دليل مدرس الرياضيات ثالث متوسط 2013`_2.pdf

7/16/2019 pdf.دليل مدرس الرياضيات ثالث متوسط 2013`_2

http://slidepdf.com/reader/full/-20132pdf 1/176

رعل ةيوهج لتربةا ل ةماعل ةيريد

اضايرل دم

ل

لثال تو ل

ل

ج ا ع ش ا . و و ل د مد

زح دم اش . ا فت دي .

و س ح ع م م ا م د ه م

2012 / 1433 لطعة ل



و ل ر ر ا د اش

م ام مهد

طل عل ر

طل ل ر

د ع ان د غ ي



3

حرل حرل بس

مقدمة:

ة د ت ..... د

رشد ل وي م لثال تو ل اضايرل ا اتل يدي ب يسرنا نقد.اضايرل دي م و د قتل ت ل ا ف ك د ا س ي

و د ك ل تو نطة قدمة ف كتا لطال ا م زيزعتل انو جا ن د ك ن . ب ايوتس اقف ف لتدي عي ا م ك وم د ق

: تي لاطل اتك ف دل ر لتا ف ر د

اعتل ا ق ا ط ا ت ي لع ل تو : لسوكة ل ف د

ة ة : انا لتهد لعر ت دل ر وط الثا:

ا ه ت ا ع م ة ك ةع ا ل ا ط ة بع ر ةطن م ة و م : ابعا ي رتل ايدتل ح امسا:لتقو : ا ا

عو ه س ن ب ةضايرل د و ق ل و ت ي ك ت ما ا وس م م ن ا م ا ت ع بعة ر ل ف مقترحا ا ح م ا قدمو ل وجرن سيد ر ف و و

. ف ون اضايرل ع .اتل ا ب ا ل اغ اي وتكدل عل ر وهج ثن اك

. س ل فوتل ل

و ل



4

-:اهجو قد ك ف ةيزل رح د ب رصاع ا ا ح ف رك ة ث ي د اضايرل ا لزما اف وطتب ر ت ن بتقدم ن ر ع ل م جز ا ن ا ر. ع ل ف ق

و ق ل لعاة وطتل م لتتاش اصة و ب اضايرل امة و ب ة د ل ا ا م ر د لتق ن ع ت رثك ول ة ث ي د ةعل وطتل ه ت ر ت ل اتب اقل و ة ه ت ب . ت ف ضايرل و عل ر ت ل ا لعتد ه ا ق ط اه وط

د و لتعة:- ف ا املثر عي بد ) لاثل ( ة ط و ت حر و ل اضايرل ام بتدي يقو ل د

ل دش ر

حديثة

ر ن

جهة

م

ا ه ا م

اضايرل

ام

وح

باعرفة

ز

تل

ا

ا

م

. ب ع ف ة قو ت ل ةسيدتل رطل ا و ل سة: لر ا م

فد ط ل ا ب ةناقم قعل و ل حرم ح م عت د ر ت ل وط حرم ا ر م - 1

.ر تق ل ل ا و س ش م ا و س ا ت ا ب د مهاية(. جدنة )معرفة د ا ا ت - 2

ل ق به ر ن رم لز ) ط ا ع ت معرفة (ايوتساب مستويا ا عرف نهت ف ل ك .اضايرل ون ةباي ط ل ا ا و هت ما ف ا لوجدن ف . ايوتسم

ب كر. ت ) اه ( عل ا ندجول ن ا كد ت ل ر ل مركة لرياضة عرفة ط ل م كتسابها كد ت ل ةضايرل ا ا ب ا ت - 3

كر. ا ل ة ا ةل ا ا ف )ةمر ( صوتل ف سة لر ة ا ن و لتركز م ا ا ب ا ت دقب اهاب ا ت - 4

.دج اهم ل

ا ت تل سا بع قد ح . سل ر ت ل ة ت ل ة س اهن ب سا ا ت - 5ة ياضة. ل س م ب ة ص ا ا ر ت كد ت ل م ة بعد ك موضو ا ح و م

ض رض مه ية نها جز ا ع ل م ستق ا ما ه ا ط ة د ه ل اه ا ا ب ا ت - 6

ا. ه ر م اضايرل ا م

ر ت ل ةج ف ال قه ة ر ف و ت م نه عت ب ة ي ر ل ر ل ا ر م - 7

. مانا د سح ك عل لاك ط ل لافة ر ة ل ح ا د ا ك ل

عقد. ل سل م ع ل م لسه ل عتل ف دتل - 8



5

: م دل ة م ل د ا س قد - 9

لسوكة ل موضو د ديد -اف عتل ا و ض و ل ة ة طا -

ة ا ةعتل ا و ل ديد - اج و ض و ة لتدي و ت م ةسيد ر طا - ط ل ة لتقو ديد -

امة اهجو د ا س م ة وي اهجوتل اموع م ا ت ل تو لاثل د مقد اتل - 1

.لاطل ا و ل اهسيد ر اضايرل ام ف يدح و ما قد لعة د ة ر - 2

ة. قو ت ل ةعتل ب نطت دل زج ج ف ف لعة لتعة ماكت ا وم لاطل ا ت - 3

.لاطل و سر وج د باي اعف ن ب ا ا ه ك ب ا ر م و ح وية( طة ( ا ب لوضو ط ت ل ا ب ا ت - 4

ة. ا م قدمة ل دل موضو قد ة ك ةمول ة ط ا ب ا ت ل ك . ة د ل ة س ل

مثة زهج و م م دل وضو ة ا ةيوبرتل ا ع ا و ل ا ت - 5ة. ا ح

ة ف ستو ت م ة و ت م ةثم ةطن ا بتقد ل ط ل ب ة ي ر ل ر ل ا ر م - 6

.)عص متو سب(ا:- ه م ا ا م وي ا دل موضو ت ة و ت م ةسيد ر ا - 7

ة( . ا ( دل ةياهن ف )مقدمة( وضو قد ف بدية د ست : ر ض ا ةقير -

دل وضو ة ا ة ل ةيدعل مثة ة ر م ط ل ام ة: ا -.ي ر ال يس عل ا يد ي لاطل يس داف

د ا ق ل لطال لتوص ل طتسف ةموع و تي ك لاطل اصرف د هي : كتا - ج. ل د اهمدقي تل ة ص ا ا ة ل و ةثم م وناقل

عتل لتعه ة لطال لتا قر جابة د ت م : ر ل عتل -ة. ي ر ل ر ل مد ر ي ل ر ل

.ضايرل ر ت ل لرياضة نها ا ا دع : ح -



6

د يقس ط ل ب اعتل د ا س ة ناع ب عل -: ناعتل عتل - حولها. ا بها يتوصو ل ه ن ي ا له عط )3-5( ر ص ا و م ل ل

د مد مسقا. و ف ا ل اعل د ت اه ة م و ت م ر ل ا ر ا -

ف ) ( قو ل لتقو يقس ط ل مستو ق تل لتقو ا د ت -8

دل وي )يو ( قو . وضو اموعم م ط ل عرفة مقد مالد دل ةيدب يد مد ل دل ةياهن ف وي ) )لعد ما لتقو . لر دل ة مستر

لسوكة. د ق يابة ف لتعر ة ا ا وم ة ف د ا س ي د ل بالسو د زتل - 9

-: د و ا م اضايرل ام ون ة ا ا لسو ب )اعتل طعل ة ( ا نسانة ع ل ات رتح اهف وي ة ر و ا ا ت -

. ب د. دل ر ل ه لا ع ن ز ةيوقل ة ل -

. ط ت ل دتعي ا عة اتب ةنام ةعل ة ي ا ل - ط ل ر شامة ن لدي مت م ل نط مسو صو ض دل -

ة. ا م حركت.زهج ا م و ر ل ثم ةيوبرتل ا تق ل د ت س ي لسو ب م د ت س ي -

اب ا ح اثم طا ا ة ي ر ثم مقدمة مثر لوضو ا ط ا ب ب اتن ي -.ا ف ا م د ت ت

ة. ت م ل ا ب اهج كد ت ل مال ط ل د وجو عتل ف ا ب و ع ل -



7

ة ط و ت ةحراب اضايرل دي د لثال تو ل

فرع ا د :

: ة تثة ف معرفة عوما لرياضا كتسا بع .. اقطتل .1

. ة ق ق د ة و م .2

. ر ص تر ا رك ا لعام تر ه اي د ا ب ةقعت ا .3

. ة ي ر رياقاب ةقعتم ا م .4

. ة ق ق د ة و م ف ا اي ت اع ح .5

.ث

نال

با

ة ت م

لة

ا م

.6

. ة ستوية د ه ل اش بع .7

. ر دل ثاب ة ص ا ا ر بع .8

. دح ة باسافة ف ستو ص ا ة د ه ل ا بع .9

.) لتاب لتر دل اسن )نعا ستو ة د ه ل ي و ت ل بع .10

. اثث اسح .11

. ة ا ح ا بع .12

: ضايرل ر ت ل ل ا كتسا بع -. ه ب و ب نوقل د و ق ل ةغاص عتل ديرتل كتا دي لطة .1

ر ق ت : ة ت م ل ا ا ع ت م ةطل و م ا ت ي ا ضايرل ر ت ل د ت .2

. ا ر ل ط ت ل لتقدير ت ل د ت ا ت ت

. ة لرياضا لرياضا د قو يو .3

. ل طق تسس لتوص ل ر ت ل دقل ا .4. وط اطع ديدتل و .5

. ل تل ة ا لرياضا ع ل نتقا .6

. ة لوصو ل ا ة ا لعا لرياضا ت .7

. معقولت ةص م لتق .8

ة. لرياضا سا ديدج ل ا اتب .9

. ديدج م و م ف ط ل اهع تل ا ر ت و ع .10



8

: لتوص لرياضا - لطة: طتسي ب اضايرل ة ب صوتل اصرف ت ي ي ةحر ف اضايرل ع

ومرلاب لانة و ر ل ا ب و ل ا ب ا و س د ت ب كتابة ة ا ش و جة .1

ة. ي ر . ة بوضو ياضا و م م ةطل ف ر ي ا م لتعر .2

. ة ف سا ت ةضايرل ا ف ل ةطل ا ع ت و .3

اف قو سر ف ر ت ل ل د ا ا ت ر ق ل اهم و .4

ة. لرياضا. ة ع ق م ة د ح ر ب ح ي و ة ة فا لرياضا ا م .5

طوير فا لرياضة. ف ا ومرل ة ضو .6

: ة ل لرياضا ا اه استك : انا. وصها ة اقطتل ث .1

. ة ق ق د ة و م اعل رج .2

. ة ي ر اقطتل رياق اعل رج .3

. ي جريا ر ت ح معالت م لدجة ل .4

. ي بانا ر ت ح معالت م لدجة ل .5. هو لوحد جريا ح عا لتربعة .6

. ر دل ثاب ة ص ا ا ر ا بع .7

. علاب ومرل ة ل ة ل ة لرياضا ل رباعتل ةجر .8

. ومرل د ت ا ب ة د ا صاغة .9

. ة ا ة ل ح سا .10

. دح يا سافة ب نقطت ف ستو .11. )دح ة م ا ق ت نقا ض وتم ث لتطقا(نو انو سافة ف بع د ت .12

. ل ف ر ا ت ل ا نعا د ت .13

. ي و ت ل ة د ه ب ة ص ا اموع د ت ا ب ة حقا بر .14

. س ثثة لزيا ل اي .15

. ة ب ا س ا ط و ت اسح اهث اهتلدج ة ا ح انال بع .16

. نا د ه ل ة .17



9

: ف ثتي ندجول ن ا ة لا ع ن ا : الثا. ا و ن ةباي ا ا ي و اضايرل ة ف ةغرل .1

. ا ر ي و ط ة لعرفة لرياضا تا ج ا دل ريدق .2

. ر ةفرع يام ةمد ف اضايرل ريدق .3

د اطل ا ا ل ثم اضايرل ةهفرتل ن و ا ف ر لرياضا ت ل ا ب ا ت ت .4

. ة س . اضايرل ريوط ف س رعل قدير لعا .5

. تق ل عل قدير لرياضا ف لتقد .6

. ا ه ي ا اضايرل ف ر ر ق ل .7

ة. و ت ة د ه ل اش ة ة لرياضا ل ة ل ا حو ل .8

. د لتابة لتعر اي ة لوضو د ل رقل ا ف ة لثقة بال و ض و .9

. د ح سا ا اضرلاب وعل .10



10

لثال تو ية لرياضا ل و لس ةط

د ل ل ف

ر ب ف در م ل

1 15ل

طتل

طتل وناقطتل كر

555

لثان2 15ل

ة ق ق د لتربعة

لتعة

555

لثال3 15ل

ا ي د

ة ث ل ا ي د مال رب

5

55

4رل 19ل

ا ي ا ت

لرياضة ي ر ت عالة م لدجة ل

عا لسرية

5554

5ا ل

10د ه ل

ث

5

5

لسا6 15ل

ر دل

و لتا

366

لسا7 10ل

ة دح ة د ه ل ف قتسم ةعط ت ا نقطة م دح

دح مستو

55

لثام8 15لنعادل

لتر

555

لت9 6ل

اثث

س ثثة ل ة ص ا ايزل ةثث س ل

222

لعاش10 5ح5ل

125125و



11



12

عل تو - 1

ومرل ا ط ا طتل -ا -

باق ا -طتل مد -

مال طتل -يات طتل -باقت طتل -

طتل نال ط -go اقطتل كر -

اعتل قا r : A → B ت x, y( )∈ r ب y∈ B ر حد يوجد x ∈ A ل -

باق ا م ة ز ج ة و م و د -اك شام طتل وي -

باق ا = دباق ا ف ة ت م وص اهل ا ف ة ت رصا ع ل كان ياتم طتل وي -

ا ي ا ت م طقا شام اك باق طتل -,g قطتل كر -

fog( )x( )

gof ( )x( )

= f g x( )( )= g f x( )( )

اه ام و طتل يعر -

طتل ام يتعر -طتل يد مد -

طتل هسل ط ير -طتل ون ب ز -

طتل نال ط ير -قط كر يد -



13

لسوكة د - 2: ا لاطل وي ي ف نهاية ل

طتل يعر - 1ة ر م ش طتل تي - 2

ه ط طتل ث - 3طتل ام يتعر - 4

طتل يد مد - 5مال طتل ز - 6يات طتل ز - 7باقت طتل ز - 8

طتل ون ب ز - بانا9 طتل ث - 10اقطتل كر يعر - 11قط كر يد - 12

دل ة ة - 3 y ح x سق ) x,y ( ة ر ة و م ) Relation( ة ع ل ا

: لاتل لاب B ة Aل و م r ة ع ل و ياضة نعر ب ناثل سق

r = { ) x , y ( : x ∈ A , y ∈ B }

. د و ر ل ا ب ة y , x لس ح م م

.) ون عري ( » طتل « ة ع ل م ا نو لرحة ف ا ب م تعر )Doman( A ال رصا م ر ل يع : A B طتل : ياك ا ف ر

: ضاي ب )Codomain( باقل ال رصا م ر حد فق = { ) x , y ( : ∀x ∈ A ∃, y ∈ B , y = )x ( }

: طقا ث ة ع ل هسل ط ل ف كا موض

ال = { 1 , 2 , 3 } باقل ال = { a , b , c }

= { ) 1 , a ( , ) 2 , c ( ,) 3 , b ( }

ا

abc

123

باق ا



14

: طقا ن ث ة gف ع ل ا ط امباق ا رصا م ر با ير 3ل )*(

. c,a ي ر ع ل ا ب 1 )*(

ب

ص

غر

عل

ة

و

ط

ك

يتوض

ا

. ا

abc

1234

g

ة ر ج ة و م : طتل ابطتل ال ةنو ة ر ل ة سا و م : طتل ام

ة ز ج ة و م و رت د ا ر ا رصا وص ة و م : )Range( طتل مد Ran م ا قاب يرمز ل

: طتل ون) onto mapping ( Surjective mapping مال طتل ) 1

م كثر حد ر لع وص و B باق ا اصر م ر ك اك شام طتل وي A ا رصا

باق ا = د اك ر اعب

A

abcd

1234

B

1 2 3 4

a

b

c

d

ها طتل ث بانا طتل ث ماش ط

abc

d

123

g ماش رغ ط g

باق ا ≠ د{ a , b , c , d } ≠ { a , b , c }



15

)one - to - one mapping ( Injective mapping يات طتل ) 2

م ر حد فق و صو لع B باق ا رصا م ر ك اك ا ي ا ت م طتل ويباق ا ف ة ت م وص اهل ا ف ة ت رصا ع ل كان A ا رصا

∀x

1 , x

2 ∈A , x

1 ≠x

2 ⇐f x

1( ) ≠f x

2( ) : x1 = x2 اف f x1( ) = f x2( ) : اك : ر و ب

)one - to - one ,onto mapping (Bijective mapping باقت طتل )3

ا ي ا ت م كا شام باق ط وي Inverse mapping ) ر ل ( سعل طتل

f −1

( ) يرمز ل لعس ل طتل اف )one - to - one mapping ( ا ي ا ت م اقط اك

: ة ونة ل ر ج م ا ل طتل وf −1 = y, x( ) :{ x, y( )∈ f }

1

f ≠ f −1 : ح *

A = 1,2,3,4{ } , B = 2,3,4,5{ } ح B م A ل ط ل فث

f x( ) = x + 1 :

)ياتم وي ي( f −1( ) سعل طتل وج شر مستو باق ط ض:اف g : B → A , g x( ) = x − 1 ح g ديدج اقط نعر و ه س و ل ة ل ا ف

g = f −1 : اف ل ل ة ونة ل ر g = 2,1( ) , 3,2( ) , 4,3( ) , 5 ,4( ){ }

د( ي ا ( ل طتل h سي

g = f −1

f h x( ) = x



16

: ط ا ب لر ن

x

y

f −1

f f x

( )f −1 y( )

D Ran

D f −1Ran f −1

Constant mapping لثاب طتل x ∈ A ل ∋ bب ن B ر حد جد فق اتبا طقا f : A → B طتل سي

f x( ) = b اف

b

A B

x ∈ A b∈ B

Equality o mappings :اقطتل اسة: رل ج قق f = g اف اقط g : A1 → B21

, f : A → B ل

(*)A1 = A (*)B1 = B (*) f x( ) = g x( ) , ∀x ∈ A

Dg = D f ( ): ) دل ( ة ةثم ح

: ة ح م

x2 = x =x , x ≥ 0

−x , x < 0

⎧⎨⎩

1(

f : 1,−1,2,−2{ } → 1,2{ } , f x( ) = x

g : 1,−1,2,−2{ } → 1,2{ } , g x( ) = x2

) =g ( اياستم اقط g, : ح



17

2(

f : 0,1{ } → 1,2{ } , f x( ) = 2 − x

g : 0,1{ } → 1,2{ } , g x( ) = x + 1

≠ g اب ا ت ت بسهولة 3

( f : 1,−1,2{ } → 1,4{ }

,

f x( ) = x

2

g : 1,2{ } → 1,4{ } , g x( ) = x2

D ≠ Dg ≠ g

Composition o mappings :اقطتل كر: م ك الة كان ة غر و م C ,B ,A م ك تل

f : A → B

g : B → C

كا gof ( ) مزيا g circle دعب g يقر C ل A م جديد ط اي فان طقا :ا ط ضوي

f

x

f x( )

f x( )

g

gof ( ) x( ) = g f x( )( )

f x( )∈ Dg , x ∈ D f : ة ح م م: ا ب ن بدلة ة لس قط كر اب رق اتل ف اث ا ض اك

: لاث ف اك رصا ع ل م دم ة و ل لو حد حت fog( ) ≠ gof ( )

:f : N → N , f x( ) = x + 1

g : N → N , g x( ) = x2

fog( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 1

fog( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 1( ) = 2

fog( ) 3( ) = f g 3( )( ) = f 9( ) = 10



18

...

gof ( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 1( ) = 1

gof ( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 2( ) = 4

gof ( ) 3( ) = g f 3( )( ) = f 4( ) = 16

g(g(g( ...

fog( ) ≠ gof ( ) حانا:

f : N → N , f x( ) = x

g : N → N

,

g x( ) = x2

fog( ) 0( ) = f g 0( )( ) = f 0( ) = 0

fog( ) 1( ) = f g 1( )( ) = f 1( ) = 1

fog( ) 2( ) = f g 2( )( ) = f 4( ) = 4

...

gof ( ) 0( ) = g f 0( )( ) = f 0( ) = 0gof ( ) 1( ) = g f 1( )( ) = f 1( ) = 1

gof ( ) 2( ) = g f 2( )( ) = f 2( ) = 4

g(g(g(

... fog( ) = gof ( ) ح

باق ماش ياتم ا ي fog( )

قاب ف ماش ياتم ,g م ك اك : مث

باق ياتم ماش و f x( ) = x + 1 ح f : N → N

باق ياتم ماش و ل ك g x( ) = 2x + 1 ح g : N → N

fog( ) x( ) = f g x( )( ) = f 2x + 1( )

= f 2x + 1( ) + 1

fog( ) x( ) = 2x + 2



19

باق ياتم ماش ح و كا ن ,g م ك ي

د ح م رض ا

f

g fog

ياتمياتمياتم

ماشماشماش

باقباقباق

: Real Functions ة ق ق دل- باق ا - ا ( ة ث ل ا ر ص ا ع ب ةلدلاف اقطتل وضو اك دتم و وضو ر ت ةحر ف ا ت ة ق ح ل حر ف ا و وضو و )رت د ا

. فق دل و ة ا ل ف برية سي ا ه صا ت ب ةلدل ة ل اقطتل موضو

f x( ) = x3 :ي اك Rمعر طقا م R ل ل :1 اثم

ال ل ف دح ف لستو طتل لان له ط ل ياتم ط بسهولة ن ح ن

f x1( ) ≠ f x2( ) ⇐ x1≠ x2

اياستم ا ا ع م ا ت م اققح د يوجد ر و ب

x1

x2

f x1( )

f x2( )

y

x

f x1( ) = f x2( ) ا ض ر ف ول ر ةقيرطب

∴ x1

3 = x2

3 ⇒ x1= x2

f x( ) = x2 ح : R R : طتل ف ا ب ياتم رغ f x1( ) = f x2( ) ل x1

≠ x2 : ح ن ماش رغ فان ل x1x2باضافة ل

f x1( )f x2( )

x

y

)باق ا( R≠ y : y∈ R

,

y ≥ 0{ } = د



20

جد fog( ) a( ) = gof ( ) a( ) − 4 كان g x( ) = x2 + 1 , f x( ) = 3 − x تل :2اثم a ∈ R ة

/ fog( ) x( ) = f g x( )( )

........)1(

= f x2 + 1( ) = 3 − x2 + 1( ) = 2 − x2

fog( ) a( ) = 2 − a2

gof ( ) x( ) = g f x( )( )

= 3 − x( )2

+ 1 = x2 − 6x + 10

........)2(gof ( ) a( ) = a2 − 6a + 10

2 − a2 = a2 − 6a + 10 − 4

2 − a2 = a2 − 6a + 6

⇒ 2a2 − 6a + 4 = 0 ⇒ a2 − 3a + 2 = 0

⇒ a − 1( ) a − 2( ) = 0a = 1 ما:

a = 2 :



21

ا لتعة نطة قترحة ع - 4: ة لطة ه

م د ة ا م م ا ع ل حو موضو لثان تو لطال ف ل ا ةعجر لد -.باق ا ااب ر ك ت ل ا ب ة ب با ع ل ثم ة ا ةثم

م ر ك رتقي ب ةهسل ا ط ط ا ب اهض ر ة ل و م م ا ع ل م د -ر ع ل وي وح وص ف يو لعر باق ا رصا م دح ر اصر ا م

. ه س ن ةطل ف ا ل ا. و موضو اقط ا ع ل م ك لطة ب ا لسهة ض ط ط م -

وضو دي - 5. طقا ث ها م ةفرع ةثم م ة و م م طتل هو م قد -

. ه ا ب ا ج ي د ا ها لديها ا ك م و م لطة ل سق -. ل صو ا م ا و عر -. ة له ا ةعجرل ة ي ت ل قد طتل ةفرع ةطل صو م د د ك ت ي -

:رق اتل ف اطع ةثم ة ةثم د ت

750

1500

2250

1

1

2

3

2

34

45

38

) (

3 4



22

.باق ا ف دح ر بع ا ف ر ك ط ث )1( ل.باق ا ف ي ر ع ب مد( ( ط ث )2( ل

.باق ا ف دح ر بع ا ف ر ك اقط ث )3( ل

.باق ا ف ر بع ير ف ا ل )اهي ( ر ا ط ث )4

( ل. ط و ة ك ل ل ة و ط ك ب ط ل ض *

.باق ا م ة ز ج ة و م و د ض *

{a,b} ≠ )a,b(ح {a,b} ة ا ث ل ة و )a,b( ر زل ب ا فر ا ب ض *

ا ه ت ا ع م ةع ا ل طا و د ا ف ير باق ا ف ر ل وي ر ل م ل لطة ن

.)4 ل ف اك( ا ف ر صو لع لس باق ا رصا بع

لتقو

ا B طقا م A ل ث ة ةهسل ا ط ط م ب ي

2

3

5

7

A

1

4

6

B

2

5

7

A

1

4

6

B

2

3

5

A

1

4

7

B



23

ة: لطر حد د ت ب طتل ون ضو م : طتل نو:

هسل ط ة ط و ب اقطتل ز

a

b

c

A

3

2

1

B

a

b

A

1

2

3

B

a

b

c

d

A

1

2

3

B

.

