أشهر المنحنيات والمجسمات

1 جالل الحاج عبد الهندسية جسماتلُمو ات نحنياأشهر الُم



بسم اهللا الرحمن الرحيم

الهندسية و ترجع هذه الجذآبية الى الخلفية رسم المنحنيات من المواضيع الجذآبة و الشيقة في الرياضيات ، و

كل منحنيات الرياضية بش) التوابع(يمكن رسم جميع الدوال . ذه المنحنيات تمتع بها هو الفنية التي ت الحسابية

مسطحة في الصفحة إذا آانت ذات ُبعدين و في الفضاء بشكل منحنيات أو سطوح و أحجام إذا آانت ذات ثالثة

يساعد شكل المنحني المسطح أو الفضائي على سهولة البحث في رابطة و دالة المنحني و مشاهدة .أبعاد

صغيرة أو آبيرة حتى ر و العالئم في فواصل عدديةمتغيرات الدالة نتيجة تغير المقاديالتغيرات التي تطرأ على

سه و قاربه و تقّوية ، آذلك يمكن مشاهدة نقاط القّيم الصغرى و العظمى و سلوك المنحني عند ُمفي الال نها

.مساحته و طوله و مواضيع أساسية أخرى جبرية و هندسية

المنحنيات لها أهمية بالغة في الرياضيات و ها و حصرها توجد بعض جميع المنحنيات التي ال يمكن عّدمن بين

الفيزياء و الفلك و العلوم الهندسية ألن روابط و دوال بعض هذه المنحنيات هي أجوبة مسائل و معادالت مهمة و

طابع حسابي و هندسي عمل عليها أبرز علماء الرياضيات ، و آانت السبب وراء حل مسائل بعضها ذات

مهمًا في بناء هندسة ال ًاية أخرى مهمة آمنحني متساوي المماسات الذي لعب دورمتنوعة و ظهور مسائل رياض

و (خط لنموذجًا ل) و السطح الناتج من دورانه حول ُمقاربه(إقليدية آالهندسة الهذلولية حيث آان هذا المنحني

و منحنيات . علقة ور الُمفي الهندسة الهذلولية ، آذلك أهمية منحني السلسة في المسائل الهندسية و الجس) السطح

أخرى ساعدت في حل المعادالت الجبرية و الحصول على جذور المعادالت التي ال يمكن حلها و منحنيات

.ساعدت على أعطاء حلول تقريبية لمسائل هندسية مهمة آتربيع الدائرة و تثليث الزاوية و تضعيف المكعب

المهمة مرفوقة المسطحة و الفضائية و بعض األشكال الهندسية يت في هذا الكتاب أن أجمع أشهر المنحنيات سّع

بعض المنحنيات و األشكال لم أعثر على . بصورة مع ذآر معادالت رسمها و بعض خصائصها الهندسية

تعريبها أو معادلها في اللغة العربية فأضطريت أن أنتخب لها أسم بالعربي يناسب الترجمة اللغوية للمصطلح

.يناسب المفهوم الرياضي لتلك الكلمة اإلنجليزي أو

آانت بين أوراقي براهين لمعادالت بعض المنحنيات آنت قّد بّرهنت عليها أيام دراستي في المدرسة أضفتها

تعرف القارئ على طريقة إستنتاج روابط و معادالت المنحنيات و آيفية الوصول لها من بعض يللكتاب آي

ية عسى أن يجد فيها القارئ ما يساعده على إستنتاج يالت المثلثاتو و بعض التحالخصائص الهندسية و الفيزيائية

.معادالت سائر المنحنيات


جمعت هذه المجموعة من المنحنيات من مراجع و مواقع معتبرة يمكن مراجعتها أو زيارتها للتعرف أآثر على

م جميع المنحنيات المسطحة و الفضائية و توجد اليوم برامج حاسوبية تقوم برس. هذه المنحنيات و خصائصها

برامج مباشرة على شبكة األنترنيت تقوم برسم أشهر المنحنيات مع رسوم متحرآة توضح خصائص المنحني

لكن أن نجمع هذه المنحنيات و األشكال الهندسية في ملف واحد و باللغة العربية و بصورة ُمبسطة و جامعة و

و اليوم نحن بأمس الحاجة الى آهذه المواضيع .و قد تحققت و الحمد هللا تي آيفية مناسبة شئ آان من أمنيا

لبنة لجميع العلوم الهندسية و الالتي هي ساعد على بسط و نشر العلوم و باألخّص الرياضية التي تالمشاريع

أحد أهم مواضيع الرياضيات و لواله لما أستطعنا من إدراك موضوع المنحنيات و السطوح الهندسية و، العملية

.ندسية هل و التوابع الجبرية و الو تجسيم الدوا

جالل الحاج عبد

6- 10 - 2009


أنواع المنحنيات )Plane Curves(المنحنيات المسطحة

o القديمة المنحنيات)Ancient curves(

) circle(الدائرة -

)ellipse(اإلهليلج -

)hyperpola(الهذلولي -

)parapola(الشلجمي -

o المنحنيات الكالسيكيه)Classical curves(

)tractrix(متساوي المماسات -

)limacon (فة باسكالَدمنحني َص -

)nephroid (المنحني الُكلوي -

)folium(منحني ديكارت -

)leminscat(العروتين ذو منحني -

o المنحنيات الدورية)Cycloid Curves(

)cardioid(المنحني القلبي -

)nephroid (المنحني الُكلوي -

)delta(منحني الدالية -

)astroid(يري تحتي رباعي القرن منحني دو -

)cycloid(دويري -

)hypotrochoid(هايبوتروآوئيد -

o المنحنيات الحديثة)Modern Curves(

)sine(منحني الجيب -

)Lissajous(و منحني ليساج -

)catenary(منحني السلسلة -

)clothoid(آلوثوئيد -

)tacnodal(تاآندال -

)Spirals(الحلزونات -

)Archimedean spiral(حلزون أرخميدس -

)logarithm spiral ( أو حلزون متساوي الزواياالحلزون اللوغاريثمي -


)Space Curves(المنحنيات الفضائيه o المنحنيات الفضائيه الكالسيكيه) Classical Space Curves(

)helix(اللولب -

o الجبريهالمنحنيات) Algebraic Curves(

o الهندسه التفاضليهمنحنيات) Differential Geometry Curves(

o الُعقد) Knots(

)surfaces( السطوح )sphere( الكرة -

)hyperboloid (الُمجسم الهذلولي -

)paraboloid (الُمجسم الشلجمي -

)torus ( الطارة -

)Polyhedron( متعددات السطوح أو الوجوه )cube( المكعب -

)tetrahedron( رباعي السطوح -

)octahedron (ثماني السطوح -

)dodecahedron(إثنا عشري السطوح -

)icosahedron(ُمجسم عشروني -


لمنحنياتامعادالت إثبات بعض و مفاهيم الصطالحات و اإلبعض Minimal surface

)mean curvature(تطابقيًا تقوسه الوسطي ) يساوي صفر( هو السطح الذي يتالشى - سطح أصغري

Fractals

يمكن بناء منحن تكسيري من أي مضلع منتظم بأن نستبدل . هي مجموعه ذات ُبعد هاوسدورفي غير صحيح - ريهمجموعه آسو

.المولد بكل ضلع ثم نكرر األسلوب نفسه

Elliptic Function

هي معكوس تكامالت إهليلجية . دالة غير متسامية - دالة إهليلجية

Cusp

.ن و تنطبق عندها نهايتا المماس لكل فرع نقطة يلتقي عندها فرعان لمنح-قرنة

Asymptotic

تسعى المسافة بين المنحني و مستقيمه الُمقارب نحو صفر- ُمقارب

)إذا آان المنحني المطلوب رسمه )y f x= . بعدد النقاط التي تصبح فيه قيمة( )f xلهذا المنحني أي ال نهائية يوجد ُمقارب

0

lim ( )x x

f x→

= 0y في هذه الحالة معادلة الُمقارب ∞ x=

2معادلة منحني بهذه الصورة

11

yx

=−

1y معادلة ُمقارب المنحني هي 1y و = = −

Cartesian Coordinate

هي منظومة لتمثيل نقطة في فضاء بداللة أبعادها مقيسة على طول مجموعة من المحاور المتعامدة - إحداثيات ديكارتية متعامدة

)تكتب للنقطة في الصفحة . ثنائيًا , )x y و في الفضاء ( , , )x y z

Polar Coordinate

) و تكتب θ و الزاوية r زوج إحداثيات تحدد موضع نقطة في مستوى بواسطة الطول - إحداثيات قطبية , )r θ

Parametric Equation

مجموعة معادالت تعبر عن عدد من آميات آدوال صريحة – معادالت وسيطية

cossin

x R ty R t=⎧

⎨ =⎩

في الصفحة

cossin

x R ty R tz bt

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

في الفضاء


Symmetry

.تناظر ) صفحة( خاصية تشكيل هندسي بكونه متناظرًا حول محور تناظر أو مرآز تناظر أو مستوي – ناظرت

Squircle

معادلة الدائرة )superellipse( منحني خواصه الهندسية بين الدائرة و المربع ، و هو حالة من اإلهليلج الفائق – دائرة مربعة

4المربعة 4 4( ) ( )x a y b R− + − =

Hippopede

أنتخبت لها أسم مربط الفرس ، هي عبارة عن منحني مسطح معادلته horse fetter الكلمة يونانية تعني – مربط الفرس2 2 2 2 2( )x y cx dy+ = +

Genus

قياس لترابط – نوع

Surface of Revolution

:الدالة التي يرسم بها هذا النوع من المنحنيات هي . طح حول محور هو السطح الناتج من دوران منحن مس- السطح الدوراني

( ) cos

( ) sin

( )

x f u

y f u

z h u

ν

ν

=

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

أو هذه المتغيرات

( ) cos

( ) sin

( )

x f

y f

z h

θ φ

θ φ

θ

=

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

)السطح و الحجم الناتج من دوران منحني مثل )y f x= و a x b≤ :ي يساوx حول محور ≥

22 السطح 1 [ ( )]b

a

A y f x dxπ ′= +∫

]2الحجم ( )]b

a

V f x dxπ= ∫

0 نوع 1 نوع 2 نوع 3 نوع


)المساحة بين منحني دالته بصورة )y f x= و المحور األفقي في الفاصلة a x b≤ ): تساوي ≥ )b

a

A f x dx= ∫

)طول قطعة من منحني معادلته بصورة )y f x= في الفاصلة a x b≤ 21 : تساوي ≥ [ ( )]b

a

L f x dx′= +∫

طول قطعة من منحني معادلته بصورة ( )( )

x ty t

⎧⎨⎩

a في الفاصلة t b≤ 2 : تساوي ≥ 2[ ( )] [ ( )]b

a

L x t y t′ ′= +∫

)طول قطعة من منحني معادلته القطبية )r f θ= في الفاصلة a bθ≤ 2 : تساوي ≥ 2( )b

a

drL r dd

θθ

= +∫

Pedal curve

.مود من نقطة ثابتة على مماس متغير لمنحن معلوم هو المحل الهندسي لقدم الع– المنحني القدمي أو منحني مواقع األعمدة

