Vzájemná poloha přímek daných obecnou rovnicí
Mgr. Martin Krajíc
14.4.2014matematika
3.ročníkanalytická geometrie
Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizaceNad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047
Název projektu: Moderní škola
Vzájemná poloha přímekvzájemná poloha dvou přímek v rovině
různoběžné … jeden společný bod (průsečík)rovnoběžné – totožné … všechny body společné
různé … žádný společný bod
Vzájemná poloha přímekdány obecné rovnice přímek p, q:
p: ax + by + c = 0
q: a´x + b´y + c´ = 0vypočteme podíly odpovídajících si koeficientů přímek:
k1 = k2 = k3 =
přímky jsou rovnoběžné totožné: k1 = k2 = k3
přímky jsou rovnoběžné různé: k1 = k2 ≠ k3
přímky jsou různoběžné: k1 ≠ k2
Vzájemná poloha přímekPrůsečík přímek:
1. z obecných rovnic obou přímek sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
2. získané hodnoty x, y nám určují souřadnice průsečíku
Vzájemná poloha přímekPř: Určete vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných určete souřadnice průsečíku.
a) p: -6x + 14y – 4 = 0
q: 3x – 7y + 2 = 0
k1 = -6 : 3 = -2
k2 = 14 : (-7) = -2
k3 = -4 : 2 = -2
k1 = k2 = k3 přímky jsou rovnoběžné totožné
Vzájemná poloha přímekb) p: 6x – 21y – 9 = 0
q: 4x – 14y + 6 = 0
k1 = 6 : 4 = 1,5
k2 = -21 : (-14) = 1,5
k3 = -9 : 6 = -1,5
k1 = k2 ≠ k3 přímky jsou rovnoběžné různé
Vzájemná poloha přímekc) p: x + y – 5 = 0
q: 2x – 3y + 5 = 0
k1 = 1 : 2 = 0,5
k2 = 1 : (-3) = -1/3
k3 = -5 : 5 = -1
k1 ≠ k2
přímky jsou různoběžné
Průsečík:x + y – 5 = 0 /.32x – 3y + 5 = 03x + 3y – 15 = 02x – 3y + 5 = 0
5x – 10 = 0 x = 2
x + y – 5 = 02 + y – 5 = 0
y = 3
Souřadnice průsečíku:
P [2, 3]
Vzájemná poloha přímekPř: Určete číslo d tak, aby přímky p, q byly rovnoběžné.
a) p: (1 + d)x – (2 – 3d)y + d = 0
q: x + 8y – 1 = 0
k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2
po dosazení dostáváme: = /.8
8 + 8d = -(2 – 3d)
d = -2 dopočteme k1 ,k2 ,k3: k1 = -1 k2 = -1 k3 = 2
k1 = k2 ≠ k3pro d = -2 jsou přímky
rovnoběžné různé
Vzájemná poloha přímekb) p: (3 – 2d)x + (d – 4)y + 1 = 0
q: -2x + y – 1 = 0
k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2
po dosazení dostáváme: = d - 4 /.2
2d – 3 = 2d – 8
0 = -5
rovnice nemá řešení neexistuje žádné d, pro které by byly přímky rovnoběžné
Vzájemná poloha přímekPř: Určete číslo d tak, aby bod M [1, 5] ležel na přímce q.
q: (1 + d)x + (1 – d)y + 2d = 0za x, y dosadíme do rovnice přímky souřadnice bodu M
(1 + d).1 + (1 – d).5 + 2d = 0
1 + d + 5 – 5d + 2d = 0
-2d = -6
d = 3
pro d = 3 platí M ɛ q
Vzájemná poloha přímekŘešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení).
Gaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ……. platil školné nadarmo.“
Př: Urči vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných urči souřadnice průsečíku.
1. p: 2x – y + 1 = 0, q: 3x + 2 = 0
a) T = rovnoběžné totožné b) O = různoběžné
2. p: -x + y = 0, q: 2x – 2y = 0
a) T = rovnoběžné totožné b) Á = různoběžné
3. p: x + 2y + 1 = 0, q: 2x + y - 1 = 0
a) E = různoběžné b) T = rovnoběžné různé
4. p: 3x – y + 1 = 0, q: 6x – 2y + 1 = 0
a) A = různoběžné b) C = rovnoběžné různé
Vzájemná poloha přímekGaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ………... platil školné nadarmo.“
OTEC
Vzájemná poloha přímekPoužitá literatura:KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009
SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-04-14].