الرياضيات للصف الثالث متوسط

�

جمهورية العراق وزارة التربية

املديرية العامة للمناهج

للصف الثالث املتوسط

الدكتور طارق شعبان احلديثي محمد عبد الغفور اجلواهري

مــهـــــدي مــــال اهلل مـــكـــي منـــــــــعم حـــسيــــن علوان

الطبعة اخلامسة 1436هـ - 2015م

الرياضيات

املؤلفون

املشرف العلمي على الطبع :

د. طارق شعبان رجب

املشرف الفني على الطبع :

علي غازي جواد

�

املقدمة نظرا للتطور الكبير الحاصل في المواد الدراسية كافة والرياضيات خاصة تعنى وزارة التربية باعادة

النظر في الكتاب المدرسي وتنقيحه او اعادة تأليفه وفق لجان مختصة تؤلف لهذا الغرض وتلقى كتب

الرياضيات نصيبها الوافي من هذه العناية.

وهذا الكتاب الثالث من سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة المتوسطة ، وقد رتبنا هذا الكتاب بعشرة

فصول، يبدأ الفصل االول بموضوع التطبيقات والفصل الثاني االعداد الحقيقية ، اما الفصل الثالث

الحدوديات ويتضمن الفصل الرابع المتباينات يتبعه في الفصل الخامس المثلثات اما موضوع الدائرة

فهو في الفصل السادس وعند الفصل السابع الهندسة االحداثية اما الفصل الثامن هندسة التحويالت

يتضمن الفصل التاسع حساب المثلثات وينتهي الكتاب بالفصل العاشر الذي اختص بدراسة موضوع

االحصاء .

لقد تم وضع هذا الكتاب وفقا للمنهج الدراسي المقرر وحاولنا ان نستخدم الطرق التربوية الحديثة

فقمنا بهذا المجهود واضعين نصب اعيننا توضيح المادة العلمية شرحا بقصد االفهام وتوخينا االكثار

من االمثلة المحلولة والتمارين العملية التي يصادفها الطالب في حياته ومتدرجة من السهل الى الصعب

وال يسعنا اال ان نثمن جهود الخبيرين العلميين الذين ساهما بانجاز هذا الكتاب وهم :

ماجد كامل حسن د. محمد نجم

يوافونا ان المدرسين اخواننا من نرجو و الطلبة ابنائنا لخدمة وفقنا قد نكون ان نرجو وختاما

بمالحظاتهم حول هذا الكتاب لكي نتالفى النقص فيه ، والكمال هلل وحده..

واهلل ولي التوفيق

المؤلفون

Mappings التطبيقات

f:A

B

AB

f

]�-�[ التطبيق .]2-�[ نوع التطبيق .

]�-�[ املخطط البياني للتطبيق . ]4-�[ تركيب التطبيقات .

الفصل االول 1

المصطلح الرمز أو العالقة الرياضية

N األعداد الطبيعية

Z األعداد الصحيحة

Q األعداد النسبية

fog أو gof تركيب التطبيقين f , g

Mappings التطبيقات

مقدمة

A سبق وأن درست موضوع املجموعات والعمليات عليها وتعلمت أيضا العالقة من املجموعة .B الى A رمز للعالقة من r هي مجموعة من األزواج املرتبة. حيث أن B الى املجموعة

A × B مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي r وأن

ودرست أيضا خواص العالقة على املجموعة مثل :

. )Reflexive( اخلاصية األنعكاسية -

. )Symmetric( واخلاصية املتناظرة -

. )Transitive ( واخلاصية املتعدية -

- وكذلك خاصية التكافؤ )Equivalence( اذا حققت اخلواص الثالث السابقة .

)أنعكاسية، متناظرة، متعدية(.

)Mapping( في هذه املرحلة الدراسية، سنتعرف على مفهوم أخر هو التطبيق

الفصل

r A×B

�

⊆

�

لتكن r : A B وتقرأ )

= } a , b , c , d { و A = } � , 2 , � , 4 { ولتكن

r = } ) � , a ( , ) 2 , b ( , ) � , c ( , ) 4 , d ( {

الحظ أن كل عنصر في المجموعة A التي تسمى بالمجال يقترن بعنصر وحيد في المجموعة B التي

. r تسمى بالمجال المقابل كما في الشكل ]�-�[ الذي يمثل المخطط السهمي للعالقة

ومن خالل الشكل هناك سهم واحد فقط ينطلق من كل عنصر في المجموعة A ليرتبط مع عنصر واحد من

المجموعة B . يقال لهذه العالقة تطبيق وأن صور عناصر المجموعة A تحت تأثير )التطبيق ( يسمى

مدى )Range( التطبيق.

� - � )Mapping( التطبيق

B

بصورة عامة ]�-�[

التطبيق r : عالقة من املجموعة A حيث ∅ ≠ A الى املجموعة B حيث∅ ≠ B بحيث أن كل عنصرمن عناصر املجال يقترن أو يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر املجال املقابل

ضمن قاعدة األقتران أي: ) x , y ( ∈ r بحيث y ∈ B يوجد عنصر وحيد x ∈ A لكل

A

abcd

�2�4

B

الشكل ]�-�[

r

) B الى A عالقة من r

�

بالل

عبد اهلل

مثنى

أنكليزي

فرنسي

A

B

a b c d

e f g

B الى A معرفه من r مجموعة لغات. والعالقةB مجموعة طالب . ولتكن A الحظ الشكل :- لتكن

هي عالقة » يدرس «. فاذا كانت:

A = } بالل , عبد اهلل , مثنى {

B = } انكليزية , فرنسية {

وأن r : A B ، هل r تمثل تطبيقا ؟ مع ذكر السبب.

احلل/ r التمثل تطبيقا.

ألن بالل ينتمي الى المجال وقد أرتبط بلغتين في المجال المقابل

r : A B لتكن

A = } a , b , c , d {

B = } e , f , g {

r = } ) a , e ( , ) b , f ( , ) d , g ( {

�( هل r تمثل تطبيقا؟ مع ذكر السبب.

2( مثله بمخطط سهمي.

احلل/ �( التمثل تطبيقا.

B لم يرتبط بأي عنصر في المجال المقابل c ∈ A ألن

)2

مثال ) � (

مثال ) 2 (

A B

�

A = } � , 2 , -� { اذا كانت

B = } 2 , � , - 2 , -4 {

f : A B -:تطبيق معرف كاآلتي f

x x + � حيث

أوال: أكتب التطبيق f على شكل مجموعة من األزواج المرتبة

ثانيا: مثله بمخطط سهمي

f ثالثا: أوجد مدى التطبيق

احلل/

x x + �

� � + � = 2

2 2 + � = �

-� -� + � = -2

∴ f = } ) � , 2 ( , ) 2 , � ( , ) -� , -2 ( {

ثانيا: -المخطط السهمي

ثالثا:- مدى التطبيق =}2-, � , 2 {

A2�

-2-4

�2

-�

B

مثال ) � (

اوال:-

�

في المثال )�( قاعدة األقتران

� + x x يمكن التعبيرعنها

f )x( = x + �

مالحظه )�(

يمكن التعبير عن التطبيق بأحد الحروف.. , r , f, g مالحظه )2( مع ذكر المجال والمجال المقابل وقاعدة األقتران.

مالحظه )�(

المخططات السهميه ممكن أن تكون على الصور التالية:

A B

A

B

مالحظه )4( المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل.

BA

r f

g

�0

اذا كانت g : A Q حيث Q مجموعة االعداد النسبية

A = } -� , � , 2 , -� {

g )x( = x2 - 4

�( أوجد مدى التطبيق

2( أرسم المخطط السهمي للتطبيق

�(أكتب التطبيق بذكر عناصره

احلل /

�( g )x( = x2- 4

g )-�( = )-�(2 - 4 = �- 4 = -�

g )�( = )�(2- 4 =�- 4 = -�

g )2( = )2(2- 4 = 4 - 4 = 0

g )-�(=)-�(2 - 4 = � - 4 = 5

∴ Range = }-�,0,5{ المدى

2(

�( g = })-�,-�(, )�,-�(,)2,0(,)-�,5({

مثال ) 4 (

-�

0

5

-��2

-�

Ag

..

...

..

...

...

..Q

��

اذا كانت A مجموعة األعداد الطبيعية الموجبة األصغر من 5

وكانت f : A Z ، حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة

f )x( = 2x - � جد مدى التطبيق اذا كان

احلل/

f )x( = 2 x - �

f )�( = )2()�( - � = -�

f )2( = )2()2( - � = �

f )�( = )2()�(- � = �

f )4 ( = )2() 4 ( - � = 5

∴ Range = }-� , � , � , 5 { المدى

g : Q Q مع العلم ان g )x( = �0 عندما x فجد قيمة g )x( = 4x - � اذا كان

حيث Q مجموعة االعداد النسبية .

∵ g )x( = 4 x - � /احلل

g )x( = �0

∴�0 = 4x - �

⇒ 4x = �0 + �

⇒ 4x = �� )4( بقسمة طرفي المعادلة على

⇒ x = ∈ Q

مثال ) 5 (

مثال ) � (

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q��4

A = } � , 2 , � , 4 {

�2

� �

، A = } a , b , c { وكانت r : A B س�/ اذا كان

r = } ) a , 4 ( , ) b , � ( , ) c , � ( {

r = } ) a , � ( , ) b , � ( , ) c , � ( {

اوال: هل r تطبيقا ولماذا؟ ثانيا: ارسم المخطط السهمي

A س2/ اذا كانت

B وكانت

f)x( = x + � حيث B الى A عالقة من f

أوال: ارسم المخطط السهمي ثانيا: f يمثل تطبيقا ، لماذا ؟

g : A Z وكان A = } � , 2 , -2 , -� { س�/اذا كانت

. g )x( = 5x - � جد مدى التطبيق اذا كان

س4/ لتكن A مجموعة المناطق االثرية في العراق. حيث }باب عشتار ، الحضر ، الملوية{ = A ولتكن

. B = } كركوك ، الموصل ، البصرة ، ذي قار ، صالح الدين ، بابل ، بغداد {

وان r : A B انسب المناطق االثرية لكل محافظة عراقية بمخطط سهمي تختاره.

B = } � , 4 , 5 , � , �{

مجموعة األعداد الطبيعية الزوجية األصغر من �

مجموعة األعداد الطبيعية الفردية األصغر من �

�(

2(

��

f )x ( = 2 x + � حيث f : N Q س5/ اذا كان

اوال: اكتب مدى التطبيق .

. x فجد قيمة f ) x ( = �� ثانيا: اذا كان

ثالثا: اكتب مجموعة االزواج المرتبة التي تمثل التطبيق.

r = } ) � , a ( , ) 2 , b ( , )� , c( , ) 4 , d ( , ) 5 , a ({ س� /اذا كانت

r : A B حيث

. B , A جد كال من )�

2( أكتب مدى التطبيق.

�( ارسم المخطط السهمي.

f ) x ( = 2x 2 - x + � حيث f : A Q س� / اذا كان

A = } � , -� , 0 { وإن

�( اكتب المدى.

2( اكتب مجموعة األزواج المرتبة التي تمثل التطبيق.

�( ارسم المخطط السهمي.

�4

نوع التطبيق 2 - �

r : A B تكون تطبيقا شامال اذا حقق :

A هو صورة لعنصر واحد أو اكثر من عناصر المجموعة B كل عنصر من عناصر المجموعة

اي ان : المدى = المجال المقابل

الحظ الشكل المجاور .

تطبيق شامل

)Surjective Mapping( اوال:التطبيق الشامل

A••••

••••

B

يكون التطبيق غير شامل اذا وجد عنصر

من عناصر المجال المقابل ليس صورة الي عنصر من

عناصر المجال. كما في الشكل المجاور .

تطبيق غير شامل

Adefg

abc

B

مالحظه

�5

مثال ) � (

حدد ايا من المخططات السهمية االتية تمثل تطبيقا شامال؟

B = } 4 , � , � , �0 { , A = } � , 5 , � , � , �� { حيث f : A B ليكن

وان } ) f = } ) � , 4 ( , ) 5 , � ( , ) � , � ( , ) � , �0 ( , ) �� , 4 ، هل f تطبيقا شامال؟

احلل/ المدى } �0 , � , � , 4{

B بما ان المدى = المجال المقابل

∴ f يمثل تطبيقا شامال .

A B

-�25

-�0�4

) 2(ال يمثل تطبيقا شامال الن 4 ليست

صورة لعنصر في المجال

A

B

� 2 �

2 � 4 )�(

تطبيقا ليس شامال

مثال ) 2 (

Aefgh

abcd

B

)�(تطبيقا شامال

F G

H

��

f : A N حيث} x x2 + � , A = } -� , -2 , � , 2 ، هل f تطبيق شامل؟

احلل/

f)-�( = )-�( 2 + � = 2

f )-2( = )-2( 2 + � = 5

f )�( = )�( 2 + � =2

f)2( = )2(2 + � = 5

Range = } 2 , 5 { المدى

N المدى ≠ المجال المقابل

f تطبيق غير شامل

f : N N , f )x( = �x + 2 بين هل التطبيق f شامل؟

احلل/

f)0( =� )0( + 2 = 2

f )�( = �)�( + 2 = 5

f )2( = �)2( + 2 = �

f)�( = �)�( + 2 = ��

Range = } 2 , 5 , � , �� , ....{ المدى

f ليس شامال

N الن المدى ≠ المجال المقابل

مثال ) 4 (

مثال ) � (

∴

∴

∴

f )x( = �x + 2

��

لتكن A مجموعة الدول العربية المتمثلة بـ } العراق ، سوريا ، مصر ، االردن { ولتكن B مجموعة عواصم

هذه الدول المتمثلة بـ } بغداد ، دمشق ، القاهرة ، عمان { والعالقة مبينة كما في المخطط السهمي :

الحظ ان كل دولة عربية في المجموعة A أرتبطت بمدينة واحدة في المجموعة B والتي تمثل عاصمتها

كما في الشكل اعاله ان مثل هذا التطبيق يسمى تطبيقا متباينا ، اذن يكون التطبيق متباينا اذا تحقق:

أي أن: ألي عنصرين مختلفين في المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل .

أي أن:

Injective Mapping ثانيا : التطبيق المتباين

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2

ff,

يكون التطبيق غير متباين اذا وجد عنصران مختلفان من عناصر المجال

لهما نفس الصورة في المجال المقابل .

مالحظه

العراقسوريامصراالردن

A

بغداددمشقالقاهرةعمان

B

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2

ff, =

��

بين أي التطبيقات االتية متباينة ثم ارسم المخطط السهمي لها .

f : A B واذا كان B = } � , 4 , � , �� { و A= } � , 2 , � , 4 { اذا كانت )�

. f)x( = x2 حيث

احلل/

f)x( = x 2

f )�( = )�( 2 = �

f )2( = )2( 2 = 4

f)�( = )�(2 = �

f)4( = )4(2 = ��

∴ f = } ) � , � ( , ) 2 , 4 ( , ) � , � ( , ) 4 , �� ( {

∴ f متباين النه لكل عنصرين مختلفين من المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل.

2( اذا كانت } A = } � , 2 , � , 4 , 5 وكان g : A A تطبيقا معرفا كاالتي

g = } ) � , 4 ( , ) 2 , 2 ( , ) � , � ( , ) 4 , 2 ( , ) 5 , 4 ( { احلل/

2 بينما g )2( = g )4( = 2 وكذلك ≠ 4 التطبيق غير متباين الن

g )�( = g )5( = 4 5 ≠ � بينما

f)x( = �x حيث ان f : N+ N اذا كان )�

احلل/

مثال ) 5 (

�4�

��

�2�4

A B

�2�45

�2�45

A A

f)x( = �x

f )�( = �

f )2( = �

f)�( = �

� , 2 , � , 4 .....

0 , � , 2 , � , 4 , 5 , � , � , � , � , ....

املجال

املجال املقابل

N+

N

��

مثال ) � (

Bijective Mapping ثالثا : التطبيق تقابل

مثال ) � (

التطبيق متباين الن كل عنصرين مختلفين في المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل.

الحظ ان المجال والمجال المقابل مجموعتان غير منتهيتين .

f : A B وكان B = }2 , 5 , �0 { و A = } -� , 2 , � , � { اذا كانت

� + f)x( = x 2 . هل متباين؟

f )�( = f ) -� ( = 2 احلل / التطبيق غير متباين ألن �- ≠ � بينما

يكون التطبيق تقابال اذا حقق الشرطين اآلتيين :-

�( التطبيق شامال .

2( التطبيق متباينا .

B = } 0 , 2 , � , � { , A = } � , 2 , � { اذا كانت

f جد �( المدى , 2( اذكر نوع التطبيق f )x( = x 2 - � بحيث f : A B

�( ارسم المخطط السهمي للتطبيق

f)x( = x 2 - � )� /احلل

f )�( = )�(2 - � = 0

f )2( = )2(2 - � = �

f)�( = )�(2 - � = �

∴ Range = } 0 , � , � { المدى

2( التطبيق غير شامل الن 2 ليس صورة لعنصر في المجال او المدى ≠ المجال المقابل التطبيق متباينا ، ليس تقابال النه ليس شامال .

f)x(

20

�( المخطط السهمي

اذا كانت f : Z Z ، حيث � - f )x( = 2 x2 بين نوع التطبيق f حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة .

f)x( =2 x 2 -� /احلل

f )-2( = 2 )-2( 2 -� = � - � = 5

f )-�( = 2 )-�( 2 -� = 2 - � = -�

f)0( = 2)0(2 - � = -�

f)�( = 2)�(2 - � = 2 -� = -�

f)2( = 2)2(2 - � = � -� = 5

اوال : التطبيق ليس شامال الن المدى ≠ المجال المقابل

ثانيا : التطبيق ليس متباينا الن �- = )�f )-�( = f ) بينما �≠ �-

ثالثا: التطبيق ليس تقابال.

مثال ) � (

02��

�2�

A B

∴

اليمكن رسم مخطط كامل لهذا التطبيق الن Z مجموعة مالحظةغير منتهية

Z

Z ... , -� , -2 , -� , 0 ,� , 2 , � , 4 , 5 , ....

... , -2 , -� , 0 , � , 2 , .....

2�

املخطط البياني للتطبيق � - �

في االمثلة السابقة مثلنا التطبيقات على شكل مخططات سهمية .

مثال عندما كان r : A B تطبيقا

A = } �, 2 , � , 4 {

B = } 2 , � 4 , 5 {

r = } ) � , 2 ( , ) 2 , � ( , ) � , 4 ( , ) 4 , 5 ( { حيث

فأن المخطط السهمي للعالقة r هو

ويمكن ايضا تمثيل العالقة r من خالل االزواج المرتبة بمخطط بياني كما في الشكل .

2�45

�2�4

A B

y

�

2

�

4

5

� 2 � 4 5 �0x

22

A = } �, 2 , � { اذا كان

B = } � , 5 , 2 {

r : A B

r = } ) � , � ( , ) 2 , 5 ( , ) � , 2 ( { حيث

�( إرسم المخطط السهمي للتطبيق.

2( إرسم المخطط البياني للتطبيق .

�( بين نوع التطبيق .

احلل/ )�( بمخطط سهمي

)2( المخطط البياني

)�( التطبيق )شامل، متباين ، تقابل (

مثال ) � (

2�5

�2�

A B

y

�

2

�

4

5

� 2 � 4 5 �0X

2�

f : A B اذا كان

A = } -� , 2 , -2 {

B = } � , 4 {

f ) x ( = x 2 وكانت

أرسم المخطط البياني للتطبيق وبين نوعه

احلل /

f)x( = x 2

∴ f )-�( = )-�( 2 = �

f )2( = )2( 2 = 4

f)-2( = )-2(2 = 4

f = })-� , �( , ) 2 , 4 ( , ) -2 , 4 ( {

المدى = } 4 , � {

التطبيق شامل الن المدى = المجال المقابل

التطبيق ليس متباينا ألن

2 ≠ -2 ⇒ f)2( = f)-2(

التطبيق ليس تقابال النه ليس متباينا

y

X�

2

�

4

5

� 2 � 4 5 �0-�-2

مثال ) 2 (

24

اذا كان }�� , � , r : A } 2 , 5 ممثلة بالمخطط البياني:

�( r , A 2( المدى �( بين نوع التطبيق .

احلل / )�(

r من المخطط البياني نجد العالقة

)2(

≠ المجال المقابل )�( التطبيق ليس شامال الن المدى

التطبيق متباين

التطبيق ليس تقابال النه ليس شامال

مثال ) � (

y

X

�

2

�

4

5

�

�

�

� 2 � 40

�

�0

��

المدى = } �� , 5 , �{

A = 1,2,3{ }

r = 1,5( ) , 2,8( ) , 3,11( ){ }

جد:

25

تعريف/

تركيب التطبيقات:تعرفنا في هذا الفصل على تعريف التطبيق وانواعه وكيفية إيجاد صور عناصر المجال بتأثير قاعدة

f فأن . x( ) = x2 +1 f:Q حيث → Q اإلقتران، مثال : إذا كانت

واآلن سوف نتعرف على نوع آخر من التطبيقات ناتج من تركيب تطبيقين معلومين، g ، f نوضحه

بالتعريف اآلتي:

g وأن صورة x( ) ليكن كل من g ، f تطبيقا ، x عنصرا في مجال g فأن صورة x بتأثير التطبيق g هي

f يسمى هذا التطبيق الجديد )) تركيب g x( )( ) g بتأثير التطبيق f هي x( ) االعنصر الجديد

االتطبيقين f ، g (( ويوضحه المخطط التالي :

)fog( بالرمز f g x( )( ) سوف نرمز لـ

. g تركيب f هي )fog( وأن قراءة fog( ) x( ) = f g x( )( ) أي أن:

: f تركيب g فأنه يقرأ )gof( عند إيجاد التركيب اآلخر

اي ان :

تركيب التطبيقات 4 - �

Composition of Mappings

fog

x g)x( f)g)x((

f g

gof( ) x( ) = g f x( )( )

f 12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

4 + 1 = 5

4

2�

f g x( )( ) كيف نجد . g x( ) * نجد أوال صورة x في قاعدة إقتران التطبيق g أي

. f g x( )( ) g في قاعدة إقتران التطبيق f أي x( ) * ثم نجد صورة

أمثلة محلولة:

g : N N وان f )x( = 4 x + � حيث f : } � , 2 , � { N ليكن

. gof والمطلوب ايجاد مدى g)x( = x + � حيث

الحظ المخطط :

} � , �2 , �� { = ) gof ( مدى ∴

مثال ) � (

f )�( = 4 )�( + � = �5 x = � g )�5( = �5 + � =�� g)f)�(( = ��

f )2( = 4 )2( + � = �� x = 2 g )��( = �� + � =�2 g)f)2(( = �2

f )�( = 4 )�( + � = � x = � f)�(=� g )�( = � + � = � g)f)�(( = �

f)2(=��

f)�(=�5

2�

f : N N , f )x( = 2x + � اذا كان

g : N N , g )x( = x 2

f)�( , g )�( :جد اوال

ثانيا : )�( )gof()�( , )fog( ماذا تالحظ ؟

احلل/

f )x( = 2 x + � ⇒ f)�( = 2)�( +� : اوال

f)�( = �

g )x( = x 2 ⇒ g)�( = )�(2

g)�( = �

ثانيا : لنجد

A = } � , 2 , � { اذا كانت

f : A A وكان

f = }) � , � ( , ) � , � ( , ) 2 , � ( {

g = } ) � , � ( , ) � , 2 ( , ) 2 , � ( { gof , fog جد

مثال ) � (

مثال ) 2 (

)gof( )�(

)gof( )�( = g ) f )�((

= g )2)�(+�(

= g)� (

=)�(2

= 4�

)fog( )�(

)fog( )�( = f )g )�((

= f )�2(

= f)� (

=2)�( + �

=��

)fog( )�( ≠ )gof( )�( الحظ ان

g : A A

2�

احلل/

fog اوال / نجد

) fog( )�( = f)g)�(( = f )2( = �

) fog( )2( = f)g)2(( = f )�( = �

) fog( )�( = f)g)�(( = f )�( = �

∴ fog = } )� , � ( , ) 2 , � ( , ) � , �({

gof ثانيا / نجد

) gof( )�( = g)f)�(( = g )�( = �

) gof( )2( = g)f)2(( = g )�( = �

) gof( )�( = g)f)�(( = g )�( = �

∴ gof = } ) � , � ( , ) 2 , � ( , ) � , �({

ماذا تالحظ ؟

f : Z Z , x ∈ Z , x �x + �

g :Z Z , x ∈ Z , x 2x + 5

) fog ( )x( = 2� اذا كان x جد قيمة

) fog( )x( = f)g)x(( = f )2x + 5( /احلل

= � ) 2x + 5 ( + �

= �x + �5 + �

= �x + ��

∵ )fog( )x( = 2�

∴ �x + �� = 2�

�x = 2� -��

�x = �2 ⇒ x = 2

مثال ) 4 (

2�

g )x( = x2 + � حيث g : Z N س�/ اذا كان

* اكتب g بذكر عناصرها على شكل ازواج مرتبة .

* اكتب المدى.

* بين نوع التطبيق.

f )x( = 5x + 2 حيث f : N N س2/ اذا كان

g )x( = x + � حيث g : N N

* اكتب fog بذكر االزواج المرتبة .

. fog مدى *

.fog بين نوع التطبيق *

f )x( = �x - � حيث f : Q Q س�/اذا كان

g )x( = x2 + � حيث g : Q Q

. ) fog ( )x( = �� اذا علمت ان x جد قيمة

� 2

�2

�0

f )x( = x � حيث f : Z Z س 4/ اذا كان

g )x( = � حيث g : Z Z

فأن: ∗ )�-()fog( يساوي : � ، �- ، ��4 ، �4-

∗ يساوي : � ، �- ، �- ، �

f )x( = �x + 4 حيث f : Q Q س 5/ اذا كان

g )x( = �-2 x حيث g : Q Q

, )fog( )�( جد ∗

. x اذا كان فجد قيمة ∗

f )x( = 4 x -� حيث f : } � , 2 , � ,.... { Z س �/ اذا كان

�( اكتب مدى التطبيق .

2( بيان التطبيق f بذكر عناصره .

�( نوع التطبيق.

. x جد قيمة f)x( = 5� اذا كان )4

. x جد قيمة)f of( )x( = � اذا كان )5

)gog()x(

)gof()-�(

)gof()x(=-4�

2

��

]� - 2 [ احلاجة الى املزيد من االعداد. ]2 - 2 [ خواص االعداد احلقيقية .

]� - 2 [ اجلذور التربيعية . ]4 - 2 [ اجلذور التكعيبية .