على الخط P ، الخط المماس على المنحني و العمود في النقطة Oو نقطة ثابتة مثل ) مثل الدائرة في هذا الشكل(منحني ُمعطى

. واحدة ال أآثر و هي المحل الهندسي للمنحني القدمي P ، النقطة Oالمار من

0هي ) pedal point(إذا آانت نقطة القدم 0( , )x yو المعادلة الوسيطية للمنحني الُمعطى ( )

( )

x f t

y g t

=⎧⎪⎨⎪ =⎩

:المعادلة الوسيطية للمنحني القدمي هي 2 2

0 02 2

2 20 0

2 2

( )

( )

P

P

x f fg y g f gxf g

y g gf x f f gyf g

′ ′ ′ ′⎧ + + −=⎪ ′ ′+⎪⎪

⎨⎪ ′ ′ ′ ′+ + −⎪ =

′ ′+⎪⎩

Critical Points

، نحصل على هذه النقاط للمنحني ) minimum( الصغرى و النهاية) maximum(العظمى النهاية نقاط مثل – النقاط الحرجة

.من تساوي اإلشتقاق األول للدالة مع الصفر من ثم حساب جذور المعادلة الحاصلة و البحث في عالئم الجذور

)5: مثال ) 5 3f x x x= − النقاط العظمى و الصغرى آما في الشكل +

. للدالة النهائي ، تعتبر هذه النقطة آذلك نقطة حرجة إذا آان اإلشتقاق األول

f g و ′ t بالنسبة الى g و f إشتقاق ′


Extremum

)global(أو شاملة ) local( هي نقطة تكون لدالة عندها نهاية عظمى أو نهاية صغرى و التي تكون محلية – نهاية قصوى

Saddle Point

ية صغرى في مقطع مستعرض مستٍو نقطة على سطح ، تكون نهاية عظمى في مقطع مستعرض مستٍو ، و نها– نقطة سرجية

.آخر

4معادلة هذا المنحن مثًال 4z x y= −

Convex and Concave

إذا آان اإلشتقاق الثاني لدالة المنحني في هذه النقطة أآبر من ) convex( محدب 0x يعتبر المنحني في النقطة - التحدب و التقعر

)0: أي صفر ال ) 0f x′′ >

: أي إذا آان اإلشتقاق الثاني لدالة المنحني في هذه النقطة أصغر من الصفر ) concave( مقعر 0xيعتبر المنحني في النقطة

0( ) 0f x′′ <

Point of Inflection

و تحسب من تساوي اإلشتقاق تعرف بنقطة إنعطاف فيها تحدب المنحني الى تقعر أو بالعكس النقطة التي يتغير– إنعطافنقطة

)0 :الثاني لدالة المنحني مع الصفر أي ) 0f x′′ =

Tangent line

) معادلة خط المماس على المنحني – خط المماس )y f x= 0 في النقطة 0( , )x y 0: هي 0( )y m x x y= − في هذه +

)0المعادلة )m f x′= ظل الزاوية بين خط المماس على المنحني في هذه النقطة و المحور األفقي ، الزاوية الموجبة جهتها

.خالف عقارب الساعة

Ascending and Descending Function

و إذا آانت ) ascending( إذا آانت قيمة اإلشتقاق األول لدالة أآبر من الصفر الدالة تصاعدية – نازليةالدالة التصاعدية و الت

)أي لكل دالة مثل ) . descending(أصغر من الصفر تنازلية )y f x= في الفاصلة a x b≤ ≤

( ) 0f x′ ية في هذه الفاصلة الدالة تصاعد<

( ) 0f x′ الدالة تنازلية في هذه الفاصلة>


Curve Curvature

.معدل التغير في إنحناء مماس لمنحن بالنسبة الى طول القوس – المنحني) تقّوس(إنحناء

، إنحناء SΔ يساوي N و M و طول القوس بين α هي N و النقطة Mالزاوية بين خطي المماس على المنحني في النقطة

الى تغيرات طول القوس عندما تسعىαالمنحني هو نهاية نسبة تغيرات الزاوية

N نحو M أي :0

limS

Sακ

Δ →

Δ=

Δd و منها

dsακ =

)إذا آانت معادلة المنحني بصيغة )y f x= من هذه الرابطة تقّوس المنحني في آل نقطة يحسب2 3[1 ]

yy

κ′′

=′+

)إذا آانت معادلة المنحني في اإلحداثيات القطبية بصيغة )r f θ= رابطة التقّوس بهذا الشكل 2 2

2 2 3

2[ ]

r r rrr r

θ θθ

θ

κ + −=

+ في هذه

. θ إشتقاق رتبة ثانية بالنسبة الى rθθ و θإشتقاق رتبة أولى بالنسبة الى rθالرابطة

إذا آانت معادلة المنحني وسيطية بصيغة ( )( )

x ty t

⎧⎨⎩

رابطة التقوس هي 2 2 3[ ]

x y y x

x yκ

′ ′′ ′ ′′−=

′ ′+x في هذه الرابطة y و ′ ′

x و tالتفاضل األول بالنسبة الى y و ′′ .t التفاضل الثاني بالنسبة الى ′′

1Rنصف قطر التقوس يساوي κ

=

Bezier Curves

لهذه المنحنيات أهمية بالغة . هذه المنحنيات لتصميم بدنة السيارات Pierre Bezier أستخدم المهندس الفرنسي – منحنيات بيزيير

و في برامج المحاآاة و ) Adobe Illustrator(و أدوب إلستريتور ) Photoshope(في معظم برامج الجرافيك آالفوتوشوب

.آأداة للتحكم في الحرآة ) Animation(الحرآة

، منحني بيزييرالخطي هو خط مستقيم بين 1P و 0Pلنقاط ا: معادلة منحني بيزيير الخطية

: هذه النفطتين و معادلة المنحني

0 1( ) (1 )B t t P tP= − + ، [0,1]t ∈

:معادلة منحني بيزيير التربيعي 2 2

0 1 2( ) (1 ) 2(1 )B t t P t tP t P= − + − + ، [0,1]t ∈

:معادلة منحني بيزيير التكعيبية

[0,1]t ∈ ، 3 2 2 30 1 2 3( ) (1 ) 3(1 ) 3(1 )B t t P t tP t t P t P= − + − + − +


Tractrix المعادلة الوسيطية لمتساوي المماسات نحني طول قطعة المماس بين أي نقطة علىفي هذا الم

في هذا الشكل( و مقارب المنحني Pالمنحني مثل النقطة

بين محورtنفرض الزاوية . aثابت و يساوي ) x محور

x و المتجهة QP→

. معينة الجهة

)للتوضيح إذا آان لدينا منحني مثل )r tمتجهة مثل إسقاط r على محوري اإلحداثي هو :

2 2

( )cos[ ( )] [ ( )]

x tx t y t

α =+

، 2 2

( )sin[ ( )] [ ( )]

y tx t y t

α =+

) عوضًا عن y و xلإلختصار نستعمل )x t و ( )y t

PHQ sinPHQفي المثلث y a tΔ ⇒ =

من هذه الرابطة 2 2

sin ytx y

=+

: و تربيع طرفيها نحصل على

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2

(1 sin )sin sin cotsin

y tx t y t y x x y tt

−+ = ⇒ = ⇒ =

2coscot cos cot sinsin sin

t ax y t x a t t x a x a tt t

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − +

: من تكامل الرابطة األخيرة نحصل على

cos cos ln tansin 2dt tx a t a x a t a c

t= + ⇒ = + +∫

0xلوضعية أو =2

t π=

cos ln tan2tx a t a= +

:ة الوسيطية لمتساوي المماسات هي إذن المعادل

cos ln tan2

sin

tx a t a

y a t

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩


Astroidلمنحني دويري تحتي رباعي القرن المعادلة الوسيطية

(Hypocycloid with four cusps)

34 4a aOO a′ = − =

)ة أربعة أضعاف الدائرة الصغيرة محيط الدائرة الكبير 4 ) ( 3 )2 2π πα θ π θ α θ= − − − ⇒ = − −

O في المثلث NP′Δ مع العلم HH PN′ = sin[ ( 3 )] cos34 2 4a aHH π θ θ′ = − − = −

OOفي المثلث H′ ′Δ 3 cos4aOH θ′ =

O في المثلث NP′Δ cos[ ( 3 )] sin 34 2 4a aO N π θ θ′ = − − =

OOفي المثلث H′ ′Δ 3 sin4aO H θ′ ′ =

33 3cos ( cos3 ) cos (4cos 3cos )4 4 4 4P Pa a a ax OH HH xθ θ θ θ θ′ ′= − = − − ⇒ = + −

33 3sin sin 3 sin (3sin 4sin )4 4 4 4P Pa a a ay O H O N yθ θ θ θ θ′ ′ ′= − = − ⇒ = − −

3

3

cos

sinP

P

x a

y a

θ

θ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة

bعلى محيط دائرة نصف قطرها

aداخل دائرة أخرى نصف قطرها

نبحث حالة من بين عدة حاالت لهذا

المنحني و هي الحالة التي فيها نصف

قطر الدائره الكبيرة أربعة أضعاف

الدائرة الصغيرة أي 4ab =


Epicycloid لمنحني الدحروج الخارجي المعادلة الوسيطية

aaفي نصف القطر ) راديان( طول قوس من محيط الدائرة يساوي الزاوية المقابلة bb

θ α α θ= ⇒ =

)من الشكل يمكن أستنتاج هذه الزاوية و الرابطتها ) ( )2 2

a a bb b

π πφ θ θ φ θ+= − − ⇒ = − −

OOفي المثلث H′Δ ( ) cosOH a b θ= +

OOفي المثلث H′Δ ( )sinO H a b θ′ = +

Oفي المثلث NP′Δ sin[ ( )] cos2

a b a bHH NP b HH bb b

π θ θ+ +′ ′= = − − ⇒ = −

Oفي المثلث NP′Δ cos[ ( )] sin2

a b a bO N b O N bb b

π θ θ+ +′ ′= − − ⇒ =

( ) cos cospa bx OH HH a b b

bθ θ+′= + = + −

( ) sin sinpa by O H O N a b b

bθ θ+′ ′= − = + −

( ) cos cos

( )sin sin

p

p

a bx a b bb

a by a b bb

θ θ

θ θ

+⎧ = + −⎪⎪⎨⎪ +⎪ = + −⎩

المنحني عبارة عن محل

هندسي نقطة على محيط دائرة

تتدحرج من bنصف قطرها

الخارج على دائرة نصف

aقطرها


Cycloid المعادلة الوسيطية لمنحني الدويري

POفي المثلث H′ مع العلم أن PH P H′ ′= sinPO H PH a φ′Δ ⇒ =

PO في المثلث H′ cosPO H OH a φ′ ′Δ ⇒ =

sin ( sin )P P Px OH P H x a a x aφ φ φ φ′ ′ ′= − ⇒ = − ⇒ = −

(1 cos )P P Py O H O H y a acos y aφ φ′ ′ ′= − ⇒ = − ⇒ = −

( sin )

