelő transzformációs lépéseket az idő térből (reprezentációból) áttértünk a komplexfrekvenciák terébe, így az egyenlet nem időfüggő, hanem a komplex frekvenciáktól függő alakot veszi fel. A függe-lékben található egy kicsit bővebb táblázat a kiadottaknál, a komplexebb feladatok megoldásához.
Most oldjuk meg a fenti feladatot a Laplace módszerrel. Írjuk fel a körben folyó áramot az S operátoros alakban,azaz
I(s) =u0(s)
Z(s). (1.14)
6 1 Tranziens jelenségek
Tudjuk, hogy az R ellenállás operátoros alakja R, a kapacitásé most 1/(sC) az induktivitásé pedig sL. Így az áramra
I(s) =u0s· 1
R+ 1/(sC)=u0s· sC
sCR+ 1=u0R· 1
s+ 1/(RC). (1.15)
Az átalakításnál törekedjünk arra, hogy az s egyedül álljon! A kapott összefüggést inverz transzformáljuk a táblázatalapján:
i(t) = L−1(I(s)
)=u0R· 1(t) · e− 1
RC · t, (1.16)
ahol kihasználtuk, hogy az (1.15) képletet olyan alakra hoztuk, amelyik a táblázatban megtalálható.Az ábrázoláshoz határozzuk meg a t = 0, t→∞ és t = τ időpontokban az áram értékét:
t = 0 i(0) =u0R
(1.17)
t =∞ i(∞) = limt→∞
u0R· e1/(RC) · t = 0 (1.18)
t = τ = 1RC i(τ) =
u0R· e−1 = 0, 37 · u0
R(1.19)
Most határozzuk meg az uR feszültséget az i áramból
uR(t) = R · i(t) = 1(t) ·u0 · e−1
RC · t, (1.20)
valamint a Kirchoff egyenletből a kondenzátor feszültsége
uC(t) = u0 · 1(t)− u0 · 1(t) · e− 1RC · t = u0 ·
(1− e− 1
RC · t). (1.21)
Az áram és a feszültésgek időbeni változását a (1.4) ábrán láthatjuk.
1.4. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek időfüggése.
Tehát az áramkör viselkedését a 1.4. ábra alapján könnyen értelmezhetjük. Bekapcsoláskor a kondenzátor rövid-zárként működik, így a körben lévő áram maximális, majd ahogy a töltések a kondenzátorra áramolnak, úgy kezda rajta lévő feszültség nőni miközben az áram és az ellenállás feszültsége exponenciálisan csökken. Egy idő után(néhány τ idő alatt) lezajlanak a tranziens folyamatok, beáll a stacioner állapot, ahol nem folyik a körben áram ésa kondenzátor kapocsfeszültsége megyegyezik a tápfeszültséggel.
A soros RC kör ha uc(0) 6= 0
Abban az esetben, ha a kapacitáson van kezdeti feszültség, úgy megváltozik a leíró egyenlet és természetesen azeredményeink is ezt fogják követni. Ezt úgy tudjuk figyelembe venni, hogy felveszünk egy, a kondenzátorral sorbakötött feszültséggenerátort, melynek forrásfeszültségének nagysága és iránya is megegyezik az uC(0) kezdeti kapaci-tásfeszültség nagyságával és irányával, ahogy ezt a (1.5) ábrán is láthatjuk.
Ahhoz, hogy meghatározzuk a körben folyó áramot, ismét alkalmazzuk a Laplace módszert, de most már elhagyvaa differenciálegyenlet felírását, egyből kezdhetjük az operátoros alakok behelyettesítésével is. Ekkor az áram az stérben a Kirchoff egyenletből
I(s) =u0(s)− uC0(s)
Z(s)=u0 − uC0
s· 1
R+ 1sC
= (u0 − uC0)C
sRC + 1=u0 − uC0
R· 1
s+ 1RC
. (1.22)
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 7
1.5. ábra. A soros RC kapcsolás helyettesítő kapcsolása, amikor a kondenzátor fegyverzetei közti kezdőfeszültség nemzérus.