األعداد احلقيقية Real Numbers

3

a.b

3=

a3

.b

3a b

3=

a3

b3

املصطلح الرمز او العالقة الرياضية

R االعداد احلقيقية

Q االعداد النسبية

H االعداد غير النسبية

اجلذر التربيعي

اجلذر التكعيبي

الفصل الثاني2

تعرفنا في مراحل سابقة من دراستنا على مجموعات اساسية هي :

. N = } 0 , � , 2 , � , 4 , ....{ )Natural Numbers ( مجموعة االعداد الطبيعية . �

2. مجموعة االعداد الصحيحة) ( }... , �+ , 2+ , �+ , 0 , �- , 2- , �- , ...{

Q = } ab

: a , b ∈ Z , b ≠ 0 { ) ( مجموعة االعداد النسبية . �

والحظنا ان كل مجموعة منها تحوي المجموعة التي قبلها وقد مكننا ذلك من حل بعض المعادالت

والمسائل فمثال المعادلة ) x + 2 = 0 ( ليست لها حل في )N( الن قيمة )x=-2(حيث

لذلك وسعت )N( لتصبح Z قادرة على حل هذه المعادلة وامثالها النها تحوي اعدادا سالبة .

� هكذا 2

∌ Z ، y = �2

كذلك المعادلة ) 2y - � = 0 ( ليست لها حل في Z الن قيمة

اوجدت المجموعة )Q( لتوفر حال الية معادلة بالصورة ) ax + b = 0 , a ≠ 0 ( حيث مجموعة

.} - ba

الحل}

لكن هناك العديد من المعادالت والمسائل ال تستطيع حلها في Q مثال المعادلة ) � = x 2 ( النه

اليوجد عدد نسبي مربعه )�( . لذلك دعت الحاجة الى مجموعة جديدة من االعداد سميت )مجموعة

االعداد الحقيقية Real Numbers( ويرمز لها )R( لنستطيع من خاللها حل الكثير من المعادالت

والمسائل.

واضح ان :

Ingteres

Rational Numbers

-2 ∉ N

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

N ZQ

R

Z =

احلاجة الى مزيد من االعداد الفصل

2 2 - �

H

33

)H) Irrational Numbers 4. االعداد غير النسبية

من كل ما سبق توضحت الحاجة الى اعداد ليست على الشكل }14 . 4 , 7 , , -{

. ) b ≠ 0 ، اعداد صحيحة a , b اي ال يمكن وضعها بالصورة حيث)

وفي المرحلة السابقة تعرفنا مفصال على اعداد نسبية سميت مربعات كاملة ( اي انها مربعات االعداد

. B ∈ Q حيث ) B 2 ) نسبية( وصورتها

مثال: 22 = 4 , 52 = 25 .

49 .. الخ.64

=78

, 25 = 5, 4 = 2 والجذور التربيعية لهذه االعداد هي اعداد نسبية

اما االعداد النسبية التي ليست مربعات كاملة مثال 2 ، 3 ، 5 تكون جذورها التربيعية اعدادا ليست

...)كذلك االعداد النسبية (المكعبات الكاملة ( كاالعداد 8 ، 27 ، 1000 5, 3, 2 ) نسبية

تكون جذورها التكعيبية اعداد نسبية .

واالعداد االخرى مثال : تكون جذورها التكعيبية ليست نسبية وان اتحاد

. R يمثل مجموعة األعداد الحقيقية ” H واالعداد غير النسبية Q المجموعتين “االعداد النسبية

مستقيم االعداد

اعداد موجبة اعداد سالبة

15

23

ab

R = Q ∪ H

10003 = 10 , 273 = 3 , 83 = 2

53 , 33 , 23

-3 -2 -1 1 2 3

(... 5, 3, 2 )12

-

O

�4

خواص االعداد احلقيقية 2 - 2

اوال

تعتبر هذه الخاصية من الخواص المهمة لمجموعة االعداد الحقيقية وتتضمن ما يلي :

�. اذا كان a ∈ R فان واحدة فقط من الحاالت االتية صائبة :

a > 0 , a = 0 )عدد موجب( يقع على يمين الصفر على خط االعداد

a < 0 )عدد سالب( يقع على يسار الصفر على خط االعداد

2. اذا كان a , b ∈ R فان واحدة فقط من هذه العالقات تتحقق :

a = b , a > b , a 0a<0

Property اخلاصيةAddition اجلمع Multiplication الضربclousre االنغالق a +b ∈ R a . b ∈ R

Commutativity االبدالية a + b = b + a a. b = b . aAssociativity التجميعية) a +b ( + c = a +) b + c() a . b (.c = a . )b . c(

العنصر احملايدIdetity Element

a + 0 = 0 + a = aالعنصر احملايد هو 0

a.� = �.a =aالعنصر احملايد هو �

Inverse النظير اجلمعيالنظيرAdditive Inverse

a + )-a ( = ) -a( +a =0

النظير الضربي Multiplicative

Inverse a النظير الضربي للعدد

, a ≠ 0 حيث

�هو

a�a

a . ) ( = ) (. a = ��a

Order Property 2 - 2[ خاصية الترتيب - �[

]2 - 2 - 2[ خواص بعض العمليات على االعداد الحقيقية

�5

الطرح والقسمة

الطرح: يعرف بالشكل االتي : ) a - b = a + )-b اي طرح b من a يعني . جمع a مع النظير

.b الجمعي للعدد

القسمة: تعرف بالشكل االتي : a ÷ b = a . , b ≠ 0 اي قسمة a على b تعني حاصل ضرب

b ≠ 0 شرط ان b في النظير الضربي للعدد a العدد

توزيع عملية الضرب على الجمع والطرح

a , b , c ∈ R لكل

a . ) b + c ( = ) a . b ( + ) a . c (

a . ) b - c ( = ) a . b ( - ) a . c (

تطبيق قواعد ضرب االشارات نفسها كما درستها سابقا اي:

�( - ) - a ( = a

2( a ) - b ( = - ) ab(

� ( ) -a ( ) -b ( = ab

= , = , a , b , c ∈ R

b ≠ 0 , c ≠ 0

اذا كان:

ثانيا

�b

ثالثا

رابعا

خامسا ab

a . c b . c

ab

a ÷ c b ÷ c

سادسا

Distributive property

Zero Factor Property)خاصية العامل الصفري(a . b = 0 فان a = 0 او b = 0 او كالهما

لكل

��

سبق ان تعلمت بانه اذا كانت )a( عددا حقيقيا ليس سالبا ) a ≥ 0 ( فاي عدد مربعه )a( يسمى جذرا

. a ويرمز له )a( تربيعيا للعدد

، 34

,22 = 4 ) الن 4 = 2)4 مثال /العدد 2 جذرا تربيعيا للعدد

حيث .

تعريف )�-2(

.b2 = a أي ان a عددا حقيقيا ليس سالبا مربعه b حيث a = b فان a ≥ 0 , a ∈ R لتكن

a فان a : كذلك ، a = �2 = � فان a مثال : اذا كانت

ومن خواص الجذور :

b ≥ 0 , a ≥ � - اذا كانت a , b ∈ R فان : ab = a . b والعكس صحيح حيث 0

مثال / كذلك :

≤ b > 0 , a و والعكس صحيح مثال 0 - 2

10 = 10. 10 , 8. 8 = 8 ≤ a والعكس صحيح 0 , a . a = a - �

اجلذور التربيعية � - 2

916

=34

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

916

= 3=34

3 . 5 = 15 21 = 7. 3

=

925

=9

25 =

35

ab

ab

34

جذرا تربيعيا للعدد

=34

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=9

16

وكذلك49

=49

=23

49

=49

=23

=23

��

ضع في ابسط صورة :

a(

b(

c(

d(

e(

f(

)c( مباشرة كما في الفرع )f( ميكن حل

مثال ) � (

3 5 + 2 5 − 6 5 = 5 3+ 2 − 6( ) = 5 −1( ) = − 5

4 3 +1( )+ 3 3 −1( )= 4 3 + 4 + 3 3 − 3 = 7 3 +1

+ ( ), ≥ 0 , ≥ 0a b a b

2 2 + 5( ) − 2 1− 3 2( )= 2. 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 − 2( )+ 5 + 6( ) 2 = 0 +11 2

= 11 2

7 + 2( ) 3+ 7( )= 3 7 + 7. 7 + 6 + 2 7

= 3 7 + 7 + 6 + 2 7

= 3+ 2( ) 7 +13 = 5 7 +13

5 − 2( )2

= 5 − 2( ) 5 − 2( )= 5. 5( ) − 5. 2( ) − 2. 5( )+ 2. 2( )= 5 − 5 × 2 − 2 × 5 + 2

= 5 − 10 − 10 + 2 = 7 − 2 10

2

= ( )2

+ 2 + ( )2 = + 2 +a a b b a ab b.

��

مثال ) 2 (

مثال ) � (

ضع في ابسط صورة كال مماياتي :a( 3 8 + 2 50 − 32

b( 125 − 20 − 4 45 )a(/احلل

)b(/ احلل

− بحيث يكون المقام عددا نسبيا . 45

, 23

, 12

اكتب االعداد

بضرب البسط والمقام في



3 8 + 2 50 − 32

= 3 4 × 2 + 2 25 × 2 − 16 × 2

= 3 4. 2 + 2 25. 2 − 16. 2

= 3× 2 2 + 2 × 5 2 − 4 2

= 6 2 +10 2 − 4 2 = 12 2

125 − 20 − 4 45

= 25( ) 5( ) − 4( ) 5( ) − 4 9( ) 5( )= 25. 5 − 4. 5 − 4 9. 5

= 5 5 − 2 5 −12 5

= −9 5

12

=12

. 22

=2

2

23

=23

. 33

=2 3

3

−45

=−4

5. 5

5=

−4 55

2

3

5

��

مثال ) 5 (

مثال ) 4 (

اختصر في ابسط صورة

:B مثلث قائم الزاوية في A B C :في الشكل المجاور

. AC جد طول BC = cm , AB = cm

وما مساحة المثلث ؟ احلل /

مبرهنة فيثاغورس

AC(2 = ) AB (2 + ) BC( 2( مساحة المثلث

)AC(2

∴)AC(2

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

AC( )2= AB( )2

+ BC( )2

= 3 2( )2

+ 6( )2

= 9 × 2 + 6

AC( )2= 24

∴ AC = 24 = 2 6AC

34

+13

−2512

=34

+13

−2512

=3

2+

13

−5

4( ) 3( )

=3

2+

13

. 13

−5

2 3. 3

3

=3

2+

13

−5 3

6=

3 3 + 2 − 5 36

=2 − 2 3

6

=1− 3

3

3

3 3 − 5 3=

5 3 − 5 36

= 06

= 0

3 ∴المساحة = 2 3

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

)AB()BC(

3 2( ) 6( )

A

B C

3 2cmcm

6 cm

cm

cm

40

2 �

a( :س� / ضع كال مما يأتي في ابسط صورة

b(

س2 /ضع كال مما يأتي في ابسط صورة:

a(

b(

c(

d(

e(

س� / بين صحة او خطأ العبارات االتية:

a(

b(

c(

d(

س4 / جد a2 , حيث , b ≠ 0 في كل مما يأتي بحيث يكون المقام عددا نسبيا :

a( a

b( a

c( a

14

7 - 32

5 + 34 7

2 3 − 5 2 + 3 − 4 2

3 2(4 2 − 3)

(2 3 + 5)(3 3 − 2 5)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2) 1- 2( )3

a2

b

= 2 2 , = 3

= 2 - 2 , = 3

= - 4 3 , = - 2

b

b

b

+

−

3 + 3 = 6

8 + 2 = 3 2

12 = 2 6

2 3 × 3 3 = 6 33 3( )2 3( )

a2b ,

4�

a( -: س5 / اختصر المقادير االتية

b(

c(

d(

س� /a ( جد قيمة المقدار االتي : 4x2 - 2x + 5 اذا كانت قيمة x هي :

�4 cm2 تساوي ABCD في الشكل المجاور اذا كانت مساحة المستطيل x جد قيمة )b

ABC جد مساحة المثلث )c

48 - 3 75 - 2 12

20 - 12 5 - 5 1

5

5 3

10 - 2 5

6 - 15

32

5 , 1 - 2 , 1

2 ( 2 - 3 )

A

D C

B

- 2( )

+ 2( )x

x

+

+

A

5 + 2

5 - 2CB

3

3

x > 2 حيث

2 63 - 7 2

7 - 3 282 1

7 2 63 - 7 2

7 - 3 28

42

. a يسمى جذرا تكعيبيا للعدد )a( فان اي عدد مكعبه العدد a a ∈ R R اذا كان

تعريف )2-2(

a هو العدد الحقيقي الوحيد الذي مكعبه b حيث a = b فان a R اذا كان

b� = a : اي ان

يالحظ ان لكل عدد حقيقي جذر تكعيبي وحيد فمثال :

( 273 = 3) )�( هو الجذر التكعيبي للعدد )�2(اي ان

( −643 = −4) )4-( هو الجذر التكعيبي للعدد )�4-( اي ان

8 اي ان 125

3 =25

, 8125

( هو الجذر التكعيبي للعدد 25

(

اجلذور التكعيبية 4 - 2

a ∈ R

8125

3 =25

, 8125

( )

3�

نستنتج مما سبق انه :

)*( اذا كان a 0 فان b 0 )سالب(

)*( اذا كان a 0 فان b 0)موجب(

b = 0 فان a = 0 اذا كان )*(

a < 0a < 0

a > 0 a > 0

مالحظة

4�

∋a , b a,b فان : R R اذا كان

a . b = a . b

a . a = a� = a

a . a = a2 ≠ a

543 − 3 163 − 4 1283 بسط المقدار التالي :

احلل /

نحلل االعداد 54 ، �� ، ��2 الى عاملين احدهما مكعب كامل على االقل

مثال ) � (

3

3 3

3 =

, b ≠ 0ab

3

3

ab

� � �

��

�

�( والعكس صحيح

2(

�(

والعكس صحيح

والعكس صحيح 3

3 3 � � �2

4( 3 3

3 � � � الحظ ان

من خواص الجذور التكعيبية :

= 33 2 − 3 × 23 2 - 4 × 43 2

3 54 =3 27 . 2 = 3 27 . 3 2 = 33 2

163 = 83 . 23 = 2 23

1283 = 643 . 23 = 4 23

= −19 23

∴ 543 − 3 163 − 4 1283 � �

44

3 -a = 3 a

5 116

3 − 323 − 3 −12

3 بسط المقدار التالي :

احلل /

مالحظة : a a فان : > اذا كانت 0 0

= 5 116

×44

3 − 8 × 43 + 3 12

×44

3

= 5 464

3 − 2 43 + 3 48

3

=5 43

4− 2 43 +

3 43

2

=5 43 − 8 43 + 6 43

4

مكعب طول ضلعه جد حجمه ومساحته اجلانبية.

.A ومساحته الجانبية v احلل / نفرض حجم المكعب

× مساحة وجه واحد حجم املكعب = �)طول الضلع( املساحة اجلانبية للمكعب = 4

مثال ) 2 (

�� −

=34

43

مثال )� (

= 3 43( )2

× 4

= 43 . 43( ) × 4

= 163( ) × 4

= 23 . 83( ) × 4

= 23 × 2 × 4

=8 23 cm2

= 3 43 .3 43( )× 4

= 9 163( )× 4

= 9 23 . 83( )× 4

= 9 23 × 2× 4

= 72 23 cm2

= 3 43( )3

=33. 43 . 43 . 43

=27. 643

= 27( ) . 4( )=108 cm3

حجم املكعب

v

3 43

3 23 cm

Aمربع

ربعم

ربعم

مربع

= 3 43( )3

=33. 43 . 43 . 43

=27. 643

= 27( ) . 4( )=108 cm3

45

س� / اختصر املقادير التالية:

a(

b(

c(

23 +1( ) 43 - 23 +1( ) س2 / جد ناجت

س� / في الشكل املجاور : مكعب طول ضلعه cm جد حجمه ومساحته الكلية .

6 وحدة طول 33

, 543

, 323

س4 / متوازي سطوح مستطيلة ابعاده :

جد حجمه في ابسط صورة.

2 2

7 543 − −163 + 4 −1283

2 33

2 33

813 − −243 − 3 =−19

3813 − −243 − 3 =−19

3

323 + 2 12

3 − (-2)23

احلدودياتPolynomials

]�-�[ مراجعة]2-�[ حتليل الفرق بني مكعبني

]�-�[ حتليل مجموع مكعبني]4-�[ حتليل احلدوديات الثالثية

]5-�[ حتليل املربع الكامل]�-�[ العامل املشترك األكبر واملضاعف املشترك األصغر

]�-�[ إستخدام التحليل في تبسيط املقادير اجلبرية


العامل املشترك األكبر

املضاعف املشترك األصغر

a+

b(

)2=

a2+2a

b+

b2−

−

LCM

GCF

الفصل الثالث3

اوال

من المفيد مراجعة ما درست سابقا في موضوع الحدوديات. وقبل ذلك سوف نوضح الفرق بين:

. ) x2(� , 4x , x4

x4 = x . x . x. x في نفسه 4 مرات x أي ضرب

4x = x + x + x +x اربعة مرات x أي جمع

)x2(� = )x2( )x2( )x2(

∴ )x2(� = )x( )x( )x( )x( )x( )x( = x� = x)2()�(

ضرب حدانية في حدانية أخرى:

) 2x - �( ) x + �( نحاول ان نتذكر كيفية إيجاد ناتج

) 2x - � ( ) x + � ( = 2x )x(+ 2x )�( - � )x( - � )�(

= 2x2 + �x - x - �

= 2x2 + 5x - �

2x2 + 5x-� 2 ( هوx - � ( ) x + �( أي أن ناتج حاصل ضرب

مربع حدانية

) x + 5(2 تأمل خطوات إيجاد ناتج

) هندسيا ( ) جبريا (

x + 5

)x + 5 (2 = ) x + 5 ( ) x + 5(

= x)x( + x )5( + 5 )x( + 5 ) 5(

= x2 + �0x + 25

ثانيا

x

+

5

x2 5x

5x 25

الفصل مراجعة � - �

�

4�

حتليل حدودية بإيجاد العامل املشترك األكبر

)G.C.F( لنحاول ان نحلل الحدودية اآلتية بإستخراج العامل المشترك اآلكبر

�x� y2 + �2 x y�

�x� y2 = )2( )�( )x( )x( )x( )y( ) y(

�2x y� = )2( )2( )�( )x( )y( )y( )y(

)2( )�( )x( )y( )y(

اذا العامل المشترك األكبر هو: x y2 � لذا سيكون التحليل

�x�y2 + �2x y� = ) �x y2 ( ] x2 + 2y[

تحليل الفرق بين مربعين

�x2 - �� = )�x( 2 - )4(2 � x 2 - �� فمثال: حلل

= ) �x - 4 ( ) �x +4(

بعد هذه المراجعة المختصرة سنتطرق في البنود الالحقة ألكمال طرق التحليل األخرى.

وبصورة عامة

) a + b ( 2 = a 2 + 2ab + b2--

ثالثا

رابعا

∗ ∗∗

∗ ∗∗ ∗


a2 - b2 = )a - b()a + b(

4�

تعلمت سابقا كيفية فك األقواس بطريقة التوزيع.

فمثال لو ضربنا )a -b( في ) a2 + ab + b2 ( ماذا ينتج؟

) a - b ( )a 2 + ab + b2(

= a ) a2 ( + a)ab( + a)b2 ( - b)a2( - b)ab( - b)b2 (

= a � + a2 b + ab2 - b a2 - ab2 - b�

= a � - b�

ان الصورة: �a�-b تسمى الفرق بني مكعبني

حتليل الفرق بني مكعبني 2 - �

) �a تقرأ a تكعيب(


) a� - b� ( = ) a - b ()a2 +ab +b2 (

ويالحظ /a� هو اجلذر التكعيبي لـ a

b� هواجلذر التكعيبي لـ b

العامل )a2+ab+b2( ال يتحلل في R .مالحظة /

50

م

حلل كال مما يأتي:

�( x�-2� 2( �x�-�25y� �( -

4( a�-b�

احلل/

�( x� - 2�= )x-�()x2+�x+�(

)x(� )�(�

2( �x� - �25y� = )2x-5y())2x(2+)2x()5y(+)5y(2(

)2x(� )5y(�

�(

4( a� - b� = )a2-b2())a2(2+)a2()b2(+)b2(2(

)a2(� )b2(� = )a2-b2()a4+a2b2+b4(

مثال

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q�a�

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q�4b�

1a3 - 64

b3 = 1a

- 4b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ 1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ 4

b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 64b3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

a- 4

b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1a2 + 4

ab+16

b2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

)a-b()a+b( هو فرق بين مربعين وتحليله هو a2 - b2 وكما تالحظ ومما تعلمته سابقا بأن

في هذه الحالة سيكون التحليل بالشكل اآلتي:

a�-b�=)a-b()a+b()a4+a2b2+b4(

أو بالطريقة اآلتية : a� - b� = ) a�(2 - ) b�(2 ونكمل التحليل

= 2x-5y( ) 4x2 +10xy+25y2( )= )2x-5y(( )

4 b

�

5�

a�+b� بنفس السياق واالسلوب المتبع في تحليل فرق بين مكعبين يمكن وضع الصورة العامة لتحليل

حيث:

حلل كال مما يأتي:

�( �4x�+� 2( 27a3 +8b3 �( 0.�25x�+y�

4( x2y5+y2x5 5( 12

h3 +4

احلل/ �( �4x� + � = )4x + �())4x(2 - 4x)�( + )�(2(

)4x(� )�(� = )4x+�()��x2-4x+�(

2( 27a3 +8b3 = 3

a+2b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 2b( )+(2b)2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

2b( )3 = 3a

+2b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

9a2 - 6b

a+4b2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

حتليل مجموع مكعبني � - �

a�+b�=)a+b()a2-ab+b2(

مثال

52

�( 0.�25x� + y� = )0.5x+y2())0.5x(2-)0.5x()y2(+)y2(2(

)0.5x(� )y2(� = )0.5x+y2()0.25x2 - 0.5xy2+y4(

4( x2y5+y2x5 x2y2)y�+x�(

= x2y2)y+x()y2-xy+x2(

5( 12

h3 +4= 12

h3 +8( )

نستخرج عامل مشترك

= 12

h+2( ) h2 -2h+4( )

12

h3+4= h3+82

= 12

(h3+8)�

��

= 12

h+2( ) h2 -2h+4( )

x2y2

بإستخراج العامل املشترك

أو بتوحيد املقامات

5�

س�/ حلل كال مما يأتي في ابسط صورة :

�( x� - �25 2( � + 2�y� �( a� - �4b�

4( �x� + ��y� 5( 2xy4 + ��x4y �(

�( �( �000a� -b� �( x� + y�

�0( ��( x� + x� �2(

��( x4 - x �4( 0.0�4 x� - 0.02�y�

س2/ لكل سؤال مما يأتي أربع إجابات واحدة فقط صحيحة:

احد عوامل المقدار � + �x هو: )�

a( x - 2 b( x2 - 4 x + 4 c( x2 - 2x + 4 d( x2 + 2x + 4

2( ) x - y ( ) x2 + xy + y 2 ( - ) x + y ( ) x2 - xy + y2 ( =

a( -2y� b( 2y� c( -2x� d( 2x�

�(

a( �2 b( -2 c( �5 d( 2

4( � - x� =

a( ) � - x () � + x + x2 ( b( ) � - x ( ) � - x - x 2 ( c( ) � + x ( )� - x + x2 ( d( ) x + � ( ) � + x + x2 (

� �

827

a3 - 115

+ 25z3

32 - 12

a3 3x3 + 19

y3

x� +y� = فأن x2 - xy + y2 = � وان ) x + y ( = 5 اذا كان

54

لنحاول تحليل الحدوديات اآلتية:

a( x2 + �x + �2

في التحليل بالتجربة :-

الحظ اننا اوجدناحاصل ضرب الطرفين والوسطين

وقمنا بايجاد المجموع الجبري لهما والذي يمثل الحد

االوسط في الحدودية الثالثية .

�x+ حاصل ضرب الطرفين .

2x+ حاصل ضرب الوسطين .

�x+ الحد االوسط .

x2+ �x + �2 = ) x + 2 ( ) x + � (

b( x2 - �x + ��

�x- حاصل ضرب الوسطين .

�x- حاصل ضرب الطرفين.

