Vzájemná poloha přímek daných obecnou rovnicí

Mgr. Martin Krajíc

14.4.2014matematika

3.ročníkanalytická geometrie

Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizaceNad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Název projektu: Moderní škola

Vzájemná poloha přímekvzájemná poloha dvou přímek v rovině

různoběžné … jeden společný bod (průsečík)rovnoběžné – totožné … všechny body společné

různé … žádný společný bod

Vzájemná poloha přímekdány obecné rovnice přímek p, q:

p: ax + by + c = 0

q: a´x + b´y + c´ = 0vypočteme podíly odpovídajících si koeficientů přímek:

k1 = k2 = k3 =

přímky jsou rovnoběžné totožné: k1 = k2 = k3

přímky jsou rovnoběžné různé: k1 = k2 ≠ k3

přímky jsou různoběžné: k1 ≠ k2

Vzájemná poloha přímekPrůsečík přímek:

1. z obecných rovnic obou přímek sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

2. získané hodnoty x, y nám určují souřadnice průsečíku

Vzájemná poloha přímekPř: Určete vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných určete souřadnice průsečíku.

a) p: -6x + 14y – 4 = 0

q: 3x – 7y + 2 = 0

k1 = -6 : 3 = -2

k2 = 14 : (-7) = -2

k3 = -4 : 2 = -2

k1 = k2 = k3 přímky jsou rovnoběžné totožné

Vzájemná poloha přímekb) p: 6x – 21y – 9 = 0

q: 4x – 14y + 6 = 0

k1 = 6 : 4 = 1,5

k2 = -21 : (-14) = 1,5

k3 = -9 : 6 = -1,5

k1 = k2 ≠ k3 přímky jsou rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímekc) p: x + y – 5 = 0

q: 2x – 3y + 5 = 0

k1 = 1 : 2 = 0,5

k2 = 1 : (-3) = -1/3

k3 = -5 : 5 = -1

k1 ≠ k2

přímky jsou různoběžné

Průsečík:x + y – 5 = 0 /.32x – 3y + 5 = 03x + 3y – 15 = 02x – 3y + 5 = 0

5x – 10 = 0 x = 2

x + y – 5 = 02 + y – 5 = 0

y = 3

Souřadnice průsečíku:

P [2, 3]

Vzájemná poloha přímekPř: Určete číslo d tak, aby přímky p, q byly rovnoběžné.

a) p: (1 + d)x – (2 – 3d)y + d = 0

q: x + 8y – 1 = 0

k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2

po dosazení dostáváme: = /.8

8 + 8d = -(2 – 3d)

d = -2 dopočteme k1 ,k2 ,k3: k1 = -1 k2 = -1 k3 = 2

k1 = k2 ≠ k3pro d = -2 jsou přímky

rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímekb) p: (3 – 2d)x + (d – 4)y + 1 = 0

q: -2x + y – 1 = 0

k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2

po dosazení dostáváme: = d - 4 /.2

2d – 3 = 2d – 8

0 = -5

rovnice nemá řešení neexistuje žádné d, pro které by byly přímky rovnoběžné

Vzájemná poloha přímekPř: Určete číslo d tak, aby bod M [1, 5] ležel na přímce q.

q: (1 + d)x + (1 – d)y + 2d = 0za x, y dosadíme do rovnice přímky souřadnice bodu M

(1 + d).1 + (1 – d).5 + 2d = 0

1 + d + 5 – 5d + 2d = 0

-2d = -6

d = 3

pro d = 3 platí M ɛ q

Vzájemná poloha přímekŘešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení).

Gaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ……. platil školné nadarmo.“

Př: Urči vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných urči souřadnice průsečíku.

1. p: 2x – y + 1 = 0, q: 3x + 2 = 0

a) T = rovnoběžné totožné b) O = různoběžné

2. p: -x + y = 0, q: 2x – 2y = 0

a) T = rovnoběžné totožné b) Á = různoběžné

3. p: x + 2y + 1 = 0, q: 2x + y - 1 = 0

a) E = různoběžné b) T = rovnoběžné různé

4. p: 3x – y + 1 = 0, q: 6x – 2y + 1 = 0

a) A = různoběžné b) C = rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímekGaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ………... platil školné nadarmo.“

OTEC

Vzájemná poloha přímekPoužitá literatura:KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009

SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-04-14].