Задачи о лжецах

1) Вадим, Сергей и Михаил хотят в будущем стать агрономом, трактористом и экономистом. На вопрос, кем хотел бы стать каждый из них, один ответил: «Вадим хочет быть агрономом, Сергей не хочет быть агрономом, а Михаил не хочет быть экономистом». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Кем хочет стать каждый из мальчиков?

Решение:

Пусть «Михаил – не экономист»=1, тогда «Вадим – агроном» и «Сергей – не агроном» - ложь, то есть «Вадим – не агроном» и «Сергей – агроном» - истина.

Агроном Тракторист Экономист

Вадим -

Сергей +

Михаил -

Из таблицы видно, что Сергей – тракторист, Михаил – агроном, Вадим – экономист.

Агроном Тракторист Экономист

Вадим - +

Сергей +

Михаил + -

2) Три брата имеют специальности: архитектор, бетонщик, водитель. Из трех утверждений: «Алексей – архитектор», «Борис – не архитектор» и «Владимир – не водитель» только одно верное. Является ли Владимир архитектором?

Решение: Пусть «Владимир – не водитель»=1, тогда

«Алексей – архитектор»=0 и «Борис – не архитектор»=0, то есть «Алексей – не архитектор»=1 и «Борис – архитектор»=1.

Водитель Архитектор Бетонщик

Владимир -

Алексей -

Борис - +

Из таблицы видно, что Борис – архитектор, Алексей – водитель, Владимир – бетонщик.

Водитель Архитектор Бетонщик

Владимир -

Алексей -

Борис - +

3) Учитель проверил работы трех учеников: Алексеева, Васильева, Сергеева, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: «Вы все получили разные оценки: «3», «4» и «5». У Сергеева не «5», у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по-моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель верно высказался об оценке только одного ученика. Какая оценка у каждого ученика?

Решение: Пусть «У Сергеева не «5»=1, тогда «У

Васильева не «4»=0 и «У Алексеева «4»=0. Значит, «У Васильева «4»=1 и «У Алексеева не «4»=1

3 4 5

Сергеев -

Алексеев -

Васильев +

Из таблицы видно, что у Алексеева – «5», у Васильева – «4», у Сергеева – «3».

3 4 5

Сергеев -

Алексеев -

Васильев +

4) Допустим, что вы - узник, которому вдруг предоставлено право выйти на свободу, но только в том случае, если справитесь с таким заданием: перед вами две двери, одна из них ведет на волю, другая - дорога к смерти. Сидят два стражника, причем один из них - лгун, а второй всегда говорит правду; вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу. Какой вопрос вы зададите?

Решение: Показав на конкретную дверь, следует

спросить у любого из стражников: "Твой товарищ сказал бы, что ЭТА дверь ведет на свободу?".

• Если вы обратились к лжецу и при этом указали на дверь, ведущую на свободу, то стражник ответит: «Нет», так как точно знает, что его правдивы помощник точно подтвердил бы, что дверь ведет на свободу.

• Если вы указали на дверь, ведущую к смерти, то получили бы ответ от лжеца: «Да». Рассуждая аналогично получим, что правдивый стражник на ваш вопрос ответит «Нет» при указании на дверь на свободу и «Да» в противном случае.

Дверь на свободу Дорога к смерти

Стражник-лжец Нет Да

Правдивый стражник Нет Да

Таким образом, к кому бы из стражников вы не обратились с вопросом, на свободу будет вести дверь, при указании на которую вы получили ответ «Нет»; если при указании на дверь вы получили ответ «Да», то следует выбирать другую дверь.

5) Учитель проводил диктант по теме "Определения". Каждый из учеников - Коля, Сережа, Ваня, Толя, Надя - ошибся в одном из 5 заданий. Причем все они ошиблись в разных заданиях. По окончании работы учащиеся высказались об ошибках, сделанных одноклассниками: 1) "Коля ошибся в первом задании, а Ваня - в четвертом" 2)"Сережа ошибся во втором, а Ваня - в четвертом" 3)"Сережа ошибся во втором, а Коля - в третьем" 4)"Толя ошибся в первом, а Надя во втором" 5)"Надя ошиблась в третьем, а Толя в пятом" Оказалось, что каждый из учеников был прав только в одном из двух своих утверждений. Определите, кто из ребят в каком задании допустил ошибку.

1 2 3 4 5

Коля + +

Ваня +

Сережа +

Надя + +

Толя + +

Пусть Сережа ошибся во 2 задании – верно. Тогда Ваня ошибся в 4 - ложь, тогда Коля ошибся - в первом задании (1). Из (4) следует, что Толя не мог ошибиться в первом задании, так как в нем ошибся Коля. Значит из (4) правильным будет, что Надя ошиблась во втором. А Надя не могла ошибиться во 2, т. к. в нем уже ошибся Сергей.

Значит выражение, что Сережа ошибся во 2 задании - ЛОЖЬ. Из этого следует, что из (2) правильно про Ваню, значит из (3) - правильно про Колю. Из (5) Надя ошиблась в третьем - ЛОЖЬ, т. к. в 3 уже ошибся Коля. Отсюда следует, что из (4) Надя ошиблась во втором задании. Значит Толя ошибся в пятом. Таким образом Сережа ошибся в оставшемся 1 задании.

Сергей ошибся в первом задании, Надя – во втором, Коля – в третьем, Ваня – в четвертом, Толя – в пятом.