Решени задачи по СЪПРОМАТ

Курсова задача N1: Разрезни усилия на равнинно натоварена

права греда

Примерна задача

За показаната греда се иска:

а) да се определят опорните реакции;

б) да се запишат изразите за функциите на разрезните усилия във всеки

участък;

в) да се начертаят мащабно диаграмите на разрезните усилия;

г) да се извършат следните проверки: диференциална, за вида на

диаграмите, площна и с правилата за скоковете.

x

2

C Ah=0x x

B E

B=41

2

1.5

A

Av=9

D

3

1.5

x

Rq=10x3=30 kN

F=20 kNM=40 kNm

q=10 kN/m

3 m

22

0.9

x

1.5

32

D

--

4040

9+

xxAh=0

Av=9

AC

M

Q

--

17.95

40

2020

21

9

-

+

N

x

1.5

2

B=41

EB

Rq=10x3=30 kN

F=20 kNq=10 kN/m

M=40 kNm

3 m

а) определяне на опорните реакции

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0AH ====

∑∑∑∑ ====−−−−++++−−−−−−−−==== ;205B5;0B57.205,3.3040;0M A ;kN41B ====

∑∑∑∑ ========−−−−++++++++−−−−==== ;45A5;02.205,1.3040A5;0M VVB ;kN9AV ====

Проверка: ∑∑∑∑ ==== ;0V .05050;02030419 ====−−−−====−−−−−−−−++++

б) определяне на изразите за функциите на разрезните усилия

участък СА: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

x

C

MN

Q

40

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;0Q ====

∑∑∑∑ ==== ;0M s ;040M ====++++ .40M −−−−====

С индекса s се означава . сечение. В последното условие се записва сума

от моментите на всички товари за мястото на сечението.

участък АD: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

A

Av=9

x

C

40

3

Q

MN

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;9Q;0Q9 ========−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M s ;0x940M ====−−−−++++ ;40x9M −−−−====

x [m] 0 2

M [kNm] 40−−−− 22−−−−

участък DB: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

C

3

A D

q=10

Av=9

10x

2

NM

Q

x

x/2

40

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;9x10Q;0Qx109 ++++−−−−========−−−−−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x29402

x.x10M ====++++−−−−++++ ;22x9x5M 2 −−−−++++−−−−====

;0Q ==== [[[[ ]]]]3;0m9,0x;09x10 extrextr ∈∈∈∈========++++−−−−

Ако [[[[ ]]]]3;0xextr ∉∉∉∉ , то за начертаване на М-диаграмата като трета стойност

на x се разглежда тази в средната точка на участъка, в случая би трябвало тя да

е m5,1x ==== .

x [m] 0 9,0 3

Q [kN] 9 21−−−−

M [kNm] 22−−−− 95,17−−−− 40−−−−

участък BE: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

2-x

Q

N

ME

F=20

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0N ====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;20Q;020Q ========−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x220M ====−−−−−−−−−−−− .40x20M −−−−−−−−====

x [m] 0 2

M [kNm] 40−−−− 0

в) мащабно начертаване на диаграмите на разрезните усилия

Мащабите за всяка от диаграмите могат да са различни. Графиките на

кривите от втора степен да се начертаят с кривка. Характерните ординати от

диаграмите да се удебелят.

Правила за нанасяне на характерните ординати от диаграмите:

Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните

стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности

на N и Q - от обратната й страна.

г) проверки

- диференциална проверка

.Qxd

Md;q

xd

Qd;t

xd

Nd====−−−−====−−−−====

Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са

положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните

усилия N и Q за лява част от участъка.

t> 0

q > 0

Q

MN

участък СА

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .00;Q

xd

Md========

участък AD

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .99;Q

xd

Md========

участък DB

;00;txd

Nd====−−−−==== ;1010;q

xd

Qd−−−−====−−−−−−−−====

.9x109x10;Qxd

Md++++−−−−====++++−−−−====

участък BE

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .2020;Q

xd

Md========

- проверка за вида на диаграмите

-

участък CA AD DB BE

q 0 0 const 0

Q const=0 const линейна

функция

const

M const линейна

функция

квадратна

функция

линейна

функция

t 0 0 0 0

N const=0 const=0 const=0 const=0

- площна проверка

.AMM;RQQ;RNN Qldqldtld ====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−

С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на

участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие N за

лява част на участъка.

qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с посоката на положителното разрезно усилие Q за

лява част на участъка.

QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък


За подучастъка между сечението с екстремалната стойност на M и лявата

граница на участъка с равномерно разпределен напречен товар q се извършва

следната площна проверка:

;AMM Qlmax ====−−−−

05,405,4;2

9,0.9)22(95,17 ========−−−−−−−−−−−−

участък tld RNN −−−−====−−−− qld RQQ −−−−====−−−− Qld AMM ====−−−−

CA

00

;000

====

====−−−−

00

;000

====

====−−−−

(((( ))))00

;04040

====

====−−−−−−−−−−−−

AD

00

;000

====

====−−−−

00

;099

====

====−−−−

(((( ))))1818

;2.94022

====

====−−−−−−−−−−−−

DB

00

;000

====

====−−−−

3030

;30921

−−−−====−−−−

−−−−====−−−−−−−− (((( ))))

1818

;3.2

2192240

−−−−====−−−−

−−−−====−−−−−−−−−−−−

BE

00

;000

====

====−−−−

00

;02020

====

====−−−−

(((( ))))4040

;2.20400

====

====−−−−−−−−

- проверка с правилата за скоковете

-

Граница

С Скок в M -диаграмата kNm40

А Скок в Q -диаграмата (((( ))))↑↑↑↑kN9

B Скок в Q -диаграмата kN41 ( )↑

C Скок в Q -диаграмата kN20 ( )↓

Курсова задача N2: Разрезни усилия на равнинно натоварена

конструкция с начупена ос


За показаната конструкция се иска:



участък;


г) да се извършат следните проверки: диференциална, за вида на

диаграмите, площна, с правилата за скоковете и с изрязване на възлите.

