Funkcijas pētīšana

Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un nepārtrauktības intervāli.

Pāra, nepāra vai periodiska funkcija. Krustpunkti ar koordinātu asīm. Funkcijas pozitīvās, negatīvās vērtības. Monotonitātes intervāli, ekstrēmi. Grafika izliekuma un ieliekuma intervāli,

pārliekuma punktu koordinātas. Grafika asimptotas.

Intervālā augoša funkcija

Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a; b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no šī intervāla atbilst lielāka funkcijas vērtība, t.i., jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevienādības x1 < x2 izriet nevienādība f(x1) < f(x2). Tādējādi, ja x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 – x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) – f(x1) abi ir pozitīvi un to attiecība ir pozitīva

0x

y

Intervālā augoša funkcija

Patstāvīgi. Viens no mājas darba uzdevumiem.

Augšanas un dilšanas nepieciešamā pazīme Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x)

ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā f ’(x) 0.

Dilšanas pazīme – mājās.

Funkcijas monotonitātes intervālu atrašana Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums. Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds ar nulli

vai neeksistē. Šos punktus sauc par funkcijas kritiskajiem

punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x) definīcijas apgabalu intervālos, kuros f ’(x) nemaina zīmi – monotonitātes intervālos.

Katrā iegūtajā intervālā jānosaka f ’(x) zīme. Ja f ’(x) > 0, tad tas ir funkcijas augšanas

intervāls. Ja f ’(x) < 0, tad tas ir funkcijas dilšanas intervāls.

Funkcijas maksimumi un minimumi Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā

(a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja funkcijas vērtība f(x0) šajā punktā ir lielāka nekā funkcijas vērtības visos citos punkta x0 pietiekami mazas apkārtnes punktos x, t.i., visiem x ≠ x0 ir pareiza vienādība f(x) < f(x0), ja vien starpības │x – x0│modulis ir pietiekami.

Minimuma punkts – mājās.

Ekstrēma punkti

Maksimuma un minimuma punktus sauc par ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).

Ekstrēmu nepieciešamā pazīme

Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir ekstrēms, tad f ’(x0) = 0.

Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir nulle, sauc par funkcijas stacionārajiem punktiem.

Ekstrēmu atrašanas algoritms

Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums

f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Izpēta atvasinājuma f ’(x) zīme kritisko punktu

apkārtnēs. Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ’(x),

zīme mainās un f(x) kritiskajā punktā ir definēta, tad funkcijai f(x) šajā punktā eksistē ekstrēms

Jāaprēķina funkcijas vērtība ekstrēma punktā.

Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir minimuma punkts.

Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir maksimuma punkts.

Funkcijas grafika ieliekums un izliekums Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc

par izliektu, ja tas atrodas zem grafika jebkuras pieskares minētajā intervālā.

Ieliektas funkcijas grafiks – mājās.

Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās kārtas atvasinājums un visos intervāla punktos f ’’(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir šajā intervālā izliekta, ja f f’’(x) < 0, ’’(x) > 0, tad ieliekts.

Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika izliekto daļu no ieliektas daļas, sauc par grafika pārliekuma punktu jeb infleksijas punktu.

Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x) grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai neeksistē.

Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par otrās kārtas kritiskajiem punktiem.

Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) maina zīmi, tad punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika pārliekuma punkts.

Pārliekuma punktu atrašanas algoritms Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās

kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, t.i., nosaka funkcijas kritiskos punktus.

Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas grafika izliekuma intervālus atdala no ieliekuma intervāliem un kuros funkcija ir definēta. Šie kritiskie punkti ir pārliekuma punkti.

Aprēķina katra pārliekuma punkta ordinātu.

Funkcijas y = f(x) grafika pārliekuma punkti Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x). Uzraksta vienādojumu f ’’(x) = 0 un atrod šī

vienādojuma visas reālās saknes, iegūstot otrās kārtas kritiskos punktus.

Aprēķina f’’’(x) vērības katrā kritiskajā punktā. Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ’’’(x) ≠ 0.

Šiem kritiskajiem punktiem atbilstošie funkcijas grafika punkti ir pārliekuma punkti

Funkcijas grafika asmptotas

Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalību, neierobežoti tuvojas šai taisnei, t.i. attālums no punkta M līdz taisnei tiecas uz nulli.

Funkcijas y = f(x) grafikam var būt vertikālas asimptotas, t.i., paralēlas Oy asij, un slīpas asimptotas. Pie slīpām asimptotam pieder arī horizontālas asimptotas.

Vertikālā asimptota

Vertikālās asimptotas. Ja

tad taisne

x = a Ir funkcijas y = f(x) vertikālā asimptota.

xfax

lim

Slīpā asimptota

Slīpās asimptotas vienādojums ir

y = kx + b

x

xfk

xlim

kxxfbx

lim