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Profª Roberta Reis
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PRISMA
DADO UM POLÍGONO SITUADO EM UM PLANO, É CHAMADO PRISMA O SÓLIDO FORMADO PELA PROJEÇÃO DESTE POLÍGONO EM OUTRO PLANO PARALELO, COM A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS
ELEMENTOS DO PRISMA
CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA : PRISMA RETO
ARESTAS LATERAIS PERPENDICULARES À BASE
PRISMA REGULARÉ UM PRISMA RETO
E OS POLÍGONOS DAS BASES SÃO POLÍGONOS REGULARES
EX: CUBO
ÁREA DE UM PRISMAA ÁREA DE UM
PRISMA É DADA PELO DOBRO DA ÁREA DA BASE SOMADA À SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS
VOLUME DE UM PRISMAO VOLUME DE UM
PRISMA É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA
PRISMA OBLÍQUOAS ARESTAS
LATERAIS NÃO SÃO PERPENDICULARES À BASE
DIAGONAL DO ORTOEDRO
222 BCd
222 AdD
222 CBAD
DIAGONAL DO CUBO
3Ad
3
)2( 222
AD
AAD
PIRÂMIDEDEFINE-SE
PIRÂMIDE COMO A UNIÃO DE TRÊS OU MAIS PONTOS CONTIDOS EM UM PLANO COM UM PONTO EXTERIOR A ESSE PLANO
ELEMENTOS DA PIRÂMIDE
NOMECLATURABASE NOME
Triângulo Triangular
Quadrado Quadrangular
Pentágono Pentagonal
Hexágono hexagonal
PIRÂMIDE REGULARÉ UMA PIRÂMIDE
CUJA PROJEÇÃO DO VÉRTICE SOBRE A BASE COINCIDE COM O SEU CENTRO E QUE A BASE É UM POLÍGONO REGULAR.
APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR
O APÓTEMA DA BASE É O APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR DA BASE
O APÓTEMA DA PIRÂMIDE É A ALTURA DO TRIÂNGULO ISÓCELES FORMADO NA FACE LATERAL.
ÁREA DE UMA PIRÂMIDE
A ÁREA TOTAL DE UMA PIRÂMIDE É DADA PELA SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS COM A ÁREA DA BASE.
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA E DIVIDIDO POR 3
SECÇÃO TRANSVERSAL
TRONCO DE PIRÂMIDE
VOLUME DO TRONCO
)..(.3
1bbBBHV
MENOR BASEDA ÁREA b
MAIOR BASEDA ÁREA B
TETRAEDRO
TRIANGULAR PIRÂMIDE UM
IA CONSEQUÊNC POR SENDO
LATERAIS FACES QUATRO
POSSUI QUE SÓLIDO UMÉ
TETRAEDRO REGULAR
SEQUILÁTERO TRIÂNGULOS
POR
FORMADO TETRAEDRO UMÉ
ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR
3
6LH
ÁREA DO TETRAEDRO REGULAR
3A
:4 POR 4
3
2T
2
L
SENDOMULTIPLICA
L
TRIÂNGULO
CADADEÁREA
CILINDRODADOS DOIS PLANOS
E DUAS CIRCUNFERÊNCIAS IDÊNTICAS CONTIDA NELES, CHAMA-SE CILINDRO A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS PERTENCENTES ÀS CIRCUNFERÊNCIAS.
É NA REALIDADE PRISMA COM BASE CIRCULAR
ELEMENTOS DO CILINDRO
CILINDRO CIRCULAR RETO
BASE À
LARPERPENDICU
É EIXO O QUE EM CILINDRO O É
CILINDRO EQUILÁTERO
BASES DAS
DIÂMETRO AO IGUAIS
SÃO GERATRIZES AS
QUE EM CILINDRO O É
VOLUME DE UM CILINDRO
H.R V 2
ÁREA DE UM CILINDRO
)(2
.2
2
22
HRRA
HRA
RA
AAA
T
L
B
LBT
CONEDENOMINA-SE
CONE CIRCULAR A UNIÃO DE TODOS OS SEGMENTOS QUE UNEM UMA CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA EM UM PLANO E UM PONTO NÃO PERTENCENTE A ESSE PLANO.
Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a . Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
aO*
h
a 90º
Este cone é Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Elementos do cone
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da
base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eixo
altu
ra
Cone Circular Reto
O*
g2) No DVOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
g2 = h2 + R2
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
Um cone reto pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Por isso o cone reto é chamado de cone de revolução.A
B C
Áreas e Volume
Pirâmide Cone
Área da Base (AB)
Depende do Polígono da Base
Área da
circunferência
Área Lateral (AL)
Área Total (At)
Volume (V)3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb
grAl .2
gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..
O DVBA é a seção meridiana do cone.
Chama-se secção meridiana a intersecção
de um cone com um plano que passa pelo
vértice e pelo centro da base do cone.
O* AB
V
g
2R
Seção Meridiana
Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone
é um Cone Eqüilátero.
g=2R
H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de
um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor,
acima da secção é
semelhante ao cone original, o que significa
que suas dimensções
são proporcionais.
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone
original (H)
Altura do cone
semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GT
Outra conclusão lógica
V = v + VT
Tronco de Cone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
Área Lateral do Tronco(ALT)
ALT = (R + r)gT
Área Total do Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)
Volume do Tronco (VT)
VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3
. th
ELEMENTOS DO CONE
CONE CIRCULAR RETO
BASE À LARPERPENDICU É
EIXO O QUE EM CONE O É
CONE EQUILÁTERO
BASEDA DIÂMETRO AO
CONGRUENTE
É GERATRIZ
A QUE EM CONE O É
VOLUME DO CONE
HR ..3
1 V 2
ÁREA DO CONE
ÁREA DO CONE
)(
2
.2
2
.
2.
GRR
RGRA
RG
GRA
RA
T
CIRCSET
CIRC
TRONCO DE CONE
)..(..3
1 22
2.
2.
rrRRHA
rA
RA
TRONCO
MENORC
GRANDEC
ESFERAÉ A UNIÃO DE
TODOS OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA .
ÁREA DA ESFERAEXPERIMENTALME
NTE, PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO PESO DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA. SENDO DO MESMO MATERIAL.
24 RAESFERA
VOLUME DA ESFERA
3
4 3RVOLUME
POLIEDROSÉ UM SÓLIDO
LIMITADO POR POLÍGONOS, QUE TEM, DOIS A DOIS, UM LADO COMUM
POLIEDROS REGULARES
UM POLIEDRO É REGULAR QUANDO TODOS OS SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES E TODOS OS SEUS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES.
TEOREMA DE EULLER
V : VÉRTICESA: ARESTASF: FACES LATERAIS.
2 FAV
OCTAEDRO
CUBO
6
12
8
FACES
ARESTAS
VÉRTICES
:EULLER DETEPREMA DO ATRAVÉS
22
2614-8
POLIEDROS DE PLATÃOUM POLIEDRO DE
PLATÃO DEVE TER:TODAS AS FACES
COM O MESMO NÚMERO DE ARESTAS
DOS VÉRTICES PARTA O MESMO NÚMERO DE ARESTAS.ICOSAEDRO
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO
º360).2( VS