�x- الحد االوسط .

x2 - �x +�� = ) x - � ( ) x - � (

حتليل احلدوديات الثالثية 4 - �

من نوع x2 + bx + c اوال

مثال ) � (

جمع العواملعوامل العدد �2

)�( )�2(�+�2 = ��

)2()�(2+�=�

)�()4(�+4=�

✓

جمع العوامل من عوامل العدد ��

�+ �� = �� )�( )��(

2 + � = �� )2()�(

� + � = � )�()�(

-� + - � = - � )-�()-�( ✓

55

c( x2 + �x - 2�

جمع العوامل عوامل العدد �2-

�-2�=-2� )�()-2�(

2�-�=2� )2�()-�(

�-�=-� )�()-�(

�-�=� )�()-�(

x2 + �x -2� = ) x + � ( ) x - � (

d( x2 - �x -�� جمع العوامل عوامل العدد ��-

�-��=-�� )�()-��(

��-�=�� )��()-�(

2-�=-� )2()-�(

�-2=� )�()-2(

�-�=-� )�()-�(

�-�=� )-�()�(

x2 - �x -�� = ) x -� ( ) x + � (

✓

✓

5�

e( x2- 4xy - ��y2

جمع العوامل عوامل العدد ��-

�-��=-�� )�()-��(

��-�=�� )-�()��(

��-�=4 )-�()��(

�-��=-4 )�()-��(

x2- 4xy - ��y2 = ) x - ��y ( ) x + �y (

لنحاول تحليل الحدودية

a( �x2 + ��x + � )�()�( = � )�()�( العدد � = )2( )�(

)�()�( )�()�( ⇒ )�()�( + )�()�( = 4�

)�()�( + )�()�( = ��

)2( )�( )�()�( )2()�( + )�()�( = 2�

)2()�( + )�()�( = ��

∴ 6x2 + 17x + 7 = ( 2x + 1) ( 3x + 7 )

من نوع ، ax2 + bx + cثانيا

مثال ) 2 (

⎤⎦

�

�4

العدد

✓

✓

a ≠ 0

5�

b( �x2 - 2�x - � )�()�( = � )�()�( = � )2( )4(

)�()�( - )�()�( = -55

)�()�( - )�()�( = -�

)2()�( - )4()�( = -2�

)2()�( - )4()�( = �0

∴ 7x2 - 26x - 8 = ( 7x + 2) ( x- 4 )

c( �x2 - ��x + �0 )�()�0( = �0 )�()�( = � )2( )5(

)�()�( + )�0()�( = ��

)�()�( + )�0()�( = ��

)2()�( + )5()�( = ��

)2()�( + )5()�( = ��

∴ 3x2 - 17x + 10 = ( 3x - 2) ( x- 5)

⎤⎦

2

-2�

-2

-�5 وبصورة عامة ax2 + bx + c

) + ( ) + (

. = a . = c . + . = b

⎤⎦

العدد العدد

العدد العدد

✓

✓

5�

نحاول ان نحلل:

a( x2 - �x + �� )x(2 )4( 2

اي مربع كامل

∴ x2 - �x + �� = )x - 4(2

b( �x2 + �2x + 4 )�x(2 )2( 2

اي مربع كامل

∴ �x2 + �2x + 4 = )�x + 2(2

c( 25 - 25x + 4x2 )5(2 )2x( 2

ليس مربعا كامال

5 - � حتليل املربع الكامل

مثال ) � (

-2 (x) (4) = -8x

2 (3x) (2) = 12x

-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x

5�

وبصورة عامة تكون الحدودية ax2 + bx + c مربعا كامال

+ كان _

2 (ax2 ) (c) = bx

+ 2 (ax2 ) (c) = +2 (x2 )(25) = 10x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (9x2 )(4) = -12x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (16x2 )(1) = -8x = bx

اذا

≠

اي الحدوديات تمثل مربعا كامال ؟

a( x2 + �0x + 25

b( �x2 - ��x + 4

c( ��x2 - �x + �

d( �x2 - 20x - �

e( 25x2 + ��x + �

احلل /

a( مربعا كامال

b( ليس مربعا كامال

c( مربعا كامال

d( �x2 - 20x - � ليس مربعا كامال ألن الحد االخير سالبا

e( 25x2 + ��x + � ليس مربعا كامال ألن � ليست مربعا كامال

مثال ) 2 (

+_

2 (ax2 ) (c) = bx+_

2 (ax2 ) (c) = bx

�0

الحدودية الثالثية بشكل عام هي بصورة ax2 + bx + c ويمكن ايجاد الحد المفقود باستخدام

القانون االتي :

25x2 - ...... + 4� جد الحد المفقود في الحدودية

لتصبح مربعا كامال

احلل/

x2 + ...... + �00y2 جد الحد المفقود في الحدودية


احلل/

جد الحد المفقود في الحدودية ��+ �x +.... لتصبح مربعا كامال

احلل/

]� - 5 - �[ ايجاد الحد المفقود في الحدودية الثالثية لتصبح مربعا كامال : -

bx = _

+ 2 (ax2 )(c)

مثال ) � (

bx = 2 (ax2 )(c) = 2 (ax2 )(100y2 ) = 2x(10y) = 20xy ∴ x2 +20xy +100y2 = (x +10y)2

مثال ) 4 (

bx = 2 (ax2 )(c)

bx = 2 (25x2 )(49) = 2(5x)(7) = 70x25x2 - 70x + 49 = (5x -7 )2

مثال ) 5 (

∓

(

bx = 2 (ax2 ) (c)

8x = 2 (ax2 ) (16)64x2 = 4 × 16 × ax2

64x2

64 = ax2 ⇒ ax2 = x2

∴ x2 + 8x + 16 = ( x + 4 )2

��

جدالحد المفقود في الحدودية 20x + 25- .... لتصبح مربعا كامال

احلل/

جدالحد المفقود في الحدودية .... + x2 + �4x لتصبح مربعا كامال

احلل/

�x2 - �0x + .... جد الحد المفقود في الحدودية


احلل/

مثال ) � (

مثال ) � (

مثال ) �(

bx = 2 (ax2 ) (c)

14x = 2 (x2 ) (c)196x2 = 4 × x2 × c

196x2

4x2 = c ⇒ c = 49

∴ x2 + 14x + 49 = ( x + 7 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2

∴ 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2

∴ 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2

∴ 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2

∴ 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2

∴ 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

60x = 2 (9x2 ) (c)3600x2 = 4 × 9x2 × c3600x2 = 36 x2 × c

c = 3600x2

36x2 ⇒ c = 100

∴ 9x2 - 60x + 100 = ( 3x - 10 )2

�2

)LCM( والمضاعف المشترك االصغر ) GCF( سبق وان تعلمت طريقة ايجاد العامل المشترك االكبر

لعددين او اكثر وكذلك تعرفت في البنود السابقة وفي الصف الثاني المتوسط على طرق تحليل الحدوديات

في هذا البند سنتعرف على طريقة ايجاد كل من )LCM(،)GCF ( للحدوديات :

x� - xy2 , 4x2 - 4xy , �x2y - �xy2 للحدوديات االتية ) LCM(،)GCF( جد

احلل/

نحلل كل حدودية على حدة وحسب طرق التحليل السابقة

جد )LCM(،)GCF ( للحدوديات :

a2 - � , a2 - �a +� , a2 - �a + �5

احلل /

نحلل الحدوديات

العامل املشترك االكبر � - � واملضاعف املشترك االصغر

)LCM( والمضاعف المشترك االصغر ) GCF( أيجاد العامل المشترك االكبر *

مثال ) �(

x3 - xy2 = x ( x2 -y2 ) = x(x -y)(x + y) ....* GCF = x( x - y ) 4x2 - 4xy = (2)(2)x(x - y)....* 6x2y - 6xy2 = (2)(2)x(x - y)....* LCM = 12xy( x - y )( x + y )

مثال ) 2(

a2 - 9 = ( a - 3 ) ( a + 3 ) ....* GCF =( a -3 ) a2 - 6a + 9 = ( a - 3 )2 ....* a2 - 8a + 15 = ( a - 3 )( a - 5 ) ....* LCM = ( a - 3 )2 (a + 3)( a + 5)( a - 5 )

� y x-y( ) .. *

a-5( )2

��

جد )LCM(،)GCF ( للحدوديات االتية :

2 a�b - 2ab� , a4 - 2a�b +b2a2 , �a4b - �ab4 الحل /

) LCM(،)GCF( الخالصة اليجاد* نحلل الحدوديات.

* GCF : يمثل حاصل ضرب العوامل المشتركة فقط وباصغر أس .* LCM : يمثل حاصل ضرب العوامل المشتركة باكبر أس وغير المشتركة .

مثال ) �(

2a2b - 2ab3 = 2ab ( a2 - b2 ) = 2ab ( a - b )( a + b ) ....* a4 - 2a3b + b2a2 = a2 ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 ( a - b )2 ....* a2 + ab + b2a2 = ( a - b )( a + 2b ) ....* 3a4b - 3ab4 = 3ab ( a3 - b3 ) = 3ab ( a - b )( a2 + 2ab + b2 ) ....*∴ GCF = ( a - b )LCM = 6a2b(a - b)2 (a + b)(a2 + ab + b2 )

ab

� 2a2b - 2ab3 = 2ab ( a2 - b2 ) = 2ab ( a - b )( a + b ) ....* a4 - 2a3b + b2a2 = a2 ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 ( a - b )2 ....* a2 + ab + b2a2 = ( a - b )( a + 2b ) ....* 3a4b - 3ab4 = 3ab ( a3 - b3 ) = 3ab ( a - b )( a2 + 2ab + b2 ) ....*∴ GCF = ( a - b )LCM = 6a2b(a - b)2 (a + b)(a2 + ab + b2 )




�4

� 2

س �/ حلل كل مما ياتي:

س 2/ بين اي الحدوديات االتية تمثل مربعا كامال .

س�/ اكمل الحدوديات االتية لتصبح مربعا كامال :

1) x2 + 6x + 82) x2 - 2x - 153) x2 + 3x + 2 4) 4x2 + 21x + 27 5) x2 + 11x - 806) 4x2 - 4x - 157) 6x2 - 7x - 208) x2 + 20x + 1009) 16x2 + 8x + 110) 4x2 - 12x + 9

1) x2 - 18x + 812) x2 - 7xy + 49y2

3) 4x2 + 25 - 12x 4) 4x2 + 25 - 20x5) 8x2 - 40x + 506) -x2 - 2xy - y2

1) ...... - 32x + 642) x2 - 12x + .....3) 25x2 - ....... + 9y2 4) ...... + 24ab + 36b2

10) 4x2 - 12xy + 9y2

-

�5

س4/ حدد االجابة الصحيحة لكل مما يأتي :

�( قيمة m التي تجعل الحدودية 25x2 - mx + 4 مربعا كامال تساوي

a( �0 b( 20 c( �0 d( -�0

2( ان قيمة n التي تجعل الحدودية y2 + �2y - n مربعا كامال هي :

a( �� b( -�� c( �44 غير ذلك

س5 / جد )GCF( , )LCM( للحدوديات األتية:

�(

2(

�(

4(

5(

�(

d(

5x2 -3x( )3 , 5x2 +7x-6 , 10x2 -6x

x3 +y3 , x2 +4xy , x3-xy2

x4 -16 , x4 +8x2 +16 , x6 +64

3x2 -3x2y2 , 5x+5xy , x-xy-2xy2

12

x2 -2 , 2x2 -16 , 3x2 -x-10

x2 -y2 , x3-y3 , x-y( )4 7x-7y

xy, x3-xy2

�

,

��

ان مجموعة االعداد النسبية Q تكتب بشكل:

كما تعلم ان :

باألمثلة:

استخدام التحليل في � - � تبسيط املقادير اجلبرية

اختصار احلدوديات النسبية اوال

Q = ab

, a, b ∈ R,b ≠ 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

35

=2( ) 3( )2( ) 5( )

= 610

, 35

=5( ) 3( )5( ) 5( )

= 1525

وبصورة عامة اذا ضرب كل من البسط والمقام في عدد حقيقي اليساوي صفرا فان

قيمة الكسر التتغير

ab

= acbc

c ≠ 0

3040

=

202402

= 1520

3040

=

30104010

= 34

3040

=

30a

40a

, a≠0

وبصورة عامة اذا قسم كل من البسط والمقام على عدد حقيقي اليساوي صفرا فان قيمة

الكسر التتغير .

35

=a( ) 3( )a( ) 5( )

=3a5a , a≠0

�0

ab

= a÷cb÷c

,b,c ≠ 0

Z

��

بسط كال مما ياتي :

�( 6x+12x2 -4

2( x3-27x3 +3x2 + 9x

�( 2x2 -4x+2x2 -7x + 6

4( 2x2 - 23 - 3x3

احلل/ �(

2(

�(

4(

االمثلة األتية توضح تبسيط الحدوديات النسبية :

مثال ) �(

6x+12x2 -4

=6 x+2( )

x+2( ) x-2( )

= 6x-2( )

x3-27x3 +3x2 + 9x

=x-3( ) x2 +3x+9( )x x2 +3x+9( )

=x-3( )x

2x2 -4x+2x2 -7x + 6

=2 x2 -2x+1( )

x-6( ) x-1( )

=2 x-1( ) 2

x-6( ) x-1( )=

2 x-1( )x-6( )

=2 x2 -1( )3 1-x3( )

=2 x-1( ) x+1( )

-3 x3-1( )=

2 x-1( ) x+1( )-3 x-1( ) x2 +x+1( )

=2 x+1( )

-3 x2 +x+1( )

2x2 - 2 3 + 3x3-

��

ضرب الحدوديات النسبية .

تعلم ان :

اي ان :


احلل /


احلل /

مثال ) 2(

ضرب وقسمة احلدوديات النسبية .ثانيا

ab

. cd

=a( ) c( )b( ) d( )

= acbd

, b,d≠0

ab

÷ cd

=

abcd

= , b,c,d≠0

3x+22x+4

. x2 +5x+69x2 -4

3x+2( )2 x+2( )

.x+3( ) x+2( )3x+2( ) 3x-2( )

=x+3( )

2 3x-2( )

3x+22x+4

. x2 +5x+69x2 -4

مثال ) �(

x2 +3x+2x2 +4x+4

÷ 5x2 +5xx2 -4

x2 +3x+2x2 +4x+4

÷ 5x2 +5xx2 -4

x+2( ) x+1( )x+2( )2 ÷

5x x+1( )x-2( ) x+2( )

ab

÷ cd

= ab

. dc

=

=

��


احلل /


احلل /

مثال ) 4 (

x2 -25x3-125

÷ x2 +10x+25x2 +x-20

مثال ) 5 (

x2 +2x+1( ) ÷x+1( )3

x3 +1

x2 -25x3-125

÷ x2 +10x+25x2 +x-20

x+5( ) x-5( )x-5( ) x2 +5x+25( )

÷x+5( )2

x+5( ) x-4( )

x+5( ) x-5( )x-5( ) x2 +5x+25( )

.x+5( ) x-4( )

x+5( )2=

x-4( )x2 +5x+25( )

x+2( ) x+1( )

x+2( )2.

x-2( ) x+2( )5x x+1( )

=x-2( )5x

=

=

=

x2 +2x+1( ) ÷x+1( )3

x3 +1

x+1( )2

1÷

x+1( )3

x+1( ) x2 -x+1( )

x+1( )2

1.

x+1( ) x2 -x+1( )x+1( )3

= x2 -x+1( )

=

=

�0

) LCM( اليجاد ناتج جمع او طرح الحدوديات النسبية ، يجب ان نجد المضاعف المشترك االصغر

لمقامات الحدوديات وذلك بالتحليل وحسب الطرائق السابقة واالمثلة اآلتية توضح ذلك


احلل/


احلل/

جمع وطرح احلدوديات النسبية .ثالثا

مثال ) � ( 2

x2 -9+ 3

x2 -4x+3

2x2 -9

+ 3x2 -4x+3

2x-3( ) x+3( )

+ 3x-1( ) x-3( )

, LCM= x-3( ) x+3( ) x-1( )

2 x-1( )x-3( ) x+3( ) x-1( )

+3 x+3( )

x-3( ) x+3( ) x-1( )2x-2+3x+9

x-3( ) x+3( ) x-1( )5x+7

x-3( ) x+3( ) x-1( ) مثال ) � (

2 x3-64( )x x2 +4x+16( )

- x-1x

2 x-4( ) x2 +4x+16( )x x2 +4x+16( )

-x-1( )x

2 x-4( )x

-x-1( )x

⇒2 x-4( ) - x-1( )

x2x-8-x+1

x⇒

x-7x

⇒

2x3-128x3 +4x2 +16x

- x-1x

2x3-128x3 +4x2 +16x

- x-1x

=

=

=

��

� �

س�/ بسط كال مما ياتي :

�( 2( x2 -y2

x2 -xy-2y2

�( 4(

س2/ جد ناجت كل مما ياتي في ابسط صورة :

�( 2(

�( 4(

5( �(

�( �(

�( �0(

x3 +8x3-2x2 +4x

12-4xx2 -2x-3

x 2x-1( ) -1x x-1( )

x2 +7x-8x-1

. x2 -4x2 +6x-16

x2 +9x+20x2 +5x-24

÷ x2 +15x+56x2 +x-12

x2 +x+1x4 -x

- x+3x2 +2x-3

x2 +4x-21x2 +14x+49

÷ x-72x2 -98

x2 -2xy+y2

x-y. x+y

x-y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟÷ x2 -y2

x2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x2 -xy-2y2( ) ÷ x2 -y2

x2 -2xy+y2 . x3-8y3( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3x-1

+ 2x+1

+ 4x2 +2x-3

x-3x-1

+ 5x-15x-3( )2 - 3x+1

x2 -4x+3

x3 +27x+3

÷ x3-3x2 +9xx2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟÷x 4x2 -1

4x2 -4x+1+1

��

املتباينات Inequalities

]�-4[ اجلمل الرياضية]2-4[ املتباينة اخلطية

]�-4[ املعادلة من الدرجة األولى مبتغيرين]4-4[ حل معادلتني من الدرجة األولى مبتغيرين آنيا

]5-4[ املعادلة من الدرجة الثانية مبتغير واحد ]�-4[ املعادالت الكسرية

gx()

>a

b≤

fx() ≤

a

fx() <

d

المصطلح الرمز او العالقة الرياضية

متباينة

متباينة مزدوجة

T صائبة

F خاطئة

a,b ∈ R a < b ،

d < f x( ) < c

الفصل الرابع4

المقدمة

إن دراسة الجمل الرياضية يتطلب معرفة في موضوع المنطق الرياضي والذي هو بالحقيقة منطق لغوي

لعلوم الرياضيات، لو أمعنا النظر في الجمل اآلتية:

. 5= 25 )1( بغداد عاصمة العراق )2( 4 > 3 )3( 1- أكبر عدد صحيح سالب )4(

نالحظ أن كال منها جملة خبرية لها معنى محدد وهو أن كال منها إما صائبة أو خاطئة فقط، وال يمكن أن

تقبل الصواب والخطأ معا كما في ) 2x-1 = 0 ( فهي صائبة لمجموعة قيم وخاطئة لقيم أخرى

إعتمادا على مجموعة التعويض كما تعلمنا في موضوع المعادالت .

العبارة هي جملة خبرية ذات معنى محدد إما صائبة أو خاطئة وال يمكن أن تكون صائبة وخاطئة في آن واحد.

نفي العبارات: في اللغة نستخدم أداة النفي » ليس « مثال العبارة

5 < 4 يكون نفيها 5 ليس أكبر من 4 أو بالرموز 5 < 4 فاذا

)P هو نفي P ، وإذا كانت P صائبة ) كانت P عبارة فأن

فأن نفيها خاطئة والعكس صحيح كما في الجدول .∼

أمثلة P∼ P

(1)

(2)

(3)

(4)

2 عددا ليس أوليا2 عددا أولي

-3 ∈ N-3 ∉ N

5 ∉ Q5 ∈ Q12>

14

12>

14

الفصل

4 الجمل الرياضية 1 - 4

Statement العبارة

P P

F T

T F

F T

F T

∼

P PT F F T

∼

تعريف ]4-1[ :

12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

أدوات الربط والعبارات المركبة

سوف نتطرق في هذه المرحلة ألداتي الربط : ) أو “ ∨ ( ، ) و “ ∧ (

2 عدد غير نسبي أو 9 عدد غير أولي. 1

و المربع مستطيل.

180o 2 مجموع زوايا المثلث

27 = −3( )3 3 قطرا المعين متناصفان و

الحظ أننا أستخدمنا األداة أو واألداة و للحصول على جملة جديدة تسمى جملة مركبة.

*تكون الجملة المركبة الناتجة من ربط جملتين باألداة أو خاطئة فقط عندما تكون كلتا العبارتين خاطئة.

* تكون الجملة المركبة الناتجة من ربط جملتين باألداة و صائبة فقط عندما تكون كلتا العبارتين صائبة،

كما في الجداول اآلتية:

P1 ∨ P2P2P1P1 ∧ P2P2P1

TTTTTT

TFTFFT

TTFFTF

FFFFFF

ففي المثال: 1 عبارة صائبة .

2 عبارة صائبة .

3 عبارة خاطئة .

““

أمثلة

المتباينة: جملة خبرية تتكون من وضع أحد رموز التباين بين تعبيرين جبريين.

تعريف ]4-2[ :

T T = TT T = TT F = F∧∧

∨

75

املعنى الرمز

< أكبر من

> أصغر من

أصغر أو يساوي ≤

≤ أكبر أو يساوي

≠ ال يساوي

فمثال:

2x - 1 < 5 , x + 3 ≤ 2 , 2 ≤ 3x - 4 < 5 , x2 - x > 0

. 5x2 - 3x +1 ≤ 6 , 15 < 8 , 3 ≠ 5

وستقتصر دراستنا في هذه المرحلةعلى المتباينة من الدرجة األولى في متغير واحد. وكما درسنا في فصل

. a - b > 0 على مستقيم األعداد أي أنه b يقع يمين a فأن ) a > b( األعداد الحقيقية أن

فمثال

)1( األعداد يسار العدد )3( )عدا 3 نفسه( تمثل على مستقيم األعداد بشكل:

وتكتب )x < 3 ( وتقرأ x أصغر من 3 .

)2( األعداد يمين العدد )1( عدا العدد 1 نفسه تمثل على مستقيم األعداد بشكل:

وتكتب )x > 1 ( وتقرأ x أكبر من 1 .

)3( األعداد يمين العدد )3-( ومن ضمنها )3-( تمثل على مستقيم األعداد بشكل:

وتكتب )x ≥ -3 ( وتقرأ x أكبر من أو تساوي 3- .

)4( األعداد على يسار )2( ومن ضمنها )2( تمثل بشكل:

وتكتب )x ≤ 2 ( وتقرأ x أصغر من أو يساوي 2 .

3

1

-3

2

76

املتباينة اخلطية )من الدرجة األولى(

ذات املتغير الواحد

4 - 2

ax + b < 0

a , b , c ∈ R

a+c < b+c

هي عالقة تأخذ أحد األشكال اآلتية:

. a ≠ 0 حيث ، ax + b > 0 ، ax + b ≤ 0 أو ax + b ≥ 0

بعض المتباينات )مثال 3 < 7 أو 4 ≠ 2( هي جمل رياضية صائبة كذلك ) 4 < 3- و 5 > 16(

خاطئة ، لكن المتباينات األولى قد تكون صائبة لقيم المتغير فيها ضمن مجموعة تعويض معلومة .

مثال لو أخذنا المتباينة: 2x + 3 ≤ 8 وكانت مجموعة التعويض هي} I = { 0 , 1 , 2 , 3 لذا فأن مجموعة

الحل } s = { 0 , 1 , 2 اي قيم x التي تجعل العبارة صائبة .

x ∈ I 2x + 3 ≤8 املتباينة قيمة الصواب

0 0 + 3 ≤ 8 T

1 )2( )1( + 3 ≤ 8 T

2 )2()2( + 3 ≤ 8 T

3 )2()3( + 3 ≤ 8 F

إذا كانت فأن :

)1( اذا كانت b < c و a 2 + 3

أي أن عند إضافة اعداد متساوية الى طرفي المتباينة فأن الترتيب ال يتغير .

]1 - 2 - 4[ مجموعة حل المتباينة

]2 - 2 - 4[ خواص المتباينات

��

2 -� < 4 - �

42

< 62

ab

< bcc

ac

< bc

>8-2

< 10-2

>

)�( اذا كانت a < b فأن : a - c )�-()�(

اي � > �-

)5( اذا كانت c , a b c

اذا كان c = -2 , -2 < 5 فأن:

)-2( )-2( > )-2( )5(

اي �0- < 4

عند ضرب طرفي متباينة بعدد سالب فأن المتباينة صائبة بعكس الترتيب.

)�( اذا كانت c ، a c = 2 ، 4 فأن اي � > 2

عند قسمة طرفي متباينة على عدد موجب فأنها صائبة بنفس الترتيب

)�( اذا كانت c ، a (.

78

4x - 5 < 3 ( x - 2 ) - 1 حل المتباينة اآلتية ومثل مجموعة الحل على مستقيم األعداد

الحل/

4x - 5 < 3 ( x - 2 ) - 1 المتباينة

4x - 5 < 3 x - 7 توزيع

4x - 5 -3x < 3 x - 7 - 3x اضافة للطرفين

x - 5 < - 7

x - 5 + 5 < - 7 + 5 اضافة (5) للطرفين

∴ x < -2

{x : x < -2 } = مجموعة الحل ∴

-4(x - 2) > 5 - 5 ( x - 1 ) حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد

الحل/

-4(x - 2) > 5 - 5 ( x - 1 ) المتباينة

-4x + 8 > 5 - 5 x + 5 ازالة االقواس

-4x + 8 > 10 - 5 x

-4x + 5x + 8 > 10 - 5 x + 5x اضافة للطرفين

مجموعة حل المتباينة : f(x) < m حيث m ∈ R ، حدودية في x هي مجموعة قيم

المتغير x التي تجعل المتباينة صائبة .

f (x)

مثال ( 1 )

-2-3-4-5 -1 0 1

مثال ( 2 )

تعريف ]4-3[ :

(-3x)

(5x)

79

x + 8 > 10

x + 8 -8 > 10 - 8 اضافة)8-( للطرفين

∴ x > 2

{x : x > 2 } = مجموعة الحل ∴

حل المتباينة ومثل على مستقيم االعداد

الحل/

المتباينة

))الحظ تغير اتجاه المتباينة (( بضرب طرفي المتباينة في 5-

اضافة )5x( للطرفين .

باضافة )3-( للطرفين

بالقسمة على 3

مجموعة الحل

2 3 4 5-1 0 1

مثال ) 3 ( -2x + 3

-5 ≤ x +1

-5 -2x + 3-5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≥ -5(x + 1 )

-2x + 3 ≥ -5x -5 3x + 3 - 3 ≥ -5 -3 3x ≥ -8 3x3

≥ -83

∴ x ≥ -83

∴ s = x : x ≥ -2 23

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

-2x + 3-5

≤ x +1

-2-3 2 3-1 0 1

-2 23

≥-5x-5-5 -2x + 3

-5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≥ -5(x + 1 )

-2x + 3 ≥ -5x -5 3x + 3 - 3 ≥ -5 -3 3x ≥ -8 3x3

≥ -83

∴ x ≥ -83

∴ s = x : x ≥ -2 23

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−2x + 3+ 5x ≥ −5x − 5 + 5x

80

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد

الحل/

المتباينة

بضرب طرفي المتباينة في 4

تبسيط الطرفين

باضافة )y-( للطرفين

. } y : y < -7 { = مجموعة الحل ∴

حل المتباينة ) u ≠ -7- ( ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد

-u ≠ -7 الحل/ المتباينة

نضرب الطرفين في )1-( ..... ويمكن القسمة على )1-(

تبسيط الطرفين R-}7{ = } u : u ≠ 7 { = مجموعة الحل ∴

مثال ) 4 (

y - 3 4

- > y2

y - 3

4 - 1 > y

2

4 y - 3 4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ - 4 (1) > 4 y

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y - 3 - 4 > 2y y - 7 > 2y y - 7 - y > 2y - y - 7 > y y > -7

-2-3-4-5 -1 0-6-7-8-9

مثال ) 5 (

)-1()-u( ≠ )-1()-7( u ≠ 7

-1

>

-2-3 4 5-1 0 6 7 8 91 2 3

81

. x حدودية في f(x) c , d ∈ R حيث d < f (x) <c : االن نحاول حل متباينة من نوع

((Double Inequalities)) ويسمى هذا النوع متباينة مزدوجةوهي عبارة عن متباينتين : f (x) > d , f(x) < c مربوطتين باداة الربط ((و)) .

.S1 هي المجموعة f (x) <c لتكن مجموعة حل االولى *

. S2 هي مجموعة الحل f(x) >d لتكن مجموعة حل الثانية *

S = S1 ∩S2 : حيث S فأن مجموعة حل المتباينة االصلية : هي

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد

احلل / المتباينة االولى المتباينة الثانية

4 x + 2 > - 3 4 x + 2 ≤ 10

4 x + 2 - 2 > -3 -2 4 x + 2 - 2 ≤ 10 -2

4 x > - 5 4 x ≤ 8

S = S1 ∩S2

S1S2

مثال ( 6 ) -3 < 4x + 2 ≤ 10

10-1-2 2 3-3 4

−54

باضافة (2-) باضافة (2-)

تبسيط تبسيط

⇒4x4

> -54

4x4

> -54

4x4

> -54

x> -54

x> -54

x> -54

⇒4x4≤ 8

44x4≤ 8

44x4≤ 8

4x≤2x≤2x≤24 بالقسمة على 4بالقسمة على

s2 = x : x > -5

4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ ∴ s1 = x: x ≤ 2{ }

s = x : -5

4 < x ≤ 2⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

∴

s = s1 I s2 = x: x ≤ 2{ } I x : x > -5

4 ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

∴

82

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد . احلل/

يمكن حل المتباينة دون الحاجة الى التجزئة كما في المثال السابق:

المتباينة االصلية

باضافة )1-( الى طرفي المتباينة

تبسيط

بالقسمة على )2-( مع مراعاة تغير الترتيب

يفضل في كتابة مجموعة حلول المتباينة المزدوجة ان يكون العدد االصغر الى اليسار ليكون ذلك

متناسقا مع خاصية الترتيب على مستقيم االعداد اي ان :

ما هي االعداد الصحيحة التي اذا اضيفت الى ثالثة امثالها )5( فان الناتج يقع بين 17 ، 35 احلل /

y = نفرض احد االعداد الصحيحة اذا تصبح المسألة بالصورة الجبرية

باضافة)5-(

بالقسمة على )3(مع المحافظة على ترتيب التباين

∴ االعداد الصحيحة التي تحقق المسألة هي 9 , 8 , 7 , 6 , 5

مثال ) 7 (

مثال ) 8 (

3<1-2y≤10

3<1-2y≤10

3-1<1-2y-1≤10-1

2<-2y≤9

2-2

> -2y-2

≥ 9-2

-1>y≥ -92

s = y : −92

≤ y < −1⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

17 < 3y+5 < 3517 - 5 < 3y+5 - 5 < 35 - 512 < 3y < 30123<

3y3<

303

4 < y <10

تدريب حل مثال )6( بنفس هذه الطريقة .