.

.

= :

.

انا:نال ط ة ط و ب اقطتل ز

Y

X

1

2

3

a b c

Y

X

1

2

3

a b c

Y

X

1

2

3

a b c d



24

بدية دي طة : الثا اقطتل تب ضوتل ق ل و د ت طتل ون ب زتل ف ةبوعص ةطل دج

. دل ا ا ح رثك يعه ط ل اتن رثي و فه وعل ا ب

.لع

ه بع

اي

ا ر ف

ي

وع ب

اقطتل

ف

ا ض حد ق ت ا ب دحول ر ل بالعا يقو و ل م رثل قت س : يات طتل ة ا -. حد قتسي اناح يا كثر ف بع

ر لوحد ل لها لدجة رح ب م ي ا و ل ا ق ت :مال طتل ة ا -كثر(. ه ( ......ض م رثك قتسي اناح

ض م رثك ر لوحد ل قتسي ح ا ل ب و ل ا ق ت :باقتل ط ة ا -.) حد فق ه ( ..... حد

اقطتل كر م رت د ا ع اصر ا ب وص اي ة ك ع طتل يرع لاطل دعب

: سل اث ف اك . لاتتم قط ع اصر ب ة و م وص ايد ب ةعماج ف و د ي ر ة و م A تل : اثم

A = { د مد { حد لطة ت لها ي تل ةبرعل د ة و م : B

B = {ر ا ق ل رب د ب } رت فا C= { ا ل ر م رعل } B رصا ة و م اهل ت ي تل ةبرعل دل ة و م : C

: ل طتل ة ط و ب B م ة دي A م ر( (لا كA f ⎯ → ⎯ B

f : A → B

f → حد : ربf :

→ مد ر ا ق ل f : د → د ب

= { حد( رب( )دم ر ا ق ل ( ) ر د ب ( }: C م ةبرعل ةلدلاب ة( ي د ( B رصا م ر ك رقي و g طتل

B g ⎯ → ⎯ C

g : B → C

g : رب → ا ل g : ر ا ق ل → ر مg : د ب → رعل



25

م ةلدلاب A ة و ل م لا ك رك جديد م , g يرب اي اماب م ره يط ل ف اك ) دعب g ( قر go ديدل كرتل ة Cيعر و ل

g

go

go = { حد( ا ل ( )دم ر ( )م د رعل( }

مث طتل ف موضو و ل به ر ما ا ج ر ت ري ر اثم دل يقد

g : 1,2,3{ } → N , g x( ) = 2x

f : 2,4,6{ } → Z , f x( ) = x + 5fog( ) x( ) اي وطل

طتل و موضو كونه g x( ) اياب ةطل ي

: ا ك ا ه ض ر ا ت ل ةطل صو م دل د ك ت ي g 1( ) = 2×1 = 2

g 2( ) = 2× 2 = 4

g 3( ) = 2× 3 = 6 ا ي ط ل ا ب ا ت ل ثي f x( ) اي طي ةقيرطل ب

f 2( ) = 2 + 5 = 7

f 4( ) = 4 + 5 = 9f 6( ) = 6 + 5 = 11

7

9

11

2

4

6

1

2

3

g

og

g دعب طتل كر ع og اب دل يوض



26

ط ل م ةطل ي -fog( ) 1( ) = 7

fog( ) 2( ) = 9

fog( ) 3( ) = 11

كر ب لطة ير fog( ) x( ) = f g x( )( ) اقطتل كر يرع لتابة د ق ت ي وي ا ا ب xبقا ا g لقرية كرتل ت يو ب طتل

اف fog( ) x( ) = f g x( )( )fog( ) 1( ) = 2×1+ 5 = 7

fog( ) 2( ) = 2× 2 + 5 = 9

fog( ) 3( ) = 2× 3 + 5 = 11

اقطتل كر فه لطة ل ي يتو ط م ا ت ل ن

. ة حوله ح م ياتل ح ه يط م -

ا ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

بدلة ة لس اقطتل كر ب ضوتل د fog( ) = gof ( ) لطة يعتقد

. اث ثا ي امة و ب



27



28

ا لتري ح - 61-1 يا وح

B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7} A = { a , b , c } كان r : A B اك /1r = { ) a , 4 ( , ) b , 7 ( , ) c , 3 ( }

r = { ) a , 3 ( , ) b , 3 ( , ) c , 3 ( }

هسل ط ل :انا ا ل اقط r :/ :

دح وص ر ف ا A ل ك طقا ث r = { ) a , 4 ( , ) b , 7 ( , ) c , 3 ( } B باق ا ف

ر بع A ا ف ر ك طقا ث r = { ) a , 3 ( , ) b , 3 ( , ) c , 3 ( }

3 دعل و B باق ا ف دح: انا

A

34567

abc

B

)1(

A

34567

abc

B

)2(

7 م ر ص ةجزل ةعطل د ة و م A كان /2

8 م ر ص ة ي ر ل ةعطل د ة و م B كان

)x ( = x + 1 ح B ة م A ل

ا ل , طقا ثي انا: هسل ط ل : /

A = { 0 , 2 , 4 , 6} B = { 1 , 3 , 5 , 7 } :



29

)x ( = x +1

)0 ( = 0 +1 = 1

)2 ( = 2 +1 = 3

)

4( =

4+

1=

5

)6 ( = 6 +1 = 7

A

13

57

02

46

B

B م دح ر بع A م ر ك : انا

g : A Z اك A = { 1 , 2 , -2 , -3 } كان /3

. g )x ( = 5x - 3 اك طتل جد مد/ ل

g )x ( = 5 x -3

g ) 1 ( = 5 )1 (-3 = 2

g ) 2 ( = 5 )2 (-3 = 7

g )-2( = 5 )-2 (-3 = -13

g )-3( = 5 )-3 (-3 = -18{ 2 , 7 , -13 , -18 } = طتل مد

تل A = لوية} ر ل ات اب} ح . رعل ف ةي ر ا ل ة و م A تل /4

. B = { د ب باب يدل ص ا ر ل صول كركو }

.ات ه ط ب ة ر ة ف ا م ل ةي ر ا ل سن r : A B

.ه ط ها م ا م ت ي ا لسهة لطت ط ط ل ا ب رك ي دل / ة ح م

/ل

ات اب

ر

وية

rكركو

بابر ل

صو

ا

يدل صد ب



30

)x ( = 2 x + 8 ح : N Q اك /5. طتل كت مد :

. x ة فد ) x ( = 16 اك انا:

.طتل

ث

تل

ة لر

ة و م

تك

:الثا

/ ل )x ( = 2x +8 )0 ( = )2 ()0 ( +8 = 8 )1 ( = )2 ()1 ( +8 = 10 )2 ( = )2 ()2 ( +8 = 12 )3 ( = )2 ()3 ( +8 = 14

... ... { 8 , 10 , 12 , 14 , ... } = لد : : انا

)x ( = 162x +8 = 162x =16 - 8 [ ÷2]x

=4∈

N

= { ) 0 , 8 ( , ) 1 , 10 ( , ) 2 , 12 ( , ) 3 , 14 ( , ... } : الثا

r = { ) 1 , a ( , ) 2 , b ( , )3 , c( , ) 4 , d ( , ) 5 , a (} كان / 6

r : A B ح . B , A م جد ك )1

. طتل كت مد )2

.هسل ط ل )3/ ل

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

B = { a , b , c , d }

لد = { a , b , c , d }

123

45

A

abc

d

Br



31

) x ( = 2x 2 - x + 3 : A Q اك / 7

A = { 1 , -1 , 0 } ح

. كت لد )1

. طتل ث تل ة لر ة و م تك )2.هسل ط ل )3

) 1 / ل )x ( = 2x 2- x +3

)1 ( = 2 )1 (2 -1 +3 = 4

)-1 ( = 2) -1 (2 -)-1 ( +3 = 6

)0 ( = 2 )0 (2 - 0 +3 = 3

{ 3 , 4 , 6 } = لد )2

= { ) 1 , 4 ( , ) -1 , 6 ( , ) 0 , 3 ( } )3A

.643.

1-10

Q



32



33

1-2 يا وح

g )x ( = x 2 + 3 ح g : Z N اك /1

. ة ر م ش ا ر ص ا كر كت g ب )1. كت لد )2

. طتل ب نو )3

)1 / لg )x ( = x 2 +3

...

g )-3 ( = )-3 (2 +3 = 12

g )-2 ( = ) -2 (2 +3 = 7

g )-1 ( = )-1 (2 +3 = 4

g )0 ( = )0 (2 +3 = 3

g )1 ( = ) 1 (2 +3 = 4

g )2 ( = )2 (2 +3 = 7g )3 ( = )3 (2 +3 = 12

...

g = { .. , )-3 , 12( , )-2 , 7( , )-1 , 4( , )0 , 3( , )1 , 4( , )2 , 7( , )3 , 12( , .. }

{ 3 , 4 , 7 , 12 .... } = لد ) 2 باقل ال ≠ لد شام ل *) 3

باقل ال ث N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } ب يوض : دل ة ح م g )-3( = g )3(⇒12 =12 ل 3≠-3 ا ي ا ت م ل *

ن لها ال ف ت م ير جد لطت دل يوض : دل ة ح م.ياتم ل طتل ل و ف لا لقاب يع ل

ر ل يق ن قاب ل طتل ت ت س ن



34

)x ( = 5x + 2 ح : N N اك /2

g )x ( = x + 3 ح g : N N . ة لر رك كت og ب *

.og

مد*

.og طتل ب نو */ ل

)og ( )x ( = [ g )x (] ...... ونا)og ( )0( = [ g )0(]

= [ 0+3] = )3( = 5)3( +2 = 17

)og ( )1( = [ g )1(] = [ 1+3] = )4( = 5)4( +2 = 22

)og ( )2( = [ g )2(] = [ 2+3] = )5( = 5)5( +2 = 27

* )og ( = { )0 , 17( , )1 , 22( , )2 , 27( , .. }

{ 17 , 22 , 27 , .... } = لد

باقل ال ≠ لد شام ل )og ( طتل

fog( ) x( ) = f x + 3( ) = 5 x + 3( ) + 2 = 5x +17 ا ي ا ت م )og ( طتل

قاب ل )og ( طتل

)x ( = 6x - 1 ح : Q Q اك /3

g )x ( = 12

x 2 + 1 ح g : Q Q

. ) og ( )x ( = 17 x ة جد / ل

)og ( )x ( = [ g )x (]

= )12 x

2

+ 1(

= 6 ) 12

x 2 + 1( -1

= 3 x 2 + 6 -1 = 3 x 2 + 5

∴ 3 x 2 + 5 = 17

3 x 2 = 17 - 5

3 x 2

=12

[ ÷3

]x 2 = 4⇒ x = ±2 ∈ Q



35

)x ( = x 3 ح : Z Z اك /4 g )x ( = 7 ح g : Z Z

-49 343 -7 7 : اسي )og ()-1( : ف1

-1

-7

7

: اسي )go

()-1

( / ل)og ()-1( = [ g )-1(] = )7( = )7(3 = 343

)go ()-1( = g [ )-1(] = g )-1( = 7

)x ( = 3x + 4 ح : Q Q اك /5 g )x ( = 1-2 x ح g : Q Q

)gog ()x ( , )og ( )3( جد -. x ة )go ()x (= -43فد اك -

/ ل)og ()3( = [ g )3(] = [1-)2()3(] = )-5( = 3)-5(+ 4 = -15+4 = -11

)gog ()x ( = g [ g )x (] = g )1-2x ( = 1-2 )1-2x ( = 1-2+4x = -1+4x

)go ()x ( = g [ )x (] = g )3x +4( = 1-2)3x +4( =-6x -7 = -43⇒ 6x =36

x =6∈ Q

)x ( = 4 x -3 ح : { 1 , 2 , 3 ,.... } Z اك /6 . طتل كت مد )1

. رصا كر ب طتل اب )2

. طتل نو )3

. x ة = ) )xجد 53 اك )4

. x ة = ) ) o ( )xجد 1 اك )5

/ ل )x ( = 4x - 3

)1( = 4 )1( - 3 = 1

)2( = 4 )2( - 3 = 5

)3( = 4 )3( - 3 = 9...

{ 1 , 5 , 9 , ... } = لد ) 1 = { ) 1 , 1 ( , ) 2 , 5 ( , ) 3 , 9 ( , ... } ) 2



36

قاب ل ا ي ا ت م شام ل ) 34 ( )x ( = 4x - 3

4x -3 = 534x

=53

+3

4x = 56 [ ÷ 4] x =14∈ Z5 ( )o ()x ( = 1 ) )x ( ( = 1 )4 x -3( =1 4 )4 x -3(-3 =1

16x -15=1 16x =1+15 16x =16 [ ÷ 16] x =1∈ Z

ة ة لعة م مثة ف ام ك فق دل

لتقو -7

: فق دل ة ر يا *

fof ( ) x( ) = x : ب اب A , f x( ) = A − x : تل - 1.b ة جد gof ( ) b( ) = b− 1 كان g x( ) = x − 1 , f x( ) = x2 − x : كان - 2

b = 0,2 :و . b, x ∈ N , g : N → Z, f : N → N ح ل ب باق gof ( ) g x( ) = x + 1 , f x( ) = 3 − x : كان - 3

باق :و g : Z → Z, f : Z → Z

fog( ) a( ) = −aa2 : كان a ∈ Z دج g x( ) = x2 , f x( ) = 3− 2x : كان - 4

a = ±1 :و . g : Z → Z, f : Z → Z

لاطل ة *g : Z → Z

, f x( ) = x2 − 2 ح f : Z → Z تل - 1a ∈ Z جد gof ( ) a( ) = 3 كان g x( ) = 2 − x ح

g x

( )= 2 + x , f x

( )= x2

ح g :Q → Q , f :Q → Q

تل -2

fog( ) −1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= gof ( ) −1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟



37



38

عل تو - 1

ومرل ا ط ا

.Q

سة ل د -H ةس ل رغ د -.R ة ق ق د ة و م -

ة. ق ق د و -ة. ق ق د اعل -

لتربعة. - لتعة. -

اعتل قا . قتس ة م نقا ط ق ب ث ققح د ك -

ة م اصة ن .... ققح د و ققح يد مو -.ر ل ة م اصة ن ....ققح د و ققح يد رض صاح -

. ة اصة بد م .... a+b = b+a ف a,b ققح يد -ع ر ل ةصا .... a-b=a+)-b( ف a,b ققح يد -

.ر ل ة اصة بد م .... a.b = b.a ف a,b ققح يد -)Identity Element( .ر و ل ع د ي ا ر ع ل a+0 = 0+a = a د حقق a ف -

و 1. ب ر ل د ي ا ر ع ل a.1=1.a = a د حقق a ف - a+)-a(=)-a(+a = 0 ح - a و a دعل ع ر ل -

1 a ) a

1( )

a

1( a =×=× ح

a

1 و a a≠0 دعل ب ر ل ر ل - a ,b ,c ة ق ق د م -

ة لتعة( ص ا ( )a+b(+c = a+)b+c(ة لتعة( ص ا ( )a.b(.c = a.)b.c(ة لتويعة( ص ا ( a.)b+c( = )a.b(+)a.c(ة لتويعة( ص ا ( a.)b-c( = )a.b(-)a.c(

b ≠ 0 , c ≠ 0 , a,b, c ة ق ق د م -

a

b

=a.c

b.ca

b=

a ÷ c

b÷ c



39

. 0 b = 0 a = ف 0 b . a = اك : ر اصة لعام ل - b ≥ 0 , a ≥ 0 ح ص عل ab = a . b a,b ققح يد -

ص عل b>0 a ≥ 0 b

a

b

a=

ص عل a ≥ 0 a a . a = −a3 = − a3 aف >0 اك -

اه ام و .ققح يد ي -

ر. م اققح د يطر -ر. ف اققح د ر ي -ر. د حققا يقس -

.لا لتربع لعد حقق غر عي -.ققح دعل عتل عي -

لسوكة د - 2: ا لاطل وي ي ل ف نهاية

.س ل دعل يتعر -

.ق ق دعل يتعر -.لاسل ق ق دعل جو ق ق دعل ب ز -

سة ل رغ ةس ل د ة و م ب ز -.د قتسم ق ق دعل ث -

.ققح يد ي -ة. ق ق د ة و كر ي -

د كثر. ة ج يا نا تل دب تصا يو -.ق ق دعل ع ر ل عي -ر. م ققح د ر د ا كر ي -

ر. م اققح د يطر -ر. ف ققح د رض د ا كر ي -

ر. ف اققح د ر ي -

ة. ق ق د ف ر ل ة و كر ي -.اعل ون اي لتوي تل دب و يو -



40

.ق ق دعل ب ر ل ر ل عي -ر. ققح د سة د ا كر ي -

ر. د حققا يقس -

.لا لتربع لعد حقق غر عي -.ققح دعل عتل عي -

دل ة ة - 3عالة فث اع ح ا ه م ة و ت ةضايرل اعل م ة ق ق د ل ة ج ا ره

. N ةعطل د ة و م ت ل 5 عالة ق تل x ة x − 5 = 0

.Z ة ل د ة و م ت ل ب N ت ل x ة 5− = اف x + 5 = ا عالة 0 ب ة و م ت ل ي ب Z N ت ل x = 7

3 ح 3x −7 = 0 عالة ل ط ي

Q =a

b,a,b∈ Z,b ≠ 0

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

سة ل د

ا لسابقة. و م ت ل ± 3 معو x = ± 3 ح x2 − 3 = 0 ما عالة . R ة ق ق د ة و م د فان ثم اهل ت ة و م وجول ة ج ا ره ا

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : ت ت س ن ل م

ة ية ية ه ت م ةير وسب اه لتعر تل د ا ه ن ب ة ق ق د يرع سة. ل رغ د ا ب د نسة فتد ا ب اه لتعر R ت ل تل د ام ة. ه ت م رغ

. سة ل رغ ةس ل د ت و م ا ة ق ق د ة و م اف ل م.)34( ة ص )2-2-2( د كر ف لتا قر ب تل ة ق ق د و م. و ا له ر ب طع ة ف .اش رض د و )35( ة ف ص

:ا ر ل

1( − −a( ) = a a ∈ R ⇒ −a ∈ R

-)-a( و )-a( دعل ع ر ل اف ل

−a( ) + − −a( )( ) = 0 .........(1)

−a( ) + a( ) = 0 .........(2)

− −a( ) = a د )2( )1( م

2( a −b( ) = − ab( )



41

ا ر ل

a −b( ) = a −1( )b( ) = −1( ) ab( )∴a −b( ) = − ab( )