(1 cos )

P

P

x a

y a

φ φ

φ

= −⎧⎪⎨⎪ = −⎩

Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل

تتدحرج aعلى محيط دائرة نصف قطرها

xدون إنزالق على محور


Strophoid ستروفوئيدالقطبية للالمعادلة

OP ألن OPMتساوي الساقين من المثلث الم MP= لذلك 2

MOP PMO π φ∠ = ∠ = ∠MAO و ∠OMAالزوايا −

:تساوي

2OMA π φ∠ = +

22

MAO π φ∠ = −

OM أي ρ و الفاصلة القطبية لها هي M مع العلم المنحني هو مكان هندسي النقطة OMAالمثلث نكتب رابطة الجيب في ρ=

sin( )

2 tansin

a AM aAM

π φφ

φ

+= ⇒ =

sin cos 2 cos 2( ) tansin cossin( 2 )

2

AM a aφ φ φρ φ ρπ ρ φ φφ= ⇒ = ⇒ =

−

cos 2cos

a φρφ

=

بحيث N و Mقاط المنحني عبارة عن محل هندسي الن

PM PN OP= =

OAلهذا المنحني مقارب و a=


Ovals of Cassiniالمعادلة القطبية لبيضويات آاسيني

2

1 2PF PF b× =

1OPF 2رابطة الجيب تمام في المثلث 2 21 2 cos( )PF r a ar π θ= + − −

2OPF 2رابطة الجيب تمام في المثلث 2 22 2 cosPF r a ar θ= + −

2 2 4 2 2 2 2 4

1 2 ( 2 cos )( 2 cos )PF PF b r a ar r a ar bθ θ× = ⇒ + + + − =

4 4 2 2 3 3 3 3 2 2 2 42 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 4 cosr a a r a r ar a r ar a r bθ θ θ θ θ+ + − − + + − =

4 4 2 2 2 42 (1 2cos )r a a r bθ+ + − =

2بما أن 2 2 2 21 2cos (1 cos ) cos sin cos cos 2θ θ θ θ θ θ− = − − = − =

:المعادلة القطبية 4 4 2 2 42 cos 2r a a r bθ+ − =

Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل

بحيث حاصل ضرب فاصلة هذه النقطة من

) aالفاصلة بينهما بؤرتي المنحني(نقطتين ثابتتين

b لحالة 2bمقدار ثابت مثل a>

b a< b أو a> b في حالة a= في حالة


Limacon of Pascal باسكال َصَدفة المعادلة القطبية لمنحني

b في حالة a>

OPMفي المثلث القائم الزاوي

cos cosOQ OQ aa

θ θ= ⇒ =

إذن

cosOP OQ QP b a θ= + = +

:المعادلة القطبيه

cosr b a θ= +

bفي حالة a< أو b a>

b في حالة a=

Q بأي نقطة مثل O يوصل المبدأ OQالخط

المنحني عبارة عن محل . aعلى دائرة قطرها

Q بحيث فاصلتها من Pهندسي نقطة مثل

PQ أي bمقدار ثابت مثل b=


Involute of a circle المنحني المنشأ للدائرة

OM a=

APطول القوس MP aφ= =

: هي OPH من المثلث القائم الزاويه P إحداثيات H في x يقطع المحور Pسم خط عمود من نر

sin sinPy yθ ρ θρ

= ⇒ =

cos cosPx xθ ρ θρ

= ⇒ =

OMPمن المثلث القائم الزاويه

sin( ) sin cos sin cosMP MP aφ θ ρ φ θ ρ θ φ φρ

− = ⇒ − = =

cos( ) cos cos sin sina aφ θ ρ φ θ ρ φ θρ

− = ⇒ + =

:من إختصار هذه الراوبط نحصل على

sin cosP Px y aφ φ φ− =

cos sinP Px y aφ φ+ =

:من هذه المعادلتين نحصل على المعادلة الوسيطية لمنحني منشأ الدائرة

(cos sin )

(sin cos )

P

P

x a

y a

φ φ φ

φ φ φ

= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩

بحيث حبل Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل

يفتح الحبل aك مرن يلف حول دائرة نصف قطرها أو سل

من حول الدائرة في حالة يكون فيها الحبل مسحوب

يساوي المماس على APيستطلب هذا أن يكون القوس

: أي P من النقطة PM الدائرة

P

P

OH xPH y

==


Cissoid المعادلة الوسيطية للمنحني اللبالبي

ORM cosفي المثلث القائم الزاويه 2 cos2

OR OR aa

θ θ= ⇒ =

OSM 2 في المثلث القائم الزاويه 2coscos

a aOSOS

θθ

= ⇒ =

OR RS OS+ = OPمن خصائص هذا المنحني RS= إذن :

2 2 coscos

aRS OP OS OR OP a θθ

= = − ⇒ = −

22 sin

cosaOP θ

θ=

OPH من المثلث القائم الزاويه Pإحداثيات النقطة cosPx OP θ=

sinPy OP θ=

:المعادلة الوسيطية لهذا المنحني هي

2

3

2 sin

2 sincos

P

P

x a

ay

θ

θθ

⎧⎪ =⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩

بحيث فاصلتها من Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة مثل

مع دائرة OPمحل تالقي الخط (R تساوي فاصلة نقطة Oالمبدأ

محل تالقي أمتداد (Sالى النقطة ) O تمر من aنصف قطرها

OP مع المماس على الدائرة من النقطة M ( أي:

OP RS=


Witch of Agnesi معادلة منحني الساحرة أغنيسي

PAM x=

)OAM tanالزاوية في المثلث القائم ) 2 tan( ) 2 cot2 2 2

PP P

x x a x aa

π πθ θ θ− = ⇒ = − ⇒ =

cos( ) 2 sin2 2

2 2cos( )2 sin

OBOBM OB aa

a aOAM OAOA

π θ θ

π θθ

Δ ⇒ − = ⇒ =

Δ ⇒ − = ⇒ =

22 2 cos2 sin

sin sina aAB OA OB AB a AB θθθ θ

= − ⇒ = − ⇒ =

ABP أي θتساوي ∠ABP ، مع العلم إن الزاوية BPAمن المثلث القائم الزاوية θ∠ : خاصية الخطوط الموازية إذن =2

22 cossin sin 2 cossin

AP aAP AP aAB

θθ θ θθ

= ⇒ = × ⇒ =

22 cosAP a θ=

: هي Pاإلحداثيات العمودية للنقطة 2 22 2 2 cos (2 2cos )P P Py a AP y a a y aθ θ= − ⇒ = − ⇒ = −

2نستعين بهذه التحويالت المثلثاتية 2 2 2 22cos cos (1 sin ) 1 (cos sin ) 1 cos 2θ θ θ θ θ θ= + − = + − = +

(1 cos 2 )Py a θ= −

:المعادلة الوسيطية لهذا المنحني هي

2 cot

(1 cos 2 )

P

P

x a

y a

θ

θ

=⎧⎪⎨⎪ = −⎩

خطان مماسان عليها في النقطة aدائرة نصف قطرها

O و M آما في الشكل ، النقطة A على الخط المار

، الخط B الدائرة في النقطة OA يقطع الخط Mمن

يقطع الخط العمود على MA و موازي Bالمار من

MA من A في النقطة P المنحني هو المحل ،

.Pالهندسي للنقطة

هو مقارب MA و موازي Oالخط المار من

.المنحني


Catenary معادلة منحني السلسلة

P 0 1 توازن القوى في النقطة cossin

T Tsg T

θμ θ==

توازن القوى على بعضهما تقسيم رابطتي0

tansgTμ θ=

2مجموع تربيع آل من رابطتي توازن القوى 2 20( ) ( )T sg Tμ+ =

a 0T نفرض هذه النسبة تساوي العدد الثابت agμ=

00

T a a g Tg

μμ

= ⇒ =

2 2 2 2 20( ) ( )T sg T T g a sμ μ+ = ⇒ = +

في مفهوم التفاضل و اإلشتقاق تفاضل دالة في نقطة معينة يساوي ظل زاوية المماس على منحني الدالة في تلك النقطة و المحور

:إذن ) الجهة الموجبه خالف عقارب الساعة(األفقي 2

2

1tan dy dy s d y dsdx dx a dx a dx

θ = ⇒ = ⇒ =

21 في الهندسه التفاضليه طول جزء من المنحني يساوي ( )ds dydx dx

= +

المعادلة التفاضليه من الدرجة الثانية 2

22

1 1 ( )d y dydx a dx

= +

coshة التفاضليه هو شكل منحني السلسلة المعلقة جواب المعادل xy a ca

= +

(0)جواب هذه المعادلة التفاضلية للشرائط الحدية 0y ′ (0) و = 0y = (0) 0y c a= ⇒ = −

0Taة في هذه الرابطة المعادلة النهائية لشكل منحني السلسلgμ

= cosh xy a aa

= −

سلسله أو حبل أو سلك مرن ُمثبت بين نقطتين معادلة

منحني السلسلة المنحدرة نحو األسفل نتيجة وزنها هو

. جواب معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

Tلسحب في النقطة شدة اP

0T شدة السحب األفقي على السلسلة في النقطة P

μالكثافة الطولية للسلسلة

s طول السلسلة و dsطول جزء من السلسلة

gثابت التعجيل لألرض أو ثابت جاذبية األرض

θالزاوية بين شدة السحب و المحور األفقي

0T شدة السحب األفقيه في آل نقطة على السلسلة ثابتة و تساوي -1



Bicorn المنحني الهاللي

Astroid إ ستروئيد / المنحني النجمي\دويري تحتي رباعي القرن

معادلة رسم المنحني

3 32 2 23x y a+ = المعادلة الكارتيزية

3

3

cos ( )

sin ( )

x a t

y a t

=

=

⎧⎪⎨⎪⎩

المعادالت الوسيطية

المساحة23

8

aπ 6a الطول

تتدحرج دون إنزالق نقطة على محيط دائرة عبارة عن محل هندسي المنحني: توضيح بر منها داخل دائرة أخرى أآ