Inverz transzformáció után:
i(t) = L−1(I(s)
)= L−1
[u0 − uC0
R· 1
s+ 1RC
]=
1(t) · (u0 − uC0
R· e− 1
RC t. (1.23)
Az ábrázoláshoz most is számítsuk ki a t = 0, t→∞ és t = τ időpontokban az áram értékét:
t = 0 i(0) =u0 − uC0
R(1.24)
t =∞ i(∞) = limt→∞
u0 − uC0
R· e1/(RC) · t = 0 (1.25)
t = τ = 1RC i(τ) =
u0 − uC0
R· e−1 = 0, 37 · u0 − uC0
R(1.26)
Az ellenálláson eső feszültséget most is az áramból határozzuk meg:
uR(t) =u0 − uC0
R· e− 1
RC t ·R = 1(t) · (u0 − uC0)e−1
RC t. (1.27)
Hasonlóan a kondenzátor feszültségére:
uC(t) = u0 − uR(t) =(u0 − u0 · e−
1RC t + uC0 · e−
1RC t)· 1(t) = 1(t) ·u0 ·
(1− e− 1
RC t +uc0u0· e− 1
RC t
). (1.28)
1.6. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek idődiagramja uC0 kezdeti feszültség esetén.
Abban az esetben, ha a kezdeti feszültség a kondenzátoron nem zérus, úgy a kondenzátor feltöltődése bekapcso-láskor erről a feszültségről kezdődik, ahogy azt a 1.10. ábra harmadik grafikonján láthatjuk. Ebben az esetben akisebb potenciál, ami az ellenálláson esik kisebb áramot tud áthajtani rajta, így a kezdő áram is a kezdő potenciállalcsökkentett generátorfeszültséggel lesz arányos.
8 1 Tranziens jelenségek
1.7. ábra. A soros RL kapcsolás áramköri rajza.
A soros RL kör
A következő vizsgálandó hálózat a soros RL kör, amit a 1.7. ábrán láthatunk.Írjuk fel ismét az operátoros Kirchoff egyenletet, hogy meghatározzuk a körben folyó áram nagyságát, majd rendre
az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségeket.Az áramra írhatjuk, hogy
I(s) =u0(s)
Z(s)=u0s· 1
R+ L=u0L· 1
s(s+ R
L
) , (1.29)
ahol ismét alkalmaztuk a "maradjon magára s" elvet. Amennyiben a nevező magasabb fokszámú, az un. kifejtésitételt kell alkalmazni (lsd. táblázat). Ehhez meg kell határozni a nevező zérushelyeit, most rendre
s0 = 0, s1 = −RL
; (1.30)
A nevező és a nevező s szerinti első deriváltja
N = s
(s+
R
L
)= s2 + s
R
L, N ′ =
∂N
∂s= 2s+
R
L. (1.31)
Ekkor a kifejtési tétel összefüggése alapján az inverz Laplace transzformáció
i(t) = L−1I(s) = 1(t)u0L
(L
Re0 · t +
1
−2R/L+R/L· e−Rt/L
)= 1(t) · u0
L
(1− e−Rt/L
). (1.32)
Az áram ábrázolásához ismét határozzuk meg a t = 0, t =∞ és a t = τ időpillanatokban az áramértékeket.
t = 0 i(0) = 0 (1.33)
t =∞ i(∞) =u0R
(1.34)
t = τ = LR i(τ) =
u0R·(
1− e−1)
= 0, 63 · u0R. (1.35)
Most határozzuk meg az áram segítségével az ellenálláson eső feszültséget:
uR(t) = R · i(t) =u0R·R ·
(1− e−Rt/L
)· 1(t) = u0 · 1(t) ·
(1− e−Rt/L
)(1.36)
Ennek a feszültségnek az értékeit is nézzük meg a különböző időpontokban:
t = 0 uR(0) = 0 (1.37)t =∞ uR(∞) = u0 (1.38)
t = τ = LR uR(τ) = u0 ·
(1− e−1
)= 0, 63 ·u0. (1.39)
Hasonlóan az eddigiekhez határozzuk meg az induktivitáson eső feszültség időbeni változását.