-2-3-4-5 -1 0

-92

83

س1/ أبحث في صحة كل من العبارات اآلتية :

)2− و 7 عدد أولي. )3= −8 )1

)3− يقع على يمين 2- على خط األعداد. ) 15 أو = 5. 3 )2

و كل مستطيل مربع.

60o 3( قياس كل زاوية في المثلث المتساوي األضالع

. 6 = 2 + 3 4( الصفر عدد غير نسبي أو

. 66= 6 643− و = −4 )5

س2/ حل كال من المتباينات االتية ومثل مجموعة الحل على مستقيم االعداد . )1) 2x+3≤9 )2) 5-2y>4 )3) 3Z+5>17 )4) 9≤5-3t

)5) 3k+52

>4 )6) 2p-5-3

≤2 )7) 2 2p-1( ) ≤6- p+8( )

)8) 13

t+ 712

> 12

t+ 34

)9) -10≤2b-3≤9 )10) -4< 3m+22

<5

)11) -13

y≠ 12

)12) 2 p-1( ) -3>2p+3 )13)

س3 / a( اذا كانت درجة زيد في امتحان الرياضيات في الشهر االول (66( وكان يريد الحصول على معدل

في الرياضيات يتراوح بين 70 ، 80 درجة فكم تتراوح الدرجة التي يجب ان يحصل عليها في االمتحان الثاني؟

b( جد مجموعة االعداد الصحيحة التي اذا اضيفت اليها 6 كان الناتج بين 3- ، 7 .

س4 / استبدل عالمة االستفهام فيما يلي باحد الرمزين < او > .

.a ? b فان a - b = -2 اذا كانت . a ? b فان a - b = 1 اذا كانت )a

4 1

10 p - 8 < 8 + 7p

)b

�4

تعلمت من دراستك السابقة ان اية نقطة في المستوي االحداثي تمثل بزوج مرتب من االعداد

. )x , y( الحقيقية

فالمعادلة التي صورتها : معا حيث و معا و تسمى

.x , y معادلة خطية بمتغيرين

جد مجموعة حلول المعادلة :

او مجموعة الحل للنظام :

احلل /

نحاول ايجاد مجموعة الحل بايجاد مجموعة قيم x , y والتي تحقق المعادلة كما في الجدول

)x, y(yx+y=�x

)-� , 4(4-�+y = �-�

) 0 , �(� 0 +y = �0

)� , 2(2 � +y = � �

) 2, �(�2 + y = �2

من الجدول واضح ان هناك مجموعة غير محددة من االزواج المرتبة )x, y( بحيث ان .

وتكون مجموعة الحل .

املعادلة من الدرجة االولى � - 4 مبتغيرين

ax+by+c=0a,b,c ∈ Ra≠0b≠0

]� - � - 4[ مجموعة حل المعادلة من الدرجة االولى في متغيرين

مثال ) � (

x+y=3

x+y=3

x+y=3

s= 0,3( ) , 1,2( ) , 2,1( ) , -1,4( ) ...{ }

.....

.....

.....

..... A= x,y( ) :x,y ∈ R, x+y=3{ }Z

�5

ارسم المخطط البياني للمعادلة : � = 2x + �y حيث . .

x احلل / مجموعة قيم

. x = � , x = -� واضح ان المخطط البياني للمعادلة يمثل قطعة مستقيم محددة بالنقطتين الناتجتين من

تعريف ]4-4[ : مجموعة حل المعادلة من الدرجة االولى بمتغيرين x , y هي مجموعة جميع االزواج المرتبة

)x , y( التي تحقق الجملة المفتوحة ax + by + c = 0 اي التي تجعلها صائبة .

مثال ) 2(

)x, y(y2x+�y=�x

(−1, 83

)83-2+�y=�-�

)0,2(20+�y=�0

(1, 43

)432+�y=��

(2, 23

)234+�y=�2

)�,0(0�+�y=��

)�( لتمثيل المعادلة الخطية بمتغيرين في x , y نكتفي باخذ

نقطتين تحققان المعادلة ويفضل ثالث نقاط للدقة .

)2( المخطط البياني للمعادلة ax +by +c = 0 مستقيم او مجموعة جزئية

. x قطعة مستقيم اوشعاع( معتمد على مجموعة تعريف المتغير(

مالحظة

• •• ••-� 0 � 2 �[ ]

�-� 2 �

3,0( )

y

x

•

•

(-1 , 83

)

-� ≤ x ≤ �

��

حل معادلتني من الدرجة االولى

مبتغيرين انيا

L2 معادلتين من الدرجة االولى بمتغيرين x , y لحل :a2x+b2y=c2 , L1:a1x+b1y=c1 لتكن

هذا النظام هناك عدة طرق : بيانية وتحليلية )التعويض ، الحذف( وبطريقة المصفوفات والمحددات .

في هذه المرحلة سندرس الطريقة البيانية وطريقتي التعويض والحذف فقط .

. L� هي مجموعة حل معادلة S� وبشكل عام اذا كانت

s1 = x,y( ) :a1x+b1y=c1{ }. L2 هي مجموعة حل معادلة S2

. S2 , S� فتكون مجموعة حل النظام هي تقاطع المجموعتين

. R في x - y = � , x + y = � : جد مجموعة حل النظام احلل /

: R نعمل الجدول بثالث نقاط من مجموعة التعويض

4 - 4

s2 = x,y( ) :a2x+b2y=c2{ }

s=s1 ∩ s2

الطريقة البيانية :- اوال

مثال ) �(

L1:x+y=3

)x, y(yx

)0,�(�0

)�,2(2�

)2,�(�2

)x, y(yx

)0,-�(-�0

)�,0(0�

)2,�(�2

L2 :x-y=1

اي :

��

مجموعة الحل = })� , 2({

*

ويتلخص بتحويل أحدى المعادلتين الى معادلة بمتغير واحد فقط وذلك بإيجاد عالقة بين y ، x من أحدى

المعادلتين وتعويضها في المعادلة االخرى كما في المثال االتي:

جد مجموعة حل النظام

: y بداللة x احلل / من المعادلة )�( نجد

اي ان:

نعوض االن قيمة x من )�( في المعادلة )2( لنحصل على :

طريقة التعويض :- ثانيا

مثال ) 2 ( x-y=1.......... 1( )x+y=3......... 2( )

x=1+y......... 3( )1+y( ) +y=3

1+2y=32y=2

∴ y=1

X

�

2

�

4

5

�

�

� 2 � 40-�

-2

L2

L�

y

•

2,1( )

تتلخص طريقة الحل البياني باالتي : * تمثيل كل من المستقيمين االول والثاني في المستوي االحداثي.

* نجد احداثي نقطة تقاطع المستقيمين برسم عمودين من النقطة على المحورين

الصادي والسيني فتكون نقطة التقاطع تمثل مجموعة حل النظام .

��

نعوض قيمة ) �= y ( في )�( فتكون:

وللتحقق من صحة الحل نعوض عن ) y = � ( ) x = 2 ( في كلتا المعادلتين وليس في احداهما الن

مجموعة الحل يجب ان تحقق كلتيهما للحصول على عبارتين صائبتين.

المعادلة االولى :

المعادلة الثانية :

استخدم طريقة التعويض لحل المعادلتين

و

احلل /

من المعادلة )2(:

: y نعوض قيمة في المعادلة )�( لنحصل على معادلة جديدة بمتغير واحد هو

بضرب الطرفين في 2

فك االقواس

بالتبسيط

x=1+yx=1+1

∴ x=2s= 2,1( ){ }

x-y=1 ⇒ 2-1=11=1

x+y=3 ⇒ 2+1=33=3

مثال ) � (

3x+2y=12..... 1( )2x+3y=13..... 2( )

2x=13-3y ⇒ x= 13-3y2

x= 13-3y2

3 13-3y2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +2y=12

3 13-3y( ) +4y=2439-9y+4y=2439-5y=24

∴ -5y=-15-5y-5

= -15-5

∴ y=3

✓

��

نعوض قيمته �= y في

نحصل على

{(2, 3)} مجموعة الحل :

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف.

x+2y=5..... 1( ) , 3x-y=1..... 2( )

احلل /

لحذف أحد المتغيرين x أو y نجعل معامل أحد المتغيرين متساويا بالقيمة

ومختلفا باالشارة في كلتا المعادلتين.

بعد ضرب المعادلة )2( في العدد 2

بجمع � مع 2 نحصل على :

0 = )-2y( + )2y( : ألن

نعوض قيمة � = x في أحدى المعادلتين )يفضل بابسط معادلة من المعادلتين ( .

مجموعة الحل

x=1 , y=2 نعوض في كلتا المعادلتين للتحقق :

x= 13-3y2

x=2

طريقة احلذف :- ثالثا

مثال ) 4 (

x+2y=5..... 1( )6x-2y=2..... 2( )

7x=7

∴ x=1

1+2y=52y=4 ⇒ y=2

s= 1,2( ){ }

بالجمع

�0

�- نبسط المعادلتين )التخلص من االقواس والكسور ، ان وجدت(

لوضعها بالصورة القياسية:

2- نجعل معامل احد المتغيرين متساويا في المعادلتين بالقيمة العددية.

�- نجمع او نطرح المعادلتين )وفقا الشارة المعامل(.

4- من الخطوة )�( نحصل على قيمة المتغير االخر ثم نعوض في احدى

المعادلتين للحصول على قيمة المتغير )المحذوف(.

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف. 3x+4y=10..... 2( ) , 2x+3y=7..... 1( )

احلل /

نحاول حذف x من المعادلتين كما يلي:

بضرب )�( بالعدد � والمعادلة )2( بالعدد 2 لنحصل على معادلتين جديدتين مكافئتين لهما.

بالطرح

: y = � نعوض في احدهما )قبل تغيير االشارة( ) اي في )�( ( عن قيمة

يمكن للطالب التحقق من صحة الناتج.

ملخص الطريقة :

مثال ) 5 (

ax+by=c

2x+ 3 × 1( ) =7

2x=4 ⇒ x=2

s= 2,1( ){ }

6x + 9y= 21..... 1( ) + 6x + 8y= + 20..... 2( )-

⇒ y=1

- -

��

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف اوال ثم بيانيا ثانيا :

3x-y=12......... 1( ) 6 , x-y=4......... 2( ) اوال :

: y بطريقة الحذف: نضرب طرفي المعادلة )2( بالعدد )�-( لنتمكن من حذف المتغير

بالجمع

نعوض في )2( أصال : او في )�(:

احلل بيانيا :

مثال ) � (

-x +y =-4....... 2( )

x y )x,y(

04

-40

)0,-4()4,0(

x y )x,y(

02

-�0

)0,-�()2 , 0(

L2 :x-y=4L1:3x-y=12

3x -y =12....... 1( ) 6

2x=8 ⇒ x=4 2 1 4-y=4 ⇒ y=0−3s = 1,−3( ){ }

3x-y=12......... 1( ) 6 x-y=4......... 2( )

L2

X

L�

y

نقطة التقاطع )� , -�(

1

�2

حل المعادلتين اآلتيتين بطريقة الحذف :

12

x+2( ) - 13

y-2( ) =3 ........1

14

x + 12

y = 0 ........2

) LCM( � بالعدد )�( احلل/ نتخلص من الكسور في كلتا المعادلتين وذلك بضرب طرفي المعادلة

والمعادلة )2( بالعدد 4 . ونبسط:

⇒ 6( ) ×

12

x+2( ) - 6( ) ×13

y-2( ) =6 × 3

⇒ 3 x+2( ) − 2 y-2( ) = 18

3x-2y+10=18

3x-2y=8 ........1

4( ) ×14

x + 4( ) ×12

y=0

⇒ x+2y=0 ........2

3x-2y=8 ........1 بالجمع

4x=8 ⇒ x=2

نعوض بالمعادلة )2(

14

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × 2+ 1

2y=0

12

+12

y=0

بالضرب في 2 نجصل على

1 + y=0 ⇒ y=-1

ss= 2,-1( ){ } ∴ss= 2,-1( ){ } ∴

مثال ) � (

93

4 2

س1 / حل كال من المعادلتين اآلتيتين بطريقة التعويض:

س2 / حل كال من المعادلتين اآلتيتين بطريقة الحذف:

ثم تحقق من صحة الحل.

س3 /حل كال معادلتين مما يأتي بيانيا وحقق الناتج بطريقة أخرى :

س4 / هل ان } ) 2 , 3 ( { مجموعة حل المعادلتين االنيتين بين ذلك :

{(1−,2)} هي مجموعة حل املعادلتني: , س5 / اذا كانت

جد a , b حيث a , b ثوابت حقيقية

bx-2y=-2

2x+3y=133x-2y= 0

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

a(

x-2y= 112x-3y=18

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

b(

3x-4y-12=05x+2y+6=0

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

a(

3x+2y=12x + y = 5

a(

12

x + 13

y =2

2 x+1( ) +3 y-3( ) =2

b(

0.1x-3y=120.2x-4y = 24

b( b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2x-ay=3

2x3

- y2

= 1

3y2

+ x3

= 4

�4

الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية بمتغير واحد x هي : حيث ,

. a,b,c ∈ R

m2 -m=0 ، y2 - 2y-1=0 ، ax2 -3x+1=0 مثال :

هي أمثلة لمعادلة من الدرجة الثانية لمتغير واحد m , y , x على الترتيب وحل المعادلة

يعني ايجاد مجموعة قيم x التي تحقق المعادلة )تجعلها صائبة( ضمن مجموعة

تعويض معلومة وهناك طرق مختلفة لحل المعادلة التربيعية بمتغير واحد ومنها :

وذلك بوضع المقدار ان امكن على صورة حاصل ضرب عاملين كل منهما من الدرجة

االولى اي ان :

ثم نستخدم خاصية العامل الصفري والتي تنص على أن: اذا كان : اما او

وتكون مجموعة الحل

وكما درسنا الطرق المختلفة لتحليل الحدوديات الثنائية : الفرق بين مربعين ، تحليل الحدوديات الثالثية

)التجربة ، المربع الكامل ( ، الحدوديات الرباعية ) التجزئة ( .

املعادلة من الدرجة الثانية 5 - 4

مبتغيرواحد ax2 +bx+c=0a≠0( )

ax2 +bx+c=0

طريقة التحليل :- اوال

ax2 +bx+c( )

ax2 +bx+c= a1x+c1( ) a2x+c2( ) =0

ab=0 a=0 b=0

a1x+c1 =0 ⇒ x= -c1

a1

a2x+c2 =0 ⇒ x= -c2

a2

S= -c1

a1

, -c2

a1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭2

�5

مالحظة

حل المعادالت االتية بطريقة التحليل :a( x2 -25=0 b( 2x2 -3x=0

الحل/

a( x2 -25=0 ⇒ x-5( ) x+5( ) = 0x-5=0: اما ⇒ x=5x+5=0: او ⇒ x=-5

∴ مجموعة الحل

b( 2x2 -3x=0 x 2x+3( ) =0 تحليل باخراج عامل مشترك

x=0 : اما

: او

∴ مجموعة الحل =

مثال ) � (

5,-5{ }

نذكر تحليل الفرق بين مربعين .

) � 2 ( يمكن حل المثال � بطريقة الجذر التربيعي وهي :

اذا كانت ، وكانت فان : او

اي اذا كان :

x2 -a2 = x-a( ) x+a( )

k ∈ Rk > 0x2 =kx= kx=- k

x2 =25∴ x=+ 25

x=+5

∴ S= 5,-5{ }

2x-3=0 ⇒ x= 32

0, 32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

--

-

��

حل المعادالت االتيه : a( x-2( )2

− 9=0

b( 1-2y( )2− 4=0

c( 2w+a( )2 -4a2 =0

d( 1y+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 14

=0

احلل/

a( x-2( )2− 9=0 ) المعادلة (

)فك االقواس(

) تبسيط(

)تحليل تجربة(

: اما

: او


مثال ) 2 (

x2 -4x+4-9=0

x2 -4x-5=0

x-5( ) x+1( ) = 0

x-5=0 ⇒ x=5

x+1=0 ⇒ x=-1

-1,5{ }

تدريب للطالب

. x = 5 , x = - � حقق صحة االجابة بالتعويض عن

��

b( 1-2y( )2− 4=0 ) المعادلة (

) فك االقواس ( ) تبسيط (

) تحليل تجربة (

اما :

او :

c( 2w+a( )2 -4a2 =0 ) المعادلة ( ) تحليل الفرق بين مربيعين (

) تبسيط (

اما :

او :

مجموعة الحل =

d( 1y+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 14

=0 ) المعادلة (

) تحليل الفرق بين مربيعين (

اما :

1-4y+4y2 -4=04y2 -4y-3=02y+1( ) 2y-3( ) =0

y = -12

y = 32

a2

, -3a2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴ w= -3a2

2w+3a = 0

∴ w= a2

2w-a=0

2w-a( ) 2w+3a( ) = 0 2w+a( ) -2a⎡⎣ ⎤⎦ 2w+a( ) +2a⎡⎣ ⎤⎦ =0

1y+1

−12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1y+1

+12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0

1y+1

−12

-12

, 32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴مجموعة احلل =

=0

��

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين


حل المعادالت االتية بالتحليل : a( x x-2( ) =35

b( 2x2 -12=5x

c( 13

x2 = 34

x

d( 2x 2 -3+x( ) =5x+9

e(

f( 3x+1( )2 = 3x+1( ) الحل/

a( x x-2( ) =35 x2 -2x-35=0

اما : او : ∴ مجموعة احلل =

1y+1

=12

y+1=2y=1

1y+1

+12

= 0

1y+1

=−12

-y-1=2∴ y=3

-3,1{ }

مثال ) � (

7, −5{ }x+5=0 ⇒ x=-5 x-7=0 ⇒ x=7

x-7( ) x+5( ) = 0

−3

-

0.1x2 - 0.4x + 0.4 = 0

او :

��

مالحظة

b( 2x2 -12=5x

اما :

او :


c( x �2 = LCM نتخلص من الكسور بضرب طرفي المعادلة في

) تبسيط الطرفين (

اما : او:


يمكن التحقق من صحة

الناتج بالتعويض بالمعادلة االصلية .

2x2 -5x-12=02x+3( ) x-4( ) = 0

2x+3=0 ⇒ x= -32

x-4=0 ⇒ x=4-32

, 4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12 13

x2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =12 3

4x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

13

x2 = 34

4x2 =9x⇒ 4x2 -9x=0

⇒ 4x-9=0 ⇒ x= 94 0, 9

4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x=0

x ( 4x - 9 ) = 0

-6x+2x2 -5x+9=02x2 -11x+9=02x-9( ) x-1( ) = 9-6x+2x2 -5x+9=0

2 -3+x( ) =5x+9d( 2x -) تبسيط الطرفين (

�00

اما :

او :


e(

بضرب طرفي المعادلة قي �0 للتخلص من الكسور


f(

اما :

او :


2x-9=0 ⇒ x =92

x-1=0 ⇒ x=1

92

,1⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3x+1( )2 = 3x+1( )3x+1( )2 - 3x+1( ) =0

3x+1( ) 3x+1( ) -1⎡⎣ ⎤⎦ =0

3x+1=0 ⇒ x= -13

3x=0 ⇒ x=0-13

, 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

حاول بطريقة اخرى : فك االقواس واكمال الحل.ويمكن كذلك حل المعادلة بفرض ان : �x + �( = y ( لتصبح المعادلة

االصلية بالشكل : y2 = y ثم نكمل الحل.

تمرين للطالب

0.1x2 - 0.4x + 0.4 = 0

x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2 )2 = 0 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 s = 2{ }

�0�

إليجاد مجموعة الحل بهذه الطريقة نتبع الخطوات اآلتية:

a≠0 � - نضع المعادلة التربيعية بالصورة . حيث

. a 2 - اذا كان ، نقسم طرفي المعادلة على

� - نضيف الى طرفي المعادلة المقدار .

4 - نحلل الطرف االيسر والذي اصبح مربعا كامال بعد الخطوة � ونبسط الطرف االيمن .

. x 5 - نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونجد قيم

حل المعادلة بطريقة اكمال المربع .

احلل/

) المعادلة (

)وضع المعادلة بالصورة المطلوبة(

) بقسمة الطرفين على2(

= 916

الحد المضاف =

باضافة للطرفين

تحليل الطرف االيسر ونبسط االيمن

خاصة الجذر التربيعي

اما :

ثانيا To Solve a Quadratic Equation by Completing the Square

ax2 +bx=-c

a≠1

x⎛

⎝⎜ 1 معامل

2⎞

⎠⎟

2

مثال ) 4 (

2x2 -3=3x

2x2 -3=3x

2x2 -3x=3

x2 - 32

x= 32

916

=−32

×12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

916

∴ x2 - 32

x+ 916

= 32

+ 916

x- 34

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 3316

∴ x- 34

=+ 334

x= 34

+ 334

= 3+ 334

-

: طريقة اكمال املربع

�02

أو :


الصورة العامة للمعادلة التربيعية

تسمى ايضا الصورة القياسية

a بالقسمة على

باضافة مربع نصف

معامل x للطرفين

تحليل الطرف االيسر ونبسط الطرف االيمن

اما :

او :


:x وبذلك تكون مجموعة حل المعادلة التربيعية في

قانون المعادلة التربيعية

= يسمى المقدار:

x= 34

−334

= 3- 334

3+ 334

, 3- 334

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

طريقة القانون )الدستور ( )االشتقاق لالطالع فقط( ثالثا :

ax2 +bx+c=0 , a≠0

ax2 +bx=-c

x2 +ba

x= -ca

ax2 + ba

x+ 12

×ba

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= -ca

+ 12

×ba

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

x2 + ba

x+ b2

4a2 = -ca

+ b2

4a2

x+ b2a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= b2 -4ac4a2

x+ b2a

=+ b2 -4ac2a

x=+ -b+ b2 -4ac2a

x=+ -b- b2 -4ac2a

-b- b2 -4ac2a

,-b+ b2 -4ac

2a

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

x= -b+ b2 -4ac2a

b2 -4ac( )∆( )b2 -4ac∆

x=

x=

-

)دلتا( Deltaبالمقدار المميز ويرمز له بالرمز

-

�0�

حل المعادلة االتية بالقانون ) الدستور(

احلل/

�( وضع المعادلة بالصورة العامة .

2( تعيين المعامالت c , b , a حيث

�( نعوض عن c , b , a بالقانون :

اما :

او :


عرفنا ان المقدار المميز للمعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0 هو , فان نوع جذري

المعادلة تتعين كما يلي:

نوع الجذرين

جذران حقيقيان نسبيان موجب ومربعا كامال

جذران حقيقيان غير نسبيين موجب ليس مربعا كامال

جذر حقيقي واحد صفر

جذران غير حقيقيين )تخيليان( سالب

∅ = R مجموعة الحل في ∴

مثال ) 5 (

x2 -3x=5

x2 -3x-5=0a=� ) x2معامل( , b=-� )xمعامل(

x= -b+ b2 -4ac2a

∴ x=- -3( ) + -3( )2 - 4 × 1 × 5( )

2 × 1

= 3+ 292

x= 3+ 292

x= 3- 292

3+ 292

, 3- 292

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

املقدار املميز ∆ The Discriminantرابعا

∆ = b2 -4ac( )

-b2a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

-

-

-

× -

c = -5 )الحد المطلق(

b2 -4ac∆ = b2 -4ac( )

�04

مالحظة

مثال : املعادلة:

والعدد 25 مربعا كامال = 52 املقدار

ميكن حتليله

ما قيمة الثابت m التي جتعل جذري املعادلة متساويني ؟

احلل/ يكون جذري املعادلة متساويني عندما ∆ ) املميز( = 0

اما :

او :

مع مالحظة انه اذا كانت c , b , a اعدادا صحيحة فان

ax2 المقدار يمكن تحليله اذا كان المميز مربعا كامال . +bx+c( )

2x2 +3x-2=0 a=2, b=3, c=-2∆ = b2 -4ac

=9- 4 × 2 × -2( ) =25

2x2 +3x-2= 2x-1( ) x+2( )

مثال ) � ( x2 - m+1( ) x+4=0

a=1, b=- m+1( ) , c=4

∆= - m+1( )⎡⎣ ⎤⎦2 -4 × 1 × 4= m+1( )2 -16

∆=0 ⇒ m+1( )2− 16 = 0

∴ m+1( )2= 16 ⇒ m+1=+4

m=3

m=-5

2

-

حتقق بالتعويض عن قيمة m باملعادلة االصلية لتجد انمالحظة

. m للمعادلة حل واحد لكل قيمة من قيم

�05

. R بين ان المعادلة ليس لها حل في

احلل/

المعادلة التربيعية ليس لها حل في R عندما ∆) المميز( يساوي عددا سالبا .

نضع المعادلة بالصورة العامة :

حيث:

)سالب(

. R المعادلة ليس لها حل في

ما قيمة الثابت m التي جتعل جذري املعادلة متساويان ؟ احلل/

يكون جذرا املعادلة التربيعية متساويان اذا كان .

املعادلة بالصورة العامة

نجعل

مثال ) � (

x2 +10=2x

∆<0( )

x2 -2x+10=10

c=10, b=-2, a=1

∆=b2 -4ac= -2( )2 -4 × 1 × 10=-36

∆=-36<0∴

مثال ) � (

y2 -16=m y+4( )

∆ = 0

y2 -16=my+4m

y2 -my-16-4m=0a=1 , b=-m, c=-16-4m∆=b2 -4ac

=m2 +16m+64∆ = 0⇒ m2 +16m+64=0m+8( )2 =0

∴ m=-8

0

= -m( )2 -4 -16-4m( )= -m( )2 -4 -16-4m( )× 1 ×

�0�

) 4�0m2( على ضعف عرضه وكانت مساحته )2m( اذا كان طول ملعب كرة السلة يزيد بمقدار

جد بعدي الملعب . احلل/

y = نفرض عرض الملعب

2y+2 = طول الملعب

مساحة الملعب )مستطيلة الشكل( = الطول × العرض

بالقسمة على2

اما : يهمل

او :

العرض =

الطول =

2 × 15+2= =

32m ∴ الطول =

مسائل يؤدي حلها الى معادالت من الدرجة الثانية في متغير واحد : -

مثال ) �(

y 2y+2( ) =480

2y2 + 2y=480y2 +y-240=0y+16( ) y-15( ) =0

y=-16

y=15

15m

2y+2

107

جد العدد الذي مربعه يزيد عليه بمقدار )12( .