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( 2 )y a x x ay a− = + −

2 2

sin( )

((2 cos( )) cos ( )) /(3 sin ( ))

x a t

y a t t t

=

= + +

⎧⎨⎩

1aإذا آان : المساحة المساحة =1

3(16 3 27)A π= −

0 إذا آان : المساحة :توضيح 1a< الةفي هذه الح >1

34 3 6 3(4 3 7)A aπ= − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

معادلته من الدرجة الرابعة نوع من أنواع القبعاتCocked hatأسم المنحني آذلك


Cartesian Oval وي ديكارتابيض

Cardioid المنحني القلبي

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( )x y ax a x y+ + = + آارتيزية

(1 cos( ))r a θ= − قطبية

(1 cos( )) cos( )(1 cos( ))sin( )

x a t ty a t t= −⎧

⎨ = −⎩

23 المساحة2

A aπ= 8 الطولL a=

المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة على محيط دائرة تتدحرج :توضيح مساوية لها في نصف القطرعلى دائرة أخرى

4a لهذا المنحني في cuspنقطة االقرنة


2 2 2 2 2( ) ( )m x a y n x a y k− + + + + = المعادلة الكارتيزية

المساحة

الطول

بحيث pالمحل الهندسي للنقطة . الضلعين المجاورين للرأس ثابتًامجموع المحل الهندسي لرأس مثلث عندما يضل : توضيح mr أي kمجموع فاصلة هذه النقطة من نقطتين ثابتتين ، ثابتة و تساوي nr k′± =

آذلك نيوتن1637أول من طالع هذا المنحني ديكارت عام 1

m n Ellipsem n Hyperpolam Limacon

= →= − →= →


Catenary منحني السلسلة

Cassinian Ovals بيضويات آاسيني

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 4( ) ( )x a y x a y c⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ المعادلة الكارتيزية

[ ]4 4 2 2 42 1 cos(2 )r a a r cθ+ − + = المعادلة القطبية

المساحة

الطول

بحيث pالمحل الهندسي للنقطة . المحل الهندسي لرأس مثلث عندما يضل جداء الضلعين المجاورين للرأس ثابتًا: توضيح أي2c مقدار ثابت يساوي r 2 و1r من بعضهما a 2ضرب فاصلة هذه النقطة من نقطتين ثابتتين و بفاصلة حاصل

2c = 1r * 2 r أستعمل هذا المنحني في مطالعة حرآة الشمس و األرض


cosh( )xy aa

= المعادلة الكارتيزية

( )

( ) cosh( )

x t tty t aa

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

المساحة

الطول

في المسائل a، الثابت هو المنحني الذي يشكله حبل أو آبل أو سلسلة ثقيلة مرنة معلقة بحرية بين نقطتين ثابتتين : توضيح .الهندسية يرتبط بوزن الكبل أو السلسلة


Circle لدائرةا

Cayley’s sextic ُسداسية آايلي

معادلة رسم المنحني2 2 3 2 2 2 24( ) 27 ( )x y ax a x y+ − = +

34 cos ( )3

r a θ=

3

3

3

3

4 cos ( / ) cos4 cos ( / )sin

x a t ty a t t

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

223.50219A الخارجية : المساحة a= 20.05975299 الداخليةA a=

6Lالطول aπ=

:توضيح

معادلة رسم المنحني2 2 2( ) ( )x x y y R° °− + − =

r R=

cossin

x x R ty y R t

°

°

= +⎧⎨ = +⎩

2A المساحة Rπ=

2L الطول Rπ=

) نصف القطر و R: توضيح , )x y° إحداثيات مرآز الدائرة°


Cochleoid الشكلحلزونيمنحني

Cissoid لمنحني اللبالبيا

معادلة رسم المنحني3

2

2xy

a x=

−

2 tan( )sin( )r a θ θ= 2

3

2 sin(2 sin ) / cos

x a ty a t t

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

3A المساحة aπ=

الطول

a2 و مقارب المنحني تساوي yالفاصلة بين محور: توضيح

معادلة رسم المنحني2 2( ) tan( / )x y Arc y x ay+ =

sinar θθ

=

2

( sin cos ) /( sin ) /

x a t t ty a t t=⎧

⎨=⎩

المساحة

الطول

عبارة عن منحني حلزوني:توضيح أي شكل الحلزونsnail-formيعني أسم المنحني


Conchoid of de Siuze منحني صدفية دي سيوز

Conchoid منحني صدفي

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( ) ( )x a x y b x− + =

secr b a θ= +

المساحة

الطول

طول القطعة الثابتةb الفاصلة بين القطب و المقارب a: توضيح

معادلة رسم المنحني2 2 2( 1)( )x x y ax− + =

sec cosr aθ θ= + (sec cos )cos(sec cos )sin

x t a t ty t a t t= +⎧

⎨ = +⎩

1 المساحة (2 ) 1 (4 ) sec2loopA a a a a Arc a⎡ ⎤= − − − + + −⎣ ⎦

الطول

:توضيح


Devil’s Curve منحني الشيطان

Cycloid دويري

معادلة رسم المنحني2cos(1 ( / ) 2x aArc y a ay y= − − −

( sin )(1 cos )

x a t ty a t= −⎧

⎨ = −⎩


8L الطول a=

المساحة و الطول لدورة واحدة

a نصف قطر الدائرة هو المنحني الذي ترسمه نقطة على محيط دائرة عندما تتدحرج دون أنزالق على خط مستقيم: توضيح

معادلة رسم المنحني4 2 2 4 2 2y a y x b x− = −

2 2 2 2 2 2 2(sin cos ) sin cosr a bθ θ θ θ− = −

2 2 2 2 2 2 cos( sin cos ) /(sin cos )

sinx E t

E a t b t t ty E t=⎧

= − − ⇒ ⎨ =⎩

المساحة

الطول

:توضيح


Durer’s shell curve منحني صدفة دوورير

Double of Folium ج فوليوم مزدومنحني

معادلة رسم المنحني2 2 2 2( ) 4x y axy+ =

24 cos sinr a θ θ=

المساحة

الطول

شكل ورقة الشجرfoliumتعني آلمة : توضيح

رسم المنحنيمعادلة 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )x xy ax b b x x y a+ + − = − − +

المساحة و الطول و مقادير عددية اخرى

:توضيح


Ellipse بيضوي/ إهليليج / قطع ناقص

Eight Curve منحني الثمانية

معادلة رسم المنحني4 2 2 2( )x a x y= −

2 2 4cos 2 secr a θ θ=

sinsin cos

x a ty a t t=⎧

⎨ =⎩

24 المساحة3

A a=

6.09722Lالطول a=

:توضيح

معادلة رسم المنحني2 2

2 2

( ) ( ) 1x x y ya b

° °− −+ =

2 22 2 2 0ax bxy cy dx fy g+ + + + + = cossin

x a ty b t=⎧

⎨ =⎩

A المساحة abπ=

2 الطول 4 61 1 1( )(1 ) &4 64 256

a bL a b h h h ha b

π −= + + + + + ⋅⋅⋅ =

+

) و b و نصف طول المحور األقصر aنصف طول المحور األعظم : توضيح , )x y° إحداثيات مرآز اإلهليلج°


Epitrochoid إبيتروآوئيد

Epicycloid دحروج خارجي


( ) cos cos[( ) / ]( )sin sin[( ) / ]

x R r t r R r r ty R r t r R r r t= + − +⎧

⎨ = + − +⎩

حة المسا

الطول

r على محيط دائرة نصف قطرها Pالمنحني الذي ترسمه نقطة : توضيح Rعندما تتدحرج هذه الدائرة من الخارج حول دائرة أخرى ثابتة نصف قطرها

حنيمعادلة رسم المن

( ) cos cos[( ) / ]( )sin sin[( ) / ]

x R r t d R r r ty R r t d R r r t= + − +⎧

⎨ = + − +⎩

المساحة

الطول

عن مرآز دائرةd بفاصلة Pالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة : توضيح Rتتدحرج خارج دائرة نصف قطرها rنصف قطرها


Fermat’s Spiral فيرماحلزون

Equiangular Spiral حلزون متساوي الزوايا

حنيمعادلة رسم المن

cotar aeθ=

المساحة

الطول

مصطلح آخرمن أجل الحلزون اللوغاريثمي: توضيح 1638أول من أآتشف هذا النوع من الحلزون ديكارت

عند 2

a π عن دائرة المنحني عبارة=

معادلة رسم المنحني2 2r a θ=

المساحة

الطول

1636 ناقش هذا المنحني فيرما عام: توضيح آذلك يعرف هذا المنحني بالحلزون الناقصي و هو أحد أنواع حلزون أرخميدس

yالمنحني متناظر حول الخط x= −


Folium of Descartes منحني ديكارت

Folium منحني ورق الشجر

معادلة رسم المنحني2 2 2 2( )[ ( )] 4x y y x x b axy+ + + =

2cos 4 cos sinr b aθ θ θ= − +

المساحة

الطول

، و فوليوم ثالثي و ) مزدوج(منحنيات و هي عبارة عن فوليوم بسيط ، و فوليوم ثنائي يوجد ثالثة أنواع من هذه ال: توضيح 4bهذا يرجع الى a= 0 وb b و = a=

معادلة رسم المنحني3 3 3x y axy+ =

3(3 sec tan ) /(1 tan )r a θ θ θ= + 3

2 3

(3 ) /(1 )(3 ) /(1 )

x at ty at t

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

232

A a= الناحية المغلقة المساحة

4.91748Lالناحية المغلقة الطول a=

1638 ناقش هذا المنحني ديكارت عامأول من : توضيح 0xمقارب هذا المنحني خط معادلته y a+ + =


Frequency Curve ني الترددمنح

Freeth’s Nephroid فريثمنحني ُآلوي


[1 2sin( / 2)]r a θ= +

2 المساحة (8 3 )A a π= لمساحة الداخلية ا+

21.203405Lالطول a=آل الطول

عل محيط الدائرةP في المرآز و النقطة الثابتة Oقطب لهذا المنحني عبارة عن ستروفوئيد الدائرة مع ا :توضيح

2 تساوي AOP الزاوية A سيقطع النيفروئيد قي النقطة y يوازي المحورPإذا رسمنا خط من 7π يمكن

