Xavier Rabasa [email protected] 1
Xavier Rabasa [email protected] 2
INTRODUCCIÓ Llibre d’exercicis totalment desenvolupats i raonats a nivell de batxillerat amb l’objectiu d’assolir els coneixements i procediments en matèria de: Geometria Analítica de l’espai. El coneixement d’un trajecte no és més que el punt de partida. El caminar amb els sues obstacles ens fan uns experts en minimitzar el seu recorregut. Sense esforç mai trobaràs la satisfacció d’un bon resultat.
Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques
Xavier Rabasa [email protected] 3
ÍNDEX Vectors geomètrics de l’espai Teoria 4 Exercicis 7 Geometria Analítica de l’espai
Eines 14 Estratègies 19 Exercicis Equacions de rectes i plans 23 Incidència, paral·lelisme i perpendicularitat 28 Angles i distàncies 56 Posicions relatives 73
Xavier Rabasa [email protected] 4
VECTORS A L’ESPAI OPERACIONS AMB VECTORS (2,4,5) + (3,5,7) = (5,9,12) (2,4,5) - (3,5,7) = (-1,-1,-2)
(5)·(2,4,5) = (10,20,25) (-1)·(2,4,5) = (-2,-4,-5)
IDENTITAT DE VECTORS )c,b,a(v = i )f,e,d(w = .
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇔=cfbead
wv
MÒDUL D’UN VECTOR )c,b,a(v = .
222 cba)c,b,a(v ++== VECTOR UNITARI amb la mateixa direcció que )c,b,a(v = .
)c,b,a(cba
1vvu
222 ++±=±=
PRODUCTE ESCALAR dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = que formen entre ells un angle α .
α·cosfed·cbacfbeadw·v 222222 ++++=++=
Xavier Rabasa [email protected] 5
PRODUCTE VECTORIAL dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w =
)edba
,fdca
,feba
(fedcbakji
)f,e,d()c,b,a(wv −==∧=∧
MÒDUL DEL PRODUCTE VECTORIAL dels vectors )c,b,a(v = i
)f,e,d(w = que formen entre ells un angle α . α·sinw·vwv =∧
ÀREA DEL TRIANGLE format pels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = que formen entre ells un angle α .
wv21S ∧=
PRODUCTE MIXT dels vectors )c,b,a(v = , )f,e,d(w = i )i,h,g(z = .
ihgfedcba
))i,h,g()f,e,d)·((c,b,a()zw·(v =∧=∧
VOLUM DEL TETRAEDRE format per )c,b,a(v = , )f,e,d(w = i
)i,h,g(z = .
Xavier Rabasa [email protected] 6
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=∧=
ihgfedcba
·61)zw·(v
61V
PARAL·LELISME dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w =
fc
eb
dawv ==⇔
PERPENDICULARITAT dels vectors )c,b,a(v = i )f,e,d(w = 0f·ce·bd·awv =++⇔⊥
ANGLE ENTRE DOS VECTORS )c,b,a(v = i )f,e,d(w = .
α·cosfed·cbacfbeadw·v 222222 ++++=++= ⇒
222222 fed·cbacfbead
w·vw·vcos
++++++
==α
VECTOR QUE UNEIX DOS PUNTS )c,b,a(A i )f,e,d(B .
)cf,be,ad(ABAB −−−=−=
Xavier Rabasa [email protected] 7
EXERCICIS
Donat el vector )3,1,2(AB −= i el punt )2,1,3(B trobeu les coordenades del punt A. RAONAMENT
)1,2,1()3,1,2()2,1,3(ABBAABAB −=−−=−=⇒−= ⇒ )1,2,1(A −
Donats els punts )5,2,0(iD)1,1,1(C),1,3,0(B),1,2,1(A − esbrina si els vectors AB i CD són equipol·lents, en cas negatiu substitueix D per D’ per tal que ho siguin. RAONAMENT
)1,2,1()1,3,0()1,1,1(ABC'DC'DAB'CDAB −−+=−+=⇒−=−⇒≈ ⇒ )3,2,0('D i 'DD ≠
Donats els punts )2,2,3(iB)1,0,1(A , trobeu el vector AB i el seu mòdul. RAONAMENT
⇒=−=−= )1,2,2()1,0,1()2,2,3(ABAB ⎪⎩
⎪⎨⎧
=++=
=
3144AB
)1,2,2(AB
Donats els punts )7,4,3(iB)5,0,3(A , trobeu les coordenades del punt mig. RAONAMENT
4
3
2
1.
Xavier Rabasa [email protected] 8
)6,2,3(2
BA)AB(21AMAB
21AM =
+=−+=⇒= ⇒ )6,2,3(M
Dos vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram són: )1,1,0(iB)1,1,1(A − i el centre )2,2,2(M , trobeu els altres dos vèrtexs. RAONAMENT
⎩⎨⎧
=−==−=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
)5,3,4(BM2D)3,3,3(AM2C
2DBM
2CAM
⇒ ⎩⎨⎧
)5,3,4(D)3,3,3(C
Donats els punts )1,3,0(iB)1,0,3(A trobeu els dos punts que divideixen el segment AB en tres parts iguals RAONAMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
−+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
3B2AQ
3BA2P
)AB(32AQ
)AB(31AP
AB32AQ
AB31AP
⇒ ⎩⎨⎧
)1,2,1(Q)1,1,2(P
Els punts mitjans d’un triangle A B C són )1,1,1('A , )1,2,2('B i )0,2,3('C , trobeu els vèrtexs A,B,C . RAONAMENT
7
6
5
Xavier Rabasa [email protected] 9
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−+−+
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
321
231
132
3
2
1
FFFFFFFFF
'C2BA:F'B2CA:F'A2CB:F
2BA'C
2CA'B
2CB'A
⇒ 'C'B'AC'B'C'AB'A'C'BA
−+=−+=−+=
)2,1,0('C'B'AC)0,1,2('B'C'AB)0,3,4('A'C'BA
=−+==−+==−+=
Donats els punts )2,3,6(iB)2,1,2(A −− trobeu tres punts P,Q,R que divideixen el segment AB en quatre parts iguals. RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−=−−
+=+=
−=−−
+=+=
=−−
+=+=
)1,2,5(4
)12,12,12()2,1,2(AB43AR
)0,1,4(4
)8,8,8()2,1,2(AB42AQ
)1,0,3(4
)4,4,4()2,1,2(AB41AP
⇒ )1,2,5(R
)0,1,4(Q)1,0,3(P
−−−
Esbrineu si els punts A(1,2,3) , B(4,1,3) i C(7,0,3) estan afilerats. RAONAMENT
AB·2AC)0,2,6(ACAC
)0,1,3(ABAB=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
−=−= ⇒ vectors paral·lels
Els tres punts estan afilerats.
9
8
Xavier Rabasa [email protected] 10
Calculeu els valors d’x i d’y per tal que el vector )2,y,x(w = sigui perpendicular als vectors )0,1,1(u −= i )1,0,2(v −= . RAONAMENT
⇒=−+=+−
⇒==
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
⊥
⊥020x200yx
0v·w0u·w
vw
uw
1y1x
==
⇒ )2,1,1(w =
Calcula el valor del paràmetre a per tal que el producte vectorial de
)0,1,1(u = per )0,a,2(v = tingui la direcció de l’eix OZ. RAONAMENT 1.vector unitari en direcció a l’eix OZ, )1,0,0(k = 2.producte vectorial
)2a,0,0(k)·2a(j·0i·00a2011kji
vuw −=−++==∧=
3.la condició de paral·lelisme entre w i k es compleix sempre que 2a ≠
Calculeu el producte vectorial de: )0,1,2(u −= per )1,1,3(v −= . RAONAMENT
k·5j·2i·1113
012kji
vuw ++=−
−=∧= ⇒ )5,2,1(vu =∧
12
11
10
Xavier Rabasa [email protected] 11
Donats els vectors )1,0,1(a −= , )1,1,1(b = , )3,2,1(c −= calculeu:
)cb(a ∧∧ i c)ba( ∧∧ RAONAMENT
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−=∧∧
−−=∧∧
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−=−=∧
−=−
=∧
321121kji
c)ba(
145101
kji)cb(a
)1,2,1(111101
kjiba
)1,4,5(321
111kji
cb
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∧∧
=∧∧
)4,4,4(c)ba(
)4,4,4()cb(a
Trobeu el volum del paral·lelepípede format pels vectors OC,OB,OA on: )1,0,1(OA = , )1,1,2(OB −= i )1,2,2(OC −= . RAONAMENT
201122112
101)OCOB·(OAV +−=
−−=∧= ⇒ 3V = 3u
15
14
13
Xavier Rabasa [email protected] 12
Trobeu el volum del tetràedre ABCD on: )2,4,1(AB = , )0.0.1(AC = , )1,1,2(AD −= .
RAONAMENT
24061
112001241
61)ADAC·(AB
61V ++=
−=∧= ⇒ 1V = 3u
Calculeu l’àrea del triangle ABC on: )2,1,0(C),0,1,1(B),2,2,2(A − . RAONAMENT
)5,4,2(21
012231
kji
21ACAB
21S
)0,1,2(AC
)2,3,1(AB−−=
−−−−−=∧=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=
−−−=
⇒ 24525164
21S =++= 5
23S = 2u
Calculeu el volum i l’àrea de la base d’una piràmide de vèrtex )1,0,1(V − i base el paral·lelogram ABDC (A i D oposats pel centre del paral·lelogram) on: )2,1,2(B),0,1,1(A − i ).0,2,0(C RAONAMENT
)1,1,0(AV)0,1,1(AC)2,0,1(AB −−=−=−=
V = )ACAB(.AV61·2 ∧ = 120
31
011201110
31
−−=−
−−−
⇒ 1V = u3
17
16
Xavier Rabasa [email protected] 13
144)1,2,2(011201
kjiACABS ++=−=
−−=∧= ⇒ 3S = 2u
Calculeu els dos vectors unitaris 1w i 2w perpendiculars al pla que conté als vectors: )1,1,1(u −= i ).2,1,0(v = RAONAMENT
14149vu)1,2,3(210111kji
vu =++=∧⇒−−=−=∧
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−−=∧∧
−=
−−+=∧∧
+=
)1,2,3(141
vuvuw
)1,2,3(141
vuvuw
2
1
⇒ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=
141,
142,
143w
141,
142,
143w
1
1
Trobeu les coordenades dels punts P i Q, en funció de A i B, que divideixen el segment AB en tres parts iguals. RAONAMENT
3B2A1)AB(
32AQAB
32OAOQ
3B1A2)AB(
31APAB
31OAOP
+=−+=+=
+=−+=+=
19
18
Xavier Rabasa [email protected] 14
GEOMETRIA DE L’ESPAI EINES EQUACIONS DE LA RECTA, que passa pel punt )z,y,x(A 000 i porta la direcció del vector ).c,b,a(v = 1.equació vectorial de paràmetre t, { })c,b,a(t)z,y,x()z,y,x( 000 +=
2.equació paramètrica, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
tczztbyytaxx
0
0
0
3.equació contínua, c
zzb
yya
xx 000 −=
−=
−
4.equació implícita ⎩⎨⎧
−=−−=−
)zz(a)xx(c)yy(a)xx(b
00
00
PUNT GENÈRIC D’UNA RECTA que passa pel punt )z,y,x(A 000 i porta la direcció del vector ).c,b,a(v =
P(x,y,z) ⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
tczztbyytaxx
0
0
0
⇒ )tcz,tby,tax(P 000 +++
EQUACIÓ DEL PLA :π que passa pel punt )z,y,x(A 000 i és perpendicular al vector ).c,b,a(v =
:π⎩⎨⎧
=+++=+++
0?czbyax0?czbyax
000
⇒ ( ) 0czbyaxczbyax 000 =++−++
Xavier Rabasa [email protected] 15
FEIX DE PLANS QUE PASSEN PER UNA RECTA { }r
⇒⎩⎨⎧
=+++=+++
0'dz'cy'bx'a0dczbyax
( ) ( ) 0'dz'cy'bx'atdczbyax =+++++++
FEIX DE PLANS PARAL·LELS A UN PLA { }0dczbyax =+++≡π
{ }0?czbyax =+++≡π RECTA PERPENDICULARS AL PLA )0dczbyax( =+++≡π que passa pel punt )z,y,x(A 000 .