احلل/

x2 = مربعه ، x نفرض العدد

اما :

او :

أذا اراد راكب دراجة قطع مسافة )60km( بين مدينتين A , B بسرعة معينة ولو زادت سرعته بمقدار

لتمكن من قطع هذه المسافة بزمن يقل ساعة واحدة عن الزمن االول. جد سرعته اوال.

احلل /

V = نفرض سرعته االولى

V + 10 = سرعته الثانية ∴

الزمن االول =

الزمن الثاني =

∴ الزمن األول - الزمن الثاني = 1

:LCM بضرب الطرفين في

∴ V=-30 V=20 , تهمل

مثال ) 10(

∴ x2 -x=12x2 -x-12=0

x-4( ) x+3( ) =0x=4

x=-3

مثال ) 11(

)10 km/ h(

60V

60V

- 60V +10

= 1

60V +10

مالحظة الزمن =

املسافةالسرعة

V V+10( )

60 V+10( ) -60V=V V+10( )

60V+600-60V=V2 +10V

⇒ V2 +10V-600=0 ⇒ V+34( ) V-20( ) =0

km/h سرعته أوال

30

�0�

قطعة مربعة الشكل طول ضلعها)x cm( قطعت أربعة مربعات متساوية من زواياها طول ضلع كل مربع

)��cm� ( وثنيت بعدها فتكون صندوق بدون غطاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة حجمه)4cm(

جد مساحةالقطعة االصلية .

احلل /

واضح من الشكل ان ابعاد الصندوق : 4 االرتفاع ، )� - x( بعدي القاعدة .

حجم متوازي السطوح المستطيلة = الطول × العرض × االرتفاع .

بالقسمه على 4

باخذ الجذر التربيعي

اما :

او :

وللتحقق أي من االجابتين تطابق معطيات المسأله نالحظ ان � = x يجب اهمالها النها تعطي طول ضلع

القاعدة )�-x ( عددا سالبا )2 - ( وهو غير ممكن .

)حاول تفسير اهمال � = x بطريقه أخرى (

) x = �0 ( طول ضلع القطعه االصليه ∴ �00 cm2 = �02 = وتكون مساحتها

مثال ) �2(

∴ 4 x-8( ) x-8( ) = 16

∴ x-8( )2 = 4∴ x-8 = +2

x=10

x=6

-

x - �

4 4

4 4

�0�

درسنا سابقا المعادالت الحدودية ) المتغير في االساس ( مثال x2 - 4 = 0 ، x2 - x - 2 = 0 .... الخ

سوف ندرس االن المعادالت الكسرية ) معادالت متغيرها في مقام الكسر ( .

حل كال من المعادالت االتيه وحقق صحة الحل :

a(

b(

c(

احلل /

نضرب طرفي المعادلة في LCM للمقامات )�x( للتخلص من الكسور :

a(

تبسيط

تحليل بالتجربة

اما :

او :

التحقيق : نعوض بالمعادلة عن

الطرف االيسر

4 - � املعادالت الكسرية

5x+ x-23x

= 23

3x 5x( ) +3x x-23x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =3x 2

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

15x2 +x-2=2x15x2 -x-2=0

5x-2( ) 3x+1( ) = 0

5x-2=0 ⇒ x= 25

3x+1=0 ⇒ x= -13

x= 25

, x= -13

x= -13

L.H.S = 5 ×-13

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

-13

-2

3 ×-13

5x+ x-23x

= 23

2y+2

- 22-y

= y2 +4y2 -4

6x-2

+ x2-x

=3

y

⇐

110

=−53

+

−73−1

=−53

+73

=

23

جذر للمعادلة

كذلك يمكن التحقق بسهولة عندما


b ( : للمقامات نحاول تغييرالمقام LCM قبل ضرب طرفي المعادلة في

y-2 حيث

معلومة

الحظ :

y-2( ) y+2( )( ) LCM بضرب طرفي المعادلة في

تبسيط الطرفين

−13

, 25

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴ x= -13

x= 25

2y+2

- 22-y

= y2 +4y2 -4

a-b=- b-a( )

2y+2

- 2− y-2( )

= y2 +4y2 -4

2y+2

+ 2y-2

= y2 +4y-2( ) y+2( )

2 y-2( ) + y y+2( ) = y2 +4

2y-4+y2 +2y-y2 -4=04y-8=0 ⇒ y=2

∴ المعادلة تصبح بالشكل االتي :

y2 -4= y-2( ) y+2( )

2-y=- 2-y( )(y-2)

y

y

y

الطرف االيمن =

��

عند التعويض عن y = 2 بالمعادلة االصلية تحصل على عملية قسمة على الصفر وهذا غير جائز لذلك

. R فالمعادلة ليس لها حل في

c (

) L . C . M ( بضرب طرفي المعادلة في : ) Correct Method ( احلل / الطريقة الصحيحة

للمقامات وهو ) X - 2 ( نحصل على المعادلة المكافئة االتية :

. S = }� { : وبالتعويض في المعادلة اصال نالحظ ان � جذرا للمعادلةأما الطريقة غير الصحيحة هي أن نضرب طرفي املعادلة باملقدار ) x - 2 ( ) 2 - x ( والذي ال ميثل

املضاعف الصحيح الننا سوف نحصل على � = x= 2 , x وقيمة x = 2 ال حتقق املعادلة االصلية ولذلك يجب استبعادها .

∴ S = }� {

20

= y2-y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

عند ضرب طرفي معادلة بمقدار يحتوي على متغيرها يجب مالحظة

التحقق من صحته الن عملية الضرب ال تؤدي بالضرورة الى

معادلة مكافئة لالصل . كذلك عملية رفع طرفي المعادلة الى القوى .

6x-2

+ x2-x

=3

x-2( ) 6x-2

+ x-2( ) x2-x

=3 x-2( )

6-x=3x-64x=12

∴ x=3

مجموعة الحل = ∅

الحظ عزيزي مالحظة

x - a = -) a- x ( : الطالب أن- (x-2)

-1

��2

س� /حل كال من املعادالت االتية :

� -

2 -

� -

باكثر من طريقة - 4

5 -

� -

بالدستور -�

) 44m2( فاذا كانت مساحة المستطيل ) �m( س2/طول مستطيل يقل عن ثالثة أمثال عرضه بمقدار

جد ابعاد المستطيل .

)x-1 مجموع مربعاتها يساوي )��4 ( . ) ، x ، x+1( ) س�/ ثالثة أعداد موجبة

جد هذه االعداد .

س 4 / ما العدد الذي اذا اضيف )5 ( الى مربعه كان الناتج )�0(؟

4 �

x+1( ) x-3( ) = 12

y2 =7y

3t2 -4=-11t

2x-1( )2 = 2x-1( ) ........

x2 -5=3x

4x2 +9=12x.......

13

x2 = 12

x- 56

........

بالدستور

��

س5/ مثلث طول قاعدته يزيد عن ارتفاعه بمقدار )�cm ( فاذا زاد كل من أرتفاعه وقاعدته بمقدار

)2cm (أصبحت مساحته )2�cm2 (جدطول القاعدة واالرتفاع .

س� /قطعة مربعة الشكل طول ضلعها )y cm ( قطعت من زواياها اربعة مربعات متساوية طول ضلع

كل منها )2cm ( وثنيت بعدها فتكون صندوق على شكل متوازي سطوح مستطيله بدون غطاء

حجمه )�cm 242 (. جد طول القطعة المربعة .

س� / مثلث قائم الزاويه طول أحد ضلعيه القائمين يزيد )2cm ( عن الضلع القائم االخر وطول وتره

يقل )2cm (عن ضعف طول الضلع القائم الصغير . جد أطوال اضالع المثلث وما مساحته .

س� /

a- ما قيمة الثابت )m ( التي تجعل للمعادلة جذرين متساويين ؟

b- ماقيمة الثابت )n ( التي تجعل جذري المعادلة متساويين ؟

س� /حل المعادالت االتية وحقق صحة االجابة في كل منها :

a( 3y+52y-1

= 6y+25y-4

b( 5x+2

+ 32-x

=2

x2 -4

c( y-7y2 -2y

= yy-2

- y+4y

d( 2y1-3y

= 53y-1

m y2 +y+1( ) =y+1

w2 -16=n w+4( )

الهندسة Triangle املثلث


الزاوية

Side S الضلع

عالقة التطابق

m∠A A قياس الزاوية

Angle ∠

≅

]�-5[ مراجعة .]2-5[ منصفات زوايا املثلث .

]�-5[ القطع املتوسطة للمثلث .

A

B

C

الفصل اخلامس5

في مراحل دراسية سابقة تعرفنا على مفاهيم هندسية أساسية ودرسنا بشئ من التفصيل بعض االشكال

الدائرة، األشكال: هذه ومن المختلفة الحياتية المسائل في وتطبيقاتها وخواصها المعروفة الهندسية

المربع والمثلث . . الخ.

وسوف نتطرق في هذه المرحلة الى المثلث والدائرة من زوايا مختلفة.

a نوعه بالنسبة الضالعه:

مختلف االضالع متساوي االضالع » منتظم «

قياس كل زاوية فيه 60°

متساوي الساقينAC = AB

ومن خواص المثلث المتساوي الساقين:

. )m ∠ C = m ∠ B( زاويتي القاعدة متطابقتان )1

2( منصف زاويه الرأس A عمودي على القاعدة BC وينصفها.

NB = CN , AN BC , CB AN ينصف

B

A

NC

مراجعة 1 - 5

املثلث

الفصل

5

A

BC

A

BC

AC = AB = BCAC≠AB≠BC

وعمودي عليه

��

b نوعه بالنسبة لزواياه:

حاد الزوايا منفرج الزاوية قائم الزاوية

. S : side ، )S S S ( :تطابق باالضالع الثالثة )�

∆ ABC ≅ ∆DFE

S.A.S . )2( تطابق بضلعين والزاوية المحددة بهما )محصورة بينهما

∆ ABC ≅ ∆DEF

حاالت تطابق املثلثني:

D

E F

A

C B

A

B C

F

D

E

117

)A.A.S( تطابق بزاويتين وضلع مناظر )3

∆ DEF ≅ ∆ ABC

4( يتطابق املثلثان القائما الزاوية بوتر وضلع قائم.

∆ ABC ≅ ∆ DEF

في الشكل املجاور:PQRN شكل رباعي فيه:QR = QN = PQ , RQ NP

m ∠ 3, m ∠ 2, m ∠ 1 : جد m ∠ R = 70°

احلل/ ∵ QR = QN معطى∴m ∠ R = m ∠ 4 خواص ∆ متساوي الساقني

∴ m ∠ 4 = 70° )m∠1=180°-)70°×2 مجموع زوايا املثلث

∴ m < 1 = 40°RQ NP معطى

m ∠ 2 = m ∠ 1∴ )متبادلة(∴ m ∠ 2 = 40°

A

B CE

D

F

CB

AD

E F

مثال )1(

P

R

NQ

1 24

3

70

118

في الشكل المجاور:

AB = AC مثلث متساوي الساقين فيه ABC

AD = AE بحيث ان E ∈AC , D ∈ AB

∆ AEB ≅ ∆ ADC :أثبت انالمعطيات /

تترك للطالب م. أثباته /

البرهان /∆ ∆ AEB , ADC فيهما:

AE = AD ... معطى

AC = AB ... معطى

الزاوية A مشتركة بينهما

∴ يتطابق ∆∆ بضلعين والزاوية المحددة بهما.

)و.هـ.م(

مثال ) 2 (

C

A

B

DE

{

m< p = m< 2 = 40o

m< 3 = 180o − (40o × 2)∴m< 3 = 100o

مثلث متساوي الساقينمجموع زوايا المثلث

��

المعطيات/

DO = AD , EB = AE , ∆ABO

م.ث/

DE = OB )2 , OB DE )�

العمل والبرهان/

. ON فيكون N في ED فيالقي امتداد BE نرسم مستقيما يوازي O من نقطة

AAS بزاويتين وضلع مناظر ∆ ODN ≅ ∆ ADE

حيث: �( AD = OD . معطى

m ∠ ODN= m ∠ ADE )2 . . . متقابلة بالرأس.

.ON BA متبادلة الن ... m ∠ 2 = m ∠ � )�

من التطابق: DN=DE , تتساوى االجزاء المتناظرة في االشكال المتطابقة

...ON = AE

...EB = AE

ON= BE :من )�( ، )2( نحصل على

∴ الشكل EBON متوازي أضالع الن ON BE بالعمل

∴ BO = EN ، BO EN ... خواص متوازي االضالع

DN = DE بالبرهان

DE= 12

EN ∴

∴ DE = OB , OB DE ) و.هـ.م(

)�(

)2( معطى

قطعة املستقيم الواصلة بني منتصفي ضلعي مثلث توازي ضلعه الثالث وطولها نصف طوله.

مبرهنة/ �

12

12

B

E

A

DN

O

2

�

120

x في الشكل المجاور : جد قيمه

احلل/

AB منتصف D

BC منتصف E

)1

)2

∴ 3x = )5x+4)

6x = 5x + 4 :2 بضرب الطرفين في

x = 4∴


(1( هل ان: m ∠ 1 = m ∠ 2؟

ABC ما مساحة المثلث ، DE 2(جد)

AB منتصف D/احلل

AC منتصف E

DE BC

مثال ( 1 (

12

12

x في الشكل جد تمرين للطالب

مثال ( 2 (

(مبرهنة (1((AB

C

E

D

5x+4

3x

B

A

C

D Ex

32 − 8

)3)

A

B C

D E

1252X

2x

1

{)1( مبرهنة 12

DE = BC

DE AC

DE = AC ∴

121

m ∠1 =m ∠2 )1

DE BC الن

)AB)2 + )BC)2 = )AC)2

)2x)2+ x2 =

5x2 = 125 ⇒ x2 = 25

∴x = 5

∴ DE = BC .... ) 1 مبرهنة)

3( مساحة المثلث = × BC × AB

= ×5×10

وحدة مساحة 25 =

في الشكل المجاور: ABC ∆ فيه:

H , E , D منتصفات االضالع AC , BC , AB على الترتيب، BC = 8cm جد .

. DH )1)

(2( أثبت ان DECH متوازي اضالع.

احلل/ H , E , D منصفات أضالع المثلث .... معطى

DH = BC ∴

DH BC

DH = × 8 ∴

DH = 4 cm ∴

DH = EC = 4 cm∴

DH EC ∴الشكل : DECH متوازي اضالع

1212

125( )2

مثال ( 3 (

1مبرهنة 21

12C

A

B

DH

E8 cm

.ABC 2( نطبق مبرهنة فيثاغورس على ∆ القائم

متناظرة

مساحة المثلث

{

»يكون الشكل الرباعي متوازي أضالع اذا كان فيه ضلعني متقابلني متوازيني ومتطابقني«

12

=52

⇒ BC = 5 وحدة طول

⇒ DE =12

(5) = 52

وحدة طول

�22

)�(......)2(......

المعطيات/

DE BC , AB منتصف D :فيه ∆ ABC

المطلوب أثباته/

AE = EC


H في نقطة DE فيالقي أمتداد C نرسم من نقطة

∴ الشكل:DBCH متوازي اضالع

» تعريف متوازي األضالع«

∴CH = BD خواص متوازي االضالع

DA = BD معطى

∴المثلثان CHE , ADE متطابقان )زاويتان وضلع مناظر(

من التطابق: AE = EC ...اجزاء متناظره في اشكال متطابقة ) و. هـ . م (

. AC = � cm , BC = � cm , AB = 5 cm فيه ∆ABC :في الشكل

. ∆MHD وما محيط AB ∥ DH أثبت ان AC ∥ MH , BC ∥ MD, AB منتصف M

البرهان/

M منتصف MD ∥ BC , AB معطى

∴AD = DC مبرهنة 2 ... )�(

∵MH∥ AC ...معطى

املستقيم املار مبنتصف أحد أضالع مثلث موازيا لضلع ثان فيه ينصف الضلع الثالث.

مبرهنة/ 2

A

DEH

C B

مثال

A

BC

D

H

M� cm

5 cm

BD مستقيما يوازي

� cm

123

∴BH = CH ... مبرهنة )2(

من )1( و)2( نحصل على :

DH = AB , DH ∥AB ...مبرهنة )1(

محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضالعه الثالثة

MH + HD + DM = محيط المثلث ∴

) × 6(+) × 5( + ) × 7( =

9 cm

)AC عند توفر هذه ) في الشكل المجاور ABC مثلث قائم الزاوية في D , B نقطة منتصف الوتر

BD = AD = DC : المعطيات نحصل على

12

12

12

12

طول القطعة المستقيمة المرسومة من رأس القائمة في المثلث القائم الزاوية الى منتصف الوتر

تساوي نصف طول الوتر .

مبرهنة/ 3

A

BC

D

سنقبل هذه المبرهنة بدون برهان

62+

52+

72+

182

=

124

. AC ABC Δ فيه D منتصف في الشكل المجاور :

BD جد

x احلل/ إليجاد قيمة

نطبق مبرهنة فيثاغورس

ABC قائم الزاوية فيB، أثبت ان ADB مثلث متساوي األضالع،

احلل/

∵ D منتصف

=BD مبرهنه 3 12

AC ∴

ADB منتظم )متساوي االضالع ( Δ ∴

قياس كل زاويه من زوايا المثلث

مجموع زوايا مثلث

m C=180o − m B+m A( ) ∴

مثال ) 1 (

AC( )2 = AB( )2 + BC( )2

2 5x( )2

=42 +22

20x2 =20⇒ x2 =1⇒ x=1 x>0( )BD= 1

2AC

∴ BD 12

x2 5= 5 cm

مثال ) 2 (

A

BC

D

2cm

25X

4cm

AC

∴ BD= 4 cm

60o = ADB

=180o − 90o +60o( )=180o − 150o

∴ m<c = 30o

A

BC

D4 cm

8 cm

BD= 12

.

AC منتصف D ABC Δm∠C ثم جد

60o = ADBتساوي

∠

∠ ∠ ∠

∴ m C

AC = 8 ,

�25

BC أثبت ان : س�/ ABCD معين ، M نقطة منتصف

سABC ∆ /2 متساوي االضالع فيه :

أثبت ان :

س�/ في الشكل المجاور :

ABC مثلث فيه AB = AC )متساوي الساقين (

فيه :

MD نقطه متنصف جد M

5 �

OM =

12

AB, OM / / AB

AB ⊥ CH , AD ⊥ BC

DH / /AC

A

BC D

H

BC=12 cm , AD=8 cm

AB

A

BC D

M

A

BC

D

o

M

�2�

سABC /4 مثلث متساوي الساقني فيه :

BC منتصف D , AB M منتصف , AB = AC

, N منتصف أثبت ان : AMDN معني

AB بحيث ان سABC /5 مثلث ، فرضت النقطتان N ، M على

AD في O أثبت ان : , CM BC في النقطه D وتقاطعت ونصفت

CM // DN )�

AD O )2 منتصف

)�

N في CD نصفت ، P في BC نصفت ، O متوازي أضالع ، تقاطع قطراه في ABCD /س�

أثبت أن : OPCN متوازي أضالع.

AC

AM=MN=NB

MO= 14

MC

127

ABC مثلث فيه G منتصف ، R منتصف ، P منتصف أقيمت أعمدة على أضالع

OB = OA = OC : نحصل من ذلك على ان .O فالتقت في نقطه R , P , G المثلث من

في الشكل: , D منتصف , R منتصف , ,

. OR , OA AC=8 cm جد , OB=5 cm , OE ⊥ BC

BC , AB منتصف الضلعين E , D حيث OE ⊥ BC , OD ⊥ AB ∵ /احلل

∴ 0 نقطه ملتقى االعمدة المقامة على أضالع المثلث من منتصفاتها .

OC=OB=OA ...... مبرهنة 4 OA=5 cm

AC R منتصف ∵

AC ... قطعه المستقيم الواصل بين راس مثلث متساوي الساقين ومنتصف القاعدة ⊥ OR ∴

تكون عمودية على القاعدة .

AR=4 cm , R ∴ ORA قائم الزاوية في

AO( )2= AR( )2

+ RO( )2 فيثاغورس

∴ RO = 3 cm

االعمدة المقامة على اضالع مثلث من منتصفاتها تتالقى في نقطة واحدة تكون متساوية االبعاد

عن رؤوس المثلث.

مبرهنة/ 4

ACBCAB

مثال

ABACOD ⊥ AB

C

G

APB

R

O

A

D

BE

C

R

O

8 5

55

ABAB

25 = 16 + RO( )2

BC منتصف E

�2�

]2 ـ 5 [ منصفات زوايا املثلث

تعريف )� ـ 5( بعد نقطه عن املستقيم

هو طول القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة الى المستقيم .

AB ⊥ L , A ∉ L

A عن AB بعد النقطة

OC , OB , OA في الشكل : ABC مثلث فيه:

C , B , A منصفات الزوايا OG=OP=OR من هذه المعطيات نحصل على ان :

O أعمدة مرسومة من نقطه OR , OP , OG حيث

AC , BC , AB على

منصفات زوايا املثلث 2 - 5

منصفات زوايا المثلث تتالقى بنقطة واحدة تكون متساوية االبعاد عن أضالعه .

مبرهنة/ 5

A

BL

L

A

G

BPC

R

O

129

x في الشكل : جد قيمه

احلل /

B تنصف زاوية BO

C CO تنصف زاوية

∴O نقطة التقاء منصفات

. ABC زوايا المثلث

) A AO تنصف زاوية (

مجموع زاويا مثلث

x= 12

m<A=180o- m<B+m<C( )m B+m C( )

=180o-130o

∴ m<A = 50

xo =25o

سنقبل هذه المبرهنة بدون برهان .


AN , CM , BO االرتفاعات الثالثة

P للمثلث التقت في نقطة

مثال ) 1 (

x= 12

m<A

A

O

C B35

3530

30

x

A∠

m ∠ ∠ ∠

m A ∠

أرتفاعات المثلث تلتقي بنقطة واحدة .

مبرهنة/ 6

C

O

AM B

NP

= 180° − (70° + 60°)

130

جد قياس كل من

m<AOR=60o , CE ⊥ AB , AD ⊥ BC ABC مثلث فيه :

ARB ,OAR الزوايا احلل /

AD⋂

O نقطة التقاء أرتفاعات المثلث ABC ..)مبرهنة 6(

BR أرتفاعا له كذلك .

... تعريف االرتفاع

m<ARB=90o ARO Δ القائم في

=90o-60 =30o

. ABC فيه: أرتفاعات للمثلث ABC ∆ :في الشكل

AB = AC : أثبت ان OC = OB حيث

البرهان : BH ⋂CE = 0{ } O

∴O ملتقي ارتفاعات المثلث

...... أذكر السبب

OBC Δ في

BC .... خواص المثلث متساوي الساقين D منتصف نقطة

AB=AC )لماذا ؟(

A

BC D

EH

O

∠

∴ m RAO=90o − m ROA ∠

مثال ) 3 (

AD, BH, CE

AD ⊥ BC

مثال ) 2 (

A

E

BD C

RO

m ∠

=30o

CE = 0{ }O

R في

m< RAO

131

القطع املتوسطة للمثلث 3 - 5

تعريف )2 ـ 5( هي القطعة المستقيمة التي طرفاها هما رأس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس .

مالحظة: لكل مثلث ثالث قطع مستقيمة متوسطة .

.O قطع متوسطة تلتقي في BR, CG, AP : ABCفي المثلث

، O قطعتان متوسطتان تلتقيان في نقطة AD , CE في الشكل المجاور : المثلث ABC فيه

. AO , OE AD=6 cm جد ، CE = 9 cm

ABC ملتقي متوسطات المثلث O/ احلل OE= 1

2OC ∴

OE =13

CE

AD قطعة متوسطة كذلك

القطع المستقيمة المتوسطة للمثلث تتالقى في نقطة واحدة تقسم كل منها بنسبة 1 : 2

من جهة الرأس .

مبرهنة/ 7

مثال ) 4 (

A

C B

E

D

∴ OA =23

AD =23× 6=4 cm

A

R

CPB

G

•

• •

•

O

2

1

21

= COOG

= BOOR

= AOOP

=21

∴ OE =13

. 9=3 cm

O

OR = 12 BO

OR = 13 BR

OB = 23 BR

القطعة المتوسطة

��2

س�/ في الشكل : O نقطة التقاء االعمدة المقامة على أضالع المثلث ABC من منتصفاتها

.OA جد ، m ∠ COB = �0

O ثم رسم مستقيم يمر من ،O فألتقى المنصفان في نقطة C , B نصفت الزاويتان ABC ∆ /2س

. AH = HO أثبت ان Mفي BC AB في H ويقطع AC ويقطع ويوازي

AC⋂ BD = 0{ } }O{ , AB=AD=DC , AD / / BC س�/ ABCD شبه منحرف فيه :

BHC ينصف الزواية

HOu ruu

برهن ان : BAu ruu

I CDu ruu

= H{ } ،

, ABC O , AD نقطة التقاء أرتفاعات المثلث ⊥ BC س4/ في الشكل : المثلث ABC فيه:

. m<CHA , m<ACH m<BAC=70o جد:

5 2

O

A

BC

�0

�0

A

C B

H

D

O

BC = �0 cm

BA ∩

m ∠m ∠m ∠

cm

��

⋂ BC= D{ } , m<COB=90o س5/ املثلث O , ABC نقطة التقاء القطع املتوسطة ،

. AD BC=6 cm جد ,

DEF . فاذا كان : ∆ س�/ في الشكل أعاله : O نقطة التقاء القطع املتوسطة في

GF=6x2 فأى من املقادير التاليه ميثله OF ؟ +9y

a) 2x2 +9y b) 2x2 +3y c) 6x2 +9y d) 4x2 +6y

، LG=5x+3 أختر االجابة الصحيحة لقيمة x؟ WL=15x س�/ في الشكل : اذا كان : a) 0.3 b) 0.4 c) 0.6 d) 1.2

G

F E

D

O

F

G

D

W

RL

AO

الدائرةCircle

]�-�[ الدائرة .]2-�[ كيفية تعيني )رسم ( الدائرة .

]�-�[ االقواس .]4 - � [ التماس .

A

B

C

D

N

O

A

B

O 2

O �

�نق

�نق

العمود المصنف

2نق O

r

r

r


r نصف القطر

π النسبة الثابتة

AB AB القوس

الفصل السادس6

الدائرةCircle

]�-�[ الدائرة .]2-�[ كيفية تعيني )رسم ( الدائرة .

]�-�[ االقواس .]4 - � [ التماس .

A

B

C

D

N

O

A

B

O 2

O �

�نق

�نق

العمود المصنف

2نق O

r

r

r


r نصف القطر

π النسبة الثابتة

AB AB القوس

الفصل السادس6

تعريف ]2 - �[ نصف قطر

تعريف ]� - �[ وتر الدائرة

تعريف ]� - �[ الدائرة

تعريف ]4 - �[ قطر الدائرة

O

� الدائرة

عرف االنسان الدائرة منذ زمن قديم حيث درس خواصها واستخدمها في مجاالت عديدة في حياته ورسمها

بأبسط الوسائل المتاحة .

