Projekt Lenda: MatematikeTema : Funksionet eksponenciale dhe logaritmike.

Funksioni Relacioni f me bashkesi fillimi X dhe bashkesi mbarimi Y quhet funksion kur cdo element i X-it lidhet me nje element te vetem te Y-it. Funksioni f: X->Y ,ku X-i dhe Y-i jane nenbashkesite bashkesise se numrave reale R quhet funksion numerik .Grafiku I funksionit numerik f: X->R ne planin koordinativ xOy quhet bashkesia e te gjitha pikave (x, f(x)), ku xєX.

Y= ax + b

Grafiku I funksionit linear y=ax+b (ku a≠0) eshte nje drejtez jo paralele me me boshtin Oy. Per ndertimin e saj mjafton te gjejme 2 pika te drejtezes, bashkesia e percaktimit te funksionit eshte R.

y=ax +bx+cGrafiku I funfsionit te fuqise se dyte y=ax2+bx+c xєR eshte nje parabole .Per ta ndertuar ate gjejme kulmin C(m;n) m=− 𝑏 dhe n=− 𝐷 2 4𝑎 𝑎dhe dy pika te tjera ne secilen ane te kulmit .

2

𝑦 = 𝑎 xєR*(a≠0) 𝑥

Grafiku I funksionit perpjestimor te zhdrejte = 𝑦 𝑎 ,xєR*(a≠0) 𝑥eshte nje vije e perkulur (hiperbole ) e perbere nga dy pjese. Kur a>0 njera nga keto pjese ndodhet ne kuadratin e pare dhe tjetra ne kuadratin e trete. Kur a<0 pjeset ndodhen njera ne kuadratin e dyte tjetra ne kuadratin e katert.

Y=ax ,x R𝜖

Grafiku I funksionit Y=ax ,x R 𝜖(ku aє0) eshte nje vije e perkulur (parabole) qe ka si boshte simetrie boshtin Oy dhe si kulm origjinen O. Kur a>0 kjo parabole ndodhet ne gjysme planin e siperm dhe deget e saj shkojne lart pambarimisht ;a<0 kjo parabole ndodhet ne gjysme planin e poshtem dhe degte e saj shkone poshte pambarimisht.

2

2

y=sinx

Sinusi I x-it quhet ordinate e pikes M:sinx=yM. Sinx є R. sinx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare dhe te dyte ndersa negative(-) ne kuadratin e trete dhe te katert. Eshte periodik T=2 ,eshte I 𝜋kufizuar . Sin(-x)=-sinx funksioni y=sinx eshte tek ne R.

y=cosx

kosinusi I X-it quhet abshisa e pikes M:cosx=XM ,cosx єR Cosx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare dhe te katert ndersa negativ(-) ne kuadratin e dyte dhe te trete. Eshte periodic T= 2 , eshte I kufizuar. 𝜋 Cos(-x) = cosx funksioni y=cosx eshte cift ne R.

Y=a , xєR

Grafiku I funksionit eksponencial Y=a , xєR kur a>1 eshte nje vije e lemuar , ndodhet mbi boshtin Ox dhe pret boshtin Oy ne piken me koordinata (0;1). Kur a<1 eshte nje vije e lemuar , ndodhet mbi boshtin Ox dhe e pret boshtin Oy ne piken me kooordinata (0;1). Min I funksionit eshte x=–∞, max eshte x=+∞. Ky funksion e pret boshti e ordinatave ne piken (0;1).

x

x

Vetite e funksionit eksponencial.

1-Bashkesia e percaktimit e funksionit eshte bashkesia R2- Bashkesia e vlerave te funksionit eshte intervali 0: +∞Kjo do te thote se te gjitha vlerat e funksionit jane numra reale pozitive per cdo x qe ben pjese ne R kemi a me e madhe se 0 dhe cdo numer real pozitiv sherben si vlere e funksionit eksponencial.3-Funksioni eksponencial eshte I kufizuar nga poshte prej numrit 0 dhe I pakufizuar nga lart. Kjo do te thote qe sido q eta marrim numrin M gjenden vlera te funksionit eksponencial qe jane me te medha se M.4-Vlera e funksionit eksponencial e y=a per x=a eshte 1.5- Funksioni eksponencial eshte monoton ne R: rrites kur a>1:zbrites kur 0<a<1. 

Y =log x ku a > 0, a ≠ 1 dhe x > 0.

Funksion logaritmik quhet funksioni i formës y=loga x ku a > 0, a ≠ 1 dhe x > 0. Min I funksionit eshte x=0 , max eshte x=+∞.Ky funksion e pret boshtin e abshisave ne piken (1;0).

a

Vetite e funksionit logaritmik

1-Bashkesia e percaktimit te funksionit y=log x eshte intervali ]0 +∞ [2- Bashkesia e vlerave te funksionit y=log x eshte R.Pra per cdo numer real b ekziston nje vlere pozitive e x-it e tille qe log x=b.Kjo eshte x=a 3-Per x=1 kemi log x =0D.m.th per x=1 vlera e funksionit logaritmik eshte 0.4-Funksioni logaritmik y=log x eshte I pakufizuar nga lart dhe I pakufizuar nga poshte ne intervalin ] 0 + ∞ [Kjo do te thote qe sido qe ta marrim nje numer M ekzistojne vlera pozitive te x-it per te cilat log x>M.Po keshtu sido qe te marrim numrin M ekzistojne vlera pozitive per te cilat log x<M5-Funksioni logaritmik y=log x eshte zbrites kur 0<a<1Grafiku eshte vendosur ne te djathte te bushtit Oy dhe e prêt boshtin ox ne piken A(1,0).Me rritjen e vlerave te x-it grafiku vjen duke u ulur kur (0<a<1)

Y= Inx

Y=ex

Pjestaret e grupit :oXhesiana BashaoEnxhi RexhepioElsa ShtyllaoAnxhela Hysa oRigers DeharioBjorna Sinani

Faleminderit për vëmendjen tuaj!