Equació contínua c
zzb
yya
xx 000 −=
−=
−
POSICIÓ RELATIVA
a) de dos plans ⎩⎨⎧
=+++=+++
0'dz'cy'bx'a0dczbyax
1.analitzem el rang de les matrius, A= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛'c'b'a
cba i ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
'd'c'b'adcba
A
2.
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
==
==
lels·paralincidents
erposatssup
ArangArang2ArangArang1ArangArang
b) recta r≡ ⎩⎨⎧
=+++=+++
0'dz'cy'bx'a0dczbyax
i pla )0''dz''cy''bx''a( =+++≡π
1.analitzem el rang de les matrius,
Xavier Rabasa [email protected] 16
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
''c''b''a'c'b'a
cbaA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
''d''c''b''a'd'c'b'a
dcbaA
2. discussió, ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=≠=
==
==
pla_al_lela·paral_rectapla_el_en_continguda_recta
punt_un_en_incidents
3Arang2Arang
2ArangArang3ArangArang
c) de dues rectes ⎩⎨⎧
= )c,b,a(v
)z,y,x(A:r 000 i
⎩⎨⎧
= )'c,'b,'a(w
)z,y,x(A:s 111
1.analitzem el rang de les matrius, ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
'cc'bb'aa
A i A= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
01
01
01
zz'ccyy'bbxx'aa
2. discussió, ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=≠=
=≠=
==
==
leles·paral_rectescreuen_es
erpossadessup_rectespunt_un_en_incidents
2Arang1Arang3Arang2Arang
1ArangArang2ArangArang
d) de tres plans { }{ }{ }⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=+++=+++
=+++
0''dz''cy''bx''a:0'dz'cy'bx'a:
0dczbyax:
3
2
1
πππ
1.analitzem el rang de les matrius,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
''c''b''a'c'b'a
cbaA
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
''d''c''b''a'd'c'b'a
dcbaA
2. discussió,
Xavier Rabasa [email protected] 17
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧⎩⎨⎧
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=≠=
=≠=
==
==
==
lels·paral_treslel·paral_un_i_erpossatssup_dos
)e
triangular_prismano_altre'l_i_lels·paral_dos
)d
erpossatssup_plans)c
recta_una_en_incidents)b
punt_un_en_ncidents)a
2Arang1Arang)e
3Arang2Arang)d1ArangArang)c
2ArangArang)b3ArangArang)a
DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS )z,y,x(A 000 i )z,y,x(B 111
201
201
201 )zz()yy()xx( −+−+−
DISTÀNCIA entre PUNT )z,y,x(A 000 i PLA )0dczbyax( =+++≡π
222
000
cbadczbyax
++
+++
ÀREA DEL TRIANGLE { }C,B,A
ACAB21S ∧=
VOLUM DEL TETRÀEDRE { }D,C,B,A
)ADAC·(AB61V ∧=
Xavier Rabasa [email protected] 18
Xavier Rabasa [email protected] 19
ESTRATÈGIES DETERMINACIÓ D’UNA RECTA Donat un punt i un vector 1.es forma l’equació contínua Donats dos punts 1.es forma el vector que uneix els punts 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i una recta paral·lela 1.es pren el vector de la recta paral·lela com a director de la recta 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i un pla perpendicular a la recta 1.es pren com a vector director de la recta el vector director del pla 2.es forma l’equació contínua Donat un punt i una recta perpendicular incident 1.pla perpendicular a la recta que passa pel punt 2.punt d’intersecció entre el pla i la recta 3.equació de la recta que passa per dos punts Que passa per un punt i toca a dues rectes 1.pla que conté a la primera recta i al punt 2.pla que conté a la segona recta i al punt 3.la recta és la intersecció del dos plans Perpendicular a dues rectes que es creuen 1.producte vectorial v dels dos vectors direccionals de les rectes 2.de tots els plans que passen per la primera recta aquell en que el seu vector director és perpendicular a v 3.de tots els plans que passen per la segona recta aquell en que el seu
Xavier Rabasa [email protected] 20
vector director és perpendicular a v 4.la recta cercada és la intersecció dels dos plans
Bisectriu de dues rectes que es tallen 1.cercar el punt de tall 2.formar els vectors unitaris direccionals de les rectes 3.la suma i la resta d’aquests vectors ens donen la direcció de les bisectrius 4.formar les equacions contínues DETERMINACIÓ D’UN PLA Donat un punt i dos vectors 1.es pren un punt genèric de l’espai P i es forma el vector que uneix un punt del pla amb el punt genèric 2.s’iguala a zero el producte mixt dels tres vectors
Donat una recta i un punt 1.feix de plans que passen per la recta 2.cerca aquell que passa pel punt Donats tres punts ABC 1.es pren un punt genèric de l’espai P i es forma el vector AP 2.s’iguala a zero el producte mixt dels tres vectors AB, AC, AP Donat un punt i una recta perpendicular 1.el vector director de la recta és el vector director del pla 2.feix de plans que tenen aquest vector director 3.cercar aquell que passa pel punt Donat un punt i un pla paral·lel 1.feix de plans paral·lels 2.cercar aquell que passa pel punt
Xavier Rabasa [email protected] 21
DETERMINACIÓ D’UN PUNT Simètric de A respecte d’un pla 1.recta perpendicular al pla que passa pel punt A 2.intersecció de recta i pla per determinar M 3.el punt simètric és 2M-A Simètric de A respecte d’una recta 1.pla perpendicular a la recta que passa per A 2.punt M intersecció de la recta i el pla 3.el punt simètric és 2M-A PROBLEMES DE DISTÀNCIES Entre dos punts 1.cercar el mòdul del vector que uneix els dos punts Entre un punt A i una recta a)primer mètode 1.cercar un punt genèric de la recta en funció d’un paràmetre 2.imposar la condició que el vector AP i el direccional de la recta siguin perpendiculars i determinar el punt de la recta de mínima distància 3.calcular la distància entre els dos punts b)segon mètode 1.pla perpendicular a la recta que passa pel punt 2.punt intersecció del pla i la recta 3.distància entre els dos punts c)tercer mètode 1.cercar un punt genèric de la recta en funció d’un paràmetre 2.minimitzar la distància al quadrat entre els dos punts 3.determinar el punt de mínima distància i cercar la distància entre els dos punts
Xavier Rabasa [email protected] 22
Entre un punt i un pla 1.aplicar la fórmula Entre dues rectes a)primer mètode 1.pla que conté a la segona recta que és paral·lel a la primera 2.triar un punt de la primera i calcular la distància del punt al pla b)segon mètode 1.punt genèric de la primera recta en funció d’un paràmetre 2.punt genèric de la segona recta en funció d’un altre paràmetre 3.derivar la distància al quadrat respecte dels dos paràmetres i igualar a zero per determinar els dos punts de mínima distància 4.cercar la distància entre els dos punt Entre una recta i un pla paral·lel 1.es tria un punt de la recta i es calcula la distància entre punt i pla Entre dos plans paral·lels 1.es tria un punt del primer pla i es calcula la distància del punt al segon pla
Xavier Rabasa [email protected] 23
EXERCICIS 1. EQUACIONS DE RECTA I PLA
Trobeu les equacions de les medianes del triangle de vèrtexs: )0,2,1(A ,
)2.0,1(B i ).2,2,1(C RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−==+
=
−==+
=
−==+
=
)1,1,0(CM)1,1,1(2
ABM
)1,2,0(BM)1,2,1(2
CAM
)2,1,0(AM)2,1,1(2
CBM
C
B
A
⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
=−−
=−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
=−
=−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−−
=−
12z
12y
01x:m
12z
20y
01x:m
20z
12y
01x:m
C
B
A
Trobeu l’equació de la recta que passa pels punts )1,1,2(A − , )1,0,3(B i digueu si )2,0,1(C pertany a la recta AB. RAONAMENT
Equació de la recta ⇒⎩⎨⎧
−=
−
)2,1,1(AB
)1,1,2(A:rAB
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−−
=−
21z
11y
12x
⇒==−⇔+
=−−
=−
⇔∈2311
212
110
121rC AB ABrC∉ NO
Trobeu l’equació del pla que passa pel punt )1,2,1(A i conté als vectors
)0,1.1(v −= i ).1,3,0(w = RAONAMENT
1.3
1.2
1.1
Xavier Rabasa [email protected] 24
1.vector director del pla, )3,1,1()3,1,1(130011kji
wv −≈−−=−=∧
2.equació del pla, ⇒⎩⎨⎧
=+−+=+−+0?321
0?z3yx:π { }0z3yx =−+
Trobeu l’equació del pla que passa pels punts: )0,2,0(B),0,0,1(A i
)3,0,0(C . RAONAMENT P( x , y , z ) AP = ( x- 1 , y , z ) AB = ( -1 , 2 , 0 ) AC = ( -1 , 0 , 3 )
0301021
1=
−−− zyx
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1 6 x + 3 y + 2 z – 6 = 0
RAONAMENT
⇒=−−
−−−⇒=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
−−−=
0301021
0z0y1x0
AC
AB
AP
)3,0,1(AC
)0,2,1(AB
)0z,0y,1x(AP
⇒=−+−+−⇒ 0)0z(2)0y(3)1x(6 06z2y3x6 =−++
Donats )6,0,0('C),0,2,0('B),0,0,4('A),3,0,0(C),0,1,0(B),0,0,2(A −−− esbrineu si els plans ABC i A’B’C’ són paral·lels. RAONAMENT -vector director del pla ABC,
1.5
1.4
Xavier Rabasa [email protected] 25
)2,6,3(302012kji
v)3,0,2(AC
)0,1,2(AB−−=
−−−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−−=
-vector director del pla A’B’C’,
v4)2,6,3·(4)8,24,12(604
024kji
w)6,0,4('C'A
)0,2,4('B'A=−−=−−=
−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
-els plans són paral·lels
Esbrineu si els punts )0,0,0(E),1,1,2(D),3,0,1(C),1,1,0(B),1,1,1(A −− pertanyen al mateix pla. RAONAMENT -analitzem el rang de la matriu formada pels vectors,
3rangM
0220112110
111
03113301110
111
112301110
111
EDECEBEA
M =⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−=−−
≠=−+=−
⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
-els punts ABCDE no pertanyen a un mateix pla ja què 23rangM ≠=
1.7
1.6
Xavier Rabasa [email protected] 26
Trobeu l’equació del pla que conté a la recta { }t2z,t2y,tx:r +=−== i passa pel punt ).1,0,1(A − RAONAMENT
1.-feix de plans que contenen a r: ⎩⎨⎧
=+−=−+
⇔⎩⎨⎧
+=−=
02zx02yx
x2zx2y
,
⇒=+−+−+ 0)2zx()2yx( λ 0)22(zyx)1( =−+−++ λλλ 2.-.el que passa per A,
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=−−+⇒
⎩⎨⎧
=−++++=−+−++
41
046z
41yx
45
0)22(o1)·1(0)22(zyx)1(
λλλλλλλ
06zy4x5 =−−+
Equació del pla que passa pel punt )1,4,2(A i conté a la recta d’equació,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−1z
22y
11x:r
RAONAMENT 1.-feix de plans que contenen a la recta r,
r: ⎩⎨⎧
=−−=−
0102
zxyx
⇒ 0)1zx(t)yx2( =−−+− ⇒ 0ttzyx)2t( =−−−+
2.-per passar pel punt A,
identitat0ttzyx)2t(
0tt4)2t(20ttzyx)2t( =−−−+⇒
⎩⎨⎧
=−−−+=−−−+
⇒ el punt A pertany a
la recta aleshores la solució és tot el feix de plans 0ttzyx)2t( =−−−+
1.9
1.8
Xavier Rabasa [email protected] 27
Relació entre a,b i c de manera que els punts, ),1,2,0(B),1,1,1(A − )c,b,a(D),0,1,2(C determinin un únic pla.