uL(t) = u0 · 1(t)− uR(t) =(u0 − u0 + u0 · e−Rt/L
)· 1(t) = u0 · e−Rt/L · 1(t). (1.40)
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 9
Ennek a feszültségnek az értékeit is meg tudjuk határozni a különböző időpillanatokban az ábrázoláshoz:
t = 0 uL(0) = u0 (1.41)t =∞ uL(∞) = 0 (1.42)
t = τ = LR uL(τ) = u0 · e−1 = 0, 37 ·u0. (1.43)
1.8. ábra. A soros RL kapcsolás áramának és az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségének idődiagramja.
Abban az esetben, ha induktivitást kötünk az áramkörünkbe, úgy az a bekapcsolás állapotában szakadáskéntviselkedik, majd ahogy épül fel rajta a mágneses tér, úgy indul meg a körben az áram is. Ez a jelenség látható a 1.8.ábra első grafikonján. Ennek hatására az ellenálláson eső feszültség is arányos ezzel az árammal, majd több τ időmúlva el is éri a generátor feszültségét, mivel akkor már az induktivitás rövidzárként működik és az összes feszültségaz ellenálláson fog esni. Mindeközben a tekercs sarkain a kezdeti generátorfeszültségről zérusig esik a potenciál.
A soros RL kör, ha iL(0) 6= 0
Most vizsgáljuk meg a soros RL kapcsolást abban az esetben, ha t = 0 időpillanatban a tekercsnek egy iL0 kezdetiárama van. Ezt az áramot természetesen kifejezhetjük úgy is, mint egy, az induktivitás sarkain megjelenő feszültség-különbséget a t = 0 időpillanatban, amit uL0 = L · iL0 · δ(t) alakban írhatunk fel a Dirac delta függvény segítségével.A kapcsolásban ezt a feszültséget egy, azáram irányával ellentétes irányú feszültségforrással tudjuk helyettesíteni,ahogy azt a 1.9. ábra mutatja.
1.9. ábra. A soros RL kapcsolás kapcsolási rajza és helyettesítő képe, abban az esetben, ha iL0 6= 0.
Írjuk fel megint az operátoros Kirchoff egyenletet, ekkor
I(s) =u0(s) + L · IL0(s)
Z(s). (1.44)
Behelyettesítve a Laplace transzformált értékeket és az impedanciát, kapjuk, hogy
I(s) =u0
s + L · IL0
R+ sL=u0 + sLIL0s (R+ sL)
=u0
L + IL0s
s(s+ R
L
) . (1.45)
10 1 Tranziens jelenségek
Mivel ismét másodfokú a nevező, alkalmazzuk a kifejtési tételt az inverz Laplace transzformációhoz. A nevezőkét megoldása s-re
s0 = 0, s1 = −RL. (1.46)
A nevező és deriváltja
N = s2 + sR
L, N ′ =
∂N
∂s= 2s+
R
L. (1.47)
Végezzük el az inverz Laplace transzformációt
i(t) = L−1I(s) = 1(t)
(u0/L
R/L· e0 · t +
u0/L− IL0R/L−2R/L+R/L
· e−Rt/L)
= 1(t)
(u0R− u0Re−Rt/L + IL0 · e−Rt/L
). (1.48)
Az ábrázoláshoz határozzuk meg a már megszokott időpillanatokban az áram értékét:
t = 0 i(0) = IL0 (1.49)
t =∞ i(∞) =u0R
(1.50)
t = τ = LR i(τ) = 0, 63 · u0
R+ 0, 37 · IL0. (1.51)
Számítsuk ki az ellenálláson eső feszültséget:
uR(t) = R · i(t) = 1(t) ·[u0
(1− e−Rt/L + IL0 ·R · e−Rt/L
)]. (1.52)
A szokásos időpontokra ennek az értéke a megfelelő behelyettesítésekkel:
t = 0 uR(0) = IL0 ·R (1.53)t =∞ uR(∞) = u0 (1.54)
t = τ = LR uR(τ) = 0, 63 ·u0 + 0, 37 · IL0 ·R. (1.55)
Az induktivitáson eső feszültség pedig egyszerűen adódik az eddigiekből
uL(t) = u0 · 1(t)− uL(t) = (u0 − IL0R) e−Rt/L. (1.56)
Ennek az értéke a különböző időpontokban
t = 0 uL(0) = u0 − IL0 ·R (1.57)t =∞ uL(∞) = 0 (1.58)
t = τ = LR uL(τ) = 0, 37 · (u0 − IL0 ·R) . (1.59)
1.10. ábra. A soros RL kapcsolás áram, ellenállás- és induktivitásfeszültségének idődiagramja.
