2016年度秋学期　統計学　第７回　データの関係を知る（２）－回帰分析 (2016. 11. 7)

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

2016年度秋学期　統計学

浅野　晃関西大学総合情報学部

データの関係を知る(2)回帰分析

第７回

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

回帰分析とは


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

回帰分析とは多変量データがあるときある変量の変化を他の変量の変化で［説明］する方法


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

回帰分析とは多変量データがあるときある変量の変化を他の変量の変化で［説明］する方法

説明？


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

回帰分析とは緯度と気温のデータを例にとると

相関分析緯度があがると，気温が下がる傾向がはっきりしている

回帰分析緯度が上がるから気温が下がると考える緯度が１度あがると，気温が◯℃下がる


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

回帰分析とは緯度が上がるから気温が下がると考える緯度が１度あがると，気温が◯℃下がる

各都市の気温の違いは，緯度によって決まっているという［モデル］を考える

統計学では，気温（のばらつき）は，緯度によって［説明］されるという


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

説明変数・被説明変数

［説明変数］

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気温（℃）

緯度（度）

　　　

気温は緯度によって説明される（というモデル）

［被

説明

変数

］

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

気温は緯度によって説明される


A. A

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, Kan

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niv.

線形単回帰

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21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

気温は緯度によって説明されるどう説明される？


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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21

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　


散布図上で直線の関係がある，と考える


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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21

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

散布図上で直線の関係がある

x

y

y = a + bxという式で表される関係

［線形単回帰］　という


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

y = a + bx という式で表される関係


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y



A. A

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, Kan

sai U

niv.

線形単回帰

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23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y


a や b （パラメータ）はどうやって求める？


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

パラメータの決定

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

y = a + bx


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

y = a + bx

x = xiのとき


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

y = a + bx

x = xiのとき


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

y = a + bx

x = xiのときモデルによれば a + bxi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

y = a + bx



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

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5

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

y = a + bx

差 yi – (a + bxi )



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


実際は yi

差が最小になるように a,bを決める

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

y = a + bx




A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

パラメータの決定すべてのxiについて，差の合計が最小になるように a,bを決める

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21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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7

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25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi


2


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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7

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21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

2


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

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17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

が最小になる a,bを求める

2


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

Lが最小になるa,bを求める•偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」に　よる方法（付録２）


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

「偏微分」による方法

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b

L


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b

L aだけの関数と考えて微分


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b

L aだけの関数と考えて微分bだけの関数と考えて微分


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


a,bの２次関数

a

b

L

★

a

b


微分?


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b


微分は，傾きを求める計算


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



下り(-)


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



下り(-)

上り(+)


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



下り(-)

上り(+)底では微分=0


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



下り(-)


bについても同じ，底では微分=0


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分?

a

b

L

★

a

b



下り(-)


bについても同じ，底では微分=0

これらから a,bを求める


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

計算はともかく結論は•偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」に　よる方法（付録２）


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

x, yの共分散


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

x, yの共分散

xの分散


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

x, yの共分散

xの分散

yの平均


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

x, yの共分散

xの分散

xの平均yの平均


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法

b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法

b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法

b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法

を最小にしたので［最小二乗法］

b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

y = a+ bx

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

y = a+ bx

　　　

［回帰方程式］あるいは［回帰直線］


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

y = a+ bx

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

y = a+ bx

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最小二乗法


b =σxyσ2x

a = y − bx

　　　

［回帰係数］

　　

L =

n∑

i=1

{yi − (a+ bxi)}2

　　　

y = a+ bx

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ところで

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

y = a+ bx

帰係数

　　　

a = y − bx

　　　

より


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ところで

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

y = a+ bx

帰係数

　　　

a = y − bx

　　　

より y − y = b(x− x)

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ところで

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

x

y = a+ bx

帰係数

　　　

a = y − bx

　　　

より y − y = b(x− x)

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ところで

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

x

y

y = a+ bx

帰係数

　　　

a = y − bx

　　　

より y − y = b(x− x)

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ところで

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

x

y

y = a+ bx

帰係数

　　　

a = y − bx

　　　

より y − y = b(x− x)

　　　

(x, y)を通る回帰直線は

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

残差a,bが求められて，回帰直線が確定

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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

yi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y

xi

yi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

xi に対する，回帰直線によるyの推定値


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

yi = a+ bxi

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

yi = a+ bxi

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

それでも残っている，推定値と実際の差

yi = a+ bxi

　　　


yi

　　　

yi

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


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5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

　　　

x

y a + bxi

xi

yi

それでも残っている，推定値と実際の差

yi = a+ bxi

　　　


yi

　　　

yi

　　　

［残差］という

di

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

残差と決定係数回帰方程式を使って yi を予測したときの，予測によって表現できなかった部分


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


残差について（付録３）


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　


残差


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　


残差相関係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　


残差相関係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　


残差相関係数

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　


残差相関係数

決定係数

決定係数が１に近づくほど残差の２乗和が0に近づく


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

決定係数の意味

∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


残差の２乗の平均

∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

yの偏差の２乗の平均決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



∑d2i =

　　　

(1− r2xy)∑

(yi − y)2

　　　

より

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　


＝yの分散


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

決定係数の意味残差の２乗の平均

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数

yの偏差の２乗の平均（yの分散）

x

y

y

di = y

i – y

i

［残差］

yi

yi

– y

［偏差］

yi

xi

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


x

y

y

di = y

i – y

i

［残差］

yi

yi

– y

［偏差］

yi

xi

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


もともと y はこんなにばらついていた

x

y

y

di = y

i – y

i

［残差］

yi

yi

– y

［偏差］

yi

xi

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


もともと y はこんなにばらついていた

回帰直線からのばらつきはこんなに減った

x

y

y

di = y

i – y

i

［残差］

yi

yi

– y

［偏差］

yi

xi

　　　


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

決定係数の意味回帰直線からのばらつき

1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数

yのもともとのばらつき


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


決定係数


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


決定係数＝回帰直線によるばらつきの　減少の度合い


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


1− r2xy =

　　　

∑d2i /n∑

(yi − y)2/n

　　　

決定係数


決定係数＝回帰直線によるばらつきの　減少の度合い＝回帰直線によって，　ばらつきの何%が説明できたか


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

「中くらいの相関」とは「統計学入門」(東京大学出版会)より


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

「中くらいの相関」とは

相関係数0.7

「統計学入門」(東京大学出版会)より


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


相関係数0.7 相関係数0.5



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.49相関係数0.7 相関係数0.5



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



決定係数0.25



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



決定係数0.25こちらが中くらいの相関関係



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.



決定係数0.25こちらが中くらいの相関関係

回帰直線ではばらつきの25% しか説明できない



A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

前回の演習問題の例長野～鹿児島

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

前回の演習問題の例

決定係数0.712

長野～鹿児島

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

✢

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島

決定係数0.949

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島

決定係数0.949平均付近に密集していると不安定

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島


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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

✢

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島


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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島


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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島


平均から離れたデータがあると安定する

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇


A. A

sano

, Kan

sai U

niv.


決定係数0.712

長野～鹿児島


平均から離れたデータがあると安定する

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

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57911131517192123

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

気温（℃）

緯度（度）

札幌～那覇

Education

2016年度秋学期 統計学 第７回 データの関係を知る（２）－回帰分析 (2016. 11. 7)

2016年度秋学期　統計学　第７回　データの関係を知る（２）－回帰分析 (2016. 11. 7)