3( −a( ) −b( ) = ab

: ا ر ل دل ا ر ل يتر

ة ق ق د ل ةقط ةقل: ا ك عر a فا لقة طقة لعد a يرمز لها a ∈ R اك

a =

a,∀ a ≥ 0

−a,∀ a < 0

⎧⎨⎩

ح ر ب a2 ن

a2 = a =a,∀ a ≥ 0

−a,∀ a < 0

⎧⎨⎩

−2( )2= 4 = 2 ا ب −2( )2

≠ −2 ح ∀a ≥ 0 , a ≥ 0 امة و ب

a = ±3 ة اف a2 = 9 ا ب فق )3( اسي ل 9 ب زتل ي د ا م : ة ف ي ر ل ةلاح ف ام

433 = 4 , −3( )33 = −3 , −2( )55 = −2

−a3 = − a3 امة ف و ب هف ل ةماعل د ا ق ل ام

ann =a , n =

a, n =

⎧

⎨⎩

ج د

رف در. ل ة لقسة ل س م ف و د ي Q ةس ل د ة و د لتطر



42

ا لتعة نطة قترحة ع - 4ة لطة: ه

ة و م ك د م ديدج ة و م ل ا ت ه ج ةباسح ةم ك د يوض ف لد

ها. تل :و اث يقد و ا م ر مساحتها 23متر مرب ص ةعط بانها مربعة ل مساحتها 400متر مرب ةعط

تعط م ك ضر ا ف د ب س ل ح ةطل م طي -

ا ه ا ي وسل لطة يت نتا - 23 و لقطعة لثانة ض و 20متر ما 400 و لقطعة ل ض و ةطل رك ي -

سن رغ د فهو 23 د نس ما 23 د ا يوضس ل دعل يرع يط م لطة -

سة ل رغ د يرعتل د يتطر - وضو دي - 5سة ل ة ل ةعطل د د ضوي د ة و م ض ة د ت م ا و م ةس ل رغ

ة. ق ق د ة و م ا ة ق ق د ة و م سة. ل رغ د ة و م ةس ل

نتة ققح سن ص د و ع د ك -

ققح سن د و ص د ك -ققح د سن د ك -

ققح د و سن رغ د ك -



43

عوما

891 - 815( ر ام لهر لتا رقل ا رب ا ق ل س ب اضايرل ف ا ق ل ا ف م قف ا س ا ب ال و .) 1486 - 1412

. ا اع ر ا س ف ومرل ا ت ز ت ر ا اي ا ف زف ) 1512 - 1477 919 - 841( ا اغ ب حد ر ف م عتسن ام و ) ( دعب د ل ل ز ت ل ش = و لعد هو بر ل زم

و بر مع كا مز لو لرمز: = X S حر باقم ر ل ع ت لو ل = حر ل ك .رعل د لعا ة ح يع ل )ا( ر م صط ت م فرنسا ل قتن بعد زم ج حر يدع ر .دعل ف كا يوض عبرتل لرمز ر ق ت ل ب و ل فقا طا ل ر يت ل ا وف

اا. دغ و

ه س ن ب و و ت ي ةطل - ا لد لطة ل اث -

0.49 × 0.81 )2 0.81×0.49 )1

: اث ح

0.81×0.49 = 0.9( )2× 0.7( )2

= 0.9 ×0.7( )2

= 0.9 ×0.7 = 0.63 : ناثل اث ح د

0.49 × 0.81 = 0.7 ×0.9 = 0.63

ة ص ا ل وصوتل ا ت ل اس و ح ي ةطل ةهبام ةثم - a,b ققح يد

. b ≥ 0 , a ≥ 0 ح ص عل ab = a . b

و ةقل وصوتي ةطل ةقيرطل ب



44

ا ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

لاطل ط حانا ي 0.16 ا مث ي د ل وي امد -

ل يو بتوي لسر لعر لطال ب ضو ي ل ل0.04

0.8

ا :يت ل ا ك ةص و ب ة اي 2 ل مرفو مقا صو بس

0.16 =16

100=

4

100

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=4

10= 0.4

ة ق ق د ة و م بدلة لس ة لطر كد ت ل -

3 − 2 ≠ 2 − 3

ي اك لطر ت عتل ع ب ر ت ل وي وي -

a + b = a + b

a − b = a − b

a + b3 = a3 + b3

a − b3 = a3 − b3

≠

≠

≠

≠

لطة ل ضوتل ةثم ح بع

: مث9 + 16 ≠ 9 + 16

25 ≠ 9 + 16

5 ≠ 3 + 4

5 ≠ 7



45



46

ا لتري ح - 62-1 يا وح

:وص ف بس ك ما ي :1ض

:لa( 2 3 + 5 2 + 3 − 2 2

= 2 3 + 3( ) + 5 2 − 4 2( )= 3 3 + 2

4

b( 1

47 −

3

25 +

3

47

= 14

7 + 34

7⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − 3

25

=1

4+

3

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 7 −

3

25

=4

47 −

3

25

= 7 −3

25

:وص ف بس ك ما ي :2ض:ل

a( 3 2 ( 4 2 − 3)

= 12( ) 2( ) − 3 6

= 24 − 3 6

= 3 8 − 6( )

b( 2 3 + 5( ) + 3 3 − 2 5( )= 6( ) 3( ) − 4 15 + 3 15 − 2( ) 5( )

= 18 − 15 −10

= 8 − 15

c( 4 6 − 3( )2

= 4 6 − 3( ) 4 6 − 3( )= 16( ) 6( ) − 4 18 − 4 18 + 3











51

ح 14cm2 اس ABCD طتسل مساحة كان ال ل ف x ة جد )b( x > 2

A B

CDx + 2( )

x − 2( )

:ل لعر × وطل = طتسل ةحاسم

x − 2( ) x + 2( ) =

x + 2 x − 2 x

x − 2 = 14

∴x = 14 + 2

x = 16

− 2 = 14

ABC ثل ةحاسم دج )c(ا × د ا ق ل 1

2

=ثل ةحاسم

1

25 − 3( ) . 5 + 3( ) =ثل ةحاسم

A

B C5 − 3( )

5 + 3( )1

25 + 15 − 15 − 3( ) =

1

22( ) = 1 حد مربعة



52

ر لقاير لتالة ت : 1

a( 813 − −243 − 3−1

93

813 + 243 + 31

9.3

33

= 3 33 + 2 33 + 33

273

= 5 33 +3 33

3

= 6 33

b( 7 54

3

− −16

3

+ 4 −128

3

= 7 27( ) 2( )3 + 8( ) 2( )3 − 4 64( ) 2( )3





54


لتقو - 7

لاطل قو ة *

: ك ما ي بس :1

1

2+

9

8−

1

32)3 2

3− 5 24 )2 3

2+

2

3)1

31

12−

1

15+ 5

3

5)4

563 + 1893 + −73 )5

:2

ول حد جد 2 2( ) رض حد مساحة 32 + 18( ) مستط مساحت )a

دح 2 + 1( ) و ضع ةعم دح 7 + 5 2( ) ح عم )b

43 + 1( ) ا ةحاسم دح 163 + 43 + 1( )− د ا مساحة مستطة طو وتم )c

ح دج دح



55



56

عل تو - 1

ومرل ا ط ا

ة ن د -ة ي د -عبرم ب ر ل -عم ب ر ل -عم مو -ة ث ل ة ي د -مال رب - كر لعام تر -

ر ص تر ا -سة ل ا ي د ا ت -سة ل ا ي د رض -سة ل ا ي د ةس -سة ل ا ي د ج -سة ل ا ي د ر -

اعتل قا a2 − b2 = a − b( ) a + b( ) -

a3 − b3 = a − b( ) a2 + ab + b2( ) -a3 + b3 = a + b( ) a2 − ab + b2( ) -

اك مربعا كام ax2 + bx + c ة ي د و -

±2 ax2

( ) c( ) = bx. ر ص ب ث حاص ضر لعوم تركة فق كر: لعام تر GCF -

. ر ك ب ةكرت رغ ةكرت موعل رض صاح ث ر: ص تر ا LCM -اه ام و

a + b( )2 يد نا -

a − b( )2 يد نا -

عبرم ب ر صو ل و دما ة ن د ي -عم ب ر صو ل و دما ة ن د ي -



57

عم صو مو و دما ة ن د ي -ا ر غ مال صو رب تل ة ث ل ة ي د ز -

مال صو رب ة ث ل ة ي د ي -

مربعا كام ة لت ث ل ة ي د ف و ق د دي كر- لعام تر ر ت ب ا ي د ي -ايدل ر ص تر ا يد نا -

سة ل ا ي د ر ت ي -سة ل ا ي د ر ج يد نا -سة ل ا ي د ة س رض يد نا -


ة ي د رغ ة ي د ب ز -ر ف ةندح ر ي -

عبرم ب ر صو ل و دما ة ن د ي -عم ب ر صو ل تل ة ن د يتعر -

عم ب ر صو ل تل ة ن د ي -عم صو مو تل ة ن د يتعر -

عم صو مو تل ة ن د ي -ة بالتربة ث ل ة ي د ي -

ا ر غ مال صو رب تل ة ث ل ة ي د ز -د م قد ز ت س م ة ث ل ة ي د ي -

مربعا كام ة لت ث ل ة ي د ف و ق د دي -ايدل رك يد لعام تر -

ايدل ر ص تر ا دي -سة ل ا ي د ا ت ف تل د ت س ي -

سة ل ا ي د ة س رض ف تل د ت س ي -سة ل ا ي د ر ج ف تل د ت س ي -



58

دل ة ة - 3 اف ر هة ف لرياضا كا معو م )Polynomials(ا ي د يعد موضو

:ب تتف دح ر ت كان د حد فا تو م حد مو ا ي د

a0 xn

+ a1xn−1

+ a2 xn−2

+ .....+ an

n∈ N )Coefcients( م ا ع د a0 , a1 , a2 ,....an ∈ R :ح. a0 ≠ 0 اك n ة ي د ةج و :

د n , m اب a∈ R ح a xmyn ب تل د ي x,y فتو مو ر ت و د الة. صة غر

حد فها )n+m ( اس ة ي د جة

ة ي د

س

ة س م ا

3 + 2 = 5( )

:

x4 − 5x3 y2 + 6xy− 8x + 1

ة ي د

جة

:فث

ا: د ح دعب)Monomial ( د ةياح د م حد حد كان *

)Binomial ( حدنة د يدح م كان *)Trinomial ( د ة د دح ة م كان *

تطر ا ل لتطر رق ه ف ت ل ا ب رك ة يدح م ة ي د ة ي د ةج ي دل ح اهضو ة ةثم ا ي د ف ةهم ةقيرطل لسابقة ي بالطر ا كا ل رق اتل ف و ك بالطر ا ي ل لطريقة د ت ا ب

. ر رم ةقيرطل ري: تن ل د ها وط a0 xn + a1xn−1 + .....+ an ة ي د ا ي د ل ر ل ر ص اس ع لقة لعدية لدية بعد لتعوي ب x = b ة د )1

د عن )2

an........

a1

aعام0

a0b ج b

0 a1 + a0ba0

ر ص اسي ق ي يو نا



59

x2 − 3x + 2 )1 ح / مثةx − 2( ) x − 1( ) وي تل رق ه سح رع /

م ا ع ريقة

عام2-31

-22 ج b = 2

0-11

x − 2( ) x − 1( )x

3

+ 27 ح )2x + 3( ) x2 − 3x + 9( ) عم لسابقة يو لت مو حس لطر / x3 + 0x2 + 0x + 27 : ب ة ن د تن

عام27001

-279 ج -3 ج b = −3

09-31

x + 3( ) x2 − 3x + 9( )

x4 − 1 ح )3 x4 − 1 = x − 1( ) x + 1( ) x2 + 1( ) وي ةقباسل حس لطر /

x4 + 0x3 + 0x2 + 0x − 1 ب x4 − 1 كتابة طتسن

عام10001-1111b = 1

01111

x3 + x2 + x + 1( )x − 1( )



60

عام1111

-10-1b = −1

0101x + 1( ) x2 + 0x + 1( )

∴x4 − 1 = x − 1( ) x + 1( ) x2 + 1( )x4 − 2x3 − 8x2 + 18x − 9 ح )3

/

عام918-8-21-

9-9-11b = 1

09-9-11

عام9-9-11

-901b = 1

0-901

x − 1( ) x3 − x2 − 9x + 9( )

x − 1( ) x2 − 0x − 9( )x − 1( ) x − 3( ) x + 3( )

x − 1( ) x − 1( ) x − 3( ) x + 3( ) و ا ه ل تل ∴ا لتعة نطة قترحة ع - 4

: ة لطة ه تل فث ة د ه ل اشاب ة ن ا ع ت ا ب ا ي د موضو ف لاطل ا مرجعة -

a2 + b2 ب مربع ما ر a2ث ل − b2 ا ه ر ب ةطل رك ب مربع بعد يت ر ل رحة. ف اه عبرم ب ر ث ل

م b ةناثل ض و دحول م a ل ض و تعبرم ت ا ط ب د ت ا ب a2 − b2 ث يت -د لثان مساحة ث دحول م a اهعض و تل ةعبر ة ق ط ةحاسم د ث دحول



61

دحول م b اهعض و تل ةعبر ة ق ط ة ربعة ق ط ةحاسم ب مربع يع ر ل تل ا 1 ل ف اك تعبر ت ا طل ن -

ة ربعة لثانة ق ط ةحاسم نا ل

a2 − b2

∴a2 − b2

a2 − b2 = ة ةحاس =

=

= a a − b( ) + b a − b( )= a − b( ) a + b( )

1 ل )a-b( )a+b( ة ستطة ق ط ةحاسم ث ا ل -

حدية ث ا ل 50 ة ص ف رع اثاب حدنة رب لطة كر يت لطريقة ب -ة

.عم ب ر ل وضو لتطر ة يت ي د ة ن د ةطل ر ك ت ي دعب - وضو دي - 5

ة ح م a − b( ) a2 + ab+ b2( ) ر مع ب ب مع مو ر ل ة ك ضوتل -

. ا ل

. ا ل لتوص ل ر لت ل ا ب م حد لطة لقا د طي -: ا ك عم ب ر لتوص لقانو ل يت ل م عم و لد -

a3 + b3 = a + b( ) a2 − ab + b2( )

: a3 − b3 = a3 + −b3( )

= a3 + −b3( )( ) a2 + ab + b2( )

a3 − b3 = a − b( ) a2 + ab + b2( )

ا: ه ت ا ع م ةع ا ل طا

حالة ف تر ماعل ر ت عم مو عم عبرم ب ر ل ي -.وج



62

. ماعل ر ت ا ب ضر لد لطة ل - عم مو ر ل د ر د لو ب اش ف ةطل ط ي -

و ق ل ماعل ر لت ب د م نا ك ت ل رض لطة ل -

ة ث ل ة ي د طل ة هة دية اثم طا ب د يقو ة ث ل ة ي د ا ب ةطل كر بعد -

: ا ك ةعبر ةطتس اش د ت ا ب اه 3a +2 +a2

a2 + 3a + 2 = a + 2( ) a +1( )

وضو دي اي دج ون ة حدية تل ن لطة ب ض - مو د ت ا ب ( ط د ضربها صاح ص يد

د لو ا ه و م )دعل تت د م 54 ة ف ص وجو ةثم ةطل -

يدعل ديد م فرطل ط و ل ر ب تل صة م لتق -

. يا ناا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

تل ةص م بالتق ه كد ت ل ي ل لت ل ا دعل ا ت ف ةطل ط د ي -.ر ل ا ب

مال ربة لطة ه

نسها ا نو م ا ه ل ة حدية ث ل ة ن د مرب نا اي ة ك ا ح ر ش لام مربعا كام صو رب ة حدية

x − 2( )2 يا نا مثعتر مربعا كام تل ة ث ل ة ي د ث ل x2 − 4x + 4 و ا ل

وضو ديا ا ر ش رفوتي ي مال ة لت ث رب ي د تل ن ب لطت د رك بدية ي -

ي لثال مربعا د م ك - 1 لاثل ي د ا م ضع حاص ضر ج نا د - 2



63

اتلاب وجو ةثم شر د ا ق ل طا مثة لت ث مربعا كام ا ز مثة لت ث مربعا كام طا دعب

ة لطة ±2 ax2

( )c

( ) =bx

اك مربعا كام ax

2

+ bx + c ة ي د و 60 ة ل ف ةثماب ة ن ا ع ت ا ب ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

تل ةص م لتق ل كد ت ل ي ي د ب اشاب ةطل بع ط د ي -

ر ص تر ا رك لعام ترة لطة: ه

ر ك رثك يدعل ر ص تر ا رك ة يا لعام تر ل ةعير مرجعة - ر ص ث ضر لعوم تركة ب كر لعام تر لطة ب

ب ضوتل ر ك ب ةكرت رغ ةكرت موعل رض ث ر ص تر ا ام لطريقة و ب ايدل ةس ل ا ب ا ماعل اي ةقير

: وضو ديايدل ر ص تر ا رك يا لعام تر اث -

3a x − y( ) , 6a x − y( )2

: 6a x − y( )2

= 2× 3× a x − y( )

3a x − y( ) = 3× a x − y( )

x − y( )2

صاح و كر لعام تر ف ي د ب ةكرتم مو ا د ا ة ل ح م مGCF زمرلاب يرمز ل 3a x − y( ) رض

ر ك ب ةكرت رغ ةكرت موعل رض صاح و ر ص تر ا امLCM زمرلاب 6a xيرمز ل − y( )2

ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط ماعل اي ف اناحاف ا ماعل ةس ل ا ب ر ص رك ب زتل لطة ل رض - كد ت ل ي ا ي د ماعل و كر د لاطل رتعي رك تر

ا ماعل اي ا يت د ع ب ا ي د

ة ي ر رياق س ف تل د ت



64

ة لطة: هر ت رسل ة ر ف ص اسي ققح دعب قا ضر ك م لس ن كر لطة ب -

ر ت رسل ة ر ف ص اسي ققح د قا ك م لس س -

وضو دي و ط ب ة يت ي ر رياق س وسل ا ت اب د رك ي -

موعل ل لس - 1

موعل ل قا - 2

قا ب لس ديد لعام تر - 3

كر. لعام تر قا سة ك م لس - 4

ة 67 مثة عرضة بالتا ف ص م ل يوض رض وي لقسة ل ا ي د كد ت ل سة ي ل ا ي د ة س رض د ما

ا ت بس مقام مقا قد لثان لو بسط م ا اياب اماق دحو ا ي د سة ي ل ا ي د ر ج د ما

ة بها ن ا ع ت ة 70 ل ا ب ةضرع ةثم اهحر د ب لقا ر ص ترا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

تل ي – + اش وج حالة ف قا لس ب ا ت وي وسل س د -ا ت ا ه ت تل لطر باحد

د تابهة ج ة بد انو لتوي د ت وسل ج د كد ت ل -: ة ا حالة د ي -

x − y

y − x= 1

: كا ي د اثم

ف ل ك9 − 5

5 − 9=

4

−4= −1

x − y

y − x=

− y − x( )y − x

= −1



65

ا لتري ح - 6

)3-1( يا ح:وص ف بس ا ي ك ح :1

1( x2 − 125 = x − 5( ) x2 + 5x + 25( )

3

2( 8 + 27y2 = 2 + 3y( ) 4 − 6y + 9y2( )

3

3( a3 − 64b3 = a − 4b( ) a2 + 4ab+ 16b2( )

4( 3x3 + 81y3 = 3 x3 + 27y3

( ) = 3 x + 3y( ) x2 − 3xy + 9y2( )

لر لطال لقو :ضر ي ة ح م عم مو فر م ا ل

.مال ب رب ب ل ايا رحة ف 5(

= 2xy y +(

8

2xy4 + 16x4 y = 2xy y3 +(

x3 )

2x

x) y2 −( 4

+

x2 )

2xy

6( 8

27a3 − 1 =

2

3a − 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

9a2 +

2

3a + 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟



66

7( 1

5+

1

25Z3 =1

51+125Z 3( )

=1

51+ 5Z( ) 1− 5Z + 25Z 2( )

:اماق دحو : ل ر رف

1+125Z 3

5=

1

51+125Z 3( )

=1

51+ 5Z( ) 1− 5Z + 25Z 2( )

8( 1000a3 − b3 = 10a − b( ) 100a2 +10ab + b2( )

9( x

6

+ y

6

= x

2

+ y

2

( ) x

4

− x

2

y

2

+ y

4

( )10( 32 −1

2a3 =

1

264 − a3( )

=1

24 − a( ) 16 + 4a + a2( )

11( x9 + x3 = x3 x6 +1( )

= x3

x2

+1( ) x4

− x2

+1( )12( 3x3 +

1

9y3 =

1

927x3 + y3( ) =

1

93x + y( ) 9x2 − 3xy + y2( )

13( x4 − x = x x3 −1( ) = x x −1( ) x2 + x +1( )

14( 0.064x3 − 0.027y3 = 0.4x − 0.3y( ) 0.16x2 + 0.12xy+ 0.09y2( ): ر بطريقة

64

1000x3 −

64

1000y3 =

1

100064x3 − 27y3( )

=1

10004x − 3y( ) 16x2 +12xy + 9y2( )

: صة جابا حد فق ب ا ي ل :21( c 2( a 3( c 4( a



67



68

)3-2( يا ح: ا ي ك ح :1

1( x2 + 6x + 8 = x + 4( ) x + 2( )2

(x2 − 2x −15 = x − 5( ) x + 3( )

3( x2 + 3x + 2 = x + 2( ) x +1( )4( 4x2 +12x + 27 = 4x + 9( ) x + 3( )21

5( x2 +11x + 80 = x +16( ) x − 5( )−

6( 4x2 − 4x −15 = 2x + 3( ) 2x − 5( )7( 6x2 − 7x − 20 = 3x + 4( ) 2x − 5( )8( x2 + 20x +100 = x +10( ) x +10( ) = x +10( )2

9( 16x2 + 8x +1 = 4x +1( )2

10( 4x2 +12xy + 9y2 = 2x − 3y( )2−

: ة ث مربعا كام ا ي د ب :21( x2

− 18x + 81

↓ ⇓ ↓

x( )2 − 2 x( ) 9( ) 92

= −18x ماك ة مرب ي د ⇒ x2 − 18x + 81 = x − 9( )2

2( x2 −7x + 49

↓ ⇓ ↓

x( )2 − 2 x( ) 7( ) 7 2

= −14x ≠ د −7x

( ) ماك مرب ة لس ي د 3( 4x2 + 25 −12x

4x2 −12x + 25 : الا لت ة ي د نر

x2 −7x + 49

↓ ⇓ ↓

2x( )2 − 2 2x( ) 5( ) 52

= −20x

4x2 + 25−12x

≠ د −12x( ) ماك مرب ة لس ي د



69

4( 4x2 − 25 − 20x = 4x2 − 20x − 25

لا )-25( ر د مربعا كام ة لس ي د 5( 8x2 − 40x + 50

6(−x2 − 2xy− y2

ام متر ر دعب اماب ل ا اهعض مربعا كامة 6لس 5 ف ة ي د : ة ح م: كام كا ي مرب ي لقو ف

2 4x2 − 20x + 25( )

= 2 2x − 5( )2

− x2 + 2xy_y2( ) = − x + y( )2+

: مربعا كام ة لت ا ي د ك :3

1( ....... - 32x +64

: فق د ونا د ت / د = 2 √ د . √ لاثل د

32x = 2 √ د . √ 64 = 2 8( ) √ د

√ د

=32x

16= 2x

فرطل برتب ⇒ د = 4x2

∴4x2 − 32x + 64 = 2x − 8( )2= 2 x − 4( )⎡⎣ ⎤⎦

2

= 4 x − 4( )2

2( x2 − 12x + .....