RAONAMENT 1.- els vectors ,AD,AC,AB són linealment dependents aleshores el determinant format pels tres vectors és zero,
01c1b1a
101211
ADACAB
=−−−−−−
= ⇒ 0)1c()1b(3)1a( =−−−−−− ⇒
05cb3a =+−−− ⇒ 05cb3a =−++
Equació del pla que passa pel punt )1,1,0(A i conté a la recta d’equació,
{ }4t2z,3ty,t1x:r +=+=−= . RAONAMENT 1.-feix de plans que contenen a la recta r,
r: ⎩⎨⎧
=−−=−+
02zy204yx
⇒ 0)2zy2(t)4yx( =−−+−+ ⇒
0)t24(tzy)1t2(x =+−−++ 2.-per passar pel punt A,
3t0ttzyx)2t(
0)t24(t)1t2(00)t24(tzy)1t2(x
−==−−−+
⇒⎩⎨⎧
=+−−++=+−−++
⇒
02z3y5x( =++−
1.10
Xavier Rabasa [email protected] 28
2. PARAL·LELISME, INCIDÈNCIA I PERPENDICULARITAT
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2,0(A i és paral·lela a
l’eix OY, ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ==
0z
1y
0x .
RAONAMENT
1.feix de rectes paral·leles a l’eix OY, ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
0?z
1?y
0?x
2.-per passar pel punt A, ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
01z
12y
00x
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )0,1,0(A i és paral·lela als plans : { }02zyx2:1 =−++π i { }2zyx:2 =++π . RAONAMENT
1.-vector director de la recta, )1,1,0(111112kji
v −==
2.-feix de plans de vector director v , { }0?zy0 =++− ,
3.-per passar pel punt A, ⇒=
=++−⇒
⎩⎨⎧
=++−=++−
1?01zy
0?010?zy
01zy =−−
Equació del pla que compleix: a) passa pel punt )0,0,3(A i és paral·lel al
2.3
2.2
2.1
Xavier Rabasa [email protected] 29
pla YZ, b) conté a la recta ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=1
1z1
1y2x:r i al punt )0,1,2(P .
RAONAMENT a) feix de plans paral·lels al pla YZ, { }?x =⇒ per passar per A 3x =
b) 1.- recta⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=1
1z1
1y2x
⎩⎨⎧
=−−=+−
⇔02z2x02y2x
, el feix de plans que
passen per la recta és, 0)2z2x(t)2y2x( =−−++− menys el pla 02z2x =−− , el que passa per P compleix,
impossible02z2x
0)0(t20)2z2x(t)2y2x( =−−⇒
⎩⎨⎧
=+=−−++−
⇒ 02z2x =−−
Equació del pla que compleix: a) que conté a les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=−⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
−=
−2
1z2
y4
x:s,1
z1
2y2
1x:r b) que conté a la recta
r:⎩⎨⎧
=+−=+
1z3yx20yx
i és paral·lel al pla { }1zyx: =+−π .
RAONAMENT a)
recta r:⎩⎨⎧
−= )1,1,2(v
)0,2,1(A recta s:
⎩⎨⎧
−−=
−
)2,2,4(w
)1,0,0(B )1,2,1(AB −−−=
⇒=++=−−
−−−−
= 0000224112121
w
v
AB
formen pla
Vector director del pla )0,0,0(224112
kjiwv =
−−−=∧ això indica que
2.4
Xavier Rabasa [email protected] 30
les rectes r i s són paral·leles i el vector director del pla és,
)1,1,1()3,3,3(121112
kjiABv −≈−−=
−−−−=∧
Equació del pla que passa per A, ⇒⎩⎨⎧
=++−=++−
0?0210?zyx
01zyx =++−
b) feix de plans que passen per r, 0)1z3yx2(tyx =−+−++ ⇒ vector director: )t3,t1,1t2(v −+= que és paral·lel al )1,1,1(w −= ⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎩⎨⎧
=−=+
⇒=−−
=+
21t
1t
t31tt31t2
1t3
1t1
11t2 impossible
Trobeu l’equació de la recta paral·lela a la recta t:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ==
−1z
2y
11x que
toca a les rectes: r {que passa per )1,3,1(iB)1,1,1(A − } i s:{ determinada per els plans 3x+4y–z+1=0 i x–y=0}. RAONAMENT
1-punt P genèric de r, )t21,t21,1(PABtAP
)2,2,0(AB−+⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
−=
2-punt genèric Q de s, )1k7,k,k(Q1y4x3z
xy+⇒
⎩⎨⎧
++==
3-el vector )t2k7,1t2k,1k(PQ +−−−= és paral·lel al vector director
de t, )1.2.1(v = això implica, 1
t2k72
1t2k1
1k +=
−−=
− ⇒
2.5
Xavier Rabasa [email protected] 31
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=⇒
⎩⎨⎧
−−=−+=−
107t
104k
1t2k2k2t2k71k
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−
−
)59,
52,
52(Q
)52,
512,1(P
⇒
4-recta ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−
)1,2,1(v
)52,
512,1(P
⇒ ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +=
−=
−1
52z
25
12y
11x
Donada la recta r:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
==−
12zy
11x i el pla { }0zyx: =++π determina:
a) punt de tall entre la recta i el pla, b) els punts de la recta r que disten 3 unitats del pla π .
RAONAMENT
a) punt de tall P⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−==−
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−=
=++
1xz1xy02x
2zy1xy
0zyx ⇒ )3,1,2(P −
b)1.- punt Q genèric de r
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−==
+=⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
==−
2tzty
1tx
12zy
11x ⇒ )2t,t,1t(Q −−+
2.- condició de distància
⇒⎩⎨⎧
−=−==+=
⇒−
=±⇒++
=±231t
431t31t3
3zyx3
⎩⎨⎧
−−−
)0,2,1(P)6,4,5(P
2
1
2.6
Xavier Rabasa [email protected] 32
Donada la recta r:{ }01zyx;01zx =−−+=+− i el punt )1,1,0(P trobeu: a) pla π que passa per P i és perpendicular a r, b) distància d del punt P a la recta r. RAONAMENT a)
1.-vector director de la recta r i del pla π , )1,0,1(111101
kjiv =
−−=
2.-equació del pla ⎩⎨⎧
=++=++
⇒⎩⎨⎧ =++
0?100?zx
)1,1,0(P0?zx
⇒ { }01zx: =−+π
b)
1.-punt Q de tall entre la recta r i el pla π , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−−+
=+−
1z2y0x
01zx01zyx
01zxQ
2. 1010PQd)1,2,0(Q)1,1,0(P
=++==⇒⎩⎨⎧ ⇒ d=1
Determineu l’equació k de la recta que passa pel punt )0,1,1(P − i és perpendicular a les rectes: r:{ }0z2yx;03yx =−+=−− i
{ }01zy;03zyx:s =−+=−+− . RAONAMENT
1.-vector director de r, )1,1,1()2,2,2(211
011kji
w1 ≈=−
−=
2.8
2.7
Xavier Rabasa [email protected] 33
2.- vector director de s, )1,1,2()1,1,2(110111kji
w2 −≈−−=−=
3.-vector director de k, )1,3,2()1,3,2(112
111kji
ww 21 −≈−−=−
=∧
4.-equació de la recta k, 1
0z31y
21x −
=−+
=−
Donats els plans { }4zy2x:1 =−+π i { }3azy4x2:2 =++π , determineu el valor d’a per tal que: a) Els plans siguin paral·lels. b) Els plans siguin perpendiculars.
RAONAMENT -vectors directors dels plans, )1,2,1(v1 −= i )a,4,2(v2 =
a) vectors paral·lels implica, 1
a24
12
−== ⇒ 2a −=
b)vectors perpendiculars implica, 0a820v·v 21 =−+⇒= ⇒ 10a =
La recta r que té per vector director )1,3,2(v −= i passa pel punt
)2,5,1(P − determina amb els plans { }0zyx:1 =+−π i { }7zyx2:2 =−−π un segment AB, determina els extrems A i B.
RAONAMENT
2.10
2.9
Xavier Rabasa [email protected] 34
1.-equació de la recta r, 1
2z3
5y21x −
=−
=−+ ⇒
⎩⎨⎧
=+=+3z2x
7y2x3
2.-determinació de A, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+=+
1z2y1x
0zyx3z2x7y2x3
⇒ )1,2,1(A
3.-determinació de B, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=+=+
0z1y
3x
7zyx23z2x7y2x3
⇒ )0,1,3(B −
Donat el pla π:{ }01z3y2x =−++ determineu el valor d’a i b per tal que
la recta r:⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=+−
=b21z
1a1y
2x sigui perpendicular al pla π.
RAONAMENT 1-el vector director de la recta )b2,1a,2(v += i el vector director del pla
)3,2,1(w = són paral·lels això implica, 3b2
21a
12
=+
= ⇒ ⎩⎨⎧
==
3a3b
Equació del pla 1π paral·lel al pla { }01zy3x2:2 =+−+π que passa pel punt )1,0,1(A − . RAONAMENT 1.feix de plans paral·lels a 2π , 0?zy3x2 =+−+ 2.per passar per A,
⎩⎨⎧
−==+−+
⇒⎩⎨⎧
=+++=+−+
3?0?zy3x2
0?1020?zy3x2
⇒ 03zy3x2 =−−+
2.12
2.11
Xavier Rabasa [email protected] 35
Trobeu l’equació del pla determinat per les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=+
=1
2z2
1y1x:r i
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−−
=−
23z
16y
12x:s .