Amennyiben remanens áram marad az induktivitáson (remanens mágneses tér) és úgy kapcsoljuk rá a körre agenerátorunkat, akkor a kialakuló áram nem nullától, hanem a tekercsen folyó áram nagyságától kezd el növekednia végső áramérték felé. Hasonló a helyzet ezáltal az ellenálláson eső feszültség esetében is, mivel az arányos a rajtaátfolyó árammal.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 11
Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor
Ebben a részben egy feszültségosztó kimenetének időfüggését vizsgáljuk, ahol a keresztágban egy induktivitás istalálható az ellenállással sorba kötve, ahogy azt a 1.11. ábrán is láthatjuk.
1.11. ábra. Induktív elemet tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza.
Írjuk fel egyből az operátoros formában az osztóképletet
Uki(s) = u0(S) · R+ sL
R+ sL+R= u0
s+R/L
s(s+ 2R/L). (1.60)
Ismét másodfokú a nevező, tehát alkalmazzuk a kifejtési tételt. A nevező nérushelyei az s0 = 0 és az s1 = −2R/L.Meghatározva a nevező deriváltját
N ′ =∂N
∂s= 2s+
2R
L(1.61)
máris írhatjuk az inverz Laplace transzformációt
uki(t) = L−1Uki(s) = 1(t)
n∑i=0
M(si)
N ′(si)esit = u0
R/L
2R/Le0 · t + u0
−2R/L+R/L
−4R/L+ 2R/Le−2Rt/L =
u02
(1 + e−2Rt/L
)(1.62)
A kapcsolás időállandója most τ = L/2R.
1.12. ábra. Az induktivitásos feszültségosztó kimeneti feszültségének időfüggése.
A kimeneti feszültség ábrázolásához határozzuk meg a főbb időpillanatokban az értékét,
t = 0 uki(0) = u0 (1.63)
t =∞ uki(∞) =u02
(1.64)
t = τ = L2R uki(τ) =
u02· 1, 37. (1.65)
12 1 Tranziens jelenségek
A kimeneti feszültség időbeni lefutását pedig a 1.12 ábrán láthatjuk.Az induktív elemet tartalmazó osztó kimeneti feszültsége sem tartalmaz már meglepő mozzanatokat számunkra,
ha értjük az előzőekben tárgyalt kapcsolások tranziens jelenségeit. Kezdetben az induktivitás szakadásként működik,ekkor a kimeneten a generátor feszültsége jelenik meg. Ahogy nő az áram a körben úgy csökken a tekercs impedanciájaegészen addig, amíg rövidzár nem lesz néhány τ idő után. Ekkor a kimeneten a feszültség beáll az ellenállásosztóelemei által meghatározott feszültségre.
Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor
Most cseréljük ki az előzőleg induktív keresztági elemet egy kapacitív taggal, majd így vizsgáljuk a kapcsolás kime-netén megjelenő feszültség időbeni változását. A kapcsolási rajz a 1.13. ábrán látható.
1.13. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza.
