Matemáticas 1. 11. Polinomios: suma, resta y producto 1

11. POLINOMIOS: SUMA, RESTA Y PRODUCTO.

• Monomio.– Producto de un número real por una o varias potencias en las que las bases son letras. El número real se llama coeficiente, y las letras con sus exponentes parte literal. Las letras simbolizan números cuyo valor no conocemos.

Ej: ; Coeficiente: 3; Parte literal: yx3 2 yx2

• Grado de un monomio.– Suma de los exponentes que aparecen en la parte literal.

• Monomios semejantes.– Los que tienen igual la parte literal.

• Suma y resta de monomios.– Sólo se puede efectuar si son semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja igual la parte literal.

Ej: 222 x14x6x8 =+

• Producto de monomios.– Se puede efectuar siempre. Se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, siguiendo las reglas de las potencias.

Ej: 532 x6x3x2 −=⋅−

• Polinomio.– Suma o resta indicada de varios monomios, cada uno de los cuales se llama término. Si no contiene términos semejantes, se dice que el polinomio es irreducible.

Si alguno de los términos no tiene letras se denomina término independiente.

Si sólo tiene dos términos, se denomina binomio.

• Grado de un polinomio.– Grado de su término de mayor grado.

• Valor numérico de un polinomio.– Es el número que resulta cuando se sustituye cada letra por un número determinado y se efectúan todas las operaciones.

• Suma y resta de polinomios.– Se suman o restan los coeficientes de los términos que sean semejantes.

Ej: ( ) ( ) 4x9x3x26x4x22x5x3 2332 −−+=−−++−

• Producto de un monomio por un polinomio.– Se multiplica el monomio por cada tér-mino del polinomio.

Ej: ( ) 2346242 x2x2x4x61xx2x3x2 ++−=++−⋅

• Producto de polinomios.– Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro.

Ej: ( ) ( ) 16x12x14x616x12x4x24x18x68x6x22x3 232232 −−+−=−+−−+−=−+−⋅+

• Potencia de un binomio.– Puede efectuarse mediante la fórmula denominada binomio de Newton:

Matemáticas 1. 11. Polinomios: suma, resta y producto 2

( ) n22n1nnn bnn

ba2n

ba1n

a0n

ba ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ −− K

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

, , , ..., se denominan números combinatorios, y pueden obtenerse a partir

del triángulo de Tartaglia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nn

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...

El valor de n es el segundo número de cada línea.

Ej: ( ) 4322344 bab4ba6ba4aba ++++=+

Cuando se trata de , los coeficientes de los términos que ocupan lugares impares son negativos.

( nba − )

• Productos notables.– Son los siguientes:

( ) 222 bab2aba ++=+

( ) 222 bab2aba +−=−

( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+

( ) 32233 bab3ba3aba +++=+

( ) 32233 bab3ba3aba −+−=−

11.. Efectúa las siguientes sumas y restas:

a) x6x7y6xy5x2yx4yyx3x 332323 +−+−+−++−

b) ( ) ( ) ( )6x8x3x45x2x7x1x6x4x5 232323 +−+−−+−−+−−

c) 2x31xx2x

53 3434 +−+−

d) 22 x71x98 ⋅−⋅

e) x61x

34x

51x

32 22 −−+

22.. Halla el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores que se indican:

a) 2x10x5x4x8 23 =−+− para ,

b) 3x4x6x8x3x5 234 −=++−+ para ,

Matemáticas 1. 11. Polinomios: suma, resta y producto 3

c) 41x9x8x12x4 23 =−+− para ,

33.. Dados los polinomios , ( ) 42 x7x6x3x35xP −+++= ( ) 2x2x3xQ 25 +−= y , calcula: ( ) 253 x3xxxR +−=

a) P(x) + Q(x) + R(x)

b) P(x) – Q(x)

c) R(x) – 2·Q(x)

d) ( ) ( ) ( )xR32xQ2xP

21

⋅+⋅−⋅

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )xQ2xRxQ3xRxP2xRxP31

⋅+−⋅−+⋅+−⋅

44.. Efectúa, dando el resultado más simple posible:

a) 32 x5xx4 ⋅⋅

b) ( ) ( ) ( ) ( )xy2y3xy4yx8 322 −⋅⋅−⋅−

c) zy109zxy

45zxy

32 3222 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

d) ( ) x31x2x 2 ⋅+−

e) 22 x43

51x

35x

32

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

f) ( ) 433 x2x10x22 ⋅

⋅⋅⋅+⋅

g) ( ) ( )3x41x3x2

2 −⋅−+

h) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−− 1x311xx2 22

i) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝ 4

⎛ −+31x2x

356x

53x1 22

j) ( ) ( )2xx22x2

k) ( ) ( )000.1x000.1x4x

23 −⋅−

l) ( )22x +

m) ( )25x4 −

n) 2

41

3⎝

x2⎟⎠⎞

⎜⎛ +

o) ( ) ( )4x64x6 ⋅ +−

p) ( ) ( )[ ] ( )216x44x24x2

−−+⋅−

q) 22

41x2

41x2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝

⎛ −

r) ( )3x21−

+⋅+⋅+