RAONAMENT
-dades de les rectes r:⎩⎨⎧
=
−
)1,2,1(v
)2,1,0(A
1
i s:⎩⎨⎧
−= )2,1,1(v
)3,6,2(B
2
⇒ )1,7,2(AB =
1.-posició relativa de r i s,
2211121
rang =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⇒ les rectes es tallen o es creuen
0)3(1)1(7)5(2211121172
=−+−=−
⇒ 2vvAB
rang
2
1 =⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒ les
rectes són incidents i formen un pla.
2.- vector director del pla )3,1,5(211121kji
vvw 21 −−=−
=∧=
3.-equació del pla,
⇒⎩⎨⎧
=+−+=+−−
⇒⎩⎨⎧
−=+−−
0?6100?z3yx5
)2,1,0(A0?z3yx5
05z3yx5 =+−−
Equació de la recta que passa pel punt )2,1,1(A − i és paral·lela a la recta
2.14
2.13
Xavier Rabasa [email protected] 36
intersecció entre els plans: { }03z2yx:1 =+−+π i { }01zyx2:2 =++−π RAONAMENT
1.-vector director de la recta )3,5,1()3,5,1(112211
kjiv ≈−−−=
−−=
2.-equació de la recta ⎩⎨⎧
−=
)2,1,1(A)3,5,1(v1 ⇒
32z
51y
11x −
=−
=+
Equació del pla que passa per l’origen de coordenades i és paral·lel a les
rectes: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
11z
33y
21x:r i
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
−=
1z
21y
0x:s .
RAONAMENT
1,-dades de les rectes r:⎩⎨⎧
= )1,3,2(v
)1,3,1(A
1
i s:⎩⎨⎧
−= )1,2,0(v
)0,1,0(B
2
2.-vector director del pla )4,2,5()4,2,5(120
132kji
w −−≈−=−
=
3.-equació del pla,
⎩⎨⎧
==+−−
⇒⎩⎨⎧ =+−−
0?0?z4y2x5
)0,0,0(O0?z4y2x5
⇒ 0z4y2x5 =−−
Equació del pla que passa pel punt )0,1,1(A i és paral·lel a les rectes
{ }2zyx;0zyx2:r =−+=+− i { }1zyx;3zy:s =−−=+ .
2.16
2.15
Xavier Rabasa [email protected] 37
RAONAMENT 1,-vectors de les rectes
)3,3,0(111
112kji
vr =−
−=
2.-vector director del pla )4,2,5()4,2,5(120
132kji
w −−≈−=−
=
3.-equació del pla,
⎩⎨⎧
==+−−
⇒⎩⎨⎧ =+−−
0?0?z4y2x5
)0,0,0(O0?z4y2x5
⇒ 0z4y2x5 =−−
Donats els punts )1,1,1(D),1,2,1(C),1,1,0(B),1,1,1(A −− , trobeu l’equació del pla que conté a la recta AB i és paral·lel a la recta CD. RAONAMENT 1.-equació de la recta AB,
⎩⎨⎧
=−+=−
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=−−
⇒⎩⎨⎧
−=
−
01zx201y
21z
01y
11x
)2,0,1(AB
)1,1,1(A
2.-feix de plans que contenen a la recta AB, 0)1y(t1zx2 =−+−+ 3.-vector director del pla, )1,t,2(w = i vector )0,1,2(CD −= 4.-condició de perpendicularitat del dos vectors,
4t00t40w·CD =⇒=+−⇒=
5.-equació del pla, ⎩⎨⎧=
=−+−+4t
0)1y(t1zx2 ⇒ 05zy4x2 =−++
2.17
Xavier Rabasa [email protected] 38
Determineu el valor dels paràmetres m i n de manera que els plans
{ }01z4myx2:1 =+−+π i { }03nzy9x3:2 =−++π siguin paral·lels. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )4,m,2(v1 −= i )n,9,3(v2 =
2.-paral·lelisme dels vectors, 4
nm9
23
−== ⇒
⎩⎨⎧
−==
6n6m
Determineu el valor d’m per tal que els plans { }03zmyx3:1 =+−+π i
{ }01mzyx2:2 =−+−π siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,m,3(v1 −= i )m,1,2(v2 −= 2.-perpendicularitat dels vectors, 0mm60v·v 21 =−−⇒= ⇒ 3m =
Trobeu l’equació del pla en cada apartat que compleix: a) passa pel punt
)3,0,2(A i és paral·lel al `pla { })0,1,1(s)1,1,2(t)3,1,0()z,y,x(:1 −++=π b)passa pels punts ),1,2,0(D),4,1,3(C),0,1,1(B − c)passa pel punt
)2,1,2(P i és paral·lel al pla: { }03zy3x2:2 =+−−π , d) passa pels punts
)1,0,2(F),1,1,1(E − i és paral·lel a la recta ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=−
31z
12y
21x:r .
RAONAMENT a) equació vectorial del pla { })0,1,1(s)1,1,2(t)3,0,2()z,y,x( −++= b) equació implícita del pla,
2.20
2.19
2.18
Xavier Rabasa [email protected] 39
0111
402z1y1x
)1,1,1(BD
)4,0,2(BC
)z,1y,1x(BP
=−−
−−⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
=
−−=
⇒
0z2)1y(2)1x(4 =+−−−− ⇒ 03zyx2 =−−+
c) equació del pla ⇒⎩⎨⎧
=+−−=+−−
⇒⎩⎨⎧ =+−−
0?2340?zy3x2
)2,1,2(P0?zy3x2
01zy3x2 =+−−
d) vectors continguts en el pla,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=
=
−−=
)1z,1y,1x(EP
)3,1,2(v
)2,1,1(EF
equació del pla
0)1z(3)1y(7)1x(10211
3121z1y1x
=−−−+−⇒=−−
−−− ⇒
05z3y7x =−−+
Equació de la recta r que passa pel punt )2,0,2(A i és paral·lela a la recta s, intersecció entre els plans: { }0zyx:1 =−+π i { }1zy2x2:2 =−+π . RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,1,1(w1 −= i )1,2,2(w2 −=
2.-vector director de la recta, )0,1,1(122111
kjiv −=
−−=
3.-equació de la recta r, ⎩⎨⎧
−= )0,1,1(v
)2,0,2(A ⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
02z
1y
12x
2.21
Xavier Rabasa [email protected] 40
Equació del pla 1π que passa pel punt )1,1,2(A i és paral·lel al pla 2π determinat per la següent condició:{(passa pel punt )1,0,1(B i conté a la recta r, que passant pel punt )2,2,2(C té per vector director )3,1,1(v −= }. RAONAMENT
1.-vectors continguts en el pla 1π ,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
−−−=
)3,1,1(v
)1,2,1(BC
)1z,1y,2x(AP
2.-equació del pla 1π ,
0311121
1z1y2x=
−
−−− ⇒ 0)1z(3)1y(2)2x(7 =−−−−−
⇒ 09z3y2x7 =−−−
Equació del pla 1π que passa pel punt )2,0,1(P − i és paral·lel a les rectes
{ }t2z,ty,t31x:r −−==+= i { }.1z2yx2,03yx:s =+−=−+ RAONAMENT 1.-vector director de r, )1,1,3()1,1,3(tv1 −≈−=
2.-vector director de s, )3,2,2(212011kji
v2 −−=−
=
2.23
2.22
Xavier Rabasa [email protected] 41
3.-vector director de 1π , )8,7,5()8,7,5(322113
kjiw −≈−−=
−−−=
4.-equació del pla 1π , ⎩⎨⎧
=++−−=++−0?16050?z8y7x5
⇒ 011z8y7x5 =−+−
Trobeu el punt d’intersecció entre la recta { }t31z,t1y,t2x:r +=+−== i el pla { }.02zyx: =++−π RAONAMENT 1.- el punt genèric de la recta )t31,1t,t2(P +− compleix l’equació del pla aleshores,
02)t31()1t()t2( =+++−− ⇒ 1t −= ⇒ )2,2,2(P −−−
Donats els punts )1,0,1(A − i )3,2,a(B determineu el valor d’a per tal que el pla { }3zyx2: =+−π sigui paral·lel a la recta AB. RAONAMENT 1.-vector director de la recta r, )4,2,1a(AB −= 2.-vector director del pla )1,1,2(w −= 3.-perpendicularitat dels vectors, 0w·AB = ⇒ 042)1a(2 =+−− ⇒ 0a =
2.25
2.24
Xavier Rabasa [email protected] 42
Donat el punt )1,1,3(A − i la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
==−
31z
2y
11x:r determineu el
punt B que pertany a r, per tal que la recta AB sigui paral·lela al pla { }4zy2x3: =+−π .
