Лекция №3

Кинематический анализ рычажных механизмовЗадачей кинематического анализа рычажных механизмов является

определение кинематических параметров и кинематических характеристик всех звеньев и характерных точек механизмов по заданному закону движения входного (ведущего звена).

Характерные точки механизма – это центры масс звеньев, центры кинематических пар, к которым присоединяются дополнительные кинематические цепи или исполнительные устройства и др.

Кинематические параметры звеньев – это их положения, скорости и ускорения, линейные или угловые.

Кинематические параметры точек – это координаты их положения, линейные скорости и ускорения.

Кинематические характеристики – это зависимости кинематических параметров от положения ведущего звена механизма во всем диапазоне его работы.

Сложность кинематического анализа зависит не столько от числа звеньев механизма, сколько от его класса.

Кинематические характеристики необходимы инженеру для оценки работоспособности механизмов не только на стадии проектирования, но и в эксплуатации (в особенности при модернизации машин).

Анализ выполняют по кинематической схеме, которая в отличии от структурной схемы содержит размеры звеньев, необходимые для расчета.

Для кинематического анализа рычажных механизмов используют аналитические, графические и экспериментальные методы.

Аналитический метод кинематического анализа рычажных механизмов

Наиболее распространенным методом является метод замкнутых векторных контуров. Для его использования вдоль каждого звена, составляющего замкнутый контур, направляют вектор. Угловое положение его определяется углом, положительное направление которого отсчитывается в направлении против часовой стрелки от положительной полуоси абсцисс. Метод сводится к совместному решению уравнений проекций на оси координат векторного контура механизма с последующим дифференцированием полученных уравнений для определения скоростей и ускорений.

Кривошипно-ползунный механизм. Кинематическая схема механизма приведена на рис. 2.5, а. Для механизма известны: длины звеньев , ; угловая скорость начального звена ; расположение центра тяжести звена 2 – точки . Необходимо определить кинематические параметры звеньев 2 и 3 в функции положения ведущего звена а также закон движения точки :

OA1 = AB2 =const1 =ω

2S),(a),(),(x),(),(),(: 1B1B1B1212121 ϕϕυϕϕεϕωϕϕϕ

2S ).(a),(),(y),(x 12S12S12S12S ϕϕυϕϕ

Векторное уравнение замкнутого треугольника имеет вид (2.2)

Спроектируем векторное уравнение на оси координат х и у

(2.3)С помощью второго уравнения системы уравнений (2.3) можно определить угол при (2.4) при где - острый угол

(2.5) – признак сборки кривошипно-ползунного механизма Из первого уравнения системы уравнений (2.3) можно определить координату

точки В(2.6)

ОАВАОВ =+

ϕ=ϕϕ=ϕ+

.1122

,1122В

sinsin

coscosх

2ϕ122 2 ϕ+π=ϕ ,1хF +=

122 ϕ−π=ϕ ,1хF −=

12ϕ

ϕ⋅=ϕ 1

2

112 sinarcsin

Fх

).(хcoscosх 1В1122В ϕ=ϕ+ϕ−=

Определение скоростей и ускорений звеньев кривошипно-ползунного механизмаДля определения скоростей звеньев 2 и 3 продифференцируем систему двух

уравнений (2.3) по времени

(2.7)

Или с учетом равенств

будем иметь систему

(2.8)Из второго уравнения системы уравнений (2.8) получим выражение для , а из

первого – для :(2.9)

(2.10)Повторное дифференцирование системы уравнений (2.8) позволяет получить

выражения для ускорений звеньев 2 и 3. С учетом равенств

эти выражения имеют вид(2.11)

(2.12)

ϕϕ=ϕϕ

ϕϕ−=ϕϕ−

dt

dcos

dt

dcos

dt

dsin

dt

dsin

dt

dx

111

222

111

222

В

,ВВ

dt

dx υ= ,dt

d2

2 ω=ϕ1

1

dt

d ω=ϕ

ϕω=ϕωϕω−=ϕω−υ

111222

111222В

coscos

,sinsin

2ω

Bυ

);(cos

cos12

22

1112 ϕω=

ϕϕω=ω

).(sinsin 1В111222В ϕυ=ϕω−ϕω=υ

,аdt

dВ

В =υ,

dt

d2

2 ε=ω0

dt

d1

1 =ε=ω

);(cos

sinsin12

22

12112

222

2 ϕε=ϕ

ϕω−ϕω=ε

).(acoscossina 1В12112

222222В ϕ=ϕω−ϕω+ϕε=

Определение закона движения центра тяжести звена 2 (т. )Для определения закона движения центра тяжести звена 2 – точки составим

новый замкнутый векторный контур (рис. 2.5, а). Векторное уравнение его имеет вид

(2.13)Проектируя уравнение на оси координат, получим координаты точки

(2.14)Первая и вторая производные от и дадут значения составляющих

скорости и ускорения точки (2.15)(2.16)(2.17)(2.18)

Значения полных векторов скорости и ускорения точки будут

(2.19)

(2.20)Положение вектора скорости относительно оси определяется углом (рис.