د = 2 √ د . √ لاثل د

12x = 2 √ x 2 . √ لاثل د ⇒ 6 = √ لاثل د : ن فرطل برتب

لاثل د = 36

∴x

2

− 12x + 36 = x − 6( )

2



70

3( 25x2 − .......+ 9y2

د = 2 √ د . √ لاثل د

= 2 √ 25x 2 . √ 9y 2 = 2 5x( ) 3y( ) د = 30xy

∴25x2 − 30xy + 9y2 = 5x − 3y( )2

4( ......+ 24ab+ 36b2

24ab = 2

√ د .

√36b2 = 2

√ د . 6b

√ د =24ab

12b= 2a

: ن فرطل برتب د = 4a2

∴4a2 + 24ab + 36b2 = 2a + 6b( )2= 4 a + 3b( )2

: ا ي ل ة ل ةباج دح: 4

1( b 2( bة ايدل )GCF ( , )LCM( جد : 5

1( x3 + y3 , x2 + xy , x3 + xy2

−

: كام ة ي ر رياق ن

x3 + y3 = x + y( ) x2 − xy + y2( )x2 + xy = x x + y( )

x3 − xy2 = x x2 − y2

( )

= x x − y( ) x + y( )

∴GCF = x + y , LCF = x x + y( ) x2 − xy + y2( ) x − y( )

= x x − y( ) x3 + y3( )

LCM

2( x4 −16 = x2 − 4( ) x2 + 4( )

= x + 2( ) x − 2( ) x2

+ 4( )x4 + 8x2 +16 = x2 + 4( )

2



71

x6 + 64 = x2 + 4( ) x4 − 4x2 +16( )

∴GCF = x2 + 4 , LCF = x − 2( ) x + 2( ) x2 + 4( )2

x4 − 4x2 +16( )

LCM

3(3x2

−3x2 y2

=3x2 1

−y2

( ) = 3x2 1− y( ) 1+ y( )5x + 5xy = 5x 1+ y( )

x − xy − 2xy2 = x 1− y − 2y2( ) = x 1+ y( ) 1− 2y( )

∴GCF = x 1+ y( ) , LCF = 3x2

LCM

1− y( ) 1+ y( ) 1− 2y( )15x2

4( 1

2x2 − 2 = 1

2x2 − 4( )

=1

2x − 2( ) x + 2( )

2x3 −16 = 2 x3 − 8( ) = 2 x − 2( ) (x2 + 2x + 4)

3x2

− x −10 = 3x + 5( ) x − 2( )GCF = x− 2 , LCM = 2 x − 2( ) x + 2( ) (x2 + 2x + 4) 3x + 5( )

, LCM = 2 x − 2( ) x + 2( ) (x2 + 2x + 4) 3x + 5( )

1

2x − 2( )

5( 5x2 − 3x( )3

= x 5x − 3( )⎡⎣ ⎤⎦3

= x3 5x − 3( )3

5x2 + 7x − 6 = 5x − 3( ) x + 2( )

10x2

− 6x = 2x 5x − 3( ) GCF = 5 x− 3 , LCM = 2x3 5x − 3( )3 x + 2( )

6( x2 − y2 = x − y( ) x + y( )

x3 − y3 = x − y( ) x2 + xy+ y2( )

x − y( )4= x − y( )4

7x − 7y = 7 x − y( )

GCF = x − y , LCM = 7 x − y( )4x + y( ) x2 + xy + y2( )



72

)3-3( يا وح: ا ي ك بس :1

1( x3 + 8

x3 − 2x2 + 4x=

x + 2( ) x2 − 2x + 4( )

x x2 − 2x + 4( )=

x + 2

x

تي ع مو فر م )د ة ( ناثل لطال لقو ي : ة1 ح م

.مال ب رب ب ة يت ل ا ف2( x2 − y2

x2 − xy − 2y2=

x − y( ) x + y( )

x + y( ) x − 2y( )=

x − y

x − 2y

د لعوم لس ح ا يت ت ة ف لطال ن ي : ة 2 ح م

3(12 − 4x

x2 − 2x − 3=

4 3 − x( )3 − x( ) x + 1( )

=4 − 3 − x( )⎡

⎣⎤⎦

3 − x( ) x + 1( )=

−4

x + 1x − 3( )



73

:لاتل ف اك ة ن د ف اش ر عب لاطل ي ة 3: ح مx − y = − y − x( )

y − x = − x − y( )

: وسل ا ت ف ا ر غ م رثك ةبوعص اهف لاطل ة لت ي ي ر اه م تر ع : a − b

b− a=

− b− a( )b− a( )

= −1

4(x 2x − 1( ) − 1

x x − 1( )وص بس ف ا قا ب و بعد فت ي رسل بس ح

2x2 − x − 1x x − 1( )

= 2x + 1( ) x − 1( )x x − 1( )

= 2x + 1x

:وص ف بس ا ي ك جد نا :2

1( x2 + 7x − 8

x − 1.

x2 − 4

x2 + 6x −16

=x + 8( ) x −1( )

x −1( ).

x − 2( ) x + 2( )

x + 8( ) x − 2( )= x + 2

2( x2 + 9x + 20

x2 + 5x − 24÷

x2 +15x + 56

x2 + x −12

=x + 5( ) x + 4( )x + 8( ) x − 3( )

÷x + 8( ) x + 7( )x + 4( ) x − 3( )

=x + 5( ) x + 4( )

x + 8( ) x − 3( ).

x + 4( ) x − 3( )

x + 8( ) x + 7( )=

x + 5( ) x + 4( )2

x + 8( )2 x + 7( )

3( x2 + x +1

x4 − x−

x + 3

x2 + 2x − 3

=x2 + x +1( )

x x −1( ) x2 + x +1( )−

x + 3( )

x + 3( ) x −1( )

= 1

x x −1( ) − 1x −1( ) = 1− x

x x −1( ) =x −1( )

x x −1( ) = −1x

−

=x + 8( ) x −1( )

x −1( ).

x − 2( ) x + 2( )

(x + 8) (x − 2)

= x + 2

=x2 + x +1( )

x x −1( ) x2 + x +1( )



74

4( x2 + 4x − 21

x2 +14x + 49÷

x − 7

2x2 − 98=

x + 7( ) x − 3( )

x + 7( ) 2÷

x − 7( )

2 x − 7( ) x + 7( )

=

x − 3( )x + 7( ) .

2 x + 7( )

1 = 2 x − 3( )

5( x2 − xy − 2y2( ) ÷x2 − y2

x2 − 2xy + y2. x3 − 8y3( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= x + y( ) x − 2y( ) ÷x − y( ) x + y( )

x − y( ) 2. x − 2y( ) x2 + 2xy+ 4y2( )

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= x + y( ) x − 2y( ) .x − y( )

x + y( ) x − 2y( ) x2 + 2xy+ 4y2( )=

x − y

x2 + 2xy+ 4y2

6( x2 − 2xy + y2

x − y.

x + y

x − y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ÷

x2 − y2

x2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=x − y( )

2

x − y( )

.x + y( )

x − y( )

.x2

x − y( ) x + y( )

=x2

x − y

7( 3

x −1+

2

x + 3+

8

x2 + 2x − 3=

3

x −1+

2

x + 3+

8

x −1( ) x + 3( )

=3 x −1( ) + 2 x + 3( ) + 8

x −1( ) x + 3( )=

3x + 9 + 2x − 2 + 8

x −1( ) x + 3( )

=

5x +15

x −1( ) x + 3( ) =

5 x + 3( )

x −1( ) x + 3( ) =

5

x −1

x + 3( ) x −1( )

8( x − 3

x −1+

5x −15

x − 3( )2−

3x +1

x2 − 4x + 3=

x − 3

x −1+

5 x − 3( )

x − 3( ) 2−

3x +1

x − 3( ) x −1( )

=x − 3

x −1+

5

x − 3( )−

3x +1

x − 3( ) x −1( )=

x − 3( )2+ 5 x −1( ) − 3x +1( )x − 3( ) x −1( )

= x2 − 6x + 9 + 5x + 5 − 3x −1

x − 3( ) x −1( )= x2 − 4x + 3

x − 3( ) x −1( )= x − 3( ) x −1( )

x − 3( ) x −1( )= 1−



75

9( x3 + 27

x + 3÷

x3 − 3x2 + 9x

x2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ÷ x

=x + 3( ) x2 − 3x + 9( )

x + 3( )÷

x x2 − 3x + 9( )

x 2

⎛

⎝

⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟÷ x

=x2 − 3x + 9( )

1.

x

x2 − 3x + 9( )

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.1

x=

x

x= 1

10( 4x2 −1

4x2 − 4x +1+1 =

2x −1( ) 2x +1( )

2x −1( ) 2+1

=2x +1

2x −1+1 =

2x +1+ 2x −1

2x −1=

4x

2x −1


x2 − 3x + 9( )

x2 − 3x + 9( )



76



77

عل تو - 1

ومرل ا ط ا

اعل

-اعل ن -اعل و ل -

لرب -لعا ركة -ة ح و ت -

ة ي ا ت -

ة ي ا ت ح ة و م -ا ي ا ت و -

عالة -جة عالة -

ر ت -ي ر ت عالة م لدجة ل -

ي نا ر ت ح معالت م لدجة ل ر حد- ت عالة م لدجة لثانة -ر حد ت ح عالة م لدجة لثانة -

ح عا لسرية -

اعتل قا a,b, c ∈ R اك -

ف -1)a < b,b < c ⇒ a > c2)a < b ⇒ a + c < b+ c

3)a < b ⇒ a − c < b− c

a <

4)a < b جوم د c ⇒ ac < bc

5)a < b لا د c ⇒ ac > bc

6)a < b جوم د c ⇒a

c

<b

c7)a < b لا د c ⇒

a

c>

b

c



78

اه ام و ا م لدجة ل ي ا ت ح -

ركة ح -

ة بانا ي ا ت ل و ة و م ث نا(- )بانا ي ر ت ح عا م لدجة ل -ر حد ت ح عا م لدجة لثانة -

ح عا لسرية -


اعل يتعر -اعل ن يتعر -

اعل و ل يتعر -ا ي ا ت و كر ي -

ة ي ا ت جة ياضة يعر -ة ي ا ت ي -

ي بانا ر ت ي عا م لدجة ل - د ت ا ب ان ي ر ت ي معالت م لدجة ل -

لتعوي - 1

- 2

د ت ا ب دح ر ت ي معالة م لدجة لثانة -تل ةقير - 1

ريقة كا رب - 2و ت د ل ةقير - 3

ر حد ت ة ح عالة م لدجة لثانة و م عي -ة ا ح م ا ت ة ل ا س م ي -

دل ة ة - 3 م بالترف ا ه ت ر ا ت اضايرل ام ف رثك ا ه ا ق ط رك ة ا اي تل

ة. ط ةمرل ة ف موضو ط اع ة و م ف ة ا ر ت ل ةط لة ع ة ما ة ة ط ةمرلاف



79

ر ت ح عا م لدجة لثانة دج رف ط رق اتل ة ط ا ي ا ت اع)ق و د ت ا ب ( ا م لدجة ل ي ا ت ح ف رف طع ة ف دح

. ر حد ت لدجة لثانة

ر حد ت ة م لدجة ل ي ا ت م ح : د ت س ن ة ي ا ت ح فة لتويعة ص ا

ع ر ل ةفاض -ب ر ل ر ل ف ر ل -

ة لتعة ص ا ل د ي ا ر ع ل -

ر ل د ي ا ر ع ل -3 x − 2( ) ≥ 5 : ة ي ا ت وح ة و م دج : 1اثم

3x − 6 ≥ 5 ..... اصة لتوي3x − 6 + 6( ) ≥ 5 + 6( ) .....ع ر ل ةفاضاب

3x + −6 + 6( )⎡⎣ ⎤⎦ ≥ 11 ..... تل ةصا

3x + 0[ ] ≥ 11

3x ≥ 11 .....ع د ي ا ر ع ل 1

33x( ) ≥

1

311( ) ..... ب ر ل ر ل

1

3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 3( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ x ≥

11

3..... تل ةصا

x ≥11

3

.....ب ر ل د ي ا ر ع ل

∴s = x : x ∈ R, x ≥11

3

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ر حد ت ا م لدجة لثانة ي ا ت م ح : انار ص اسي ة ي ا ت فر ع حد )1

x = a, x = b وعل د x − a( ) x − b( ) = 0 : ن قد ل )2

ا ت ل ط نر )3



80

a b

اشx − a( )

اشx − b( )اشx − a( ) x − b( )

x2 ≤ 9 : ة ح تاي و م دج : 2اثم

x2 − 9 ≤ 0 : ب ة ي ا ت ع /

x2 − 9 = 0 ⇒ x = ±3 : ع

-3 3 40-4

اش+--x − 3( )

اش++-x + 3( )

اش+-+x − 3( ) x + 3( )

∴s = −3,3[ ]

x2 − 3x − 4 > 0 : ة ي ا ت ح : 3اثم

x2 − 3x − 4 = 0

x − 4( ) x + 1( ) = 0

x = 4, x = −1

/

-1 4 50-2 +--x − 4( )

++-x + 1( )

+-+x − 4( ) x + 1( )

s = R / −1,4[ ]



81

: اث ف ا و ن ةيدح ة ي ا ت م ةي ةناثل ةجدل ا ي ا ت م ر ةقير ا2x2 − x − 1 > 0 : ة ي ا ت ح : اثم

2x2 − x − 1 = 0

2x +1( ) x −1( ) = 0

ع /

⇒ x = −1

2, x = 1 Partition numbers ة ز د

: ي اك ةيد ا و م ل قتس قس ف د قتسم 1,−1

2 يدعل عن

+ + + + − − − − + + + + ⋅ ⋅

1

-1

0

2

−1

2⋅ ⋅ ⋅

ها ة حد م ك م ب لث ا م ة ق ط م ك د 2x +1( ) x −1( ) : دق اش ر ت ن : ف اك

x = −1 دما ⇒ 2x +1( ) x −1( ) = +( )

x = 0 دما ⇒ 2x +1( ) x −1( ) = −( )

x = 2 دما ⇒ 2x +1( ) x +1( ) = +( )

ة و م ض د ة ل لتز د ح x : x < −1

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∪ x : x < 1{ } = ة و م ∴

اس ياتل زم وتح لعد

x3 − 4x ≤ 0 : ة ي ا ت ح : اثمx3 − 4x = 0

x x2 − 4( ) = 0

ع /

⇒ x = 0, x = ±2 ة لتز د − − − − + + + − − − − + + + -2 0 2

⋅ -3 -1 1 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

x x2 − 4( ) دق اشx : x < −2{ }∪ 0,2[ ]≤ : ة و م ∴



82

يعتقد تل 2 P −1( ) − 3 > 2P + 3 : ة ي ا ت 12 )4-1( يا ة و م ف : ضو

: ر Pكا يوض ت ز ت ي اهح د ة ن ا نها لع

2 P −1( ) − 3 > 2P + 3

2P − 5 > 2P + 3⇒ −5 > 3 φ = ة ي ا ت وح ة و م ة ا ا

No Graph : ة و م ث : اث ف اك ر ة ل ا ام

3 1− y( ) < 5 − 3y

3− 3y < 5 − 3y

⇒ 3 < 5 ة ا ص ا •0

R = ة و م ∴: و حد ر ت لثانة لدجة اعم ح موضو ف لا ط اث نعو )**(

x ∈ R, x2 = 4x

ة ا ةقيرطل ل ةقيرطل

x2 = 4x

: x رف عالة بقسة

⇒x2

x=

4x

x⇒ x = 4

تل قل و فقد حد لطريقة ف ط د ب ن ل x ر ت ب عالة قعالة ر ت م ح وي ل ل ت اي

حد حولها. ت ل

x2 = 4x

x2 − 4x = 0

x x − 4( ) = 0

ما : x = 0

: x = 4

s = 0,4{ }

x x − 1( ) = 3 x − 1( ) : ة ةلاع ف ة ل ا ن

ريقة م رثكاب ةلاع ح اح فرطل م x − 1( ) ح يو ح ر ةلدب ر ت دح ب ة اي اع ح ف ر ة ي ر اه م )**(

) وتل لهربا لرب (1

Re q

=1

R1

+1

R2

: وناقل ف : مث



83

: Re q R2 R1بدلة اي طو مث

1

Re q

=1

R1

+1

R2

Re q R1 R2 : L .C .M ف فرطل ر ⇒ب R1 R2 = Re q R2 + R1 R

e q

R1 R2 − R1 Re q = R

e q R2

R1 R2− R

e q( ) = Re q R2

⇒ R1 =R

e q R2

R2− R

e q

: ة ةطن ف اك ةقح حرم ف د م اه y =

2x − 1

1+ x y ةلدب x دج

s =1+ rt

1+ r s,t ةلدب r دج

ا ريا د ع ل لقانو لعا1

f =

1

u+

1

v ,u ةلدب v دج

: اث ف ف ح عا نعرض ر ةع ا ل ا ط م )**(

حد عج عالة س و ل . ر ص اسي اهفر

x2 − x − 2 = 4

⇒ x2 − x − 6 = 0

x − 3( ) x + 2( ) = 0

∴x = 3, x = −2

s = 3,−2{ }

a.b = 0

ما : a = 0

: b = 0

x + 1( ) x − 2( ) = 4

: ر د لعام ل ا طتب ط لاطل يقوx + 1 = 4 : ما⇒ x = 3

x − 2 = 4 : ⇒ x = 6

3,6 ة و م تي ق x = 6 د باعالة ص قتل د

عالة



84

ة: ر ة ة ا ي ا ت ح : 1

1( 2x2 > 32 2( x2 − 5x ≤ 0 3( x2 − 4x > −3

6cm,10cm ا د ع ب ةطتسم ةعطقل ةعب ايزل م طع ي ل رب ض و جد :2

. 32cm2( ) د ا ق ل ةحاسم و ب ر مستطة بعد طو وتم و ل . ABC ث ةحاسم دج : ا ل ف : 3

5 x − 1( )

C

B A

29

x

ا لتعة نطة قترحة ع - 4وم رشا و : لتعة ا و ل

دل ر وطلتهد

مع رية ك جة ب له يا يوض بع طا ت م د طي - ا ها طيام دح ف ة ا ة ا ص و ة ا ة ا ص ا ه ن ب اه

ة ح و ت م ا س مهو كثر ت تل ة ي ر ة ام ر حد ما لعا ركة ب لعا لسطة ركة بامثة فالعا لسطة د ز -

ر م رثك يرع ب ياتل وم دح تو م ض رية جة ة ي ا ت يرعتل د ق ت ي ل بعد

.يرعتل ل لطة ل ها يتوص م جري يت مثة وضو دي - 5

: ا ك دب ط ل ة ض ي ا ت مثة طا دعب -

ا ة ل ي ا ت ة ياضا ي ا ت د ثتل

ة كر ق ق د ر ص اس مx ≥ 010−1



85

76 ف وجو اث شر - لا دعب ر ل د و اع ا ا ي ا ت ا ب لوحد ر ل ب ض -

لا د لقسة

تو تل ,

> يزمرل تو تل ا ي ا ت ب د ثتل ف ر كد ل ة 79- مثة وجو ف ص ≥ بر , ≥ يزمرلة ي ا ت ح لطة مع ض -

ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط مثة بسطة بر ل ة ا ع م لا دعب ةسقل ر ل د ر ص رك زم ر د

.د ي ر ت عالة م لدجة ل

لوحة بانة وم رشا و : لتعة ا و ل دل ر وط

: لتهدة م لدجة ل ط اع م د وتي ت -

ف ك معالة ض ا د ا م ه ل ط ل اهتك تل اع ر ر ت م حا ض - م ك ب كد لها لعامة ة ل له تك ي ر ت ل لدجة م اعم س ا ه ن ب له

حد. ب ي مرفو ر ت وضو دي

حد ة ا ي ف دج بتابة حها ة ك له ر اح عالة ط ل عر بعد - y ر ر ت ة ها م نعوضها باعالة ل x ل طا ب نقو ر ل y مث ت

85 ة 84 ع بامثة وجو ف ص ت - ثها بانا ةلاع ح ة و م ثت د م اه ة لت ح ر ة و م -

معالة ر حد لت لها ح حد ف ت م فا عالة لدجة ل ر ن ك دح باستو. ة ق ق د ة و م ف و م ت د غر م ي لها ر ت م لدجة ل

قتسم ر ه ل ا ق ل ب اح دح ة ف ستو ر ديدتب دعب - نقطت فق ب ت ن ي ر ت ة ط ةلاع ثتل -

شعا قتسم طعة وي ي ر ت ل لدجة م ة ط ةلاعل نال ط ب كد -x ر ت عوي ة و م يعتد قتسم



86

ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط )4 , -2( ر زل ام دح ستو ف )-2,4( ر زل ع عة ا ل ا ط م

. وضها له ة ف ستو ر ع يو بتدي لطة بدجة كافة ل

ي نا: ر ت ح معالت م لدجة لدل ر وط

لتهد:ي ر ت عالت م لدجة ل ر د ا ب ط ل ض -

) لتعوي ( لتة لانة لطريقة تلاع لها م ت تل لطر كر -. ر حرم ف اقح اهحرش ت ر ر

: وضو دي د ا د ح ي ب ة ا ا و م ش 86 ة ص ف 1 اثم ب ط ل ك -

. تلاعل تر ات ت سي ل د ب ا ت ل اناقي ناثل د ر ي . تلاع ب لوحد تر و )2,1(ر زل يد ب ه د اح -

تلاعم ا ن اه طن اعم ا د ي ر ت عالت م لدجة ل ب ط ل ض -ي ر ت م لدجة ل

وث ط ل تلاع م ل ح وي حد مر و ا ل ح ب كد -. ا ة ح ل و م قتس قا و نقطة ت دح ستو

لعامة م لطر ر له ك ا ةلوقم د لس ا ب تلاعم ا مالة ح ن ب ط ل ض -. ريقت لتعوي ا ل

معالة عالت ل بتوي حد ت 87 ة باثا وجو ف ص ريقة لتعوي له شر - ل ر ةلاع ف ا ه ي و ع تلاع م حد x,y ب ة ا ي ب ل ر حد فق ت

. ا ة ح ل و م ها مة 89 و وضة ف ص ط ا ب ة ن ا ع ت ا ب ةقير شر -

عها نطرحها ت م يدعب تلاع ر ي يتط حانا ن ر ت دح ح رك -ة ج ا سح 92 91 90 89 ا ل ف وجو ةثم بع نا

: ا ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط و ل ا ي ي ر ت اعل نال ثتل ة د ط ل وج تل ةع ا ل ا ط م -

لوحة د ت ا ب وي ل ةلاعاب عوي د ل ة و م ث مر لانة.