RAONAMENT 1.-punt P genèric de la recta r, )t31,t2,t1(P +−+ 2.-vector del pla )1,2,3(w −= i vector )t3,1t2,2t(AP −−= 3.-si P=B els vectors anteriors són perpendiculars aleshores
0w·AP = ⇒ 0)t3(1)1t2(2)2t(3 =+−−− ⇒ t=2 ⇒ )5,4,3(BP =
Trobeu l’equació del pla 1π que passant pels punts )1,3,1(A − i )2,2,4(B − és perpendicular al pla { }.03zyx:2 =+−+π RAONAMENT 1.-vector director del pla 2π , )1,1,1(v −=
2.-vectors continguts en el pla 1π ,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−−=
+−−=
)1,1,1(v
)1,1,3(AB
)1z,3y,1x(AP
3.-equació del pla 1π ,
01111131z3y1x=
−−−+−−
⇒ 0)1z(4)3y(2)1x(2 =++−+−
⇒ 04z4y2x2 =−++ ⇒ 02z2yx =−++
2.27
2.26
Xavier Rabasa [email protected] 43
Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )1,1,1(P és perpendicular als plans { }03zyx:1 =++−π i { }1z2x:2 =+π . RAONAMENT
1.-vector director de π , )1,1,2()1,1,2(201111kji
vvv 21 −≈−−=−=∧=
2.-equació del pla π , ⎩⎨⎧
=+−+=+−+
⇒⎩⎨⎧ =+−+
0?1120?zyx2
)1,1,1(P0?zyx2
⇒
⎩⎨⎧
−==+−+
2?0?zyx2
⇒ 02zyx2 =−−+
Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )2,1,1(A és perpendicular al pla { }3z2yx:1 =−+π i paral·lel a la recta { }1x,0zy2x:r ==+− . RAONAMENT
1.-vector director de la recta r , )2,1,0(001121kji
v =−=
2.-vector director del pla π , )1,2,4()1,2,4(211
210kji
w −≈−−=−
=
3.-equació del pla π ,
⎩⎨⎧
−==++−
⇒⎩⎨⎧
=++−=++−
⇒⎩⎨⎧ =++−
4?0?zy2x4
0?2240?zy2x4
)2,1,1(A0?zy2x4
⇒
⇒ 04zy2x4 =−+−
2.29
2.28
Xavier Rabasa [email protected] 44
Trobeu l’equació del pla π que passant pel punt )2,1,0(A − té per vector director ).1,1,1(w −= RAONAMENT 1.-equació del pla π ,
⎩⎨⎧
==++−
⇒⎩⎨⎧
=+−−=++−
⇒⎩⎨⎧
−=++−
3?0?zyx
0?2100?zyx
)2,1,0(A0?zyx
⇒
⇒ 03zyx =++−
Trobeu l’equació de la recta r que passant pel punt )2,3,1(A − és perpendicular al pla { }.3zyx: =−+π RAONAMENT 1.-vector director de la recta i del pla, )1,1,1(v −=
2.-equació de la recta r, ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
=−
=−
12z
13y
11x
Trobeu l’equació implícita de la recta r projecció de la recta
{ })2,0,1(t)1,1,0()z,y,x(:s +−= sobre el pla { }.0zy2x: =+−π RAONAMENT
1.-equació implícita de s, ⎩⎨⎧
=−−=−
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
==01zx2
01y2
1z0
1y1xt
2.32
2.31
2.30
Xavier Rabasa [email protected] 45
2.-feix de plans que passen per s, { }0)1y(1zx2 =−+−− λ 3.-condició de perpendicularitat dels dos plans,
2101220)1,,2(·)1,2,1( =⇒=−−⇒=−− λλλ
4.-equació de la recta r,
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−+
=+−
023zy
21x2
0zy2x ⇒ { }03z2yx4,0zy2x =−−+=+−
Si )0,1,1(A − i )0,1,0(B trobeu l’equació del pla que passa per A i és perpendicular al segment AB. RAONAMENT 1.-vector director del pla )0,2,1()0,2,1(AB −≈−= 2.-equació del pla,
⎩⎨⎧
−==+−
⇒⎩⎨⎧
=++=+−
⇒⎩⎨⎧
−=+−
3?0?y2x
0?210?y2x
)0,1,1(A0?y2x
⇒ 03y2x =−−
Equació de la recta s que passat pel punt )1,2,3(A és perpendicular i
secant a la recta .1
z11y
11x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
−−
=−
RAONAMENT
1.-punt P genèric de )t,t1,t1(Pt1
z11y
11x:r −−+⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−−
=−
2.-vector director de la recta s, )1t,1t,2t(AP −−−−−= 3.-perpendicularitat dels vectors )1,1,1(v −−= i )1t,1t,2t(AP −−−−−= ,
2.34
2.33
Xavier Rabasa [email protected] 46
0t0t301t1t2t0AP·v =⇒=⇒=++++−⇒= ⇒ )0,1,1()0(PB == 4.-equació de la recta s,
⎩⎨⎧
≈−−−= )1,1,2()1,1,2(AB
)1,2,3(A ⇒
11z
12y
23x −
=−
=−
Equació del pla 1π que conté a la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
==−
12z
1y
21x:r i és
perpendicular al pla { }.02yx2:2 =+−π RAONAMENT 1.-equació implícita de r, { }02zy,01y2x =−+=−− 2.-feix de plans que passen per r,
0)t21(tzy)2t(x0)2zy(t1y2x =−−++−+⇔=−++−− 3.-condició de perpendicularitat entre els dos plans,
4t002t20)t,2t,1(·)0,1,2( =⇒=++−⇒=−− 4.-equació del pla 1π , 09z4y2x =−++
Equació de la recta r paral·lela a la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==
1z
2y
1x:k secant a les
rectes AB i s, on : )3,5,1(B),1,1,1(A i { }3yx3,1zx:s =−=+ . RAONAMENT 1.-punt genèric P de la recta AB, )t21,t41,1(AB·tAP ++=+=
2.-punt genèric Q de la recta s, ⎩⎨⎧
−=−=x1z
3x3y ⇒ )k1,3k3,k(Q −−
2.36
2.35
Xavier Rabasa [email protected] 47
3.-el vector director de la recta k, )1,2,1(v −= i el vector PQ són paral·lels aleshores,
1t2k
24t4k3
11k
)t2k,4t4k3,1k(PQ
)1,2,1(v−−−
=−−
=−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−−−=
−=
⎩⎨⎧
−−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=⇒
⎩⎨⎧
=−−−=
⇒)1,3,0(Q)0,1,1(P
0k21t
02t4k1t2
4.-equació de la recta PQ, ⎩⎨⎧
−=
−
)1,2,1(v
)0,1,1(P ⇒
1z
21y
11x
−=
+=
−
Equació de la recta r perpendicular al pla { }01zy2x: =+−+π que passa pel punt ).0,1,0(P RAONAMENT 1.-vector director de la recta )1,2,1(v −=
2.-equació de la recta r, ⎩⎨⎧ −=
)0,1,0(P)1,2,1(v ⇒
10z
21y
10x
−−
=−
=−
Trobeu la recta t perpendicular i secant a les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
−=
−1
z0
1y1
1x:r i { }.01z,0x:s =+=
RAONAMENT
1.-punt genèric P de ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−=
− t1
z0
1y1
1x:r )t1,1,t1(P −+=
2.38
2.37
Xavier Rabasa [email protected] 48
2.-punt genèric Q de la recta s, ⎩⎨⎧
−==
1z0x
⇒ )1,k,0(Q −
3.-vectors directors de les rectes
)1,0,1(vr −= )0,1,0(100001kji
vs −== )2t,1k,1t(PQ −−−−=
4.-el vectors directors de les rectes r i s són perpendiculars al vector PQ aleshores,
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇒
⎩⎨⎧
=−=+−−−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
1k21t
01k02t1t
0v·PQ
0v·PQ
s
r ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧
− )1,1,0(Q
)21,1,
23(P
5.-recta PQ, ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
≈−−=
−
)1,0,1()23,0,
23(PQ
)1,1,0(Q
11z
01y
1x +
=−
=
a)equació del pla perpendicular a la recta { }0z,t2y,1tx:r =−=+= que passa pel punt )2,1,0(A b) estudieu la posició de r, respecte de l’eix OZ. RAONAMENT a) 1.-vector direccional de la recta r i del pla, )0,1,1(v −= 2.-equació del pla,
⎩⎨⎧
==+−
⇒⎩⎨⎧
=+−=+−
⇒⎩⎨⎧ =+−
1?0?yx
0?100?yx
)2,1,0(A0?yx
⇒ 01yx =+−
b)
recta r,⎩⎨⎧
−= )0,1,1(v
)0,2,1(P eix OZ,
⎩⎨⎧
=⇒
⎩⎨⎧
==
)1,0,0(w
)0,0,0(Q0y0x
)0,2,1(QP =
2.39
Xavier Rabasa [email protected] 49
3100011021
rangwv
QPrang03
100011021
wv
QP=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒≠−=−=
les rectes es creuen
Equació del pla que passa pel punt )1,1,1(A i és paral·lel als vectors
)1,0,1(u i ).1,1,2(v −= RAONAMENT 1.-vector genèric del pla )1z,1y,1x(AP −−−= 2.-equació del pla,
0)1z(1)1y(3)1x(10112
1011z1y1x
=−+−+−−⇒=−
−−− ⇒
03zy3x =+−−
Equació del pla 1π paral·lel al pla { }0z3y2x:2 =−+π que passa pel punt ).0,2,1(A − RAONAMENT 1.-equació del pla 1π ,
⎩⎨⎧
−==+−+
⇒⎩⎨⎧
=+++−=+−+
⇒⎩⎨⎧
−=+−+
3?0?z3y2x
0?0410?z3y2x
)0,2,1(A0?z3y2x
⇒ 03z3y2x =−−+
2.41
2.40
Xavier Rabasa [email protected] 50
Donats els punts )3,2,1(A i )1,m,3(B trobeu el valor d’m per tal que la recta AB sigui: a) paral·lela al pla { }01zyx: =+−+π , b) perpendicular al pla { }01zyx: =+−+π . RAONAMENT - vector director del pla, )1,1,1(w −= i vector )2,2m,2(AB −−= a) condició de perpendicularitat dels vectors,
022m20AB·w =+−+⇒= ⇒ 2m −= b) condició de paral·lelisme dels vectors,
12
12m
12
−−
=−
= ⇒ ⎩⎨⎧
=−=−
4m22
sistema compatible 4m =
Donada la recta { }1z3yx,01yx2:r −=−+=+− a) trobeu el valor de t per tal que el pla : { }kzy2tx: =++π sigui paral·lel a r, b) trobeu el valor de k per tal que la recta r quedi continguda en el pla .π RAONAMENT
-vector director de r, )1,2,1()3,6,3(311
012kji
v ≈=−
−=
-vector director del pla, )1,2,t(w = a) els vectors són perpendiculars, 014t0w·v =++⇒= ⇒ 5t −=
b) discussió del sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−+
−=−
kzy2tx1z3yx
1yx2
2.43
2.42
Xavier Rabasa [email protected] 51
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
k12t13111012
A12t311
012A la recta està continguda
en el pla si 2ArangrangA == això implica,
5t0312t3012t311
012A −=⇔=++⇔=−
−= i també,
0k3260k12131101
=+−−⇔=−−−−
⇒ 38k =
Donats els punts )1,5,0(C),3,2,1(B),1,1,1(A −− trobeu l’equació de la recta que passa per C i és paral·lela a la recta que passa per A i B. RAONAMENT 1. vector director de la recta )4,1,0(AB =
2.-equació de la recta, ⎩⎨⎧
=
−
)4,1,0(AB
)1,5,0(C ⇒
41z
15y
0x +
=−
=
Equació de la recta que passa pel punt )2,1,0(P i toca a les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=2
1z1
3y2x:r i { }2z3yx,0zyx2:s =+−=−+ .
RAONAMENT 1.-pla 1π que passa per P i conté a la recta r,
2.45
2.44
Xavier Rabasa [email protected] 52
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=2
1z1
3y2x:r
⎩⎨⎧
=+−=+−
⇔01zx
06y2x
Feix de plans que passen per r, 0)1zx(t6y2x =+−++− Equació del pla 1π ,
{ }⎩⎨⎧=
=+−−⇒
⎩⎨⎧
=++−−=++−−+
4t010z4y2x5:
0t6t2200)t6(tzy2x)t1( 1π
2.- pla 2π que passa per P i conté a la recta s, { }02z3yx,0zyx2:s =−+−=−+
Feix de plans que passen per s, { }0)2z3yx(tzyx2 =−+−+−+ Equació del pla 2π ,
{ }
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=+−+⇒
⎩⎨⎧
=−+−+=−+−++
31t
02z3y4x5:
0t2t6t100t2tz3y)t1(x)t2( 2π
3.-la recta és la intersecció dels plans 1π i 2π , { }02z3y4x5,010z4y2x5 =+−+=+−−
Equació de la recta r que passa pel punt )1,0,1(A i és paral·lela al pla
{ }0zyx2:1 =−+π i toca a la recta: { }.2zy2,1zyx:s =−=−+ RAONAMENT 1.-punt genèric de la recta { } )2t2,t,1t(P.2zy2,1zyx:s −−⇒=−=−+2.-el vector )3t2,t,2t(AP −−= és perpendicular a )1,1,2(w −= aleshores ⇒ 03t2t4t2 =+−+− ⇒ t=1 ⇒ )0,1,0(P 3.- equació de la recta AP=r,
⎩⎨⎧
−≈−−= )1,1,1()1,1,1(AP
)1,0,1(A ⇒
11z
1y
11x −
=−
=−
2.46
Xavier Rabasa [email protected] 53
Donats els plans { }0zy2x:1 =−+π i { }03yx:2 =−+π trobeu l’equació de la recta r que passa per )1,0,1(P − i és paral·lela als dos plans. RAONAMENT
1.-vector director de la recta r, )1,1,1(011121
kjiv −−=−=
2.-equació de la recta r, 11z
1y
11x
−+
=−
=−
Trobeu els valors d’a i b per tal que els plans { }01zayx2:1 =−++π i
{ }0z2y6bx:2 =+−π siguin paral·lels. RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,a,2(v1 = i )2,6,b(v2 −=
2.-condició de paral·lelisme dels vectors, 12
a6
2b
=−
= ⇒ ⎩⎨⎧
=−=4b
3a
Equació de la recta q paral·lela a la recta { }0zx4,0yx2:r =−=+ que és
secant amb les rectes { }0zyx2,2yx:s =−−=+ i ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
==−
11z
2y
11x:t .