األستعانة بهذه الزاوية لرسم سباعي أضالع منتظم


22x

y eπ −=

المساحة

الطول

هذا المنحني هو منحني الخطأ الناظمي يستعان بهذا المنحني في األحصاء: توضيح


Hyperbolic Spiral حلزون زائدي أو هذلولي

Hyperbola ُهذلولي/ قطع زائد


2 2 1x ya b

− =

2[ ( 1)] /(1 cos )r a e e θ= − − e ال مرآزية

المساحة

الطول

by معادلة المقارب: توضيح xa

= ±

cosh المعادلة الوسيطية & sinhx a t y b t= sec و آذلك = & tanx a t y b t= =

معادلة رسم المنحنيarθ

=

cos

sin

tx at

ty at

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

المساحة

الطول

1710 ناقش هذا المنحني يوهان برنولي عام :توضيح


Hypotrochoid منحني دحروج / هايبوتروآوئيد

Hypocycloid داخليدحروج


( ) cos cos

( )sin sin

a bx a b bb

a by a b bb

θ θ

θ θ

−⎧ = − −⎪⎪⎨ −⎪ = − +⎪⎩

2 المساحة 2[( 1)( 2) / ]nA n n n aπ= − −

8 ل الطو ( 1) /nL a n n= −

/n a b=

المنحني الذي ترسمه نقطة على محيط دائرة نصف: توضيح عندما تتدحرج هذه الدائرة داخل دائرة أخرى ثابتة b قطرها

a نصف قطرها


( ) cos cos( )

( )sin sin( )

R rx R r t d tr

R ry R r t d tr

−⎧ = − +⎪⎪⎨ −⎪ = − −⎪⎩

المساحة

الطول

r عن مرآز دائرة نصف قطرها d بفاصلة p محل هندسي نقطة :توضيح Rتتدحرج دون أنزالق داخل دائرة نصف قطرها


Kamplyle of Eudoxus منحني أودوآسيوس

Involute of Circle المنحني المنشأ من الدائرة


(cos sin )(sin cos )

x a t t ty a t t t= +⎧

⎨ = −⎩

المساحة

)21الطول )2

L t at=

)المستقيم مماس على الدائرة( هو المنحني الناشئ من موضع نقطة ثابتة على مستقيم عندما يلف حول دائرة :توضيح

معادلة رسم المنحني4 2 2 2( )x a x y= +

2secr a θ= sectan sec

x a ty a t t=⎧

⎨ =⎩

المساحة

الطول

أستعمل هذا المنحني في حل و مطالعة مسئلة تضعيف المكعب: توضيح


Lame Curves منحنيات المه

Kappa Curve منحني آابا

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( )y x y a x+ =

tanr a θ=

cos cotcos

x a t ty a t=⎧

⎨ =⎩

المساحة

الطول

1662أول مطالعه لذها المنحني آانت عام : يح توض آذلك طالع هذا المنحني آل من نيوتن و برنولي

.κ أسم هذا المنحني مشتق من الحرف اليوناني آابا OPفي منحني آابا دائمًا CD=آما في الشكل


( ) ( ) 1n nx ya b

+ =

المساحة

الطول

4nالمنحني المرسوم في الصورة أعاله هو لحالة : توضيح = جميع األعداد و ال تقتصر على األعداد الصحيحة فقط nلرسم المنحني تأخذ

عدد ُمنطق المنحني هو منحني جبري nإذا آانت ر ُمنطق أي أصم فالمنحني هو منحني متسام إذا آانت غي

2/3n = ⇒ astroid 5 / 2n = ⇒ super ellipse 2n = ⇒ ellipse 3n = ⇒ witch of agnesi 4n = ⇒ rectangular ellipse


Limacon of Pascal باسكال منحني َصَدفة

Lemniscate Bernolli منحني برنولي ذو العروتين

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )x y a x y+ = −

2 22 cos 2r a θ= 2

2

( cos ) /(1 sin )( sin cos ) /(1 sin )

x a t ty a t t t

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

2A لمساحةا a=

5.24411L الطول a=

1694برنولي عام طالع هذا المنحني : توضيح 2aتساوي ) 2aثابتتين فاصلتهما (المنحني عبارة عن محل هندسي نقط حاصل ضرب فاصلتها من نقطتين

النقطتين الثابتتين هما بؤرتي المنحني

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2( ) ( )x y ax b x y+ − = +

cosr b a θ= + ( cos ) cos( cos )sin

x b a t ty b a t t= +⎧

⎨ = +⎩

بين الحلقتينالمساحة

2 2 2 2 13 ( 2 )sin ( )bA b a b a ba

−= − + +

أي حلزونsnailليماآون آلمة التينية تعني : توضيح من مرآز دائرة نصفbالمنحني عبارة عن محل هندسي نقطة فاصلتها

.a تتدحرج دون أنزالق حول خارج دائرة أخرى نصف قطرها a قطرها


Lituus منحني بوقي

Lissajous Curve منحني ليساجو


sin( )sin

x a ty b t

ω δ= −⎧⎨ =⎩

المساحة

الطول

المنحني أستعماالت في الفيزياء و الفلكا لهذ: توضيح 1857 طالعه ليسايوس عام

يبين هذا المنحني الحرآة التوافيقية المرآبة


2 arθ

=

المساحة

الطول

محتال أو عصى الراعي أو األنعقاف أي الcrookليتوس آلمة التينية تعني : توضيح ُمقارب المنحني المحور األفقي و المنحني يلتف حول مبدأ اإلحداثي دون أن يصل إليه

في الشكل منحنيين بوقيين على إحداثي واحد


Nephroid لويالمنحني الُك

Neile’s Semi-Cubical Parabola قطع مكافئ شبه تكعيبي/ مكافئ نيل الشبه تكعيبي قطع

معادلة رسم المنحني3 2y ax= ±

2(tan sec ) /r aθ θ= 2

3

x ty at

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

2 الطول 31 8( ) (4 9 )27 27

L t t= + −

للقطع المكافئ) involute(المنحني عبارة عن المنحني المنشأ : توضيح

لمنحنيمعادلة رسم ا2 2 2 3 4 2( 4 ) 108x y a a y+ − =

2 20.5 (5 3cos 2 )r a θ= − (3cos cos3 )(3sin sin 3 )

x a t ty a t t= −⎧

⎨ = −⎩


24L الطول a=

0.5aمحل هندس نقطة على محيط دائرة نصف قطرها : توضيح aتتدحرج دون أنزالق خارج دائرة أخرى نصف قطرها

الشكل الكليوي kidney shaped أي nephroidمعنى آلمة


Parabola لجميالُش/ القطع المكافئ

Newton’s Diverging Parabolas نيوتن المتباينةُشلجميات

معادلة رسم المنحني2 2( 2 )a y x x bx c= − +

المساحة

الطول

)2 ترتبط أنواع هذا المنحني بجذور المعادلة :توضيح 2 ) 0x x bx c− + =

معادلة رسم المنحني2y ax bx c= + +

2 /(1 cos )r a θ= + 2

2x aty at

⎧ =⎨

=⎩

احةالمس

2 الطول 1( ) 1 sinhL t at t t−= + +

: التوضيح


Pear-Shaped Quaric منحني الشكل الكمثري

Pearls of Sluze منحني آللي سلوزا


( )n p my k a x x= −

المساحة

الطول

1657 عام de Sluze أعداد صحيحة ، طالع هذا المنحني p و n و mفي هذه المعادلة : توضيح ,4 الشكل المرسوم لألعداد 2, 3, 4, 2n m p a k= = = = =

نحنيمعادلة رسم الم2 2 3( )b y x a x= − 2 3 (1 )y x x= − آذلك هذه المعادلة الكارتيزية

1 sin(1 sin )cos

x ty t t= +⎧

⎨ = +⎩

المساحة

الطول

1886يرجع تاريخ مطالعة هذا المنحني لعام : توضيح من المنحنيات الدرجة الرابعة


Pursuit Curve منحني المطاردة

Plateau Curves منحنيات بال تيو


( ) [ sin( ) ] /[sin( ) ]( ) [2 sin( )sin( )] /[sin( ) ]

x t a m n t m n ty t a mt nt m n t

= + −⎧⎨ = −⎩

المساحة

الطول

2mفي حالة : توضيح n=المنحني عبارة عن دائرة

معادلة رسم المنحني2 logy cx x= −

المساحة

الطول

1732 ترجع مطالعة هذا المنحني لعام :توضيح على منحني المطاردة P تتحرك على منحني معلوم ، في هذه الحالة النقطة Aإذا آانت النقطة

. يتحرآان بسرعة ثابتة P و Aلوقت ، و في نفس اAإذا آانت دائمًا متجهة نحو


Rhodonea Curve منحني الورود

Quadratrix of Hippias تربيعية هيبياس

معادلة رسم المنحنيcot( / 2 )y x x aπ=

(2 ) /( sin )r aθ π θ= (2 / )(2 / ) cot

x aty at t

ππ

=⎧⎨ =⎩

المساحة

الطول

أستعمل هذا المنحني لحل و مطالعة مسئلة تثليث الزاوية:توضيح

سم المنحنيمعادلة ر

sin( )r a kθ=

عدد زوجkإذا آانت المساحة2

2aA π

عدد فردي k ، إذا آانت =2

4aA π

=

الطول

1723 ترجع مطالعة هذا المنحني لعام :توضيح و إذا آان فردي عدد البتالت k زوجي عدد البتالت يساوي kن ، إذا آاkعدد البتالت في هذا المنحني يرتبط بالمتغير

عدد غير ُمنطق أي أصم عدد البتالت ال نهائي kإذا آان . k 2يساوي 1k 2k المنحني دائرة ، = 5k عدد البتالت أربعة ، = ة عدد البتالت خمس=


Serpentine المنحني األفعواني / منحني الُملتف

Right Strophoid ستروفوئيد

معادلة رسم المنحني2[( ) ] /( )y a x x a x= − +

cos 2 secr a θ θ= 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) /( )( ) /( )

x a t t ay t a t t a

⎧ = − +⎪⎨

= − +⎪⎩

بين المنحني و المقارب تساوي مساحة الناحية المغلقة و آالهما يساويان المساحة20.5 (4 )A a π= −

الطول

بحيث الخط2P و 1Pالستروفوئيد عبارة عن محل هندسي نقطتين مثل : توضيح L يقطع المنحني C في النقطة K فاصلة النقطة الثابتة ، A من Kتساوي فاصلتها

1 أي 2P و 1Pمن 2AK KP KP= إذا آان المنحني. قطب المنحني O النقطة =C عبارة عن خط و OA عمود عليه في هذه الحالة المنحني Right Striphoid