323m

M=40 kNm

C

A

22

20 kN/m

B

30°

30°

γ

cosγ=0.6sinγ=0.8

3

M=40 kNm

Ah=28.39Av=30.713

A

3m 2

C

17.32 kN/m10kN/m

22

Rt=51.9617.32 kN/m

Bv=0.713Bh=23.57

B

20 kN/m10kN/mRq=30

K

L

40 а) определяне на опорните реакции

1) ∑∑∑∑ ==== ;0M A ;0B8B24.96,515,6.3040 VH ====−−−−−−−−++++−−−− ;42,26B4B VH ====++++

2) ∑∑∑∑ ==== ;0M BCC ;0B3B25,1.30 VH ====−−−−++++−−−− ;5,22B5,1B VH −−−−====++++−−−−

;kN57,23B;kN713,0B HV ========

3) ∑∑∑∑ ==== ;0M B ;0A8A2405,1.302.96,51 VH ====−−−−++++++++++++

;46,94A4A VH ====++++−−−−

4) ∑∑∑∑ ==== ;0M ACC ;0A5A440 VH ====−−−−++++ ;10A25,1A VH −−−−====−−−−

.kN39,28A;kN713,30A HV ========

Проверка:

∑∑∑∑ ==== ;0H ;096,5196,51;096,5157,2339,28 ====−−−−====−−−−++++

∑∑∑∑ ==== ;0V .0713,30713,30;0713,030713,30 ====−−−−====−−−−−−−−


участък AK: m5x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

NM

17.034

Ah=28.39

γ

18.428

24.57 Av=30.713

x

y1

Q

A22.712

∑∑∑∑ ==== ;0Fnp i1x;604,41N;057,24034,17N −−−−========++++++++

∑∑∑∑ ==== ;0Fnp i1y;284,4Q;0428,18712,22Q −−−−========−−−−++++

∑∑∑∑ ==== ;0M s ;0x428,18x712,22M ====−−−−++++ .x284,4M −−−−====

x [m] 0 5

M [kNm] 0 42,21−−−−

участък KC: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

x

γγ

3mAv=30.713

A

Ah=28.39

NM

Q

4

K40 kNm

∑∑∑∑ ==== ;0H ;039,28N ====++++ ;39,28N −−−−====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;713,30Q;0Q713,30 ========−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;03x713,304.39,2840M ====++++−−−−++++++++ .421,61x713,30M −−−−====

x [m] 0 2

M [kNm] - 421,61 0

участък CL: m3x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

(3-x)/2

Bv=0.713Bh=23.57

3-x

M

Q

N

17.32(3-x)17.32 kN/m

2

10(3-x)

B

10kN/m

L

∑∑∑∑ ==== ;0H (((( )))) ;057,23x332,17N ====++++−−−−−−−−−−−− ;39,28x32,17N −−−−====

∑∑∑∑ ==== ;0V (((( )))) ;713,30x10Q;0713,0x310Q ++++−−−−========−−−−−−−−−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) (((( )))) ;02.57,23x3713,02

x3x310M ====++++−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

;x713,30x5M 2 ++++−−−−====

;0Q ==== [[[[ ]]]]3;0m071,3x;0713,30x10 extrextr ∉∉∉∉========++++−−−−

x [m] 0 5,1 3

N kN] 39,28−−−− 57,23

Q kN] 713,30 713,0

M kNm] 0 82,34 14,47

участък LB: m2x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

Bh=23.57Bv=0.713

B

2-x

N

M

Q

∑∑∑∑ ==== ;0H ;0713,0N ====−−−− ;713,0N ====

∑∑∑∑ ==== ;0V ;57,23Q;057,23Q −−−−========++++

∑∑∑∑ ==== ;0M s (((( )))) ;0x257,23M ====−−−−++++−−−− .14,47x57,23M ++++−−−−====

x [m] 0 2

M kNm] 14,47 0

в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия





Стойностите им се нанасят напречно на оста на гредата. Положителните

стойности на M са от страната на пунктирната линия, а положителните стойности

на N и Q - от обратната й страна.

Rq=30

3mAv=30.713

A

Ah=28.39

0.7

13

30.7

13

30.7

13

++

4.284

23.57

23.57

61

.42

1

+

- 34.8

2

4.284

21.42

-

-

M

Q

-

47.14

47.1

4

+

Bh=23.57

10kN/m

3

Rt=51.96C

2

M=40 kNm

cosγ=0.6sinγ=0.8

γ

-

28

.39

28

.39

-

B

Bv=0.713

17.32 kN/m

22

N

+

+

23.5

7

0.713

K

L

41.604

41.604

г) проверки


.Qxd

Md;q

xd

Qd;t

xd

Nd====−−−−====−−−−====

Интензивностите t - на осовите и q - на напречните разпределени товари са

положителни, когато съвпадат съответно с положителните посоки на разрезните

усилия N и Q за лява част от участъка.