87

ف لد اش ل ر ا ر م ر ل ر م ي ر ت ر ف عالة ت دح قن - مثة كافة. بتدي لطة ل بطريقة لتعوي

ل اهك م تل د سب لتعوي تقيرطب وط ب ي ر ت ل د -

لثانة

لطريقة

اقتن

تقيرطل

حد

اق ا ب

وي

ر حد ت عالة م لدجة لثانة دل ر وط

: لتهد. ر 2 ت ض ر حد ت اعم وتي ط ل -

ر حد. ت معالة م لدجة لثانة س عالة ب ض -

ة. ت ا ه و ن ب ا ي د وي ط ل م دك -: وضو دي

99 98 97 ة 96 مثة وجو ف ص بع شر - b × a = 0اك ةققح ا ت م ما بتها ل ح عالة يت ط ل ض -

.b = 0 a = 0 ف باعالة صة. عوي م ل يت ةص م ة لتق كد -

ة ق ق د ة و م ف ةتسم ةناثل ةجدل م اعم ر ةثم الة.- ة و م ث تل ةنو ال لقط د ت ب مال بت رب ط ل ر ك ت ب ريقة كا رب شر - و ضافة مرب عتل لتوص ل م مربعا كام ة لت ي د اك ط ت س م اعبرم

. مربعا كام رف عالة لت معام x ل ن

. عالة كا معام x لطرف عالة لتق ن ضافة مرب رض كد -ة 101 ع باثا وجو ف ص ت -

ط د ,x 2,x م ا ع م ع و لعامة ل ا ب ةلاع و بوض ت د ل ةقير شر -ة 103 ة باثا وجو ف ص ن ا ع ت وناقل ط -

ة 103. ف ص موض ة قد ز لر سب عت عالة ج نو ب ض -ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

كد ت ل رض ماع اش دب ر ت ل ةيدعل م ا ع عتب ط ل ط د ي -. اش ع عام م

ة و م ف ح اهل ل ةلاع الا ف د اسي امد قد ز ط ل رض ة.- ق ق د



88

عا لسريةدل ر وط

لتهد:

ة و ت م ةثم ة ي ر رياق ستب ط ل رك -. ه س ن ب ةثم وي ةطل -: وضو دي

. ة ت م ةهباتم اماق مثة ف حالة كان - ا ا ب ر ل ا ب وسل م ت ل و ل ط ب ط ل ة ض ت م اماق كان -

ر ص ترر. ص تر ا ا ب ةلاع فر رض كد ت ل -

111 110 ة 109 مثة وجو ف ص شر -رحها. اهعج وسل ا ت م ن ل ط ل -

عا لسرية. د ت د ت س ةضاي ص ل ط ل اهلوي ة ل ا س م مثة طا -ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط

ة و م ر ف ص اسي قا باعالة صة يو نا ا لتعوي ه ج ر ت د ا -الة. ة و م اس ة ل ا به



89

ا لتري ح - 6

)4-1( ياة: اعل م ك ةص ف ب :1

ة ا ص ... ل د 7

(−2)3 = −8

)1

ة ا ص ... د )-2( ي يق )-3( 15 = 5 . 3 )2

ة ا .... 60°ك مستط مرب ض استل ثل ف ةي ك ا )3

ة ا ... 6 = 2 + 3 سن رغ د ر ل )4

ة ا ص .... 6

6= 6 −643 = −4 )5



90

د قتسم ل ة و م ثم ة ا اي تل م ح ك :2

1( 2x + 3 ≤ 9 2x + 3+ (−3) ≤ 9 + (−3)... فرطل باضافة)3-(

2x ≤ 6 س2x

2≤

6

2)2( بالقسة

⇒ x ≤ 3

∴s = {x : x ∈ R , x ≤ 3} 3

2( 5 − 2y > 4

5 + (−5) − 2y > 4 + (−5)... فرطل باضافة)5-(−2y > −1

−2y

−2<

−1

−2 ياتل ا ر ا ر م م )-2( بالقسة

1

2

y <1

2

∴s = {y : y∈ R , y <1

2}

3( 3Z + 5 > 17

3Z + 5 + (−5) > 1Z + (−5)

3Z > 12

17

43Z

3>

12

3⇒ Z > 4

∴s = {Z : Z ∈ R , Z > 4}

4( 9 ≤ 5 − 3t

9 − 5 ≤ 5 − 5 − 3t ⇒ 4 ≤ −3t −43

−4

3≥ t )-3( بالقسة

∴s = {t : t ∈ R, t ≤−4

3}



91

5( 3k + 5

2> 4

3k + 5 > 8 2 ف فرطل ر ب 1

3k > 3 ⇒ k > 1∴s = {k : k ∈ R, k > 1}

6(2 p− 5

−3≤ 2

⇒ 2 p− 5 ≥ −6 )-3( ف فرطل ر ب

101

2

2 p ≥ −1

⇒ p ≥ −

1

2

∴s = {p : p∈ R, p ≥ −1

2}

7( 2(2 p−1) ≤ 6 − ( p+ 8)

4 p− 2 ≤ 6 − p− 8... و ةل4 p+ p ≤ −2 + 2 س

-1 0

5 p ≤ 0⇒ p ≤ 0

∴s = {p : p∈ R, p ≤ 0}

8( 1

3t +

7

12>

1

2t +

3

4

4t +7 > 6t + 9 12 ف فرطل ر ب

−2t > 2 -1

⇒ t < −1 -2 فرطل ةسقب 9( −10 ≤ 2b− 3 ≤ 9

−10 + 3 ≤ 2b− 3+ 3 ≤ 9 + 3

−7 ≤ 2b ≤ 12

−7

2

≤2b

2

≤12

2

⇒−7

2≤ b ≤ 6

60−7

2



92

∴s = {b :b∈ R,−7

2≤ b ≤ 6}

10( −4 <3m+ 2

2< 5

−8 < 3m+ 2 < 10 2 ف فرطل ر ب−10 < 3m< 8

−10

3< m<

8

3

∴s = {m : m ∈ R,10

3< m<

8

3}

−10

3

-1-2-3 1 2 3

8

3

0−10

3

11( −1

3y ≠

1

2

(−1

3y)(−3) ≠

1

2(−3) -3 ف فرطل ر ب

y ≠−3

2

∴s = {y : y∈ R, y ≠−3

2}

−3

2

12( 2( p−1) − 3 > 2 p+ 3

2 p− 2 − 3 > 2 p+ 3

⇒ −5 > 3

ة ا اعل ∴s = φ

ل ة و م ث ي

) No Graph(

13( 10 p− 8 < 8 + 7 p

10 p− 7 p < 8 + 8

3p < 16

∴s = {p : p∈ R, p <16

3

}

0-1 1 2 3 4 5

16

3



93

x = ناثل اتم ف دي ا لدجة لت ي ر ن :a :3

∴70 <x + 66

2< 80

140 < x + 66 < 16074 < x < 94

2 ف فرطل ر ب

94 74 ب ر ∴ لدجة x = ل دعل ر ن :b

∴−3 < x + 6 < 7

−9 < x < 1

{−8,−7,−6,−5,−4, −3,−2,−1, 0} = ة ل د ة و م ∴

جوم ا ه ب ر ل a > b اف a − b = 1 : كان :a :4a > b اف a − b > 0 كان : a < b اف a − b = −2 كان :b



94

)4-2( يا: ت بطريقة لتعوي تلاعل م :1ح ك

a( 2x + 3y = 13... 1( )3x − 2y = 0... 2( )

)2( م لعالة

3x = 2x ⇒ x =2y

3....... *

( )2y

)3(م x ة )1( ف نعو

2(2y

3) = 3y = 13

4y

3+ 3y = 13

4y + 9y = (3)(13)

13y = 3( ) 13( )∴y = 3

+

3

( )



95

x اي :)*( م

∴x =(2)(3)

3= 2

∴s = {(2,3)}

b( x − 2y = 11... 1( )2x − 3y = 18... 2( )

y ةلدب x دن )1( م x = 11+ 2y ....... *( ))2( ف نعو : x اي )*( ف نعو2(11+ 2y) − 3y −18 = 0 x = 11+ 2(−4)

22 + 4y − 3y −18 = 0 = 11− 8 = 3

y + 4 = 0 ⇒ y = −4 ∴s = {(3,−4)}: ل ةقيرطب ت تلاعل م ك ح :2

a( 3x − 4y −12 = 0.... 1( )5x + 2y + 6 = 0...... 2( ) ن 2 دعلاب )2( رف لعالة ر ب

3x − 4y −12 = 0........ 1( )10x + 4y +12 = 0....... 2( ) لاب

13x = 0 ⇒ x = 0

y اي )1( ف نعو3(0) − 4y −12 = 0

−4y = 12 ⇒ y = −3

∴s{(0,−3)}

b( 0.1x − 3y = 12........ 1( )0.2x − 4y = 24....... 2( )

: 3 ف )2( ف لعال ر 4 ف رف لعالة ل ر ب0.4x − 12y = 48................. 1( )

± 0.6x ± 12y = ±72.......... 2( ) بالطر

−0.2x = −24

3( )3( )



96

∴x =−24

−0.2⇒ x = 120

)1( ف نعو(0.1)(120)

−3y

=12

12 − 3y = 12

⇒ y = 0

∴s = {(120,0)}

م ت ل 10 ف )2( )1( تلاعل فر رض ي ة: ح م.ل ك ا لعرية ل

: ر جابة بطريقة بانا حق :3ح ك معالت كا ي

:لa( 3x + 2y = 12...... 1( )

x + y = 5............ 2( ))x,y ( y x )x,y ( y x

)0,5()5,0()2,3(

5

0

3

0

5

2

)0,6()4,0()2,3(

6

0

3

0

4

2

L1 : 3x + 2y = 12 L2 : x + y = 5

L2: x+ y = 5

L1: 3x+2y =12

2,3( )

ح عوي )b1ح لعالت جريا

2 x +1

3 y = 2....................... 1( )2(x +1) + 3(y − 3) = 2......... 2( )



97

:ناثل ف و ك م لعالت بالة لسو ف ل س3x + 2y = 12............. 1( )2x + 2 + 3y − 9 = 2

2x + 3y = 9............... 2( )

)x,y ( y x )x,y ( y x

)0,3() 9

2,0(

)1, 7

3(

3

0

7

3

09

21

)0,6()4,0(

)1, 9

2

(

6

09

2

0

4

1

L1 : 3x + 2y = 12 L 2 : 2x + 3y = 9

) ة و م ( قا نقطة

L2: 2x + 3y = 9

L1: 3x + 2y = 12

18

5,3

5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ل ة و م ث تل )x,y ( قا يا نقطة نا تلاعل ن : ة ح م تلاعل ح ة و م {)3,2(} :4

2x3

− y2

= 1....... 1( )

3y

2+

x

3= 4....... 2( )

:)2( )1( تلاعل لتا لعالت ي يق ح )3,2( لر زل وي ل :ل

1( 2× 3

3−

2

2= 1

2 −1 = 11 = 1



98

2( 3× 2

2−

3

3= 4

3+1 = 4

4 = 4

تلاعل ح ة و م {)3,2(} ∴

a,b دج تلاعل ح ة و م {)2 ,-1(} كان :5

bx − 2y = −2....... 1( )2x − ay = 3......... 2( )

.تلاعل يق )2 , -1( تلاعل اتك ف y = −1 , x = 2 نعو

1( لعالة :b× 2 − 2(−1) = −22b+ 2 = −2 ⇒ 2b = −4

⇒ b = −2

(2)

2( لعالة :2(2) − a(−1) = 3

4 + a = 3 ⇒ a = −1

+



99



100

)4-3( ياة: اعل م :1ح ك

1( x + 1( ) x − 3( ) = 12

x

2

− 2x − 3 − 12 = 0.......و

لة

x2 − 2x − 15 = 0

x − 5( ) x + 3( ) = 0

ما x = 5

x = −3

∴s = −3,5{ }: ة ا د ا ق ل ا ب ةلاعل ح د لاطل ي ة: ح م

b = 0 a = 0 فاما ab = 0 : كان 2( y2 = 7y

y2 − 7y = 0 ⇒ y y − 7( ) = 0 فرطل م y مانة ح لطال بعد ي : ة ح م لعالة ق تل قل قد حد لالة ن ف

ما y = 0

y = 7

∴s = 0, 7

3( 3t2 − 4 = −11t

3t2 +11t − 4 = 0

3t −1( ) t + 4( ) = 0

ما 3t −1 = 0 ⇒ t =1

3 t = −4

∴s = 13

,−4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

4( 2x −1( )2= 2x −1( )

2x −1( )2− 2x −1( ) = 0

2x −1( ) 2x −1−1[ ] = 0.......

2x −1( ) 2x − 2( ) = 0

2xما −1 = 0 ⇒ x =1

2



101

2x − 2 = 0 ⇒ x = 1

∴s =1

2,1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

5(

x2 − 5 = 3x

x2 − 3x − 5 = ة .......0 ا ق ل و ل ا ب ةلاعل ضa = 1,b = −3, c = −5...... دل م ا ع م ع

x =−b± b2 − 4ac

2a...... وناقل

∴x =− −3( ) ± −3( )2

− 4 1( ) −5( )

2

=3± 29

2

ما x =3+ 29

2

x =3− 29

2

∴s =3+ 29

2

,3− 29

2

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭

6( 4x2 + 9 = 12x

4x2 − 12x + 9 = 0

2x − 3( )2= 0 فرطل عبرتل ل با

∴2x − 3 = 0

∴x =3

2

s =3

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ ر و ب تل لاطل نوض : ة ح م

2x − 3( ) 2x − 3( ) = 0

.ل ة و م ف ت ل ف رم ∴x =3

2



102

7(1

3x2 =

1

2x −

5

6 و ت د ل ا ب

: 6 ف ر ل ا ب فرطل س

x2 = 3x − 5

x2 − 3x + 5 = 0

x =3± 9 − 20

2=

3± −11

2

R ف ح اهل ∴ لعالة لس

−11∉ R∴s = φ { }

.ا ا ج اقي ) 44m2( طتسل ةحاسم كان فا ) 1m( دقب رض اثم ة قي طتسم و :2

. طتسل اعب دج x = لعر ر ن y = وطل ر ن x

yxy = لعر × وطل = لساحة : ة ح م

3x − y = 1..... 1( )

xy = 44......... 2( )

: 1 مy = 3x − 1 ........ *( )

ر حد: ت ب ةلاعم و ل )2( ف نعوx 3x − 1( ) − 44 = 0

3x2 − x − 44 = 0

3x + 11( ) x − 4( ) = 0

ما 3x + 11 = 0

∴x = −11

3)م رغ(

∴x = 4



103

: )*( ف نعو⇒ y = 11 11m = وطل ∴

.4m

= لعر.د جد .) 149( اسي اه ا ع ب رم مو x-1( ) x x+1( ) د موجة ة :3

:لx + 1( )2

+ x2 + x − 1( )2= 149

x2 +2x + 1+ x2 + x2 −2x + 1 = 149 و ةل3x2 − 147 = 0 ......)3( بالقسة

x

2

− 49 = 0x +7( ) x −7( ) = 0

ما : x = −7 )وسل ه حس شر ( : x = 7 6 7 8 : د ∴

)30( ا كا ل مربع ل ) 5(ض : ما لعد ل 4

x = دعل ر ن :ل∴x2 + 5 = 30

x2 = 25

x = ±5

5 -5 وطل دعل ∴ دقب د ا ا م ك فا ) 1cm( دقب ا يزيد د ا و ثم : 5

. ا د ا ق ل و د ج ) 21cm2( مساحت ص ) 2cm(:ل

h =ثل ا ر ن b = د ا ق ل ر ن

b = h +1........ 1( ) h

bh + 2 = ا : ايزل دعب



104

b + 2 = د ا ق ل 1

2) د ا ق ل () ا ( = لساحة

⇒1

2b+ 2( ) h + 2( ) = 21....... 2( )

)2

( ف )1

( م :b

نعو1

2h + 3( ) h + 2( ) = 21 ⇒ h2 + 5h+ 6 = 42

h2 + 5h− 36 = 0 ⇒ h + 9( ) h − 5( ) = 04

ما : h = −9 )م رغ( h − 5 = 0 ⇒ h = 5,b = 64 4 5

ك ض و ا بعة مربعا متساية ا ي م طع ) ycm( و ضعها ل ةعبرم ةعط : 6

242( ح بد غطا طتسم طو وتم ش د ا فتو ص د ع ب ) 2cm( ها م. و لقطعة لربعة جد .) cm3

) ا ( 2 : د ل اعب : ان ل ة ح م م :لد لربعة ا ق ل ض و ) y - 4(

ا × لعر × وطل = لستطة لسطو وتم ح∴2 y − 4( )2

= 242

y − 4( )2= 121 ..... 2 بالقسة

y − 4 = ±11 فرطل ب

2

y -4ما : y − 4 = 11 ⇒ y = 15

: y − 4 = −11 ⇒ y = −7 )مرغ(15cm = لقطعة لربعة ض و ∴ قي ر و ر لقا ل ) 2cm( يزيد لقا عض دح و لزي ا ثم : 7

. لث ما مساحت و ض دج . ر ل لقا و ل عض ) 2cm(

:ل

x = ر ل لقا و ل ر ن x + 2 = ر لقا و ل ∴

2x - 2 = ر و ل و ∴

x2 + x + 2( )2= 2x − 2( )2 ........ وغاثف

x2

+ x2

+ 4x +4 = 4x2

− 9x +48 و ةل

2x − 2

x + 2

x



105

2x2 − 12x = 0

2x x − 6( ) = 0

∴x = 0

x = 6

)م رغ(

تتر 10 8 6 :ثل و ض ∴ 1

2. د ا ق ل . ا = 1

2 لقا ع ل رض صاح =ثل ةحاسم

= 1

2. )6( . )8(

= 24cm2 ياستم ي ج ةلاعل ع تل ) m( ة لثاب ما )a :8

m y2 +y+1( ) =y+1

my2 + my + m− y −1 = 0

my2 + m−1( ) y + m−1( ) = 0 ة ا ق ل و ل ا ب ةلاعل ر

a = m , b = m−1 , c = m−1

ر ص = كا لقد لز )اياستم ج ( يو لعالة لدجة لثانة ح حد فقb2 − 4ac = 0

m−1( )2− 4m m−1( ) = 0

m−1( ) m−1− 4m[ ] = 0

m−1( ) −3m−1[ ] = 0

m م صة ل بالتعوي ي لتق ة: ح م

بالعالة ص

ما : m− 1 = 0 ⇒ m = 1

: −3m− 1 = 0 ⇒ m = −1

3 ياستم ةلاعل ع ج تل ) n( ة لثاب ا م -b

w2 -16=n w+4( )

w2 −16 = nw+ 4n

w2 − nw−16 − 4n = 0

a = 1 , b = −n , c = −16 − 4nر ص = لز⇒ b2 − 4ac = 0

−n( )2− 4 −16 − 4n( ) = 0



106

n2 + 64 + 8n = 0

n2 + 16n+ 64 = 0

n + 8( )2= 0 ⇒ n = −8

16n = 0

: ها صة جابة ف ك م ة حق اعل ح/ 9a( 3y+5

2y-1=

6y+2

5y-4

...... ط و ل رض صاح = فرطل رض صاح3y + 5( ) 5y − 4( ) = 2y −1( ) 6y + 2( )

15y2 +13y − 20 = 12y2 − 2y − 2

3y2 +15y −18 = 0

y2 + 5y − 6 = 0

y + 6( ) y −1( ) = 0

3 بالقسة

⇒ y = −6, y = 1 y = -6 باعالة صة نعو : قتل

يسر لطر :−18 + 5

−12 − 1=

−13

−13= 1

لطر : −36 + 2

−30 − 4=

−34

−34= 1

: y = 1 نعو لطر : 3 + 5

2 − 1= 8

يسر لطر : 6 + 2

5 − 4= 8

∴s = −6,1{ }

b(5

x+2 +

3

2-x =

2

x2 -4 : ة ح مa - b = - )b-a(

5

x + 2( )+

3

− x − 2( )=

2

x − 2( ) x + 2( )5

x + 2( )−

3

x − 2( )=

2

x − 2( ) x + 2( )

5 x − 2( ) − 3 x + 2( ) = 2.........LCM ف ر ل ا ب



107

5x −10 − 3x − 6 − 2 = 0

2x −18 = 0 ⇒ x = 9

∴s = 9

c( y-7y2 -2y

= yy-2

- y+4y

y −7

y y − 2( )=

y

y − 2−

y + 4

y......

y y − 2( ) ف ةلاع فر ر بy −7( ) = y2 − y + 4( ) y − 2( )

y −7 = y2

− y2

+ 2y − 8( )y −7 = y2 − y2 − 2y + 8

y + 2y = 8 +7 ⇒ 3y = 15

∴y = 5

بسهولة ف عالة صة قتل : s = 5{ }d( 2y

1-3y=

5

3y-1

ط و ل رض صاح = فرطل رض صاح2y 3y − 1( ) = 5 1− 3y( )