معادلة رسم المنحني2 2 0x y aby a x+ − = 0ab >

المساحة

الطول

. ، شكل المنحني شبيه بالحّية الملتوية 1701ترجع تسمية هذا المنحني لنيوتن عام : توضيح 2 المنحنيات معادلتها يرجع هذا المنحني لمجموعة من 2 3 2x y ey ax bx cx d+ = + + +


Spiral of Archimedes لولب أرخميدس/ حلزون أرخميدس

Sinusoidal Spirals لوالب جيبية


cos( )n nr a nθ=

المساحة

الطول

عدد ُمنطق ، يمكن تشكيل أنواع المعادالت من خالل معادلة هذا المنحنيn: توضيح

1n = 1n المنحني خط ، − 1 المنحني دائرة ، =2

n cardioid ، 1 المنحني آارديوئيد =2

n = المنحني قطع −

2nمكافئ ، = 2n المنحني هذلولي ، − . المنحني ليمنسكات =


r aθ=

المساحة

2 الطول 21( ) [ 1 ln( 1 )]2

L aθ θ θ θ θ= + + + +

الميالد قبل 225 طالع هذا المنحني أرخميدس :توضيح


Straight line الخط المستقيم

Spiric Sections َمقاطع ُمستدقة

ادلة رسم المنحنيمع2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 ( )r a c x y r x c− + + + = +

المساحة

الطول

بحيث هذه الصفحة ) torus( هو المنحني الناتج من تقاطع صفحة مع طارة :توضيح ق م150ترجع مطالعة هذا المنحني الى . موازية مع الخط المار من مرآز الطارة

aنصف قطر مقطع الطارة r حول محور الطارة نصف قطر الدوران c الفاصلة بين الصفحة و مرآز الطارة


y mx b= +

x at by ct d= +⎧

⎨ = +⎩

المساحة

الطول

: توضيح


Tractrix منحني متساوي المماسات

Talbot’s curve منحني تالبوت


2 2 2

2

(1 sin )cos

(1 2 sin )sin

1

x a e t t

a e e t ty

e

⎧ = +⎪

⎡ ⎤− +⎨ ⎣ ⎦=⎪−⎩

، 2

21 bea

= −

المساحة

الطول

1 في هذا المنحني :توضيح 12

e< منحني الدواسه و هو>

لمنحني القطع الناقص ) pedal curve( أو منحني القدمي

ادلة رسم المنحنيمع2 2 2 2( ln[( ) / ] )y a a a x x a x= ± + − − − المعادلة الكارتيزية

1 2 2sec ( / )y a h x a a x−= − − المعادلة الكارتيزية ( ) 1/ cosh( ) tanh

x t ty t t t

=⎧⎨ = −⎩

المعادلة الوسيطية

تحت المنحني تساويالمساحة 2

2aA π

=

1 بين نقطتينالطول 2 1 2( ) ln( / )L x x a x x→ ) أو = ) ln coshL t a t=

1692منحني هويغنس عام أول من طالع هذا ال:توضيح يعرف بالكرة الكاذبة y نصف قطره و الشكل الناتج من دوران هذا المنحني حول محور aهو منشأ لمنحني السلسلة ، تعتبر

pseudo-sphereأو شبه آرة aاوي يس ) yمحور ( طول المماس من نقطة على المنحني الى مقاربه . aهو المنحني الذي طول مماسه ثابت و يساوي من المنحنيات المهمة لبناء هندسة ال إقليدية


Trident of Newton ثالثي الشعبمنحني نيوتن

Tricuspoid منحني ثالثي القرن/ منحني الدالية

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 3( 12 9 ) 4 (2 3 )x y ax a a x a+ + + = +

(2cos cos 2 )(2sin sin 2 )

x a t ty a t t= +⎧

⎨ = −⎩

22 المساحة aπ

16a الطول

1745 أول من ناقش هذا المنحني أويلر عام :توضيخ aف قطرها المنحني عبارة عن محل هندسي نقطة على محيط دائرة نص

3a تتدحرج دون إنزالق داخل دائرة نصف قطرها deltoidاألسم اآلخر لهذا المنحني

معادلة رسم المنحني3 2ax bx cx d xy+ + + =

المساحة

الطول

تعني رمح ثالثي الشعب tridentطالع نيوتن هذا المنحني و هو الذي أنتخب له هذا األسم ، : توضيح


Trisectrix of Maclaurin تثليثية ماآلوران

Trifolium منحني ورقة البرسيم/ منحني الثالث ورقات

معادلة رسم المنحني2 2 2 3 2( ) ( 3 )x y a x xy+ = −

cos3r a θ=

المساحة 2

4aA π

=

6.6824466L الطول a=

: توضيح

معادلة رسم المنحني2 2[ ( 3 )] /( )y x x a a x= + −

(2 sin 3 ) / sin 2r a θ θ= −

2 2

2 2

[( 3) /( 1)][( 3) /( 1)]

x a t ty at t t

⎧ = − +⎪⎨

= − +⎪⎩

23 الناحية المغلقة المساحة 3A a=

8.2446532L الناحية المغلقةالطول a=

، أستعمل هذا المنحني لمطالعة و حل 1742لعام ترجع مطالعة هذا المنحني : توضيح x درجة مع محور 60كل زاوية على هذا المنحني في المبدأ يشالمماس .مسئلة تثليث الزاوية

3a تساوي xالفاصلة من مبدأ اإلحداثي الى النقطة التي على المنحني و تقطع محور قدمي للقطع المكافئهو عبارة عن دواسة أو منحني


Watt’s Curve منحني واط

Tschirnhau’s Cubic مكعب تسشيرن هاوس


( / 3)r a sec θ= ×

2

2

3 ( 3)( 3)

x a ty at t

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

272 الناحية المغلقة المساحة 35

A a=

)2حية المغلفة الناالطول ) (3 )L t at t= +

المنحني دواسه أو منحني قدمي للقطع المكافئ :توضيح


2 2 2 2 2 2[ sin cos ]r b a c aθ θ= − ± −

المساحة

الطول

مخترع ماآنة البخار) 1819 - 1736( ترجع تسمية هذا المنحني لجيمز واط :توضيح ، قضيبان طول آل2a الفاصلة المرآزية بينهما bإطاران نصف قطر آل منهما

p آل منهما مثبت على محيط إطار و قضيب آخر متصل بإنتهائهما ، النقطة 2cمنهما . وسط هذا القضيب األخير المحل الهندسي لمنحني واط


Sine جيب

Witch of Agnesi منحني زوجة الشيطان/ منحني الساحرة أغنيزي

معادلة رسم المنحني2 2 3( 4 ) 8y x a a+ =

2

22 /(1 )

x aty a t=⎧

⎨= +⎩

24A تساويx محور بين المنحني و المساحة aπ=

الطول

Maria Agnesi عثر عليه في آثار 1748 يرجع تاريخ هذا المنحني لعام :توضيح ، أي نقطة M و النقطة المتقاطرة لها O في aخط مماس على دائرة نصف قطرها

في النقطةM يقطع المماس في O على محيط الدائرة الخط المار منها و من Bمثل N العمود على ، N يوازي OM يقطع الخط الموازي مع ، MN من B العمود على N في P المحل الهندسي لنقطة Pنحني الساحرة أغنيزي هو م.


siny x=

المساحة

الطول

:توضيح


Tangent ظل

Cosine جيب التمام

معادلة رسم المنحنيcosy x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحنيtany x=

احةالمس

الطول

:توضيح


Secant قاطع

Cotangent ظل التمام

معادلة رسم المنحنيcoty x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحنيsecy x=

1cos

yx

=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc sine قوس الجيب

Cosecant قاطع التمام

معادلة رسم المنحنيcscy x=

1sin

yx

=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1siny x−=

arcsiny x=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc tangent قوس الظل

Arc cosine قوس جيب التمام

معادلة رسم المنحني1cosy x−=

arccosy x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1tany x−=

arctany x=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc secant قوس القاطع

Arc cotangent قوس ظل التمام

معادلة رسم المنحني1coty x−=

arccoty x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1secy x−=

arcsecy x=

المساحة

الطول

:توضيح


Hyperbolic sine الجيب الزائدي أو الهذلولي

Arc cosecant قوس قاطع التمام

معادلة رسم المنحني1cscy x−=

arccscy x=

المساحة

الطول

:توضيح


sinhy x=

المساحة

الطول

:توضيح


Hyperbolic tangent الظل الزائدي أو الهذلولي

Hyperbolic cosine التمام الزائدي أو الهذلوليجيب


coshy x=

المساحة

الطول

:توضيح


tanhy x=

المساحة

الطول

:توضيح


Hyperbolic secant القاطع الزائدي أو الهذلولي

Hyperbolic cotangent أو الهذلوليظل التمام الزائدي


cothy x=

المساحة

الطول

:توضيح


secy hx=

1cosh

yx

=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc Hyperbolic sine لجيب الزائدي أو الهذلوليقوس ا

Hyperbolic cosecant قاطع التمام الزائدي أو الهذلولي


cscy hx=

1sinh

yx

=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1sinhy x−=

sinhy arc x=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc Hyperbolic tangent قوس الظل الزائدي أو الهذلولي

Arc Hyperbolic cosine قوس جيب التمام الزائدي أو الهذلولي

معادلة رسم المنحني1coshy x−=

coshy arc x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1tanhy x−=

tanhy arc x=

المساحة

الطول

:توضيح


Arc Hyperbolic secant قوس القاطع الزائدي أو الهذلولي

Arc Hyperbolic cotangent ظل التمام الزائدي أو الهذلوليقوس

معادلة رسم المنحني1cothy x−=

tanhy arc x=

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني1sechy x−=

المساحة

الطول

:توضيح


Ellipse إهليلج/ قطع ناقص

Arc Hyperbolic cosecant قوس قاطع التمام الزائدي أو الهذلولي

معادلة رسم المنحني1cschy x−=

المساحة

الطول

:توضيح


2 2

( ) ( ) 1x x y ya b

° °− −+ =

2 22

2 2 2 2sin cosa br

a bθ θ=

+

المساحة

الطول

2A :توضيح A a′ 2B و = B b′ 2F و فاصلة البؤرتين = F c′ = 2PF اإلهليلج على محيطPلكل نقطة مثل PF a′+ =

x y و ° 2 إحداثيات مرآز اإلهليلج و ° 2c a b= e/ و الال مرآزية − c a=


Hyperbola هذلولي/ قطع زائد

Parabola شلجم/ قطع مكافئ

رسم المنحنيمعادلة2 2( ) 4 ( )y y a x x° °− = −

21 cos

arθ

=−

المساحة

الطول

x :توضيح y و ° AFعلى القطع المكافي و A إحداثيات النقطة ° a= Fالبؤرة


2 2

( ) ( ) 1x x y ya b

° °− −− =

2 22

2 2 2 2cos sina br

b aθ θ=

−

المساحة

الطول

2A :توضيح A a′ 2B و = B b′ 2F و = F c′ = 2 2c a b= e/ و الال مرآزية + c a=

2PF على محيط الهذلولي Pلكل نقطة مثل PF a′− = ±


Gamma Function دالة غاما

Beta Function دالة بتا


( )( )( )

xy xx αΓ

=Γ +

يسمى آذلك دالة بتا أويلر أو تكامل أويلر :توضيح 1

1 1

0

( , ) (1 )m nm n x x dxβ − −= −∫

( ) ( )( , )( )m nm nm n

β Γ Γ=Γ +

! و !( 1, 1)( 1)!