Írjuk fel ismét a kimeneti feszültséget az operátoros alakban:
Uki(s) =u0s·
R+ 1sC
R+ 1sC +R
=u0s
sRC + 1
s2RC + 1=u02·
s+ 1RC
s(s+ 1
2RC
) . (1.66)
Itt is másodfokú a nevező s-ben, így a kifejtési tételhez határozzuk meg a zérusait, amik s1 = 0 és s2 = −1/(2RC).Szükség van még a nevező deriváltjára is, ami
N ′ =∂N
∂s= 2s+
1
2RC. (1.67)
Ennek alapján a kimeneti feszültség
uki(t) = L−1uki(s) =u02
1(t) · 1/(RC)
1(2RC)e0 +
u02
1(t)−1/(2RC) + 1/(RC)
−2/(2RC) + 1/(2RC)e−t/(2RC) = 1(t)
u02
(2− e−t/(2RC)
).
(1.68)Az ábrázoláshoz számoljuk ki a nulla és végtelen időpontban a kimeneti feszültséget:
t = 0 uki(0) =u02
(1.69)
t =∞ uki(∞) = u0 (1.70)
A kimeneti feszültség feszültség-idő grafikonját pedig a 1.14. ábrán láthatjuk.A kapacitív tagor tartalmazó feszültségosztó működése - ill. kimeneti feszültségének időbeni változása- is könnyen
magyarázható a korábban látottak segítségével. A generátor bekapcsolásakor a kapacitás a körben mint rövidzárszerepel, ekkor a kimeneten megjelenő feszültséget a feszültségosztó elemeinek nagysága határozza meg. Az időmúlásával a kondenzátor fegyverzetein kezdenek felhalmozódni a töltések mindaddig, amíg telítésbe nem megy.Ebben az esetben a kapacitás már szakadásként fog viselkedni és meg fog jelenni az áramkör kimenetén a generátornakmegfelelő nagyságú feszültség.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai 13
1.14. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kimeneti feszültségének feszültség-idő diagramja.
2 A Laplace transzformáció - emelt szinten
A Laplace transzformáció az integráltranszformációk csoportjába tartozik, melyek általános alakja a
F (ξ) =
∫K(ξ, x)f(x)dx, (2.1)
ahol a K(ξ, x) az úgynevezett magfüggvény (vagy kernel), aminek segítségével az integrálást végezzük. Különbözőmagfüggvények segítségével az integráltranszformációk változatos palettáját végigjátszhatjuk. Két széles körbenelterjedt és használt integráltranszformáció a Fourier-transzformáció valamint a Laplace-transzformáció.
Mi is a Laplace transzformáció és mely függvényeken van értelmezve?Az inverz-laplace transzformáció hasonló módon értelmezhető, azaz
f(t) = L−1F (s) =1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞F (s)estds. (2.2)
15
A Táblázatok
f(t) L[f(t)
]= F (s)
11
s(1)
eatf(t) F (s− a) (2)
U(t− a)e−as
s(3)
f(t− a)U(t− a) e−asF (s) (4)
δ(t) 1 (5)
δ(t− t0) e−st0 (6)
tnf(t) (−1)ndnF (s)
dsn(7)
f ′(t) sF (s)− f(0) (8)
fn(t) snF (s)− s(n−1)f(0)−
· · · − f (n−1)(0) (9)∫ t
0
f(x)g(t− x)dx F (s)G(s) (10)
tn (n ∈ Z)n!
sn+1(11)
tx (x ≥ −1 ∈ R)Γ(x+ 1)
sx+1(12)
sin ktk
s2 + k2(13)
cos kts
s2 + k2(14)
eat1
s− 1(15)
sinh ktk
s2 − k2(16)
cosh kts
s2 − k2(17)
eat − ebt
a− b1
(s− a)(s− b)(18)
aeat − bebt
a− bs
(s− a)(s− b)(19)
teat1
(s− a)2(20)
tneatn!
(s− a)n+1(21)
eat sin ktk
(s− a)2 + k2(22)
eat cos kts− a
(s− a)2 + k2(23)
eat sinh ktk
(s− a)2 − k2(24)
eat cosh kts− a
(s− a)2 − k2(25)
t sin kt2ks
(s2 + k2)2(26)
t cos kts2 − k2
(s2 + k2)2(27)
t sinh kt2ks
(s2 − k2)2(28)
t cosh kts2 − k2
(s2 − k2)2(29)
sin at
tarctan
a
s(30)
1√πte−a
2/4t e−a√s
√s
(31)
17