Wykład 3: Kinematyka
dr inż. Zbigniew Szklarski
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
mailto:[email protected]://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
2
Wstęp
Opis ruchu
KINEMATYKA
Przyczyny ruchu
DYNAMIKA
MECHANIKA
Dlaczegotaki ruch?
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
3
Podstawowe pojęcia dla ruchu prostoliniowego i krzywoliniowego.
)( 2tr
y
x
)( 1tr
)( 2tr
r
tor ruchu
przemieszczenie )()( 12 trtrr
−=
12
12 )()(
tt
trtr
t
rVśr
−
−=
=
y
x
)( 1tr
)( 2tr
r
śrV
prędkość średnia
gdy t2 → t1 Δt → dt to Δr → dr
dt
rdV
=
V
prędkość chwilowa
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
4
Prędkość chwilowa jako granica prędkości średniej
skoro to
Wektor prędkości
chwilowej jest zawsze
styczny do toru.
Vdt
rd
t
r
t
==
→lim
0
yjxir ˆˆ +=
dt
dzV
dt
dyV
dt
dxV
z
y
x
=
=
=yx VjVidt
dyj
dt
dxi
dt
rdV ˆˆˆˆ +=+==
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
5
a=0
Przyspieszenie
Przyspieszenie związane jest
ze zmianą wektora prędkości
Jeżeli to
ponieważ:
dt
Vd
t
Va
t
=
=
→ 0lim
yx
yx ajaidt
dVj
dt
dVi
dt
Vda ˆˆˆˆ +=+==
dt
dVa
dt
dVa
dt
dVa
zz
y
y
xx
=
=
= V
t
Δt
ΔV a>0 a
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
6
Ruch krzywoliniowy
W ruchu krzywoliniowym
występuje zmiana wektora
prędkości.
v2
v1
Konsekwencją tego jest
występowanie przyspieszenia
pomimo stałej wartości prędkości
v1v2
a
a
v
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
7
Przyspieszenie styczne i normalne
dt
SdV
=
dt
d =
czyli
rV
=
r
V
x
y
S
t
SV =Ruch jednostajny
Sr
S=·r
𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜑
𝑉 =𝑟 ∙ 𝑑𝜑
𝑑𝑡
V = · r
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
8
Związek pomiędzy prędkością liniową i kątową
w ruchu jednostajnympo okręgu, wektor prędkości kątowej jest stały
reguła śruby!!
x
y
z
r
V
V̂
rV
=
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
9
Ruch niejednostajny po okręgu
)(sin trx =
)(cos tdt
dr
dt
dxVx
==
sincos 22
2
rdt
dr
dt
dVa xx −==
dla współrzędnej x:
r
)(tV
x
y
skoro:dt
d =
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
10
czyli xVa xx2
−=
ponieważ:dt
d =
2
2
dt
d
dt
d ==i
to cosrVx = xr
a x2cos
−=oraz
sincos 22
2
rdt
drax −=)(sin trx =
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
11
analogicznie )(cos try = sinrVy −= yVa yy2
−=
Skoro yx ajaiaˆˆ +=
to yjVjxiVia yx
22 ˆˆˆˆ
−+−=
)ˆˆ()ˆˆ( 2 yjxiVjVia yx +−+=
ostatecznie:
rVa 2
−=
przyspieszenie styczne przyspieszenie dośrodkowe
mamy: 𝑎𝑥 =𝜀
𝜔𝑉𝑥 − 𝜔
2𝑥
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
12
Wnioski:
- kiedy maleje składowa Vy prędkości, to rośnie składowa Vx
- przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest wzdłuż promienia,
do środka okręgu
- wartość przyspieszenia dośrodkowego jest równa: r
Van
2
=
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
13
Przykłady
1. Pająk porusza się po torze krzywoliniowym, którego
długość opisana jest równaniem:
gdzie S0 i c to stałe. Wektor przyspieszenia pająka tworzy w
każdym punkcie toru stały kąt φ ze styczną do jego toru.
Obliczyć wartość:
a) przyspieszenia stycznego,
b) przyspieszenia normalnego,
c) promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.
ROZWIĄZANIE:
a) przyspieszenie styczne
stąd
cteStS 0)( =
2
2
dt
Sd
dt
dVas ==
cteScdt
dSV == 0
cts eSca 0
2=
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
14
z rysunku wynika że na
a
sa
s
n
a
atg =
stąd
tgaa sn = tgeScct = 0
2
z innej definicji przyspieszenia dośrodkowego (normalnego):
r
Van
2
= stąd podstawiając wyliczone wcześniej V:
( )tgeSc
eSc
a
Vr
ct
ct
n
==
02
220
22
ctgSctgeS ct == 0
cteScV = 0
cteStS 0)( =
b) przyspieszenie normalne:
c) promień krzywizny toru jako funkcja długości łuku krzywej:
2. Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 3,6 m. W pewnej chwili na cząsteczkę zaczyna działać przyspieszenie o wartości 0,21g, tworzące w każdym punkcie okręgu po jakim nadal porusza się cząsteczka, stały kąt 300 ze styczną do jego toru. Obliczyć:
a) szybkość cząsteczki w momencie zadziałania przyspieszenia,
b) szybkość cząsteczki w dwie sekundy później.