m nm nm n

β + + =+ +


1

0

( ) t xx e t dt∞

− −Γ = ∫

المساحة

الطول

) :توضيح 1) ( )n n nΓ + = Γ

( 1) !n nΓ + =


Legendre Function دالة ليجاندر

Bessel Function دالة بسل


2

0

( 1)( ) ( )! ( 1) 2

kn k

nk

xJ xk n k

∞+

=

−=

Γ + +∑

2التفاضليه بسل معادلة دالة بسل عبارة عن جواب :توضيح 2 2( ) 0x y xy x n y′′ ′+ + − = 0المنحنيات في الشكل الى 1 2 3 4 5( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )J x J x J x J x J x J x


22

1( ) ( 1)2 !

nn

n n

dp x xn dx

= −

1)2 دالة ليجاندر هي جواب معادلة ليجاندر التفاضليه :توضيح ) 2 ( 1) 0x y xy n n y′′ ′− − + + = 0المنحنيات في الشكل الى 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( ), ( )p x p x p x p x p x


Julia Set مجموعة جوليا

Mandelbrot Set مجموعة مندلبروت


1n nz z c+ = +

ثابت عدد مرآبc :توضيح ، األشكال الناتجة من مجموعة )comlex plane(مجموعة مندلبروت عبارة عن مجموعة من النقاط في الصفحة المرآبة

)fractal(مندلبروت تعرف بالكسوريات أو المنحني الكسوري

معادلة رسم المنحني2( )cf z z c= +

متغير عدد مرآبc :توضيح حاصل هذه المعادلة أشكال آسورية


Hilbert Curve منحني هيلبرت

Lorenz Attractor جاذب لورينتز


( )

( )

dx y xdtdy x z ydtdz xy ydt

σ

ρ

β

= −

= − −

= −

ثوابت الُبعديةβ و ρ و σفي هذه المعادالت :توضيح


عبارة عن فضاء آسوري مستمر ، يمكن إنشاء منحني هيلبرت ثنائي و ثالثي األبعاد:توضيح


Plane الصفحة

Space Line خط في الفضاءال

معادلة رسم المنحنيx x y y z z

a b c° ° °− − −= =

x x aty y btz z ct

°

°

°

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

2 بين نقطتين الطول 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )L x x y y z z= − + − + −

)في معادلة رسم المنحني إحداثيات نقطة يمر منها الخط :توضيح , , )x y z° ° ° .a و b و c أو مخالفة للصفر ثوابت إحداثيات متجهة موازية مع الخط


0ax by cz d+ + + =

المساحة

الطول

معادلة الصفحة المارة من ثالثة نقاط معينة :توضيح 1 1 1

2 2 2

3 3 3

0x x y y z zx x y y z zx x y y z z

− − −− − − =− − −


Sٍphere آرة

Helix لولب


cossin

x r ty r tz ct

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

المساحة

2الطول 2( )L t r c t= +

ثابتc نصف قطر اللولب و r :توضيح

2تقوس اللولب 2

rr c

κ =+

معادلة رسم المنحني2 2 2 2( ) ( ) ( )x x y y z z R° ° °− + − + − = cos sinsin coscos

x Ry Rz R

θ φθ φφ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

24 السطح مساحة Rπ

34حجم ال3

Rπ

)مرآز الكرة :توضيح , , )x y z° ° نصف قطر الكرةR و °


Ellipsoid ُمجسم إهليلجي

Cylinder أسطوانه

ة رسم المنحنيمعادل

cossin

x ry rz z

θθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

22 السطححةمسا 2rh rπ π+

2rحجم ال hπ

أرتفاغ األسطوانهh نصف قطر القاعدة و r :توضيح

معادلة رسم المنحني2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) 1x x y y z za b c

° ° °− − −+ + =

cos sinsin sincos

x a uy b uz c

νν

ν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

المساحة

4حجم ال3

V abcπ=

c و b و aطول المحاور :توضيح


Hyperbolic Parabolic ُمجسم هذلولي شلجمي/ ُمجسم مكافئ زائدي

Cone مخروط


cossin

x auy auz u

νν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

A الجانبيه المساحة rsπ= 2 في هذه الرابطة 2s r h= +

21حجم ال3

V r hπ=

أرتفاع المخروطh نصف قطر القاعدة و r :توضيح

2 tan( )rarch

ϑ زاوية رأس المخروط=


2 2

z x yc a b= −

المساحة

الطول

saddle الشكل يشبه السرج :توضيح


Hyperbolic Cylinder أسطوانه هذلوليه/ أسطوانه مكافئ زائدي

Elliptic Cylinder نه إهليلجيةأسطوا


2 2 1x ya b

+ =

cossin

x a uy b uz ν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

المساحة

Vحجم ال abhπ=

األرتفاعh نصف طول محاور القاعدة و b و a :توضيح قاعدة األسطوانه إهليلج


2 2 1x ya b

− =

sinhcosh

x a uy b uz ν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

المساحة

الطول

:توضيح


Hyperboloid of one sheet ي بصفحة واحدةُمجسم هذلول

Parabolic Cylinder أسطوانه شلجميه / أسطوانه مكافي ناقصي

معادلة رسم المنحني2 2 0x rz+ =

المساحة

الطول

:توضيح


2 2 2 1x y za a c

− − =

sinh cossinh sincosh

x a uy a uz c u

νν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

المساحة

الطول

:توضيح


Helicoid لولبيُمجسم

Pseudosphere شبه آرة

معادلة رسم المنحني2 1 2 2 2 2 2 2[ sec (( ) / ) ]z a h x y a a x y−= + − − −

cos sinsin sin

cos ln[tan( )]2

x uy u

z

νν

νν

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪⎪ = +⎩

24A السطحمساحة aπ= 32حجم ال3

V aπ=

2 لكرة الكاذبه أو شبه آرة تقوسه يساوي تقوس الكرة لكن سالبيعرف هذا الحجم با :توضيح

1a

−

معادلة رسم المنحنيz cθ= في اإلحداثي األسطواني

tan( )y zx c= اإلحداثيات الكارتيزية

cossin

x uy uz c

νν

ν

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

الوسيطية

المساحة2 2

2 2 2[ ln( )]2

r c rA r c r cc

θ + += + +

:توضيح


Hyperboloid of Two Sheet ُمجسم هذلولي بصفحتين

Mmobius Sstrip شريط موبيوس

معادلة رسم المنحني( , ) [1 ( / 2)cos( / 2)]cos( , ) [1 ( / 2)cos( / 2)]sin( , ) ( / 2)sin( / 2)

x u u uy u u uz u u

ν νν νν ν

= +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩

طح موبيوس ذو وجه واحد أي ليس له داخل و خارج أو فوق و تحتس المساحة

2 للسطح المكعبي المعادلة :توضيح 2 3 2 2 22 2 2 0R y x y y Rxz x z y z yz− + + − − − + = )logفي اإلحداثيات األسطوانيه )sin( / 2) cos( / 2)r zθ θ=


2 2 2 1x y za b c

− − =

2

2

1 cos

1 sin

x a u

y a uz cu

ν

ν

⎧ = +⎪⎪ = +⎨⎪ =⎪⎩

المساحة الطول

:توضيح


Klein Bottle ة آالينقارور

Monkey Saddle سرج القرد

معادلة رسم المنحني2 2( 3 )z x x y= −

3 2

( , )( , )( , ) 3

x u uy uz u u uv

νν ν

ν

⎧ =⎪ =⎨⎪ = −⎩

المساحة

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني[( 2 cos )cos( / 2) sin( / 2)sin cos ]cos

[( 2 cos ) cos( / 2) sin( / 2)sin cos ]sin

( 2 cos )sin( / 2) cos( / 2)sin cos

x u u u

y u u u

z u u

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = − + +⎪⎩

سطح قارورة آلين شبيه سطح موبيوس المساحة

الطول

:توضيح


Torus لطارةا

Whitney Umbrella مظلة ويتني


2

x uy uz

ν

ν

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

2 جزء من السطح المساحة 2 24 (1 )dA u ν ν= + +

الطول

:توضيح

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2( )c x y z a− + + =

( cos ) cos( cos )sin

sin

x c a uy c a uz a

νν

ν

= +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩

2 المساحة ( )( )A R r R rπ= + −

الطول 2

2( )( )4

V R r R rπ= + −

نصف قطر مقطع الطارةr نصف قطر الدوران ، R :توضيح


Cyclide سيكاليد

Planar Enneper بيريمستوي إن


( ) kGauss z z=

المساحة

ول الط

.مثقوبة ، يبين هذا السطح آيفية إنضمام أنواع مختلفة من النهايات ) أو آرتين(عبارة عن آرة :توضيح


rو نصف قطر مثل 0xلنقطة مثل 2

00 0 2

0

( )( , ) x x rI x r xx x−

= +−

المساحة

الطول

عبارة عن إنعكاس هندسي لطارة معيارية)Dupin Cyclide (أحد أنواع السيكاليد :توضيح ائرة حول محور الشكل الهندسي الناتج من دوران د)standard torus(الطارة المعيارية

هو نوع من أنواع التحويالت في الصفحة اإلقليدية ) geometric inversion(نعكاس الهندسي اإل . أو سطح رباعي) quatric surface( عبارة عن سطح من الدرجة الرابعة اليدالسيك


Unduloid آندولئيد

Enneper Surface سطح إنيبير


3 2

2 3

2 2

13

13

x u u u

y u

z u

ν

ν ν ν

ν

⎧ = − +⎪⎪⎪ = − − +⎨⎪⎪ = −⎪⎩

zالمعادلة في هذه u iν= +

)minimal surface( في نظرية السطوح األصغرية Alfred Enneper أول من عرف هذا النوع من السطوح :توضيح أو نظرية الحّد األدنى من السطوح