6y2 − 2y = 5 − 15y

6y2 + 13y− 5 = 0

3y − 1( ) 2y + 5( ) = 0

ما : 3y − 1 = 0 ⇒ y =1

3

: 2y + 5 = 0 ⇒ y = −5

2 لعالة يق ) 1

3( : قتل

لعالة ق −5

2∴s =

−5

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ة ة لعة م مثة ف ام كقف دل



108



109

عل تو - 1ومرل ا ط ا

قتس ةعط -

قتس بعد نقطة -ث اي ا م -ث ا ا -

ثل ة ط و ت ةقتس لقط -اعتل قا

. ول ا ن ه ل و لاثل ضع و ثم عض ت لوصة ب م قتس ةعط -.لاثل ل ي ف ا مث مويا ل حد ض ت ا قتس -

ن اس ر و ل ت م لزية ل ة ف ث لقا قا ل م ة م و ر ةقتس ةعطقل و -ر. و ل و

اعب ةياستم و دح ةطقن ف ت ا ه ا ت م م ثم ض د قامة -.ث

. ض اعب استم و دح ة ط ق ب ت ث اي ا م -.دح ة ط ق ب قت ث ا ا -

. ة 2:1م جهة لر س ب اه ك م قس دح ةطقن ف ت ثل ة ط و ت ةقتس لقط -اه ام و

يتق -. ول ا ن ه ل و لاثل ل وي ثم ف عض ت لقطعة ستقة لوصة ب م - 1

.دح ةطقن ف ت ث اي ا ت م - 2

.دح ةطقن ف ت ث ا ا - 3

لسوكة د - 2: ا لاطل وي ي ل ف نهاية . ول ا ن ه ل و لاثل ضع و ثم عض ت لوصة ب م قتس ةعط ر ي -

ة. ر يا ي -.لاثل ل ي ف ا مث مويا ل ض ت ا قتس ر ي -

ة. ر يا ي -

ر و ل ت م ل لزية لقا ث ف ة قا ل م ة م و ر ةقتس ةعطقل و ر ي -.ر و ل و ن اس



110

ة. ر يا ي - اعب ةياستم و دح ةطقن ف ت ا ه ا ت م م ثم ض د قامة رك ي -

.ث

.قتسم

نقطة

بعد

يعر

-. ض و بعا متساية دح ة ط ق ب ت ث اي ا كر م ي - دح ة ط ق ب قت ث ا ا رك ي -

.ثل ة ط و ت لقط يتعر -ا لتعة نطة قترحة ع - 3

ة ق م رطسم و ا ك ة م و ر م ة ت م اثثم وم رشا ودل ر وط

لتهد: اح اي ت اثث م د ة و م ك 4 ا م 3 ل و م ل ط ل -ها ه م متطابقة ض ع ل ةقباطتم ة ض ت م اثثم ة ا ة ج ر م

. ط ل ةقب ه تا ن ر ة د ه ل اه ا سح اي حس نو ت ل تو ف ثثا لها جابة سق تل ا ل د ا م ط ل -

. لثانة حس ض

وضو دي -4

و ثث اي وسقي ط ل ر ث ة ث ل ض طاب ة ث ل مثثا ض -ا.مز لها بالرمز ه ض و استل اقباطتم ثث ب له مثة ض م ةقباطتم و

.SSS AAS ض تي SAS ا ه ب و م ةي ع ب ثث طاب ة ك لطريقة ض ب -

.لاطل اتك117 ة ف ص كا موض ا ض ر لزية بو ث لقا ط ل يعان بع و ا ا ا د اس م ديدعل ط ل تر -

ا. ه ب ت ل ف ج ه ا ن هو بعد نهاية ك م معه ج ل صعوبا ف كها ل. ا وط اطع ف اضوم هسل ط د ت ا ر ا ر ب د اح -

ة. ل ة ب ا ج ل صوتل ا ر ة ف بر ط ل م ا ق ل د ت - 124 )1( اثم ف اك ايرج ة 3 ر م ا -

ا: ه ت ا ع م ةع ا ل ا ط ل ة ا ع ثثم طاب ا د ر لها ا ايزل ر ا ت لطة ف ز ض بع ط د ي

ر ر م ا ايزل و ض ح ل اثث و ع ي و ق ي ه ةقباطتم اثثم ه ر . لتطاب م فه ه ةقيرطب ثث ةس



111



112

)5-1( ياBC ت طر ف نقطة M Oنقطة م قا عم ABCD اطعل :1

OM / / AB ) 1: .

OM =

1

2 AB )2

ABC ثل ف : ا ر ل )ا ص ا ت م ض وتم رط ( CO = OA

معط ..... CM = MB

A

BC

D

O

M ب لوصة قتسل طعة ( OM / / AB

OM =1

2 AB

∴) ول ن اسي ا ه ل و لاثل ضع و ثم ف عض مت

: ف ض استم ثم ABC اطعل :2

CH ⊥ AB, AD ⊥ BC

DH / / CA : . ض استم ABCΔ : ا ر ل

AB = AC = BC :

A

BCD

H

معط .... CH ⊥ AB, AD ⊥ CB ل ك

ثل و ( ....... CD = DB , HB = HA ∴)CB ت Dم AB ت H م لسا استل

)....ثم ف عض ت لوصة ب م قتسل ةعط ( ...... DH / / CA ∴

AB = AC ف ثم ABC:اطعل :3

BC = 12cm, AD = 8cm , AD ⊥ BC

AB ت Mنقطة م MD : .

D ف ةيزل لقا ADB ثل ف :ل

معط .... MB = AM

A

BCD

M

مع ..... AC = AB



113

مع AD ⊥ BC

CD = BD = 6cm( ) لسا استل ثل و ... BC ت ∴ Dم

)...ب ةصول قتسل ةعط ( )1(... DM =

1

2 AC ∴

AC( )2= AC( )2

+ CD( )2

= 64 + 36 = 100

⇒ AC = 10cm

DM =1

2

×10 = 5cm

AD

= 64 + 36 = 100

.... وغاثف

)1( ف نعو

ة ل قا ل ةيزل م ةصول قتسل ةعط (( ر ة ر ل د ت ا ب ل ي : ة ح مر. و ل و ن اس ر و ل ت م

AB = AC : ف ثم ABC :اطعل :4

AC ت Nم AB ت Mنقطة م AD ⊥ BC

عم AMDN : .:ا ر ل

A

BCD

MN

مع ..... AD ⊥ BC ∵ لسا استم Δ و ... BC ت ∴ Dم

DM = NA =1

2CA DM / / NA

)... ب ةصول قتسل ةعط ( ب ا ق ت م اعض ف دج ض وتم ا ب ر ل ل وي ( ض وتم AMDN ل ∴

.)اقباطتم ايوتم).... لوصة قتسل ةعط ( CD / / NM ∵

)...... حد وعل قتسل( AD ⊥ NM ∴ دماعتم رط ض وتم و عل ... عم AMDN ل ∴

.اتقباطتم اتيوتم اتعط MA, DN ا ب ل ر رف ة ح مف ثم ABC :اطعل :5

AM = MN = NB :ب M , N ∈ BCCM ∩ AD = 0{ } BC ت Dم

MD



114

CM / / DN )1 : .

MO =1

4MC , AO = OD )2 : BMC ثل ف : ا ر ل

معط .....BN

=NM , BD

=DC ∵

DN =

1

2CM DN / / CM ∴

).. لوصة قتسل ةعط (: ADN :ثل ف

معط ..... AM = MN∵

ا ر ل ا ب ...... OM / / DN

ضع ي ف ا مث مويا ل ض ت م م و ر ل قتسل ..... OA = OD ∴.لاثل

)1(........ OM =1

2DN ∴

)2(........ا ر ل ا ب DN =1

2CM ل

: )1( ف )2( م نعو

⇒ OM =1

4CM

OM = 12

12

CM⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ∴

ض وتم ABCD :اطعل :6

CA ∩ BD = 0{ }, BP = CP ,CN = ND

ض وتم OPCN : .

))ا ص ا ت م ض وتم رط (( DO = OB : ا ر ل ).... )لقطعة لستقة لوصة BC / / NO : و لطريقة OPب / / DC ∴

وي (( ض وتم OPCN ل ∴ ض كان ض وتم ا ب ر ل ل

لتقابة متوية(( PO =

1

2CD = CN ,OP / / CN : ر رف

A

O

D

C B

N

P ض وتم OPCN ل ا ه س ن ة ر ل



115



116

: ل ف :1

m OA( ) OA : اي .ا ه ا ت م م ثل ض د لقامة نقطة لتقا O :ل

)4

ة ر م ( ....OA = OB = OC

لسا استم ∆ و .... m< 1 = m< 2 ثم اي .... m< 1+ m< 2 + m< COB = 180° ∵

m< 1+ m< 2 = 180° − 60° = 120°∴

m< 1 = m< 2 = 60∴

O

A

BC

60

10

1 2

ض استم COB ثل ∴ OB = OC = OA = 10cm ∴

C,B اتي ن ثم ABC :اطعل :2

.M ف BC ف H يقط AB يقط AC وي قتسم O م O ف ا ل اقتلاف AH = HO : .

OA نر : ا ر ل ا يا لث معط م ∵ Oنقطة لتقا

A ةيزل م AO ∴ m< 1 = m< 2 ∴

CA / / OH اتلاب m< 2 = m< 3 ل m< 2 ا ع ت ا ب m< 1 = m< 3 ∴

ض است ثم ف (( AH = HO∴

لقابة لزيا لتساية((.

:3H ةي ي HO : .

:ا ر ل معط AB = AD ∵

m< 4 = m< 3 : ل ك m< 1 = m< 2 ∴) لسا استل ثل و (

اتلاب( m< 3 = m< 5 m< 2 = m< 6 ∵) DA / / CB : وتل



117

ة ض ا ع ت ا ب m< 4 = m< 5 m< 1 = m< 6 ∴B ية م BO∴

C ية CAم

ا لزيا عري م H

ية مHO

: ف ثم ABC :اطعل :4

ABC ثل ا ا , Oنقطة لتقا AD ⊥ BC

m< BAC = 70°

m< 2, m< 3 :وطلمعط ....ثل ا ا نقطة لتقا O ∵ / ل

CH ⊥ AB ∴ة ا ية ي ا .... m< 2 = 90° ∴

ثم اي m< 1 +

m< 3

+ m< 2 = 180° ∵

m< 3 = 180° − 90° + 70°( )=180° −160°

= 20°

∴

m AD( ) AD :اي وطل :5

معط ..... O ف ةيزل ا COB Δ : لة ط و ت م قتسم ةعط AD معط ..... CD = DB

ت م ل ة ف لث لقا قا ل م ةصول قتسل ةعط ( .... OD =1

2CB = 3cm ∴

ر(. و ل و ن اس ر و ل

ة 2:1م جهة لر س ب ة ط و ت م ةعط ك قس O ةطقن ∴AO = 6cm ∴

AD = 9cm ∴ AD = 3OD ⇐

OD

AD=

1

3

= 9cm

: ر ر ب

B

A

C

O

6

D

A

C B

H

D

O

1

2

3



118

GF = 6x2 + 9y DEF ثل ف ة ط و ت ل لقط Oنقطة لتقا :اطعل )a :6

x2 , y OFبدلة :وطلمعط ... ة ط و ت ل لقط نقطة لتقا O ∵ :ل

ة نسة 2:1م جهة لر ط و ت م ةعط ك قس O ∴

OF

GF=

2

3 ل ك OG

OF=

1

2∴

OF =2

3GF

=2

36x2 + 9y( )

= 4x2

+ 6y

∴G

F E

D

O

OF = 2GF GF م ز ج ثي OF,GF م دح OGيث جز : ر ر ب : ل ف )b

WL = 15x

LQ = 5x + 3

x ةقل ة ل ةباج رت : 7/ل

ثل ف ة ط و ت ل لقط ∵ Lنقطة لتقاة 2:1م جهة لر س ب لقط قس L ∴

LG

WL=

1

2

WL = 2 LG( )15x = 2 5x + 3( )15x = 10 + 6

5x = 6

⇒ x =6

5= 1.2

10x + 6

∴

F

G

D

W

RL

D فر ة ل ةباج ∴



119



120


. ر د ل -. ة ط ةيزل -لزية ركزية. -

. لتا -. نقطة لتا ا -

. تر ا -ة. ا ةيزل -

اعتل قا .ا ز ك ر ر ا ل ا رك ر دل رط -.دح ر اهب ر دح ة م ا ق ت لس نقا ك -

.ياستم و ر يقسها ل دل رط -.ر دل ف يرط ا ا ن ا ع ض ر دل زكرم اه ر دل ف ةيزكر ةيزل -

. س ن ة تركة معها بالقو ط ةيزل ا عض اسي ر ف ةيزكر ةيزل ا -. س ن لزية ركزية تركة معها بالقو ا ن اسي ر ف ة ط ةيزل ا -

.1800

= ر ا ب ش ف باقت تيزل ا مو -.900 = ر ة ف ن م و ر ة ط ةيزل ا - اتقباطتم تيزكر اهتي ر ف ف ا و طاب -. اتقباطتم ت ط اهتي ر ف ف ا و طاب -

. و م ك ر ي و ل ر ي ف ر وعل رطقل -ر. و ل ل ويا وي ر و ل ت ا ر دل رط -

. نقطة لتا س ر نقطة حد فق دل م متر قتسم ا -

. ا نقطة لتا ه ر ا ا ا ع ض ة ا ةيزل -

. م نقطة لتا و ر رطقل ن و ا -.ر دل ا ا وي ر دل ةت د نهايت ر رط وعل قتس -

.ث ض تل ر دل زكرم ث اي ا م قا نقطة -.تياستم تيزكرم تي ر ا م م نقطة و ر ا اتعط باق -

ا ا ع ض تل لزية )ر دل ة ج ا ة ط ق ل ر دل زكرم ب )لوصة قتس طعة -.ا ت ا اتعطقل

هة م ) لزية ض ( ر دل ر ة قابة لو ط ةيزل ا اسي ر ف ة ا ةيزل ا -. ر



121

لسوكة د - 2: م ا ت م لاطل وي دل ةياهن ف نتو

ر دل يعر

ر دل رط و ر دل زكر ا ر و ل ت ت س ي ا طر و ا ز ك ر ا ر دل ا و ت ت س ي ر( دل م دم رغ ة و م ( دحول ا لس ه ل ر م نقطة معوم يعر

و ا ه و ف فرب زم تي لثانو لقو يعرو ا ه و ف رح س يت مز بث لر لقو يعر

س لر لقو لثانو ز ب لقور دل

ف

ر ش م

رب

ركزية

لزية

دي

ر دل ة م و ر م ش م ة ط ةيزل سيس ن ة تركة معها بالقو ط ةيزل ا عض ةيزكر ةيزل ا ت ت س ي

ها و ا ن اسي ة ط ةيزل ا ر ي 1800 اسي ر ا ب ش ف تباقت تيزل ا مو ر ي

900 اسي ر ة ف ن م و ر ة ط ةيزل ا ر ي ة قا ل ةيزل رغ ر ة ف ن م و ر ةلوه ةيزل ة يد اقباطت تيزكر اهتي اف ر ف ا و طاب ر ي اقباطت ت ط اهتي اف ر ف ا و طاب ر ي

و م ك ر ي و ل ر ي ر وعل رطقل ر ي ر و ل ل ويا وي ر و ل ت ا ر دل رط ر ي

ة ا ةيزل يرع م نقطة لتا و ر رطقل ن و ا ر ي ايوتم رطقل فر م اهناس ل ر دل ا ر ي

ر دل ا ا وي ر دل ةت ةياهن د ر رط ن وعل قتس يعر ث ض تل ر دل زكرم ث اي ا م قا نقطة ر ي

اتقباطتم اه اجة ر م نقطة د ل ت م و ر ت ا تعطقل ر ي ا فانها: ا ا ت ا اتعط ها اجة ر م نقطة د ل ن يعر

.تياستم تيزكرم تي ب ا ق - 1

اتعطقل لت ضعها لزية ر دل ة ج ا ة ط ق ل ر دل ب ةصول قتس ةعط - 2.ا ت ا



122

ب لوصة قتس طعة ها ة ج ا ة ط ق ل ر دل زكرم ب لوصة قتس طعة - 3

نقطت لتا ا ر ف ة ا ةيزل ا 159يعر ) ة 16 ر م ةتن شا لها (يعر

لزية.

دل ة ة - 3ة ي ر و ة لت ل د ه ل ياتل م ديز و لاطل رحة نعتقد مايتاج ستو ح ف كثر اهم س د ة ف د ا س و تل ة ف ر ل ة د ه ل و ل ها م

.اف ة ت د ي د ياتل م ة و م ي اف نعر و ت سا م

ض د قامة : )4(ة ر م و دح نقطة ف ثم

متساية لعد ريقة ري :1ف ل ا ض

ث بر ا ر دل زكرم اي. ة ر سح

وعل اي ر ل رغ م ب اث ف لاثل ل

T Z V

Wx

Y

U

:2 ير

ة ط و ت اقتس ف ل ا y نقطة لتقا:UTV ث ف

TY , TV دجWY = 9 كان )1

ZU , ZY دجYU = 9 كان )2

YU , VY دجVX = 9 كان )3



123

ة: اش ف ر باحر ش ايزل ا : جد 3 ير

A BO

C

C

D

b18

50 B

O

w

C

tn

32

A

D

B

A

O50

x y

ZD

C

D A

B

C

O

0 ا ز ك ر م تل ر دل رط BC :ل ف : 4 ير< BCD ي AC : m< CDA = 900

لتا نقا كان فا 700 ,600 ,500 اي ا ا ثم ض O ا ز ك ر م ر *

.ABC ث اي ا ا دج C,B,A

ا لتعة نطة قترحة ع - 4ة ق م رطسم و ا ك ة م و ر م ة ت م اثثم وم رشا و

دل ر وطلتهد:

ا. ي ا ع د ا و بالتاكد ن ا ر دل ا ب ا ما م ما ا ي ا ل ا ت ب فانا ند بالتو ر د ع ف ا حس

.135 ف اك ا: ه ي ر ع :.ا ةياستم ر لس دل ا ب ا ةياستم دحول ر دل ا ط ب



124

دح ر اهب ر دح ة م ا ق ت لس نقا

.يدتل 136نتق ل ف لاب ة ن ا ع ت . . ا ه ت ب سن ا ن ر 5 ا 4 ه ض و ا ا مثثا متساية ض ر ر بر رك ا ف ف و - 1

.لوتل 6

و ت ت س د ما اه و م ر ف و ر ث و و ض ن - 2

ا ت م م قامة د قت لتابة وقل ل ط ل اباج و بعد .دح ة ط ق ب ا ه ض

.ر دل زكرم ة ط ق ل س - 1

ث بر رم تل ر دل ا ط ا ن س ث لعد متساية و - 2

. ض است ثم( ا ه ض دعب س ا ه ر ب ر ر ة ت م ض ة د اش ن ض

ا(. ي ر ا ا ب شعري لزية ركزية. الثا.ة. ط ةيزل يرع بعا.

ة. ط ةيزل ةيزكر ةيزل قانة م امسا.. لقو ا دح ةيزل ا دح ب زم

ة. و ها يو جة و ا ا ب ةج و لزية ا 146 ة 11 ر بر

وسل و ط تك ا وط اطع ض

ا وط لوصو ل ط ل ا ب ع ت وسل م و ط ت دعب 11 ة ر م ةتن ة لسو بر

147 ة 12 ر م بر) و فق ت ب ( مايابه )2( اثم ح

و بعا ب مطها متساية. ف ركز ر تد د ل



125

ا لتري ح - 5

)6-1( يا

x,y دج : ال ل ف :1

ر مطة ف ن ... m< ACB =900 :لثم اي m< ACB + m< A + m< B = 1800 ∵

y + 4y + 900 = 1800

5y = 900

∴y = 180

∴

C

B

A

y

4y

x

O

عض ةيزكرل ا .... m< COB =2m< CAB ∴ لقو لطة لتركة ب ا

∴x=2y

∴x = 2 ×180 = 360

x,y دج : ال ل ف



126

m< C + m< A = 1800

اتباقتم اتي .....ر ا ب ش ف

4x + x = 1805x = 180

∴x=360

∴

CB

A

y

x

O

4x D

لركزية..... ا m< BOD =2m< A

y = 2x

∴y = 2× 360 = 720

m CD )1 :وطل : ل ف :2

m CD = m BD : )2 ر ا ط ا OCن = OA :ا ر ل

استل ثل و m< A = m< C ∴ ∴m< C = 600 لسا

وتل اتلاب m< 1 = m< C = 600

m< 2 = m< A = 600

A

C

DB

O

600

21

وتل ر ا ت ل ا ب . لركزية لقابة ل يت ا و لقو ا mCD = 600 ∴

mBD = 600 ل كmBD = mCPD∴

و ABCمث مر :اطعل :3 m< A = 300 O ا ز ك ر م ر

ا سل استم COB ثل : . لركزية..... ا m< 1 = 2m< A :ا ر ل

1

23B

C

A

O

3 0 0

m< 1 = 600 ∴

دح ر ا ط ا ن ... OB = OC

استم Δ اي و m< 2 = m< 3∴ لسا



127

m< 1+ m< 2 + m< 3 = 1800 ∵ m< 2 + m< 3 = 1200 ∴

m< 2 = m< 3 ∵

m< 2 = 600 = m< 3

∴

ض استم COB ثل ∴

... لركزية ا m< O = 2m< D : ا ر ل :4

m< D = 300 ∴

وتل اتلاب m< D = m< A

m< A = 300∴

ثم اي mA + m< 0 + m< 1 = 1800

m< 1 = 1800 − m< A + m< 0( )

= 1800 − 900

m< 1 = 900

∴600

A

O

1

B

D

N

AD ⊥ OB ∴

A

D

C

O

1 B800

: ل ف :5

اتباقتم اتيm< B = m< D = 1800+

ر ا ب ش فm< D = 1000 ∴

ر ة ف ن م و ر م >mمط ACB = 900

يا m< 1+ m< B + m< ACB = 1800 ∵ثم

m< 1 = 1800 − 90 + 80( ) = 100 ∴< A = 200 ح A ةي ي AC ∴

200



128



129

)6-2( يا ض استم ثم ABC : ل ف :1

m< BDC :وطل

:لطعم ... ض استم ثم ABC

600 = اي م ةي ا ∴ لقو ن ب ا ق اتطم m< 1 = m< A

m< 1 = 600

m∠ B , m ∠ C a ة وطل و ر ل ل ف :2

/ل

m< B =1

2mAC

=1

2× 96 = 480

. لقاب لها لقو ا لزية لطة ن ا ر ة ف ن م و ر م ةطم m< C = 900

a = 1800 − mAC

a = 1800 − 960 = 840

OD :وطل ل ف :3

OA ن / ل

لسا استم Δ و OD ⊥ BA:D ف ف ODA Δ لقا

OD( )2+ PA( )2

= OA( )2DA .... وغاثف

⇒ OD( )2+ 8( )

2

= 32( )2

OD( )2+ 8 = 32

⇒ OD( )2

= 32 − 8 = 24∴OD = 24 = 2 6

A

BC

OD

AB

C

O

a96

32

AB

C

O

D 8



130

:اطعل :4

O ا ز ك ر م ر ف اقباطتم ر AC , AB

BAc ةي AO : .