وسوف ندرس في هذه المرحلة الدائرة من زاوية أخرى .

مجموعة نقاط المستوي والتي تبعد كل منها ببعد ثابت ومتساو عن نقطة. )Center = ثابتة تسمى )المركز

.)Radius = r يسمى البعد الثابت طول نصف القطر (

قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة واية نقطة من نقاطها.

قطعة المستقيم الواصله بين أية نقطتين من نقاط الدائرة.

وتر الدائرة المار بمركزها.

� - � Circle )الدائرة( الفصل

�

]� - � - �[ تعاريف

A

B

C

D

N

O

r

وترقطر

��

�( من نقطة معلومة مثل A يمكن تعيين عدد غير محدد من

الدوائر .

2( من نقطتين معلومتين مثل B , A ال يمكن تعييـن دائرة واحدة

) B , A هناك مجموعة غير محــددة مــن الـدوائر تحتوي(

ويكون مركز هذه المجموعة أية نقطة تقع على العمود

. AB المنصف للقطعة

�( a - من ثالث نقاط على أستقامة واحدة ال تتعين أية دائرة .

b - من ثالث نقاط ليست على أستقامة واحدة تتعين

)يمكن رسم( دائرة واحدة فقط كما تنص المبرهنة اآلتية:

سوف نقبل المبرهنة بدون برهان

توضيح/ في الشكل المجاور:

A , B , C ثالث نقاط ليست على أستقامة واحدة

. ) ABC اي أنها تشكل رؤوس المثلث(

BC , AB , AC هي منتصفات أضالعه P , N , M والنقط

على الترتيب حيث ألتقت االعمدة المقامة على هذه االضالع

من المنتصفات P , N , M في نقطة )O( فتكون هذه النقطة

)O( مركز الدائرة المارة برؤوس المثلث C , B , A ومتساوية

البعد عنها )r = OC = OB = OA ( . كما مر سابقا .

كيفية تعيني )رسم( الدائرة 2 - �

كل ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة تمر بها دائرة واحدة .مبرهنة/ �

A

A

BM

P

C

O

N

AB

O�

نق�

نق�

العمود المنصف

نق2

O2

O

��

تعريف/ ] 5-�[ الدائرة املرسومة خارج االشكال الهندسية

يسمى الشكل الرباعي )شكال رباعيا دائريا( أذا كانت رؤوسه تنتمي لدائرة واحدة.


. O تتنتمي للدائرة التي مركزها A , B , C , D شكل رباعي دائري حيث ABCD

وكذلك االشكال الهندسية االخرى التي تمر برؤوسها دائرة واحدة تسمى اشكال هندسية دائرية .

ABC مثلث مرسوم ABCDE شكل خماسي مرسوم

داخل دائرة مركزها 0 داخل دائرة مركزها O )خماسي دائري(

يمكن فهم مبرهنة � بأسلوب آخر كما يلي:مالحظة

ان االعمدة المقامة على أضالع مثلث من منتصفاتها تلتقي بنقطة واحدة )O( تكون

متساوية البعد عن رؤوسه. وهذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث .

تدريب:A

B

4

C4

4

.)4cm ( أرسم دائرة تمر برؤوس مثلث متساوي االضالع طول ضلعه

O

A

B

C

A

B

C

D

EO

A

B

C

D

O

��

قوس الدائرة : AB هو جزء من الدائرة. في الشكل المجاور نالحظ ان

. B , A يشترك مع الدائرة بالنقطتين

اي ان )الدائرة( ∩ B , A { = A B { وبذلك انقسمت

مجموعة نقاط الدائرة الى جزئين كل منهما يسمى قوسا.

. ) Minor Arc AB القوس االصغر )القوس الثانوي -

. ) Major Arc ACB )القوس االكبر ) القوس الرئيسي -مع مالحظة ان اي قطر في الدائرة يقسمها الى قوسين متساويين

.Semi circle يسمى كل منها نصف الدائرة

اي ان: القوس االصغر أصغر من نصف الدائرة

اما: القوس االكبر فهو اكبر من نصف الدائرة.

وقد اتفق على التعبير عن القوس االصغر بحرفين فقط

. AC كما في القوس

توضيح :

في الشكل المجاور :

.O زاوية مركزية في الدائرة التي مركزها AOB تسمى الزاوية

اي ان رأس الزاوية هو مركز الدائرة وضلعاها نصفا قطرين في

الدائرة.

تسمى الزاوية EDF زاوية محيطية، رأسها نقطة من نقط الدائرة

وضلعاها وتران في الدائرة.

قوس الدائرة-الزوايا املركزية- � - �الزوايا احمليطية

A

B

O

C

A

BC

DO

A

B

D

O

E

F

��

المعطيات/

دائرة مركزها COB , O زاوية مركزية، CAB زاوية محيطية.


m ∠ COB = 2m ∠ CAB


نرسم AD قطرا للدائرة.

OA = OB ... أنصاف أقطار دائرة

m ∠ � = m ∠ 2 زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين

m ∠ � + m ∠ � + m ∠ 2 = ��00 ) مجموع زوايا مثلث(

m ∠� + 2m ∠2 =��00 ⇐ m ∠� بالتعويض عن

تعريف] � - �[

قياس قوس في دائرة هو قياس زاويته المركزية اي الزاوية التي يتحدد هذا القوس بضلعيها.

كما في الشكل المجاور .

m )AB( = m ∠ AOB

ووحدة قياس القوس تسمى درجة قوسية

m ∠ AOB = �00 :فإذا كان

فأن قياس قوسها AB يكون �0 درجة قوسية

وأن قياس القوس االكبر ACB هو ��0-�0

أي ��0 درجة قوسية.

A B

O

�0

A

B

C

O

D

1

3

24

قياس الزاوية المركزية في دائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها بالقوس نفسه.

مبرهنة/ �

C

�40

m ∠� = ��00 - 2 m ∠2 .......�

m ∠ BOD + m ∠ � = ��00 زاوية مستقيمة

m < BOD = ��00 - m ∠ �

m ∠ BOD = ��00 - )��00-2m ∠ 2( .... � من

m ∠ BOD= 2m ∠ 2........2

وبنفس الطريقة نثبت ان

m ∠ COD= 2m ∠4........�

بجمع المعادلتين 2 و �

m ∠BOD + m ∠ COD = 2 m ∠2 + 2 m ∠ 4

∴ m < COB = 2 m < CAB )و . هـ . م (

نتيجة � ملبرهنة � : قياس الزاوية المحيطية في دائرة يساوي نصف قياس قوسها

m ∠ N في الشكل المجاور: جد

احلل/

OA = OB انصاف اقطار دائرة ∵

m ∠ ABO = m ∠ BAO زاويتا قاعدة ∴

m ∠ ABO = 500مثلث متساوي الساقين ∵

m ∠AOB = ��00 - �000 زوايا مثلث ∴

m ∠ AOB = �00

m ∠ AOB = 2 m ∠ N .......)� مبرهنة(

m ∠ N = 800

2= 400

∴m ∠ N = 40

مثال ) �(

A B

N

O

50

�4�

:x في الشكل المجاور : جد قيمة

احلل/

m < COB = 2 m < A : � مبرهنة ∵

x + �00 = 2 x ∴

x = �00

نتيجة 2 ملبرهنة � : مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري = ��00


ABCD شكل رباعي دائري )مرسوم داخل دائرة( m ∠ A + m ∠ C = ��00

m ∠ B + m ∠ D = ��00

مثال ) 2( A

B

C

o

X

x+�0

في الشكل المجاور:تدريب:

AB = BC

m ∠ ABC = ��0

y جد قيمة

A

BC

O

D

y

��

A B

C

O

D

�42

في الشكل :

m ∠ A , m ∠ Dجداحلل/

ABCD شكل رباعي دائري

m ∠ D + m ∠B = ��00 ... � نتيجة 2 مبرهنة m ∠ D = ��00-�40

m ∠ D = ��0

m ∠� + m∠ ECD = ��00 ])متجاورتان على أستقامة واحدة )مستقيمة[

m ∠ � = ��00 - �000

m ∠ � = �00

m ∠A + m ∠� = ��00 )متقابلتان في شكل رباعي دائري(

m ∠A = ��00 - �0 m ∠A = �000

مثال ) �(

A

BC

O

D

E

��4 �00

في الشكل المجاور :تدريب:

.y , x جد قيمة O

A B

C

D

x+�0

2y

xy

�4�

المعطيات/

دائرة مركزها AB , O قطر فيها.

المطلوب اثباته/

m ∠ ACB = �00

البرهان/

AOB زاوية مركزية

m ∠ AOB = ��00 ........ ) زاوية مستقيمة الن AB قطر( .

m ∠AOB = 2 m < C ....... قياس الزاوية المركزية تساوي ضعف قياس المحيطية المشتركة

معها بنفس القوس

m ∠ C = 1800

2= 900

)و . هـ . م (

. Y قطر فيها، جد قيمة AB , O دائرة مركزهااحلل/

m ∠ C = �00 ..... �0 مبرهنة

m ∠ A + m ∠ B = ��00 - m ∠ C ....زوايا مثلث

m ∠ A + m ∠B = �00

y + 2 y = �00

�y = �00

y = �00

AB

C

O

مبرهنة/ �0

قياس الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة تساوي �00

مثال ) 4(

2y

y

O

A

C

B

�44

AD = DC أثبت أن AB = BC ،قطر فيها AB , Oفي الشكل دائرة مركزها

احلل /

المعطيات/


البرهان/

m ∠ � = �00 ...... ) مبرهنة �0 (

. ) D مثلثان قائما الزاوية في ( ....... BCD , ABD

AB = BC ............ معطى

CBD , ∆ ABD ∆ ...... متطابقان )وتر وضلع قائم(

من التطابق نحصل على: AD = DC .... تتساوى االجزاء المتناظرة في االشكال المتطابقة

مثال ) 5(

تترك للطالب}

A

B

C

o

2�

D

�45

س�/ جد قيمة Y , X في كل شكل من االشكال االتية :-

OD ∥ AC ، m∠ OAC = �0 قطر فيها AB ،)الشكل المجاور( O س2/ دائرة مركزها

m CD = m BD :ثم أثبت ان m CD جد

س�/ABC مثلث مرسوم داخل دائرة مركزها O. فاذا كان m ∠ BAC = �00 أثبت ان المثلث

OBC متساوي االضالع .

سOB , OA /4 نصفا قطرين في دائرة مركزها O ، رسم الوتر BD يوازي AO، فاذا كان

AD ⊥OB :أثبت ان m ∠ AOB = �00

س5/في الشكل المجاور

. m ∠ D جد ) a

. A ينصف زاوية AC أثبت ان ) b

� �

A

B D

CO

�0˚

C

4y

yx

O

B

A

BA

D

o�0˚20˚

C

D

BC

O

A

4x

x

y

�4�

المعطيات/

m CD = m AB


m ∠ COD = m ∠ AOB

البرهان/

m AB = m ∠ AOB ...... �

) قياس القوس هو قياس زاويته المركزية (

كذلك:

m CD = m ∠ COD ....2

�..... m CD = m AB معطاة

من )�( و )2( و )�( نحصل على:

m ∠AOB = m ∠ COD )و . هـ . م(

نتيجة مبرهنة ��:

اذا تطابق قوسان في دائرة فان زاويتيهما المحيطيتين متطابقتان.

دائرة مركزها AB , O قطر فيها m CD = m BD , m ∠ COD = 500 جد m ∠ DOB ثم OD // AC اثبت ان

المعطيات/المطلوب أثباته /

اذا تطابق قوسان في دائرة فان زاويتيهما المركزيتين متطابقتان

مبرهنة/��

مثال ) �(


o

A

BC

D

�4�

البرهان/

m CD = m BD معطى

m ∠ DOB = m ∠ COD..... ) �0 مبرهنة (

m ∠ DOB = 500

m ∠ COB = m ∠ COD + m ∠ DOB = �000

) قياس المركزية ضعف قياس المحيطية (

m ∠ CAB = 12

m ∠ COB

= 500 الزاويتان CAB , DOB متناظرتان ومتطابقتان

CA // DO ∴

سوف نقبل هذه المبرهنة بدون برهان.

توضيح:


AB وتر في دائرة مركزها MD , O قطر فيها

MD ⊥ AB بحيث ان

ينتج من ذلك:

)AC = BC( AB ينصف الوتر MD - �

m BD = m AD - 2

m MB = m AM - �

القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف الوتر وينصف كال من قوسيه.

مبرهنة/�2

A

B D

Co

50˚

o

AB

D

M

C

�4�

مثال ) 2(

مثال ) �(

تترك للطالب}o

N

BO جد AB = 8 cm , OD = 3 cm , AB ⊥ OD , O دائرة مركزها احلل/

AB ⊥ OD ..... )معطى(

D منتصف AB ...... ) مبرهنة �2 (

BD = 4 cm

D القائم الزاوية في OBD في المثلث

)OB(2 = )OD(2 + )BD(2.. ) مبرهنة فيثاغورس (

= � + �� = 25

BO = 5 cm

.O دائرتان متحدتان في المركز

BD = AC :أثبت ان BA ⊥ ON المعطيات/

المطلوب أثباته /

البرهان/

ON ⊥ CD في الدائرة الصغرى

CN = DN .... )�( �2 مبرهنة

AN = BN ....)2( :كذلك في الدائرة الكبرى

من )�( و )2( نحصل على:

AN - CN = BN - DN اذا طرحت كميات متساوية

من اخرى متساوية تبقى النتائج متساوية

AC = BD ∴

B D C A

B

O

AD 44

�

�4�

قطر الدائرة المار بمنتصف الوتر يكون عموديا على ذلك الوتر.

)عكس مبرهنة �2(مبرهنه/��

مالحظة BON , OAN يمكن أثبات المبرهنة من تطابق المثلثين

المعطيات/

.N في AB ينصف الوتر CD ،قطر فيها CD , O وتر في دائرة مركزها AB


CD ⊥ AB

البرهان/

نرسم OB , OA )نصفا قطرين(

OA = OB ....) نصفا قطرين في دائرة (

N منتصف AB ... ) معطى (

ON ⊥ AB ... )خواص مثلث متساوي الساقين (

CD ⊥ AB ∴

)و . هـ . م (

B

o

AN

D

C

�50


D , O وتر في دائرة مركزها AB

m ∠ OBD m < OBD = 300 , DO / /BC , AB منتصف

اثبت ان المثلث OBC متساوي االضالع

المعطيات/


البرهان/

D منتصف AB .... ) معطى (

AB ⊥ OD ..... ) مبرهنة �� (

D قائم الزاوية في OBD المثلث

m ∠ OBD = �00 ......) معطى (

m ∠ BOD = �00 .....)مجموع زوايا المثلث = ��00(

∵ BC // DO ....... ) معطى(

m ∠ OBC = m ∠ BOD ... ) متبادلة(

m ∠ OBC = �00

))OC = OB( زوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين ( ...... m ∠ OBC = m ∠ OCB

m ∠ COB = �00 .....)مجموع زوايا المثلث = ��00(

∴ المثلث BCO متساوي االضالع

مثال ) 4(


o

3060

AB

C

D

�5�

m ∠ BDC جد ، CA = BC = AB :فيها O س�/ في الشكل المجاور: دائرة مركزها

m∠ B , m ∠ C ، a س2/ في الشكل المجاور: �� = m BC = a , m AC جد :قيمة

OD س�/ في الشكل المجاور: جد

∠ BAC ينصف AO : برهن ان ،O وتران متطابقان في دائرة مركزها AC , AB /4س

� 2

⁀ ⁀

A

BC

OD

AB

C

O

a��

�2

AB

C

O

D �

�52

b, a س5 /في الشكل المجاور: جد

Y جد قيمة BC ∥ OA , BA ∥ CO :س�/ في الشكل المجاور

تلميح: أثبت ان OCBA معين ، ثم صل OB , هناك طريقة أخرى باكمال شكل رباعي دائري مع

. C , B , A النقط

y جد قيمة ، m ∠ D = 2y , m ∠ A = y + �0 :س�/ أنقل الشكل المجاور في دفترك حيث

. )4y 0( ثم أرسم في الشكل زاوية قياسها ،

A B

C

D

b

a �a

B

o

y˚ AC

�2

o

D

A

B

C

2y �

2y + �0

�5�

: O التي مركزها M الحظ في الشكل أعاله ان الدائرة

A في نقطة M مماسا للدائرة L� يسمى } A{ = M ∩ L� : بنقطة واحدة فقط L� تشترك مع - �

ولذلك فان:

أي مستقيم في مستوي الدائرة ويشترك معها بنقطة واحدة فقط يسمى مماسا للدائرة في تلك النقطة )نقطة التماس(.

C , B { = M ∩ L2 - 2 { يسمى L2 قاطع للدائرة.

� - �M ∩ L = ∅ , ال يمس وال يقطع الدائرة )خارج الدائرة( .

التـماس 4 - �

o

L� A

B

C

M

نقطة متاس

L�

)اليقطع والميس(

)قاطع(

)مماس(

L2

L�

�54

مع مالحظة ان المستقيم قد يمس اكثر من دائرة في نفس الوقت ويسمى في هذه الحالة مماسا مشتركا كما

في االشكال:

متاس دائرتني من الداخل

متاس دائرتني من اخلارج

مماس مشترك

تعريف ]�-�[

الزاوية المماسية: هي الزاوية المحددة بمماس الدائرة ووترها المرسوم من نقطة التماس من الجهة

االخرى .

زاوية ABD الزاوية تسمى للدائرة وتر BA , O مركزها التي للدائرة مماس L : الشكل في

مماسية.

عبارة اولية: قياس الزاوية المماسية في دائرة يساوي نصف قياس القوس المقابل للوتر الذي هو أحد

أضالع الزاوية المماسية .

⁀

A

B

C

D

O

L

m<ABD= 12

mABm ∠

�55

المعطيات/

.A يمس الدائرة في نقطة L المستقيم ،O دائرة مركزها المطلوب أثباته/

OA ⊥ L

العمل والبرهان/ AOB نرسم القطر

m ACB = ��00 .... )الن AB قطر في الدائرة (

=m ∠ BAD m<ABD....) عبارة اولية ( 12

mACB

m ∠ m< BAD =12

×1800 = 900

∴ OA ⊥ L )و . هـ . م (

.N في نقطة L ⊥ ON , O نرسم من L ⊥ OA برهان آخر: اذا لم يكن

. AN = NP بحيث ان .P على أستقامتها الى النقطة AN نمد

المثلثان OAN , ONP متطابقان. »ضلعان وزاوية محصورة بينهما«

من التطابق نحصل على:OA = OP ∵ للدائرة ∴ للدائرة

OA ⊥ L ∴ عبارة أولية:

� - من نقطة تنتمي للدائرة يمكن رسم مماس واحد فقط.

2 - المستقيم العمودي على مماس الدائرة من نقطة التماس يمر بمركز الدائرة.

⁀

المماس عمود على نصف القطر المرسوم من نقطة التماس.

مبرهنة/�4

A∈

P ∈

O

L

B

A

C

D

⁀

O

LA PN

�5�

في الدائرة التي مركزها O، )الشكل المجاور(

A مماس للدائرة في AB

. m ∠ AOB جد ∠ ABO = �5

احلل / ∵ AB مماس للدائرة في A ... معطى

. B يمس الدائرة في ، A قطر فيها ، يمس الدائرة في ، O دائرة مركزها

أثبت ان المعطيات/


البرهان/

كذلك :

من � ، 2 :

وهاتان الزاويتان داخليتان وعلى جهه واحدة من القاطع , ∴

من واحدة في جهة الواقعتان الداخليتان الزاويتان وكانت ثالث بمستقيم قطعا اذا مستقيمان )يتوازي

القاطع مجموعهما ��00( .

مثال ) 2(


ABDC//MN

مثال ) �(

m

o

A

B35˚

MNDC

DC//MN

AB

m < 1+m < 2=180o

A مماس للدائرة في MN ∵

AB ⊥ MN ....... مبرهنة ��∴

�.......

m < 1=90o ∴

m < 2=90o ∴2.......

AB ⊥ AO∴ m < OAB=90o

∴ m < OBA=35o

∴ m < AOB=90o-35o = 55o ��0 = مجموع زوايا مثلث

معطى∠ ∠ ∠

∠ ∠

∠ ∠

o2 �

C

AB

D

N

M

AB ⊥ MN ∴

157


، A مماس للدائرة في AB

m ∠ OAC = 5N , m ∠ CAB = N

احلل/

A مماس للدائرة في AB

OA ⊥ AB ∴

) m ∠ OAB = 90(

N + 5N = 90

6N = 90 ⇒ N = 15

m ∠ OAC = 5 × 15 = 75

∴ OA = OC ) انصاف اقطار الدائرة (

m ∠ OCA = 5N زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين

∴ m ∠ OCA = 5 × 15 = 75

m ∠ OCA + m ∠ OAC + m ∠ AOC = 180 .... ) مجموع زوايا المثلث (

75 + 75 + X = 180

∴ X = 180 - 150 = 30

مثال ) 3(

ox , N جد قيمة m ∠ AOC = xo

B

C

A •N

oX

5N

158

في الشكل :

BO , CO , AO : منصفات زوايا المثلث هي

التقت في O فتكون O مركز الدائرة التي

. ABC تمس اضالع المثلث

)كما درسنا ذلك في موضوع المثلث (

OR = OQ = OP اي ان

وكل منها يمثل نصف قطر للدائرة .

o

A

نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة التي تمس اضالع المثلث نتيجة مبرهنة 15 :

توضيح :

R

C

o

A

BQ

P

B

توضيح :

A في OA ⊥ AB

حيث OA نصف قطر لدائرة .

عند ذلك نحصل على ان :

. A مماس للدائرة قي AB

المستقيم العمودي على نصف قطر دائرة عند نهايته المنتميه للدائرة يكون مماسا للدائرة .

)عكس مبرهنة 14 ( .مبرهنة/15

سوف نقبل المبرهنة بدون برهان

�5�

المعطيات /

AC ، AB ، A دائرة مركزها O ، للدائرة ∌ ∋

. A قطعتان مماسيتان للدائرة من

المطلوب اثباته/

AB = AC

ABOC العمل والبرهان/ نكمل الشكل الرباعي

AO ونصل

∵ AC ، AB تمسان الدائرة في C ،B ...... )معطى (

∴ OC ⊥ AC , AB ⊥ OB ... ) نصف القطر عمودي على .... (

ACO ، ABO ∆∆ OA ضلع مشترك في

OC نصفا قطرين في دائرة ≅ OB

∴ يتطابق المثلثان القائما الزاوية )وتر وضلع قائم(

. AC = AB : من التطابق

القطعتان المماسيتان المرسومتان لدائرة من نقطة خارجة عنها متطابقتان .

مبرهنة/��

•

•

•

A

B

o

C

اذا رسم لدائرة من نقطة خارجة عنها قطعتان مماسيتان او )مماسان ( فانهما :

� - تقابالن زاويتين مركزيتين متساويتين .

2 - قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة عن الدائرة تنصف

الزاوية التي ضلعاها القطعتان المماسيتان .

� - قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة عنها عمودية وتنصف

قطعة المستقيم الواصلة بين نقطتي التماس .

نتيجة مبرهنة �� :

��0

. BC مماسات للدائرة, جد CA ، BC ، BD , O في الشكل المجاور : دائرة مركزها احلل /

BN = BD ....مماسان لدائرة من نقطة خارجة عنها

∵

) تقبل بدون برهان (


B مماس للدائرة في ، O دائرة مركزها

ABC ∠ زاوية مماسية ،

BDC ∠ زاوية محيطية تقابل وتر

الدائرة BC )ضلع للزاوية المماسية (.

m ∠ ABC = m ∠ BDC

مثال ) 4(

∴ BN=6 cm CN=CA∴ CN=4 cm BC=CN∴ BC=4+6=10 cm

قياس الزاوية المماسية في دائرة يساوي قياس الزاوية المحيطية المقابلة لوتر الدائرة

)ضلع الزاوية( من الجهة االخرى .

مبرهنة/��

•o

A

C

B

D

•

BA

•

•

•

•o

N

A

C B

D

� cm4 c

m

+ NB

��


m ∠ � , m ∠ 2 جد

احلل /

C تمس الدائرة في AB ∵

∴ )مبرهنة ��(

m ∠ 1 = 74

DE = CE ∵

∴ m ∠ � = m ∠ 2 ...... ) خواص مثلث متساوي الساقين (

m ∠ 2 = �4 ∴

)m ∠ � = ��0 -)m ∠ �+m ∠ 2 .... مجموع زوايا مثلث = ��0

m ∠ � = ��0 -�4�

m ∠ � = �2

مثال ) 5(

• O

ACB

D

E

�40

�

2

�

m ∠ � = m ∠ ACE

تدريب:

CD //AB : في الشكل المجاور

. x جد قيمة •

AB

D CO

x�x

��2

في الشكل المجاور

m ∠ ABN جداحلل/

m ∠ � = m ∠ N.... ) زاوية مماسية (

m ∠ � = 50 ∴

∵ CN = AN ... )معطى(

∴ � ∠ m ∠ 2 = m ... ) زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين (

∴ m ∠ N + m ∠ 2 + m ∠ � = ��0 .... ) زوايا مثلث (

m ∠ 2 بـ m ∠ � إبدال

50+ 2m ∠ 2 = ��0

2m ∠ 2 = ��0

m ∠ 2 = �5 ∴

: ABC في المثلث

� ∠ m ∠ 4 = ��0 - m ... ) زاوية مستقيمة(

m ∠ 4 = ��0 - �5 = ��5 ∴

m ∠ B = ��0 -)m ∠ �+m ∠ 4( ∴

m ∠ B = ��0 - ��5 = �5 ∴

مثال ) �(

•

••

N

A

50 o

B

CO

�

4

2

�

��

س�/ في الشكلين المجاورين جد قياسات الزوايا المرقمة : 2 ،�

س2/في الشكل المجاور : دائرتان متحدتان في المركز AB ، O وتر في الدائرة الكبرى ويمس الدائرة

AN = NB: اثبت ان N الصغرى في

س�/ ABC مثلث قائم الزاوية في C ، رسم AB ⊥ CD ، اثبت ان AC يمس الدائرة المارة برؤوس

.BCD المثلث

.ABC س4/ في الشكل المجاور : جد محيط المثلث

� �

AB

C

O�

2

AB

O

N

�0

O

AC

B

•

•2� 2

44

E

2cm

O

B A�.5cm

D

�

C

�.2c

m

F

166

املسافة في املستوي االحداثي 2 - 7 Distance in The Coordinate Plane

]1 - 2 - 7[ يمكن ان نجد المسافة بين نقطتين على مستقيم افقي )يوازي محور السينات( او مستقيم عمودي ) يوازي محور الصادات(

باستخدام المسطرة او كما درست سابقا:

B ) x2 , y1 ( , A ) x1 , y 1 ( تنتميان لمستقيم معلوم يوازي محور السينات حيث A , B اذا كانت*

فان البعد بين النقطتين A , B كما في الشكل )1( .