участък AK

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .284,4284,4;Q

xd

Md−−−−====−−−−====

участък KC

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .713,30713,30;Q

xd

Md========

участък CL

(((( ))));32,1732,17;txd

Nd−−−−−−−−====−−−−==== ;1010;q

xd

Qd−−−−====−−−−−−−−====

.713,30x10713,30x10;Qxd

Md++++−−−−====++++−−−−====

участък LB

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qd====−−−−==== .57,2357,23;Q

xd

Md−−−−====−−−−====


участък AK KC CL LB

q 0 0 const 0

Q const const линейна

функция

const

M линейна

функция

линейна

функция

квадратна

функция

линейна

функция

t 0 0 const 0

N const const линейна

функция

const



С lll M,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в левия край на

участъка, а с ddd M,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие N за лява част

на участъка.

qR - равнодействаща на напречния разпределен товар в участъка. Тя е

положителна, когато съвпада с положителното разрезно усилие Q за лява част

на участъка.

QA - площ на Q -диаграмата в разглеждания участък

участък AK

;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;0604,41604,41 ========−−−−−−−−−−−−

;RQQ qld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;0284,4284,4 ========−−−−−−−−−−−−

;AMM Qld ====−−−− .42,2142,21;5.284,4042,21 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−

участък KC

;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;039,2839,28 ========−−−−−−−−−−−−

;RQQ qld −−−−====−−−− ;00;0713,30713,30 ========−−−−

;AMM Qld ====−−−− (((( )))) .426,61421,61;2.713,30421,610 ≈≈≈≈====−−−−−−−−

участък CL

;RNN tld −−−−====−−−− (((( )))) (((( )))) ;96,5196,51;3.32,1739,2857,23 ====−−−−−−−−====−−−−−−−−

;RQQ qld −−−−====−−−− ;3030;3.10713,30713,0 −−−−====−−−−−−−−====−−−−

;AMM Qld ====−−−− .139,4714,47;3.2

713,0713,30014,47 ≈≈≈≈

++++====−−−−

участък LB

;RNN tld −−−−====−−−− ;00;0713,0713,0 ========−−−−

;RQQ qld −−−−====−−−− (((( )))) ;00;057,2357,23 ========−−−−−−−−−−−−

;AMM Qld ====−−−− .14,4713,47;2.57,2313,470 −−−−≈≈≈≈−−−−−−−−====−−−−

- изрязване на възли K и L

Векторите на трите разрезни усилия се нанасят за двете сечения,

разположени безкрайно близо до възела. Ако стойностите им са положителни, то

те се нанасят в посока на съответното положително разрезно усилие за

сечението. Ако стойностите им са отрицателни, то стрелките на векторите са в

обратна посока.

възел K

γ

61.421

41.604

21.42 4.284

28.39

30.713

40 kNmK

∑∑∑∑ ==== ;0H ;039,28sin284,4cos604,41 ====−−−−++++ γγ

;039,288,0.284,46,0.604,41 ====−−−−++++ .039,2839,28 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0V ;0713,30cos284,4sin604,41 ====−−−−−−−− γγ

;0713,306,0.284,48,0.604,41 ====−−−−−−−− ;028,3328,33 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M K .0421,6142,61;0421,614042,21 ≈≈≈≈−−−−====−−−−++++

възел L

0.713

47.1423.57

47.140.713

23.57

L

∑∑∑∑ ==== ;0H ;057,2357,23 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0V ;0713,0713,0 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M L .014,4714,47 ====−−−−

Курсова задача N3: Разрезни усилия в пространствено

натоварена конструкция


За показаната греда се иска:



участък;


г) да се извършат следните проверки: с изрязване на възел B , за вида на

диаграмите, диференциална и площна.

C=16

Bx=16Ay=60

Az=55

Ax=0

x

4

5t=30kN/m

60 kN

Bz=245

q=10 kN/m

xm

z

x1

z1

y1

Rq=40

y

=20kNm/m


∑∑∑∑ ==== ;X) 01 ;0CBA XX ====−−−−++++

∑∑∑∑ ==== ;Y) 02 ;060AY ====++++−−−− ;kN60AY ====

∑∑∑∑ ==== ;Z) 03 ;05.304.10BA ZZ ====−−−−−−−−++++−−−−

∑∑∑∑ ==== ;M) X 04 ;04.5.302.405.60B4 Z ====−−−−−−−−−−−− ;kN245BZ ====

∑∑∑∑ ==== ;M) Y 05 ;04.20C5 ====++++−−−− ;kN16C ====

∑∑∑∑ ==== ;M) Z 06 ;0B4C4 X ====−−−− ;kN16BX ====

;kN0AX ==== ;kN55AZ ====

Проверка: ∑∑∑∑ ==== ;0M)11X ;05,2.602.5.30B2A2A5,2 ZZY ====−−−−−−−−++++++++−−−−

;05,2.602.5.30245.255.260.5,2 ====−−−−−−−−++++++++−−−− .0600600 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M)21Y

;0C5,24.20B5,2A5,2 XX ====−−−−++++−−−−−−−−

;016.5,24.2016.5,20.5,2 ====−−−−++++−−−−−−−− ;08080 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M)31Z ;0C2B2A2 XX ====++++−−−−