RAONAMENT
2.49
2.48
2.47
Xavier Rabasa [email protected] 54
1.- vector director de la recta r, )4,2,1()4,2,1(104
012kji
v −≈−−=−
=
2.- punt P genèric de la recta { }0zyx2,2yx:s =−−=+⎩⎨⎧
−=−=
⇒2x3z
x2y
⇒ )2a3,a2,a(P −−
3.- punt Q genèric de la recta ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−==
− b1
1z2y
11x:t ⇒
⇒ )1b,b2,1b(Q ++ 4.- condició de paral·lelisme entre )3a3b,2b2a,1ab(PQ +−−++− i v ,
433
222
11
−+−
=−+
=−−+ ababab ⇒
⎩⎨⎧
==
1b4a
⇒ ⎩⎨⎧ −
)2,2,2(Q)10,2,4(P
5.- equació de la recta q, 42
22
12
−−
=−
=−− zyx
Trobeu el valor d’a per tal que les dues rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
1z
21y
3x:r i
{ }t23z,t2y,at1x:s −=+=−= siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.- vectors directors de les dues rectes, )1,2,3(vr = )2,1,a(vs −−= .2- condició de perpendicularitat, ⇒=−+−⇒= 022a30v·v sr 0a =
Trobeu el valor d’a per tal que el plans { }01zayx:1 =−−+π i
2.51
2.50
Xavier Rabasa [email protected] 55
{ }03zy2x:2 =−++−π siguin : a) paral·lels, b) perpendiculars.
RAONAMENT 1.- vectors directors dels dos plans, )1,a,1(w1 −= i )1,2,1(w2 −=
a) condició de paral·lelisme, ⎩⎨⎧
−==
⇒−
==−
2a11
11
a2
11 ⇒ 2a −=
b) condició de perpendicularitat, 01a210w·w 21 =−+−⇒= ⇒ 1a =
Trobeu el valor d’a per tal que la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=+
=−
41z
a1y
21x:r i el pla
{ }1bzy3x: =++π siguin perpendiculars. RAONAMENT 1.- vectors directors de la recta i el pla, )4,a,2(vr = i )b,3,1(w =
2.- condició de perpendicularitat, ⎩⎨⎧
==
⇒==4b2
6a4b
a3
21 ⇒
⎩⎨⎧
==
2b6a
2.52
Xavier Rabasa [email protected] 56
3. ANGLES I DISTÀNCIES
Trobeu l’equació del pla que talla als tres eixos de coordenades a una distància 2 unitats de l’origen. RAONAMENT 1.- passa pels punts )2,0,0(C),0,2,0(B),0,0,2(A i té per vector director
)1,1,1(v = . 2.- equació del pla
⎩⎨⎧
−==+++
⇒⎩⎨⎧ =+++
2?0?zyx
)0,0,2(A0?zyx
⇒ 02xyx =−++
Les rectes { }0zyx,01yx:r =+−=+− i { }01zx,09y2x:s =++=+− es creuen, trobeu: a) la recta t perpendicular i secant a les dues rectes, b) la distància entre les dues rectes. RAONAMENT 1.- vectors directors de les rectes r i s,
)0,1,1(111011kji
vr −−=−−= )2,1,2(
101021kji
vs −−=−=
2.- punt genèric P de r, { }0zyx,01yx:r =+−=+− ⇒ )1,1a,a(P +
3.- punt genèric Q de s, { }01zx,09y2x:s =++=+− ⇒ )b28,b,9b2(Q −−
4.- perpendicularitat del vector )b27,1ab,9ab2(PQ −−−−−= amb rv i sv ,
⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
−=−−=−
⇒⎩⎨⎧
=−+++−++−=++−++−
4b1a
33b9a310b3a2
0b4141ab18a2b401ab9ab2
3.2
3.1
Xavier Rabasa [email protected] 57
⇒ ⎩⎨⎧
− )0,4,1(Q)1,2,1(P
⇒ )1,2,2()1,2,2(PQ −≈−−=
a )equació de la recta PQ, 1
1z22y
21x −
=−−
=−
b)distància entre P i Q, 3144d =++=
Trobeu l’angle β que forma la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
==−
13z
2y
21x:r i el pla
{ }05y4x3: =++π . RAONAMENT 1.- vectors direccionals de la recta i del pla, )1,2,2(v = i )0,4,3(w =
2.- angle α entre els vectors, º93'01514
5·3086
cos =⇒=++
= αα
3.- angle entre recta i pla, αβ −= º90 ⇒ º07'89=β
Trobeu la distància entre el punt )1,2,1(A i el pla
{ }.03z2y2x: =+−+π RAONAMENT
1.- distància, d=4413241
+++−+
⇒ d=2
3.4
3.3
Xavier Rabasa [email protected] 58
Trobeu la distància entre els plans: { }01z2yx2:1 =−−+π i
{ }04z4y2x4:2 =+−+π . RAONAMENT 1.- vectors directors dels dos plans, )2,1,2(v1 −= i )4,2,4(v2 −=
2.- posició relativa dels dos plans, 1424212
rang =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⇒ els plans
són paral·lels.
3.- punt P de 1π , )0,1,0(P0z0x
01z2yx2⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=−−+
4.- distància de P a 2π , 4144020
d+++−+
= ⇒ 2d =
Trobeu la distància entre la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−−
31z
11y
41x:r i el pla
{ }.s3t33z,t2y,s4t4x: −+=+−=+−=π RAONAMENT
1.- vector director del pla, )4,0,3()4,0,3(304
314kji
w ≈−−=−
−=
2.- vector director de la recta, )3,1,4(v −= 3.- posició relativa de recta i pla, 012012w·v =++−= ⇒ la recta és paral·lela al pla.
5.- equació del pla, 012z4x312?
0?z4x3)3,2,0(A
0?z4x3=−+⇒
⎩⎨⎧
−==++
⇒⎩⎨⎧
−=++
3.6
3.5
Xavier Rabasa [email protected] 59
6.- distància entre recta i pla, 1691243
d012z4x3
r)1,1,1(P+−+
=⇒⎩⎨⎧
=−+∈
⇒ 1d =
Trobeu la distància entre les rectes r i s en els següents casos: a)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−−
=0
1z11y
2x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−+
01z
29y
41x:s
b) { }t31z,1y,t2x:r −−=−==
{ }1z,t7y,t23x:s =−=+= RAONAMENT a) 1.- els vectors direccionals de les dues rectes són proporcionals aleshores les rectes són paral·leles,
2.- punt genèric de la recta ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−=
−+ t
01z
29y
41x:s
)1,t29,t41(Q +−− 3.- punt )1,1,0(P − de la recta r, vector )2,t28,t41(PQ +−−= perpendicular a s, ⇒ 020t2000)t28(2)t41(4 =+⇒=+++−−−
⇒ ⎩⎨⎧ −
⇒−=)1,7,3(Q)1,1,0(P
1t )2,6,3(PQ =
4.- distància entre les rectes, 4369PQ)PQ(d ++== ⇒ 7d = b) 1.- vectors direccionals de les rectes r i s, )3,0,2(vr −= i )0,1,2(vs −= les rectes es creuen,
2.- punts genèrics de les dues rectes, ⎩⎨⎧
−+−−−
)1,k7,k23(Q)t31,1,t2(P
⇒
)t32,k8,3t2k2(PQ +−+−= 3.- condició de perpendicularitat,
3.7
Xavier Rabasa [email protected] 60
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=
⇒⎩⎨⎧
=−=−
⇒⎩⎨⎧
=−−+−=+−+−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
4926k
498t
2t4k50t13k4
0)k8()3t2k2(20)t32(3)3t2k2(2
0v·PQ
0v·PQ
s
r
)4964,
49392,
49215(PQ =
49985.203)PQ(d =
Donada la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=1
3z1
2y2x:r i el pla { }5yx: =+π trobeu
l’angle que formen i el seu punt P d’intersecció. RAONAMENT a) 1.- vectors directors de recta i pla, )1,1,2(v = i )0,1,1(w =
angle entre els vectors, º6032
3cos011·114
w·vcos 11 ==
++++= −−α
2.- angle entre recta i pla, º30º90 −=β º30=β b) 1.- punt genèric de la recta r, )3t,2t,t2(P −+
2.- punt d’intersecció, ⎩⎨⎧=
−⇒
⎩⎨⎧
=+−+
1t)2,3,2(P
5yx)3t,2t,t2(P
⇒ )2,3,2(P −
Calculeu l’angle que formen els plans { }01z4y3x:1 =−+−π i
{ }03zy2x2:2 =−++π . RAONAMENT
3.9
3.8
Xavier Rabasa [email protected] 61
1.- vectors direccionals dels plans, )4,3,1(w1 −= i )1,2,2(w2 =
2.- angle entre els dos vectors, 0cos9·26462
cos 11 −− =+−
=α ⇒ º90=α
Calcula la projecció ortogonal del punt )1,1,0(P −− sobre el pla
{ }9z2y3x: =++π . RAONAMENT
1.- recta r perpendicular al pla que passa per P, 2
1z3
1y1
0x +=
+=
−
2.- punt genèric de r, )t21,t31,t(Q +−+− 3.- punt A intersecció de recta i pla,
⎩⎨⎧==
⇒⎩⎨⎧
=−+−+−
⇒⎩⎨⎧
=+++−+−
1t)1,2,1(AQ
95t14)t21,t31,t(Q
9z2y3x)t21,t31,t(Q
)1,2,1(A
Donada la recta { })t22,t21,t()z,y,x(:r +−+= trobeu la distància del punt )1,0,0(A a la recta. RAONAMENT 1.- punt genèric de r, )t22,t21,t(P +−+ )t23,t21,t(AP +−+= 2.- el vector director de r, )2,2,1(v = és perpendicular al vector AP ,
)923,
913,
92(AP
92t0t44t42t −
=⇒=⇒=+−++⇒ ⇒ 378AP =
3.11
3.10
Xavier Rabasa [email protected] 62
Donats els punts )2,1,1(iS)2,1,1(R),0,3,0(Q),0,1,0(P − es demana: a) comproveu que estan continguts en un mateix pla. b) comproveu que PQRS formen un paral·lelogram no rectangle. c) calculeu l’àrea de PQRS. RAONAMENT a) pla que passa per P Q R :
201020z1yx −
= 0 ⇒ 0z2x4 =− ⇒ { }0zx2: =−π
distància de S al pla π , 0522
d =−
= ⇒ PQRS són coplanaris
b) 1.- ),0,2,0(PQ = ),2,2,1(QR −= ),0,2,0(RS −= )2,2,1(SP −−= . 2.- PQ i RS paral·lels i QR i SP paral·lels
3.- º9064cos
9·4
