Analītiska ģeometrija plaknē

Taisnes vienādojums plaknē• Taisnes vienādojums koordinātu

sistēmas plaknē ir pilnīgi noteikts , ja ir dots kāds punkts M0(x0;y0), caur kuru taisne iet, un vektors s0, kuram taisne ir paralēla.

.M0

0s

.M (x;y)

0rr

00 rrMM

00 skolinearsMM

00 strr

Vektoriālais vienādojums

0s

0s Vienības vektors

1cos

1cos

yx

sincos yx

sin;cos0 s

.M0

.M (x;y)

0xx

0yy 0yy

0xx

00 strr

sin;cos0 s

cos0 txx sin0 tyy

tgxx

yy

0

0

Taisnes virziena koeficients

tgxx

yy

0

0 kxx

yy

0

0

tgk

00 xxkyy bkxy

0 CByAx

Taisnes vienādojums asu nogriežņos

0 CByAx

CByAx

1b

y

a

x

Taisnes normālvienādojums

0 CByAx

22

1

BA

0 CByAx

Normējošais reizinātājs

0sincos pyx

..M2 (x2;y2)

M1 (x1;y1)

Taisnes vienādojums caur diviem punktiem

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

0121121 xxyyyyxx

01212

11 yyxx

yyxx

Leņķis starp divām taisnēm

2

22222

1

11111

0

0

B

AkCyBxA

B

AkCyBxA

21

12

1 kk

kktg

12

1

kk

Taišņu perpendikularitātes nosacījums

Taišņu paralelitātes nosacījums

21 kk

Divu taišņu krustpunkts

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

Jāizmanto Krāmera formulas

Attālums no punkta līdz taisnei• Aprēķina normējošo reizinātāju.• Iegūst taisnes normālvienādojumu.• Aprēķina attālumu no punkta līdz

taisnes – ievieto punkta koordinātas normālvienādojumā.

pyxd sincos

Riņķa līnija

222

222

22 0222

Rbyax

Ryx

FEyDxCyBxyAx

Kanoniskais vienādojums

Elipse

Elipse

• Elipse – to punktu ģeometriskā vieta plaknē, kuru attālumu summa līdz diviem dotajiem plaknes punktiem F1 un F2 ir konstanta.

A2F2

F1, F2 – elipses fokusi2c – attālums starp fokusiemr1, r2 – punkta P fokālie fokusir1 + r2 = 2a

F1

A1A2 – elipses lielā ass – elipses fokālā assB1B2 – elipses mazā assa – elipses lielā pusassb – elipses mazā pusass

A1

B2

B1

1

1

22

2

2

2

222

2

2

2

2

ca

y

a

x

bca

b

y

a

x

a

ba 22

Ekscentritāte – attiecība a/c

Hiperbola• Hiperbola – visu to punktu

ģeometriskā vieta plaknē, kuru attālumu starpība līdz diviem dotajiem punktiem F1 un F2 pēc absolūtās vērtības ir konstanta.

A1A2 – hiperbolas reālā ass – fokālā assB1B2 – hiperbolas imaginārā assa – hiperbolas reālā pusassb – hiperbolas imaginārā pusass

F1, F2 – hiperbolas fokusi2c – attālums starp fokusiemr1, r2 – hiperbolas fokālie rādiusir1 - r2 = 2a

1

1

22

2

2

2

222

2

2

2

2

ca

y

a

x

bca

b

y

a

x

xa

by

xa

by

Asimptotas

a

ba 22

y2 = 4ax y2 = -4ax x2 = 4ay x2 = -4ay

Parabola• Parabola – visu to punktu ģeometriskā vieta

plaknē, kuriem attālums līdz dotajam punktam (fokusam) ir vienāds ar attālumu līdz dotajai taisnei (direktrisei).

dON

rOF

px

pF

ap

2

0;2

2

pxy 22