;016.216.20.2 ====++++−−−− .03232 ====−−−−


- участък АB: mx 40 ≤≤≤≤≤≤≤≤

x

x/2

q=10 kN/m10x

y

MyQy

Ax=0

Ay=60

Az=55z

x

Mz

Qz

MxN

=20kNm/mmx

;0Fi

ix ====∑∑∑∑ ;060N ====−−−− ;kN60N ====

;Fi

iy 0====∑∑∑∑ ;kN0Qy ====

;Fi

iz 0====∑∑∑∑ ;0x1055Qz ====++++++++ ;55x10Qz −−−−−−−−====

∑∑∑∑ ==== ;M x 0 ;xM x 020 ====++++ ;xM x 20−−−−====

∑∑∑∑ ==== ;M y 0 ;02/x.x10x55M y ====++++++++ ;xxM y 555 2 −−−−−−−−====

[[[[ ]]]];4;05,5x;055x10dx

dMextr

y∉∉∉∉−−−−========−−−−−−−−====

∑∑∑∑ ==== ;M z 0 .0M z ====

[[[[ ]]]]m.x 0 2 4

[[[[ ]]]].kNQz 55−−−− 95−−−−

[[[[ ]]]]kNmM x 0 80−−−−

[[[[ ]]]]kNmM y 0 130−−−− 300−−−−

- участък BC: m5x0 ≤≤≤≤≤≤≤≤

y

x

Mx

NQy

My

Qz Mz z

60

5-x

C=16

t=30 kN/m

;0Fi

ix ====∑∑∑∑ (((( )))) ;0x530N ====−−−−−−−−−−−− ;150x30N −−−−====

;0Fi

iy ====∑∑∑∑ ;016Qy ====−−−−−−−− ;kN16Qy −−−−====

;0Fi

iz ====∑∑∑∑ ;060Qz ====++++−−−− ;kN60Qz ====

∑∑∑∑ ==== ;0M x ;0M x ====

∑∑∑∑ ==== ;0M y (((( )))) ;0x560M y ====−−−−−−−−−−−− ;300x60M y −−−−====

∑∑∑∑ ==== ;0M z (((( )))) ;0x516M z ====−−−−−−−−−−−− .80x16M z −−−−====

[[[[ ]]]]mx 0 5

[[[[ ]]]].kNN 150−−−− 0

[[[[ ]]]]kNmM y 300−−−− 0

[[[[ ]]]]kNmM z 80−−−− 0

в) мащабно начертаване на днаграмите на разрезните усилия





Стойностите на N , zQ , xM и yM се нанасят успоредно на оста z . Върху

положителната й част се нанасят положителните ординати на yM , а върху

отрицателната й ос – положителните ординати на N , zQ и xM .

Стойностите на yQ и zM се нанасят успоредно на оста y . Върху

положителната й част се нанасят отрицателните им ординати.

C=16

Bx=16Ay=60

Az=55

Ax=0

x

4

5

t=30kN/m

60 kN

Bz=245

q=10 kN/m

xm

z

x1

z1

y1

Rq=40

y

=20kNm/m

60

55

N

Qz

My

+

60

-

60

-

95

+

60

-

-

13

0

30

0

300

150

Mx

Qy

Mz

16

16

-

80

80

-

-

в) проверки

- изрязване на възел В

y

1

2

z1

1x

95

16

300B 245

80 60

z2

2x

150

16

300

8060

;0Fi

1ix ====∑∑∑∑ ;06060 ====−−−−

;0Fi

1iy ====∑∑∑∑ ;01616 ====−−−−

;0Fi

1iz ====∑∑∑∑ ;024515095 ====−−−−++++ ;0245245 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M1x ;08080 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M 1y ;0300300 ====−−−−

∑∑∑∑ ==== ;0M1z

.00 ====


участък yq yQ zM zq zQ yM

AB 0 const линейна

функция

const линейна

функция

квадратна

функция

BC 0 const линейна

функция

0 const линейна

функция

участък t N xm xM

AB 0 const const линейна

функция

BC const линейна функция 0 const


;qxd

Qd;q

xd

Qd;t

xd

Ndz

zy

y −−−−====−−−−====−−−−====

.Qxd

Md;Q

xd

Md;m

xd

Mdy

zz

y

xx −−−−========−−−−====

Интензивностите на товарите t и xm са положителни, ако имат посоката на

оста x на местната координатна система за участъка. Интензивностите на

товарите yq и zq са положителни, ако са с посоките на осите y и z съответно.

участък АВ

;00;txd

Nd====−−−−==== ;00;q

xd

Qdy

y ====−−−−====

;1010;qxd

Qdz

z −−−−====−−−−−−−−==== ;2020;mxd

Mdx

x −−−−====−−−−−−−−====

;55x1055x10;Qxd

Mdz

y −−−−−−−−====−−−−−−−−==== .00;Qxd

Mdy

z ====−−−−====

участък ВС

(((( ))));3030;txd

Nd−−−−−−−−====−−−−==== ;00;q

xd

Qdy

y ====−−−−====

;00;qxd

Qdz

z ====−−−−==== ;00;mxd

Mdx

x ====−−−−====

;6060;Qxd

Mdz

y ======== (((( )))).1616;Qxd

Mdy

z −−−−−−−−====−−−−====


;RQQ;RQQ;RNNzql,zd,zyql,yd,ytld −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====−−−−

.AMM;AMM;MMMyQl,zd,zzQl,yd,yml,xd,x −−−−====−−−−====−−−−−−−−====−−−−

С l,zl,yl,xl,zl,yl M,M,M,Q,Q,N са означени стойностите на разрезните усили в

левия край на участъка, а с d,zd,yd,xd,zd,yd M,M,M,Q,Q,N - тези в десния.

tR - равнодействаща на осовия разпределен товар t в участъка. Тя е

положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста x за лява част на

участъка.

yqR - равнодействаща на напречния разпределен товар yq в участъка. Тя

е положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста y за лява част на

участъка.

zqR - равнодействаща на напречния разпределен товар zq в участъка. Тя е

положителна, когато посоката й съвпада с тази на оста z за лява част на

участъка.

mM - равнодействаща на осовия разпределен товар xm в участъка. Тя е

положителна, когато посоката на xm съвпада с тази на оста x за лява част на

участъка.

yQA - площ на yQ -диаграмата в разглеждания участък. zQA - площ на zQ -

диаграмата в разглеждания участък.