AB = | x2 - x1 | او AB = | x1 - x2 | : هو

* اذا كانت A , B تنتميان لمستقيم معلوم يوازي محور

الصادات حيث ) B = )x 1 , y2( , A = )x1 , y1 فان

البعد بين النقطتين A , B كما في الشكل )2( .

AB = | y1 - y2 | او AB = | y2 - y1 | : هو

B = )-2 , 3( , A = )5 , 3 ( فمثال : اذا كان

AB = | x2 - x1 | = | -2 - 5 | = | -7 |= 7

A = )5 , -3( , B = )5 , 8 (

AB = | y2 - y1 | = | 8 - )-3( | = | 11 | = 11

واالن : اذا كانت النقطتان A , B التنتميان الى مستقيم يوازي محور السينات وال الى مستقيم يوازي

محور الصادات . فكيف نجد المسافة بين النقطتين A , B ؟

y

x- axis

{y1

| x2 - x1 |y = y1

A ) x1 , y1 ( B ) x2 , y1 (

)1(

x

A ) x1 , y1 (

{ x1

| y2 - y1 |

x = x1

y

)2(

x

B ) x1 , y2 (

فأن :

اذا كانفأن :

��

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2d

لتكن : ) B )x2 , y2 ( , A )x� , y 1 تنتميان الى المستوي االحداثي

من الشكل : المثلث AEB قائم الزاوية في E . نجد ان :

AE = | x2 - x� | , BE = | y2 - y� |

وحسب مبرهنة فثاغورس :

)AB( 2 = )AE (2 + )BE(2

وبالتعويض عن BE , AE نجد

)AB( 2 = )| x2 - x� |(2 + )| y2 - y�| ( 2

)AB( 2 = )x2 - x�(2 + )y2 - y� ( 2

= AB = )x2 - x�(2 + )y2 - y�( 2

|x |2= x2 حيث

في هذه المرحلة سنذكر بعض تطبيقات القانون :

اوال: اثبات ان نقط مثل A , B , C على استقامة واحدة .

الطريقة :

نثبت النقط المعطاة في المستوي االحداثي .

نجد المسافة بين كل نقطتين ثم نبسط الناتج .

فاذا كان الكل يساوي مجموع االجزاء فان النقط على استقامة واحدة .

]2 - 2 - �[ قانون المسافة بين النقطتين في المستوي االحداثي

y

A ) x� , y� (

| x2 - x� |

B ) x2 , y2 (

X

E

| y2 - y� |

]� - 2 - �[ بعض تطبيقات قانون المسافة بين نقطتين

��

بين ان النقاط على استقامة واحدة

احلل/

AB= 0+3( )2 + 1+2( )2

= 3( )2 + 3( )2

AB= 9+9 = 18 = 3 2

BC= 3-0( )2 + 4-1( )2

= 3( )2 + 3( )2

BC=3 2 AC= 3+3( )2 + 4+2( )2

= 6( )2 + 6( )2

= 36+36 = 72

AC=6 2

6 2 = 3 2 + 3 2

AC=AB+BC اي

اذن: A , B , C نقط تقع على استقامة واحدة

مثال )�( A= -3,-2( ) ,B= 0,1( ) ,C= 3,4( )

B ) 0 , � (X

C ) � , 4 (

A ) -� , -2 (

y d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = )x2 - x�(2 + )y2 - y�( 2

��

A تقع على خط مستقيم واحد -2,-1( ) ,B -1,0( ) ,C 2,3( ) ,D 4,5( ) اثبت ان النقط :

احلل /

AB= -1+2( )2 + 0+1( )2= 1 + 1 = 2

BC= 2+1( )2 + 3-0( )2= 9 + 9 = 3 2

DC= 4-2( )2 + 5-3( )2= 4 + 4 = 2 2

AD واالن نجد طول

AD= 4+2( )2 + 5+1( )2= 36 + 36 = 6 2

6 2 = 2 + 3 2 + 2 2 الحظ ان :

AD = AB + BC + CD : اي

اذن : النقط A , B , C , D تقع على مستقيم واحد

مثال )2(

y

AB

C

X

D

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = )x2 - x�(2 + )y2 - y�( 2

��0

ثانيا :

نوع المثلث من حيث اطوال اضالعه :

فهو اما متساوي االضالع او متساوي الساقين او مختلف االضالع .

A ) 2 , 4 ( , B )-4 , 2 ( , C) -� , -2 ( من حيث اضالعه حيث A B C بين نوع المثلث

احلل /

AB ≠ AC ≠ BC الحظ ان :

∴ المثلث مختلف االضالع

مثال )�(

AB= 2+4( )2 + 4-2( )2= 36 + 4 = 2 10

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45

y

A ) 2 , 4(

X

C ) -� , -2(

B ) -4 , 2(

BC= 2+1( )2 + 3-0( )2= 9 + 9 = 3 25

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = )x2 - x�(2 + )y2 - y�( 2

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45−

16 25 = 5

AB = ( - 4 - 2 )2 + ( 2 - 4) 2

171

بين ان المثلث الذي رؤوسه A (3 ،-4 ) , B (5 ، -2 ) , C ( 5 ،-6 ) متساوي الساقين

احلل /

Q AB=AC ∵

∴ المثلث ABC متساوي الساقين

ثالثا :

أختبار المثلث القائم الزاوية نجد اطول اضالعه ، فاذا تحققت مبرهنة فيثاغورس فان المثلث قائم الزاوية

بين ان المثلث الذي رؤوسه A (-2 , -2 ) , B (3 ,4 ) , C ( 3 , -2) قائم الزاوية .

احلل /

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

مثال (4)

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

AB= 5-3( )2 + -2+4( )2= 4 + 4 = 2 2

AB= 5-3( )2 + -2+4( )2= 4 + 4 = 2 2

BC= 5-5( )2 + -6+2( )2= 0 + 16 = 4

BC= 5-5( )2 + -6+2( )2= 0 + 16 = 4

AC= 5-3( )2 + -6+4( )2= 4 + 4 = 2 2

AC= 5-3( )2 + -6+4( )2= 4 + 4 = 2 2

y

c ( 5 , -6)

X

B ( 5 , -2)

A ( 3 , -4)

مثال (5)

AB= 3+2( )2 + 4+2( )2= 25 + 36 = 61

��2

الحظ ان :

AB( )2 = AC( )2 + BC( )2 اي :

. C قائم الزاوية في ABC المثلث ∴

رابعا : تطبيقات أخرى

بين ان النقط : )A )-2 , �( ، B )-� , 4( ،C )2 , -�( ، D)� ,-2 رؤوس متوازي اضالع

.ABCDاجلل /

∴AB=DC

∴

∴ الشكل ABCD متوازي اضالع

AC= 3+2( )2 + -2+2( )2= 25 + 0 = 25

AC= 3+2( )2 + -2+2( )2= 25 + 0 = 25

BC= 3-3( )2 + -2-4( )2= 0 + 36 = 36

BC= 3-3( )2 + -2-4( )2= 0 + 36 = 36

y

X

B ) � , 4(

A ) -2 , -2( c )� , -2( 61( )2

= 25( )2

+ 36( )2

مثال )�(

AB= -1+2( )2 + 4-3( )2= 1 + 1 = 2

AB= -1+2( )2 + 4-3( )2= 1 + 1 = 2

DC= 1-2( )2 + -2+1( )2= 1 + 1 = 2

DC= 1-2( )2 + -2+1( )2= 1 + 1 = 2

y

X

B

A

D

C

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

AD= 1+2( )2 + -2-3( )2= 9 + 25 = 34

BC= 2+1( )2 + -1-4( )2= 9 + 25 = 34

61 = 25 + 36

AD=BC

��4

لتكن ) B ) 5 , � ( ،A ) � , -5 جد C منتصف .

احلل/

)Mid Point( نقطة المنتصف

. B فجد احداثي النقطة A ) -� , -2 ( اذا كانت منتصف وكانت

احلل/

C= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

32

, -12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

-1+x2

2, -2+y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒

32

= -1+x2

2⇒ -2+2x2 =6 ⇒ 2x2 =8 ⇒ x2 =4

-12

= -2+y2

2⇒ -4+2y2 =-2 ⇒ 2y2 =2 ⇒ y2 =1

∴ B = ) 4 , � (

مثال )�(

مثال )2(

C =32

, -12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟AB

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =3+5

2, -5+1

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =82

, -42

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C = 4,-2( )

AB

��5

بين ان النقط )A )-2 , � ( ، B ) -� , 4 ( ، C ) 2 , -� ( ، D ) � ,- 2 رؤوس متوازي

االضالع ABCD باستخدام قانون المنتصف.

احلل/

نجد منتصف القطر

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = -2+32

,3+ -1( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = -2+32

,3+ -1( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = 0,1( )

BD نجد منتصف القطر

M2 = -1+12

,4+ -2( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M2 0,1( )

M1 الشكل ABCD متوازي اضالع الن قطريه احدهما ينصف االخر. = M2 ∴

مثال )�(

AC

y

X

B

A

D

C

��

ABCD اذا كان الشكل D جد احداثيي النقطة A ) 4 , 0 ( ، B ) � , -� ( ، C )-� , 0( لتكن

هو متوازي اضالع . احلل /

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

AC نجد منتصف القطر

M1 =

4+ -8( )2

, 0+02

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = −2, 0( )

BD نجد منتصف القطر

M2 = x+62

, y-62

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

قطرا متوازي االضالع احدهما ينصف االخر

∴ M2 = M1 اي :

x+6

2=-2 ⇒ x+6=-4

x=-10

y-62

=-2 ⇒ y-6=0

y=6

∴ D = −10,6( )

مثال )4(

y-62

=-2 ⇒ y-6=0

A ) 4 , 0 (

D ) X , y (

c ) -� , 0 (

B )� , -� (

y

X

��

س�/ بين ان النقاط : )A)-2,-2( ، B ) 2 , � ( ، C ) � , 4 تقع على استقامة واحدة .

س2/ هل النقط االتية تقع على استقامة واحدة: ) � , A ) � , � ( ، B ) 0 , 0 ( ، C ) 0 ؟

س�/ دائرة مركزها النقطة )� , �( O والنقطة ) A )-� , -4 تنتمي لها جد طول قطر هذه الدائرة.

س4/ بين نوع المثلث الذي رؤوسه ) A ) 2 ,-2( ، B ) 2 , � ( ، C ) � , 4 »متساوي الساقين

متساوي االضالع ، مختلف االضالع « .

س5/ بين ان المثلث الذي رؤوسه )� , �- A ) 2 , -� ( ، B ) 2 , � ( ، C ) قائم الزاوية ثم جد

مساحة المنطقة المثلثة .

س�/

A ) -� , 5 ( ، B ) 2 , � ( , C) � , �( ،D )-4 , � ( بين بطريقتين ان الشكل الذي رؤوسه

متوازي اضالع .

س�/

D جد احداثي الرأس الرابع A)� , 0( ، B)5 , 0( ، C)� , �( متوازي اضالع رؤوسه ABCD

س�/

مثلث ABC رؤوسه )A)�,4( ، B)-2,�( ، C)0,-4 تحقق من ان طول القطعة المستقيمة

الواصلة بين منتصفي ضلعين فيه يساوي نصف طول الضلع الثالث.

س�/

ABC مثلث حيث )�-,�-A)0,�0( ، B)�,�( ، C) تحقق من ان طول القطعة

المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر يساوي نصف طول الوتر.

� �

]1-8[ التحويالت الهندسية .

]2-8[ اآلنعكاس

]1-2-8[ اآلنعكاس على مستقيم في المستوي

]2-2-8[ اإلنعكاس على المستوي اإلحداثي

]3-8[ اآلنسحاب على المستوي اإلحداثي

]4-8[ الدوران

]1-4-8[ الدوران على مستو حول نقطة

]5-8[ التكبير

]6-8[ المجموعات المتناسبة

]7-8[ التشابه

التحويالت الهندسية


Rx االنعكاس حول احملور السيني

Ry االنعكاس حول احملور الصادي

R90 90 الدوران حول

D التكبير

8 الفصل الثامن

Tاالنسحاب

التحويالت الهندسية

التحويالت الهندسية الفصل

� مقدمة

مثلث متطابق الضلعينمحور التناظر

التحويالت الهندسية هي احد فروع الهندسة الذي يدرس تطابق

االشكال الهندسية، حيث يقال لشكلين هندسيين متطابقان

اذا انطبقت كل نقطة من نقاطهما على االخر وهذا التطابق

نالحظه بما في الطبيعة من اجسام متحركة او جامدة فمثال

ينطبق جناحا الفراشة احدهما على االخر وكذلك الكتاب

تتطابق

اوراقه وان جسم االنسان ينقسم الى نصفين متناظرين بوساطة محور نسميه محور التناظر وعند وقوفك

امام مرآة مستوية تشاهد صورتك نفسها تماما في المرآة . وان خط المرآة بمثابة محور التناظر ومن

خالل االشكال التالية نالحظ محور التناظر لكل شكل هندسي.

ان هذا التحويل الذي ينقل كل نقطة في المستوي الى نقطة اخرى في المستوي نفسه يسمى بالتحويل

الهندسي . ومن أمثلته االنعكاس )Reflection( , واالنسحاب )Transltion( وسنتطرق في هذا

الفصل إلى تحويالت هندسية اخرى كالدوران والتكبير .

� - �

المعين

��0

نفرض أن L مستقيم في المستوي x وأن التطبيق R , حيث

) a ∉ L( L ال تنتمي للمستقيم a والنقطة R : x x

فاذا كان R تطبيق تقابل. فان R تحويل هندسي يسمى آنعكاسا

على L ونرمز له بالرمز RL ويسمى L أيضا محور اآلنعكاس.

من الشكل أن RL يحول النقط من المستوي الواقعة في إحدى

جهتي المستقيم L الى الجهة األخرى منه بينما النقاط الواقعة

. a a هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة L عليه تبقى في موضعها . ويكون

p� )� , 5 (في المستوى اإلحداثي المتعامد تكون صورة النقطة

بالنسبة لمحور التناظر x : axis( x (هي ) p2 )� , -5 .بعد

النقطة �p بالنسبة لمحور x يساوي بعد النقطة p2 بالنسبة

لمحور x . وبصورة عامة يمكن إستنتاج القاعدة التالية:

Rx ]) x , y ([ = ) x , -y (

حيثRx يسمى آنعكاسا بالنسبة لمحور السينات x : axis( x ( حيث) y = 0 ( . ومن الشكل أيضا

. p� )-� , 5 ( هي ) y : axis( y بالنسبة لمحور الصادات p� )� , 5 (الحظ صورة النقطة

كما تالحظ أيضا أن بعد النقطة P بالنسبة عن محور الصادات يساوي بعد النقطة �P عن محور الصادات

وهذا يسهل أستنتاج القاعدة التالية .

Ry ]) x , y ([ = ) -x , y (

. ) x = 0 ( حيث ) y : axis( y يسمى آنعكاسا بالنسبة لمحور الصادات Ry حيث

� - 2 Reflection االنعكاس

]� - 2 - �[ االنعكاس على مستقيم في المستوي :

]2 - 2 - �[ االنعكاس على المستوى االحداثي :

x

y p� ) � , 5 (

p2 ) � , -5 (

p� ) -� , 5 (

a a

L

��

مثال )�( اذا كانت ) p )� , -4 . فجد:

�( صورة آنعكاسا النقطة P بالنسبة لمحور السينات.

2( صورة آنعكاس النقطة P بالنسبة لمحور الصادات.

احلل/

Rx ]) x , y ([ = ) x , -y ( حسب القاعدة )�

⇒ Rx ]) � , -4 ([ = ) � , -)-4(( = )� , 4 (

2( حسب القاعدة

Ry ]) x , y ([ = ) -x , y (

⇒ Ry ]) � , -4 ([ = ) -� , -4 (

ABC فجد صورة املثلث C ) 0 , -� ( , B ) 5 , 0 ( , A ) � , 2 ( اذا كانت �( باالنعكاس في محور السينات ومثله هندسيا .2( باالنعكاس في محور الصادات ومثله هندسيا .

احلل / انعكاس في محور الصادات انعكاس في محور السينات

A = Rx ]) � , 2 ([ = ) � , -2( A = Ry ]) � , 2 ([ = ) -� , 2(

B = Rx ]) 5 , 0 ([ = ) 5 , 0 ( B = Ry ]) 5 , 0 ([ = ) -5 , 0(

C = Rx ]) 0 , -� ([ = ) 0 , � ( C = Ry ]) 0 , -� ([ = ) 0 , -� (

x

y

A

A

BB

C

C

مثال )2(

A

��2

جد صورة املستقيم الذي معادلته � = 2x - �y حتت تأثير آنعكاس � ( بالنسبة حملور السينات ومثله هندسيا .2 ( بالنسبة حملور الصادات ومثله هندسيا .

احلل / جند نقطتني على املستقيم بوضع x = 0

⇒ 2)0( - �y = � نعوضها في معادلة املستقيم

⇒ - �y = �

⇒ y = 6-3

= ⇒ y = -2

⇒ 2x - �)0( = � في معادلة املستقيم y = 0 نعوض

⇒ 2x = �

∴ النقطتان هما )0 , � ( ، )2- , 0 ( 2x - �y = � ميثل املستقيم L� ∴

�( Rx ]) 0 , -2 ([ = ) 0 , 2 (

Rx ]) � , 0 ([ = ) � ,0 (

2( Ry ]) 0 , -2 ([ = ) 0 , -2 (

Ry ]) � , 0 ([ = ) -� ,0 (

جد صورة الشكل الرباعي ABCD حتت تأثير االنعكاس في محور الصادات عندما يكون) � , � A ) � , � ( , B ) 4 , � ( , C ) 4 , � ( , D ) ومثله هندسيا.

Ry ]) � , � ([ = ) -� , � ( / احلل

Ry ]) 4 , � ([ = ) -4 , � (

Ry ]) 4 , � ([ = ) -4 , � (

Ry ]) � , � ([ = ) -� , � (

⎤

⎦⎥ ⇒ L2

⎤

⎦⎥ ⇒ L3

مثال )�(

مثال )4(

⇒ x = 62

= ⇒ x = 3 y

x

L�

L2

L�

y

x

D

A B

CD

AB

C

��

تعريف ]�-�[

هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة P في المستوي الى p بحيث

P P = مسافة معينة ، P P باتجاه معلوم .

فأن : � ( باالتجاه الموجب لمحور السينات

T ) x , y ( = ) x + a , y (

2( باالتجاه السالب لمحور السينات

T ) x , y ( = ) x - a , y (

� - � Traslation االنسحاب

]� - � - �[ االنسحاب على المستوي االحداثي :

: a تحت تاثير انسحاب مسافة معينة ) x , y ( 2 - � - �[ صورة النقطة[

�( باالجتاه املوجب حملور الصاداتT) x , y ( = ) x , y + a (

�( باالجتاه السالب حملور الصادات T) x , y ( = ) x , y - a (

اذا كانت النقطة )� , 2- ( فأوجد صورة النقطة حتت تأثير أنسحاب مقداره )5 ( وحدات .a( باالجتاه املوجب حملور السينات . b( باالجتاه السالب حملور السينات .c( باالجتاه املوجب حملور الصادات . d( باالجتاه السالب حملور الصادات .

a = 5 )a / احلل T ) x , y ( = ) x + a , y (

T )-2 , � ( = )-2 + 5 , � ( = ) � , � (

مثال )�(

��4

b( T ) x , y ( = ) x - a , y ( T )-2 , � ( = ) -2 -5 , � ( =)-�,�(

c( T ) x , y ( = ) x , y + a ( T)-2 , � ( = )-2 , � + 5 ( = )-2 , � ( d( T) x , y ( = ) x , y - a (

T)-2 , � ( = )-2 , � -5 ( = )-2,-2(

تعريف

تعريف ]2-�[

a الى نفسها ويحول اي نقطة اخرى مثل O الدوران في مستو هو تحويل هندسي يحول النقطة

aʹ حيث الزاوية θ تقرا ثيتا . الى النقطة

االنسحاب يحافظ على : مالحظة

االستقامة والبينية وقياس الزاوية والتوازي .

� - 4 Rotation الدوران

� - 4 - �[ الدوران على المستوي االحداثي :

��5

وان :

∗ الدوران �0 حول نقطة االصل .

. R �0 ) x , y ( = ) y , -x ( دوران باتجاه عقارب الساعة )�

R �0 ) x , y ( = ) -y , x ( دوران باتجاه عكس عقارب الساعة )2

∗ الدوران ��0 حول نقطة االصل ) نصف دورة ( .

R ��0 ) x , y ( = ) -x , -y ( دوران باتجاه عقارب الساعة )�

R ��0 ) x , y ( = ) -x , -y ( دوران باتجاه عكس عقارب الساعة )2

∗ الدوران 2�0 حول نقطة االصل .

R 2�0 ) x , y ( = )- y , x ( دوران باتجاه عقارب الساعة )�

R 2�0 ) x , y ( = ) y , -x ( دوران باتجاه عكس عقارب الساعة )2

اذا كانت النقطة )� , 2-( فجد صورة النقطة.

�( تحت تأثير دوران بزاوية قياسها �0، مركزه نقطة االصل.

a( باتجاه عكس عقارب الساعة . b( باتجاه عقارب الساعة .

a( R �0 ) x , y ( = ) -y , x ( /احلل ∴ R �0 )-2 , � ( = )-� , - 2

b( R �0 ) x , y ( = ) y , - x (

∴ R �0 )-2 , � ( = )� , 2 (

مثال

(

186

2( تحت تأثير دوران بزاوية قياسها 180o ، مركزه نقطة االصل.

باتجاه عكس عقارب الساعة احلل /

b) R 180 ) x , y ) = ) -x , -y )

∴ R 180 )-2 , 1 ) = )2 , - 1 )

3( تحت تأثير دوران بزاوية قياسها 270o ، مركزه نقطة االصل.

باتجاه عكس عقارب الساعة

b) R 270 ) x , y ) = ) y , -x ) /احلل

∴ R 270 )-2 , 1 ) = )1 , 2 )

اخرى نقطة اي ويحول نفسها الى O النقطة يحول وهو K ومعامله O مركزه هندسي تحويل هو

, P )x1 , y 1) . الى p )x , y ) مثل

اذا كان التكبير للنقطة ( p )x , y ، مركزه O نقطة االصل ،معامله K فان

D [P ) x ,y )] = ) Kx , Ky )

بعض خواص الدوران: مالحظة

يحافظ على االستقامة و البينية وقياس الزوايا والتوازي.

8 - 5 Dilatation التكبير

OP = KOP

187

جد صورة ) p (3 ,4 حتت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله 2 . احلل/

p (3 , 4 ( K = 2

∵ D [P ( x , y (] = ( Kx , Ky (

∴ D [P ( 3 , 4 (] = (( 2 ( (3( , (2((4( ( = (6 , 8 (

جد صورة ) p (-2 , 3 حتت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله 3 . احلل/

p (-2 , 3 ( K =3

∵ D [P ( x , y (] = ( Kx , Ky (

∴ D [P ( -2 , 3 (] = ((3 ( (-2( , (3((3( ( = ( -6 , 9 (

1) يحافظ على االستقامة.

2) يحافظ على البينية.

3) يحافظ على نسب األبعاد.

4) يحافظ على قياس الزوايا.

مثال )1)

مثال ) 2)

1 - 5 - 8] خواص التكبير :

188

جد صورة ∆ ABC تحت تأثير تكبير معامله 2 ومركزه نقطة االصل.

. A ( 0 , 0 ) , B ( 4 , 0 ) , C ( 4 , 3 ) حيث احلل/

مثال (3)

y

xA = A B B

C

C

K = 2D(0, 0) = (2(0), 2(0)) = (0, 0) = ʹAD(4, 0) = (2(4), 2(0)) = (8, 0) = ʹBD(4, 3) = (2(4), 2(3)) = (8, 6) = ʹC

��

. p) 5 , -�( جد صورة النقطة )�

a( تحت تأثير انعكاس على محور السينات .

b( تحت تأثير انعكاس على محور الصادات.

c( انسحاب مقداره )�( وحدات باالتجاه الموجب لمحور السينات .

d( انسحاب مقداره )2( وحدات باالتجاه السالب لمحور الصادات .

2( جد صورة ∆ ABC تحت تأثير االنعكاس في محور السينات

C )4 , 5( , B ) � , 4 ( , A ) � , 2 ( حيث

�( جد صورة المستقيم x - y - 4 = 0 تحت تأثير :

a( االنعكاس على محور السينات .

b( االنعكاس على محور الصادات .

� �

��0

4( جد صورة النقطة ) �- , 2 ( تحت تأثير :

a( دوران بزاوية �0 باتجاه عكس عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

b( دوران بزاوية �0 باتجاه عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

c( تحت تأثير دوران بزاوية ��0 باتجاه عكس عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

d( تحت تأثير دوران بزاوية ��0 باتجاه عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

. C)� , 4 ( , B )-� , � ( , A) - 2 , �( جد صورة انسحاب المثلث الذي رؤوسه )5

مسافة قدرها )5( وحدات باالتجاه الموجب لمحور السينات .

�( جد صورة النقطة )�, 4-( p تحت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله )2(.

o مركزه ABC جد صورة المثلث C ) 0 , � ( , B ) 2 , � ( , A ) -� , �( اذا كانت )�

ومعامل تكبيره :

a( k = 2

b( k = -2

c ( k = 12

191

اذا كانت المجموعتان y = { c , d } , x = { a , b } مجموعتين متقابلتين فيقال للمجموعتين

المتقابلتين متناسبتان اذا كان

بين اي المجموعات متناسبة . { 4 , 2 } , { 2 , 1 } )1

2( { 3 , 6 } , { 4 , 2 }

3( { 3 , 4 , 5 } , { 6 , 8 , 10 }

احلل / متناسبة )1

غير متناسبة )2

متناسبة

املجموعات املتناسبة 6 - 8

مثال

ac

= bd

12

= 12

34

≠ 62

36

= 48

= 510

⇒12

= 12

= 12

3(

24

��2

ان مصطلح التشابه مفهوم لدى الغالبية العظمى من الناس حتى البعيدين منهم عن مادة الرياضيات .

وفي موضوع االشكال الهندسية : -

يقال لشكلين هندسيين انهما متشابهان اذا كانت زواياهما متساوية وتناسبت اطوال اضالعهما المتناظرة

)التي تقابل الزوايا المتساوية( . مثال

المستطيل A ال يشابه المستطيل B بالرغم من ان زواياهما متساوية .

وسوف نقتصر في دراستنا على المثلثات المتشابهة فقط في الشكل :-

DEF ,ABCm ∠CAB = m ∠FDE

m ∠ABC = m ∠DEF

m ∠ACB = m ∠DFE

ABDE

=BCDF

=ACDF

�(

2(

التشابه � - �

A

B C

D

E F

�cm

2cm�cm

2cmA B

△△ DEFمتشابهان ,ABCm ∠CAB = m ∠FDE

m ∠ABC = m ∠DEF

m ∠ACB = m ∠DFE

ABDE

=BCDF

=ACDF

193

اذا كان املثلث OBC تكبير للمثلث OEF بتكبير معامله 3 ومركزه نقطة االصل .

