제 3 장 삼각함수의 기초

아꿈사최우영

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

꼭지점은 원점 (0,0) 에 위치

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

항상 x 축 양의 방향과 일치하도록원점에 위치

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

90 도 일 때 , 끝 변은 양의 y 축 방향과 일치

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

α( 알파 ), β( 베타 ), θ(세타 ) 등으로 널리 쓰이는 각을 표시

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

양의 x 축 방향으로부터 반시계방향으로 각을 재면 양의 각

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

제자리로 돌아오면 360 도

도 VS 라디안• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다 .

• 한 쪽 반직선을 시작변 , 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다 .

양의 x 축 방향으로부터 시계 방향으로 재면 음의 각

표준 위치에 있는 양의 각

• 예제 3.1

• 표준 위치에 60 도의 각을 그려라

표준 위치에 있는 양의 각

• 예제 3.1

• 표준 위치에 60 도의 각을 그려라

표준 위치에 있는 음의 각

• 예제 3.2

• 표준 위치에 -100 도의 각을 그려라 .

표준 위치에 있는 음의 각

• 예제 3.2

• 표준 위치에 -100 도의 각을 그려라 .

도를 라디안 단위로

• 도 단위의 각 = 라디안 단위의 각

• 예제 3.3

• 를 라디안으로 변환

도를 라디안 단위로

• 도 단위의 각 = 라디안 단위의 각

• 예제 3.3

• 를 라디안으로 변환

라디안을 도 단위로

• 라디안 단위의 각 = 도 단위의 각

• 예제 3.4

• 를 도 단위로 변환

라디안을 도 단위로

• 라디안 단위의 각 = 도 단위의 각

• 예제 3.4

• 를 도 단위로 변환

•

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Degree-Radian_Conversion.svg

다음 각을 도에서 라디안으로 변환하라

• 스스로 평가

•

•

•

다음 각을 도에서 라디안으로 변환하라

• 스스로 평가

•

•

•

다음 각을 라디안에서 도로 변환하라

• 스스로 평가

•

•

•

다음 각을 라디안에서 도로 변환하라

• 스스로 평가

•

•

•

삼각함수• 삼각함수 : 직각 삼각형이 관련된 상황에서 종종 필요로 함

• 벡터 (4 장 ), 물리학 챕터에서 등장

• 사인 , 코사인 : 진동에 사용

직각 삼각형

• 모든 삼각함수는 직각 삼각형에 대하여 정의됨

• 직각삼각형의 세 변 중 두 변 사이의 관계

직각 삼각형

• 각 α: 사인 , 코사인 , 탄젠트의 기준

사인 sine

• 수직변 / 빗변

•

코사인 cosine

• 밑변 / 빗변

•

탄젠트 tangent

• 수직변 / 밑변

•

• 탄젠트는 ‘접선’이라는 뜻으로 쓰이기도 한다 .

사인 , 코사인 , 탄젠트 정의하기

• 예제 3.5

• 표준 위치에 있는 각 α 에서 점 (12, 5) 가 이 각의 끝변 위의 한 점일 때 , sin α, cos α, tan α 의 값을 각각 구하라

12

5

α

사인 , 코사인 , 탄젠트 정의하기

• 빗변의 길이

12

5

α

𝑐

다른 종류의 삼각함수

• 코시컨트 , 시컨트 , 코탄젠트는 사인 , 코사인 , 탄젠트의 역수

•

•

•

자주 쓰이는 삼각함수

α(도 ) α(라디안 ) sin α cos α tan α

0 0 0 1 0

30 π/6 0.5=1/2 0.8660=√3/2

0.5774=√3/3

45 π/4 0.7071=√2/2

0.7071=√2/2

1

60 π/3 0.8660=√3/2

0.5=1/2 1.7321=√3

90 π/2 1 0 -

120 2π/3 0.8660=√3/2

-1/2 -1.7321=-√3

180 π 0 -1 0

270 3π/2 -1 0 -

360 2π 0 1 0

코사인 사용하기

• 예제 3.6

• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다 . 화살의 길이는 50 픽셀 , 표적은 60 도 위로 향하고 있다 . 태양이 바로 머리 위에서 비추고 있다면 땅에 비친 이 화살의 그림자 길이는 얼마인가 ?