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
15
Toczenie bez poślizgu
Toczenie bez poślizgu – musi występować tarcie między
ciałem a podłożem, jest specyficznym rodzajem ruchu ciała,
będącym złożeniem ruchu postępowego (środka masy) i ruchu
obrotowego - wokół środka masy.
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
16
ωR
ωR
śm
vśm
vśm
vśm
2vśm
v = 0
vśm
ωR
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
17
Człowiek trzyma za jeden koniec deski o długości L opartej drugim
końcem na walcu o promieniu R. Następnie człowiek zaczyna iść
pchając deskę, która bez poślizgu toczy się po walcu, który toczy się
po podłożu.
Jaką odległość musi przejść człowiek aby dotrzeć do walca ?
Czy/jak zależy to od promienia walca ?
Przykład:
L
R
Rozwiązanie:
W czasie t środek walca przebędzie
odległość S=L=v·t
W tym samym czasie górny punkt
styczności z deską przesunie się na
odległość 2 v·t = 2L
Czyli człowiek będzie musiał
przebyć odległość 2L niezależnie od
promienia walca.
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
18
Inne ruchy krzywoliniowe
Rzut ukośny
jest to złożenie dwóch
niezależnych ruchów-
- ruchu jednostajnego
(poziomo)
- ruchu jednostajnie
zmiennego (pionowo)
x
y
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
19
HRW,1Oś x:
Fx=0; ax=0,
ruch jednostajny
Oś y:
Fy=mg; ay=g,
ruch jednostajnie zmienny
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
20
HRW,1jgg ˆ−=Oś x:
tvx
constvv
x
xx
=
== 0
Oś y:
2
2
0
0
gttvy
gtvv
y
yy
−=
−=
200
2
0)θcosv(2
gxx)θtg(y −=
równanie toru - parabola
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
21
..a tak jest naprawdę:
Siła oporu powietrza wpływa na tor rzutu ukośnego !
Piłka do gry w baseball rzucona pod kątem 45° zprędkością v = 50 m/sosiąga:
• bez oporu powietrza -- wysokość 63 m, - zasięg 254 m,
• z oporem powietrza -- wysokość 31 m, - zasięg 122 m
tor w
próżni
tor w
powietrzu
45o
optymalny kąt rzutu wynosi:
20o- 30o
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
22
Dla osi OX Dla osi OY
ruch jednostajny ruch jednostajnie
przyspieszony
X(t) = Vxt
Rzut poziomy
x
y
xV
xV
xV
xV
yV
yV
yV V
V
V2
)(2gt
HtY −=
Równanie toru – parabola – typu:
V0 = Vx = const
0V
xt =
20
2
2
0
22)(
V
gxH
V
xg
Hty −=
−=
y(t) = a-bx2
tgVtVVtV yx
+=+= 0)()(
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
23
Przykład
Piłkę wyrzucono ukośnie w górę pod kątem 450 z prędkością początkową V0= 12 m/s. W odległości 12 m od miejsca wyrzutu stoi pionowa ściana. Oblicz:
1. czas tt po którym piłka trafi w ścianę,
2. składowe prędkości piłki Vx i Vy w momencie trafienia i szybkość
wypadkową V,
3. kąt pod jakim piłka trafi w ścianę,
4. maksymalną wysokość H na jaką wzniesie się piłka,
5. wysokość od podstawy ściany h na jakiej piłka w nią uderzy,
6. w jakiej odległości X od ściany piłka po sprężystym od niej
odbiciu uderzy w ziemię.
Zadanie domowe:
Wspinacze utknęli na szczycie skały wznoszącej się 250 m nad poziomem ziemi. Samolot mający dostarczyć zaopatrzenie leci poziomo na wysokości 200 m ponad wspinaczami, z szybkością 250 km/h. Gdy znajduje się w pewnej odległości od szczytu skały następuje wyrzut zasobnika.
1. W jakiej odległości od celu zasobnik powinien zostać upuszczony z samolotu?
2. Jeżeli samolot zbliży się na odległość 400 m, to z jaką szybkością pionową (w górę czy w dół?) zasobnik musi być wyrzucony aby trafił w cel?
3. Z jaką szybkością uderzy on w szczyt skały?
21.10.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji -Teleinformatyka
24