участък tld RNN −−−−====−−−−

yql,yd,y RQQ −−−−====−−−− zql,zd,z RQQ −−−−====−−−−

АВ

00

;06060

====

====−−−−

00

;000

====

====−−−−

(((( ))))4040

;10.45595

−−−−====−−−−

−−−−====−−−−−−−−−−−−

ВС (((( )))) (((( ))))150150

;5.301500

====

−−−−−−−−====−−−−−−−−

(((( ))))00

;01616

====

====−−−−−−−−−−−−

00

;06060

====

====−−−−

участък ml,xd,x MMM −−−−====−−−−

zQl,yd,y AMM ====−−−− yQl,zd,z AMM −−−−====−−−−

АВ

8080

;4.20080

−−−−====−−−−

−−−−====−−−−−−−−

300300

;4.2

55950300

−−−−====−−−−

−−−−−−−−====−−−−−−−−

00

;000

====

====−−−−

ВС

00

;000

====

====−−−−

(((( ))))300300

;5.603000

====

====−−−−−−−−

(((( )))) (((( ))))8080

;5.16800

====

−−−−−−−−====−−−−−−−−

Курсова задача N4: Двумерно напрегнато състояние


Дадени са напреженията върху две взаимно перпендикулярни площадки,

разположени безкрайно близо до точка от равнинно напрегнато тяло:

.;cm/kN;cm/kN;cm/kN yxxyyx0222 30347 ====−−−−============−−−−==== αττσσ

Да се определят аналитично:

а) главните нормални напрежения 1σ и 2σ , а също и ъглите 1α и 2α , които

нормалите на техните площадки сключват с оста x ;

б) екстремните стойности на тангенциалните напрежения maxτ и minτ , а

също и нормалните напрежения medσ върху техните площадки;

в) нормалното напрежение ασ и тангенциалното ατ върху площадка, чиято

нормала сключва ъгъл 030====α с оста x .

Да се извърши и графично решение с окръжността на Мор. Върху нея да се

означат всички характерни точки, нормалите на съответните площадки и

векторите на нормалните и тангенциални напрежения, записани със стойности.

Нормалните напрежения се нанасят върху нормалата на сечението. Ако са

положителни, техните вектори са насочени навън от сечението.

Тангенциалните напрежения имат направление, успоредно на площадката,

за която се отнасят. За площадка с нормала x положителното тангенциално

напрежение се нанася, като векторът на положителното нормално напрежение се

завърти на 090 обратно на часовниковата стрелка. За всички останали площадки

положителното тангенциално напрежение се нанася, като векторът на

положителното нормално напрежение се завърти на 090 по часовниковата

стрелка.

Положителният ъгъл α се измерва от оста x в посока, обратна на

часовниковата стрелка.

Положителните посоки на напреженията xσ , yσ , xyτ и yxτ са показани на

следната схема:

σ

τ

xyτ

yx

M

yσ

y

x x

В разглежданата задача векторите на напреженията са означени по-долу:

4 kN/m

M

x

23 kN/m

3 kN/m2

27 kN/m

y

2

а) определяне на главните нормални напрежения 1σ и 2σ , а също и ъглите

1α и 2α , които нормалите на техните площадки сключват с оста x ;

2221

22xy

yxyx

, τσσσσ

σ ++++

−−−−±±±±

++++==== ;

(((( ))))2221 3

2

47

2

47−−−−++++

−−−−−−−−±±±±

++++−−−−====,σ ; ;,,, 26565121 ±±±±−−−−====σ

;cm/kN,;cm/kN, 22

21 76577654 −−−−======== σσ

Проверка:

;yx σσσσ ++++====++++ 21 (((( )))) ;;,, 334776577654 −−−−====−−−−++++−−−−====−−−−++++

;xyyx2

21 τσσσσ −−−−==== (((( )))) (((( )))) (((( )))) .;.,, 3737347765776542 −−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−−

;tg;tgy

xy

y

xy

σσ

τα

σσ

τα

−−−−====

−−−−====

22

11

.,;,,

tg

;,;,,

tg

022

011

30142550047657

3

7075922347654

3

========−−−−−−−−

−−−−====

−−−−====−−−−====−−−−

−−−−====

αα

αα

Проверка:

;;,.,;tgtg 11125509223121 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====αα

(((( )))) .;,,; 00000012 9090907075301490 ========−−−−−−−−====−−−−αα

75.

70°

7.765 kN/m

n1

4.765 kN/m2

M14.30° x

2n

2

б) определяне на екстремните стойности на тангенциалните напрежения

maxτ и minτ , а също и нормалните напрежения medσ върху техните площадки;

(((( ))))

;cm/kN,,,

; minmax,minmax,221 2656

2

76577654

2±±±±====

−−−−−−−−±±±±====

−−−−±±±±==== τ

σστ

(((( ))))

.cm/kN,,,

; minmax,med221 51

2

76577654

2−−−−====

−−−−++++====

++++==== τ

σσσ

Нормалите на тези площадки разполовяват правите ъгли между нормалите

на главните площадки.