QR·PQcos 11 ≠== −−α formen paral·lelogram
c) )2,0,4(221020kji
PSPQ −=−
=∧ àrea= 20PSPQ =∧
àrea PQRS = 52 2u
Trobeu la distància entre el punt )3,0,2(P i la recta r intersecció dels plans
{ }01zx:1 =−+π i { }3zy2x:2 =++π . RAONAMENT
3.13
3.12
Xavier Rabasa [email protected] 63
1.- punt genèric de la recta r, )t1,1,t(Qy2x3z
x1zQ −⇒⎩⎨⎧
−−=−=
2.- vector director de la recta r, )2,0,2(121101kji
v −==
3.- el vector )t2,1,2t(PQ −−−= és perpendicular a )2,0,2(v −= això
implica, ⎩⎨⎧=
⇒⎩⎨⎧
=−−++−−
0t)1,1,0(Q
0t2404t2)t1,1,t(Q
4.- distància 3414PQd =++== ⇒ 3d =
Trobeu l’angle que forma el pla { }07z2yx3: =+−+π amb la recta
{ }.08zx,08y2x:r =++=−− RAONAMENT 1.- vectors directors de recta i pla,
)2,1,2(101021kji
v −−=−= i )2,1,3(w −=
2.- angle entre els vectors, º5'1114·3
416cos 1 =
−−−= −α
3.- angle entre recta i pla, º5'11º9090 −=−= αβ º5'88=β
Trobeu el punt simètric de )1,1,0(Q respecte del pla π que passa pels
3.15
3.14
Xavier Rabasa [email protected] 64
punts: ).0,3,1(iC)1,2,0(B),1,1,2(A −− RAONAMENT 1.- equació del pla π , si P és punt genèric del pla,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=
−−=
−−−=
)1,4,1(AC
)2,1,2(AB
)1z,1y,2x(AP
, 0141212
1z1y2x=−
−−− ⇒ 01zx =−−
2.- recta r perpendicular al pla que passa per Q, 11z
01y
1x
−−
=−
=
3.- punt M intersecció de recta i pla )0,1,1(M1zx
1y1zx
M ⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=−
4.- punt simètric Q’, )1,1,2()1,1,0()0,2,2(QM2'Q −=−=−= ⇒ )1,1,2('Q −
Donada la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=+
=−
24z
11y
01x:r i el punt )2,2,1(P trobeu el
punt P’ simètric de P respecte de la recta r. RAONAMENT 1.- punt genèric de la recta )4t2,1t,1(Q −− , )6t2,3t,0(PQ −−= vector director de la recta )2,1,0(v = 2.- condició de perpendicularitat entre )2,1,0(v = i )6t2,3t,0(PQ −−=
⇒=⇒=⇒=−+−+⇒ 3t15t5012t43t0 )2,2,1(Q 3.-punt simètric, )2,2,1()2,2,1()4,4,2(PQ2'P =−=−= )2,2,1(P'P == ⇒ el punt P pertany a la recta r,
3.16
Xavier Rabasa [email protected] 65
Donats els plans paral·lels { }015z4x3:1 =−+π i { }010z4x3:2 =++π trobeu la distància entre ells. RAONAMENT
1.- triem un punt A de { }015z4x3:1 =−+π )0,0,5(A5x0z0y⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒
2.- distància del punt A al pla { }010z4x3:2 =++π ,
5525
1609100015
d ==+++++
= 5d =
Equació del pla que conté al l’eix OY i dista 4 u. del punt ).5,0,0(P RAONAMENT 1.- feix de plans que contenen a l’eix OY, { }00tzy0x1 =+++
2.- condició de distància, 2t1
t54+
±= ⇒ 22 t2516t16 =+ ⇒
34t ±= ⇒
⎩⎨⎧
=−=+
0z4x3:0z4x3:
2
1
ππ
Trobeu un punt de la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==
+1
z1y
21x:r que té igual distància als
plans { }04z3x4:1 =++π i { }02zy2x2:2 =−++π . RAONAMENT
3.19
3.18
3.17
Xavier Rabasa [email protected] 66
1.- punt genèric de la recta r, )t,t,1t2(P −−
2.- condició de distància, 3
2tt2)1t2(25
4)t(3)1t2(4 −−+−±=
+−+−
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇒−±=⇒
−±=⇒
21t
2t)4t5(t3
34t5
5t5 ⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−
)21,
21,0(P
)2,2,3(P
2
1
Equació del pla que passa per la recta { }01zx,1y:r =++= i dista 2 u. del punt ).1,1,1(P RAONAMENT 1.- feix de plans que passen per la recta { }01zx,1y:r =++= { }0)1zx(t)1y( =+++− ⇒ { }01ttzytx =−+++
2.- distància del punt al pla: d = 12
112 +
−+++t
ttt ⇒ 4
129
2
2
=+t
t t = 2±
⇒ ⎩⎨⎧
=++−=+++
03z2yx201z2yx2
Donada la recta { }01yx,1z:r =−−−= i el pla { }3zx: =+π trobeu l’angle α que formen. RAONAMENT 1.- vectors direccionals de la recta i del pla,
)0,1,1(011100kji
v −=−
= i )1,0,1(w =
3.21
3.20
Xavier Rabasa [email protected] 67
2.- angle entre els vectors, º602
001cos 1 =
++= −α
3.- angle entre recta i pla, αβ −= º90 ⇒ º30=β
Punt B simètric del punt )3,2,1(A respecte del pla { }.03zy: =−+π RAONAMENT 1.- recta perpendicular al pla { }03zy: =−+π que passa per A,
13z
12y
01x −
=−
=−
2.- punt M intersecció entre la recta i el pla, )2,1,1(My3z1zy
1x⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=
=
3.- punt B simètric de A, )1,0,1()3,2,1()4,2,2(AM2B =−=−= )1,0,1(B
Trobeu el punt B simètric del punt )1,1,0(A − respecte de la recta
{ }.03zx,01y:r =−+=− RAONAMENT 1.- punt genèric de la recta r, )t3,1,t(P − )t4,0,t(AP −= 2.- vector director de la recta r, )1,0,1(v −= 3.- condició de perpendicularitat entre )1,0,1(v −= i )t4,0,t(AP −= ,
)1,1,2(P2t04t2 ⇒=⇒=−⇒ 4.- punt B simètric de A,
)3,1,4()1,1,0()2,2,4(AP2B =−−=−= )3,1,4(B
3.23
3.22
Xavier Rabasa [email protected] 68
Donades les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−==
−1
z2y
31x:r i { }t1z,t2y,t3x:s −=+=−=
trobeu l’angle que formen entre elles. RAONAMENT 1.- vectors directors de les dues rectes, )1,2,3(vr −= i )1,1,1(vs −−=
2.- angle que formen les dues rectes, º903·14
123cos 1 =
++−= −α
les rectes són perpendiculars
Trobeu l’angle que formen els plans: { }1zy2x:1 =++−π i
{ }03z2yx:2 =−++π . RAONAMENT 1.-vectors directors dels plans, )1,2,1(w1 −= i )2,1,1(w2 =
2.-angle entre els dos plans, º6021cos
6·6221
cos 11 ==++−
= −−α º60=α
Trobeu l’angle que forma la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
==−
11z
1y
21x:r i el pla
{ }3zy2x: =++π . RAONAMENT 1.- vectors directors de recte i pla, )1,1,2(vr −= i )1,2,1(w =
3.26
3.25
3.24
Xavier Rabasa [email protected] 69
2.- angle entre els vectors, º606·6122
cos 1 =−+
= −α
3.- angle entre recta i pla, º30º90 =−= αβ
Trobeu la distància entre els punts )1,1,0(A − i ).5,4,2(B RAONAMENT 1.- vector )6,3,2(AB = distància 73694ABd =++== 7d = u
Trobeu la distància del punt )0,1,2(P −− a: a) la recta,
{ }07zy4,01y3x:r =+−=++ b) el pla,
{ }041z6y2x3: =−++π RAONAMENT a) 1.- punt genèric de la recta )7t4,t,1t3(Q +−− 2.- vector director de r, )4,1,3(v −= i vector )7t4,1t,1t3(PQ +++−= 3.- perpendicularitat entre )4,1,3(v −= i )7t4,1t,1t3(PQ +++−= ⇒ 028t161t3t9 =++++− ⇒ 1t −= ⇒ )3,1,2(Q − 4.- distància, 59016PQd =++== 5d = u. b)
1.- distància 7749
364941026
d ==++−+−−
= 7d = u.
3.28
3.27
Xavier Rabasa [email protected] 70
Trobeu la distància entre els plans paral·lels { }0zy2x2:1 =−+π i
{ }.03zy2x2:2 =−−+π RAONAMENT 1.- fixem un punt A del pla { }0zy2x2:1 =−+π ⇒ )0,0,0(A 2.- distància del punt A al pla { }.03zy2x2:2 =−−+π
93000
d−−+
= 1d = u.
Trobeu la distància entre les rectes r i s en els següents casos,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
31z
12y
41x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=+
32z
11y
41x:s
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
==−
02z
1y
21x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
==−
12z
2y
31x:s
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−3z
01y
11x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
=−
12z
13y
25x:s
RAONAMENT a)rectes paral·leles, 1.- punt fix de r, )1,2,1(A i punt genèric de s, )2t3,1t,1t4(B ++−
2.- 03t91t8t16v·AB)3,1,4(v
)1t3,1t,2t4(AB=++−+−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+−−=
06t26 =−⇒ ⇒ 133t =
13780221014
131ABd 222 =++==
b) 1.- rectes incidents en el punt A(1,0,2) 0d =
3.30
3.29
Xavier Rabasa [email protected] 71
c) 1.- 021012112301224
=++−=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ 2
112301224
rang =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ les rectes
són incidents aleshores 0d =
Trobeu la distància entre el punt )1,0,1(P − i el pla { }01zyx: =+−−π . RAONAMENT
1.- distància 3
1101d
++−= 3d = u.
