Funksioni

Relacioni f me bashkesi fillimi X dhe bashkesi mbarimi Y quhet funksion kur cdo element i X-it lidhet

me nje element te vetem te Y-it. Funksioni f: XY ,ku X-i dhe Y-i jane nenbashkesite bashkesise se

numrave reale R quhet funksion numerik .Grafiku I funksionit numerik f: XR ne planin koordinativ

xOy quhet bashkesia e te gjitha pikave (x, f(x)), ku xєX.

1. Grafiku I funksionit linear y=ax+b (ku a≠0)

eshte nje drejtez jo paralele me me boshtin

Oy. Per ndertimin e saj mjafton te gjejme 2

pika te drejtezes,bashkesia e percaktimit te

funksionit eshte R.

2. Grafiku I funfsionit te fuqise se dyte y=ax2+bx+c

xєR eshte nje parabole .Per ta ndertuar ate gjejme

kulmin C(m;n) m=−𝑏

2𝑎 dhe n=−

𝐷

4𝑎 dhe dy pika te

tjera ne secilen ane te kulmit .

3. Grafiku I funksionit perpjestimor te zhdrejte

𝑦 =𝑎

𝑥 ,xєR*(a≠0) eshte nje vije e perkulur

(hiperbole )e perbere nga dy pjese. Kur a>0 njera

nga keto pjese ndodhet ne kuadratin e pare dhe

tjetra ne kuadratin e trete. Kur a<0 pjeset

ndodhen njera ne kuadratin e dyte tjetra ne

kuadratin e katert.

4.Grafiku I funksionit Y=ax2,x𝜖R (ku aє0) eshte nje

vije e perkulur (parabole) qe ka si boshte simetrie

boshtin Oy dhe si kulm origjinen O. Kur a>0 kjo

parabole ndodhet ne gjysme planin e siperm dhe

deget e saj shkojne lart pambarimisht ;a<0 kjo

parabole ndodhet ne gjysme planin e poshtem dhe

degte e saj shkone poshte pambarimisht.

5.Grafiku I funksionit eksponencial Y=ax

, xєR kur a>1 eshte nje vije e lemuar ,

ndodhet mbi boshtin Ox dhe pret

boshtin Oy ne piken me koordinata (0;1).

Me rritjen e abshises x,rritet dhe

ordinate y e pikes. Kur a<1 eshte nje vije

e lemuar , ndodhet mbi boshtin Ox dhe e

prêt boshtin Oy ne piken me kooordinata

(0;1). Me rritjen e abshises ordinata y e

pikes zvogelohet.

6.Grafiket e funksioneve y=ax,xєR dhe y=(1

𝑎)x ,xєR jane simetrike te mjeri-tjetrit kundrejt bushtit Oy.

7.Grafiku I funksionit y= log𝑎 𝑥 ku 0<a≠1 xє ]0,+∞[

eshte nje vije e lemuar. Grafiku eshte I vendosur ne te

djathte te boshtit oy dhe e pret boshtin ox ne piken (1,0).

Me rritjen e vlerave te x-it grafiku vjen duke u rritur (kur

a>1) dhe duke zbritur (kur o<a<1).

8.Sinusi I x-it quhet ordinate e pikes M:sinx=yM. Sinx є

R. sinx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare dhe te dyte

ndersa negative(-) ne kuadratin e trete dhe te katert.

Eshte periodik T=2𝜋 ,eshte I kufizuar .Sin(-x)=-sinx

funksioni y=sinx eshte tek ne R.

9.kosinusi I X-it quhet abshisa e pikes M:cosx=XM.

Cosx єR . cosx eshte pozitiv(+) ne kuadratin e pare

dhe te katert ndersa negativ(-) ne kuadratin e dyte

dhe te trete.Eshte periodic

T= 2𝜋 ,eshte I kufizuar. Cos(-x)=cosx funksioni

y=cosx eshte cift ne R.

Funksioni logaritmik Funksion logaritmik quhet funksioni i formës y =loga x ku a > 0, a ≠ 1 dhe x > 0.

Nisur nga ky përkufizim kemi njëvlershmërinë y =log𝑎 𝑥 <=> ay = x.

Për x ≠ 1 shprehja y = log1x, nuk vërtetohet. Pra, formula y = log1x është funksion vetëm në se bashkësia e fillimit është X = {1}. Po kështu do të ndodhte nëse baza është 0 apo një numër negativ. Bashkësia e përcaktimit është X = R*+, ndërsa bashkësia e vlerave F = ]–∞; +∞[ = R. Per a > 1 funksioni eshte rrites ne ] 0; +∞ [ dhe rritet nga -∞ ne +∞

kur 0 < a < 1 funksioni eshte zbrites ne ] 0; +∞ [ dhe zbret nga nga +∞ ne -∞ .Bashkesia e percaktimit E = ] 0; +∞[ Per a>1 funksioni eshte I kufizuar nga larte dhe I pakufizuar nga poshte. Per o<a<1Funksioni

eshte I kufizuar nga poshte e I pakufizuar nga larte.

Minimumi I funksionit eksponencial eshte x=0 ,maksimumi I funksionit logaritmik eshte x=+∞ .

Ky funksion e pret boshtin e abshisave ne piken (1;0).

Funksioni eksponencial Funksioni i formës f(x) = ax ku a > 0 dhe a ≠ 1 quhet funksion eksponencial. Bashkësia e përcaktimit është E = R = ]–∞; +∞[, ndërsa bashkësia e vlerave është F = R*+. Në përkufizimin e dhënë për funksionin eksponencial janë përjashtuar bazat a = 1, a

= 0. Është bërë për arsyen e thjeshtë se f(x) = 1x = 1 dhe f(x) = 0x = 0 janë funksione konstante. Janë përjashtuar,

gjithashtu, edhe vlerat negative të a-së sepse numrat negativ nuk mund të përdoren si baza. Funksioni eksponencial eshte I kufizuar nga poshte dhe I pakufizuar nga larte. Per

a>1 funksioni eshte rrites . Per 0<a<1 funksioni eshte

zbrites. Minimumi I funksionit eksponencial eshte x=–∞,

maksimumi I funksionit eksponencial eshte x=+∞. Ky funksion e pret boshti e ordinatave ne piken (0;1).