26.265 kN/m

59.3

0°

6.265 kN/m

M

n3

21.5 kN/m

2

30.70°

x

1.5 kN/m4

n2

в) нормалното напрежение ασ и тангенциалното ατ върху площадка, чиято

нормала сключва ъгъл 030====α с оста x .

;sincos xy

yxyx ατασσσσ

σα 2222

++++−−−−

++++++++

====

(((( ))))

;cm/kN,

;sincos

2030

00030

8486

603602

47

2

47

−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−

++++++++−−−−

====

====

====

α

α

σ

σ

;cossin xy

yx ατασσ

τα 222

−−−−−−−−

====

(((( ))))

.cm/kN,

;cossin

2030

00030

2633

603602

47

−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−

====

====

====

α

α

τ

τ

3.263 kN/mM

30°

n

26.848 kN/m

2

x

Графично решение с окръжността на Мор

2cm/kN1cm1 ÷÷÷÷

(((( )))) (((( )))) ;;S;;S xyy

2

xyx0 τστσ π−−−−

(((( )))) (((( )))) .3;4S;3;7S

2

0 −−−−−−−− π

Sπ/6

S2

1.5

n3

oS x714.30°30°T

n4

1.5

6.265

S6S4

C O

3

4.765

n1

75.70°

1S

π/2

nσ

S

6.265

S5

S3

nτ

y

34

3.263

6.848

2n

7.765

n

От окръжността се отчитат нормалните и тангенциалните напрежения в

характерните площадки и се сравняват със стойностите от аналитичното

решение.

Курсова задача N5: Главни инерционни моменти и оси


Да се определят аналитично главните инерционни моменти и оси за

показаната съставна фигура.

3.44.953

1

Y

Z

3.447

2.447

C2yC2

3z z2

3C3y

y1

6 cm

0.8

14

.5

1

1.580

1.292

0.6320.983

z1

1C

Iy

z I

O

L100.63.10

От таблицата отчитаме следните характеристики за профил :10.63.100L

6.3 cm

1.58

10

L100.63.10

3.4

y

z

C

.cm65,48I;cm1,47I;cm154I;cm5,15A 4yz

4z

4y

2 −−−−================

1. Определяне на центъра на тежестта на фигурата.

;cm72,4z;cm4,11y;cm5,15A I

1CI

1C2

1 ============

;cm15,3z;cm4y;cm4,503,6.8A I

2CI

2C2

2 ================

;cm5,2z;cm3y;cm5,132

5,4.6A I

3CI

3C2

3 ================

;cm4,525,134,505,15A;AAAA 2321 ====−−−−++++====−−−−++++====

;A

y.Ay.Ay.Ay

I

3C3I

2C2I

1C1IC

−−−−++++==== ;

A

z.Az.Az.Az

I

3C3I

2C2I

1C1IC

−−−−++++====

;cm447,64,52

3.5,134.4,504,11.5,15y I

C ====−−−−++++

====

.cm782,34,52

5,2.5,1315,3.4,5072,4.5,15z IC ====

−−−−++++====

2. Определяне на осовите и на центробежния инерционни моменти за

осите Y и Z .

За намирането им се прилага теоремата на Щайнер. Всички отстояния,

които се повдигат на квадрат, трябва да бъдат котирани на чертежа.

;IIII 3,Y2,Y1,YY −−−−++++====

;cm74,60938,0.5,151,47I 421,Y ====++++====

;cm83,186632,0.4,5012

3,6.8I 42

3

2,Y ====++++====

;cm38,37282,1.5,1336

5,4.6I 42

3

3,Y ====++++====

;38,3783,18674,60IY −−−−++++==== ;cm19,210I 4Y ====

;IIII 3,Z2,Z1,ZZ −−−−++++====

;cm25,534953,4.5,15154I 421,Z ====++++====

;cm59,570447,2.4,5012

8.3,6I 42

3

2,Z ====++++====

;cm40,187447,3.5,1336

6.5,4I 42

3

3,Z ====++++====

;40,18759,57025,534IZ −−−−++++==== ;cm44,917I 4Z ====

;IIII 3,YZ2,YZ1,YZYZ −−−−++++====

(((( )))) (((( )))) ;cm66,120953,4.938,0.5,1565,48I 41,YZ ====−−−−−−−−++++====

;cm94,77632,0.447,2.4,500I 42,YZ ====++++====

;cm53.49282,1.447,3.5,1372

5,4.6I 4

32

3,YZ ====++++−−−−====

;53,4994,7766.120IYZ −−−−++++==== .cm07,149I 4YZ ====

3. Определяне на главните инерционни моменти 1I и 2I и положението на

главните централни инерционни оси, определени с ъглите 1α и 2α

спрямо оста Y .

2YZ

2ZYZY2,1 I

2

II

2

III ++++

−−−−±±±±

++++==== ;

222,1 07,149

2

44,91719,210

2

44,91719,210I ++++

−−−−±±±±

++++==== ;

;76,38382,563I 2,1 ±±±±====

;cm06,180I;cm58,947I 42

41 ========

Проверка:

;IIII ZY21 ++++====++++

;6,112764,1127;44,91719,21006,18058,947 ====++++====++++

;IIIII 2YZZY21 −−−−====

.8487,1706142548,170621;07,14944,917.19,21006,18058,947 2 ≅≅≅≅−−−−====

;II

Itg;

II

Itg

2Z

YZ2

1Z

YZ1 −−−−

====−−−−

==== αα

.43,11;2022,006,18044,917

07,149tg

;57,78;946,458,94744,917

07,149tg

022

011

========−−−−

====

−−−−====−−−−====−−−−

====

αα

αα

Проверка:

;11;12022,0.946,4;1tgtg 21 −−−−====−−−−−−−−====−−−−−−−−====αα

(((( )))) .9090;9057,77843,11;90 00000012 ========−−−−−−−−====−−−−αα

YC

Z

z

y

78.5

7°

Курсова задача N6: Чист опън / натиск при статически

неопределими системи

Примерна задача 1:

Дадената идеално твърда греда е подпряна по начина, показан на схемата.