OC , OB

ن :ا ر ل اهف OAC , OAB ΔΔ معط AC ≅ AB

طعة متركة OAC

B

12

A

O

ر ا ط ا OCن ≅ OB

: ن ة م لتطاب ث ل لثثا باض ∴ يتطاب BAC ةي AO m< 1 = m< 2

b , a دج : ال ل ف : 5

ر مطة ف ن m< ACB =900 /ل m< ACB + m< A + m< B =1800 ∵

ثم اي

a + 3a + 900 =1800

4a = 900

a = 22.50

DC = DB∵

لسا استم Δ و m ∠ DCB = m ∠ DBC ∴b = 3a∴

b = 3× 22.50 = 67.50∴

CBمعط / / OA , OC / / BA : ا ر ل : 6

ض وتم OABC ل ∴ ك اك ض وتم ا ب ر ل ل وي

ايوتم ف باقتم عضدح ر ا ط ا OCن = OA

ض وتم و ... OC = BA , OA = CB ∴OB ن

) OB = OA = BA ( ض استم OAB Δ600 اس OAB Δ ف ةي ك ∴ا

A B

C

D

b

a3a

B

o

y˚ AC



131

A

B

C

O

D

2x

x

y

1

ABCD ر د ل ا ب ر ل ل ن : ر حوتل يرع .... ض وتم ABCO

.... اتباقتم اتي m< 1+ x = 180

m< 1+ y = 180

⎫⎬⎭

⇒ x = y........ 1( )

2x + y = 180.... 2( ) ض وتم اي و

ن : )2( ف )1(م3y = 180 ⇒ y = 600

:ل : 7

لقو ن ب ا ق اتطم m< A = m > D<2y =

1

2y + 30

4y = y + 60

3y = 600

y = 200

A

B

O

D

4y

2y

12

y + 30

C

OC , OB ل ن 4y ا ه ا ةي لر

عض ا ه ا ح COB ةيزكرم ةي D ةي ا

m > COB = 2m > D

m > COB = 4y

<

<

< :



132

)6-3( ياm< 1,m< 2 :وطل : 1

ة ا م ةي m< DACm< B= /لm< B = 440 ∴

مركزية ضع لطة m< AOC = 2m< B

m< AOC = 880 ∴

1

2

3

A

B

C

O

2 8 0

440

D

ر ا ط ا OCن = OA

لسا استم ثم و m< 1 = m< 3

ثم اي m< 1+ m< 3+ m< AOC = 1800 ∵m< 3 ة ض ا ع ت ا ب 2m< 1 = 180 − 88 = 92 ∴

m< 1 = 460

= m< 3 ∴



133

ثم اي m < 2+ < 3( ) + m < 2 + 280( ) + m< B = 1800

460 + m< 2 + 460 + 280( ) + 440 = 1800

m< 2 +1640 = 1800

m< 2 = 1800 −1640 = 160

1

/ل ب ا ق اتطم m< 1 = m< C

لقو ن

m

<1

=300

∴

ة ا م ةي m< 2 = m< 1

m< 2 = 300 ∴

1

2

AB

C

O

3 0 0

AN = NB : . :2

ON ن : ا ر ل و لقطر ONن ⊥ AB ∴

م نقطة لتا لا ر ا ط ا OAن = OB

ثل ر AN = NB ∴

B N A

O

ا س ل استل



134

AC

O

B

D

: 3

D ف لزية ا BCD Δ : ا ر ل CDمعط ⊥ AB ...

ل نقطة BC ر و ل ت ب D

Oنلقطعة و ( OD = OB = OC ∴

)..... لستقةم ر دح ر دجو ∴

ن O نقطة ا ز ك ر م D , B , C

BC ا لقطعة لستقة ر ط OD ا= طرمعط .... m< BCA = 900

).... ر دل رط وعل قتسل( C ةطقن ف ر دل ما AC ∴

ABC ثل م دج: ل ف :4

/ل

اتياستم اه اجة ر م نقطة د ل ا ت م و ر ل ا ت ا ل اتعطقل CE = DC = 1.2cmAE = AF = 1.5cm

GF = BD = 2cmوطلاب

AB = 1.5 + 2 = 3.5cm

AC = 1.5 + 1.2 = 2.7cm

BC = 2 + 1.2 = 3.2cm

∴

3.5 + 2.7 + 3.2 = 10.4cm ل ∴

E

2cm

O

B A1.5cm

D

C

1 . 2 c m



135

لتقو - 6 ف ة ة بع ن ا ع ت اتل ف سست اهحر ا ت م ة طر اح

)6-2(يا151

)6

-2

( يا ح :تل جول153: لتا

ضوتل 153 ف و ر ل ه احنقطة لتا )5( . ا ا )4( . لقا )3( . ركز )2( . ا )1(

ا و ل ا ب ة ن ا ع ت وسل ا ه ب و ب وفرعي ط ل م ا رة مسقا ه ةعتل

ة بالر ن ا ع ت ا ب ةكرت ا ا ون با ه ا ام ة ا ةيزل ر

م نقطة لتا و ر رطقل ن وعل ا بررق اتل م 155 ف ول ا ر ل تقيرطب ة ن ا ع ت

ف ول ا ر ل ط ل ا ب ع ت ايوتم ا طر تياهن ف ر دل اس ي ل قتس بر156

ر دل ا ا وي ر دل ةه ت د نهايت ر رط ن وعل قتس ب

ث ض تل ر دل زكرم ث اي ا م قا نقطة ها متطابقتابر اجة ر م نقطة دل ت م و ر ا تعطقل بر159 ف اك : ا ه ن ف )ا ا ا ت ا اتعط ها اجة ر م نقطة دل : ت ت

)4( اث ف اك ر ا ا ر د ل لاثل و ا اي ن ط ل ض160 )17( ة ر بر



136



137


دح ستو

ص ةطقنx − axis )ا سل وم( قف و y − axis )ا ل و م ( وعل و

Unit دحولOrdered Pair ر زل

:تطقن ب دعلا ل ا سل وم وي قتس اك

ي و م وي قتس اك ) ت ةطقن( قتسم ةعط ت م

اعتل قا ص ةطقن د م موي متعامدي ف نقطة دح يتو ستو

)0 0( ر زل ا ص ةطقن ا ل اه دح سل اه دح ةفرعم م نقطة ف ستو ديد مو

)x y ( م وتم و ر زلA x1 , y1( ) , B x2 , y2( ) ) اسح اي( تطقن ب دعل *

AB = x2− x1

= x1− x2 ا سل وم وي قتس اك )

AB = y2− y1

= y1− y2

ا ل و وي قتس اك )

d = AB = x2− x1( )2

+ y2− y1( )2 ي و م وي قتس اك )

دح ة م ا ق ت ا ق ل و *

ناثل ز و ا + ز و ا =ك قتس ةعط و ا اك .دح ة م ا ق ت و ل د فا

M =x1

+ x2

2,

y1+ y2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ا: ه ا د ح ) قتسم ةعط ت (م ت ونا *

M ت دح ر دح قتس ةعط دح دح اي لسوكة د - 2

م ا ت م لاطل وي دل ةياهن ف نتو دح عطا ف ستو ا ق ل ثي



138

ها ن و ن ا دح سافة ب نقطت ف ستو يعر)ا سل و وم (قف قتسم تطقن ب ةفاس دي

)ا ل و وم ( و قتسم تطقن ب ةفاس دي

انون سافة لستقا وية لوي غر وية لها ب ز اه ا لها حد مت ةجوم ةفاس يعر كان دح ة م ا ق ت و ة ث ل ا ق ل يعر

ة ل ط ق ل ب ةفاس اس ة لثانة لثالثة ط ق ل ب ةفاس+ةناثل ةطق ل ة ل ط ق ل ب ةفاسقطة لثالثة. ل

دل ة ة - 3رفها بانها تل ةتل ة د ه ل نس ل ر ل ضايرل لعال و س ل اي رتعي ا لتعر جريا دم ة د ا م م تن ا ه ت ط و ب ر م ة د ه ل ا اعم اي عل ة ي ر اعل ةنال ا ط ط و ف ه ا د جرية

ل ...../ ر دل / قتس ثم ة د ه ل اش جرية لع اقل د سا تل د ي د فا سا فا ي بع ر ع ت

A x1 , y1( ) C x2 , y1( )

N x2 , y( )

B x2 , y2( )

M x , y

(

)

x

y : قتسم ةعط ت انو م ) 1

M x, y( ) ة ط ق ل : ا ل ف

. AB ت م

AC / / MN نر

BC N ∴ ت م م ة م و ر قتس طعة (( ف ا ل موية ثم ض حد

: لثال ل ضع

BN = NCy2

− y = y − y1

سل رك ..... y2− y = y − y1

y =y1

+ y2

2

x =x1

+ x2

2: ثن ة ا بطريقة

x, y( )= M =x1 + x2

2,

y1 + y2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∴



139

AO

C 3, 4( ) B a ,b( )

x

y

: ة ر يا )2

: ا ل ف )a

. b,a ة OABCمع جد

سافة ب كان y دج )b

و دح 2 اس B 0 ,y( ) ,A 2 ,5( )

. r ة جد D −1,3( ) ,C 1 ,( 1) ب ةفاس اس B 0,r( ) ,A r,0( ) ب ةفاس كان )c

: ا ل ف )d

ABجد = 10cm OA =1

2OB

OP =1

2 AB م ق P ا دح

ث 3,− 3( ) , 0,0( ) , 2,2 3( ) ق )eب ل



140


دل ر وط

ا لتهد: ت ي و ة عومة ا ق ل ع ة ك دح لسابقة ك يو ستو و ا ف ل ع ل ت ل م ب

ا ل و )2( سل و )1( ها ر ش م دح ستو فها و مر و ا ك ةعط ر ك ف ق شا ل ب ))6با ا لسالة وجة ا )5( دحول)4( ص ))3نقطة

حد. دح ا ف ستو دح ةموعم رثك تطقن

دح ا ف ستو دح ةموعم بتع نقا ط ل ا ل

165 يد ف اك ةص م د ك ت ل )ة ( ط ل ة ا ح)نونا ( تقيرطب سافة ف ستو ا جد

قتسم تطقن كان ) ا ل وم )2 ( ا سل وم )1(

) )ما ي و م وي قتسم تطقن كان )166 )2 1( م ل ف ر ل ا ب ة ن ا ع ت (

ها. ا موجة بوحد مت ةفاس ة ح كت م)166 اثل ةبام( ي و دح وي قتسم تطقن ب ةفاس اي ط ل م

d = AB = x2 − x1( )2+ y2 − y1( )2 : انو سافة تك

تطقن ب ةفاس ونا

دح ة م ا ق ت A B C ثم نق ا ن 169 )3( اثم168 )1( اث ف اك دح عطا ف ستو ا ق ل ثن )1

ا ل نس تطقن ك ب ةفاس د )2

دح ة م ا ق ت ق (فا ل زج ( ز مو اسي ل اك )3

. قد ا د ك ت ل ة ت ةثم ح ط ل : نا



141

) مثة د طعي(: ةفاس ونا م ت ت

متساية( ض ج )ح ض استم ث )1

171 4 اثم لسا استم ث )

2

170 )3( اثم ت ض م )3

171 5 اثم وغاثف ة ي ر ن د ت ب ةيزل ا )4

172 )6( اثم ض وتم ث نقا ب )5

173 )7( اثم ا ز ك ر م ر ق نقا )6

. ا ق ل لاطل ت ي مستق حت ةلاح ل ة ح م ف ستو قتسم ةعط ت ا نقطة م دح

طتسن تموعم تطقن م ة ق ق د م مر زب ام ةطقن عن ك ا ع : د

ة ع ل م ت نقطة م دح ع174 )1( اثم ف اك

ها ا د ح ب اهناج ت ةطقن ا د ح ))3نقا ا ي د ل ص ةهم ة ح : م د

شالها ر دح ة م ا ق ت ق ا ق ل م م ق 174 )2( اثم لاطل

م. معومة بع نقا كان ض وتم ل ةفرعم اماب ن ط ل ضطر ت م دح اي175 )3( اثم ف اك

لث ا ق ل ض وت لرب لر نقطة دح اي طتسن : س176 )4( اثم م ةنال



142

ا لتري ح - 5

)7-1( يا

. دح ة م ا ق ت ق A)-2,-2( B ) 2 , 1 ( C ) 6 , 4( : ا ق ل ب /1

/لتطقن ب ةفاسل ونا d = x2 − x1( )2

+ y2 − y1( )2

AB = 2 + 2( )2+ 1+ 2( )2

= 5Unit

BC = 6 − 2( )2+ 4 −1( )2

= 5Unit

AC = 6 + 2( )2+ 4 + 2( )2

= 10Unit

AB + BC = 10Unit ر ةعطقل و اسي تعط لو مو

دح ة م ا ق ت نقا A, B,C



143

A ) 6 , 8 ( B ) 0 , 0 ( C ) 0 , 8 ( :دح ة م ا ق ت ق ة ق ل /2) 0 , 8( ل ) -3 , -2 ( م C ة ط ق ل دع : ة ح م /ل

D

= x2− x1( )2

+ y2− y1( )2

....لسافة

ونا

AB = 0 − 6( )2+ 0 + 8( )2

= 100 = 10 Unit

BC = 0 + 82 = 8 Unit

AC = 0 − 6( )2+ 0 = 6 Unit

∵AC + BC = 14 >10

)ثم ( دح ة م ا ق ت ∴ C , B , Aلس

.ر دل طر و ت لها جد A )-3 , -4 ( ة ط ق ل )6 , 8( ة ط ق ل ا ز ك ر م ر /3/ل

ر دل ت ي AAO = r = لقطر ن

r = x2 − x1( )2

+ y2 − y1( )2

r = 6 + 3( )2+ 8 + 4( )2

= 225 = 15Unit

2r = لقطر30Unit = لقطر ∴

لسا استم« A ) 2 ,-2( B ) 2 , 1 ( C ) 6 , 4 ( لث ل /4ب نو

. » ت ض م ض استم ة بقانو لسافة ث ل و ض دن /ل

AB = 2 − 2( )2+ 1+ 2( )2

= 3Unit

BC = 6 − 2( )2+ 4 −1( )2

= 25 = 5Unit

AC = 6 − 4( )2+ 4 + 2( )2

= 40 = 2 10Unit2 52 = 2 13Unit ت ض م ثل ∴



144

جد لزية ا A ) 2 , -1 ( B ) 2 , 1 ( C ) -1 , 1( /5ب لث ل

. قة لثثة ط ل ةحاسم /ل

AB=

2−

2

( )

2

+1

+1

( )

2

=2Unit

BC = −1− 2( )2+ 1−1( )2

= 3Unit

AC = −1− 2( )2+ 1+ 1( )2

= 13Unit

AB( )2= 4 , BC( )2

= 9 , AC( )2= 13

C B

AAC( )2= 13 = AB( )2

= BC( )2+

وغاثف ة ر م )B( لزية ف نقطة ا ABC ثل ∴ا × د ا ق ل 1

2= لساحة

لقا ع ل لو رض صاح 1

2=

حد مساحة 3 = 3× 2×1

2=

A ) -3 , 5 ( B ) 2 , 7 ( , C) 1 , 9( D )-4 , 7 ( /6ب بطريقت ل ل

. ض وتما ص ا ت م ل طر ثن : لطريقة ل /ل

BD رطقل ت لت O نقطة مO =

xB + xD

2,

yB + yD

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 − 4

2,7 + 7

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∴O = −1, 7( )AC ر رطقل ت لت P نقطة م

P =1− 3

2,9 + 5

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∴P = −1, 7( )P ≡ O

ا ص ا ت م رطقل ∴

ياستم باقتم عض ك دن ا ه م ةعب و ض دن : ر ل



145

. D لرب لر دح دج A)4,0( B)6,-6( C)-8,0( ض وتم ABCD /7

م O ةطقن دح دن اهف ا ص ا ت م رطقل ح ض وتل رط قا ل/لت O نقطة .يرطقل ك

BD

Oم لقطر =xB + xD

2 ,yB + yD

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

O =6 + x

2,−6 + x

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.....(1)

AC ر رطقل مO =4 − 8

2,0 + 0

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O = (−2,0).....(2)

: ن )2( )1( م6 + x

2= −2

⇒ 6 + x = −4

∴x = −10

−6 + y

2= 0

C

B A

D )x , y (

O

⇒ −6 + y = 0y = 6

O(−10,6)

و لقطعة لستقة م ق A)6,4( B)-2,6( C)0,-4( ABC ثم /8

.لاثل و ل ن اسي ف عض ت لوصة ب مAC ت نقطة م P x, y( ) ر ن /ل

P = x1 + x2

2, y1 + y2

2⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=6 + 0

2,4 − 4

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∴P (3,0)AB ت نقطة م N x, y( ) ر ن

N =6 − 2

2,

6 + 4

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∴N (2, 5)



146

PN = x2− x1( )2

+ y2− y1( )2

= 2 − 3( )2+ 5 − 0( )2

= 26Unit

BC = 0 + 2( )2+ −4 − 6( )2

= 4 +100

= 104 = 4 × 26 = 2 26Unit

x

y

6

4

2

2 4 6

-2

-4

-2

N

P

C 0,−4( )

B −2,6( )

A 6, 4( )

: ض

PN =1

2BC

و لقطعة لستقة م ق A)0,10( B)6,8( C)-6,-8( ح ثم ABC /9

ر. و ل و ن اسي ر و ل ت م ة ل قا ل م ةصول/ل

AB = 6 − 0( )2+ 8 −10( )2

= 40Unit

BC = −6 − 6( )2+ −8 − 8( )2

= 400Unit

AC = −6 − 0( )2+ −8 −10( )2

= 360Unit

AB( )2= 40

BC( )2 = 400

AC( )2= 360

∴ BC( )2= AB( )2 + AC( )2

= 400 ⇒ BC = 20 Unit

A ف ةيزل ا ABC ثل ∴



147

BC ر و ل ت نقطة م P x, y( ) ر ن

P =−6 + 6

0,−8 + 8

0

⎛

⎝

⎜⎞

⎠

⎟

∴P(0,0)

AP = 0 +102 = 10Unit

AP =1

2BC

y

2

P

2

B 6,8( )

C −6,−8( )

A 0,10( )



148



149


د ه ل يوتل ر ا ت ل وم ر ا ت ل

لتاب ة ا ت ا و لتر دل اسناعتل قا ر نقا ا ه ا ق ن م ةطقن ك نطق ا د ه ل ل يتطاب -

ي ر ا ت م ن ل د ش ك ر ا ت ل وم يقس - س ن ف ستو ر ةطقن ل ق ك نقطة ف ستو ي د ه ل يوتل -

) )نعا د يو R قاب ف ط R اك - سل و X سة ل ل ا ب ر ا ت ل -

Rx : x, y( ) = x,−y( ) ف ا ل و y سة ل ل ا ب ر ا ت ل ام -

Ry : x, y( ) = −x, y( ):a تل ة ع م ةفاسم اسن ر ) x y ( ة ط ق ل وص

T x, y( ) = x + a, y( ) ا سل و جو ا ا ب - 1

T x, y( ) = x − a, y( ) ا سل و لاسل ا ا ب - 2

T x, y( ) = x, y + a( ) ا ل و جو ا ا ب - 3 T x, y( ) = x, y − a( ) ا ل و لاسل ا ا ب - 4

وتل ةيزل ا ة ل ة م ا ق ت نسا ياف ح ستو ف P∀ ʹP ← P , O ← O ة ط ق ل وي د يو و مستو ف دل

. ا معو ب دل زكرم O دل ةي< PO ʹP , ʹP O = PO

ص ةطقن وح 90 دل -

R90 : x, y( ) = −y, x( ) ة ا س ل اق ا ما بR90 : x, y( ) = y,−x( ) ة ا س ل اق ا ب

ص ةطقن وح 180 دل -R180 : x, y( ) = −x,−y( ) ة ا س ل اق عب

ص ةطقن وح 270 دل -R270 : x, y( ) = −y,x( ) ة ا س ل اق ا ما ب

R270 : x, y( ) = y,−x( ) ة ا س ل اق عب Kف ماعم ص ةطقن O زكرم P x, y( ) ة ط ق ل رتل اك : لتر -



150

D P x, y( )⎡⎣ ⎤⎦ = K x, K y( ) ت ا ت م ت و م y = c, d{ }, x = a,b{ } ا ت و كان *

a

c =

b

d اك ت ا ت م ت و ل اقف 191 ف اك ة ا ت ا و و لسوكة د - 2

: م لاطل وي دل ةياهن ف نتو رق اتل ف اك ي و ت ل ة د يعر -

ر ا ت ل وم يعر - نعا يعر -

ف ستو قتسم نعا طي - دح ستو نعا طي

ا ل و سة ل ا ب ا ب نعا سل و سة ل ا ب ز ب نعا ا دح ف ر نعا يد صو ش ما

اسن يعر ا سل و لاسل ا ا سل و جوم ا ز ب نسا نقطة ما سافة ما ب ا ل و لاسل ا ا ل و جوم ا ز ب نسا نقطة ما سافة ما ب

ا ل و جو ا ا سل و جوم ا ز ب نسا سافة ما ب ا سل و لا ا ز ب نسا نقطة ما سافة ما ب

.ا ل و لاسل ا دل

مقد لزية لد يعتد يعر

ة ا س ل اق ا حركة لد 90 حو نقطة ص ب يعرة ا س ل اق ا حركة لد 90 حو نقطة ص ب يعر

. ة ا س ل اق ا ة لد ب ا س ل اق ا حركة لد 180 حو نقطة ص ب يعرة. ا س ل اق ا حركة لد 180 ب يعر

ة ا س ل اق ا حركة لد 270 حو نقطة ص ب يعرة ا س ل اق ا حركة لد 270 حو نقطة ص ب يعر



151

دل ة ة - 3 موضو اب ة ا طقا رثل ل ا ي ر ن و ا ا كثر ة د ه ل ي و ت ل يعد موضو اش اب س ل ي ل ثثا فق اب ة قر ن ه م بالرغ لتاب

ة: ة ت ةثم م د ي د اف لع نعر و ر ة د ه ل :جسا ا ل ف : اثم9

66

4

B

A لزيا اس )1 : رل ستط B لتق ستط A ياب ر ا ت ض ا )2

4

6=

6

9:

)سل ب( هباتم رغ ل : ا ل ف ام

6

4

B

A

8

3

14070

6060

140

70

Areas o Similar Shapes ةهبات جسا حو // مساحا شا تابهةk = ي ر ا ت ع ل ةسن اهباتم ط ت س م : ا ل ف

a

bD

A B

C

F

G

H

Eka

kb

k 2ab = ka( ) kb( ) = ستط لر مساحت



152

ab = ر ل طتس ةتحاسم ستط لر مساحت

k 2 = ر ل طتس ةتحاسم∴

)k 2

( ة ب مساحتها س ل اف )k

( ي ر ا ت م عض ةسن ا كان د ش اب : ل DEل / / BC : ا ل ف : اثم. ABC ث ةحاسم دج 4cm2 اس ADE ث ةحاسم

سل ... اهباتم اثث

k =AB

AD=

3

2

B C

D

A

E

23

k 2 =9

4

= تحاس ب ة س ل ∴

A1

A2

=A1

4=

9

4⇒ A1 = 9cm2

AB ت aم : ا ل ف : ير

AD ت bم مساحة ل ز ةحاسم ةسن دج

B

CD

Aa

b

.ABCD طتس

Volumes o Similar Objectes ةهبات جسا حو)accurate enlargment( ر ر ل ا د ح يع ل اف ا د اسج دما يتاب

k = ي ر ا ت م عض ةسن كان فا

k 3 = ةسن اف لر ح وط اتهباتم ا و ط : ا ل ف : مث

k =6

3= 2 = ا ةسن

k 3 = 8 = ةسن

6cmv :?30cm3cm

∴v1

v2

= k 3 = 8

⇒ v1 = 8v2

= 8 × 30 = 240cm23



153

:x,v دج ة م و ر ةهبات : ف جسا ير

.