لة رسم المنحنيمعاد

المساحة

الطول

، سطح دوراني لسلسلة ثابت مخالف للصفر) mean curvature(عبارة عن سطح دوراني تقّوسه الوسطي :توضيح )elliptic catenary(إهليجية


Boy's Surface بويسطح

Snailshell صدفة الحلزون


المساحة

الطول

:توضيح


1 6 3

3 (1 )Im( )2 5 1

z zgz z

−= −

+ − ،

4

2 6 3

3 (1 )Re( )2 5 1

z zgz z

+= −

+ −

6

3 6 3

1 1Im( )25 1

zgz z

+= −

+ − ، 2 2 2

1 2 3g g g g= + +

1

2

3

gxggyg

gzg

⎧=⎪

⎪⎪

=⎨⎪⎪

=⎪⎩

Werner Boyأول من عثر على هذا السطح . حقيقية في فضاء ثالثي األبعاد عبارة عن غمر إسقاط الصفحة ال:توضيح . إلنشاء هذا السطح نبدأ من آرة و نزيل منها قبة آروية . 1901عام

Re الجزء الحقيقي

Imالجزء الخيالي


Trefoil knot رباط ثالثي الوريقات

Breather Surface ح المتنفسسطال


2

2 2 2 2 2

2(1 )cosh sinh[(1 )cosh sin ( 1 )]

a au aux ua a au a a ν

−= − +

− + −

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 [ 1 cos cos( 1 ) sin sin( 1 )]cosh[(1 )cosh sin ( 1 )]

a a a a auya a au a a

ν ν ν νν

− − − − − −=

− + −

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 [ 1 sin cos( 1 ) cos sin( 1 )]cosh[(1 )cosh sin ( 1 )]

a a a a auza a au a a

ν ν ν νν

− − − − + −=

− + −

و هو عبارة عن موجة غير خطية في مجال الطاقة التي ترآز بطريقة ) breather( األسم مستعار من المتنفس :توضيح موضعية و متذبذبه


المساحة

الطول

:توضيح


Elliptic Paraboloid ُمجسم شلجمي إهليلجي

Catenoid سطح السلسلة اإلهليجية


cosh( )cos

cosh( )sin

x a ua

y a ua

z

ν

ν

ν

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎪⎩


2 2

x y za b c

+ =

cos

sin

x a u

y b uz u

ν

ν

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩

المساحة حجم ال

:توضيح

المساحة حجم ال

:توضيح


Pretzel Surface سطح بريتزل

Steiner Roman Surfaces سطوح شتاينر الروماني

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 0x y x z y z axyz+ + − =

21( , ) sin 2 sin

21( , ) sin cos 221( , ) cos sin 22

x u a u

y u a u

z u a u

ν ν

ν ν

ν ν

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

الحجم :ح توضي3

6aV =

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 2 2[(( 1) )(( 1) )]x y c x y c z d− + − + + − + =

المساحة

الطول

نوع من أنواع الكعك المملحpretzel :توضيح


Cube لمكعبا

Euler's polyhedron Formula صيغة أويلر لمتعدد الوجوه

V E F المتعدد السطوح

4 6 4 رباعي الوجوه

6 12 8 مكعب

8 12 6 ثماني السطوح

12 30 20 إثنا عشري السطوح

20 30 12 مجسم عشروني

2Vرؤوس في متعدد سطوح ثالثي الُبعد و ال بين أعداد الوجوه و الحروف العالقة التي تربط :توضيح E F− + = V عدد الرؤوس E عدد الحواف Fعدد الوجوه


26A المساحة a=

3Vحجم ال a=

من األجسام األفالطونية :توضيح


Octahedron ُمجسم ثماني/ ثماني السطوح / ثماني األوجه

Tetrahedron ُمجسم رباعي/ رباعي السطوح / رباعي الوجوه


23 المساحة4

A a=

32حجم ال12

V a=

من األجسام األفالطونية :توضيح األضالعالهرم من األشكال الهندسية الكثيرة السطوح و يمكن أن تكون قاعدة الهرم ثالثي األضالع أو رباعي


22 احةالمس 3A a=

32حجم ال3

V a=



Icosahedron ُمجسم عشروني

Dodecahedron إثنا عشري السطوح


23 المساحة 25 10 5A a= +

31حجم ال (15 7 5)4

V a= +



25 المساحة 3A a=

35لحجم ا (3 5)12

V a= +



Hypersphere فوق آرة

Rhombohedron منشور ُمعيني


المساحة

الطول

متوازية األضالعأو سطوحه جوانبه السطوح منشور سداسي :توضيح


n sphere−

المساحة

الطول

2 هندسيًا تعرف الدائرة :توضيح sphere− 3 و الكرة sphere− 4عن ثالثة أبعاد أي إذا تعدت األبعادn في هذه ≤nالحالة sphere− 2 عبارة عن مجموعة نقاط تصدق عليها الرابطة 2 2 2 2

1 2 3 nx x x x R+ + + ⋅⋅⋅ = Rنصف قطر فوق الكرة


Menger's Sponge إسفنجة مينجر

Hypercube فوق مكعب


المساحة

الطول

تماثل نوني األبعاد للمربع:توضيح يمكن إنشاء هذا الشكل في فضاء ثالثي األبعاد ال


Space filling

منجرإلنشاء أسفنجة: توضيح أبدأ من مكعب-1 )مربعات( أقسام 9ه المكعب الى ووج قسم آل وجه من -2 حذف المكعب في المرآزفي وسط آل وجه و إ إحذف المكعب -3 3 و 2 و 1 آرر المراحل -4


Deco cube ديكو آيوب

Simplex ُمبسط


المساحة

الطول

ألبعاد للمثلثاثل نوني اتمعد ، ُمبسط نوني الُب n-simplex: توضيح

simplex-3 رباعي الوجوه ، simplex-2 المثلث ، simplex-1 الخط ، simplex-0 النقطة simplex-4 هخماسي الوجو

معادلة رسم المنحني2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2((x + y - c ) + (z - 1) ) ((y + z - c ) + (x - 1) ) ((z + x - c ) + (y - 1) ) = d

المساحة

الطول

آامن المساحة :توضيح يمكن إنشائه بواسطة ترتيب ستة دوائر على وجوه المكعب


2 2 3 4x y z z+ = 2 2 2x y z z+ = 4 2 4 2 2 2 6 0x y y x x y z+ − + = 2 2 2 3 0x y z z+ + =

2 21yx =+ 6 6 6x +y +z =1 2 2 2 2 2 3(y +z -1) +(x +y -1) = 0 3 3 3 3 27 5 0y xz y z z z zx + + + + + =

2 2 3 2x y z z+ + = 2 2 2 2( )x y z= + 2 2 23 3 1x y z+ + = 2 3 2 2 2 3( ) ( )x y z y− = −

3 3 3 3 5 0x y xz y z z z+ + + + = 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0x y z x y+ + − + = 4 2 2 33 0x x y z− + + = 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1000( )( )( ) 1x y z x yx z y z+ + + +

+ + =


2 3 2 4 3

410 0x x y y z

z− + + + −

=

3 2 2 0x z y− + + = 2 2 6 4

2 5 3

5 2 5 155 15 5x xz y yz y y+ + + +

= +

2 2 3 2 2 2( ) 4 ( 1)x y x y z+ = +

2 4 2 26 2x x y z− = 3 2 2

2 3

10x z x y x yyz z

+ + +

=

2 2 0x y z+ + = 2 2 2 3 3x yz x z y z y+ = +

3 2 2 2x x z y+ − 2 2 2 0x y z+ − = 2 2 2 0x y z− = 2 3 4 2 2 0y z z x z+ − − =

2 2 2 3 3xyz + xz + 2 yz + 3 y = 0 2 3 3 0x y z− = 2 2 2 2 2 23 3 1x y z x y z+ + + = 0xyz =


3 2 2 2 3( 1) ( 1) 0z x y− + + − = 2 2 4 2x y z z+ + = 3 2 2 2 3( 1) ( 1) 0xy z x y− − + + − = 2 4 3 2 0x y y z+ + =

3 2 3 4 0x y z yz+ + = 2 2 3 0x y z z+ + = 3 2 3 2 2 3( 1) ( 1) ( 1) 0x y z− + − + − = 2 2 3( ) 0x z y+ + =

2 2 2 1x y z+ + = 2 3 5 0x y z+ + = 2 2 3 3 2 2x yz xy y y z x z+ + + = 2 3 2 2 3( ) ( )x y x y z− = +

2 2 2 3( 1)x y z= − 2 2 2 2 2 2

2 2 2 3100( 1) 0x y y z x z

x y z+ + +

+ + − =

2 2 2 3 2 3 2( ) 27y x z x y z− − =

2 2 2 1x y z+ − =


2 3 2 2x z y z+ = 3 2 2 4

2 3 2 4

256 128 16144 4 27 0

z x z x zxy z x y y

− + +

− − =

4 2 2 2 0x x y z− − = 2 2 2 3

2 3 2 3

[ (9 / 4) 1](9 / 80) 0

x y zx z y z

+ + − −

− =

3 2 2 2 3( 2) ( 3) 0z x y− + + − = 2( ) 0yz x y z+ − = 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( )( )

x y z R rR x y

+ + + − =

+ 3 2 3

4 3x z x y zz x y z

+ + +

=

2 2 3 0x y z+ = 2 2 0x y z− = 3 2 2(1 )x y z= − 2 2 2 1z x y− − =

2 2 3(1 ) 0x y z z+ − − = 4 3 2x z yz+ = 2 3 2 4 3 4 0x x y y z z− + + + − = 2 4 4 100x y z xyz− + + − =

2 2 1y z+ = 52 0xyz yz z+ + = 2 2 3 3( 1)x z y y+ = − 52 0xyz yz z+ + =


المصادر

:الكتب

MATHEMATICAL HANDBOOK OF FORMULAS AND TABLES- SCHUM\S OUTLINES

على مصطفى بن األشهر ، أآاديما. ، د) عربي– فرنسي –انكليزي (معجم الرياضيات

:المواقع

Page_ainM/wiki/org.wikipedia.en://http http://mathworld.wolfram.com/ http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html http://www.gap-system.org/~history/Curves/Curves.html http://virtualmathmuseum.org/gallery4.html http://www.2dcurves.com/ http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html


��ل ا��ج ��

www.jalalalhajabed.com

�� :ا�� $� ا#�"! و

[email protected]

[email protected]

Education

أشهر المنحنيات والمجسمات