حيث F(3 , 3) ، E(3 , 0) ، O(0 , 0 ) ، بني هل اضالعهما متناسبة ؟ احلل/

FE = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

FE = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

+FE = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

OF = (3− 0)2 + (3− 0)2

= 9 + 9 = 18 = 3 2

OC = (9 − 0)2 + (9 − 0)2

= 81+ 81 = 2(81) = 9 2

OBOE

=BCEF

=OCOF

93=

93=

9 23 2

∴ االضالع متناسبة .

مثال (1)

y

xO(0 , 0)

C(9 , 9)

E(3 , 0) B(9 , 0)

F(3 , 3)

FE = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

FE = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

D(0, 0) = (3(0), 3(0)) = (0, 0)D(3, 0) = (3(3), 3(0)) = (9, 0)D(3, 3) = (3(3), 3(3)) = (9, 9)

��4

اذا رسم مستقيم يوازي ضلعا في مثلث ويقطع ضلعيه االخرين فان املثلث الناجت مشابه للمثلث االصلي.

مبرهنة/ � لالطالع

المعطيات/ في املثلث ABC ، املستقيم MN يقطع ضلعيه AC , AB في M , N على

MNs ruu

/ /BC N , M ، الترتيب

ABC يشابه املثلث AMN المطلوب أثباته/ ان املثلث

A بحيث البرهان/ أفرض تكبير مركزه

C → N , B → M

AB MNs ruu

∴

C → N , B → M

AB MNs ruu

∴

C → N , B → M

AB MNs ruu

∴

BC صورة MNs ruu

∴ ∴ زوايا املثلث املتناظره متساويه بالقياسات

ألن التكبير يحافظ على قياس الزوايا .

= معامل التكبير AMAB

=ANAC

=MNBC

=AMAB

=ANAC

=MNBC

=AMAB

=ANAC

=MNBC

كذلك

∴ املثلثان متشابهان

يتشابه املثلثان اذا تساوت قياسات زواياهما.

مبرهنة/ 2 لالطالع

المعطيات/ املثلثان A B C , ABC فيهما

ʹA ʹB ʹC المطلوب أثباته/ املثلثABC يشابه املثلث

A

C B

NM

NM

A

CB

B C

A m ∠ A = m ∠ ʹAm ∠ B = m ∠ ʹBm ∠ C = m ∠ ʹC

��5

البرهان/

BC ∥ MN وليكن ، A B = AM بحيث AB نقطة تنتمي الى M لتكن

∴ ∆ ABC يشابه ∆ AMN ..... ]مبرهنة �[

لكن ∆ AMN يشابه ∆ A B C ...... )ألن المثلثين متطابقان(

∴ ∆ ABC يشابه ∆ A B C ) و . هـ . م (

اذا كان :

A B C ∆ يشابه ABC ∆ فان

∆ ABC و ∆ A B C فيهما

A B C ∆ يشابه ABC ∆ ∴

يتشابه المثلثان اذا تناسبت أطوال اضالعهما .


مبرهنة/�

يتشابه مثلثان اذا طابقت زاوية في مثلث نظيرتها في مثلث اخر وكان طوال الضلعين المحيطين بها متناسبين مع طولي الضلعين المحيطين بنظيرتها .


مبرهنة/4

A

B C

A

CB

A

B C

A

CB

ABʹA ʹB

= ACʹA ʹC =

BCʹB ʹC

m ∠ A = m ∠ ʹAABʹA ʹB

= ACʹA ʹC

��

والجزء )�( من المبرهنة يعرف بإسم مبرهنة فيثاغورس،

ونص هذه المبرهنة:

]مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين في المثلث القائم

الزاوية يساوي مربع طول الوتر[.

اذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في A و AM ⊥ BC فان


مبرهنة/5

)AB( 2 = BC . BM

)AC( 2 = BC . CM

)BC (2 = )AB(2 + ) AC( 2

في المثلث ABC اذا كان : فان C ∠ قائمة .


مبرهنة/� ) عكس مبرهنة فيثاغورس (

)AB( 2 = )AC(2 + ) BC(2

B

A

C

A

BC M

197

في الشكل جد AC ، AB في ∆ ABC حسب األطوال المبينة على الشكل.

احلل/

. AB = 3cm , BC = 4cm , AC = 5cm في المثلث

هل المثلث قائم الزاوية ولماذا؟

احلل/

(BC)2 = (4) 2 = 16 cm

(AB)2 = (3) 2 = 9 cm

(AC)2 = (5) 2 = 25 cm

. B املثلث قائم الزاوية في ∴

مثال (2)

AB( )2= AE( )2

+ EB( )2

AB( )2= 8( )2

+ 15( )2

AB( )2= 64+225

AB( )2= 289

AB =17

(AB) 2 = (AE)2 + ( EB)2

AB = 17 cm

AC( )2= AE( )2

+ EC( )2

AC( )2= 64+ 36

AC( )2=100

AC =10

(AC) 2 = (AE)2 + ( EC)2

AC = 10 cm

مثال (3) , ABC

(AC) 2 = (BC)2 + ( AB)2

25 = 16 + 9

25 = 25

A

BC E

8cm

15cm6cm

B

A

C

3

4

5

��

� 2

س� /

m ∠ A = �0 ، m ∠ B = 40 حيث ان , DEF يشابه المثلث ABC اذا كان المثلث

. C جد �( قياس زاوية

. E 2( قياس زاوية

س2/

. x جد قيمة AC = ��cm و BC = �0cm في الشكل :- اذا كان

س� /

N ∈AC , E ∈AB اذا كان المثلثان ABC و AEN متشابهين وفيهما النقطة

. AN = 5cm , NC = �cm , EB = 2cm , EN = �cm

. AB )� جد

. BC )2

C

A

B �0cm

5cm

�cm

xD E

��

الفصل التاسع9

]�-�[ المثلثات .

]2-�[ النسب المثلثية .

]�-�[ النسب المثلثية للزوايا الخاصة .

مقابل ال

الوتر

جاورامل

A

B

C

θ

sin

2 θ +

cos 2 θ

= 1


sin θ جيب الزاوية

cos θ جيب متام الزاوية

tan θ ظل الزاوية

حساب املثلثاتTrigonometry

مقدمة

سبق ان تعرفت على المثلث وعناصره حيث يتكون من ثالث زوايا يسمى بانواعها:

❈ مثلث حاد الزوايا )جميع زواياه حادة اي اقل من �0( .

❈ مثلث قائم الزواية )يحتوي على زاوية قائمة = �0(.

❈ مثلث منفرج الزاوية ) احدى زواياه منفرجة اي اكبر من �0( .

وثالثة اضالع يسمى بانواعها :

- مثلث متساوي االضالع . - مثلث متساوي الساقين . - مثلث مختلف االضالع .

وهناك عالقات مهمة بين زوايا المثلث واضالعه ومن هذه العالقات مايدعى بالنسب المثلثية وما يهمنا

في هذا الفصل هو المثلث القائم الزاوية .

الحظ في الشكل المجاور المثلث ABC القائم الزاوية في B حيث ان :

الضلع ) AC ( يدعى الوتر )مقابل للزاوية القائمة (

. θ يدعى المقابل للزاوية )BC ( والضلع

. θ فيدعى المجاور للزاوية ) AB ( اما الضلع

والمبرهنة التي تربط بين اطوال هذه االضالع تدعى مبرهنة فيثاغورس

) AC(2 = )AB(2 + )BC(2 حيثθA B

C

حساب المثلثات الفصل � - � �

+

20�

في الشكل المجاور ∆ ABC قائم الزاوية في B والزاوية θ احدى الزاويتين الحادتين

)sine( θ جيب الزاوية θ مقابل الزاوية

الوتر �( تدعى النسبة

ويكتب بشكل :

Sine اختصار كلمة Sin

) Cosine( θ جيب تمام الزاوية θ مجاور الزاوية

الوتر2( تدعى النسبة

ويكتب بشكل :

Cosine اختصار كلمة Cos

)Tangent( θ ظل الزاوية θ مجاور الزاوية θ مقابل الزاوية

�( تدعى النسبة

وتكتب بشكل :

Tangent اختصار كلمة tan

. tan θ , cos θ , sin θ : كما في الشكل : جد ABC مثلث

احلل/

θ

الوترالمقابل

Aاملجاور B

C

النسب املثلثية 2 - �

sinθ = BCAC

cosθ = ABAC

tanθ = BCAB

مثال )�(

sinθ = BCAC

⇒ sinθ = 45

cosθ = ABAC

⇒ cosθ = 35

tanθ = BCAB

⇒ tanθ = 43

4cm5cm

�cmA B

C

θ

202

من الشكل المجاور وباستخدام مبرهنة فيثاغورس نجد

. ) AC)2و بالقسمة على ) BC)2 + )AB)2 = ) AC)2

) sin θ) 2 + )cos θ) 2 = 1

AC بالقسمة على

tanA , sinA فجد cosA = 817

في ∆ ABC القائم الزاوية في B اذا كانت

17K = 8 ، الوترK = المجاور ∴ ، K < 0 الطريقة االولى حيث

) AB)2 + )BC)2 = ) AC)2 وحسب مبرهنة فيثاغورس

) 8K) 2 + )BC) 2 = )17K)2

64K 2 + )BC) 2 = 289 K2

)BC )2 = 289K2 - 64K2

)BC )2 = 225K2 ⇒ BC = 15K

θA B

C

بعض العالقات المثلثية 3 - 9

مثال (2(

BCAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ ABAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= ACAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC

tanθ = sin θcos θ

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC


cosA = 8K17K

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC


203

الطريقة الثانية

BC( )2= 289K 2 − 64K 2

BC( )2= 225K 2 ⇒ BC =15K

sinA =15K17K

=1517

tanA =15K8K

=158

Asin A = BCAC

⇒

tan A = BCAB

BC( )2= 289K 2 − 64K 2

BC( )2= 225K 2 ⇒ BC =15K

sinA =15K17K

=1517

tanA =15K8K

=158

A⇒

A B

C

17

8

Qsin2 A+ cos2 A =1

∴sin2 A+8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=1

sin2 A =1− 64289

sinA =1517

Q tanA =sinAcosA

tanA =

15178

17

=158

A

A

A

A

A

Qsin2 A+ cos2 A =1

∴sin2 A+8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=1

sin2 A =1− 64289

sinA =1517

Q tanA =sinAcosA

tanA =

15178

17

=158

A

Qsin2 A+ cos2 A =1

∴sin2 A+8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=1

sin2 A =1− 64289

sinA =1517

Q tanA =sinAcosA

tanA =

15178

17

=158


AA

A

A B

C

17K

8K

204

النسب المثلثية للزاوية 450 : نرسم المثلث ABC القائم الزاوية في B بحيث ان AB = BC اوال :

∵ m ∠ B = �00 ⇒ m ∠ A+ m ∠ c = �00

∵ AB = BC

∴ m ∠ A = m ∠ C = 450

AB = BC = K > 0 نفرض ان

حسب مبرهنة فثاغورس :

) AC (2 = )AB(2 + ) BC(2

)AC (2 = K2 + K2

)AC (2 = 2K2

AC = K

) 2cos45 + tan45( 2 جد ناتج

احلل/

النسب املثلثية للزوايا اخلاصة 4 - �

Sin450 =k2k ⇒ Sin450 =

12

Cos450 =k2k ⇒ Cos450 =

12

tan450 =kk ⇒ tan 450 = 1

مثال )�(

Q 212

+1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 +1( )2

= 2( )2 + 2 2( ) +1

= 2+ 2 2 +1

= 3+ 2 2

Qcos45ο = 12

, tan45ο = 1

Q 212

+1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 +1( )2

= 2( )2 + 2 2( ) +1

= 2+ 2 2 +1

= 3+ 2 2

Q 212

+1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 +1( )2

= 2( )2 + 2 2( ) +1

= 2+ 2 2 +1

= 3+ 2 2

∵

∵

A B

C

45

45

K

Ksin45ο = K

2K ⇒ sin45ο = 1

2

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

sin45ο = K2K

⇒ sin45ο = 12

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

sin45ο = K2K

⇒ sin45ο = 12

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

K

K

K

205

:

مثال )2(

ثانيا زاوية قياسها �00 ، �00 : نرسم مثلثا متساوي االضالع طول ضلعه 2k فيكون قياس كل

∴ BD = DC = K فينصفه الحظ الشكل المجاور وحدة AD ⊥ BC زاويه منها �00 نرسم

AD = K وبستخدام مبرهنة فيثاغورس نجد بان BAD = �00 وان قياس الزاوية

. x , y ∈ R من الشكل المجاور جد قيمة

)a( /احلل

)b(

حاول حل المثال باستخدام نسب مثلثية للزواية �0 .

AD = 3K

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

�0

K

�0

�0 �0

KC

A

BD

2K

40cm

y�0

x

y�0

x

Sin6

00=

23 x

⇒3 2

=2

3 x4

3=

3x⇒

x=

4

tan6

0=

23 y

⇒3

=2

3 y

3y=

23

⇒y

=2

cos60° = y40

⇒ 12 =

y40

∴y = 402

⇒ y = 20

sin60° = x40

⇒ 32 =

x40

∴2x = 40 3 ⇒ x = 20 3

sin60° = 2 3x

⇒ 32 = 2 3

x 4 3 = 3 x ⇒ x = 4

tan60° = 2 3y

⇒ 3 = 2 3y

∴ 3y = 2 3 ⇒ y = 2

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

K

K

K

K

cos60° = K2K

tan60° = 3KK

20�

س� / جد قيمة كل مما ياتي :

�( sin�0 cos�0 + cos�0 sin�0

2( ) cos�0 - sin45 ( ) sin�0 + cos45 (

BC = �cm , AB = �5cm حيث B مثلث قائم الزاوية في ABC / 2س

sin C , cos C , tanC جد

a( cos2�0 - sin2�0 = cos�0 س�/ اثبت ان

b( 2 sin�0 cos�0 = sin�0

c (

س4/ جدقيمة x , y ∈ R من المثلثين :

� �

b(

�0

y x45

�0y

x

�0

a(

1- cos60°

2 = sin30°

20�

االحصاءStatistics

10

]�-�0[ الوسط احلسابي للبيانات غير املبوبة . ]2-�0[ الوسط احلسابي للتوزيع التكراري البسيط.

]�-�0[ الوسط احلسابي للتوزيع التكراري ذي الفئات. ]4 - �0[ مزايا وعيوب الوسط احلسابي .

]5-�0[ الوسيط . ]�-�0[ مزايا وعيوب الوسيط .

]�-�0[ املنوال .]�-�0[ مزايا وعيوب املنوال .


x x: الوسط احلسابي للقيم

ME الوسيط

MO املنوال

الفصل العاشرx=x1+x2+x3+

...+

xn

n

x i + x 2

+ x � +

....

+ x �

�x

=

مقدمة

الفصل �0

درسنا في المراحل السابقة طرق جمع وتمثيل البيانات . وكان من الصعب ايجاد مقياس يعبر عن الظاهرة

موضوع الدراسة ، لذلك سنبحث عن مقياس اي قيمة واحدة تتراكم حولها عدد كبير من القيم ، وهذا الميل

حول تلك القيمة يسمى بالنزعة المركزية للتوزيع البياني وتسمى تلك القيمة بمقياس النزعة المركزية

. )Measures of Central Tendency (

ان مقاييس النزعة المركزية )القيم المتوسطة( هي قيم احصائية ذات اهمية كبيرة في وصف التوزيعات

البيانية، ومن اهم مقاييس النزعة المركزية التي سنتناول دراستها في هذه المرحلة هي :

. Arithmatic Mean الوسط الحسابي - �

.Median 2 - الوسيط

. Mode المنوال - �

بشكل , مبسط طريقة استخراجها ومزاياها وعيوبها .

لبساطة استخداما واكثرها المركزية شيوعا النزعة مقاييس اكثر المتوسط او الحسابي الوسط يعتبر

حسابه واستخراجه . نعطي هنا تعريفا للوسط الحسابي للبيانات غير المبوية )البيانات االولية او االصلية

التي جمعت ولم تبوب او توضع بشكل جدول(

تعريف ]�-�0[

يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم لبيانات غير مبوبة بانه مجموع القيم مقسوما على

) X bar ويقرأ أكس بار( X عددها ويرمز للوسط الحسابي عادة بالرمز

االحصاء

20�

فاذا كان لدينا n من قيم xi هي : xi : x� , x2 , x� , .... : xn عندئذ يكون :

اوجد الوسط الحسابي لالعداد االتية : ) � , 2 , � , 5 , 4 , � , � ( . احلل /

الوسط الحسابي x هو :

اذا كانت اعمار ثمانية اشخاص بالسنين هي : ) 4 , � , �0 , �2 , �� , �� , 20 , 24 ( .

جد الوسط الحسابي العمارهم.

احلل/

مثال )�(

الوسط احلسابي للبيانات غير � - �0 املبوبة

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x� + x2 + x� + ....+ xn

nX =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x� + x2 + x� + ....+ x�

�x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

� + 2 + � + 5 + 4 + � + �

�x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

�5

� x = = 5

مثال )2(

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x� + x2 + ....+ x�

�x = , n = �

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

4 + � + �0 + �2 + �� + �� + 20 + 24

�x = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xnn

��2

� = = �4

2�0

fi من تكرار n ويقابلها Xi : X� , X2 , X� , .... : Xn : هي Xi من قيم n اذا كان لدينا

. fi : f� , f2 , f� , .... : fn : وهي

فيعرف الوسط الحسابي بانه مجموع حواصل ضرب �X في التكرارات المناظرة fi مقسوما على

مجموع التكرارات .

اي :

اوجد الوسط الحسابي للتوزيع التكراري التالي العمار )�4( شخص :

��0العمر�245عدد االشخاص

احلل /

x� = � , f� = � , x2 = � , f2 = 5 , ....

مثال )�(

الوسط احلسابي للتوزيع 2 - �0 التكراري البسيط

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x�f� + x2f2 + x�f� +...+ xnfn

f� + f2 + f� +...+ fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x�f� + x2f2 + x�f� + x4f4

f� + f2 + f� + f4

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

)�()�( + )�()5( + )�0()4( + )��()2(

� + 5 + 4 + 2x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

24 + 45 + 40 + 2�

�4 = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xnn

��5

�4 =

211

يمكن حل السؤال كما في الجدول االتي :

x1 f1 x1f1

8 3 (8)(3)=24

9 5 (9)(5)=45

10 4 (10)(4)=40

13 2 (13)(2)=26

14 135

تعريف ]10-2[ يعرف الوسط الحسابي للبيانات المبوبة بأنه مجموع حواصل ضرب مراكز الفئات (والتي يرمز

لها Xi) في التكرارات المناظرة f i وقسمة الناتج على مجموع التكرارات .

فإذا كان لدينا n من مراكز الفئات وهي على التوالي: x1 ، x2 ، x3 ,.....xn وإن التكرارات المناظرة

لها هي: f1 , f2 , f3 , ......fn على التوالي. عندئذ يكون الوسط الحسابي x بحسب القانون اآلتي:

الوسط احلسابي للتوزيع 3 - 10 التكراري ذي الفئات

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f1x1 + f2x2 + ... + xnfn

f1 + f2 + f3 +... + fn

x =

∴x = 135

14

المجموع

212

وإليجاد الوسط الحسابي للبيانات المبوبة نتبع الخطوات التالية:

. xi 1( نجد مركز كل فئة من الفئات

. fi في التكرار المناظر لها xi 2( نضرب مركز كل فئة

3( نجد مجموع حواصل الضرب.

4( نجد x بقسمة مجموع حواصل ضرب مراكز الفئات في التكرارات وقسمتها على مجموع

التكرارات .

.)kg( الجدول التالي يمثل توزيع 150 حاجة حسب فئات الوزن بالكيلو غرام

الوزن 15- 25- 35- 45- 55- 65-75عدد احلاجات 9 15 23 30 33 40

إحسب الوسط الحسابي للوزن.

احلل / نجد مراكز الفئات:

: x1 مركز الفئة األولى

مركز الفئة الثانية x2 : وهكذا نعمل اجلدول التالي:

fixixi مركز الفئاتfi فئات الوزنالتكرار

)9()20(=18020915-

)15()30(= 450301525-

)23()40(= 920402335-

)30()50(= 1500503045-

)33()60(= 1980603355-

)40()70(= 2800704065-75

7830150

مثال 4

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

40

2

15 + 25

2x1 = = = 20

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

60

2

25 + 35

2x2 = = = 30

المجموع

2��

جد الوسط احلسابي من اجلدول التكراري اآلتي:

الفئات �0- �2- �4- ��- ��-70

التكرار 5 �� 42 2� �

:x� احلل/ جند مركز الفئة األولى

جند مركز الفئة الثانية x2: نعمل اجلدول اآلتي:

fixixi مركز الفئاتfi الفئاتالتكرار

)5()��(=�05��5�0-

)��()��(=��4��2-

)42()�5(=2��0�542�4-

)2�()��(=��0��2��-

)�()��(=552��-

�5�0�00

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f�x� + f2x2 + ... + xnfn

f� + f2 + ... + fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

��0

�50 x = = 52.2kg

مثال 5

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

�22

2

�0 + �2

2x� = = = ��

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

�2�

2

�2 + �4

2x2 = = = ��

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f�x� + f2x2 + ... + xnfn

f� + f2 + ... + fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

�5�0

�00 x = = �5.�

2�4

أوال: املزايا: * يمتاز بسهولة حسابه .

* تدخل جميع القيم في حسابه.

ثانيا: العيوب: * اليمكن إيجاده بيانيا

* يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة التي تكون كبيرة جدا أو صغيرة جدا بالنسبة لمعظم القيم

وبالتالي ترفع أو تخفض قيمة الوسط الحسابي.

مثال: لتأخذ االعداد االتية: �0 , � , � , � , � وتجد الوسط الحسابي لها فيكون الوسط الحسابي

لها x حيث :

لو اضفنا لها العدد �00 فتكون االعداد � , � , � , � , �0 , �00 والوسط الحسابي لهذه االعداد

هذه المرة يكون

الحظ الوسط الحسابي للقيم �0 , � , � , � , � هو )�( بينما اصبح )55( بالنسبة للقيم

�00 , �0, � , � , � , � ونفس الشي بالنسبة للقيم الصغيرة جدا.

مزايا وعيوب الوسط احلسابي 4 - �0

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

� + � + � + � + �0

5x = = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xnn

�0

5 = �

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

� + � + � + � + �0+�00

�x = = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xnn

��0

� = 55

215

مثال (1)

يعتبر وسيط مجموعة من البيانات ( القيم ) قياسا مهما آخر من مقاييس النزعة المركزية. وسنقتصر

في دراستنا لهذه المرحلة على تعريف وايجاد الوسيط للبيانات غير المبوبة .

تعريف ]10-3[

وسيط مجموعة من القيم : x1 , x2 ...., xn في حالة :

اوال: n عدد فردي n+1

2 هو القيمة التي تقع في الوسط عند ترتيب القيم تصاعديا او تنازليا ويكون ترتيبه

ثانيا: n عدد زوجي هو القيمة التي تقع في منتصف (معدل) القيمتين الوسطيتين بعد ترتيب القيم تصاعديا او تنازليا .

. ME ويكون ترتيبها وسنرمز للوسيط بالرمز

جد الوسيط للقيم االتية: 5 , 6 , 4 , 2 , 3

احلل / نقوم بترتيب القيم تصاعديا كما يلي: ترتيب الوسيط

2 , 3 , 4 , 5 , 6

الن عدد القيم فردي (5) فان قيمة الوسيط تقع في الوسط.

∴ ME = 4

جد الوسيط للقيم االتية: 9 , 6 , 5 , 4 , 2 , 3

احلل / نقوم بترتيب القيم تصاعديا كما يلي: 9 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 ترتيب الوسيطين هما

الن عدد القيم زوجي (6) فان قيمة الوسيط هي الوسط الحسابي للقيمتين في الوسط وهما كما واضح :

الوسيط 5 - 10

مثال (2)

ME = = x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 9

2 = 4.5x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xnn

4 + 5

2

n2,n2+1

n+12

⇒5 +1

2= 3

n2=62= 3, 4

2��

يعتبر المنوال مقياسا آخر مهما من مقاييس النزعة المركزية. ويمكن تعريفه للبيانات غير المبوبة

كما يلي.

تعريف ]�0-4[

منوال مجموعة القيم x� , x2 ...., xn هو القيمة الشائعة اي التي تتكرر اكثر من غيرها

.MO ضمن قيم المجموعة . وسنرمز للمنوال بالرمز

جد المنوال للقيم االتية:

�� , � , 5 , 4 , � , � , � ,�� , � 2 , �

احلل/

الحظ ان القيمة )�( تكررت مرتين لذا فان:

MO = �

جد المنوال للقيم االتية:

�0 ، 5 ، 5 ، 4 ، � ، � ،2 ، �2 ، 2 ، � احلل /

الحظ ان : القيمة )5( تكررت مرتين كذلك القيمة )2( تكررت مرتين فيكون لهذه القيم منواالن هما

2 , 5 اي :

MO = 2 , MO = 5

املنوال � -�0

مثال )�(

مثال )2(

2��

مزايا وعيوب املنوال � - �0

هل يوجد منوال للقيم االتية؟

�2 , �� ,�� , � , � , 2 , 5 , 4 , �

احلل /

ليس لهذه القيم منوال والسبب هو عدم تكرار أية قيمة من هذه القيم .

اوال: املزايا * بسيط من حيث الفكرة والحساب.

* ال يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة.

ثانيا: العيوب * قد ال يكون هناك منوال .

* قد يكون هناك اكثر من منوال.

مثال )�(

2��

س�/ جد ان امكن الوسط الحسابي، الوسيط والمنوال لكل مما يأتي:

a( �� , 20 , 5 , � , �2 , �� , �

b( � , 4 , � , 5 , 2 , 4 , 4 , 2 , � , � , 2

c( �2 , 24 , �� , 20 ,�0 , � ,�� , 4 , 20

d( 2 , 5 , � , 5 , � , � ,�� , � , �

س2/ من الجدول االتي جد الوسط الحسابي.

الوزن ��20��2

العدد�5�4�2

س�/ اوجد الوسط الحسابي الوزان )40( طالبا بالكيلو غرام من الجدول التكراري االتي:

االوزان -�0�0-50-40-�0 -�0

التكرار�54�5�0

س4 / احسب الوسط الحسابي للقيم المعطاة في الجدول االتي:

الفئة -5-�-��-20-2��-�4

التكرار��52

�0 �

الفهرست الفصل االول/ التطبيقات ...........................�0 - 4

الفصل الثاني/ االعداد الحقيقية ..................... 45 - ��

الفصل الثالث/ الحدوديات .........................�� - �4

الفصل الرابع/ المتباينات .........................�� - �2

الفصل الخامس/ الهندسة - المثلث ...............�� - ��4

الفصل السادس/ الدائرة .........................�� - ��4

الفصل السابع /الهندسة االحداثية .................�� - ��4

الفصل الثامن/ هندسة التحويالت .................�� - ��

الفصل التاسع /حساب المثلثات ...................�20-��

الفصل العاشر/ االحصاء .........................��2 - �20

Education

الرياضيات للصف الثالث متوسط