2.5, б) при

(2.21) при

Аналогично определяется положение вектора ускорения углом

2SAOS2

.OAA2S2OS =+2S

ϕ+ϕ−=ϕ+ϕ−=.sinsiny

coscosх

1122AS2S

,1122AS2S

2Sx 2Sy2S

;sinsinх 111222AS2S ϕω−ϕω=•

;coscosу 111222AS2S ϕω+ϕω−=

•

;coscossinх 12112

222AS222AS2S ϕω−ϕω+ϕε=

••

.sinsincosу 12112

222AS222AS2S ϕω−ϕω+ϕε−=

••

,yxV2

2S

2

2S2S

••+=

.yxa2

2S

2

2S2S

••••+=

Vα

=α •

•

2S

2SV

x

yarctg ;0x 2S >

•

π+

=α •

•

2S

2SV

x

yarctg .0x 2S <

•

αα

Кинематические характеристики звена 2

Кинематические характеристики звена 2

Кинематический анализ механизма с гидроцилиндром аналитическим методом

Постановка задачиКинематическая схема механизма приведена на рис. 2.7. Обобщенной координатой

здесь является положение поршня со штоком 2 относительно гидроцилиндра 1 . Известны длины звеньев угол , определяющий положение стойки ; скорость поршня относительно цилиндра . Необходимо определить кинематические параметры звеньев 1-2 – гидроцилиндра с поршнем и коромысла 3 в функции обобщенной координаты:

21

;,, 4АС3СВАВ == 4ϕ21υ

).(),(),(),(),(),( 21321121321121321121 εεωωϕϕ=ϕ=ϕ

Определение кинематических параметров звеньев механизма с гидроцилиндром

Векторное уравнение замкнутости контура АВС имеет видПроекции векторного уравнения на оси координат х и у дадут систему уравнений, из которой можно

определить искомые углы и :

(2.24)Здесь - длина гидроцилиндра со штоком поршня; - расстояние между точками

А и В при вдвинутом поршне.Для определения угловых скоростей звеньев 1-2 и 3 необходимо продифференцировать по

времени систему уравнений (2.24). С учетом равенствбудем иметь систему уравнений

(2.25)Решая ее относительно неизвестных и путем несложных преобразований получим следующие

выражения для угловых скоростей

(2.26) (2.27)

Аналогично определяются угловые ускорения звеньев. Дифференцирование системы уравнений (2.25) по времени с учетом равенств

дает искомые выражения для угловых ускорений звеньев

(2.29)

(2.30)

Очевидно, что и и

.3АВ4 =+

1ϕ 3ϕ

ϕ=ϕ+ϕϕ=ϕ+ϕ.sinsinsin

,coscoscos

331AB44

331AB44

21minABАВ += minAB

33

11

21AB

dt

d,

dt

d,

dt

d ω=ϕω=ϕυ=

=ϕω−ϕω+ϕυ=ϕω+ϕω−ϕυ.0coscossin

,0sinsincos

33311AB121

33311AB121

1ω 3ω

;)(tg

)(31AB

21211 ϕ−ϕ

υ=ω

.)sin(

)(133

21213 ϕ−ϕ

υ−=ω

33

11

2121

dt

d;

dt

d;a

dt

d ε=ωε=ω=υ

;2

)(tg)sin()(

AB

121

31

21

31АВ

233

211

ωυ−ϕ−ϕ

ω+ϕ−ϕ

ω=ε

.)(tg)sin(

)(13

23

133

21AB

213 ϕ−ϕω−

ϕ−ϕω=ε

21 ω=ω .21 ε=ε

Кинематические характеристики звеньев механизма с гидроцилиндром

Графоаналитический метод кинематического анализа рычажных механизмов

Графоаналитический метод определения кинематических параметров механизмов сводится к построению планов их положений, скоростей и ускорений.

План положений механизмов – это графическое изображение взаимного расположения звеньев, соответствующее выбранному расчетному положению начального звена.

План скоростей механизма – это чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек звеньев механизма в данный момент.

План ускорений – это чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизм в данный момент.

Кривошипно-ползунный механизм. На рис. 2.9, а показан план положений механизма для значения обобщенной координаты

План положений позволяет определить угол и координаты точек В и ..3151=ϕ

2ϕ 2S

Построение плана скоростей кривошипно-ползунных механизмов

Для построения плана скоростей должна быть известна кинематическая схема механизма, построенная в масштабе (рис. 2.9, а), и задан закон движения начального звена (например, ).

Требуется найти линейные скорости точек А, В и , и также угловую скорость звена 2.Построение плана скоростей начинается с определения скорости точки кривошипа (2.33)Скорость точки В, принадлежащей звену 2, можно представить как векторную сумму скоростей

переносного и относительного движений (2.34)Переносным движением звена 2 является поступательное движение его со скоростью точки Аа относительным – вращательное движение звена 2 вокруг точки А. Если обозначить относительную

скорость через , тоОкончательное векторное уравнение для скорости точки В будет иметь вид (2.35)В этом уравнении векторы скоростей, известные по величине и направлению, подчеркнуты двумя

чертами, а известные лишь по направлению – одной чертой.Для определения указанных неизвестных величин строим план скоростей с выбранным масштабным

коэффициентом

здесь -длина отрезка, изображающего на плане скорость .

Величины действительных скоростей определяют по формулам

const1 =ω

2S.11А ω=υ

Веυ Вrυ .ВrВеВ υ+υ=υ,ABе υ=υ

BAυ .BABr υ=υ

ВАОАх//

.ВААВ

⊥⊥

υ+υ=υ

VК

.ммс

м

ZK

A

A

υυ=υ AZυ

Aυ

;KZ

;KZ

BABA

BВ

υ

υ

⋅υ=υ

⋅υ=υ.0;

;0

22

ВА2

В

<ωυ=ω

>υ

Скорость точки определяется с помощью векторного уравнения:(2.39)

Здесь скорость относительного движения точки находится методом пропорционального деления отрезка ав на плане скоростей, изображающего относительную скорость

(2.40)Действительная скорость определяется как

(2.41)

2S

A2SA2S υ+υ=υ

2ASOA ⊥⊥2S А2Sυ

BАυ

.22

= ABASaвas

А2Sυ

.KZ 2S2S υ⋅υ=υ