Прътите са стоманени. Прътът 1 е с площ на напречното сечение 1A , а прътът 2 –

с площ 2A . В сила е 21 A8,1A ==== .

Иска се:


б) да се оразмерят прътите, като най-напред се определи площта 1A . При

нея закръгляването да се извърши до десета от квадратен сантиметър;

в) да се определи в cm напречното на оста на гредата преместване на

сечение D , в което е приложена силата F ;

г) да се извърши проверка на нормалните напрежения с получените в б)

напречни сечения на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна

на температурата на прът 1 с C30t 0====∆ . Коефициентът на линейно температурно

разширение на стоманата е C

110

O

5t

−−−−====α , а модулът на линейните деформации

на стоманата 24 cm/kN10.2E ==== . Дадено е и допустимото напрежение за

стоманата 2adm cm/kN16====σ ..

3

60°

B

=333.30 kN

1

K"

K'

K

L'

L

D'

D

VB

4 2 m

=58.86 kNHB

F=432 kN

12

1S2S3

0°


1) ;0S330sinS71.432;0M 20

1B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑ ;0S3S5,3432;0M 21B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑

2) ;7

3

KK

LLI

I

==== ;3

LL7KK

II ====

;2

160cos

KK

KK 0

I

III

======== ;KK2KK IIII ====

;3

LL7KK2

IIII ====

;EA

6.S

EA

lSlKK

1

1

1

111

III ============ ∆ ;EA

3.S

EA

lSlLL

2

2

2

222

I ============ ∆

.EA3

3.S7

EA

6.S2

2

2

1

1 ====

Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта

21 A8,1A ==== . Получава се следната връзка между усилията в двата пръта:

21 S05,1S ==== .

След заместването на този израз за 1S в условие 1) се намират

.kN72,64S;kN96,67S 21 ========

3) ;06.432S4B7;0M 2VK ====−−−−++++====∑∑∑∑ ;kN30,333BV ====

Проверка:

;0432BS30sinS;0V V20

1 ====−−−−++++++++====∑∑∑∑

;0432432;043230,33172,6430sin96,67 0 ====−−−−====−−−−++++++++

4) ;0B30cosS;0H H0

1 ====−−−−====∑∑∑∑ .kN86,58B;0B30cos96,67 HH0 ========−−−−

б) оразмеряване на прътите, като най-напред се определя площта 1A . При

нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.

;A

Sadm

1

11,x σσ ≤≤≤≤==== ;

A

Sadm

2

22,x σσ ≤≤≤≤==== ;cm/kN16 2

adm ====σ

;16A

96,67

1

1,x ≤≤≤≤====σ ;16A

72,64

2

2,x ≤≤≤≤====σ

;cm248,4A;16

96,67A 2

11 ≥≥≥≥≥≥≥≥

.cm281,7A;16

72,64

8,1

A 21

1 ≥≥≥≥≥≥≥≥

Прието .cm056,48,1

3,7

8,1

AA;cm3,7A 21

22

1 ================

;;cm/kN310,93,7

96,67

A

Sadm1,x

2

1

11,x σσσ ≤≤≤≤============

.;cm/kN96,15278,4

72,64

A

Sadm2,x

2

2

22,x σσσ ≤≤≤≤============

в) определяне в cm на напречното на оста на гредата преместване на

сечение D

ID DD====δ ;

;3

LLDD;

3

1

LL

DD II

I

I

========

2

222

I

EA

lSlLL ======== ∆ ; ;cm239,0

056,4.10.2

300.72,64LL

4

I ========

.cm0798,03

239,0D ========δ

г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения

на прътите при отсъствие на външно натоварване, а промяна на температурата

на прът 1 с C30t 0====∆ .

3

4

K'

K

2 m

L

L'

K"

1

B

S2S1

21

30°

1) ;0S330sinS7;0M 20

1B ====−−−−−−−−====∑∑∑∑ ;S857,0S 21 −−−−====

2) ;7

3

KK

LLI

I

==== ;3

LL7KK

II ====

;2

160cos

KK

KK 0

I

III

======== ;KK2KK IIII ====

;3

LL7KK2

IIII ====

;6.30.00001,0EA

6.Sl.t.

EA

lSlKK

1

11t

1

111

III ++++====++++======== ∆α∆ ;0018,0EA

6.SKK

1

1III ++++========

;EA

3.S

EA

lSlLL

2

2

2

222

I ============ ∆

;EA3

3.S70018,0

EA

6.S2

2

2

1

1 ====

++++

Последното равенство се умножава с 1EA и се отчита зависимостта

21 A8,1A ==== .

;A

.AS7EA0036,0S12

2

1211 ====++++

;8,1.S73,7.10.2.0036,0S12 24

1 ====++++ ;S857,0S 21 −−−−==== ;6,525S884,22 2 −−−−====−−−−

;kN68,19S 1 −−−−==== .kN97,22S 2 ====

;cm/kN696,23,7

68,19;

A

S 21,x

1

11,x −−−−====

−−−−======== σσ

.cm/kN663,5056,4

97,22;

A

S 22,x

2

22,x ============ σσ

Примерна задача 2:

Стоманената колона е натоварена съгласно схемата.