코사인 사용하기

• 예제 3.6

• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다 . 화살은 50 픽셀 ,

표적은 60 도 위로 향하고 있다 . 태양이 바로 머리 위에서 비추고 있다면 이 화살의 땅에 비친 그림자 길이는 얼마인가 ?

a

50

α

역함수

• 각을 알 때는 삼각함수를 계산기에서 바로 사용한다 .

• 코사인은 각에 대한 밑변과 빗변의 비율

• 비율을 알고 있고 , 각을 알고 싶을 때는 삼각함수의 역함수 사용

•

탄젠트의 역함수 사용하기

• 예제 3.7

• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다 . 캐릭터와 목표 사이의 거리는 100 이고 목표는 지상에서 400 위에 있다 . 화살이 일직선으로 날아간다면 활을 지상에서 몇 도가 되도록 겨누어야 하나 ?

탄젠트의 역함수 사용하기

• 예제 3.7

• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다 . 캐릭터와 목표 사이의 거리는 100 이고 목표는 지상에서 400 위에 있다 . 화살이 일직선으로 날아간다면 활을 지상에서 몇 도가 되도록 겨누어야 하나 ?

100

400

α

사인과 코사인 그래프

• y = sin(x) 의 그래프

• 주기

사인파의 주기

• y=sin(Bx) 의 주기 =

사인파의 진폭

• y = A sin(x) 의 진폭은 |A|

코사인 그래프

• 사인파에 비해 좌측으로 90 도 만큼 이동한 그래프

삼각함수 항등식• 삼각함수를 포함하는 방정식을 대수적으로 변형

• 단위원 항등식

• 삼각함수의 정의

• 합차공식

단위원 항등식

• 단위원 : (0,0) 의 원점 , 반지름 = 1 인 원

• 단위원의 방정식 :

• x = a, y = b, r = c 인 직각 삼각형

x

y

r

단위원 항등식

•

•

𝑃=(cos𝜃 , sin 𝜃)

http://abeek.honam.ac.kr/math/category/sankakukansuu/tani-enn.html

탄젠트와 코탄젠트

• 삼각함수의 정의에서 새로운 두 항등식을 이끌어 낼 수 있다 .

각이 음수일 때

• sin(-α) = -sin(α)

• cos(-α) = cos(α)

• tan(-α) = -tan(α)

각이 음수일 때의 항등식 확인

• 예제 3.12

• α = 30 도 일때 sin(- α) = -sin(α) 가 성립합을 확인

각이 음수일 때의 항등식 확인

• 예제 3.12

• α = 30 도 일때 sin(- α) = -sin(α) 가 성립함을 확인

사인의 합 - 차 공식

•

•

사인의 합 - 차 공식의 증명

사인의 합 - 차 공식의 증명

A

B

사인의 합 - 차 공식의 증명

사인의 합 - 차 공식의 증명

삼각형𝐵에서𝑥축으로수선을내린다 .

사인의 합 - 차 공식의 증명

•

• 을 계산한다 .

사인의 합 - 차 공식

•

h

사인의 합 - 차 공식

사인의 합 - 차 공식의 증명

D

사인의 합 - 차 공식의 증명

E

F

𝛽𝛽

사인의 합 - 차 공식의 증명

• 삼각형 내각의 합은

𝛽𝛽

𝛼1

사인의 합 - 차 공식의 증명

• 삼각형 내각의 합은

•

𝛽𝛽

𝛼1

𝛾

사인의 합 - 차 공식의 증명

𝛾

𝛼1

사인의 합 - 차 공식의 증명

• 그렇다면 ,

𝑏3=𝑏4+𝑏1𝑏1

𝑏2

사인의 합 - 차 공식의 증명

𝑏1

𝑏2

코사인의 합 - 차 공식

•

•

코사인의 합 - 차 공식

•

•

• 사인의 합 - 차 공식의 증명처럼 코사인의 합 - 차 공식도 증명해봅시다 .

• 각자가 !

감사합니다 .QnA