Электронное пособие по теме «Соотношения между сторонами и углами

треугольника», геометрия 7 класс Л.С. Атанасян.

Сумма углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Неравенство треугольника

Прямоугольные треугольники

Построение треугольника по трём элементам

Уголковый отражатель

Автор: Тедженова Гуля

Руководитель: Цыганкова Ольга Юрьевна

Сумма углов треугольника равна 180°

А+В+С=180°

Проведем аIIАС

1

2

3

4 5

4 + 2 + 5 = 180° - развернутый угол

с вершиной В═>

или

А+В+С=180°

ч.т.д.

1 + 2 + 3 = 180° ═>А

В

С

1 , 4 - накрестлежащие

3 , 5 - накрестлежащие ═> 3 = 5

1 = 4

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

12

ч.т.д.

А

В

С

Пусть в АВС сторона АB>AC

С> B

D

Отложим на АВ отрезок AD, то AD<ABD лежит между А и В ═> 1 часть С

═> С> 1. 2 – внешний угол ВDC, 2> B

1= 2 как при основании равноб. ADC

С> В

═> C> 1,

1= 2,

2> B

═> C> B

Рассмотрим произвольный АВС

А

В

С D

1

2

Отложим на продолжении АС отрезок СD=CBВ равнобедедренном BCD 1= 2, ABD> 2

Т.к. в против большего угла лежит большая сторона ,

то AB < AD. Ho AD=AC+CD=AC+CB

AB < AC + CB═> ч.т.д.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

В

C A F

АBC=DEF

E

D

Т.к. С= F, как прямые, то можно наложить АВС на DEF

Вершина С совместится с F, а СА и СВ наложатся на лучи FD и FE.

Т.к. СВ=FE, то В совместится с вершиной Е

АВ=DE, BC=EF═> что А и D также совместятся.

═> следовательно, совместятся треугольники АВС и DEF ч.т.д.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

a

b

Расстояние от любой точки Х прямой а до прямой b равно АВ

Рассмотрим а ║ b,Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b

т.к. XY перпендикулярна b, то XY перпендикул. a

Прямоугольные треугольники АВY и YXA равны по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, XY=AB.

Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой b. Значит, все точки прямой b находятся на таком же

расстоянии от прямой а. Ч.Т.Д.

Сумма двух острых углов треугольника равна 90 градусам.

Задача: Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 90 гр. Луч света, падающий на зеркало ОА под углом α, отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ. Док-ть, что падающий и отраженный лучи ║ .

S

90°-α 90°-α

α

α T

Решение: По закону отражения света падающий луч SM и луч MN составляют с

прямой ОА равные углы α. Т.к. треугольник MON прямоугольный, то угол MON = 90° - α.

Применяя закон отражения света , получаем, что луч MN и отраженный луч NT

составляют с прямой ОВ равный углы. Обращаясь к рисунку, мы видим, что

MNT = 180° - 2(90° - α)ے , SMN = 180° - 2 αے= 2 α,

Поэтому ےSMN + ےMNT = 180 °.

Следовательно падающий луч SM и отраженный луч NT параллельны, Ч.Т.Д

А

аН М

1°. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2°. Катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3°. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2.Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему

острому углу другого, то такие треугольники равны.

Следствие 1.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный ( признак равнобедренного треугольника ).

(Если в треугольнике два угла равны, то равны стороны, лежащие против этих углов).

1) Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

2) Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

3) Построение треугольника по трём сторонам.

Задача: построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

а

АP¹ Q¹ .

В

С

h

kα

α

P² Q²

P¹ Q¹

P² Q²

Задача: построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

P¹ Q¹

β

α

А .

P¹ Q¹

α β

В

С

Задача: построить треугольник по трём сторонам.

а

А

P¹ Q¹ В

СP² Q²

P³ Q³