ر ة ن و ط ح دج ) 4800cm3 ( حها ) 40cm( ا ه د ا م ة ا ة ن و ط :1 ير. ) 50cm( ا ه د ا م اهل ةهبام

اي ضافة ف لتابر باحر ش زج و دج ة م و ر اش ف

اهباتم اثث



154

C

A

C A

B

B DE

E D

6

22

3 4

43

x

y

y

10



ري ل لتطاب ا يعر م م وم ة ا و ب ر ف جه ا ا ر حاص حدنا ف ج ر ن ف .. ا ب اف ح ن :و

. ر ا ت ل وم سي

..ث طتس ها كارب ة م د ه ل ا ر ا ت م اش شا ا . ه س ن ط ل ر ا ت م ة ت م ة د اش اه و مر ونة اك ط : لتعة ا و ل

تل. اجرف رطسم ة ق م :

: لعر

179 ف اش ر ة د ه ل ي و ت ل : ر

ها( تل ا و ل م( ر ا ت م رغ اش ر د ه ل يوتل ر و ب ا نعا ت ت ب ن *

. ف ستو قتسم .. دح ستو .

تهج عة ف حد و ل م ستو ق ل )وي( ق قاب ي ط و قتسم نعا ض

ل ف كا موض . ف موضعها عة و ل ا ق ل بقا م م ر ةه ل قتس. )x y ( ة ط ق ل وص و تعامد دح ف ستو 180ب نعا



155

ت ت س ن ما P1 x,−y( ) x − axis( ) x ر ا ت ل و سة ل ا ب Rx x, y( )⎡⎣ ⎤⎦ = x,−y( ) د ا ق ل ةلا ص y ة .1

180 ل ر ن ا سل و سة ل ا ب نعا سي Rx ح

.P

2 −x, y

( ) وت P1 x, y( )

ة ط ق ل فy − axis

( ) y

ر ا ت ل و سة ل ا ب ام*

2 x و مساية ل P2 ةفاس P1 ة ط ق ل ب ةفاس ة ح ق ا ل د ح 180 م ل ا ت

سة ل ا ب ا د ث قتس وص دي ك ط ل . ا ل و )2( ا سل و .1

و طو كا سح ا ه س ) )م معالت قتسم تطقن ا دح ر ت : رك

L1 عط قتس .1

L2 ا سل و سة ل ا ب ع قتس .2

L3 ا ل و سة ل ا ب ع قتس ل ضوتل )3( اثاب ع ت

)4( اثاب ع ت ا و م ر معومة نقا ا ب ش وص دج *ر و ر س و ل ن ل اي ) (نا ط ل

اسن P ʹP ب ا معو ب ʹP ل ق ك نقطة معومة Pف ستو ي د يو و اسن ر

دم ةفاسم اسي183 ف اك ا ا ة ع ب ب و اسن ب

دلتا. θ ا ح لزية ه س ن نقطة Pل وي د يو و لد ف مستو ر

دل وي : ة ح م ص ةطقن وح -

ا ب -ة ا س ل اق ا .1

ة ا س ل اق ا .2

اث ب ة ن ا ع ت ا ب 185 ف اك

.ز ت ل ا ع ت 185 اث ع ت



156

: لد ياف و م : ة ح موتل ) لزيا ا ) ج ل ) ة م ا ق ت )

لتر

نقطة وي ا ب ا ه س ن لO

ة ط ق ل وي k

ماعم O

زكرم د يو : لتر ʹP Kر x, K y( ) p)xل y ( ثم ر ة لرياضة ل

kف ماعم ص ةطقنoزكرم p)x y ( ة ط ق ل رتل اك DK P x, y( )⎡⎣ ⎤⎦ = K x, K y( )

ل ضوتل)3()2( لاثاب ع ت لتر و كر



157

ا لتري ح - 5



158

)8-1( يا. p) 5 , -3( ة ط ق ل وص دج : 1

.ا ل وم ر نعا )b .ا سل وم ر نعا )a

.ا سل ول جول ا اب دح )3

( دقم اسن )c

.ا ل ول لاسل ا اب دح )2( دقم اسن )d

a( Rx : x, y( ) → x, −y( )

Rx : 5,−3( ) → 5, 3( ):ل

b( Ry : x, y( ) → −x, y( )

Ry : 5,−3( ) → −5,−3( ) اسن دقم h : ة ح مc( Tx x, y( ) → x + h, y( )

Tx 5,−3( ) → 5 + 3,−3( ) = 8,−3( )d( Ty x, y( ) → x, y + h( )

Ty 5,−3( ) → 5,−3+ −3( )( ) = 5,−6( ) ا سل وم ف ر نعا ABC ∆ وص دج :2

A 1,2( ) → ʹA 1,−2( )

B 1, 4( ) → ʹB 1,−4( )C 4, 5( ) → ʹC 4, −5( )

C )4 , 5( , B ) 1 , 4 ( , A ) 1 , 2 ( حوص ثل لطال بر يقو ي

: ر x − y = 4 قتسل وص دج :3

.ا ل وم نعا )b .ا سل وم )aنعا

L = x − y = 4 قتسل اتطقن دن :لP1 0,−4( ) , y = −4 ⇐ x = 0 دما

P2 4, 0( ) , x = 4 ⇐ y = 0 دما

L قتسل P2 , P1 ات ط ق ل ∴

a)Rx : P x, y( ) → ʹP x,−y( )∴P1

0,−4( ) → ʹP10, 4( )

P2 4, 0( ) → ʹP2 4, 0( )

b)Ry : P x, y( ) → ʹP −x, y( )

∴P1 0,−4( ) → ʹ́P1 0,−4( )P2

4, 0( ) → ʹ́P2−4, 0( )



159

: ر ) 2 , -1 ( ة ط ق ل وص دج :4

.ص ةطقن زكرم ة. ا س ل اق ا ا ب 90 ةيزب )a

R90° : P 2,−1( ) → ʹP 1, 2( )

.ص ةطقن زكرم ة. ا س ل اق ا ا ب 90

( بزية b

R90° : P 2,−1( ) → ʹ́P −1, −2( )

.ص ةطقن زكرم ة. ا س ل اق ا ا ب 180 ةيزب ر )c

R180

° : P 2,−1( ) → ʹ́ʹP −2,1( ).ص ةطقن زكرم ة. ا س ل اق ا ا ب 180 ةيزب ر )d

R180° : P 2,−1( ) → ʹ́ʹP −2,1( )

مسافة . C)1 , 4 ( , B )-3 , 3 ( , A) - 2 , 1( جد صو نسا لث ل :5

.ا سل ول جول ا اب دح )5( ا د: ل

Tx : A −2,1( ) → ʹA −2 + 5,1( ) = ʹA 3,1( )

Tx : B −3, 3( ) → ʹB −3+ 5,1( ) = ʹB 2,1( )

Tx :C 1, 4( ) → ʹC 1+ 5, 4( ) = ʹC 6, 4( ) دح ف لستو وص ثل ي : ة ح م

.)2( ماعم ص ةطقن زكرم ر ر p )-4 ,3( ة ط ق ل وص دج :6:ل

D0,2 : P x, y( ) → ʹP 2x, 2y( )

∴P −4, 3( ) → ʹP −8,6( )

زكرم جد صو لث ABC بتر C ) 0 , 6 ( , B ) 2 , 3 ( , A ) -1 , 1( كان :7

ماعم o

a( k = 2 b( k = -2 c ( k =1

2:

K = 2

D2: A −1,1( ) → ʹA −2,2( )

: B 2, 3( ) → ʹB 4, 6( ):C O, 6( ) → ʹC 0,12( )

K = −2

D−2: ʹ́A 2,−2( )

: ʹ́B −4, −6( ): ʹ́C 0,−12( )

K =1

2

D1

2

: ʹ́ʹA −1

2,1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

: ʹ́ʹB 1,

3

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

: ʹ́ʹC 0, 3( )



160

)8-2( يا m ∠ F = 70 m ∠ B = 40 ح , DEF ثل كا لث ABC ياب / 1

m< E , m< C جد ::ل

اهباتم اثثل ∵ا لزيا ا اس AB

DE=

AC

DF=

AC

DF ر ا ت ل و ض ب ا ∴ يوجد

ر ا ت ل ض لقابة ل∴m< B = m< E = 400

m< C = m< F = 700 ل ك

. x ة جد AC = 11cm BC = 10cm اك -: ل ف /2

اهباتم ADE , ABC ΔΔ ∵



161

DE

BC=

AE

AC

x

10=

6

11⇒ x =

60

11= 5

5

11

س لثثة: ل د ت ب : ر ح

sin A =x

6

=10

11

ر ل ثل ف

ف لث لر

باقل

ر و ل }

⇒x

6=

10

11⇒ x = 5

6

11

C

A

B10cm

5cm

6cm

x D E

/ 3

N ∈ AC , E ∈ AB ة ط ق ل اهف اهباتم AEN ABC اثثل اك

. AN = 5cm , NC = 3cm , EB = 2cm , EN = 3cm

. AB )1 دج

. BC )2 : ل

ر ا ت ل و ض ب ا ن ثثل اب مAB

AE=

AC

AF=

BC

E F

AE + BE

AE

=8

5

=BC

3

⇒BC

3=

8

5⇒ BC =

3× 8

5=

24

5

N N

A

CB

3

E N

2

5

3

دح

AE + 2

AE=

8

5: ل ك

⇒ 8AE = 5AE +10

⇒ 3AE = 10 ⇒ AE =10

3 = 31

3 دح

AN + NC

AN



162



163


ر و ل -

θ قاب لزية ل -θ ا لزية ل -س ثثة ل -

sinθ ج لزية -cosθ لزية ج ا -

tanθ لزية -اعتل قا

يا م وتي ثا ه و ن ا ب سي

900 م اح اي ج( مث حا لزية900= ة ا ية )يتو لزية ا ثم

)900 م رك ة ج ر م اي )حد لزية ر مث مة قا ل ةيزل باق و ل ر و ل

θ يقاب لزية ل و ل باقθ يا لزية ل و ل ا

وغاثف ة ر م د ث لقا و ض اعبرم ب رب تل ة ر

θ قاب لزية ر و ل

= θ ج لزية

sinθ =BC

AB ب ت

θ ا لزية ر و ل

= θ لزية ج ا

cosθ =AC

AB ب ت

A C

B

θ

θ قاب لزية θ ا لزية = θ لزية



164

tanθ =BC

AC ب ت

: مثtan600 = 3

tan 300 = 1tan600

sinθ ,cosθ , tanθ : د طتسن و ضع م ث لقا لسوكة د - 2

: م ا ت م لاطل وي دل ةياهن نتوθ ج لزية يعر

θ لزية ج ا يعرsinθ ,cosθ ب ز

ا ا م θ ة ب مقاب لزية س ل سيا ض ا رف لزية ا ثم م sinθ ,cosθ , tanθ ر ت س ي

وغاثف ة ر م ونا تي1 = cosθ sinθمرب مرب مو يعر

cosθ sinθ م ةيزل و ث لقا د

cosθ sinθ , tanθ ر ت س ي cos 450 = sin 450 =

1

2 يعر

tan 450 = 1 يعر

tan 300 =1

3

1يعر

1

2

450

1

600

300

23

1

2=cos600 = sin 300 يعر

1

tan 600= tan 300 يعر

.لاثل ة ضع ص ا يت و ضع ث لقا ر ت س ي



165

دل ة ة - 3اثث اسح ف ةفاض يا

x,y دج ا اش ف ) a : 1

ة ع ا ش طا ة: اعل م ك ط م ق )b

x = 450 , x = 300 1( sin4 x + cos4 x = sin x + cos x( )24

2( sin2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x

3( 2cos x − 3sin x( )2= 4 cos2 x − 9sin2 x

: )c

θ = 300 tan 2θ =2 tanθ

1− tan2 θ

cos2 θ =

1

21+ cos( 2 θ)

: ان اش ف : 2

x 0 دج



166

ا لتري ح - 4

)8-1(يا

: ة ك ما يا / جد 1

1( sin60 cos30 + cos60 sin30

=3

2 .3

2 +1

2 .1

2

=3

4+

1

4= 1

1

600

300

23

2( ) cos30 - sin45 ( ) sin60 + cos45 (

cos 30O − sin 45O( ) sin 60O + cos 45O( )

=3

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

−1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=3

4−

1

2=

1

2

sin 60O(a − b

( )a + b

( )= a( )

2

− b( )2

= a − bة: ح 1م

4



167

sin C , cos C , tanC دج BC = 8cm , AB = 15cm ح B ف ةيزل ا ثم ABC /2 :ال ل ف

AC( )2= AB( )2

+ BC( )2 وغاثف

= 15( )2

+ 8( )2

= 289

A

B C

15

8

∴AC = 17Unit

sinC =15

17

cosC =8

17

tanC =15

8

/3

a( cos230 - sin230 = cos60

L.H.S ) يسر )لطر

cos 300( )2

− sin 300( )2

=3

2

⎛

⎝

⎜⎞

⎠

⎟

2

−1

2

⎛

⎝

⎜⎞

⎠

⎟

2

=3

4−

1

2=

1

2cos 60O =

1

2)R.H.S ( ي لطر

b( 2 sin30 cos30 = sin60

L.H.S = 21

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 3

2

R.H.S = sin60 =3

2

c ( 1- cos60°

2= sin30°

L.H.S =1−

1

2

2=

1

2

2

=1

4=

1

2

R.H.S = sin30 =1

2

1

2

⎛

⎝

⎜⎞

⎠

⎟

2

1

4



168

: ثثل م x , y ة د ج /4

x

x

y y10

10

3045

sin 30O = x10

1

2=

x

10⇒ x = 5

tan 30O =x

y

1

3

=5

y

⇒ y = 5 3

tan 45O =

10

y

1 =10

y⇒ y = 10

sin 45O =10

x

1

2

=10

x

⇒ x = 10 2



169



170


.و و ل ب ا س لو ركزية ز ل ياقم

اعتل قا X زم ا د مقسوما قل و مو ب ا س لو

X =x1

+ x2+ ....+ xn

n

f 1 )ر ا رتل( ف xi قل رض صوح و مو :) رتل )لتوي ب ا س لو

.رتل مو مقسوما رتل ف xi

ا ل زكرم رض صوح و مو )ا ل رتل )لتوي ب ا س لو

رتل مو ر لها مقسوما ا . الا ا ي د ا ا ه ر بعد قل تو تل قل :)ME( و ل

. ا ر غ م ر و لقة كثر :)MO( و لسوكة د - 2

: ا لاطل وي دل ةياهن ف نتو.زم تي ب ا س لو يعر

.ب ا س انو لو تي. قل قل د ب ز

. سل رتل يعرة ل د ة ل د ن ب ز

ة. مركز ل ر ت س ي .)رتل ر ا ل ا د ح و د ن ( سل د )عي( ط ي

ب ا س يعد مزيا لو ب ا س و لو دعي

ف ول ا ل ب ا س يد لو و ل يعر

ا فريا د اك قل و ل ديا جا د اك قل و ل دي

و ل ة و ل ر ب ز و ل ايزم دعي



171

و ل و دعي و يعر

لو م دح و م ا ز

.و م

ا

وي

ر ل ا ب

ل

يعر

.و ايزم دعي.و و دعي

لو ف و و ل ب ا س يد لو



ا و ن انال و ل ة ه ثم ة ع م ا ص ا سح رف ع اناب : ة و ل انال- 1

ا. ر غ ة ل لت

و نتة د ة لقا ج م ا ها ب بانا يعر : -لانا لة 2

.... ) y

()x

ا) ا ح اهل زمري قلاب اه طي لعا لرياضة ب د ت اب X سي X ب ا يرمز ل د مقسوما قل و مو : ب ا س لو يعراتل ف اك انون تك

.اتل ف ول اث ف اك قل ب ا س مثا جد لوب ا س و لو ر - ب ا س مزيا لو ر -

ج ر ت ة ك و ل ر م بانا غر موبة : و ل

215 )1( اثم ايرف قل د اك :

215 )2( اثم اج قل د اك . و ل ة و ل ر ب ز لاطل عج ة ح م

ر 216 و ل و - 216 و ل ايزم -

م بانا غر موبة : و . ج ر ت ة ك و ر

ر و و - و ايزم -



172

ا لتري ح - 4

)10-1( يا

: و ل ما ي ل و ل باسل /1جد م لو

a( 11 , 20 , 5 , 8 , 12 , 17 , 9

b( 8 , 4 , 9 , 5 , 2 , 4 , 4 , 2 , 6 , 7 , 2

c( 12 , 24 , 16 , 20 ,10 , 8 ,18 , 4 , 20

d( 2 , 5 , 9 , 5 , 7 , 7 ,11 , 9 , 7

:لa( x =

11+ 20 + 5 + 8 +12 +17 + 9

7=

82

7= 11

5

7

ME = 11 الا ا ي د ا ا ر ي و ل اي

5,8,9,11,12,17,20

MO )يوجد(.و م دجوي دح رم م رثك قل م ة ر ية لطة لعد دل يوض

b( x = 8 + 4 + 9 + 5 + 2 + 4 + 4 + 2 + 6 + 7 + 211

= 5311 = 4.8



173

2,2,2,4,4,4,5,6,7,8,9 قل رME = 4

MO = 2 and 4

c( x =20 + 4 +18 + 8 +10 + 20 +16 + 24 +12

9

=134

9

= 148

94,8,10,12,16,18,20,20,24ME = 16

MO = 20

d( x =7 + 9 +11+ 7 + 7 + 5 + 9 + 5 + 2

9=

62

9= 6

8

92 5 5 7 7 7 9 9 11 قل ر

ME = 7MO = 7 .باسل جد لو دل م /2

201712796ول

لعد756432

:ل

x i i i دعلx i ول1226

2739

2847

72612

85517

14072036427

x =XiFi∑F i∑ =

364

27= 13

13

27 وناقل سح س ل ح م

x =x1 f 1 + x2 f 2 + ....+ xi f i

f 1 + f 2 + .....+ f n

) قل ب ر لقة كر (MO = 20



174

: رتل دل م رغ ولاب الا )40( باسل /3جد لو

70-8060-50-40-30-

6541510رتل

:لx i i i رتلx i ة ا مركز ل ف

350103530 -675154540 -22045550

- 32556560 -45067570 - 80

202040

x =XiFi∑F i∑

=2020

40= 50.5

: دل ف اطعل قل باسل / حس لو 4

ة-20-2317-14-11-8-5 ل

5237911رتل

:لx i i i رتلx i ة لمركز ل

71.5116.55 -85.599.58 -87.5712.511 -46.5315.514 -37218.517 -

107.5521.520 - 23

435.537

x = XiFi∑F i∑ =

435.5

37= 11.77



175

ة ل وضو

11 - 36 ........................... اقطتل / ل

37 - 54 ...................... د لققة /ناثل ل

55 - 75 ..........................ايدل /لاثل ل

76 - 107 ............................ا ي ا تل/ لرب ل

108 - 118 ...................ثل - ة د ه ل / م ا ل ل

119 - 135 ............................. ر دل / اسل ل

136 - 147 ..................... ة دح ة د ه ل / لساب ل

148 - 161 ..................... ي و ت ل ة د /ماثل ل

162 - 168 ......................اثثل اسح/ لتا ل

169 - 174 ............................. ا ح /رشاعل ل



Documents

دليل مدرس الرياضيات ثالث متوسط 2013`_2.pdf