Ιδιότητες Έλλειψης

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Περιεχόμενα •Συμμετρικά

•Σημείων Ελλειψη

•Εκκεντρότητα

•Τροχιές

•Πλανητών

•Εφαπτομένη Ελλειψης

•Ανακλαστική ιδιότητα

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Απολλώνιος ο Περγαίος

Απολλώνιος ο Περγαίος

•Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (ή Περγεύς)

υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους

Έλληνες μαθηματικούς – γεωμέτρες και

αστρονόμους της αλεξανδρινής εποχής.

Γεννήθηκε περί το 260 π.Χ. (ή σύμφωνα με

άλλους μελετητές περί το 246 με 221 π.Χ.),

στην Πέργη της Παμφηλίας, μια πόλη κοντά

στην Αττάλεια της Μ. Ασίας. Σπούδασε

και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια κοντά στους

συνεχιστές του Ευκλείδη και συνέγραψε

γύρω στα 21 έργα μαθηματικών, γεωμετρίας,

αστρονομίας και μηχανικής, που

χωρίζονταν σε υποκατηγορίες τόμων εκ των

οποίων διασώθηκαν μόνο τέσσερα

με γνωστότερο εξ’ αυτών το έργο «Κωνικά»

το οποίο αποτελείται από 8 βιβλία.

•Δίδαξε στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας στην «Αίθουσα 5» εξ'ού και του προσδόθηκε

το προσωνύμιο Απολλώνιος ο Ε’. Οι σύγχρονοι του έτρεφαν

μεγάλο θαυμασμό για το έργο του, τόσον ώστε τόλμησε να ασκήσει κριτική

σε έργα του Ευκλείδη και ενίοτε να προτείνει ριζικές τροποποιήσεις σε μερικά

σημαντικά τμήματα των ευκλείδειων «Στοιχείων». Ο μαθηματικός – ιστορικός Πάππος

ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.Χ.) τον περιγράφει ως υπερόπτη στον

χαρακτήρα αναφέροντας ότι υποτιμούσε τους άλλους γεωμέτρες,

και ότι κατά πάσα πιθανότητα πυροδότησε εξ αφορμής αυτού τον

Αρχιμήδη να αποστείλει δια αλληλογραφίας στον Ερατοσθένη,

εκουσίως λαθεμένα θεωρήματα «για τον έλεγχο των γνώσεων

εκείνων των καθηγητών του Μουσείου που θεωρούσαν τον εαυτό

τους ως αυθεντίες». Εικάζεται ότι υπήρξε νεότερος του

Αρχιμήδη σε ηλικία, γεγονός που προκύπτει απ’ το ότι ο Αρχιμήδης ονομάζει

την παραβολή ως «ορθογωνίου κώνου τομή», ενώ απ’ την Απολλωνίου και

έπειτα εποχή καθιερώθηκαν οι νεότερες ορολογίες «παραβολή», «έλλειψη», «υπερβολή».

Αν M1(x1,y1) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M2(x1, -y1) , M3( -x1,y1) και M4( -x1, -y1) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει τους άξονες x'x και y'y άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E',E της έλλειψης και η μεσοκάθετος του E'E είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του E'E είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η εκκεντρότητα

της έλλειψης. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης (ε)

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος β/α και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη (Σχ. α). Όταν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος β/α τείνει στο 1 και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Όταν, όμως, το ε τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος β/α τείνει στο 0 και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο β/α, λέγονται όμοιες (Σχ. β).

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Είναι γνωστό από την Αστρονομία ότι οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον

Ήλιο είναι ελλείψεις, των οποίων τη μία εστία κατέχει ο Ήλιος. Οι

εκκεντρότητες των τροχιών αυτών είναι οι εξής:

Τροχιές των Πλανητών

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Στο σημείο Μ(χ1,ψ1) η εφαπτομένη της Έλλειψης

δίνεται από τον τύπο

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Όπως η παραβολή έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα.

Συγκεκριμένα:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία

, όπου E',E οι εστίες της έλλειψης.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη μία εστία μιας έλλειψης, ανακλώμενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ορισμένων τύπων οπτικών οργάνων και στην κατασκευή των λεγόμενων "στοών με ειδική ακουστική". Οι στοές αυτές είναι αίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μια εστία μπορεί να ακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμη, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης βρίσκει σπουδαία εφαρμογή σε μια ιατρική μέθοδο που λέγεται λιθοθρυψία. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής: Στη μια εστία της έλλειψης τοποθετείται ένα ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο ασθενής τοποθετείται σε τέτοια θέση, ώστε το νεφρό του να είναι στην άλλη εστία. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούνται από

τους ανακλώμενους υπερήχους.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Η εφαπτομένη της έλλειψης (χ2 /4) + (ψ2 /16)=1 στο σημείο Μ(-2,2)

έχει εξίσωση [χ.(-2)/4]+(ψ.2/16)=1 -(χ/4)+(ψ/8)=1 -2χ+ψ-8=0

Η εφαπτομένη της έλλειψης 3χ2 +4ψ2 =1 στο σημείο Μ(1/2,1/4) έχει

εξίσωση 3χ+2ψ-2=0

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 2

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης 3χ2 +ψ2 =4 η

οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=-3χ+1

Ασκηση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Διάλειμμα