Trobeu la distància entre el punt )1,0,1(P − i la recta { }0y,2zx:r ==− RAONAMENT 1.-punt genèric de la recta )t,0,2t(Q + )1,0,1()1t,0,1t(PQ ≈++=
2.-vector director de la recta )1,0,1(010101
kji=−
els dos vectors són paral·lels aleshores el punt P pertany a la recta i 0d =
Coordenades del punt Q simètric del )2,1,0(P respecte: a) de l’origen. b) del pla { }04z3x: =−−π
3.33
3.32
3.31
Xavier Rabasa [email protected] 72
RAONAMENT a)
)2,1,0()0,0,0(PO2Q −=−= )2,1,0(Q −− b)
1.-recta perpendicular al pla que passa per P, 32z
01y
1x
−−
=−
=
2.-punt M intersecció entre recta i pla, )1,1,1(M2x3z
1y4z3x
M −⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==
+=
3.-punt simètric )4,1,2()2,1,0()2,2,2(PM2Q −=−−=−= )4,1,2(Q −
Xavier Rabasa [email protected] 73
4. POSICIONS RELATIVES
Estudia la posició de les rectes següents:
{ }t3z,t2y,t21x:r +=−=−= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
+=
−1
z1
2y2
1x:s RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes
{ }t3z,t2y,t21x:r +=−=−=⎩⎨⎧
−−=⇒
)1,1,2(v
)3,2,1(A
r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
+=
−1
z1
2y2
1x:s⎩⎨⎧
−=
−⇒
)1,1,2(v
)0,2,1(B
s
)3,4,0(AB −−=
2.- dependència o independència lineal dels vectors directors,
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−1
112112
rang vectors paral·lels
3.- dependència o independència lineal dels vectors directors de les rectes i del vector que uneix les dues rectes,
⇒=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−2
11211234o
rang rectes paral·leles
Estudia la posició de les rectes següents:
{ }tz,1y,0x:r === { }t1z,ty,t2x:s +=−=+= RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes
{ }tz,1y,0x:r ===⎩⎨⎧
=⇒
)1,0,0(v
)0,1,0(A
r
4.2
4.1
Xavier Rabasa [email protected] 74
{ }t1z,ty,t2x:s +=−=+=⎩⎨⎧
−=⇒
)1,1,1(v
)1,0,2(B
s
)1,1,2(AB −=
2.- dependència o independència lineal dels vectors directors,
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2111100
rang vectors no paral·lels
3.- dependència o independència lineal dels vectors directors de les rectes i del vector que uneix les dues rectes,
⇒=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−⇒≠
−
−3
111100112
rang0111100112
les rectes es creuen
Estudia la posició de les rectes següents:
{ }tz,t2y,tx:r −=+== ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=1
2z2
1y1x:s
RAONAMENT 1.- dades de les rectes i del vector que uneix les dues rectes
{ }tz,t2y,tx:r −=+==⎩⎨⎧
−=⇒
)1,1,1(v
)0,2,0(A
r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−
=1
2z2
1y1x:s
⎩⎨⎧
=
−⇒
)1,2,1(v
)2,1,0(B
s
)2,1,0(AB −−=
2.- dependència o independència lineal dels vectors directors,
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −2
121111
rang vectors no paral·lels
3.- dependència o independència lineal dels vectors directors de les rectes i del vector que uneix les dues rectes,
4.3
Xavier Rabasa [email protected] 75
⇒=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
⇒=−−−
2121111210
rang0121111210
les rectes es tallen
Estudia la posició relativa dels plans { }02z2yax:1 =−+−π i
{ }0az4y2x2:2 =+−π segon el valor del paràmetre a. RAONAMENT 1.- matriu dels coeficients i ampliada del sistema que formen els dos plans
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=a422
21aA i ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=0a422221a
A
1a0221a
=⇔=−−
1a0a42
21=⇔=
−−
2.- discussió del sistema,
⎩⎨⎧
==⇒≠
=≠=⇒=
)2arangrangA(1a)2ArangrangA1(1a⇒
incidentsleles·paral
Estudia la posició relativa dels plans { }0z2yx:1 =++π { }0ymx:2 =−π
{ }0mzx3:3 =+π segon el valor del paràmetre m. RAONAMENT 1.- matriu dels coeficients i ampliada del sistema format pels tres plans,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
m0301m211
A i ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
0m03001m0211
A ⇒ ArangrangA =
4.5
4.4
Xavier Rabasa [email protected] 76
2rangA00121
≥⇒≠−
, ⎩⎨⎧
−==
⇒=−+−=−3m
2m0)6mm(
m0301m211
2
2.-discussió del sistema,
{ }⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒−≠
==⇒−=
==⇒=
3ArangrangA3,2m2ArangrangA3m
2ArangrangA2m
)0,0,0(punt_el_en_tallen_esrecta_una_en_tallen_esrecta_una_en_tallen_es
Calculeu el valor d’a per tal que les rectes
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
==−
13z
1y
21x:r i
{ }03azyx3,010z3yx:s =++−=−+− formin un pla i trobeu la seva equació. RAONAMENT
1.- ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
==−
13z
1y
21x:r
⎩⎨⎧
−=⇒
)1,1,2(v
)3,0,1(A
2.- feix de plans que passen per s, 0)10z3yx(t3azyx3 =−+−+++− 3.-per passar pel punt )3,0,1(A 2a003a33 −=⇒=+++⇒ 2a −= 4.-el vector )1,1,2(v −= és perpendicular al )t3a,t1,t3(w +−−+= ⇒
27t0)t32()t1()t3(2 =⇒=+−−−−++ ⇒ 064z17y9x13 =−+−
Estudia la posició relativa de la recta { }1zx,03z2yx:r −=+=−+− i del pla { }0azyx3: =+−π . RAONAMENT
4.7
4.6
Xavier Rabasa [email protected] 77
1.-sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+−=+−
1zx3z2yx0azyx3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=101211a13
A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=1101
32110a13
A
101211
13−− a
= -3 + 1 + a = a – 2
a) si a ≠ 2 3ArangrangA == el sistema és compatible i determinat la recta talla al pla en un punt
b) si a = 2 101
011013
−−−
= 3-1+0=2≠ 0
3Arang2rangA =≠= sistema incompatible la recta és paral·lela al pla
Estudieu la posició relativa entre la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =
−=
−2z
12y
31x:r i el pla
{ }03zyx2: =−+−π . RAONAMENT
1.-sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−−=−
3zyx22z3x25y3x
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
112302
031A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
311223025031
A
⇒≠=−
−−
021112302
031⇒== 3ArangrangA
sistema compatible determinat ⇒ es tallen en un punt
4.8
Xavier Rabasa [email protected] 78
Demostreu que la recta { }03zyx2,01zy3x:r =+−+=−+− està continguda en el pla { }01zy5x4: =++−π .
RAONAMENT 1.- discissió del sistema
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−−=−+
=+−
1zy5x43zyx2
1zy3x
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
154112
131A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
11543112
1131A
0154112
131A =
−−
−= 0
154312
131=
−−−
− 2ArangrangA ==
Sistema compatible indeterminat recta continguda en el pla
Estudia la posició relativa de les rectes { }t1z,t2y,tx:r +=−== i
{ }1z,t2y,tx:s =−=−= . RAONAMENT 1.-punt i vector director de cada recta
{ }t1z,t2y,tx:r +=−==⎩⎨⎧
−=⇒
)1,2,1(v
)1,0,0(A
r
{ }1z,t2y,tx:s =−=−=⎩⎨⎧
−−=⇒
)0,1,1(v
)1,2,0(B
s
)0,2,0(AB =
2.- dependència o independència dels tres vectors
4.10
4.9
Xavier Rabasa [email protected] 79
3ABvv
rang02020011121
s
r
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒≠−=−−−
les rectes es creuen
Trobeu el valor d’a per tal de que les rectes { }t2z,t41y,tx:r −=−== i
{ }t4z,t23y,ax:s −=−== es creuin. RAONAMENT 1.-punt i vector director de cada recta
{ }t2z,t41y,tx:r −=−==⎩⎨⎧
−−=⇒
)1,4,1(v
)2,1,0(A
r
{ }t4z,t23y,ax:s −=−==⎩⎨⎧
−−=⇒
)1,2,0(v
)4,3,a(B
s
)2,2,a(AB =
2.- dependència o independència dels tres vectors
2a222a120141
AB
v
v
s
r
−=−−−−
= Si ⎩⎨⎧
≠=
1a1a
⇒ creuen_es
incidents
Estudia la posició relativa de les rectes r i s
{ }4zyx3,0zy2x:r =++=−+ { }1zyx2,0zx:s =−−=− RAOANMENT 1.-punt i vector director de cada recta,
4.12
4.11
Xavier Rabasa [email protected] 80
punt de la recta r: )1,0,1(A vector de r: )5,4,3(113121
kji−−=−
punt de la recta s: )0,1,0(B − vector de s: )1,1,1(112101
kji−−−=
−−−
vector )1,1,1(AB −−−= 2.- dependència o independència dels tres vectors,
111543111
−−−−−−−−
=0 les rectes estan en un mateix pla i de vectors no
paral·lels aleshores les rectes es tallen en un punt.
Estudia la posició relativa de les rectes r i s
{ }2y2x3,0yx:r =−=+ { }3zyx,1zyx:s =++=−+ RAOANMENT 1.-punt i vector director de cada recta,
punt de la recta r: )0,52,
52(A − vector de r: )5,0,0(
023011kji
−=−
punt de la recta s: )1,0,2(B vector de s: )0,2,2(111111
kji−=−
vector )1,52,
58(AB =
2.- dependència o independència dels tres vectors,
4.13
Xavier Rabasa [email protected] 81
⇒≠−
− 0022500
528 les rectes es creuen
Estudieu la posició relativa de les rectes { }6zy3,1yx:r =−−=− i
{ }3azx3,01a2ayx:s =−=−+− segons el valor del paràmetre a. RAOANMENT 1.- punt i vector director de cada recta,
{ }6zy3,1yx:r =−−=− )3,1,1(
130011kji
v
)0,2,1(A
r
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=
⇒
{ }3azx3,01a2ayx:s =−=−+− )3,1,a(a
a030a1kji
v
)0,2,1(B
s
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−=
⇒
)0,0,0(AB = si⎩⎨⎧
≠=
1a1a
⇒ )0,2,1(punt_el_en_tallen_es
recta_mateixa
Trobeu el valor d’a de manera que els plans { }02yx:1 =−+π ,
{ }0zyx2:2 =−+π i { }02z2yax:3 =+−+π determinin una recta. RAOANMENT
4.15
4.14
Xavier Rabasa [email protected] 82
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+=−+
=+
2z2yax0zyx2
2yx
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
21a112
011A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
221a01122011
A
a3a4121a112
011A −=−+−=
−−= a262)a2(2
21a012211
−=+−=−
1.- si 3a = ⇒ 2ArangrangA == els plans determinen una recta 2.- si 3a ≠ ⇒ 3ArangrangA == els plans determinen un punt
Donats els plans { }02zyx:1 =−+−π i { }0z2ayx2:2 =+−π trobeu la seva posició relativa segons els valors del paràmetre a. RAONAMENT
1.- sistema ⎩⎨⎧
=+−=+−
0z2ayx22zyx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=2a2111
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=02a22111
A
a2a211
−=−−
2rangA1rangA
2a2a
==
⇒⎩⎨⎧
≠=
⇒ 2Arang040221
=⇒≠−=
2.- si ⎩⎨⎧
==≠
=≠==
2ArangrangA2a
2Arang1rangA2a
incidents_2alels·paral_2a
≠=
4.16