Иска се:

а) да се построи диаграмата на нормалните разрезни усилия N ;

б) да се оразмери колоната в двата участъка, ако е дадена зависимостта

между площите на напречните им сечения 1A и 2A 21 A2A ==== . Да се определи

най-напред площта 1A . При нея закръгляването да се извърши до десета от

квадратен сантиметър.

в) да се определи в cm преместването на сечение B ,което е на границата

на двата участъка на колоната;

г) да се извърши проверка на нормалните напрежения с получените в б)

напречни сечения в двата участъка при отсъствие на външно натоварване, а

промяна на температурата на колоната с . C30t 0====∆ . Коефициентът на линейно

температурно разширение на стоманата е C

110

O

5t

−−−−====α , а модулът на линейните

деформации на стоманата 24 cm/kN10.2E ==== . .Дадено е и допустимото

напрежение за стоманата 2adm cm/kN16====σ .

100 kN 17.5x

3 m

100 kN

-

217.5

217.5

x

2

1A

B

A

A=217.7 kN N

C

C=162.5 kN

2A 60 kN/m

162.5

+

а) построяване на диаграмата на нормалните разрезни усилия N

1) ;03.602.100CA;0V ====−−−−−−−−++++====∑∑∑∑ .380CA ====++++

участък m2x0:AB ≤≤≤≤≤≤≤≤

N1

A

x1AA

.AN;0AN;0V 11 −−−−========++++====∑∑∑∑

участък m3x0:BC ≤≤≤≤≤≤≤≤

N

A2

A1

100 kN

2

x

60 kN/m

A

A

B

2

100 kN

;A200x60N;0x602.100AN;0V 22 −−−−++++========−−−−−−−−++++====∑∑∑∑

;0dxNA

AdxN

3

02

2

12

01 ====∫∫∫∫++++∫∫∫∫ (((( )))) (((( )))) ;0dxA200x602dxA

3

0

2

0

====∫∫∫∫ −−−−++++++++∫∫∫∫ −−−−

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] ;003A032000330202A 22 ====−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−

;kN5,217A;1740A8 ======== ;kN5,162C ====

;kN5,217N1 −−−−==== ;5,217200x60N2 −−−−++++==== .5,17x60N2 −−−−====

б) оразмеряване на колоната в двата участъка, ако зависимостта между

площите на напречните им сечения е 21 A2A ==== . Определя се най-напред площта

1A . При нея закръгляването се извършва до десета от квадратен сантиметър.

[[[[ ]]]]mx 0 3

[[[[ ]]]]kNmN2 5,17−−−− 5,162

;A

Nmaxmax adm

1

11,x σσ ≤≤≤≤==== ;

A

Nmaxmax adm

2

22,x σσ ≤≤≤≤====

;.cm/kN16 2adm ====σ

;.16A

5,217max

1

1,x ≤≤≤≤====σ ;16A

5,162max

2

2,x ≤≤≤≤====σ

;cm59,13A;16

5,217A 2

11 ≥≥≥≥≥≥≥≥

.cm31,20A;16

5,162

2

A 21

1 ≥≥≥≥≥≥≥≥

Прието ;cm2,102

4,20

2

AA;cm4,20A 21

22

1 ================

;;cm/kN66,104,20

5,217

A

Nadm1,x

2

1

11,x σσσ ≤≤≤≤−−−−====

−−−−========

.;cm/kN93,152,10

5,162

A

Nadm2,x

2

2

22,x σσσ ≤≤≤≤============

в) определяне на преместването на сечение B в cm

;EA

l5,217

1

1B ====δ .cm107,0

4,20.10.2

200.5,2174B ========δ

г) проверка на нормалните напрежения с получените в б) напречни сечения

в двата участъка при промяна на температурата на колоната с C30t 0====∆ и

отсъствие на външно натоварване.

3 m

x

A

B

A

A1

2

x

C

C

A2

1) .0CA;0V ====++++====∑∑∑∑

участък m2x0:AB ≤≤≤≤≤≤≤≤

x

A

A1

1N

;AN;0AN;0V 11 −−−−========++++====∑∑∑∑

участък m3x0:BC ≤≤≤≤≤≤≤≤

A

2

B

A

x

2

1A

2A

N

;AN;0AN;0V 22 −−−−========++++====∑∑∑∑

(((( )))) ;0llll.t. 2121t ====++++++++++++ ∆∆∆α ;EA

l.Nl;

EA

l.Nl

2

222

1

111 ======== ∆∆

(((( )))) ;EA

l.N

EA

l.Nll.t.t 0

2

22

1

1121 ====++++++++++++∆α

(((( )))) ;0EA

300.A

EA

200.A300200.30.00001,0

21

====−−−−

++++−−−−

++++++++ .0EA

300.A

EA

200.A15,0

21

====−−−−

++++−−−−

++++

Това равенство се умножава с .EA 1

;0A

AA300A200EA15,0

2

11 ====−−−−−−−−

Отчита се 21 A2A ==== .

;2.A300A20000001,0.10.2.152,0 4 ++++==== ;61200A800 ==== ;kN5,76A====

;kN5,76N 1 −−−−==== ;kN5,76N 2 −−−−====

;cm/kN75,34,20

5,76;

A

N 21,x

1

11,x −−−−====

−−−−======== σσ

.cm/kN5,72,10

5,76;

A

N 22,x

2

22,x −−−−====

−−−−======== σσ

Education

Решени задачи по СЪПРОМАТ